asignatura: matemática básica primero

Asignatura: Matemática Básica

Elaborada:Hugo Morocho Blacio / Nov - 2018

Semestre:Primero

ACTUALIZADA

NOV-2019

Matemática Básica

Hugo Morocho Blacio 2

GUÍA DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA BÁSICA

CARRERA: TECNOLOGÍA SUPERIOR EN CONTABILIDAD

NIVEL: Tecnológico

TIPO DE CARRERA: Tradicional

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: Matemática Básica

CÓDIGO DE LA ASIGNATURA: CO-S1-MABA

PRE – REQUISITO: Ninguna

CO – REQUISITO: Matemática Financiera

TOTAL HORAS: 203 horas, Teoría 72, Práctica 72, Trabajo independiente 59

NIVEL: Primero

MODALIDAD: Virtual

DOCENTE RESPONSABLE: Hugo Morocho Blacio

Copyright©2019 Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño. All rights reserved.

Matemática Básica


INDICE

Unidad Didáctica I: Algebra .................................................................................................................................... 7

1.1 Fracciones ............................................................................................................................................................. 7

1.2 Exponentes.......................................................................................................................................................... 10

1.3 Factorización....................................................................................................................................................... 16

Unidad didáctica II: Ecuaciones ......................................................................................................................... 19

2.1 Ecuaciones Lineales ........................................................................................................................................ 19

2.2 Método Gráfico .................................................................................................................................................. 22

2.3 Ecuaciones Cuadráticas ................................................................................................................................ 23

2.4 Aplicación de ecuaciones cuadráticas ..................................................................................................... 24

Unidad Didáctica III. Desigualdades y sus aplicaciones ....................................................................... 26

3.1 Desigualdades lineales de una variable .................................................................................................. 26

3.2 Desigualdades cuadráticas de una variable .......................................................................................... 28

3.3 Valor absoluto .................................................................................................................................................... 29

3.4 Caso de estudio................................................................................................................................................. 29

Unidad didáctica IV: Líneas rectas .................................................................................................................... 30

4.1 Coordenadas cartesianas.............................................................................................................................. 31

4.2 Líneas rectas y ecuaciones lineales ......................................................................................................... 32

4.3 Aplicación de ecuaciones lineales ............................................................................................................. 33

4.4 Sistema de ecuaciones .................................................................................................................................. 34

4.1.1 Método de sustitución ........................................................................................................................... 34

4.4.2 Método de Reducción o eliminación .......................................................................................................... 34

4.4.3 Método de Igualación .................................................................................................................................. 34

Unidad Didáctica V. Progresiones y matemática financiera ............................................................... 36

5.1 Progresiones aritméticas e interés simple .............................................................................................. 37

5.2 Progresiones geométricas e interés compuesto .................................................................................. 38

5.3 Matemática Financiera ................................................................................................................................... 39

5.3.1 Planes de ahorro ........................................................................................................................................... 39

5.3.2 Anualidades ................................................................................................................................................... 39

5.3.3 Amortización................................................................................................................................................... 39

5.4 Caso de estudio................................................................................................................................................. 40

Bibliografía…………………………………………………………………………………….………..41

Matemática Básica


PRESENTACIÓN

La presente Guía didáctica, es una herramienta que le permitirá al estudiante potenciar

su rendimiento académico en la asignatura de Matemática Básica, donde se presentan

explicación de los contenidos a desarrollar en cada tema, sus respectivos ejercicios de

aplicación, evidenciando el aporte de ésta materia para la resolución de situaciones que

se presentan en el campo profesional.

Los procesos que se desarrollan en Matemática Básica, son la base para el

planteamiento y solución de problemas de carácter financieros, contables y

administrativos, que le permitirán a los directivos de una empresa la adecuada toma de

decisiones, permitiendo mejorar el nivel de réditos de una organización, por lo que se

tornan fundamental en la formación de profesionales de Tecnología Superior en

Contabilidad.

Este guía didáctica consta del syllabus de la asignatura, plan calendario, desarrollo de

las unidades y cada una de ellas contendrá introducción, objetivos, sustento teórico,

actividades a desarrollar, auto-evaluación y evaluación de la unidad.

En la primera unidad se trata de Algebra, operaciones de fracciones resaltando los

algoritmos de resolución.

En la segunda unidad se relaciona con ecuaciones aplicando los diferentes métodos de

resolución.

En la tercera unidad se detalla las desigualdades con sus respectivas aplicaciones por

medio de problemas de razonamiento.

En la cuarta unidad se habla de líneas rectas y su ubicación de ecuaciones lineales en el

plano cartesiano.

En la quinta unidad se hace referencia a progresiones matemáticas y financieras

haciendo énfasis en las situaciones contables.

Matemática Básica


ORIENTACIONES PARA EL USO DE LA GUÍA

Antes de empezar con nuestro estudio, debes tomar en cuenta lo siguiente:

1. Todos los contenidos que se desarrollen en la asignatura contribuyen a tu desarrollo

profesional, ética investigativa y aplicación en la sociedad.

2. El trabajo final de la asignatura será con la aplicación de la metodología de

investigación científica.

4. En todo el proceso educativo debes cultivar el valor de la constancia porque no sirve

de nada tener una excelente planificación y un horario, si no eres persistente.

5. Para aprender esta asignatura no memorices los conceptos, relaciónalos con la

realidad y tu contexto, así aplicarás los temas significativos en tu vida personal y

profesional.

6. Debes leer el texto básico y la bibliografía que está en el syllabus sugerida por el

docente, para aprender los temas objeto de estudio.

7. En cada tema debes realizar ejercicios, para ello debes leer el texto indicado para

después desarrollar individual o grupalmente las actividades.

