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Universidad de Managua
Al más alto nivel
Curso de Matemática Básica
Conferencia Inicial
El Programa de Mat. Básica y Tema 1:ArtiméticaParticipantes:
Alumnos /Ciencias EEyAA
Profesor:
MSc. Julio Rito
Vargas Avilés.
www.jrvargas.wordpress.com
2018
Objetivos y temario del curso, video el trabajo colaborativo, y elementos
básicos de la aritmética.
Año académico:
DIDÁCTICA
DE LA
MATEMATICA
BÁSICA
Iniciar Curso
Mat. Básica
DIDÁCTICA DE LA MATEMATICA BÁSICA
Matemática
Básica
Ecuaciones
Lineales y
Cuadráticas
PolinomiosFunciones
Desigualdades
LinealesAritmética
El uso de las TICs ha venido a
favorecer la manipulación de la
información de las variables o datos
que son utilizados para el desarrollo
de modelos matemáticos. La
representación gráfica, el modelado y
otras bondades de estas
aplicaciones, es lo que las TICs,
ofrecen para desarrollar ejercicios,
algunos casos prácticos de
matemática difíciles de hacerlo con
papel y lápiz.
Las TIC s en el Aprendizaje de la Matemática GENERAL
El aprendizaje tradicional ha puesto como protagonista al profesor,
como el eje a partir del cual se genera el conocimiento. Ciertamente es
la figura que tiene la experiencia y el conocimiento, además de ser el
guía del alumno. Esto es, de su explicación y actividades que sugiera,
el alumno procesa, repite y elabora lo expuesto en clase.
Pero ¿qué sucede posterior a este proceso?, el alumno por naturaleza
tiende a rechazar las matemáticas, por lo que necesariamente se
requiere integrar nuevas variables al proceso de enseñanza-
aprendizaje, que pudiera constituir un atractivo para el estudiante, esto
es, un elemento detonante de interés hacia la materia en cuestión.
METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE
Tal elemento podría ser software matemáticos como Matlab, Derive,
Matemáticas, entre otros herramientas informáticas en la cual se puede
diseñar una serie de simuladores de cálculo, que permitan realizar
simulaciones con ejercicios matemáticos.
El trabajo colaborativo, en un contexto educativo, constituye un modelo
de aprendizaje interactivo, que invita a los estudiantes a construir juntos,
para lo cual demanda conjugar esfuerzos, talentos y competencias
mediante una serie de transacciones que les permitan lograr las metas
establecidas concienzudamente. Más que una técnica, el trabajo
colaborativo es considerado una filosofía de interacción y una forma
personal de trabajo, que implica el manejo de aspectos tales como el
respeto a las contribuciones individuales de los miembros del grupo.
METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE
Objetivos del Curso
Objetivo General• Expresar en su actividad profesional los valores éticos y estéticos dirigidos
hacia el desarrollo sostenible, sobre la base de la protección al medio.
• Inculcar hábitos de convivencia social, potenciando el respeto a los derechos
humanos, el fortalecimiento de la democracia, el patriotismo y la identidad
cultural.
• Realizar trabajo en equipo que fomente la práctica de la solidaridad y el
respeto al derecho ajeno en el estudio de la matemática.
• Formar valores éticos como: creatividad, independencia, objetividad,
solidaridad necesarios para el profesional de ingeniería industrial.
• Promover el cumplimiento en la entrega de trabajos y con la calidad necesaria
en los resultados que se presentan.
Objetivos del Curso
Objetivo General• Realizar operaciones con polinomios.
• Factorizar polinomios.
• Resolver ecuaciones lineales, cuadráticas y sistemas de ecuaciones lineales
con dos incógnitas.
• Graficar funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y por
ramas.
• Calcular áreas (figuras planas) y volúmenes de cuerpos sólidos.
• Aplicar las funciones trigonométricas, y sus inversas, y sus aplicaciones.
