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ATREVERSE CON LA

MECÁNICA CUÁNTICA

El capitán de fragata (R) AmílcarJ. Funes completó, durante sucarrera en la Armada, los estu-dios en Física (licenciatura ydoctorado) contribuyendo a lacreación del Servicio Naval deInvestigación y Desarrollo (SE-NID) y del Laboratorio Naval deEnsayos Acústicos (LANEA).Instauró el Programa de Investigación y Desarrollo de laex SEGBA y actuó más de treslustros en la Comisión Nacionalde Energía Atómica, donde ayudó a establecer el programade agua pesada, entre otras actividades.Ha publicado un par de libros técnicos (Residuos Radiactivos y Termodinámica Técnica), poe-sías y cuentos “Pandora enCaja”,que obra en la Biblioteca delCentro Naval y numerosos artículos científicos y de interésgeneral.

“Quien no se sienta abrumado por la mecánica cuántica es porque no la ha entendido.”

Niels Bohr (1885-1962)

Se puede vivir la vida como un simple molusco adhe-rido al casco de un navío, aunque la empresa resulta indudablemente más atractiva si selogra conservar durante su transcurso el condimento excitante que derrochan los niños:la curiosidad.

Puesto a pensar sobre las construcciones mentales empleadas para explicar el mundo fí-sico circundante, el hombre común, el hombre práctico, podría preguntarse si vale la pe-na hacer el esfuerzo intelectual para comprender una de las más interesantes, que pare-ce reservada sólo para los especialistas: la mecánica cuántica. Si la respuesta fuera afir-mativa hasta se animaría, tal vez, a realizar una breve incursión cognitiva para saber dequé trata “la cuántica”. En tal caso, este artículo quizá le sirva de introducción.

La mecánica cuántica, con el auxilio de la conversión de la masa en energía enunciadapor la teoría de la relatividad, fue introducida explosivamente en el siglo XX en Hiroshimay Nagasaki. Otras realizaciones también discutidas son los reactores nucleares, median-te los cuales Francia obtiene más del 60 % de su energía eléctrica y la Argentina, no me-nos del 15 %. En muchas publicaciones se ha discutido sobre la conveniencia del empleode los reactores, aun frente a los efectos del calentamiento del planeta y de la contami-nación, debidos a la generación convencional con plantas térmicas. La lista de ventajase inconvenientes circula entre despachos oficiales, reuniones de académicos, de empre-sarios y de ecologistas. De todos modos, la ignorancia no vence al peligro.

Hay otras aplicaciones que se disfrutan sin ambages, cuando no con placer y agradeci-miento, como los láseres que graban los discos compactos y los leen, los ubicuos chipsempleados en electrónica, la comprensión de la biología molecular y del DNA, los desa-rrollos de nuevos materiales (e. g. superconductores, superfluidos, fullerenos), la micros-

Boletín del Centro Naval

Número 809

Septiembre/diciembre de 2004

Recibido: 28.10.2002

AMÍLCAR J. FUNES

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copía electrónica, las técnicas de imágenes médicas por resonancia magnética (MRI) (1),por emisión de positrones (PET) (2), y varias otras aplicaciones todavía en desarrollo.

Esta mecánica trata de la interpretación de fenómenos básicos que pueden ser observa-dos experimentalmente, como por ejemplo la aparición de la llama amarilla que muestrala sal de cocina expuesta a la llama de un mechero, las características de la luz de lasestrellas, la producción de la imagen en un tubo de televisión, la fisión y fusión nuclea-res, la superconductividad, el magnetismo, etc.

Para explicar estos fenómenos fue necesario comprender las relaciones entre las partícu-las y sus energías respectivas, dentro del dominio atómico, donde las dimensiones son lasdel diámetro del átomo (10-10 m = 1 Angström), las del núcleo (10-14 m) o aun menores.

El adjetivo cuántica se adhirió a la mecánica a partir del descubrimiento de los gránuloso cuantos de energía que constituyen la radiación electromagnética (como la luz). Segúnse verá luego, las partículas elementales (e. g. los electrones) también tienen la energíacuantificada cuando su movimiento está confinado dentro del dominio atómico.

Por otra parte, el adjetivo ondulatoria también le ha sido asignado a esta mecánica sub-microscópica porque, por una parte, se comprobó que las partículas muestran propie-dades que sólo habían sido observadas en la ondas (fenómenos de interferencia cuan-do interaccionan entre sí). Y por otra parte —quizá la principal— porque al vincular aesas partículas con un tipo de onda que se introducirá luego, se pudieron hacer desa-rrollos teóricos utilizando una ecuación —la ecuación de onda de Schrödinger—, simi-lar a la empleada para tratar los fenómenos ondulatorios en general, como los acústi-cos, los electromagnéticos, etc. Todo este conocimiento, con la formulación matemáti-ca correspondiente, permite efectuar cálculos y predicciones para diseñar y construirdispositivos como los mencionados precedentemente. Es muy importante notar que sise aplica la mecánica cuántica para tratar a las partículas del mundo visible, los resul-tados coinciden con los obtenidos por medio de la mecánica de Newton.

Desde el punto de vista de lo que sería —por ahora— sólo la comprensión del universo,la mecánica cuántica se ha empleado para explicar las reacciones termonucleares quemantienen caliente al sol (y a las estrellas en general), y los científicos hasta se atrevena formular con su auxilio teorías audaces sobre el origen de todo a partir del Big Bang,la gran explosión primigenia.

Hay filósofos que se han interesado en algunos aspectos de la mecánica cuántica, atraí-dos por una aparente violación del determinismo, vale decir de la relación sólida entrecausa y efecto; y hasta han llegado a reconsiderar el concepto de realidad como algo queexiste independientemente del observador.

El panorama de las consecuencias del desarrollo de la mecánica cuántica plantea enton-ces un desafío interesante para intentar una primera aproximación a sus misterios reve-lados y a aquellos que todavía no han hallado explicación satisfactoria.

