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Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH. 5 - 1
Elasticidad
5.1 Bases Atómicas del Comportamiento Elástico
5.1.1 Energía y Fuerza de Enlace
La Energía Potencial V de un par de átomos puede expresarse como una función de la
distancia de separación entre ellos, r:
mn r
B
r
AV
A, B son constantes de proporcionalidad para atracción y repulsión.
m, n son exponentes que determinan la variación apropiada de V con r.
La fuerza de atracción y repulsión que existe entre dos átomos se obtiene de
r
VF
Por tanto: 11
mn r
mB
r
nAF
Redefiniendo constantes:
MN r
b
r
aF
MmNn
bmBanA
11
FuerzaEnergía Potencial
Repulsión
Atracción
r0
distancia
interatómica
mr
BV
n
mn
r
AV
r
B
r
AV
Repulsión
Atracción
Mínimo
r0
distancia
interatómica
Mr
bF
MN r
b
r
aF
Figura 1. Diagramas de energía potencial y fuerza de interacción frente a la distancia interatómica.
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La separación de equilibrio entre dos átomos r0, está dada por el valor de r que
corresponde al mínimo de energía potencial.
La fuerza neta es cero para r = r0 y un desplazamiento en cualquier dirección provocará
la acción de fuerzas que restauran el equilibrio.
Por lo tanto los átomos en una red cristalina tienden a estar arreglados en un patrón
definido, con respecto a sus vecinos.
Las deformaciones macroscópicas elásticas son el resultado de un cambio en el
espaciado interatómico.
Por lo tanto, las deformaciones se pueden expresar como:
0
0
r
rr
00
2
2
rrrr r
VE
r
F
Figura 2. Diagrama de fuerza frente a distancia interatómica.
Ind. Recordar que EykrF
Fuerza
rr0
MN r
b
r
aF
Nr
aF
dr
dF
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Figura 3. Diagramas de energía potencial y fuerza de interacción frente a la distancia interatómica.
Observaciones.
De los análisis anteriores se desprende que:
a) F es cero a la distancia de separación r0
b) Si los átomos son alejados o acercados una distancia 0rr , aparece una fuerza que
se opone a este cambio en la distancia.
c) La fuerza es aproximadamente proporcional a r - r0 si r - r0 es pequeño, tanto en
tensión como en compresión.
d) La rigidez (stiffness) del enlace es
2
2
r
V
r
FS
e) Cuando la perturbación es pequeña, S es constante e igual a
V
r
F
r
Repulsión
Atracción
r0
0
r
V
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0
2
2
0
rrr
VS
De esto se deduce que el enlace se comporta de manera elástica – lineal.
Esto significa que la fuerza entre pares de átomos, separados una distancia r es
00 rrSF
F F
r0
r
Figura 4. Esquema de las fuerzas de interacción entre dos átomos.
Dado un sólido con un número muy grande de pares de átomos por plano la fuerza por
unidad de área será: 00 rrNS
N: Nº de enlaces/área = 2
0
1
r
2
0r : área promedio por átomo
Si r-r0 se divide por r0
0
0
r
rrn
0
0
0
0
r
SE
r
Sn
S0 se calcula a partir de 2
2
r
V
La curva de esfuerzo versus deformación en compresión es la extensión de la curva a
tracción.
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Figura 5. Diagrama - para un material en general.
5.1.2 Propiedades que dependen del enlace
a) La fuerza del enlace (temperatura de fusión) es proporcional a la profundidad del
pozo de potencial.
b) El coeficiente de expansión térmica está relacionado con la asimetría de la curva de
energía potencial versus distancia interactiva.
c) El módulo de Young, es inversamente proporcional al radio de curvatura del
mínimo de la curva de energía potencial versus distancia interatómica.
Ejercicio: En los siguiente ejemplos ordenar los materiales por punto de fusión,
coeficiente de dilatación lineal y módulo de Young.
Zona
Elástica
Zona
Elástica
V V
r r
r
V V
r
Figura 6. Diversos casos de curva de
energía potencial versus difracción
interatómica.
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Tabla 1. Propiedades de diversos materiales.
