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Aritmética Básica. CECYTE Plantel 4, Comalcalco Tabasco. Ing. Martin López Segovia.

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A tod@s l@s jóvenes que inician su camino

en el maravilloso mundo de las…..


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INDICE PAG.

1. MATEMATICAS 6

1. 1 Definición 6

2. ARITMETICA 6

2.1 Definición 6

2.2 Introducción 6

2.3 Contextos numéricos 6

2.3.1 Concepto de número y sistema numérico 7

3. SISTEMAS NUMÉRICOS 8

3.1 Clasificación de números reales 8

3.1.1 Números naturales (N) 9

3.1.1.1 Signos de agrupación 9

3.1..2 Números enteros (Z) 11

3.1.2.1 La ley de los signos 12

3.1.3 Números racionales (Q) 14

3.1.3.1 Números racionales, su equivalencia y orden 16

3.1.3.2 Fracciones propias, impropias y mixtas. 17

3.1.3.3 Convertir un quebrado en Mixto 18

3.1.3.4 Convertir un mixto en quebrado 18

3.1.4 Números irracionales (I) 18

3.1.5 Números reales (R) 20

3.1.6 Números primos 21

3.1.6.1 Criterios de divisibilidad 23

3.1.6.2 Descomposición en factores primos 25

3.1.7 Breve introducción a los números decimales 26

3.2 Recta numérica 27

3.2.1 ¿Qué es una recta numérica? 27

3.2.2 La Recta numérica y los números enteros 28

3.2.2.1 Ideas de >, <, = entre los enteros 29

3.2.2.2 Valor absoluto de un numero entero 30

3.2.3 Los racionales en la recta numérica 31

3.2.3.1 Simétrico de un numero racional 33

3.2.4 Números reales en la recta numérica 33


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3.2.4.1 Relación de magnitud entre números reales 34