El señor Planck y el Cuanto de Energía

Cuando el siglo XX pugnaba por dejar atrás al XIX, uno de los problemas que ocupaban lamente de los físicos era la forma de la curva intensidad versus frecuencia correspondien-te a la radiación del cuerpo negro. Un cuerpo negro puede ser una cápsula cerrada deporcelana, por ejemplo, con un orificio de comunicación al exterior. Calentada hasta unatemperatura que permita medir la radiación que sale por el orificio (p. ej. 500ºC o 600ºC)se puede obtener la curva mencionada, mediante un instrumento que mida la intensidadde la radiación emitida y su frecuencia (i.e. ciclos por segundo).

ATREVERSE CON LA MECÁNICA CUÁNTICA

(1)Magnetic Resonance Imageing.

(2)Positron Emission Tomography.

Después de algunos intentos fallidos para llegar a una fórmula del tipo

Intensidad = función de la frecuencia (para cada temperatura),cuya representación gráfica coincidiera con la curva experimental, el Dr. Planck adaptócreativamente fórmulas propuestas anteriormente y logró llegar a la expresión matemáti-ca correcta, aunque se resistía a aceptarla. Algo en ella indicaba que la energía no eraemitida (ni absorbida) en forma de radiación continua sino en forma discreta, como si setratara de pequeños paquetes expresados por

E = h . ν

a los que denominó cuantos de energía. (“E” es energía, “h” es una constante —cons-tante de Planck, cuyo valor es 6,63 . 10-34 Joule.seg—, y la letra griega ν (nu) repre-senta la frecuencia.)

Por otra parte, se habían hecho experimentos de iluminación de un metal (por ejemplozinc) con luz monocromática (de una única longitud de onda p. ej. azul, no como la luzblanca, que es una superposición de varias longitudes de onda distintas), y se había ob-servado el desprendimiento de electrones del metal iluminado, el cual quedaba cargadopositivamente.

Einstein, por entonces un inquieto (y doctorado) empleado de la oficina de patentes deBerna (Suiza), vinculó el efecto con los cuantos de energía y propuso como explicación in-dividual del fenómeno (llamado efecto fotoeléctrico) el choque de un cuanto (un fotón) deradiación con un electrón; de modo que la energía del primero era transferida al segun-do, logrando así arrancarlo de su matriz metálica.

Conviene recordar que tanto la radiación térmica del cuerpo negro como la luminosa em-pleada para lograr el efecto fotoeléctrico son parte del amplio espectro de la radiaciónelectromagnética. Y que el término espectro se aplica a una gama de valores de cualquiermagnitud variable de la física: radiación, sonido, temperatura, etc. Aunque ahora, genero-samente, se habla también de espectros de sensaciones, político, laboral, religioso, etc.

La Danza de los Espectros

Cualquier persona puede recrear la magia de proyectar los colores del arco iris sobreuna pared empleando una palangana con agua, un espejo de mano dentro del recipien-te (con el borde superior del espejo apoyado en la pared lateral de la palangana y elborde inferior apoyado en el fondo), y un rayo de sol. Sólo se requiere un poco de ha-bilidad para hacer incidir el sol sobre el espejo a través del agua y dirigir el haz refleja-do sobre la pared. La combinación de las superficies del agua y del espejo, con el lí-quido interpuesto, constituye un prisma donde la luz blanca, además de refractarse (i.e.doblarse), se dispersa (i.e. los colores se separan; el rojo es el menos desviado y elvioleta es el más desviado). El arco iris resultante se denomina espectro solar. Es unespectro de bandas, una al lado de la otra, sin discontinuidades.

Los científicos se habían sorprendido mucho con un experimento parecido. Utilizaron laluz generada por una corriente eléctrica que provocaba incandescencia al pasar por un tu-bo con hidrógeno a baja presión. Al atravesar un prisma, esa luz no mostraba un espec-tro de bandas como el espectro solar del experimento casero, sino un espectro de rayasseparadas, denominado espectro de líneas, mostrado en la figura 1.

Cada línea aparecía a una frecuencia bien diferenciada (o sea con un color diferente, co-mo se muestra en la figura 1) (3). El Sr. Balmer, un maestro de escuela aficionado a lanumerología, propuso una fórmula matemática mediante la cual, haciendo variar en ella

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(3)Para calcular la frecuencia deuna línea, se divide la velocidadde la luz por la longitud de ondade esa línea.

un par de números enteros m y n de uno en uno, se podían reproducir las relaciones en-tre las frecuencias de cada par de líneas del espectro.

Las famosas líneas del espectro de emisión del hidrógeno desvelaban al joven físicoNiels Bohr hasta que, para explicarlas, propuso un dibujo del átomo con varios círculosconcéntricos alrededor del núcleo. En la figura 2 está reproducido en limpio, aunque fueincluido previamente en la figura 1.

Como ya existía una hipótesis del átomo consti-tuido por un núcleo rodeado de electrones que semovían alrededor de él —en forma análoga a losplanetas alrededor del sol— se pensó que la emi-sión de energía correspondiente a cada línea po-dría ser debida a la aceleración del movimientode una carga como la del electrón. Éste es unefecto incluido en la teoría del electromagnetis-mo de Maxwell. El problema es que el átomo dehidrógeno tiene un solo electrón que puede ace-lerarse y emitir al hacerlo. Girando alrededor delnúcleo, el electrón debería experimentar acelera-ción hacia el centro del átomo (centrípeta), por-que de otro modo saldría disparado como la pie-dra de una honda de revoleo; y al radiar la ener-gía correspondiente a esa aceleración debería irperdiendo la energía propia, con el resultado de

que luego de haber dado unas cuantas vueltas en espiral caería en el núcleo hasta alcan-zar su energía mínima. Esto sucedería en todos los átomos que emitían la luz de la des-carga luminosa del hidrógeno excitado por la corriente eléctrica del tubo.

