RELACIONES BINARIAS

UNPRG – FACFyM Matemática - Enfermería

INTRODUCCIÓN

La noción del objeto matemático conjunto es fundamental en matemática, pues es una idea que

unifica a toda la matemática; sin embargo es una noción que no está definida. Es una noción básica o primitiva desarrollada recién a finales del siglo XIX por el matemático George Cantor. La teoría

desarrollada por este matemático ha tenido una enorme influencia en el avance de las matemáticas

durante el siglo XX , pues ha dado origen al estudio sistemático de otros objetos matemáticos

como por ejemplo: par ordenado, producto cartesiano, relación, función, etc. El estudio de las

relaciones y funciones son de trascendental importancia en matemáticas pues resultan ser las

ideas más útiles para modelar e interpretar el mundo real. En este capítulo haremos un estudio

básico sobre el concepto de relación, para ello empezaremos dando el concepto de par ordenado y

de producto cartesiano.

Par Ordenado: Si meditamos un poco acerca del mundo que nos rodea, vemos que hay en nuestra vida diaria

muchos ejemplos de cosas completamente ordinarias, tales como: la anotación de un gol en el

primer minuto de juego en un partido de futbol, que podríamos denotarlo como (1;1) ; el número

total de estudiantes que ingresaron a la universidad en el 2012 se puede denotar como:

(2012,1200) ; las dimensiones del terreno de una casa que son especificadas por dos números

reales, como por ejemplo (7;19) , etc. Observamos que el orden en que los números se dan es

significativo, y por eso a tales representaciones se les llama “pares ordenados”, el cual merecen

una atención especial. Esto resulta más interesante aún, si tales pares son formados con elementos

de uno o de dos conjuntos.

Definición 1.1 (par ordenado): Dados los conjuntos ,A B U y sean a A , b B , se define par

ordenado de componentes a y b , y se denota por ( , )a b al conjunto:

( , ) , , ( ( ))a b a a b P P A B

Al elemento a A se le llama, primera componente del par y al elemento b B se le llama,

segunda componente del par.

Teorema 1.1 (igualdad de pares ordenados)

( , ) ( , )a b c d a c b d

En el caso, que los pares sean diferentes, se tiene:

( , ) ( , )a b c d a c b d

Ejemplo: A partir de la igualdad 3 2 3 2( 19; 6) ( , )a a b b ab , determinar un valor para 2 2a b .

Existe todavía otra forma de construir nuevos conjuntos a partir de unos dados.; lleva implícita la

noción de “par ordenado” de objetos. La noción de par ordenado se puede generalizar al caso de los

conjuntos, a través del producto de conjuntos, que se define a continuación:

Producto de Conjuntos:

Definición 1.2 (producto de conjuntos) Dados dos conjuntos ,A B U , diferentes del vacío,

definimos su producto A B como el conjunto de todos los pares ordenados ( , )a b para los cuales

a es un elemento de A y b es un elemento de B . En forma simbólica:

( , ) /A B a b a A b B

Observación 1.1: 1. Si A y B son finitos con m y n elementos respectivamente, entonces el producto de A B y

B A son finitos y tienen m n elementos y su elementos se puede determinar mediante un

diagrama de árbol. La potencia de los conjuntos A B y B A tienen 2m n subconjuntos

respectivamente, esto es; si:

( ) ( ) ( ) ( ) 2m nn A B m n n m n B A n P A B n P B A

2. El producto de conjuntos no es conmutativo, es decir; A B B A .

3. Si el conjunto A B , el producto de conjuntos lo denotaremos como: 2A B A A A .

4. El concepto de producto de conjuntos se puede extender a más de dos conjuntos.

5. Si es el conjunto de números reales y si los conjuntos A y B , el producto de

conjuntos toma el nombre de Producto Cartesiano y se define como el conjunto de pares

ordenados de números reales, es decir:

2( , ) /x y x y

Definición 1.3 (diagonal de un conjunto): Dado un conjunto A , la diagonal del producto de

conjuntos 2A A A que se denota por ( )D A , se define por:

( ) ( , ) /D a a b A A a b o ( ) ( , ) /D A a a a A

Representación gráfica del Producto de Conjuntos El producto de conjuntos A B es representado gráficamente en un diagrama rectangular, de tal

forma que en un lado del rectángulo (lado horizontal) se representan los elementos de A y en el

otro lado (lado vertical), los elementos de B . Si ( , )a b A B , este queda representado como la

intersección de dos rectas: una paralela al lado vertical y otra paralela al lado horizontal, lo que

nos permite establecer un sistema coordenado.