Elemento Coeficiente de
dilatación lineal
(1/° C)
Temperatura de
fusión(°C)
Módulo de Young
(GPa)
Pb 29,3X10-6 327,4 14
Zn 39,7X10-6 419,5 43
Mg 26,1X10-6 650 41
Al 23,6X10-6 660 69
Ag 19,6X10-6 960,8 76
Cu 16,4X10-6 1083 124
Fe 12,2X10-6 1536,5 196
Cr 6,2X10-6 1875 289
W 4,6X10-6 3410 406
5.2 Introducción a la teoría de la elasticidad
En la teoría elástica existen dos requerimientos:
i) La teoría debe predecir la conducta de los materiales bajo la acción de las fuerzas
aplicadas.
ii) La teoría debe ser simple de tal manera que la matemática pueda ser aplicada en un
amplio rango de problemas para permitir la solución de las ecuaciones planteadas.
Para cada tipo de esfuerzo existe una deformación correspondiente.
La propiedad que le permite a un cuerpo recuperar su forma inicial, al dejar de actuar la
carga, se denomina ELASTICIDAD.
Un cuerpo es perfectamente elástico si recupera completamente su forma inicial.
5.3 Supuestos de la teoría de la elasticidad
En la teoría de la elasticidad se asume que el material es:
i) Perfectamente elástico
ii) Continuo
iii) Homogéneo (las propiedades son las mismas en todos los puntos)
iv) Isotrópico (todas las propiedades son iguales en todas las direcciones alrededor
de un punto dado).
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El material, desde el punto de vista atómico dista mucho de cumplir estas condiciones
Ej. Materiales Anisótropos Laminados Texturas
5.4 Formulación tensorial de la ley de Hooke
La ley de Hooke se puede generalizar como C
Esto debe interpretarse como una consecuencia de la aseveración siguiente: “La
extensión es proporcional a la fuerza”
En notación de subíndice, se puede escribir:
klijklij C
ijklC : Es un tensor de cuarto orden y representa una constante elástica (34 = 81
componentes)
Dado que
i) El tensor esfuerzo es simétrico jiklijkljiij CC
6·3·3 = 54 componentes.
ii) El tensor deformación es simétrico lkkl 36 componentes
iii) Aplicando el teorema de reciprocidad.
klijijkl
ij
kl
kl
ijCC
21 componentes.
Indicación: Un tensor de orden 2 y dimensión n posee n2 elementos. Al ser simétrico
el número de componentes es 2
)1( nn
iv) Planos de simetría.
xy
xz
yz
z
y
x
xy
xz
yz
z
y
x
CC
CC
CCC
6616
2212
161211
....
.
.
.
...
Al existir un plano de simetría xy
C14 = C15 = C24 = C25 = C16 = C56 = 0
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Al existir un plano de simetría yz
C46 = C26 = C34 = C35 = C36 = C45 = 0
Un tercer plano de simetría no agrega nada nuevo por tanto, con dos o tres simetrías, se
tiene
66
55
44
332313
232212
131211
00000
00000
00000
000
000
000
C
C
C
CCC
CCC
CCC
9 Ctes.
Esto quiere decir que para materiales ortótropos (3 planos de simetría), Cijkl se reduce a
nueve constantes.
v) Isotropía: Mismo comportamiento en todas las direcciones
La base del comportamiento isotrópico es que al rotar el sólido, deben preservarse las
propiedades. En la figura 7 se muestran tres giros posibles que pueden imponerse al
sólido.
CASO I: Giro respecto del eje x
Matriz de Transformación
010
100
001
a
I II
III
x xx
yyy
zzz
z'
y'
x'
y' x'
y'
Figura 7. Giros para un material isótropo.
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Nota: Cada elemento de la matriz de transformación corresponde a
jiij xxa ,'cos en que la (’) se usa para denotar el nuevo eje.