Competencias Genéricas de Matemática Básica
Instrumentales
Capacidad de análisis y
síntesis
Capacidad de organización y
planificación
Capacidad para la resolución
de problemas
Habilidad para analizar y
buscar información proveniente
de fuentes diversas
Comunicación oral y escrita
Capacidad de tomar
decisiones
Conocimientos de informática
relativos al ámbito de estudio
Personales
Capacidad para
trabajar en equipo
Capacidad crítica y
autocrítica
Compromiso ético en
el trabajo
Sistémicas Capacidad de
aprendizaje en equipo y
en forma autónoma.
Creatividad
Competencias Específicas de Mat. Básica
Maneja la información hasta
convertirla en un conjunto de datos útil
para la toma de decisiones.
Maneja software para calculo: Derive
y MatLab.
Resolver problemas de funciones en
forma gráfica. Con y sin apoyo de
software
Resuelve problemas de algebra como
operaciones con polinomios, radicación,
potenciación, fracciones entre otros.
Resolver ecuaciones con y sin apoyo
de software.
Aplica métodos matemáticos para
resolver problemas de funciones y
ecuaciones.
Expresa en forma sencilla un
problema del mundo real, usando
notación matemática.
PLAN TEMÁTICO
TemaTítulos
Horas
C AP PresencialesNo
presencialesTotal
1 Aritmética 2 4 6 4 10
2 Polinomios 2 8 10 8 18
3Ecuaciones Lineales y
Cuadráticas3 6 9 5 14
4 Desigualdades lineales 2 4 6 5 11
5 Funciones 2 7 9 8 17
Evaluaciones - - 2 - 2
Total 11 29 42 30 72
Bibliografía
Texto Básico
Aguilar, A., Valapi, F., Gallegos, H., & Reyes, R. (2009). Matemática simplificada (Segunda
ed.). Pearson.
Textos Complementarios
Earl W. Swokowiski Álgebra y Trigonometría Analítica con Geometría Analítica. Editorial
Grupo Editorial Iberomérica.
Aponte G, Pagán E, Pons F Fundamentos de Matemáticas Básica. Editorial Addison –
Wesley Iberoamericana
Murillo M, Soto A, Araya J.A. Matemática Básica con aplicaciones. Editorial EUNED
(Editorial Universidad Estatal a Distancia)
Barahona M, Oviedo J, Bujan V, Matemática Elemental Tomo I. Editorial de la Universidad
de Costa Rica
Fundamentos de Geometría Euclidiana.
Texto básico
para el curso
Objetivo:
Realizar operaciones con números decimales y
fracciones.
Realizar operaciones con números negativos y
positivos.
Calcular porcentajes y reglas de tres.
Contenido
Porcentajes.
Regla de tres
Aplicaciones del mínimo
común múltiplo y máximo
común divisor
Lectura y escritura de
números
Operaciones con números
positivos y negativos.
Operaciones con números
decimales y fracciones
El conjunto de los números.
El conjunto de los números:
N: Naturales
E : Enteros
Q : Racionales
Q´ : Irracionales
R : Reales
R
Q
E
NQ´
Los Números Naturales:
LECTURA Y ESCRITURA DE UN NÚMERO
En la recta numérica los números enteros negativos se ubican en forma simétrica
a los enteros positivos o naturales, es decir, a la izquierda del cero.
Así lo podemos observar la representación de algunos números enteros en la
siguiente recta numérica:
LOS NÚMEROS ENTEROS
𝐸 = …− 4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3,4, …
Números Opuestos o Simétricos
Los números que están a la misma distancia del 0 (cero) son números
opuestos, es decir, están ubicados simétricamente respecto al cero.
Analicemos el siguiente ejemplo: -5 es el opuesto de 5 porque están a la
misma distancia del 0; lo mismo ocurre con el 3 que es el opuesto de -3.
Gráficamente,
lo podemos observar:
Valor Absoluto de un número entero
La distancia de un número al cero es el valor absoluto del número. Simbolizamos
el valor colocando el número entre barras. Por ejemplo I3I =3 I-3I =3
-3 y 3 son números opuestos, ya que están a igual distancia del cero en la recta
numérica y por lo tanto tienen igual valor absoluto.