Si A y B , la gráfica del producto cartesiano se llama Plano Cartesiano y es la

representación geométrica de dos rectas coordenadas perpendiculares (llamados Ejes) que se

intersectan en el origen 0 de ambas. Los puntos ( , )x y representan los puntos ( , )P x y

del plano. Los ejes del plano son llamados: Eje de abscisas y Eje de Ordenadas respectivamente, y

dividen al plano en cuatro partes llamadas: primer cuadrante, segundo cuadrante, tercer cuadrante

y cuarto cuadrante; que se denotan por I, II, III y IV, respectivamente.

Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano XY , y las parejas ( , )x y de 2 , es

decir; a cada punto ( , )P x y del plano XY le corresponde un único par ordenado ( , )x y de 2 , y

recíprocamente a cada par ordenado ( , )x y de 2 le corresponde un solo punto ( , )P x y del plano

XY . En el par ordenado ( , )x y , la primera componente “ x ” se llama abscisa y la segunda

componente “ y ” se llama la ordenada.

RELACIONES BINARIAS

El estudio de las relaciones es de trascendental importancia en matemáticas pues resultan ser una

de las ideas más útiles para modelar e interpretar el mundo real. Por ejemplo, el movimiento de un

cuerpo en el espacio en relación al tiempo, la estatura promedio de un niño de 0 a 6 años y su edad, la

masa corporal de una persona y su índice de grasa, número de minutos que habla por teléfono y costo

de la llamada, la longitud del largo de un rectángulo cuyo ancho es 7m con el perímetro

correspondiente, los países de América del sur con sus respectivas capitales, etc. Para una mejor

comprensión de estos fenómenos establecemos sus relaciones y de acuerdo con nuestras

necesidades atribuimos a esta relación algún tipo de correlato o “representante” matemática, así por

ejemplo, para relacionar los países con sus respectivas capitales, podríamos primero considerar al

conjunto A como el conjunto de todos los países de América del sur y al conjunto B como el

conjunto de las capitales. Entonces existe una relación entre cada país y su respectiva capital, así

tenemos:

( , ),( , ),( , ),( , ),...R Perú Lima Ecuador Quito Colombia Bogotá Chile Santiago A B .

Este ejemplo, permite dar la siguiente definición:

Definición 1.4: Dados dos conjuntos A y B . Se llama relación binaria de A en B a todo

subconjunto R de A B . Es decir:

R es una relación binaria de A en B sí y sólo si R A B

El conjunto A es llamado el conjunto de partida y B es llamado el conjunto de llegada.

Observación 1.2:

1.- Si ( , )a b A B es tal que ( , )a b R , decimos que los elementos a y b están en la relación R

y denotamos por aRb . Esto motiva la siguiente notación:

: ( , ) /R A B R a b A B a Rb

Si ( , )a b R decimos que a y b no están en la relación R , y escribimos aRb .

2.- La definición R A B , asegura que el vacío A B y el producto cartesiano

A B A B son relaciones de A en B , y decimos que es la relación vacía y A B es la

relación total de A B respectivamente.

3.- Si A tiene m elementos y B tiene n elementos, entonces A B tiene ( )n A B m n

elementos y el conjunto potencia A BP tiene 2m n elementos. La potencia A BP

representa al conjunto de todos los subconjuntos de A B , entonces el número de relaciones de

A en B es ( )2 2n A B mn y si excluimos al conjunto vacío; el número de relaciones binarias no vacías

de A en B es 2 1m n .

Cuando los conjuntos A y B son finitos, la relación :R A B se puede determinar por extensión,

por medio de: un diagrama de flechas o diagrama sagital, o por medio de un diagrama cartesiano, o

mediante un diagrama del árbol, o por una tabla de valores de doble entrada.

4.- Se dice que R es una relación en un conjunto A , sí y solo si 2R A A A .

Dominio y Rango de una Relación: Sea R una relación de A en B , se define:

El dominio de la relación R , como el conjunto de todas las primeras componentes de la relación, es

decir: ( ) / ( , )Dom R x A x y R A

El rango de la relación R , como el conjunto de todas las segundas componentes de la relación, es

decir: ( ) / ( , )Ran R y B x y R B

Relación inversa y Relación Compuesta:

Definición 1.5: Toda relación :R A B tiene una relación inversa denotada por 1 :R B A y definida como:

1 ( , ) / ( , )R b a a b R B A

Observación 1.3:

(i) 1( ) ( )Dom R Ran R y 1( ) ( )Ran R Dom R

(ii) 1

1R R

Ejemplo: Dada la relación 2( ; ) / ; 3R x y y x x . Determine por extensión la

relación ( ; ) / ,S x y R x y y obtenga el dominio, rango e inversa de R y S .