8. A continuación te detallo las imágenes que relacionadas a cada una de las actividades:

ICONO ACTIVIDAD

SUGERENCIA

TALLERES

REFLEXIÓN

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TAREAS

APUNTE CLAVE

FORO

RESUMEN

EVALUACIÓN

9. Ánimo, te damos la bienvenida a este nuevo periodo académico.

Matemática Básica


DESARROLLO DE ACTIVIDADES

Unidad Didáctica I: Algebra

Introducción:

En esta unidad, se desarrollan contenidos de fracciones, exponentes, exponentes

fraccionarios y factorización, los cuales se direccionan a resolver situaciones contables-

financieras, permitiendo complementar de manera óptima los conocimientos específicos

de la carrera de Tecnología Superior en Contabilidad.

Objetivo:

Aplicar la teoría básica de álgebra a través de sus diferentes propiedades para la solución

de problemas, demostrando ética en la aplicación de teorías matemáticas.

Organizador Gráfico de la Unidad didáctica I:

Actividades de aprendizaje de la Unidad Didáctica I:

1.1 Fracciones

Las fracciones sirven para expresar unidades divididas en partes iguales; es el cociente

de dos números conformados por:

Numerador: Número ubicado en la parte superior de la raya de fracción.

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Denominador: Número ubicado en la parte inferior de la raya de fracción.

Raya de fracción: Línea horizontal que expresa división y separa al numerador y

denominador. Entre las operaciones con fracciones, podemos encontrar:

Paso de fracciones a común denominador: El método de mínimo común múltiplo es

el más adecuado y se deben seguir los siguientes pasos:

1 Se busca el mínimo común múltiplo de todos los denominadores y ese valor será el

denominador de todas las fracciones.

2 Se divide el mínimo encontrado para el denominador de la fracción y ese valor se

multiplica con su respectivo numerador.

Suma de fracciones: Primero se necesita que todas las fracciones tengan igual

denominador, para proceder a sumar directamente solo los numeradores.

Sumas y restas de fracciones: Se realiza el mismo proceso si fuera solo sumas: Se

pone otra fracción con mismo denominador y el numerador la suma o resta de los

numeradores, simplificando la fracción resultante si hubiera como (Arya & Lardner, 2009)

Ejemplo Efectúe y exprese el resultado en los términos más simples

Solución

Resolver las siguientes sumas y restas

Foro: Participar en el foro creado, esta actividad será calificada como actuación

en clase. Podrán participar aportando al tema de clase con indicaciones del

docente o a la participación de otro compañero (a).

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Multiplicación de fracciones: Este proceso se realiza de manera directa o lineal, es

decir, se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador.

Fracción inversa de una fracción: Es otra fracción que se multiplica por ella misma y

da como resultado la unidad. La fracción 0 es la única que no tiene fracción inversa.

Ejemplo Multiplicar y simplificar

Solución

División de una fracción por otra: Resulta de la multiplicación de la primera por la

inversa de la segunda fracción. Una fracción para toda fracción excepto para 0.

Ejemplo Dividir y simplificar:

Solución

Para resolver operaciones con fracciones, se debe

basar en los siguientes postulados

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1.2 Exponentes

Un exponente es una expresión matemática compuesta por un número denominado base

a y otro denominado exponente n, el cual el número de veces que se multiplica por si

mismo la base.. Se expresa como an y comúnmente se lee “a elevado a la n” (Escuela

Superior Politécnica, 2006).

exponente

base 25= 32 ==> 2x2x2x2x2= 32

Es necesario considerar que en potencia que toda base elevada al exponente cero, da

como resultado 1 y toda base elevada a la unidad, resulta la misma base.

Propiedades de los Exponentes

Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones

Resolver las siguientes operaciones

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Primero calculamos potencias aplicando la definición de la operación de potenciación,

después explicaremos y aplicaremos las siguientes propiedades de las potencias:

EXPONENTES ENTEROS

1) Potencia con exponente cero y base diferente de cero

Todo número con exponente 0 (es decir, elevado a cero) es igual a 1.

Por ejemplo:

a0 = 1

20 = 1

150 = 1

2) Potencia con exponente igual a uno

Todo número con exponente 1 es igual a sí mismo.

Ejemplos de ello serían los siguientes:

a1 = a

101 = 10

151 = 15

3) Producto de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes, como, por

ejemplo:

a3 . a5 = (a . a . a)(a . a . a . a . a) = a3+5 = a8

Por ejemplo:

23. 23 = 23+3 = 26 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64

a15. a0 = a15+0 = a15

4b. 4c = 4b+c

Matemática Básica


4) División de potencias de igual base

Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes.

Por ejemplo:

a10 ÷ a3 = a10 - 3 = a7

b3 ÷ b4 = b3 - 4 = b -1 = 1 / b

x23 / x13 = x 23 - 13 = x10

Todo número con exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo, como

ejemplificamos a continuación:

Otra forma de entender la división de potencias es eliminando términos comunes en el

numerador y denominador, como, por ejemplo:

6) Potencia de un producto

También se conoce como ley distributiva de la potenciación con respecto de la

multiplicación. Esta ley establece que la multiplicación (a.b.c) elevada a la n (enésima

potencia) es igual a cada uno de los factores elevado a esa potencia y luego multiplicado.

Por ejemplo:

(a.b.c)n = an . bn . cn

Esto lo podemos demostrar de la siguiente manera:

(a.b.c)n = (a.b.c) (a.b.c) (a.b.c) multiplicado n veces

= (a .a. a multiplicado n veces) (b. b. b multiplicado n veces) (c .c .c multiplicado n veces)

= an . bn. cn

Por ejemplo:

(2 x 3 )3 = 23 x 33 = (2.2.2) (3.3.3) = 8 x 27 = 216

(3ab)2 = 32. a2 . b2 = 9 a2b2

7) Potencia de una fracción

También se conoce como ley distributiva de la potenciación respecto de la división exacta.