3.3 Operaciones aritméticas básicas 35

3.3.1 Operaciones con números enteros 36

3.3.1.1 Suma y resta 36

3.3.1.2 Multiplicación 37

3.3.1.3 División 39

3.3.1.4 Jerarquía de las operaciones 40

3.4 Simplificación de fracciones 42

3.5 mcm 43

3.6 MCD 46

3.7 Operaciones con fracciones racionales 48

3.7.1 Suma de fracciones racionales (igual y diferente denominador) 48

3.7.2 Resta de fracciones racionales (igual y diferente denominador) 52

3.7.3 Operaciones mixtas de suma y resta con fracciones 53

3.7.4 Multiplicación de números racionales 55

3.7.5 División de números racionales 60

3.8 Operaciones con decimales 64

3.8.1 Números decimales 64

3.8.2 Suma de decimales 66

3.8.3 Resta de decimales 66

3.8.4 Multiplicación de decimales 67

3.8.5 División de decimales 68

3.8.6 Convertir decimales a fracciones 72

3.9 Evaluación 78

4. POTENCIAS Y RAICES 80

4.1 Potencias 80

4.1.1 Potencia de base entera y exponente natural 81

4.1.2 Propiedades de las potencias 83

4.1.2.1 Potencia de exponente 0 83

4.1.2.2 Potencia de exponente 1 83

4.1.2.3 Potencia de exponente entero negativo 83

4.1.2.4 Potencia de exponente racional 83

4.1.2.5 Potencia de exponente racional y negativo 84


5

4.1.2.6 Potencia de un producto 84

4.1.2.7 Productos de potencia de la misma base 84

4.1.2.8 Productos de potencia de diferente base 85

4.1.2.9 Cocientes de potencias de la misma base 85

4.1.2.10 Potencia de cociente 86

4.1.2.11 Potencia de potencias 86

4.1.2.12 Potencia donde la base es un producto 87

4.1.2.13 Potencia con base racional 87

4.1.2.14 Potencia de recíprocos 88

4.1.2.15 Ejercicios 89

4.1.3 Propiedades de base 10 92

4.1.4 Potencia de base decimal 94

4.2 Radicales 95

4.2.1 Signos de una raíz 97

4.2.2 Actividad 99

4.2.3 Propiedades de los radicales 100

4.3 Potenciación y radicación de números racionales 104

4.4 Transformación de potencias fraccionarias a radicales y viceversa 104

4.5 Simplificación de radicales 105

4.6 Suma y resta con radicales 109

4.7 Evaluación 111

5. HABILIDAD MATEMATICA 118

5.1 Sucesiones numéricas 118

5.2 Series espaciales 119

5.3 Imaginación espacial 120

5.4 Problemas de razonamiento matemático 121

5.5 Sucesiones, progresiones y series 122

5.6 Razones, porcentajes y proporciones 125

5.7 Regla de 3 131

5.8 Tanto por ciento 134


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1. MATEMATICAS.

1.1 DEFINICION.

La palabra matemática proviene del griego mathema, que significa ciencia, conocimiento, aprendizaje. Ciencia que estudia las magnitudes numéricas y espaciales y las relaciones que se establecen entre ellas. Para los antiguos griegos, las matemáticas representaban la ciencia dedicada al estudio de las propiedades generales de los números (Aritmética) y las figuras (Geometría). Mucho más tarde adquirieron carácter autónomo otras ramas: el álgebra, el análisis, las varias derivaciones de la geometría, la teoría de conjuntos, el cálculo de probabilidades, etc. Desde la antigüedad las matemáticas han tenido una función fundamental en las ciencias de la naturaleza, ya que proporcionan un lenguaje riguroso y sintético para expresarlas, y son un material inextinguible para crear nuevos modelos de interpretación de los fenómenos revelados por la experiencia.

2. ARITMÉTICA.

2.1 DEFINICION.

La Aritmética es la rama de las Matemáticas que estudia las operaciones, relaciones y propiedades que existen entre los números. El significado y uso de los números varía dependiendo el contexto y son tan indispensables que nuestra sociedad no sería la misma si ellos no existieran. Esta palabra precisamente tiene su origen en el vocablo griego Arithmos, que significa números. En conclusión, es la rama de las matemáticas que tiene por objeto el estudio de los números.

2.2 INTRODUCCION.

Cuando al hablar se dice “tres”, o cualquier otra palabra numérica parece que nos estamos refiriendo a una cuestión muy sencilla (quizá sea por la costumbre que tenemos de utilizarla), sin embargo un análisis cuidadoso de la cuestión nos hace ver que la expresión “tres” o cualquiera otra expresión numérica encierran múltiples conceptos algunos de ellos complejos debido en parte a los distintos contextos en los que se utilizan los números.

2.3 CONTEXTOS NUMERICOS.

Las palabras numéricas se utilizan en distintos usos y contextos así: • Uso en la secuencia convencional numérica. • Empleo de dicha secuencia para contar. • Asociación de cada palabra con un símbolo. • Utilización para indicar la numerosidad de un conjunto. • Utilidad para indicar la posición relativa de los objetos. • Función de código • En contexto de medida. Según el uso, o el contexto, en el que se utilicen las palabras numéricas, tendrán un significado distinto.

http://conceptodefinicion.de/ciencia/


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2.3.1 CONCEPTO DE NÚMERO Y SISTEMA NUMERICO.


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3. SISTEMAS NUMERICOS.

Revisar el video “Categorización de los números” en YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=7RWRa-EwYqs O en la siguiente plataforma: https://es.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-operations/cc-8th-irrational-numbers/v/categorizing-numbers Haga un resumen, cuadro sinóptico, mapa mental o conceptual; haga una lista de las dudas que le hayan quedado y vaya respondiéndolo a medida q vayamos avanzando en los temas; al llegar al tema 3.1.4 Números irracionales, muestre al profesor sus dudas ya contestadas o termine de aclararlas con el si es que aun existieran. Haga una lista con palabras que no entienda o sepa su significado y búsquelo en el diccionario, mostrarlo al profesor junto con la actividad anterior.