Luego de este análisis se llega a la siguiente conclusión:
Antecesor y Sucesor
Para cualquier número entero en la recta numérica es:
Antecesor (o anterior) : el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él .
Sucesor (o siguiente): el que está inmediatamente a su derecha.
Esto lo podemos ver en la siguiente recta numérica.
Orden en los Enteros
Para medir cantidades no enteras utilizamos las fracciones y números decimales, por ejemplo cuando
decimos que nos corresponden 2/3 de una cantidad, o cuando algo nos cuesta 2.35 córdobas. Las
fracciones pueden convertirse a forma decimal (exacta, periódica pura o periódica mixta) y viceversa.
Éstas forman los números racionales, conjunto que representaremos por:
Si en una fracción el numerador es múltiplo del denominador, dicha fracción es un número entero, por
tanto:
También los número racionales pueden todos ser representados sobre una recta:
-5.9 -10/3 -3/2 ½ 0 2.2 6.7
Q=𝑎
𝑏∥ 𝑎, 𝑏𝜖𝐸, 𝑏 > 0
LOS NÚMEROS RACIONALES
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Práctica:
Práctica:
EL MÁXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D.)
DEFINICIÓN:
El máximo común divisor de dos o mas números Es el mayor
de los divisores que son comunes a dicho número
Ejemplo:Los divisores de 18 y 24 son:
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
Los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6, el mayor de los divisores en común es el 6
Por tanto, el máximo común divisor de 18 y 24 es 6
Para calcular el MCD de varios números se descomponen simultáneamente en sus
factores primos, hasta que ya no tengan un divisor primo en común. Cuando los
números sólo tienen a la unidad como común divisor, los números reciben el nombre de
“primos relativos”.
Ejemplos:
1. Tres escuelas deciden hacer una colecta de dinero entre sus alumnos para donar a
varias instituciones de beneficencia. Si la primera junta 120 mil, la segunda 280 mil y
la tercera 360 mil córdobas, ¿cuál es la mayor cantidad que recibirá cada institución
de tal manera que sea la misma y cuántas instituciones podrán ser beneficiadas?
2. Un parque de diversiones quiere construir balsas con 3 troncos de palmera, los
cuales miden 15, 9 y 6 metros, ¿cuánto deben medir los pedazos de tronco si tienen
que ser del mismo tamaño?, ¿cuántos pedazos de troncos saldrán?
3. Calcula el MCD de los siguientes números:
a. 80, 675 y 900
b. 216, 300 y 720
c. 126, 210 y 392
EL MINIMO COMUN MULTIPLO (m. c. m.)
Definición: El menor numero
natural, que es múltiplo
simultáneamente de dos o mas
números, recibe el nombre de
mínimo común múltiplo
Para encontrar el mínimo común
múltiplo de varios números, estos
se descomponen en sus factores
primos comunes hasta que todos
los cocientes sean iguales a uno.
EJEMPLO: Encontrar el mínimo
común múltiplo de 108,162 y 270
Aplicaciones del MCM
1. Tres amigos pasean en bicicleta por un camino que rodea a un lago, para dar
una vuelta completa, uno de ellos tarda 10 minutos, otro tarda 15 y el tercero,
18 minutos. Parten juntos y acuerdan interrumpir el paseo la primera vez que
los 3 pasen simultáneamente por el punto de partida, ¿cuánto tiempo duró el
paseo?, ¿cuántas vueltas dio cada uno?
2. Rosa tiene cubos de color lila de 8 cm de arista y de color rojo de 6 cm de
arista. Ella quiere apilar los cubos en 2 columnas, una de cubos de color lila y
otra de color rojo, desea conseguir que ambas columnas tengan la misma altura,
cuántos cubos, como mínimo, tiene que apilar de cada color?
Realiza las siguientes operaciones.
Realiza las siguientes operaciones.
Tanto por ciento:
1.- Concepto de porcentaje
La expresión porcentaje o tanto por ciento equivale a “tantos de
cada 100”. Es decir, hablar del 40% es hablar de 40 de cada 100.