Definición 1.6: Dadas las relaciones :R A B y :S B C , se denomina relación compuesta de S con R , y se denota por S R a la relación :S R A C , definida por:

, / ( , ) ( , )S R a c a b R b c S

Propiedades 1.1: La relación compuesta sugiere las siguientes propiedades:

1. La relación compuesta no es conmutativa, es decir: R S S R

2. La relación compuesta es asociativa, es decir: ( ) ( )S R T S R T

3. La inversa de la relación compuesta es la compuesta de las relaciones inversas en orden

invertido: 1 1 1( )R S S R .

Ejemplos:

1.- Sea 1,2,3,4A , 1,2,5B y 1,3,5C y las relaciones: 1 ( , ) /R a b A B a b

2 ( , ) /R b c B C b c . Hallar 2 1( )n R R

2.- Sean ,R S las relaciones en definidas por: 2 2 2( ; ) / 1R x y x y y

2( ; ) / 2 0S y z y z . Halle el dominio, rango y gráfica de S R .

Clases de Relaciones: Relaciones definidas en un conjunto Relación Reflexiva:

:R A A es reflexiva , ( , )a A a a R

Equivalentemente:

:R A A es reflexiva ( )D A R

Relación Simétrica:

:R A A es simétrica ( , ) , ( , ) ( , )a b R a b R b a R

Equivalentemente:

:R A A es simétrica 1R R

Relación Transitiva:

:R A A es transitiva ( , ) ( , ) ( , )a b R b c R a c R

Equivalentemente:

:R A A es transitiva R R R

Relación de Equivalencia:

:R A A es de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva

Relación Antisimétrica:

:R A A es antisimétrica ( , ) ( , )a b R b a R a b

Equivalentemente:

:R A A es antisimétrica 1 ( )R R D A

Relación de Orden:

:R A A es de orden es reflexiva, antisimétrica y transitiva

Observación:

Una relación estrictamente Reflexiva, cumple con todos los tipos de relaciones. Es decir; es

Reflexiva, Simétrica, Transitiva, Equivalencia, Antisimétrica y de Orden. La relación Nula o vacía, también cumple con todos los tipos de relaciones.

RELACIONES DE EN

El producto cartesiano se denota por 2 , donde es el conjunto de los números reales; se

define como el conjunto:

2 ( , ) /x y x y

Una relación R en los reales se define como:

2, /R x y x R y

Según esta definición, la gráfica de la recta, de la circunferencia, de la parábola, de la elipse, de la

hipérbola, y la gráfica de cualquier otra curva en el plano cartesiano, son relaciones de en .

También la gráfica de regiones limitadas por curvas, son relaciones de en , es decir, los

semiplanos, los planos y cualquier otra región del plano 2 son relaciones de en ; pues todas

son subconjuntos de 2 .

GRAFICAS DE RELACIONES EN 2

1.- La relación 2( , ) / 0R x y ax by c tiene por gráfica una línea recta, que pasa por los

puntos P y Q , como se muestra a continuación:

Ecuación: 0ax by c

am tg

b (Pendiente)

Interceptos con los Ejes:

Eje X : Si 0c

y xa

entonces:

El intercepto con el Eje X es el punto ( ,0)c

Pa

EjeY : Si 0c

x yb

, entonces:

El intercepto con el EjeY es el punto (0, )c

Qb

( )Dom R y ( )Ran R

2.- La relación 2 2 2( , ) / 0R x y x y dx ey f tiene por gráfica una circunferencia.

Ecuación: 2 2 0x y dx ey f , Completando cuadrados se obtiene una ecuación de la forma:

2 2 2( ) ( )x h y k r , donde:

2.1. 2 2 2: ( ) ( )C x h y k r ,

Es una Circunferencia de centro ( , )h k , y radio r tal que:

( ) ,Dom R h r h r

( ) ,Ran R k r k r

2.2. 2 2 2:C x y r , es una

Circunferencia de centro ( , ) (0,0)h k , y radio r tal que:

( ) , ( )Dom R r r Ran R

3.-La relaciones:

2 2( , ) /R x y x ay by c o 2 2( , ) /R x y y ax bx c

Tienen por gráfica una parábola.