De ser así, el diámetro del átomo se reduciría de aproximadamente 10-10 m, al valor deldiámetro de su núcleo, establecido aproximadamente en 10-14 m. Además, como esacaída debería suceder en una fracción de segundo, la luz proveniente del tubo gaseosoexcitado por la corriente eléctrica nunca podría pasar de ser un efímero destello.

“Estos círculos —dijo Bohr— representan órbitas posibles para el electrón; o mejor, es-tados posibles de energía. La órbita más interna corresponde al estado de menor ener-gía. La energía del electrón será tanto mayor cuanto más externa sea la órbita en que

ATREVERSE CON LA MECÁNICA CUÁNTICA376

3.500 4.000

H (violeta)δ

δ

β

β

α

α

H

H

H

AngströmLongitudes de onda en Angström1 Angström = 10-10 mLas frecuencias se calculan dividiendo lavelocidad de la luz por la longitud de onda

Figura 1Espectro de líneas del hidrógeno.Se

rie

de B

alm

er

H (azul verdoso) H (rojo)

4.500 5.000 5.500 6.000 6.500

núcleo

n = 1

n = 2

n = 3

fotónemitido

fotónincidente

h 31ν

h 12ν

Figura 2El dibujo de Bohr.

se mueva. Mientras se halla en una órbita, el electrón no emite; se halla en un estadoestacionario.” Cabe suponer que los físicos de su auditorio fruncieron las cejas. Luegocontinuó: “Cada vez que el electrón pasa desde una órbita más externa a otra más in-terna, emite la diferencia de energía entre ambas en forma de un cuanto de luz, un fo-tón. Es un salto cuántico”. Tal vez algún miembro del auditorio haya dicho: “¡Oh... no!”.Pero Bohr agregó: “El efecto inverso también es posible; un fotón de radiación externapuede golpear al electrón y causarle un salto cuántico desde una órbita (o estado) demenor energía a otra de energía mayor”. (¿Habrá habido algún desmayado en el audito-rio?) “Y si la energía del fotón es suficiente, puede hacer saltar al electrón fuera del áto-mo, como se observa en el efecto fotoeléctrico.” (Alguien se levantó y salió.)

La audacia de De Broglie

Después de la tesis de De Broglie, muchos doctores en física deben haber desesperadodel modesto alcance de la tesis propia. Ésta fue su idea en 1924: “Puesto que la luz secomporta como una onda que integra el espectro electromagnético, pero TAMBIÉN secomporta como esa partícula –el fotón–, que es capaz de golpear a los electrones hastaarrancarlos de sus átomos, ¿no sería posible que sucediera lo contrario..., que las partí-culas se comportaran TAMBIÉN como ondas?”.

Luis de Broglie propuso cuál debería ser el “traje de onda” que usaría la partícula, carac-terizándolo por la longitud de onda correspondiente λ (en metros), que cumple la relación:

λ = h/p

donde h es la constante de Planck y p es el impulso de la partícula, que se obtiene mul-tiplicando su masa por la velocidad que la anima. No hay ninguna consideración agrega-da, de modo que la expresión vale tanto para un electrón, como para una pelota de fút-bol. Si la pelota de fútbol tiene 0,330 kg de masa y se mueve a la velocidad de 10 m/s,la longitud de onda que le corresponde es del orden de 10-34 m. Para un electrón a lamisma velocidad, la longitud de onda λ es del orden de 10-4 metro.

A nadie se le ocurriría hacer una experiencia para estudiar cómo se propagan la ondas depelotas de fútbol. En cambio, se puede emplear un haz de electrones para proyectarlo co-mo si fuese la luz de una linterna y ver si se comporta como las ondas luminosas.

Resultados insólitos

Una figura vale por mil palabras. La figura 3 muestra los resultadosde dos experimentos cuyas conclusiones siguen a continuación.

La prueba más contundente de que la radiación electromagnética(que incluye la luz visible) es una onda, está dada por la difracción,que permite obtener figuras de interferencia como la fotografiadaen la figura 3 (izquierda). Si los electrones también pueden produ-cir esa figura de difracción, como en la figura 3 (derecha), es por-que se están comportando como ondas. El señor De Broglie habíatenido una intuición genial.

A Bohr le pareció inmediato vincular sus órbitas estacionarias conondas estacionarias. Solamente era necesario especificar que encada órbita entrara una cantidad entera de longitudes de onda, pa-ra poder empalmar la cola de una onda con su cabeza. En la órbi-ta de radio mayor deberían entrar más longitudes de onda (siempre

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luz

Figura 3Difracción por dos ranuras.

En la figura debida a la luz (izq.) cada grano del negativo fue producido por un solo fotón. Imagen obtenida por el Physical Science Study Committee.En la difracción debida a los electrones (der.) cada granodel negativo fue producido por un solo electrón.Imagen obtenida por el profesor G. Mollenstedt en laUniversidad de Turingia (Alemania).

electrones

en número exacto). Y esos números deberían coincidir con los “n” de su modelo (figura2), de modo que el nuevo dibujo podría ser el mostrado en la figura 5.