Para elevar una fracción a una potencia, se elevan su numerador y denominador a dicha

potencia de la siguiente forma:

Matemática Básica


Por ejemplo:

En el caso de una fracción mixta, se transforma el número a fracción:

8) Potencia de una potencia

Si multiplicamos potencias de igual base e igual exponente tendremos una potencia de

otra potencia:

am . am . am multiplicada n veces = (am)n = am . n

b3. b3 . b3= (b3)3 = b 3.x 3 = b9

Para resolver la potencia de una potencia, dejamos la misma base y multiplicamos los

exponentes: (24)2 = 24 x 2 = 28 = 16

Exponentes fraccionarios

Dentro de las potencias, se da el caso en que el exponente de la base es una fracción,

el cual se origina de la raíz de una potencia, en donde el exponente del radicando se

divide para el índice de la raíz, siempre y cuando el cociente no sea una cantidad entera

Propiedades

Para elevar una fracción a una potencia se eleva tanto el numerador como

el denominador al exponente.

Expresar en forma de potencia los siguientes ejercicios.

Matemática Básica


Potencias de fracciones con exponente negativo

Una potencia de una fracción con exponente negativo es igual a otra potencia cuya base

es la inversa de la fracción original y con exponente positivo

Toda fracción elevada a cero es igual a 1

Toda fracción elevada a 1 es igual a la misma fracción

Producto de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

División de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

Potencia de una potencia:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

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Producto de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases

Cociente de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

Expresar en forma de potencia los siguientes ejercicios.

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1.3 Factorización

Cuando se realiza la multiplicación de dos números, éstos se llaman factores de un

producto. El proceso de plasmar una expresión dada como el resultado del producto de

sus factores, se denomina factorización (Swokowski & Cole, 2009).

A continuación se detallan las propiedades que se deben seguir para la factorización de

términos algebraicos.

1. Factor común

ax + ay + az = a(x + y + z)

2. Factor común por agrupación de términos

a2 + ab + ax + bx = (a + b) (a +x)

3. Trinomio cuadrado perfecto

x2 - 2ax + x2 = (x – a)2

Resolver las siguientes operaciones

Resolver los siguientes ejercicios.

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4. Diferencia de cuadrados

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

5. Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción

a4 + a2 + 1 = (a2+ a + 1) (a2– a + 1)

6. Trinomio de la forma X2 + BX + C

x2 + 7x + 10 = ( x + 5 ) ( x + 2 )

7. Trinomio de la forma AX2 + BX + C

2x2 + 3x – 2 = (x + 2) (2x – 1)

8. Cubos perfectos de binomios.

a3 + 3a2 + 3a + 1 = (a + 1)3

Resolver los siguientes ejercicios del Algebra de Baldor.



Matemática Básica


9. Suma o diferencia de cubos perfectos

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

10. Suma o diferencia de dos potencias iguales

a5 + 1 = a4 – a3 + a2 – a + 1


Actividades de auto evaluación de la unidad i

Resolver los siguientes ejercicios del texto guía:

Fracciones: página 17 y 18

Exponentes: página 23 y 24

Exponentes fraccionarios: página 28 y 29

Factorización; los pares de la página 46

Actividad final Unidad I

Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la unidad I de los

estudiantes vía Amauta.

Matemática Básica


Unidad didáctica II: Ecuaciones

Introducción de la unidad didáctica II

Esta unidad abarcará el estudio de ecuaciones lineales y cuadráticas, así como su

respectiva aplicación en la vida cotidiana y sobre todo en el campo contable, financiero y

administrativo, incluyendo enunciados de planteo de ecuaciones, que permitirán

desarrollar en el estudiante la capacidad de analizar, entender, interpretar y resolver este

tipo de problemas.

Objetivo de la unidad II

Resolver problemas enfocados en el ámbito empresarial, mediante la aplicación de

ecuaciones lineales y cuadráticas, para entender su relación con la realidad de las

empresas, con veracidad en la aplicación de la matemática para la toma de decisiones

empresariales.

Organizador Gráfico de la Unidad didáctica II:

Actividades de aprendizaje de la Unidad Didáctica II

2.1 Ecuaciones Lineales

Una ecuación representa una igualdad entre expresiones algebraicas, involucrando

variables y el signo igual, por ejemplo:

2x – 3 = 9 – x

y2 – 5 y = 7 + 4y

Matemática Básica


El signo igual separa a los dos lados o miembros de la ecuación, llamándolos como: lado

o miembro izquierdo, el que se encuentra antes del igual, y lado o miembro derecho, el

que se encuentra después del igual.

Principios de una ecuación

a) Principio de adición: se puede sumar o restar cualquier valor constante o

expresión algebraica, siempre y cuando se los incluya en ambos lados de la

ecuación.

x – 4 = 5 ecuación original

x – 4 + 4 = 5 + 4 adicionamos 4 a cada lado

x = 9 solución o raíz

b) Principio de multiplicación: se puede multiplicar o dividir por cualquier valor

constante, ambos lados de la ecuación.

3x = 9 ecuación original

3x = 9 se divide ambos lados para 3

3 3

x = 3 solución o raíz

El grado de una ecuación está dado por el mayor exponente de la variable de la ecuación.

Una ecuación de primer grado, se denomina lineal, de segundo grado se denomina

cuadrática (véase de la página 60 a la 66 del texto guía).

Pasos a seguir para la resolución de ecuaciones lineales:

Eliminar fracciones, multiplicando ambos lados para el denominador común,

Pasar los términos que contengan la variable o incógnita al miembro izquierdo y

los demás términos al miembro derecho, reduzca términos semejantes y

simplifique.

Ejercicio 1 Ejercicio 2

Matemática Básica


APLICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Las ecuaciones lineales se las aplican mediante la formulación de enunciados, donde

para su solución se plantea la respectiva ecuación, luego de analizar, entender e

interpretar el lenguaje algebraico que consta en el señalado enunciado (véase desde la

página 68 a las 71 del texto guía).