Completando cuadrados en las ecuaciones: 2x ay by c y 2y ax bx c , se tienen las

siguientes formas, respectivamente:

2( ) ( )y k a x h … (1)

Estas ecuaciones representan dos parábolas con vértices en el punto ( , )V h k y tienen Eje focal

paralelo al Eje X y al Eje Y respectivamente. Un caso particular se muestra en las figuras.

Observación: En la fórmula (1):

Si 0a la parábola se abre hacia la derecha, y, su dominio y rango respectivamente será:

( ) ,Dom R h y ( )Ran R .

Si 0a la parábola se abre hacia la izquierda, y, su dominio y rango respectivamente será:

( ) ,Dom R h y ( )Ran R .

En la fórmula (2):

Si 0a la parábola se abre hacia arriba, y, su dominio y rango respectivamente será:

( )Dom R y ( ) ,Ran R k .

Centro ( , )h k Centro (0,0)

2( ) ( )x h a y k … (2)

Si 0a la parábola se abre hacia abajo, y, su dominio y rango respectivamente será:

( )Dom R y ( ) ,Ran R k .

En las figuras p representa la distancia del vértice al foco y su valor es 1

4p a .

En particular, si 0h k , se tienen las parábolas con vértice en el origen (0,0) , y son

respectivamente: 2y ax y 2x ay .

4.-La relación:

2 2 2( , ) / 0R x y ax cy dx ey f

Tiene por gráfica una elipse, donde , 0a c .

Completando cuadrados en la ecuación: 2 2 0ax cy dx ey f se tiene la fórmula:

Esta ecuación representa una elipse con centro en el punto ( , )C h k , y tiene Eje focal paralelo al

Eje X , si a b , y tiene Eje focal paralelo al Eje Y , si a b .

5.-La relación:

2 2 2( , ) / 0R x y ax cy dx ey f o 2 2 2( , ) / 0R x y ay cx dx ey f

Tienen por gráfica una hipérbola, donde , 0a c .

Completando cuadrados en las ecuaciones: 2 2 0ax cy dx ey f y 2 2 0ay cx dx ey f

se tienen las siguientes fórmulas:

Estas ecuaciones representan hipérbolas con centro en el punto ( , )C h k , y tienen:

Eje focal , paralelo al Eje X , si toma la forma de (3).

Eje focal , paralelo al Eje Y , si toma la forma de (4).

Observación:

En particular, la relación 2 1( , ) /R x y y

x

es una hipérbola con centro en el origen, donde:

La recta 0x es una asíntota vertical y la recta 0y es una asíntota horizontal.

Análogamente, la relación 2( , ) / ( ) ; , , 0( )

cR x y a y k a b c

b x h

es una hipérbola con

centro en el punto ( , )C h k , donde: La recta x h es una asíntota vertical y la recta y k es una

asíntota horizontal.

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

… (3)

2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

a b

… (4)

Discusión de la Gráfica de una Relación de en .

Sea 2( , ) / ( , ) 0R x y E x y una relación definida en 2 . Llamaremos gráfica de la relación

R al conjunto de puntos 2( , )P x y tal que ( , )x y R . Es decir, la gráfica de una relación es un

subconjunto de 2 o 2( )Graf R . Para graficar una relación definida en 2 es necesario hacer

una discusión, que consiste en determinar los interceptos con los ejes coordenados; determinar las

simetrías con respecto a los ejes coordenados y con respecto al origen, determinar la extensión de

la curva (o hallar el dominio y rango), determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas,

hacer una tabulación y por último con toda la información obtenida se procederá a trazar la gráfica

de la relación.

Criterios para Graficar una Relación en 2

Consideremos la relación 2( , ) / ( , ) 0R x y E x y definida en 2 .

1. Determinar los interceptos con los ejes coordenados:

Con él Eje X : Resolver la ecuación ( ,0) 0E x

Con él Eje Y : Resolver la ecuación (0, ) 0E y

Interceptos con el Eje X Interceptos con el Eje Y

2. Determinar las simetrías

Con él Eje X : Existe simetría si se cumple: ( , ) ( , )E x y E x y

Con él Eje Y : Existe simetría si se cumple: ( , ) ( , )E x y E x y

Con él Origen : Existe simetría si se cumple: ( , ) ( , )E x y E x y

Simetría con él Eje X Simetría con él Eje Eje Y Simetría con él Origen

3. Determinar la extensión de la curva: Consiste en determinar el dominio y el rango de la

relación R .