Complicaciones

Las cuestiones atómicas que no se entendían (e. g. efecto fotoeléctrico, espectros deemisión de líneas de átomos simples, como el hidrógeno) parecían aclaradas con ayudade los conceptos de cuantificación de la energía y dualidad onda-partícula. Sin embargo,los espectroscopistas (los que estudiaban los espectros de emisión) continuaron descu-briendo nuevas líneas en sus placas fotográficas, además de otras peculiaridades, espe-cialmente cuando los átomos emisores se hallaban sometidos a un campo magnéticoaplicado. Entonces fueron propuestos otros números cuánticos, además del “n”, que die-ron cuenta del impulso angular del electrón en su órbita (número cuántico “l”), de la incli-nación del plano de la órbita (número cuántico “m”) y, finalmente, hasta se propuso unnúmero cuántico denominado spin, relacionado con una supuesta rotación del electrónsobre sí mismo (número cuántico s). Con estos cuatro números cuánticos (n, l, m y s) sepudo dar cuenta de las energías correspondientes a las transiciones que podía efectuarun electrón en órbita alrededor del núcleo de un átomo. En otras palabras, esa cuantifi-cación permitió calcular los niveles de energía posibles de un electrón vinculado a un nú-cleo. Además, se logró entender la armadura teórica de la tabla periódica de los elemen-tos tal como se la estudia actualmente, con la caracterización de los electrones que vancompletando las capas alrededor de los núcleos a medida que éstos van incorporandomás nucleones: desde el hidrógeno (1 protón) hasta elementos más pesados como eluranio (92 protones). Un complemento teórico indispensable fue el principio de exclusión(propuesto por Pauli), según el cual los electrones se van ubicando alrededor del núcleoatómico en orden creciente de energía, desde la capa con n = 1 en adelante, con la res-tricción de que en cada capa no pueden coexistir dos electrones con el mismo conjuntode números cuánticos n, l, m y s. Estas reglas pueden ser halladas en cualquier texto se-cundario de física o de química.

Sin embargo, no se había logrado entender cabalmente el significado de esa onda en queparecía transformarse el electrón cuando se lo invitaba a pasar por ranuras dispuestasadecuadamente (figura 4). De Broglie hablaba de una “onda piloto” que guiaba a la par-tícula, pero los físicos no se ponían de acuerdo.

ATREVERSE CON LA MECÁNICA CUÁNTICA378

A

B

haz de electrones

dobleranura

intensidad

La curva de intensidad representa el perfil del registro:las crestas son las bandas brillantes y los valles, las oscuras.

Figura 4Dispositivo experimental para obtener las fotografías de la figura 3.

dos ondas

tres ondasFigura 5 Ondas de Bohr / De Broglie.

una onda

Los desarrollos teóricos posteriores estuvieron a cargo de grandes físicos y matemáticos,por cuyas contribuciones a la mecánica cuántica merecieron el Premio Nobel. Ellos fue-ron Werner Heisenberg, Max Born, Erwin Schrödinger y Paul Dirac. Sólo cabe aquí mencio-nar algunos de sus hallazgos.

Heisenberg no estaba de acuerdo con la consideración de un átomo invisible, con elec-trones que tampoco se pueden ver dentro de él, ya fueran partículas u ondas. Si el elec-trón efectuaba una transición desde un estado de energía a otro, sólo se podía tener in-formación sobre los estados inicial y final por la frecuencia del fotón de la radiación ab-sorbida o emitida. Por ejemplo, una transición del nivel de energía 2 al 1, se caracteriza-ba por la frecuencia que llamó n21. De este modo, concibió tablas con arreglos numéri-cos en filas y columnas de números nij, donde i = 1, 2, 3, ... indicaba la fila y j = 1, 2,3,... indicaba la columna (los elementos con i = j, como n22, n33, etc. se hallaban en ladiagonal del arreglo). Otros arreglos similares podían hacerse con magnitudes como laposición qij o el impulso pij. Born se dio cuenta de que esos arreglos constituían entesmatemáticos conocidos, denominados matrices, los cuales tienen una propiedad muy in-teresante: su producto no es conmutativo. Es decir que si A y B son matrices, su produc-to A . B es distinto de B . A y por lo tanto A . B – B . A ≠ 0.

Born y su alumno Jordan hallaron que algunos pares de variables empleadas (que deno-minaron conjugadas) daban un resultado muy particular:

p.q – q.p = h/(2πi), donde i es la raíz cuadrada de (–1). (4)

Aquí p y q representan, respectivamente, matrices de variables cuánticas equivalentes alimpulso y a la posición en el mundo cuántico.

“Ay... cómo es cruel la incertidumbre...” Pero la Incertidumbre es un Principio

Estacado entre las matrices, Heisenberg llegó a otra conclusión que todavía mantiene envilo a físicos, matemáticos y filósofos. Las variables conjugadas, además de cumplir conla regla de conmutación que se acaba de ver, exhiben una propiedad muy singular: anteincrementos “∆” de sus valores, el producto de dichos incrementos resulta acotado porla expresión:

∆p . ∆q > h

Para aclarar el significado de ∆, podemos aplicarlo a la fluctuación del valor del dólar di-ciendo que la divisa experimenta una variación ∆ (positiva o negativa) casi diaria. Otro tan-to sucede con el valor de las acciones en la Bolsa.

Esta característica de las variables conjugadas ha sido denominada “principio de incerti-dumbre” y establece que esas dos propiedades de una partícula no pueden conocerse si-multáneamente con exactitud. Cuando se conoce exactamente el impulso de una partícu-la (o sea el producto de su masa por su velocidad), su ubicación resulta ser completa-mente incierta. Y a su vez, cuando se conoce exactamente la ubicación, el impulso nopuede ser determinado. La limitación se explica por el análisis de qué significa la medi-ción de esas propiedades.

Supóngase un electrón en movimiento. Para ubicarlo (conocimiento de la posición q) esnecesario iluminarlo para verlo. Para eso, la luz incidente debe tener una longitud de on-da igual o menor que el supuesto tamaño del electrón, digamos del orden de 10-10 m (1Angström), que es más o menos el diámetro atómico típico. Esa longitud de onda estádentro de la gama de los Rayos-X del espectro electromagnético; los fotones correspon-dientes tienen energía suficiente como para apartar de su camino al electrón que gol-pean. Y en el instante que sigue ya no se puede saber dónde se halla ese electrón.

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(4) h = constante de Planck; el 2πaparece por estar vinculado con órbitas circulares, y el “i”aparece por la expresión de unaonda en forma de exponencialcompleja.

“Medir es perturbar”, repetía en sus clases el Dr. Balseiro. Y con el párrafo siguiente dabaun paso hacia la filosofía: “El sistema no está constituido solamente por los entes cuánti-cos, sino que lo integran las partículas, los instrumentos y hasta el mismo observador”.