Pasos a seguir para la resolución de aplicaciones de ecuaciones lineales:

1. Leer 3 veces el enunciado: primero parte tener una idea del mismo, luego para

saber bien de lo que se trata y por último para la obtención de los datos.

2. Representar el valor desconocido con x.

3. Traducir las expresiones gramaticales en expresiones algebraicas.

4. Plantee la ecuación.

5. Realice las operaciones que se presenten y dé la solución de manera verbal.

Ejemplo

Determine dos enteros consecutivos cuya suma sea 19.

Solución

Paso 1 Dado que debemos encontrar dos enteros, debemos decidir a cuál de ellos llamar

x. Denotemos con x al entero más pequeño.

Paso 2 Luego, el segundo entero es x + 1, pues son consecutivos.

Paso 3 La expresión suma de dos enteros se cambia a la expresión algebraica

x + (x + 1). La afirmación de que esta suma es 19, equivale a la ecuación

x + (x + 1) = 19

Paso 4 Despejamos x.

2x + 1 = 19

2x = 19 – 1 = 18

x = 18

2 = 9

Paso 5 Por tanto, el entero más pequeño es 9. El mayor, x + 1, es 10.

Resuelva las siguientes ecuaciones.

Matemática Básica


2.2 Método Gráfico

La representación gráfica de las ecuaciones de primer grado son líneas con una mayor

o menor inclinación que las llamamos funciones lineales.

EJEMPLO 1.

Resuelva las siguientes ecuaciones.

Matemática Básica


2.3 Ecuaciones Cuadráticas

Conocidas también como ecuaciones de segundo grado, las ecuaciones cuadráticas

tiene como exponente de la variable o incógnita el dos, por lo que contienen dos raíces o

dos soluciones y se presentan de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son

valores constantes y además a es distinto de cero (véase de la página 73 a la 79 del texto

guía).

Ecuaciones cuadráticas completas

Son ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 que tienen un término x2, un término x y un

término independiente de x. Así, 2x2 + 5x + 3 = 0 es una ecuación cuadrática completa.

Grafica las siguientes ecuaciones.

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Ecuaciones cuadráticas incompletas

Son ecuaciones de la forma ax2 + c = 0 que carecen del término x o de la forma ax2 +

bx = 0 que carecen del término independiente. Así, 2x2 + 3 = 0 y 2x2 + 5x son ecuaciones

cuadráticas incompletas.

2.4 Aplicación de ecuaciones cuadráticas

Generalmente, cuando se aplican ecuaciones cuadráticas para la resolución de ejercicios

prácticos, las relaciones existentes se deben convertir en símbolos algebraicos, este

método se conoce como modelado (véase de la página 81 a la 85 del texto guía).

Las ecuaciones cuadráticas denominadas también de segundo grado,

tienen dos raíces o soluciones.

Para la solución de ecuaciones cuadráticas existen 3 métodos:

factorización, aplicando la fórmula general y completar cuadrado.

Tarea: Para el correcto desarrollo del trabajo extra clase, debemos guiarnos en los diferentes métodos para la resolución de ecuaciones cuadráticas (ejercicios página 86 del texto guía).

Las ecuaciones de segundo grado se pueden aplicar a un sin número de

situaciones del área contable, financiera y administrativa.

Es necesario hacer énfasis en que este tipo de ecuaciones presentan dos

soluciones, por lo que una vez resuelta, se debe volver a la lectura del

enunciado y sobre todo la pregunta del mismo, para poder dar una

respuesta correcta.

Taller: Resuelva la ecuación:

3 (x2 + 1) = 5(1 - x)

Matemática Básica


Actividades de auto evaluación de la unidad II


Ecuaciones lineales: página 67

Aplicación de ecuaciones lineales: página 72

Ecuaciones cuadráticas: página 80

Aplicación de ecuaciones cuadráticas: página 86

Las ecuaciones cuadráticas se las utiliza con frecuencia en la

representación de situaciones de oferta y demanda, al igual que en

costos y punto de equilibrio de determinada producción.

Para la resolución de ecuaciones cuadráticas, se debe analizar,

interpretar e identificar la variable dependiente y la independiente, para

plantear adecuadamente la respuesta.

Actividad final Unidad II

Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la unidad II de los


Matemática Básica


Unidad Didáctica III. Desigualdades y sus aplicaciones

Introducción

En esta unidad se llevarán a cabo el estudio de las diferentes situaciones donde se

pueden aplicar una desigualdad, también llamada inecuación en el área de la

contabilidad, financiero y administrativa. Para la resolución de este tipo de problemas, se

debe tomar en consideración que no se utiliza el signo igual como en las ecuaciones, sino

que se hace uso de los operadores de comparación, para el planteamiento de una

desigualdad.

Objetivo de la Unidad III

Resolver desigualdades e inecuaciones mediante ejercicios matemáticos para conocer

sus diferentes aplicaciones en el área de la contabilidad, financiera y administración.

Organizador gráfico unidad didáctica III

3.1 Desigualdades lineales de una variable

Las desigualdades o inecuaciones, se presentan en aquellos enunciados donde se

expresan dos cantidades o expresiones algebraicas que no son solamente iguales, es

decir, que se expresan con operadores distintos al signo igual, llamados operadores de

comparación o de relación y donde el mayor exponente de la variable o incógnita es la

unidad. Estos operadores son: < menor que, ≤ menor o igual que, > mayor que y ≥ mayor

o igual que. A continuación se describe la forma de una desigualdad o inecuación lineal:

ax + b < 0 inecuación lineal con menor que

ax + b ≤ 0 inecuación lineal con menor o igual que

ax + b > 0 inecuación lineal con mayor que

DESIGUALDADES O

INECUACIONES

Desigualdades Lineales

• Incógnita elevada a la potencia 1

Desigualdades cuadráticas

• Incógnita está elevada al cuadrado Valor absoluto

• │X│> 0

• Intervalos

• Gráfica

Matemática Básica


ax + b ≥ 0 inecuación lineal con mayor o igual que

Ejemplo de enunciados verdaderos y falsos:

Para x = 5 2x + 3 < 11

2(5) + 3 < 11

13 < 11 Enunciado falso

Para x = 6 2x + 3 > 11

2(6) + 3 > 11

15 > 11 Enunciado verdadero

Ver de la página 98 a las 103 del texto guía.