por ejemplo 1,'cos11 xxa
0,'cos13 zxa
1,'cos32 yza
zyzxz
yzyxy
xzxyx
ij
yyzxy
yzzxz
xyxzx
T
ijij aa
'
yyzxy
yzzxz
xyxzx
T
ijij aa
'
xy
xz
yz
z
y
x
xy
xz
yz
z
y
x
C
C
C
CCC
CCC
CCC
66
55
44
332313
232212
131211
00000
00000
00000
000
000
000
(1)
xz
xy
yz
y
z
x
xz
xy
yz
y
z
x
C
C
C
CCC
CCC
CCC
66
55
44
332313
232212
131211
00000
00000
00000
000
000
000
(2)
de (1) de (2)
zyxx CCC 131211 (*) yzxx CCC 131211 (**)
de (*) y (**) se tiene C12 = C13
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zyxy CCC 232212 (***) yzxz CCC 232212 (****)
zyxz CCC 332313 yzxy CCC 332313
(***) con 3322 CC
yzyz C 44 yzyz C 44
xzxz C 55 xyxy C 55
xyxy C 66 xzxz C 66
6655 CC
CASO II: Giro respecto del eje z
Matriz de transformación
100
001
010
a
5544
2313
2211
CC
CC
CC
La matriz de coeficientes queda
C
C
C
ABB
BAB
BBA
C
C
C
CCC
CCC
CCC
00000
00000
00000
000
000
000
00000
00000
00000
000
000
000
44
44
44
111212
121112
121211
CASO III. Giro con respecto al eje z en un ángulo cualquiera
cossen
sencosa
yxy
xyx
yxy
xyx
''
''
cossen
sencos
cossen
sencos
2cos2
2sen' xyxyxy
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Además, al aplicar la matriz de coeficientes
zxyy
zyxx
xyxy
BA
BA
C
2cos2
2' xyyxxy C
senBAAB
Además
xyxy C ''
xyxy C ''
pero
2cos2
2' xyxyxy
sen
2cos2
2sen2cos
2
2senxyxyxyyx CCCAB
BAC
Esto significa que al haber una relación entre C, A, y B, el número de constantes
independientes es únicamente dos.
5.5 Constantes de Lamé ,
De acuerdo a lo deducido anteriormente, las dos constantes independientes pueden ser
y , las que se denominan constantes de Lamé. Por lo tanto, se puede definir:
2
2
A
B
C
zyxz
zyxy
zyxx
2
2
2
yzyz
xzxz
xyxy
2
2
2
O bien, escrito en forma indicial:
ijijkkij 2
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5.6 Relación entre los coeficientes elásticos y los valores obtenidos experimentalmente
En tracción, se puede plantear
xz
xy
xx E
en que es el coeficiente de Poisson
A partir de la última ecuación de la sección anterior, se puede plantear que:
ijkkijij
22
1
Si i = j, se tiene kkkkkk
3·
22
1
con lo cual
2312
kk
kk
Por tanto ij
kk
ijij
231222
1
Finalmente :
ijkkijij
3222
1
En el caso de un ensayo de tracción 0 zy
xji
por lo que
32
1
32
32
2
1
3222
1
E
Exxx
xxx
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Lo cual de una relación entre las constantes de Lamé y el módulo de elasticidad
Dado que 0 zy (tracción uniaxial)
xx
xz
xy
322
2
322
322
Así, el módulo de Poisson, se puede plantear como:
)(22
x
y
lo cual entrega una relación entre los constantes de Lamé y el módulo de Poisson.
En un ensayo de cortadura simple, se cumple que:
xyxyxy
xyxyxyxy GG
22
0
ya que ijkkijij
3222
1
entonces xyxyxyxy
xy
xy Gquedadoy
22
2
G
que es la relación entre el módulo de corte y la constante de Lamé
5.7 Relación entre E y v y las constantes de Lamé
A partir de las relaciones anteriores se puede demostrar que
211
E
12
E
12
EG
Esta última ecuación permite demostrar que G<E.
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En notación indicial, se puede escribir:
ijkkijij
ijijkkij
ijijkkij
EE
EE
1
1211
2
Finalmente ij en función de E y
GE
GE
GE
xy
xyyxzz
yz
yzzxyy
xzxzzyxx
1
1
1
Estas son las relaciones de Hooke más aplicadas, conviene recordarlas
5.8 Módulo compresibilidad
El módulo de compresibilidad se define como
Vv
K m
Corresponde al cambio de volumen en un material al aplicársele una carga.
Si 0
0
KV
KV
3
32
32
312
m
mmm K
5.9 Energía de deformación
Sea un sólido que en 0t está sin deformar. Considérese el sólido en dtt
Si u
es el desplazamiento dtt
uu
es el desplazamiento final.
Considerar dW : Incremento de trabajo, dW puede deberse a fuerzas de superficie o
fuerzas de volumen.
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dtuudtt
uu ii
ii
Fd
desplaztrabajo
dtudVxdtudAdW iiiiiju
.