Con una pelota de fútbol la situación es completamente distinta porque los fotones deluz que deben alcanzarla para hacerla visible no tienen energía para moverla. La pertur-bación existe, pero es despreciable. Como todos sabemos muy bien, desde el punto devista práctico se pueden conocer exactamente tanto el impulso cuanto la ubicación dela pelota.

Conviene remarcar que el principio de incertidumbre no tiende a encubrir posibles erroreso desprolijidades de la medición en el dominio de la mecánica cuántica (i.e. dimensionesatómicas). Es una limitación impuesta por la naturaleza de la combinación entre el obje-to a medir, el instrumento de medición y el observador. Esta situación se pondrá en evi-dencia nuevamente, al considerar la difracción por dos ranuras.

Navegando en las Ondas ΨΨ

El Dr. Schrödinger leyó un comentario de Einstein sobre la idea de las ondas de De Bro-glie, en el cual decía: “Creo que representa más que una mera analogía”. Einstein era taninfluyente entonces (1925), que eso fue suficiente para que Schrödinger se decidiera ainvestigar qué significaba tomar literalmente la idea de De Broglie sobre la dualidad par-tícula-onda.

Al salto cuántico de un electrón orbital de un nivel de energía a otro menor, por ejemplode n = 2 a n = 1, le corresponde la emisión de radiación electromagnética caracterizadapor la frecuencia n21, según se ha visto. Eso debía corresponder —pensó Schrödinger—a una vibración del electrón dentro del átomo, una vibración que debía ser más complica-da que la supuesta por De Broglie (figura 5). Pensó en las ondas sonoras como las pro-ducidas por aros vibrantes (¿las órbitas?) o en aquéllas más complicadas de una placa;o, todavía, en las vibraciones tridimensionales de las ondas sonoras en el aire que llenauna esfera metálica rígida.

En el caso de una cuerda vibrante hay nodos en esos puntos donde la cuerda está ancla-da; en el caso de la esfera hay nodos sobre las paredes internas, donde el aire no pue-de vibrar. Y además, según los tonos excitados, hay otros nodos en distintas partes dela cuerda (caso unidimensional) o del interior de la esfera (caso tridimensional). La exis-tencia de esos nodos caracteriza los denominados “modos de vibración”, que Schrödin-ger vinculó con los números cuánticos. En resumen, él desdibujó el modelo de Bohr yreemplazó al electrón orbital por una onda electrónica cuyo límite era el átomo; su trata-miento matemático siguió líneas que había trazado Helmholtz para la esfera rígida con ai-re vibrando adentro. Schrödinger caracterizó a la onda electrónica que figuraba como in-cógnita en su ecuación de movimiento (ecuación de Schrödinger desde entonces) con elsímbolo Ψ.

La leyenda de “Tridente”

En el Instituto Balseiro, a fines de la década de 1950, solía aparecer semanalmente enla cartelera de estudiantes una página con pensamientos breves, ya jocosos, ya serios—siempre inteligentes—, firmados con el símbolo Ψ, que fue inmediatamente caracteri-zada como “La Página de Ψ”. Profesores y estudiantes aguardaban ansiosos la novedadeditorial, siempre intrigados por el autor y la oportunidad en que él pinchaba el papelitoen la cartelera. Nunca se llegó a sorprenderlo, aunque se tuvo una fundada sospechaque no pudo ser confirmada. Quienes no habían cursado todavía la materia Mecánica

ATREVERSE CON LA MECÁNICA CUÁNTICA380

Cuántica llamaron “Tridente” al fantasma, por la similitud entre la letra griega empleaday el cetro de Neptuno. Entre los sobrevivientes de aquel cenáculo todavía se piensa queTridente era una mujer.

Volviendo a la física, resulta sorprendente que la cómoda ecuación de onda diera los mis-mos resultados que la ecuación matricial de Heisenberg, pero se pudo probar que ambosmétodos de cálculo conducen a los mismos niveles de energía permitidos para el elec-trón, ya sea cuando está retenido por la atracción del núcleo o encerrado en cualquier ti-po de “caja” de tamaño atómico (el electrón libre no tiene niveles cuánticos de energía).

Es importante notar que cualquier partícula subatómica (e. g. el protón) se puede tra-tar de la misma manera que el electrón, pero se ha hecho referencia sólo a éste porrazones didácticas.

Así como los académicos de Bariloche no lograban desenmascarar a Tridente, también lacomunidad mundial de los físicos ha tenido dificultades para hallar el sentido de la fun-ción de onda Ψ. ¿Qué era lo que vibraba dentro del átomo?

“En la física nuclear fracasa la idea de las trayectoriascomo líneas matemáticas —dice George Gamow—; sehace necesario otro procedimiento para describir el mo-vimiento de las partículas materiales, y es aquí cuandolas funciones Ψ vienen en nuestra ayuda”. Y en otro pá-rrafo de su obra (Treinta años que conmovieron la Físi-ca) explica: “Ellas no poseen ninguna realidad física, noposeen masa. Tal como se las entiende en la mecáni-ca cuántica, ellas guían el movimiento de las partículasen el mismo sentido como se considera en la mecáni-ca clásica que las líneas de trayectoria guían ese movi-miento”. Gamow hace la comparación con el movimien-to de los planetas, en el cual las órbitas no son rielespor donde circulan la Tierra, Venus o Marte. Aunquecontinuas, las funciones de onda no constituyen ningúncampo ni sistema de fuerzas con influencia sobre lamarcha de los electrones. Max Born fue quien enuncióel sentido de la función de onda, expresando que elcuadrado de su valor absoluto representa “la probabili-dad de que la partícula se encuentre en uno u otro lu-gar del espacio y de que se mueva con esta velocidado con tal otra”.

Considerando solamente lo que sucede en una dimen-sión, se tiene:

[Ψ(x)]2 = probabilidad de hallar la partícula en el puntode coordenada x.

Para interpretar el experimento de difracción e interfe-rencia de electrones a través de dos ranuras empleandola función de onda del electrón, es conveniente reexami-nar el experimento ilustrado en la figura 4 y hacer lacomparación entre los resultados de la mecánica clási-ca (figura 6) y los de la mecánica ondulatoria (figura 7).