Teniendo en cuenta lo anterior, para hallar un tanto por ciento de
una cantidad deberíamos dividir primero por 100 para ver
cuántas cientos hay en la cantidad y después multiplicaríamos
por el tanto por ciento.
Así, para hallar el 35% de 420 haríamos lo siguiente:
420 / 100 = 4.2
4.2 * 35 = 147
En la práctica lo haremos de otras formas pero esta idea nos puede venir
bien para calcular mentalmente –o con cálculos sencillos- tantos por cientos
en los que aparecen ceros al final de las cantidades.
Recuerda que para dividir por 100 un número que acaba en ceros lo que
hacemos es quitar dos ceros. Por ello, para calcular estos porcentajes
quitaremos dos ceros y multiplicaremos las cantidades resultantes:
4% de 600 = 4*6 = 24
20% de 60 =
En el último ejemplo lo mejor es multiplicar 4 por 5 (sólo hemos quitado un cero) y del resultado, 20,
quitar el segundo cero y llegar al resultado final,2.
30% de 50 = 3 *5 = 15 40% de 500 = 40* 5 = 200
8% de 2000 = 4% de 50 =2 * 6 = 12 8 * 20 = 160 4 . 0.5 = 2
Tanto por ciento:
3.- Cálculo de porcentajes: porcentaje como regla de tres
Podemos interpretar el cálculo de un porcentaje como un problema de
proporcionalidad directa. Por ello, también podremos calcularlos por medio de
una regla de tres.Ejemplo: Calcular 40% de 650 Total Parte
100 ------ 40
650 ------ x
x
40
650
100 260
100
40.650x
Esta forma de calcular los porcentajes es particularmente útil para resolver
algunos problemas.
Tanto por ciento:
En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son chicas. ¿Qué porcentaje
representan las chicas?
(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que
corresponde a 100)
Planteamiento:
Alumnos %
30 ------- 100
12 ------- x
x
100
12
30 40
30
100.12x
Solución:
40%
Tanto por ciento:
Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, disminuye en un porcentaje de su valor y
llega a un valor final.
La camiseta que me gusta vale hoy $30 . Si en rebajas tiene un descuento del 25%. ¿Cuánto me costará
entonces?
30 – 7,5 = 22.5
Solución:
$22.5
Otra forma de resolverlo
Solución:
$22.5
DISMINUCIÓN PORCENTUAL
(Si me descuentan el 25%, pago el 75% del valor)
Precio: $30
Descuento: 25%
25% de 30 = 7.5
Precio: 30€
Decuento: 25%75% de 30 = 22.5
Tanto por ciento:
Otros problemas de aumento y disminución porcentual
Mi tío gana $1344 mensuales de sueldo después de un aumento del 12%. ¿Cuánto ganaba antes?
Antes Después
100 --- 112
x --- 13441344
112
x
100
112
1344.100x 1200
Solución:
1200 €
Son problemas en los que se nos pide averiguar el valor inicial conociendo el valor final y el porcentaje de
aumento o disminución. Los resolveremos de dos formas
Por regla de tres
Otra forma de resolverlo
112 % de x = 1344
100% + 12% = 112%
112
100.1344x 1200
Solución:
1200 €
Sueldo antes: x
Aumento: 12%
Sueldo después: 1344€
He pagado $22.50 por una camiseta. Si me han descontado el 25%, ¿cuál
era el precio antes de la rebaja?
Antes Después
100 --- 75
x --- 22,50
22,50
75
x
100
75
22,50.100x
Solución:
$30
Otros problemas de aumento y disminución porcentual
PORCENTAJES
Por regla de tres
30
Tanto por ciento:
Tanto por ciento:
Tanto por ciento:
Tanto por ciento: Aplicación
1. Paola compró una bicicleta de montaña en $800, si el precio incluía una rebaja
de 20%, ¿cuál era el precio normal de la bicicleta?
2. Jaime tiene una deuda de C$180 000, si 30% de esa cantidad se la debe a su
hermano y el resto a su tío Alberto, ¿cuánto le debe a su tío?