Para hallar el dominio de la relación definida por la ecuación ( , ) 0E x y se despeja la variable

“ y ” en términos de “ x ”, si fuera posible. Luego se analiza ¿para qué valores de x la variable

y es real?

Para hallar el rango de la relación definida por la ecuación ( , ) 0E x y se despeja la variable

“ x ” en términos de “ y ”, si fuera posible. Luego se analiza ¿para qué valores de y la variable

x es real?

Observación:

En la gráfica de una relación, se observa que su dominio es la proyección de la gráfica sobre él

Eje X , y el rango, es la proyección de la gráfica sobre él Eje Y .

4. Determinar las Asíntotas

Para hallar las asíntotas verticales de la relación definida por la ecuación ( , ) 0E x y se

despeja la variable “ y ” en términos de “ x ”, si fuera posible. Si la expresión resulta ser una

fracción algebraica, entonces los valores que anulan al denominador son las asíntotas

verticales.

Para hallar las asíntotas horizontales de la relación definida por la ecuación ( , ) 0E x y se

despeja la variable “ x ” en términos de “ y ”, si fuera posible. Si la expresión resulta ser una

fracción algebraica, entonces los valores que anulan al denominador son las asíntotas

horizontales.

Las asíntotas oblicuas se estudiarán en cursos superiores.

5. Tabulación: La tabulación consiste en determinar algunos puntos particulares de la relación,

teniendo en cuenta su dominio o su rango.

6. Trazar la gráfica: Con la información obtenida en los pasos anteriores y llevando al plano

ordenadamente, los pares ordenados calculados en la tabulación se logrará una gráfica exacta.

Ejemplo: Discutir la gráfica de la relación: 2( , ) / 2 2 6 0R x y xy x y .

GRÁFICA DE INECUACIONES EN 2

La gráfica de una relación R definida por una inecuación, es una región que divide al plano en dos

partes, y presenta una de las siguientes formas:

( , ) 0E x y o ( , ) 0E x y o ( , ) 0E x y o ( , ) 0E x y

Para el trazado de la región se sugiere graficar la curva ( , ) 0E x y y luego sombrear la región

pedida, considerando lo siguiente:

Elegir un punto 2

0 0( , )x y de una de las regiones, que no pertenezca a la curva.

Verificar si éste punto satisface la desigualdad.

- Si verifica la desigualdad se sombrea la región donde está el punto.

- Si no verifica la desigualdad se sombrea la región opuesta.

Problemas Propuestos: 01. Hallar por extensión la relación definida en 2 . Luego indique el número de

elementos de R .

2 2( , ) / ( 3 , 7 ) ( 2, 12)R x y x x y y

02. Dado el conjunto 2,3,5A y la relación R en A : 2( , ) /R x y A x y es impar Se

afirma que R es:

03. Dado el conjunto: 2,3,5A y la relación definida en A : (2,2),(2,3),(3,5),(3,3)R

Se concluye que R es:

04. Sea S el conjunto de todas las relaciones R de A en B , donde 1,2A y 3,5B .

Determine el número de elementos de S .

05. En 1,2,4,6,8A se define la relación 2( , ) / 3x y A es divisor de x y .

Determinar si es de equivalencia y de orden.

06. Se define en la relación : 3x y x y es múltiplo de . Determinar si es de

equivalencia y de orden.

07. La gráfica de la relación: 2( , ) / 8, 0R x y x y x y

Genera una región triangular cuya menor altura y área son respectivamente:

08. El intervalo que no pertenece el dominio de la relación 2( , ) / 2 4 12R x y x es:

09. Determine el área de la región definida por 1 2R R , donde:

2 2 2

1 ( , ) / 8 16R x y x y

2

2 ( , ) / 4R x y x y

10. Se define la siguiente relación: 2 2( , ) / ( )x y xy es par

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. 47,8 R

II. R es reflexiva. III R es simétrica.

11. Discutir la gráfica de las siguientes relaciones:

a)

2 2 2 2 2( ; ) / 4 4 0R x y x y x y

b)

2 2( ; ) / 4 0R x y yx x y

c) 2( , ) / 2 0R x y xy y x

12. Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando su respuesta:

I. Sea el conjunto 1;2;3;4A y R una relación en A entonces

( ; ) / 3R x y x y x y es de equivalencia.