En los esquemas 6 y 7 anteriores se ha colocado a laizquierda un diafragma con dos ranuras horizontales, A

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A

B

haz deelectrones

pantalla

sólo ranura A abierta

sólo ranura B abierta

ambas ranuras abiertas

Si los electrones fuesen como proyectiles disparados por una ametralladora floja sobre su base, las distribuciones de impactos serían las mostradas, según que estuviesen abiertas solamente la ranura A, o solamente la B, o ambas a la vez.

Figura 6Distribución de intensidades según la física clásica.

A

B

haz deelectrones

pantalla

Ambas ranuras abiertas.Resultado observado

Ambas ranuras abiertas.Resultado clásico

Con ambas ranuras abiertas se obsevan las franjas de interferencia. En este caso las crestas de la curva representan intensidades de las bandas brillantes; los valles representan las zonas oscuras interpuestasentre las bandas brillantes. Las ranuras son horizontales. Las bandas también.

Figura 7Difracción por dos ranuras. Casos clásico y cuántico comparados.

y B (de las cuales se ha representado el corte). A la derecha, se reproduce también encorte un elemento de registro, que puede ser una película fotográfica o una pantalla fos-forescente. Las curvas que acompañan a esos cortes representan en cada caso la impre-sión del negativo o la intensidad de luz registrada sobre la pantalla fosforescente. Al igualque las ranuras, son horizontales las bandas que aparecen en las pantallas. Las curvasdescriben entonces la intensidad de dichas bandas según una línea imaginaria que lascruza verticalmente.

Como se dijo antes, en el caso de las ondas luminosas aparece el fenómeno de difrac-ción con interferencia, que resultó muy sorprendente cuando también se lo obtuvo con unhaz de electrones.

Una vez que Schrödinger contribuyó con la mecánica ondulatoria para explicar la dualidadonda-corpúsculo propuesta por De Broglie, llegó el momento de hallarle explicación a ladifracción en términos de la famosa Ψ, que tan bien había respondido para explicar lacuantificación de los niveles de energía del electrón orbital del átomo.

La idea central es la siguiente: las funciones de onda Ψ de todos los electrones del hazson iguales (todos ellos tienen la misma velocidad). Con la ranura B cerrada, cada elec-trón que pase por la ranura A incidirá sobre la pantalla para contribuir a formar la bandamostrada en la figura 6 para “sólo ranura A abierta”.

No importa que los primeros cinco electrones caigan lejos del centro de la curva. Es se-guro que cuando miles y miles de ellos hayan impresionado la pantalla, la curva de in-tensidad mostrará que la mayoría fue a parar al centro de la banda, mientras que cadavez menos incidieron en los bordes. Vistos como ondas, a cada electrón le correspondeuna ΨA que da lugar a una probabilidad PA. La curva correspondiente a “sólo A abierta”representa, aproximadamente, esa probabilidad. En otras palabras, es más probable laincidencia de electrones en el centro de la banda, donde la pantalla muestra la mayorintensidad. Conviene repetir que se trata de un resultado estadístico. Nadie puede pre-decir dónde incidirán los primeros electrones empleados en el experimento, ni tampocolos últimos. Sólo se puede asegurar que cuando un número suficiente de partículas ha-ya pasado por la ranura A, su distribución sobre la pantalla tendrá el perfil de intensidadmostrado por la curva correspondiente, que es una curva probabilística.

Cuando solamente esté abierta la ranura B, el resultado será el mismo, con el adecuadocambio de B en el lugar de A.

Pero cuando las dos ranuras se hallan abiertas, aunque pasen primero cinco electronespor A, luego uno por B, luego otros tres por B, luego uno por A, etc., la combinación de lasprobabilidades PA y PB no es esa suma directa mostrada para “ambas ranuras abiertas”en la figura 6 y en “resultado clásico”, figura 7. En efecto, ahora aparece, además, un tér-mino de interacción entre ambas funciones de onda y se obtienen sobre la pantalla variasbandas brillantes cuyas intensidades fotográficas se ven en la figura 3 (derecha) y se ha-llan graficadas en la figura 4 y en la figura 7, en esta última como “resultado observado”.

A cualquiera pueden ocurrírsele preguntas comprometedoras como las siguientes: ¿quépasa cuando ambas ranuras están abiertas y los electrones del haz vienen de uno enuno? ¿Por dónde pasará el primero? ¿Y el segundo? Si el primero pasó por A, ¿qué ha-rá el segundo? ¿Irá por B?

Con ambas ranuras abiertas todo sucede como si una vez franqueado el diafragma, lasondas Ψ (que para todos los electrones de ese experimento son funciones iguales) secombinaran para dar una función de probabilidad PAB representada gráficamente por lacurva del “resultado observado” de la figura 7. La misma curva sirve para interpretar laexistencia de las bandas de la figura 3, derecha.

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Cada electrón que se acerca al sistema de ranuras parece saber si está abierta sola-mente la A (en cuyo caso contribuirá a la curva “sólo A” de la figura 6), o la solamentela ranura B (en cuyo caso contribuirá a la curva “sólo B”); o si están abiertas ambas ra-nuras (en cuyo caso contribuirá a la curva de interferencia del “resultado observado” dela figura 7). ¡Hasta se podría pensar que el electrón, cuando están abiertas ambas ra-nuras, pasa un poco por cada una!

Y ahora... ¡el gato!

El mismo Schrödinger se resistía a darle algún sentido a esa probabilidad calculada a par-tir de la función de onda Ψ, concepto que había sido elaborado por Max Born. Es proce-dente aclarar que debido al caluroso apoyo dado por Niels Bohr a esta idea, se llegó apensar que era debida a él, hasta el punto de haberse difundido como “la interpretaciónde Copenhague”, ciudad del Instituto de Bohr.