3. Un proveedor compra cajas con aguacates en $60 cada una y las vende con
una ganancia de 60% por caja, ¿cuánto ganará si compra 80 cajas?
4. Un contenedor de leche con capacidad para 800 litros está lleno en sus dos
quintas partes, si se agregan 80 litros más, ¿qué porcentaje del contenedor se
encuentra lleno?
Es la operación que se utiliza para encontrar el cuarto término en una proporción.
A la parte que contiene los datos conocidos se le llama supuesto y a la que
contiene el dato no conocido se le llama pregunta.
Regla de tres simple
Ejemplo 1:El precio de 25 latas de aceite es de $248, ¿cuántas latas se podrán comprar con
$1,240?
Solución: Supuesto: Si con $248 se compran 25 latas de aceite.
Pregunta: Con $1,240 se comprarán X latas de aceite.
248
1240=
25
𝑥→ 𝑥 =
1240∗25
248= 125 𝑙𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒.
Regla de tres simple
Ejemplo 2:
Una bodega se llena con 3500 sacos de 6 kg de papas cada uno y otra de la misma
capacidad se llena con sacos de 5 kg, ¿cuántos sacos caben en la segunda bodega?
Solución: Es una proporción inversa: Si disminuye el peso del saco, aumentará el
número de sacos.
Supuesto: Si con sacos de 6 kg se llena una bodega con 3500 sacos.
Pregunta: Con sacos de 5 kg se requerirán X sacos para llenar una de igual capacidad
5
6=
3500
𝑥→ 𝑥 =
6∗3500
5= 4200 𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑒 5 𝑘𝑔.
Se utiliza cuando se tienen más de 4 cantidades directa o inversamente
proporcionales.
Regla de tres compuesta
Ejemplo 1: Una fábrica proporciona botas a sus obreros, si 4 obreros gastan 6 pares
de botas en 120 días, ¿cuántos pares de botas gastarán 40 obreros en 300 días?
Solución
Se forman las razones entre las cantidades.
Si el número de obreros aumenta la cantidad de botas aumentarán , por tanto es
una proporción directa.
Si el número de días aumenta el número de botas aumenta, por tanto es una
proporción directa
4 obreros 120 días 6 pares de botas
40 obreros 300 días X pares de botas
Directa Directa
Regla de tres compuesta
4
40
120
300=6
𝑥→
40
4
300
120=𝑥
6
→ 𝑥 =40 ∗ 300 ∗ 6
4 ∗ 120= 150 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑡𝑎𝑠
Ejemplo 2: Si 24 motocicletas repartidoras de pizzas gastan $27 360 en gasolina
durante 30 días trabajando 8 horas diarias, ¿cuánto dinero se deberá pagar por
concepto de gasolina para 18 motocicletas que trabajan 10 horas diarias durante 6
meses? (considera meses de 30 días).
24 motociclistas 30 días 8 horas C$27,360
18 motociclistas 180 días 10 horas C$X
Inversa Directa Directa
Regla de tres compuesta
18
24
30
180
8
10=27360
𝑥→
24
18
180
30
10
8=
𝑥
27360
→ 𝑥 =24 ∗ 180 ∗ 10 ∗ 27360
18 ∗ 30 ∗ 8= 𝐶$ 273,600.00
Ejemplo 3: El padre de Alejandro contrató a 15 obreros que, al trabajar 40 días
durante 10 horas diarias, construyeron en su casa una piscina con capacidad para
80000 litros de agua; si Alejandro contrata a 10 de esos obreros para que trabajen
6 horas diarias y construyan otra piscina con capacidad para 40000 litros de agua,
¿cuántos días tardarán en construirla?
15 obreros 10 horas 80000 40 días
10 obreros 6 horas 40000 X días
Inversa Inversa Directa
10
15
6
10
80000
40000=40
𝑥→
15
10
10
6
40000
80000=
𝑥
40
→ 𝑥 =15∗10∗40∗40000
10∗6∗80000= 50 días