II. (1;2), (3;4)R AxA es transitiva, donde

1;2;3;4A

III. La relación 2( ; ) / 1 1R x y x y es de equivalencia.

NOTA: Algunas de las figuras en estas notas de clase han sido tomadas del texto PRE CÁLCULO,

quinta edición, de James Stewart. Matemáticas para el cálculo.

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Los seres humanos nos comunicamos emitiendo y captando múltiples mensajes. Todo acto

comunicativo es el intercambio de información o mensajes a través de un medio entre un emisor y

un receptor, quienes comparten un código, de manera que el mensaje es codificado por el emisor y

decodificado por el receptor. A veces para comunicarnos nos valemos de ciertas señales que tienen

por finalidad producir una acción de manera directa e inmediata sobre el receptor del mensaje.

Por ejemplo, cuando en las calles vemos una señal, ella nos indica que debemos prestar atención a

un hecho en un momento determinado o modificar una actividad prevista. Las señales deben

respetarse ya que son de gran ayuda. A continuación presentamos dos columnas. En la primera

columna, mostramos algunas señales frecuentemente vistas en lugares públicos que nos indican qué

debemos hacer o no hacer en ciertas acciones. Coloque el significado de cada una de ellas en la

segunda columna.

Si cada señal es el valor de una variable y lo que significa es el valor de otra variable, responda a las

siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente?

Considerando las señales anteriores, responda a las siguientes preguntas:

b) ¿Cuál es el conjunto de valores que toma la variable independiente y cuál el que toma la

variable dependiente?

c) ¿Una misma señal puede tener más de un significado?

d) ¿La situación planteada representa una función? Justifique.

Quizá la idea matemática más útil para modelar el mundo real es el concepto de función.

En casi todo fenómeno físico se observa que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, la

estatura depende de la edad, la temperatura depende de la fecha, el precio de un artículo es una

función de la demanda de este artículo, etc. Se usa el término función para describir esta

dependencia de una cantidad sobre otra. Esto motiva la siguiente pregunta:

¿Qué es una función?

Una función es una regla de correspondencia que asigna a cada valor de un conjunto un único

valor en otro conjunto. El conjunto de valores de entrada recibe el nombre de dominio de la

función y el conjunto de valores de salida recibe el nombre de rango o imagen de la función.

La situación anterior es un ejemplo de función, donde la función es la regla que asigna a cada símbolo

un significado. Esta función no se puede expresar mediante una fórmula matemática ( )y f x sin

embargo, es una función porque esta asignación es única. Casos como este permiten representar a

una función de distintas maneras, así se tiene:

CUATRO FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN

FORMA VERBAL: Mediante una descripción con

palabras.

Ejemplo: El área de un círculo es una función de

su radio.

FORMA ALGEBRAICA: Mediante una fórmula

explícita.

Ejemplo: 2( )A r r

FORMA VISUAL: Por medio de una gráfica.

Ejemplo:

FORMA TABULAR: Por medio de una tabla de

valores.

Ejemplo:

0 0

1

2 4

3 9

4 16

5 25

En general las funciones son un tipo especial de relaciones. Así se tiene que:

aplicación f A B

FUNCIONES

REALES DE

VARIABLE REAL

:f A B

Una función f es una regla que asigna a

cada elemento x de un conjunto A

exactamente un elemento, llamado

( )f x , de un conjunto B , donde; A

y B .

( , ) / ( )f x y A B y f x

DOMINIO Son los valores que toma la variable

independiente x A ( ) / ( , )D f x A y B x y f

RANGO Son los valores que toma la variable

dependiente y B ( ) / ( , )

Im( )

R f y B x A x y f

f

GRÁFICA Son todas las parejas ( , )x y del plano

coordenado tales que ( )y f x .

( ) ( , ( )) /G f x f x x A

PRUEBA DE LA

RECTA VERTICAL

Una curva en el plano XY es la gráfica

de una función de x si y sólo si ninguna

recta vertical se interseca con la curva

más de una vez.

CONSECUENCIAS

1. Una función queda completamente

determinada si se conocen su regla de

correspondencia y su dominio.

2. Si ( , ) ( , )x y f x z f y z

IGUALDAD DE

FUNCIONES

Dos funciones: :f y :g

son iguales si y sólo si:

( ) ( ) ( ) ( )Dom f Dom g f x g x

Ejemplo: ( ) 3f x x y 2 9

( )3

xg x

x

no

son funciones iguales, pues

( ) ( )Dom f Dom g .