Tarea: Para el correcto desarrollo del trabajo extra clase, debemos guiarnos en las reglas de resolución de inecuaciones lineales (ejercicios página 104 del texto guía).

Reglas para la resolución de inecuaciones lineales

Primera regla: Cuando a ambos miembros de una inecuación se le suma o

se le resta un mismo número real, el sentido de la misma se mantiene.

a > b a > b

a + c > b + c a - c > b - c

Segunda regla: El sentido de la inecuación se mantiene, si se multiplica o divide por un mismo número positivo, pero si ese número es negativo, el sentido se invierte. a > b a > b a . c > b . c ó a > b a < b -c -c -c -c

Las desigualdades o inecuaciones lineales contienen operadores de

comparación o relación: <, ≤, > y ≥.

El conjunto respuesta de una desigualdad de una sola variable, son

todos los valores de la variable o incógnita donde su proposición es

verdadera.

La diferencia entre desigualdades e inecuaciones, es que en la

primera se presentan letras o números, mientras que en la segunda se

expresan de manera conjunta letras y números, donde las letras son

las variables o incógnitas de la inecuación.

Matemática Básica


3.2 Desigualdades cuadráticas de una variable

Una desigualdad de segundo grado o cuadrática de una sola variable, es una inecuación

de la forma: ax2 + bx + c > 0 ó ax2 + bx + c < 0, donde a, b y c son valores constantes,

siendo a diferente de 0, esta condición garantiza la permanencia de x2.

El método utilizado para la resolución de inecuaciones cuadráticas es el mismo que se

utiliza para ecuaciones de segundo grado o superior (Véase desde la página 105 a las

109 del texto guía)

Taller: ara el correcto desarrollo del trabajo extra clase, debemos guiarnos en los métodos de solución de inecuaciones cuadráticas (ejercicios página 110 del

texto guía).

Pasos para la resolución de desigualdades cuadráticas

1 Escribir la desigualdad o inecuación de manera estándar.

2 Reemplazar el operador de relación por el igual, resuelva la ecuación

cuadrática, donde las raíces dividen en intervalos la recta numérica.

3 Elegir un punto y probar la desigualdad en cada intervalo; si es verdadero

o falso en dicho punto, entonces se repite en todos los puntos del intervalo.

4 En una desigualdad estricta, el conjunto solución no incluye extremos,

mientras que para una desigualdad no estricta, los extremos del intervalo si

se incluyen. Cuando a ambos miembros de una inecuación se le suma o se

le resta un mismo número real, el sentido de la misma se mantiene.

a > b a > b

a + c > b + c a - c > b - c

Para resumir se desarrolla el siguiente ejercicio empleando el proceso descrito anteriormente:

2x2 + x < 3

2x2 + x – 3 < 0 expresado de manera estándar 2x2 + x – 3 = 0 se iguala a cero (2x – 3)(x + 1) = 0 se factoriza x < 3/2 ; x < -1 -1 0 3/2

Intervalo Punto de prueba Signo

(-?, -1) - 2 (-) falso

(-1, 3/2) 0 (+) positivo

(3/2, ?) 2 (-) falso

La solución se encuentra en el intervalo, donde se visualiza el signo positivo (-1, 3/2)

Matemática Básica


3.3 Valor absoluto

En la recta numérica, los números reales, desde cero hasta x, se conocen como valor

absoluto de x y se denota | x |, es cual no es negativo | x | > 0. Véase desde la página

111 a las 115.

3.4 Caso de estudio

En este apartado se analiza, interpreta y desarrolla un caso práctico de estudio aplicado

para la toma de decisiones en el área de contabilidad, financiera y administrativa.

Actividades de auto evaluación de la unidad III


Desigualdades lineales: página 104

Desigualdades cuadráticas: página 110

Valor absoluto: página 116

Tarea: Para el correcto desarrollo del trabajo extra clase, debemos guiarnos en

el primer teorema de valores absolutos (ejercicios página 116 del texto guía).

Pasos para la resolución de valores absolutos

a) Expresarlo con valor absoluto fuera de la inecuación.

b) Buscar intervalos de prueba, resolviendo la ecuación resultante de

cambiar el signo de comparación con el igual, lo que determina los

límites.

c) Selección de puntos de prueba de los intervalos para establecer los

signos.

d) La solución está conformada por los intervalos de la desigualdad cierta,

pudiendo ser expresada como: intervalo, conjunto y gráficamente.

Un valor absoluto, es el mismo número sin tomar en cuenta su signo.

Primer teorema: si a > 0, entonces:

| x | < a, si y solo si –a < x < a

| x | > a, si y solo si x > a ó x < - a

Actividad final Unidad III

Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la unidad III de los


Matemática Básica


Unidad didáctica IV: Líneas rectas

Introducción

En esta unidad didáctica se estudia el comportamiento de la línea recta con sus

componentes como: los puntos de pares coordenados en un determinado cuadrante del

plano cartesiano, la ecuación de la recta y su respectiva pendiente. Además, de la

aplicación de dos o más ecuación de la recta, como un sistema con diferentes

ecuaciones.

Objetivo de la unidad didáctica IV

Desarrollar ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales mediante el análisis y

ejecución de ejercicios para su respectiva aplicación en el área contable, financiera y

administrativa.