3.1 CLASIFICACION DE NUMEROS REALES.

N son naturales, Z son números enteros, Q son números racionales, I son números irracionales y R son números reales.

https://www.youtube.com/watch?v=7RWRa-EwYqs

https://es.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-operations/cc-8th-irrational-numbers/v/categorizing-numbers

https://es.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-operations/cc-8th-irrational-numbers/v/categorizing-numbers


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3.1.1 NUMEROS NATURALES (N).

conjunto de los números enteros.

3.1.1.1 SIGNOS DE AGRUPACION. Son el paréntesis ordinario ( ). Paréntesis angular o corchete [ ]. Las llaves { }. Y la barra o vínculo _______.


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El vínculo a veces se llama subrayado. El hecho de que 7+2-5 deba sustraerse de 15, por ejemplo, podría indicarse en alguna de las siguientes formas:

15 – (7+2-5) 15 – [7+2-5] 15 - {7+2-5} _____ 15 - 7+2-5

En realidad, el vínculo raramente se emplea, excepto en conexión con el símbolo radical, tal como:

√20+5 Los paréntesis son los símbolos de agrupamiento usados más comunes. Cuando se necesitan varios símbolos para evitar confusión en el agrupamiento, los paréntesis son por lo general los símbolos más internos, seguidos por los corchetes y luego por las llaves como símbolos externos. Este ordenamiento con símbolos de agrupamiento se ilustra como sigue: Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así, (a+b)c indica que el resultado de la suma a y b debe multiplicarse por c. [a-b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m. {a+b} ÷ {c-d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.


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3.1.2 NUMEROS ENTEROS (Z).


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3.1.2.1 LEY DE LOS SIGNOS. La ley de los signos es una ley que corresponde y atiende a los números positivos y

negativos de los números enteros. Esta ley se ocupa del sentido de los números y ocupa los signos “+” y “-”, siendo el signo + nombrado “más” y correspondiendo a los números positivos y el signo – de nombre “menos” corresponde al negativo y es de los negativos. La ley de los Signos es utilizada para el conjunto de los Números Enteros, también es una introducción al álgebra. Suma:

Si los números tienen el mismo signo se suman se deja el mismo signo. 3 + 5 = 8 -3 - 5 = -8

Resta:

Si números tienen distinto signo, se restan y al resultado se le coloca el signo del número con mayor valor.

3 - 5 = -2 −3 + 5 = 2


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Multiplicación: En la multiplicación, cuando se realiza la operación con números de signo igual, el resultado es positivo, no importa si el signo es + o –:

(+5) x (+4) = +20 (-5) x (-4) = +20

Pero en el caso de que los signos sean diferentes el resultado será negativo.

(-3) x (+5) = -15 (+6) x (-3) = -18

División: En la división cuando se dividen números de igual signo el resultado es positivo, independientemente del signo de que se trate:

(+12) ÷ (+4) = +3 (-8) ÷ (-2) = +4

Y en el caso de signos distintos el resultado será negativo:

(-6) ÷ +2 = - 3

(+10) ÷ (-2) = -5

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = − 10

(−2) · 5 = − 10

10 ÷ 5 = 2

(−10) ÷ (−5) = 2

-10 ÷ (+5) = − 2

(+10) ÷ (-5) = − 2


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Potencias: 1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base.

Nótese que si es positiva la base, no importa si el exponente es par o impar, siempre dará positivo el resultado, pero; Si es negativa la base, si el exponente es par, el resultado es positivo y si el exponente es impar, el resultado será negativo.

3.1.3 NUMEROS RACIONALES (Q). La división de 2 números no siempre es exacta y esto ha dado origen a otro grupo de números: Los racionales, que es aquel que puede expresarse por medio de una pareja ordenada de números (a/b), donde a y b son enteros y b es diferente de cero.

5 5

5 5 1/20

5 personas

(2)6 = 64 (−2)6 = 64

(2)3 = 8 (−2)3 = −8


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A partir de una fracción es posible encontrar fracciones equivalentes:

1/2 * 2/2 = 2/4; 2/4 * 2/2 = 4/8; etc.