El caso es que para probar que esa interpretación podía llevar a conclusiones sin senti-do, Schrödinger propuso la famosa paradoja del gato, ilustrada en la figura 8.

En una caja con mirilla está encerrado un gato. Hay también una muestra radiactiva queefectúa por lo menos una desintegración cada hora, con emisión de una partícula, diga-mos un electrón. Hay también un contador Geiger asociado. Cuando el contador registreesa desintegración, accionará un mecanismo que romperá un frasco con cianuro y el ga-to morirá envenenado. La desintegración nuclear es de naturaleza aleatoria y su probabi-lidad de ocurrencia es la misma en cada instante. De modo que la emisión del electrónpuede acontecer en el primer minuto de la hora establecida para el experimento, o a los25 minutos y medio, o en la última décima de segundo de esa misma hora.

Dentro del lapso de la prueba, por ejemplo a los 30 minutos, ¿el gato estará vivo o muer-to? De acuerdo con las condiciones establecidas precedentemente, puede estar vivo opuede estar muerto. Esto lo verificará un observador cuando destape la mirilla y vea quéha sucedido.

Según John Gribbin (En busca del Gato de Schrödinger), se puede decir que no hay formade conocer el resultado hasta que se observe por la mirilla. Ya se dijo que la desintegra-

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Figura 8El gato de Schrödinger... no se sabe si está vivo o muerto.

ción radiactiva es un fenómeno aleatorio y es impredecible, excepto en sentido estadísti-co; vale decir que la probabilidad del suceso surge de los resultados obtenidos en nume-rosos experimentos análogos. De acuerdo con la interpretación de Copenhague, en el ex-perimento de las dos ranuras existe la misma probabilidad de que el electrón pase por Ao por B, y ambas probabilidades solapadas dan el valor PAB, que representa una super-posición de estados, cada uno con su respectiva probabilidad PA o PB. En el experimen-to del gato se tienen las dos funciones de onda, que permiten calcular las respectivasprobabilidades: una para la no desintegración y otra para la desintegración. La superpo-sición de estados posibles (del electrón en el átomo no desintegrado y del electrón en elátomo desintegrado) es real hasta el momento de la observación; y ella estaría descrip-ta por una superposición de las funciones de onda correspondientes (tales como “no” y“sí”, que podría ser llamada “ni”).

Solamente cuando se observa, la función de onda compuesta colapsa en la correspon-diente a uno de los dos estados.

Mientras no se observe por la mirilla, “habrá una muestra radiactiva que se ha desinte-grado y no se ha desintegrado, un vaso con veneno que no está ni roto ni entero, y un ga-to que está muerto y vivo, y ni vivo ni muerto”.

En esta paradoja del gato, la superposición de estados es real hasta que se observa. Enel experimento de la doble rendija, que un electrón haya pasado por una ranura o por laotra, que no esté ni aquí ni allá, que esté un poco en cada lugar, son lucubraciones quese pueden poner bajo el paraguas de lo probable, mientras se saborea una taza de técontemplando una fotografía tan concluyente como la de la figura 3. Pero imaginar al ga-to en esta forma de muerte indefinida es tan inadmisible que todavía la discusión no hacesado. Puede ser que el problema radique en que dentro de la hora, para cierto instan-te no observado... el gato no esté ni vivo ni muerto, sino... ¡50% vivo y 50% muerto! Demodo que es difícil reconciliar un suceso cuántico como una desintegración, que puedeser detectada por un instrumento (contador Geiger), con la interpretación probabilísticade Copenhague.

Salto al vacío (el gato siempre cae parado...)

En la década de los años 1950, Hugh Everitt desarrolló una tesis muy original donde pro-puso que las funciones de onda Ψ no se colapsan en el momento de la observación co-mo lo había anticipado la “interpretación de Copenhague”. Según él, al observar qué pa-sa con el electrón cuando se aproxima a las dos ranuras, uno de sus estados posibles–descriptos respectivamente por ΨA y ΨB – colapsa y sólo se registra el pasaje por la ra-nura A (descripto por ΨA) o por la ranura B (estado descripto por ΨB). Everitt sostieneque ambas posibilidades son reales y que en lugar de colapsar en una sola, se separanen el momento de la observación.

Por ejemplo, si se observa el pasaje por la ranura A, la función de onda ΨB no se es-fuma sino que describe el suceso del pasaje por B en otro mundo, en otro universoposible.

En el caso del gato, si el observador lo viera muerto al abrir la mirilla, el “otro gato” (co-rrespondiente al otro estado) pasaría a estar vivo en otro universo. Esto no significa queen ese otro mundo posible el gato pueda ser extravagante y tener cinco patas o desa-rrollar alas. No es que todo lo imaginable pueda ocurrir. Según Everitt, sólo aquello quees posible ocurre en alguna versión de la realidad, en algún lugar del superespacio quese identifica con otro universo ¡Hasta dónde puede conducir la difracción de un haz deelectrones por dos ranuras, un experimento reproducible en cualquier laboratorio de físi-ca modesto!

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Aunque según Richard Feynmann “el experimento de la doble ranura contiene el únicomisterio”, todavía no es posible permitir que el lector retorne a su cordura habitual.

La otra pieza de resistencia de la mecánica cuántica, el principio de incertidumbre, fueformulado unas página atrás para la coordenada espacial “x”, pero la extensión a lasotras dos (y, z) es inmediata.

Dado que Einstein había propuesto en su teoría de la relatividad que el tiempo funcionacomo una cuarta coordenada (que en realidad es el producto c.t, donde c es la velocidadde la luz), fue posible plantear una cuarta relación de incertidumbre:

∆∆E . ∆∆t > h

En el Congreso Solvay de Física de 1930, Einstein debatió con Bohr porque no aceptabala validez de esa relación; sus argumentos no se impusieron y el prestigioso Herr Albertse fue de este mundo refunfuñando por aquel incidente.