0,
ijij
V
ii
A
ijij
iiijij
u
xdVuxdAudt
dW
udVxudAdt
dW
Teorema de Gauss
dV
x
FdVFdSdF
i
ii
S
V
ijij
V
ijij
V
jiij
ijij
V
jiij
dVdt
dW
dVdVu
dVudVudt
dW
,
,,
Densidad de energía de deformación
ijijijij ddUdt
dU 0
0
mmijij
ijijmijij
ijijmijijij
dd
dd
dddU
92
32
320
22
90
00
0
mijij
t
U
dU
ij
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
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ijijmijij
mijU
2
1
2
9
322
3
2
2
0
ijijU 2
10
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Ejercicios resueltos
1. Se considera un prisma regular cuyo material tiene un módulo de elasticidad
25 /108,2 cmkgE y coeficiente de Poisson v = 0,1. La longitud del lado de la
sección recta es a = 20 cm. En ambas bases del prisma se colocan dos placas
perfectamente lisas y rígidas de peso despreciable, unidas entre sí mediante cuatro
cables de sección 1 cm2 y módulo de elasticidad 26
1 /102 cmkgE de longitudes
iguales a la altura del prisma l = 1 m, simétricamente dispuestos como se indica en la
figura. Sobre las caras laterales opuestas del prisma se aplica una fuerza de
compresión uniforme 2/750 cmkgp .
a) Calcular la tensión en los cables.
El alargamiento en la dirección del eje z provocado por la compresión p sobre las
caras laterales somete a tracción a los cables que, a su vez, por el principio de acción y
reacción, comprime al prisma en la dirección del eje z con una fuerza de valor 14 a .
Las tensiones normales en las caras del prisma son:
a
a
p
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
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pny
nx
0
1
2 4 aa nz y Fprisma = Fcable
2
14
a
anz
(1)
Al ser las placas perfectamente rígidas, son iguales los alargamientos unitarios de
los cables y del prisma en la dirección del eje z.
El alargamiento unitario en los cables es (dirección z)
1E
(2)
Mientras que el correspondiente a la dirección longitudinal del prisma,
reemplazando (1,a,b,c) en (3) queda.
p
a
a
EEnynxnzz
2
1411 (3)
Igualando ambas expresiones (2) = (3)
p
a
a
EEz 4
412
1
Se obtiene la expresión de la tensión en los cables.
11
2
1
2
4 aEEa
Eap
Sustituyendo valores se tiene:
22625
62
5001102420108,2
102207501,0
cm
kg
cm
kg
b) Calcular las tensiones principales en el prisma.
Las direcciones principales en todos los puntos del prisma coinciden con las
direcciones de los ejes del sistema de referencia adoptado. Por lo tanto, los valores de las
tensiones principales son:
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH. 5 - 19
pny
nx
0
11
2
1
4
4
rEEa
Epnz
Sustituyendo valores:
2750
0
cmkgny
nx
22625
6
51102410108,2
11027501,04
cm
kg
cm
kg
Ordenando de mayor a menor, se tiene:
2
3
2
2
1
750
5
0
cmkg
cmkg
c) Calcular la variación de volumen experimentada por el prisma.
La deformación cúbica unitaria es:
3
510157,2
108,2
57502,0121
1
nznynxzyx
Ee
La variación de volumen experimentada por el prisma es:
328,86 cmeVV
2. Dos paralelepípedos A y B de distinto material y de las mismas dimensiones
,cba se colocan a uno y otro lado de una placa rígida y lisa adosados a ella por sus
caras ,ca de tal forma que en sus ejes de simetría perpendiculares a dichas caras sean
coincidentes (ver figura). Ambos paralelepípedos, junto con la placa se introducen en
una ranura de anchura igual a dos veces la longitud de la arista b más el espesor de la
placa. Las paredes de la ranura son planas, rígidas y perfectamente lisas. Los
paralelepípedos A y B se calientan, experimentando incrementos de temperatura T1 y T2
respectivamente. Conociendo los módulos de elasticidad E1 y E2, los coeficientes de
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
5 - 20 Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH
dilatación lineal 1 y 2 y los coeficientes de Poisson 1v y 2v de los bloques A y B
respectivamente, se pide:
a) Las tensiones principales en ambos bloques
b) Las variaciones de longitud de las aristas de los mismos
c) Calcular la variación de volumen de los dos bloques si ambos tienen las dimensiones
cm203020 y cada uno de ellos las siguientes características:
Cuerpo A (acero) Cuerpo B (aluminio)
14 º10117,0 C 14 º10234,0 C
E 26 /102 cmKgf 26 /1069,0 cmKgf
v 0,25 0,23
T 60 50
Ayuda: para resolver el problema se deben utilizar las leyes de Hooke
generalizadas, teniendo en cuenta las dilataciones térmicas, es decir, debe sumar "" T a
las deformaciones principales.
x
y
z
b
aa
b
c cA B
T2
T1
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH. 5 - 21
a) Los incrementos de temperatura producen dilataciones en todas las direcciones. El
alargamiento en las direcciones del eje y está impedido para ambos bloques, lo cual
crea tensiones ny en los mismos.