FUNCIÓN INYECTIVA: :f A B es inyectiva si: , ( )a b D f ; ( ) ( )a b f a f b

Equivalentemente: :f A B es inyectiva sí: , ( )a b D f ; ( ) ( )f a f b a b

La gráfica de una función es inyectiva, si toda recta horizontal la interseca en un solo punto.

FUNCIÓN SOBREYECTIVA: :f A B es sobreyectiva si: , ! / ( )b B a A f a b

Equivalentemente:

:f A B es sobreyectiva si: ( ) Im ( )R f g f B

FUNCIÓN BIYECTIVA: :f A B es biyectiva, sí es inyectiva y sobreyectiva.

FUNCIÓN INVERSA: Si la función :f A B tiene ( )D f A , ( )R f B y es inyectiva, entonces existe

su inversa. Se denota por: 1 :f B A . Además 1( )D f B , 1( )R f A .

Propiedad: 1( ) ( )f y x f x y , para cualquier y B .

FUNCIÓN REAL DE

VARIABLE REAL:

:f

TIPO DOMINIO Y

RANGO

CRCRECIENTE

O

DECRECIENTE

GRÁFICA

( )f x c , donde c es

constante

Función

Constante

( )D f

( )R f c

No crece ni

decrece

( )f x x

Función

identidad

( )D f

( )R f

Es creciente

( )f x mx

Función lineal

( )D f

( )R f

Si 0m , f

es creciente.

Si 0m , f

es decreciente.

( )f x mx b , ,m b

Función

Lineal Afín

( )D f

( )R f

Si 0m , f

es creciente.

Si 0m , f

es decreciente.

2( )f x ax bx c

Completando cuadrados se

obtiene la forma estándar:

2( ) ( )f x a x h k

, ,a h k

Función

Cuadrática

( )D f

Si

0a

( ) ,R f k , y

Si

0a

( ) ,R f k

(i) Decrece en

,h

crece en ,h

y ( )f h k es

un mínimo.

(ii) Crece en

,h

decrece en

,h

( )f h k es un

máximo

dxcxf

cxbxf

bxaxf

xf

,)(

,)(

,)(

)(

3

2

1

Función

Seccionada

( ) ,D f a d

( )R f

Según la regla

Crece, decrece

o es constante.

( )

, 0

, 0

f x x

x si x

x si x

Función valor

absoluto

( )D f

( ) 0,R f

Si 0x , f es

decreciente.

Si 0x , f es

creciente.

( )f x x

, 1x n n x n

n

Función mayor

entero

( )D f

( )R f

Se deduce de la

definición de

una función

seccionada.

( )f x x

Función raíz

cuadrada

( ) 0,D f

( ) 0,R f

Es creciente

( ) sgn( )

1, 0

0, 0

1, 0

f x x

si x

si x

si x

Función signo

( )D f

( ) 1,0,1R f

Se deduce de la

definición de

una función

seccionada.

( ) ( )

0, 0

1, 0

f x u x

si x

si x

Función

escalonada

( )D f

( ) 0,1R f

Se deduce de la

definición de

una función

seccionada.

xaxf )( , }1{ Ra

Función

Exponencial

( )D f

( ) 0,R f

Crece si 1a

Decrece si

0 1a

( ) logaf x x Se define

log y

a x y a x

Función

logaritmo

( ) 0,D f

( )R f

Es creciente

MAGNITUDES PROPORCIONALES Cuando los científicos hablan acerca de un modelo matemático para un fenómeno del mundo cotidiano

con frecuencia se refieren a una ecuación que describe la relación entre dos cantidades. Por

ejemplo, el modelo podría describir cómo la población de seres humanos varía con el tiempo o como la

presión de un gas varía a medida que cambia la temperatura.

VARIACIÓN DIRECTA: Dos tipos de modelos matemáticos se presentan con tanta frecuencia que tienen nombres especiales.

El primero se llama variación directa y se presenta cuando una cantidad es un múltiplo constante del

otro, de modo que usamos una ecuación de la forma y kx para modelar esta dependencia.

Definición: (Variación directa). Si las cantidades x y y están relacionadas mediante una ecuación:

y kx

Para alguna constante 0k , decimos que y varía directamente con x , o y es directamente

proporcional a x , o simplemente y es proporcional a x . La constante k se llama constante de

proporcionalidad.