La incertidumbre entre la energía y el tiempo da para lucubraciones teóricas que quitanel sueño. Aun en el espacio vacío se puede “pedir prestada” a la nada una cantidad deenergía ∆E, siempre que sea por un tiempo ∆t tal que el producto de ambos incrementosse mantenga por debajo de los 6,6 . 10-34 [Joule.seg], valor de la constante h de Planck.Debido a que E = m.c2, la energía y la masa son interconvertibles y entonces resulta fac-tible que alrededor de cada quien bailoteen por tiempos brevísimos infinidad de partícu-las de masa “m”, plasmadas desde esos ∆E de energía, las cuales aparecen y desapa-recen fugazmente como los guiños de las luciérnagas nocturnas...

Es una verdadera injusticia no haber mencionado la contribución de Paul Dirac a la mecáni-ca cuántica (o mecánica ondulatoria según otros textos). Pero tratándose de trabajos teóri-cos relacionados con el álgebra cuántica, la electrodinámica cuántica y otras cuestiones nomenos abstractas, una mezcla de piedad y buen juicio aconseja detenerse en este punto.

Para aprobar el examen. Resumen S.D. (sin demostraciones)

La Mecánica Cuántica nació con ese nombre a partir de los trabajos de Planck; despuésde los trabajos de Bohr, de De Broglie y de Schrödinger, se publicaron muchos textos conel título de Mecánica Ondulatoria. Actualmente, los títulos de los libros más destacadoshan vuelto a la denominación Mecánica Cuántica (M.C.).

Este artículo ha sido enfocado sobre los siguientes conceptos:

■ La M.C. es aplicable a cualquier partícula de tamaño comparable con el diámetro ató-mico, que es del orden de 1 Angström (10-10 m). En el texto se ha hecho referenciasolamente al electrón por un motivo didáctico.

■ Toda vez que el electrón esté confinado en un espacio de dimensión atómica, solamen-te dispone de niveles discretos de energía para ubicarse. Cualquier cambio de ener-gía acontece por un salto cuántico, ya sea desde un nivel más alto a otro menor (conemisión de un cuanto de radiación de valor E = h . ν), o desde un nivel inferior de ener-gía a otro superior (con absorción de un cuanto de radiación).

■ A cualquier partícula, atómica o macroscópica, animada de un impulso p = m.v, se lepuede asociar una longitud de onda λ = h/p. Las partículas atómicas (como los elec-trones) se mueven con velocidades que son fraccciones de la de la luz; a un tercio deesa velocidad la longitud de onda del electrón llega a ser del orden de 10-1 Angström.Una longitud de onda típica de la luz visible es de 5.000 Angström.

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■ Los electrones, a su paso por orificios o ranuras de dimensión comparable con su lon-gitud de onda, se comportan como ondas o como partículas, según el instrumental em-pleado para efectuar la observación. El comportamiento ondulatorio produce fenóme-nos de interferencia como los de la radiación electromagnética (e. g. luz). En el efectofotoeléctrico, los electrones emitidos se comportan esencialmente como partículas.

■ A cada partícula se le puede asociar una función de onda Ψ cuya característica prin-cipal es que el cuadrado de su módulo representa la probabilidad de hallar a la partí-cula en un espacio dado. Mediante una ecuación característica (ecuación de Schrödin-ger), las funciones de onda pueden ser calculadas “como por receta” y los resultadospermiten hallar los niveles de energía permitidos de las partículas confinadas. Las par-tículas libres no tienen niveles discretos de energía.

■ Hay variables cuánticas que, tomadas de a pares (e. g. coordenada e impulso o ener-gía y tiempo) cumplen con una relación de incertidumbre descubierta por Heisenberg.Esa relación implica que no pueden conocerse exactamente, al mismo tiempo, los va-lores de ambas variables. El aumento de la precisión en la medición de una de ellas,“borronea” el valor de la otra, sin que esto esté relacionado de ningún modo con al-gún error en la medición. La medición altera el estado del sistema observado. Medires perturbar.

NOTA: Cualquier contribución sobre la paradoja del gato de Schrödinger o sobre los uni-versos múltiples de Everitt será agradecida por el autor del artículo, en el hiperespacioamilcar29@ciudad.com.ar ■

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■ Para contribuir al conocimiento del lectorno especializado, se citan sólo algunasobras que poseen capítulos enteros conexplicaciones adicionales y escaso conte-nido de fórmulas.El listado ha sido hecho en el orden esti-mado de complejidad creciente.

■ J. P. McEvoy y Oscar Zárate: Teoría Cuánti-ca para Principiantes, Ed. Era Naciente(1996).Obra recomendada especialmente.

■ John Gribbin: En busca del Gato de Schrö-dinger, Bibl. Científica Salvat (1986).

■ George Gamow: Treinta años que conmo-vieron la Física, Ed. Eudeba, 2ª Ed.(1974)

■ Paul Davies: Otros Mundos, Bibl. CientíficaSalvat (1986)

■ Paul Davies: Dios y la Nueva Física, id. ant.

■ George Gamow: Physics. Foundations andFrontiers,Prentice-Hall. (1969)Se recomiendan los Caps. 21 y 22.

■ Max Born: Atomic Physics, Blackie & Sons,7th Ed. (1960)Se recomienda el Cap. IV(pocas fórmulas).

■ David Bohm: Quantum Theory, Prentice-Hall (1959)Se recomienda el Cap. 8(lectura laboriosa).

■ W. Heitler: Elementos de Mecánica Ondu-latoria, Ed. Alhambra (1953).Se recomienda el Capítulo Primero (algunas fórmulas).

■ A. J. Funes: Tocando Fondo: Hacia el Lími-te de la Pequeñez, Boletín del Centro Na-val, Vol 112, No. 774 (abril - junio 1994).Enuncia problemas cuánticos en microdispositivos.Nota: en la página 296, 5º párrafo, las 3últimas líneas deben decir: “...efectocuántico denominado efecto túnel, que sedescribe como el pasaje de una partículaa través de una barrera de energía másalta que la que posee dicha partícula”.

Bibliografía