Ecuaciones a utilizar:
TE
nznynxx 1
TE
nznxnyy 1
TE
nynxnzz 1
G
xy
xy
;
G
xzxz
;
G
yz
yz
Distinguiremos con el superíndice 1 a las componentes de las matrices de tensiones y de
deformación del cuerpo A, y con el superíndice 2 las correspondientes al cuerpo B.
Como la deformación sólo está impedida en la dirección del eje y, tenemos:
01 ny ; 02 ny ; 02121 nznznxnx
0212121 yzyzxzxzxyxy
Además, las figuras imponen las siguientes condiciones
21
nyny
021 yy
De las ecuaciones de Hooke, se deduce:
11
1
1
1 1T
Enyy
22
2
2
2 1T
Enyy
Teniendo en cuenta la relación anterior, se tiene:
021
yy 11
1
1
1T
Eny 22
2
2
1T
Eny
21
nyny 21
21
2211 EEEE
TT
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
5 - 22 Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH
21 960 nyny
Cuerpo A Cuerpo B
021 021
23 960cm
kgf
23 960cm
kgf
b) Las variaciones de longitud de las aristas de los bloques vienen dadas por:
Cuerpo A Cuerpo B
1
xaa 2
xaa
1
xbb 2
xbb
1
xcc 2
xcc
Cuerpo A
4
111
1
1 1022,81 TE
nyx
4
11
1
1 1022,21 TE
nyy
4
111
1
1 1022,81 TE
nyz
Cuerpo B
3
222
2
2 1049,11 TE
nyx
4
22
2
2 1022,21 TE
nyy
3
222
2
2 1049,11 TE
nyz
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH. 5 - 23
Cuerpo A Cuerpo B
aa 41022,8 aa 31049,1
bb 41022,2 bb 41022,2
cc 41022,8 cc 31049,1
c) Calcular la variación de volumen si ambos tienen las mismas dimensiones.
cm203020
Volumen del Cuerpo A inicial = Volumen del Cuerpo B inicial
312000 cmV
Cuerpo A 016,20*016,020 aaa
312022*007,30*007,030 cmVbbb A
016,20*016,020 ccc
322 cmVA
Cuerpo B
03,20*030,020 aaa
32,12033*993,29*007,030 cmVbbb B
03,20*030,020 ccc
32,33 cmVB
Demostrar que las tensiones hidrostáticas no cambian el lugar de fluencia.
Recordar:
ijijddU 0 Densidad de energía de deformación.
Ahora Trabajo Plástico Total
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
5 - 24 Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH
P
ijijP ddW
hijijij '
P
ijhijijP ddW )'(
P
ijhij
P
ijijP dddW '
P
ijijh
P
ijijP dddW '
ji
jiij
0
1
P
iih
P
ijijP dddW '
donde:
P
ijd Deformación Plástica
0P
iid , ya que la deformación plástica ocurre sin cambio de volumen.
P
ijij
P
ijijP dddW '
La tensión hidrostática no produce trabajo plástico.
3.- En el interior de un cilindro de acero, absolutamente rígido, de radio interno r = 0,1
m, se introduce un cilindro de caucho del mismo radio (coeficiente de Poisson 0.4),
según se indica en la figura. Mediante una fuerza de 2 toneladas que actúa sobre un
pistón de peso y rozamiento despreciables colocado sobre el caucho, se comprime éste.
Calcular la presión entre la goma y el acero.