Organizador gráfico unidad didáctica IV

Actividades de Aprendizaje tema IV

Orientaciones generales:

Asignar en tiempo necesario para el estudio de la línea recta.

Desarrollar ejercicios requeridos, para desarrollar destrezas en el aprendizaje del

tema.

Aplicar conocimientos asimilados en aula de manera conjunta con la lectura del

texto guía, para su óptima comprensión.

LINEAS RECTAS

Cordenadas Cartesianas

• Identificación de los componentes

Ecuaciones Lineales

•Representación gráfica de ecuaciones

Aplicación

•Resolución de problemas de la carrera

Sistema de Ecuaciones

•Sustitución

• Igualación

•Eliminación

Matemática Básica


Desarrollo de contenidos

4.1 Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas es un par de puntos que denotan una intersección de

puntos en el plano cartesiano y se definen como la distancia al origen de proyecciones

de un determinado punto a cada uno de sus ejes. Su gráfica se construye con el eje

horizontal (x), llamado eje de las abscisas y el eje vertical, llamado eje de las ordenadas

(y), formando el eje de coordenadas (x , y).

Este eje lo componen 4 cuadrantes divididos de manera igual, llamados cuadrantes y

representado gráficamente de la siguiente manera:

La representación de los puntos en el plano cartesiano, se empieza por pareja de

números reales y de denomina sistema de coordenadas cartesianas (x , y), donde el

origen es (0 ,0). Véase desde la página 122 a la 128 del texto guía.

Orientaciones tarea Para el correcto desarrollo del trabajo extra clase, debemos guiarnos en el primer teorema de coordenadas cartesianas (ejercicios página 129 y 130 del texto guía).

Primer teorema

Si P(x1 , y1) y Q(x2 , y2) son puntos en el plano cartesiano, su

distancia está dada por:

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4.2 Líneas rectas y ecuaciones lineales

La línea recta está compuesta por segmentos infinitos, siendo el más corto aquel que une

dos puntos, entendida también, como una sucesión infinita de puntos en una misma

dimensión. Se denomina también como como una ecuación de primer grado con dos

variables establecida por dos condiciones: un punto y su respectiva dirección, midiendo

su grado e inclinación. Para encontrar la pendiente de la recta, se utiliza la fórmula

(Lehmann, 1989):

Se debe considerar, además:

Cuando la recta tiene su inclinación hacia arriba de izquierda a derecha, su pendiente

es positiva.

Cuando la recta tiene su inclinación hacia abajo de izquierda a derecha, su pendiente

es negativa.

Cuando la recta es horizontal, su pendiente es cero.

Cuando la recta es vertical, su pendiente no se encuentra definida.

Para encontrar la fórmula de la recta, se aplica la fórmula:

La fórmula general para encontrar la ecuación lineal es: Ax + By + C = 0

Donde su nomenclatura es: A, B y C son valores constantes y A, B son deferentes de

cero. Véase desde la página 130 a la 138 del texto guía.

La coordenada cartesiana son puntos en el plano que permiten la

gráfica de una función, se representa con un punto P (x , y), siendo x

el punto de las abscisas, y el punto de las ordenadas.

Los ejes de las coordenadas dividen el plano cartesiano en 4 partes,

donde:

(x,y) se encuentra en el primer cuadrante si x>0, y>0

(x,y) se encuentra en el segundo cuadrante si x<0, y>0

(x,y) se encuentra en el tercer cuadrante si x<0, y<0

(x,y) se encuentra en el primer cuadrante si x>0, y<0

Tarea: Para el correcto desarrollo del trabajo extra clase, debemos aplicar las fórmulas anteriormente indicadas (ejercicios página 139).

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4.3 Aplicación de ecuaciones lineales

El estudio este apartado está direccionado a la aplicación de ecuaciones y rectas lineales

al ámbito contable, financiero y administrativo, direccionados a los costos fijos o variables,

oferta y demanda, depreciaciones, etc. (Véase las páginas desde la 140 a la 145 del texto

guía).

Graficar una ecuación lineal general determina una línea recta y sus diferentes formas se resumen a continuación: Nombre de la fórmula Ecuación

Punto y pendiente y – y1 = m (x –x1)

Pendiente con ordenada al origen y = mx + b

Fórmula general Ax + By + C = 0

Recta horizontal Y = b

Recta vertical X = a Además se debe considerar lo siguiente: Cuando dos rectas paralelas sus pendientes son iguales. Multiplicar pendientes de dos perpendiculares da como resultado -1. El proceso más simple para graficar una recta es encontrar dos puntos que cortan las coordenadas

Una línea recta es la sucesión de puntos en determinado segmento.

La línea recta es la distancia más corta entre dos puntos.

La pendiente de una línea recta se denota por m.

Una ecuación lineal se grafica dando a x=0, y = 0

Tarea: Para el correcto desarrollo del trabajo extra clase, debemos aplicar una

lectura de carácter comprensiva de ecuaciones del texto guía (ejercicios página

146 del texto guía).




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4.4 Sistema de ecuaciones

Se denomina sistema de ecuaciones al conjunto de dos o más ecuaciones con varias

incógnitas o variables, que se plantean para resolver matemáticamente un problema,

teniendo como objetivo encontrar el valor de las mismas que satisfagan las ecuaciones

mencionadas.

Para la resolución de un sistema de ecuaciones se puede acudir a los siguientes

métodos:

4.1.1 Método de sustitución

En la aplicación del presente método para la solución de un sistema de ecuaciones, se

deben seguir los siguientes pasos:

a) Se despeja una incógnita en la ecuación más simple.

b) Se sustituye el resultado del señalado despeje en la otra ecuación,

c) Se resuelve la ecuación, obteniendo el valor de una incógnita.

d) Se encuentra la otra incógnita en la ecuación despejada.