Para encontrar una fracción equivalente a una dada, se multiplica el numerador y denominador por un mismo número, la fracción resultante será equivalente a la original. Ejemplos: Encontrar 2 fracciones equivalentes a 4/7.

4/7 x 2/2 = 8/14; 4/7 = 8/14. 4/7 x 3/3 = 12/21; 4/7 = 12/21.

Dada una fracción común, se puede obtener fracciones equivalentes a ella multiplicando ambos miembros de la fracción por cualquier número natural, excepto el cero. Considerando las clases de equivalencias se puede dar la siguiente definición: “Un numero racional es una clase de equivalencia de fracciones”. Cada fracción de una clase de equivalencia (número racional) puede ser utilizada para simbolizar dicha clase. Por ejemplo, se puede utilizar el racional ½ para simbolizar 1/2, 2/4, etc; o cualquier fracción de esa clase. Por lo tanto, 1/2 = 2/4 y simbolizan el mismo número racional.


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3.1.3.1 NUMEROS RACIONALES SU EQUIVALENCIA Y ORDEN.

Entre dos números racionales se puede establecer una relación especial: “La relación de orden”. Esta relación, también llamada “Ley de Tricotomía”, establece que entre dos números racionales a/b y c/d, se da una y solo una de las siguientes relaciones:

a/b > c/d; a/b < c/d o a/b = c/d. Para establecer entre una pareja de racionales cual es mayor, menor o si son iguales, debe observarse lo siguiente: -De 2 números racionales, uno positivo y el otro negativo, el mayor será siempre el positivo.

3/5 y -1/4; entonces, 3/5 > -1/4. -4/8 <4/8.


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-Entre un racional positivo y el cero, el mayor es el racional positivo. 3/5 > 0; 2/3 > 0/9.

-Entre un racional negativo y el cero, el mayor es el cero.

-48/3 < 0; -4/8 < 0; 0/10 > -3/5. -Entre 2 racionales positivos, el mayor se determina fácilmente por medio de productos cruzados. -Entre 2 racionales negativos, el mayor será el de menor valor, sin importar el signo, realizando nuevamente productos cruzados. - 6/8 -3/6 (6)(-6) = -36 = 36; (8)(-3) = -24 = 24; Entonces, -6/8 < -3/6. - 1/2 -3/5 (5)(-1) = 5 (2)(-3) = 6; Entonces, -1/2 > -3/5.

3.1.3.2 FRACCIONES PROPIAS, IMPROPIAS Y MIXTAS.

Los racionales comunes son de 3 tipos: fracciones propias, impropias y Mixtas.

4

5

2

3

4

5

2

3 > Entonces:

10 12

3

5

6 10

3

5

6 10

= Entonces:

30 30


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3.1.3.3 CONVERTIR UN QUEBRADO EN MIXTO. Buscamos un número que multiplicado por el denominador, su resultado se aproxime lo más posible al numerador, y si sobra, se representa como quebrado, ya que el número encontrado que multiplica al denominador será el entero. Ejemplo, convertir 17/3 a mixto. El número que multiplica al 3 para que se aproxime al 17 es el 5, que da 15, ya que el 6 se pasa, puesto que 6x3=18. Por lo tanto, 5x3=15, pero como tenemos 17, nos sobra 2, lo cual dice que tenemos 2/3, ya que se conserva el mismo denominador del quebrado dado.

17/3 = 5 2/3.

3.1.3.4 CONVERTIR UN MIXTO EN QUEBRADO. Se multiplica el entero por el denominador, al producto se añade el numerador y esta suma se parte por el denominador. Ejemplo: Convertir 5 2/3 a quebrado IMPROPIO. Una unidad equivale a 3 tercios, luego, en 5 unidades hay 15 tercios, más los dos tercios que ya tenemos suman 17 tercios.