F
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH. 5 - 25
Solución
Eje Z A
Fnz
El área donde actúa la fuerza es 2·r
2222
·37.6
)10·(
2000
· cm
fKg
cm
Kg
r
Fnz
Eje X Pnx
0 yx
Eje Y Pny
Luego
01
nznynxxE
Reemplazando los valores Pnx
,Pny
, 37.6nz
tenemos que:
2
·25.4
548.26.0
0548.24.0
037.64.0
cm
fKgP
P
PP
PP
4.- Un cubo metálico que tiene una longitud de arista a = 25 cm se sumerge en el mar a
una profundidad z = 800 m. Conociendo el módulo de elasticidad
,/101,2 26 cmKgfE el coeficiente de Poisson v y el valor de la densidad del agua de
mar 1025 Kg/m3, se pide:
a) La representación del estado de esfuerzos usando el círculo de Mohr.
a = 25 cm.
z = 800 m.
,/101,2 26 cmKgfE
v = 0,3
La presión hidrostática es msmmKggzp 800/81,9/1025 23
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
5 - 26 Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH
2
26
2
6 100442,8100442,8m
s
Kgm
ms
Kg
22
82000.820cm
Kgf
m
Kgf
El estado tensional del cubo a partir del círculo de Mohr queda:
Dado que es sólo un punto.
b) Direcciones principales.
Cualquier dirección es principal.
c) La variación que experimenta el cubo sumergido.
321
1 v
E, pero 321
vE
pv
Ev
E21212
11
5
61056,13,021
101,2
82
La deformación unitaria es VVV
V 33321
335 73,0251056,13 cmV
82
282
cm
Kgf
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH. 5 - 27
5.- Un bloque de aluminio es comprimido entre paredes de acero perfectamente rígidas y
lisas (= 0.3; E=6000 Kg/mm2). Determinar:
a) Las dimensiones del agujero si las presiones laterales no deben exceder de 2 kg/mm2
b) El cambio de volumen del bloque.
c) Las deformaciones normal y cizallante en un plano cuya normal es
kjin 223
1ˆ.
a) 2/8
30*50
12000mmkPz
2/2 mmkPyx
306000
1
6000
)82(*3,02 xx
y
z
y
50
mm
P=12 Ton
50
mm 30 mm
x
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
5 - 28 Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH
Luego, mmlx
mmx
005,30
005,0
506000
1
6000
)82(*3,02 yy
mmly
mmy
0083,50
0083,0
b) Se tiene
6000
1 yx
6000
8,6
6000
)22(*3,08
z
por lo tanto 6000
8,4)8,62(
6000
12
0
zx
V
V
360)50*30*50(6000
8,4mmV
c)
8,600
010
001
6000
1ij ; )ˆ2ˆ2ˆ(
3
1ˆ kjin
6,13
2
1
18000
1
2
2
1
3
1*
8,600
010
001
6000
1
2
2
)18000(
96,188);ˆ6,13ˆ2ˆ(
18000
1
kji
)ˆ2ˆ2ˆ(3
1*)ˆ6,13ˆ2ˆ(
18000
1ˆ kjikjinn
410*111,4 n ;
7210*69,1 n
42210*438,6
2
n
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH. 5 - 29
6.- El esquema muestra una configuración en la cual un material A se comprime con 20 MPa.
Este material está inserto dentro de una matriz hecha de un material B, que también puede
deformarse. A su vez, todo el conjunto está inserto dentro de un marco de paredes infinitamente
rígidas. ¿Cuál es el módulo de elasticidad que debe tener el material B para que el material A no
se deforme en la dirección vertical?
B
y
x
z
20 MPa
Pared infitamente rígida Pared infitamente rígida A
A
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
5 - 30 Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH
Como las paredes son infinitamente rígidas, entonces la deformación
total, por el eje X, será cero, por lo que se tiene que:
BBBAAA
XX
X
ZYBX
B
ZYAx
A
BA
total
EE
11
0
AAA
BBB
ZYAx
ZYBXA
B
EE
(*1)
Pero al no aplicarse ninguna tensión directamente sobre B, entonces
0BY (*2)
Como el material A no debe deformase en Y se tiene entonces que:
01
AAA ZXAY
AE
0AAA ZXAY
Pero al no deformarse por Y, entonces 0AY (*3)
Por lo que se tiene que:
AA ZX (*4)
Ahora analizando el dibujo:
Por lo que se tiene que:
BA ZZ
BA XX
Comportamiento Mecánico de Sólidos Capítulo V. Elasticidad
Departamento de Ingeniería Metalúrgica – USACH. 5 - 31
MPa
MPa
MPa
MPa
B
B
A
A
X
Z
X
Z
20
20
20
20
(*5)
Ahora reemplazando (*2),(*3),(*4) y (*5) en (*1) se tiene que:
A
BAB EE
1
1