4.4.2 Método de Reducción o eliminación

a) Se multiplica a una de las ecuaciones por un valor numérico que convenga.

b) Al sumar ambas ecuaciones, se elimina una incógnita.

c) El resultado se lo sustituye en una de las ecuaciones iniciales, para encontrar la

segunda incógnita.

d) Se realiza la comprobación, para asegurarnos del resultado.

4.4.3 Método de Igualación

a) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones

b) Se igualan ambas expresiones, obteniendo una sola ecuación con una sola

incógnita.

c) Se resuelve la expresión señalada.

d) El valor resultante se sustituye en una ecuación del paso 1.

e) Se realiza la comprobación, para asegurarnos del resultado.

Véase desde la página 148 a la 156 del libro guía.

Tarea: Para el correcto desarrollo del trabajo extra clase, debemos seguir los pasos de cualquier método descritos (ejercicios página 157 y 158 del texto

guía).

Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos o más incógnita es de

tipo: a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Donde a1, b1, c1, a2, b2 y c2 son valores constantes y la solución es aquel

conjunto de valores de x y y que satisfagan ambas ecuaciones.

Matemática Básica


Ejercicios de aplicación

Se aplica sistema de ecuaciones para la resolución de enunciados que expresen

situaciones relacionadas con el campo de la contabilidad, financiero y administrativo,

como por ejemplo: el punto de equilibrio, al producir o vender un bien o servicio. Véase

desde la página 158 a la 165 del texto guía.

Actividades de auto evaluación de la unidad IV


Coordenadas cartesianas: página 129 y 130

Líneas rectas y ecuaciones lineales: página 139

Aplicación de ecuaciones lineales: página 146

Sistema de ecuaciones lineales: página 157 y 158

Ejercicios de aplicación: página 166 y 167

.

Un sistema de ecuaciones es el conjunto de dos o más ecuaciones, donde

se busca el valor de las variables o incógnitas que satisfagan dichas

ecuaciones.

Para la resolución en un sistema de ecuaciones se puede aplicar tres tipos

de métodos: sustitución, eliminación o igualación. Cualquier método que

se aplique dará la misma respuesta.

Tarea: Para el correcto desarrollo del trabajo, debemos dar lectura comprensiva al capítulo objeto de estudio en el texto guía y resolver sus correspondientes

ejercicios (página 166 y 167).

Actividad final Unidad IV

Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la unidad IV de los


Matemática Básica


Unidad Didáctica V. Progresiones y matemática financiera

Introducción

Las progresiones y la matemática financiera brindan un aporte fundamental en la

formación del Tecnólogo Superior en Contabilidad, permitiéndoles una visión más

concreta del valor del dinero en el tiempo. Los contenidos que se desarrollan en este

apartado son de progresiones aritméticas, interés simple, progresiones geométricas e

interés compuesto.

Objetivo de la unidad didáctica V

Reconocer las progresiones mediante el desarrollo de problemas de sucesiones

aritméticas y geométricas para la aplicación de la matemática financiera.

Organizador gráfico de la unidad V

Actividades de Aprendizaje Tema V

Orientaciones generales

Asignar en tiempo necesario para el estudio de progresiones y matemática

financiera.

Desarrollar ejercicios requeridos, para desarrollar destrezas en el aprendizaje del

tema.

Aplicar conocimientos asimilados en aula de manera conjunta con la lectura del

texto guía, para su óptima comprensión.

Progresiones y Matemática Financiera

Progresiones

Progresiones artiméticas e interés

simple

Sumade n términosPrimer término

Diferencia

Progresiones geométricas e

interés compuesto

Primer términoRazón

Suma de términos

Matemática Financiera

EnunciadosPlanes de ahorro

AnualidadesAmortización

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Desarrollo de contenidos

5.1 Progresiones aritméticas e interés simple

Se denomina a una progresión aritmética a aquella sucesión de números reales a

excepción del primero, donde la diferencia, representada por la letra d, de cualquier

término con el anterior se mantiene en toda la sucesión. Cada número que compone una

secesión se denomina término y se lo representa con la letra a. Ejemplo:

2, 5, 8, 11, 14 ……….

Donde a1= 2; a2 = 5; a3 = 8; a4 = 11; a5= 14

Diferencia (d)= a2 – a1

d= 5 – 2

d= 3

En este ejemplo se puede mencionar que es una progresión aritmética, cuyo primer

término es 2 y que tiene como diferencia 3, donde se calcula dicha progresión: a, a + d,

a + 2d, a + 3d….

El término general o enésimo término de una progresión aritmética se lo representa con

la siguiente fórmula:

Interés simple

El interés simple es el beneficio o pago que se realiza sobre un capital, en un periodo de

tiempo determinado y con una respectiva tasa de interés. Su fórmula es:

I= C (i/100)

Donde: I= Interés simple

C= Capital

i= Tasa de interés

La fórmula luego de t años es: C + tI, (Véase desde la página 266 a la 271del texto guía).

Tarea: Para el correcto desarrollo del trabajo extra clase, debemos poner atención a las fórmulas de progresión aritmética e interés simple (desarrollar ejercicios de la página 272 del texto guía).

Una progresión aritmética se presenta Sn= S1, S2, S3….Sn

Suma de términos: En una progresión aritmética, la suma de n términos,

cuyo primer término es a y de diferencia d, su fórmula es: Sn= n/2 (a + 1)

Donde I= a + (n - 1) d

En el Interés Simple, los intereses que se ganan, no se los reinvierte en

ningún periodo de tiempo, es decir, el capital inicial no varía. La tasa de

interés es igual para todo los periodos, por lo tanto los interés ganados

siempre serán los mismos.

Matemática Básica


5.2 Progresiones geométricas e interés compuesto

Una progresión geométrica es una sucesión numérica, donde cada número, a excepción

del primero, es igual al anterior multiplicado por un valor constante denominado razón

(r), el cual no varía. El término general de una progresión geométrica está dado por: Tn

= a.r n-1. Véase desde la página 273 a la 278 del texto guía.