3.1.4 NUMEROS IRRACIONALES (I).

5 2

3 = 5x3 + 2

3 = 15 + 2

3 = 17

3


19

En el siglo V antes de nuestra era, Pitágoras, un célebre filósofo y matemático, fundo una sociedad filosófica secreta. Ellos estaban convencidos que todos los fenómenos naturales, incluso abstracciones como la justicia, el alma y el amor, podían expresarse en términos de la razón de 2 números enteros. Así, cuando sus estudios acerca de la relación entre catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo originaron a un número que no cumplía con esas características, No pudieron proseguir matemáticamente, ese número era √2.

En los números Racionales, la


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Obteniendo la raíz cuadrada de 2: 1.4142136….. Se observa que su representación decimal es infinita pero No periódica. Existen otras raíces de números enteros positivos con características semejantes, Ejemplos:

√3 = 1.73205……. √5 = 2.23606……. √6 = 2.449489…...

√7= 2.6445751….. √10 = 3.162277…. √11 = 3.316624….

El valor de π, que representa el número aproximado de veces que la circunferencia contiene a su diámetro, también es número decimal infinito no periódico.

Π = 3.1415926… Todos los números que tienen una representación decimal infinita no periódica se denominan números irracionales.

3.1.5 NUMEROS REALES (R). El desarrollo de los conjuntos numéricos presentados hasta ahora nos conduce a la siguiente definición: “Los números reales es la unión de todos los sistemas numéricos mencionados anteriormente”.


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3.1.6 NUMEROS PRIMOS.

Numero primo absoluto o simple, es el que solo es divisible por sí mismo y la unidad. Numero compuesto o No primo, es aquel que además de ser divisible por sí mismo y por la unidad lo es por otro factor. Por lo que respecta al número 1, se dice que No es número primo ni tampoco numero compuesto, ya que tiene únicamente un divisor y, por lo tanto, se le conoce como numero unitario. Con respecto al número 2, se dice que es el menor de los primos y que además, es el único par primo. En el siglo III a.n.e. un griego llamado Eratóstenes ideo un método a través del cual se podían localizar los números primos. Una vez que realizo la identificación de dichos números, su tabla quedo como una CRIBA, por lo que a este procedimiento se le conoce como Criba de Eratóstenes, la cual consiste en colocar una serie de números, por ejemplo del 1 al 100 y aplicar las siguientes reglas. La criba es una herramienta formada por un aro que dispone de una malla. Este utensilio se utiliza para ahechar: limpiar granos o semillas. Al emplear la criba, es posible quitar las sustancias sólidas no deseadas que se encontraban mezcladas con los granos.

http://definicion.de/herramienta/


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Cuando se hace que los granos pasen por la criba, se logra separar los elementos más pequeños de aquellos más grandes gracias a la malla. Así se eliminan las impurezas que no son útiles. Al cribar el trigo, por ejemplo, se puede excluir la paja. Los agujeros de la malla de la criba tienen distintos tamaños de acuerdo a su uso. Esta característica depende de aquello que se pretende eliminar: si se quiere quitar el polvo, por citar un caso, las aberturas deben ser minúsculas.

1. Se tacha el número 1, porque No es número primo ni compuesto. 2. Hecho esto, a partir del 2, que se deja, se tacha su cuadrado, 4, y a partir del 4 se van

tachando de 2 en 2 lugares, todos los números siguientes múltiplos de 2. 3. A partir del 3, que se deja, se tacha su cuadrado 9, y desde el 9 se tachan de 3 en 3

lugares, todos los números siguientes múltiplos de 3. 4. A partir del siguiente número que no se haya tachado, 5, que se deja, se tacha su

cuadrado 25, y desde 25 se tachan de 5 en 5 lugares todos los números siguientes múltiplos de 5.

5. A partir del otro número no tachado, 7, que se deja, se tacha su cuadrado 49, y desde el 49 se van tachando de 7 en 7 lugares todos los números siguientes múltiplos de 7.

6. A partir de los siguientes números no tachados, se procede de modo semejante, se dejan esos números, se tacha su cuadrado, y a partir de este, se tachan los números siguientes, de tantos en tantos lugares como unidades tenga el número primo de que se trate.