Definición: (Variación inversa). Si las cantidades x y y están relacionadas mediante una ecuación:

ky

x

Para alguna constante 0k , decimos que y es inversamente proporcional a x , o que y varía

inversamente con x .

Definición: (Variación Conjunta). Si las cantidades x , y y z están relacionadas mediante la

ecuación:

z kxy

Para alguna constante 0k , decimos que z varía en forma conjunta con x y y , o que z es

conjuntamente proporcional a x y y .

Definición: (Variación directa e inversa). Si las cantidades x , y y z están relacionadas mediante

la ecuación:

xz k

y

Para alguna constante 0k , decimos que z es proporcional a x y que es inversamente proporcional a y .

Ejemplos: 01. El costo C de imprimir una revista es conjuntamente proporcional a la cantidad de páginas

p de la revista y la cantidad de revistas impresas m

a) Plantee una ecuación que exprese esta variación conjunta.

b) Encuentre la constante de proporcionalidad si el costo de impresión es 60 000 dólares para

4 000 ejemplares de la revista de 120 páginas.

c) ¿De cuánto sería el costo de impresión para 5 000 ejemplares de 92 páginas cada uno?

02. La tasa r a la cual una enfermedad se extiende dentro de una población de tamaño P es

conjuntamente proporcional a la cantidad x de personas infectadas y al número P x de

quienes no están infectados. Una infección brota en un pequeño pueblo cuya población es de

5000.

a) Escriba una ecuación que exprese r en función de x .

b) Compare la tasa de diseminación de esta infección cuando 10 personas están infectadas

con la tasa de diseminación cuando están infectadas 1000 personas. ¿Qué tasa es

mayor? ¿Con qué factor?

c) Calcule la tasa de diseminación cuando toda la población está infectada. ¿Por qué esta

respuesta es intuitiva? Grafique la función obtenida.

03. Las graficas indican la Proporcionalidad directa e inversa de los valores mostrados. Hallar la

suma de los cuadrados de a y b

04. Los días de lluvia de un mes cualquiera son D.P. a los días de lluvia del mes anterior, e I.P. a

la temperatura `promedio del mes anterior. Si en mayo llovió 8 días y la temperatura

promedio fue de 16ºC, determinar cuántos días llovió en julio, si en junio llovió 12 días y la

temperatura promedio fue 12ºC.

Nota: El intervalo es ,I a b

y

8

4

a 12

x

y 40 10

5 b x

TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES

INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

1. El interés es todo aquel provecho, utilidad o lucro producido por el capital.

2. El interés puede depender de tres factores fundamentales: el capital inicial, la tasa de

interés y el tiempo que dura el préstamo o la inversión.

Capital (P0): Es la cantidad de dinero que se presta o se invierte inicialmente.

Tasa de interés (r): Es un factor que se aplica al capital al final de cada periodo, que

se expresa generalmente de manera anual y que representa el beneficio que se obtendrá

por cada cien unidades del capital prestado o invertido (si está expresada en

porcentaje)

Tiempo (t): Es la duración del préstamo en años.

3.1. Interés Simple

Es el sistema en el cual la tasa de interés se aplica en cada año al capital inicial

Es decir, el valor P(t) del capital luego de t años está dado por:

0( ) (1 )P t P rt

3.2. Interés Compuesto

Es el sistema en el cual la tasa de interés se aplica en cada año al capital acumulado en el

año anterior. En este caso el valor del capital invertido o prestado, luego de t años está

dado por:

0( ) (1 )tP t P r

La diferencia fundamental entre el interés simple y el interés compuesto estriba en que en el

primero el capital permanece constante, y en el segundo el capital cambia al final de cada

año.

Ejemplos:

Una persona toma un préstamo de $12000, en un banco que trabaja con una tasa de interés

del 8% anual.

CASO 1: SUPONIENDO QUE EL INTERÈS ES SIMPLE

a) ¿Cuánto debe la persona al final del primer año?

Rpta: 12960))1(08,01(12000)1( P

b) ¿Y al final de 5 años?

Rpta: 16800))5(08,01(12000)5( P

c) ¿Y al final de n años?

Rpta: ))(08,01(12000)( nnP

CASO 2: SUPONIENDO QUE EL INTERÈS ES COMPUESTO

d) ¿Cuánto debe la persona al final del primer año?

Rpta: 12960)08,01(12000)1( 1 P

e) ¿Y al final de 5 años?

Rpta: 54,17631)08,01(12000)5( 5 P

f) ¿Y al final de n años?

Rpta: nnP )08,01(12000)(