En el interés compuesto es capitalizable, es decir el interés ganado se suma al capital

inicial y se convierte en un nuevo capital cada período de tiempo.

Como progresiones aritméticas se entiende a las sucesiones constantes,

donde cada término, a excepción del primero, es igual al anterior término

más una diferencia (d).

El interés simple se calcula multiplicando el capital por la tasa de interés

que está dividida para 100. Además, el interés no es reinvertido, resulta el

mismo en cada período, al igual que la tasa de interés.

Tarea: Para el correcto desarrollo del trabajo extra clase, debemos poner atención a las fórmulas de progresión aritmética e interés simple (desarrollar

ejercicios de la página 272 del texto guía).

Teorema 1: (Suma de n términos): Si a es el primer término y r la razón,

entonces la suma Sn de n términos es:

Teorema 2: (Suma de un progresión geométrica infinita). La suma S, de

una progresión geométrica se presenta:

Con tal de que -1 < r < 1

La progresión geométrica se direcciona primero por la suma de n

términos, y la suma de una progresión geométrica infinita.

El interés compuesto se encuentra implícito en las fórmulas de

progresión geométrica y se diferencia con el interés simple porque, el

primero capitaliza los intereses generados a lo largo del periodo

establecido.




Matemática Básica


5.3 Matemática Financiera La matemática financiera abarca un gran número de conocimientos, de los cuales se verán los contenidos de planes de ahorro, anualidades y depreciaciones, que son un soporte fundamental en la formación académica de los estudiantes de contabilidad. La matemática financiera se encarga del estudio de técnicas cuantitativas que permiten el análisis, evaluación y comparación económica de las diferentes opciones que se le presentan al inversionista que quiere invertir su dinero. Por lo que, los cálculos que se presenten ayudarán a la correcta toma de decisiones al momento de empezar en el mundo de las inversiones (Arya & Lardner, 2009). 5.3.1 Planes de ahorro

El tipo de plan de ahorro más simple es el que se obtiene, a través de pagos regulares

fijos por un capital, mensual o anual, donde el saldo invertido en dicho plan, gana interés

fijos. Se lo calcula de la manera siguiente: S= Psni, donde sni= i-1 [(1+i)n - 1]

sni se lee “s de n en i”, representando el valor de un plan de ahorros luego de n depósitos

regulares de un dólar cada uno.

5.3.2 Anualidades

Se trata de una serie de flujos de caja o constantes pagos realizados en iguales intervalos

de tiempo, no siendo necesariamente anuales. Este sistema de amortización es el más

utilizado, se lo representa con la letra A.

5.3.3 Amortización

Una amortización es una obligación o deuda, que incluye sus respectivos intereses, es

decir, una serie de pagos en un determinado tiempo. Las instituciones financieras

presentan una tabla para ilustrar de manera precisa el comportamiento del crédito, donde

se muestra el saldo, la cuota por periodo, intereses, abono al capital. Para calcular el

valor de los pagos se utiliza la siguiente fórmula: , véase desde la

página 280 a la 287 del texto guía.

Tarea: Para el correcto desarrollo del trabajo extra clase, debemos poner atención a las fórmulas de progresión geométrica e interés compuesto

(desarrollar ejercicios de la página 288 del texto guía).




Matemática Básica


5.4 Caso de estudio

Para concluir con esta unidad se presentará un caso de estudio como instrumento, que

permita el análisis y toma de decisiones por parte de los estudiantes, aplicado a un

ambiente laboral real, motivándolos al razonamiento, descripción de situaciones y

hechos, desde la lectura, para posteriormente pueda explicar y evaluar los resultados

desde la toma de decisiones que realicen.

Actividades de auto evaluación de la unidad V


Progresiones aritméticas e interés simple: página 272

Progresiones geométricas e interés compuesto: página 279

Matemática financiera: página 288

Sistema de ecuaciones lineales: página 157 y 158

Ejercicios de aplicación: página 166 y 167

Así como el cálculo para interés simple y compuesto, para planes de ahorro,

anualidades y amortización, se utiliza una serie de progresiones o

sucesiones, las cuales permiten obtener los valores correspondientes a

estos tres temas.

En matemática financiera se tiene múltiples aplicaciones al área de los

negocios como planes de ahorro, que es el tipo más simple que consiste

en pagos regulares de una determinada cantidad de dinero fija.

Las anualidades consisten en una sucesión de pagos de una cantidad de

dinero fija a intervalos iguales de tiempo.

La amortización es un proceso de distribución de tiempo de un

determinado valor, se trata de un término de tipo económico y financiero

que se aplica al momento de realizar un crédito. Para mejor ilustración

se presentan tablas de amortización que muestran intereses, pagos,

capital y saldo a pagar.

Actividad final Unidad V

Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la unidad V de los


Matemática Básica


BIBLIOGRAFÍA:

ARMAS, W. BAQUERIZO, G. RAMOS, M. NOBOA, D. (2006). Fundamentos de

Matematicas. ICM Espol, Segunda Edicion.

ARYA, J. LARDNER, R. (2009). Matematicas aplicadas a la administracion y a la

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ERNEST, F. HAEUSSLER, Jr. RICHARD, S. (2003). Matemática para la administración

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HAEUSSLER, E. PAUL, R. (2003). Matematicas para administracion y economia.

Mexico: Pearson educacion. Decima edicion.

MORA, A. (2009). Matemática Financiera. México. Tercera Edición. Alfaomega Grupo

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MOROCHO, B. (2018). Guia Didáctica de Matematica Basica.

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Sept%201920/Libros%20de%20TSC/Primer%20Semestre/Matem%C3%A1tica%20B%C3%A1sica/alge

bra-lineal%20.pdf

asignatura: matemática básica primero

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