La operación termina al llegar a un número primo, cuyo cuadrado quede fuera del límite dado, en este caso (100). Los números primos son los que quedan sin tachar. Como podemos observar, los números que han quedado sin tachar en esta tabla o Criba de Eratóstenes son los números primos menores que 100. En la tabla anterior, terminal al llegar al número 11, cuyo cuadrado es 121, queda fuera de la tabla, si hubiese sido de 1 al 150 si entraría, pero terminaría en el siguiente primo (13), cuyo cuadrado es 169, quedaría fuera de la tabla.

http://definicion.de/elemento/


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Este procedimiento, como ya se dijo, se conoce con el nombre de Criba de Eratóstenes. Se llama criba, porque al tachar los números se van formando como agujeros y de Eratóstenes porque fue este celebre matemático griego el creador de este procedimiento.

3.1.6.1 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. Los criterios de divisibilidad nos van a ayudar a descomponer un número en sus divisores, es decir, nos van a ayudar a saber cuáles son sus divisores.

Un número es divisible por 2 si acaba en cero o en cifra par. Ejemplos: Números divisibles por 2: 36, 94, 521342, 40,...

Un número es divisibles por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3. Ejemplos: 810 es divisible entre 3 porque 8 + 1 + 0 = 9 561 es divisible entre 3 porque 5 + 6 + 1 = 12 36, 2142, 42,...

En el tema 3.7.


24

Un número es divisible por 5 si acaba en cero o en 5. Ejemplos: Números divisibles por 5: 35, 2145, 40,...

Divisibilidad entre 7: para saber si un número es divisible entre siete se duplican las unidades y el resultado se resta a las cifras restantes. Este paso se repite hasta que la

diferencia este formada por una o dos cifras; si estas últimas son cero o múltiplos de

siete, el numero propuesto es divisible entre siete. Ejemplo: 1 827 Se duplican las unidades: 7 x 2 = 14 El resultado se resta al número formado por las cifras sobrantes: 182 - 14 = 168 En el número obtenido se duplican las unidades nuevamente: 8 x 2 = 16 Se resta a las cifras restantes: 16 - 16 = 0 Como la diferencia final es cero, 1 827 si es divisible entre 7.

Criterio de divisibilidad por 11: Debemos hacer lo siguiente: Sumamos las cifras que ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares. A la suma mayor le restamos la suma menor, si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, entonces el número es múltiplo de 11.

Ejemplos: Números que sin son divisibles por 11: 2343649, 9889, 18161902,...

Izquierda a derecha


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Resumen de Criterios más utilizados:

3.1.6.2 DESCOMPOSICION EN FACTORES PRIMOS.


26

3.1.7 BREVE INTRODUCCION A LOS NUMEROS DECIMALES.

Son números reales, racionales que pueden ser del tipo puro o periódico. Existen varias

formas de separar los números decimales; puede ser con una coma, con un punto o con un

apóstrofe según se acostumbre y se desee, pero también existen varias formas de números

decimales, entre los que tenemos:

Números decimales exactos.- estos son valores cuya parte decimal posee un número limitado de cifras decimales y se pueden escribir sin un excesivo esfuerzo, como estos:

0,75; 0.5; 0`25; 2.2 salen de dividir por el método de casita los racionales 3/4, 1/2, 1/4, 2 1/5.

Números decimales periódicos.- son aquellos que tienen un número ilimitado o infinito de cifras decimales, pero que se repiten en un patrón o período determinado que es visible dentro de un número de cifras variable en cada caso. Para denotar que se trata de un número infinito, que no puede ser escrito indefinidamente por un ser humano, se utilizan tres puntos seguidos que significa infinidad, por ejemplo.

1,333333333…; 6,0505050505…; 5,325483254832548…


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Números decimales periódicos puros.- son aquellos en los que el periodo (es decir, la parte decimal que se repite) empieza justo después del punto:

2/3=0'666666... (Comprobar Método de casita) 3,63636363…

Números decimales periódicos mixtos.- son aquellos en los que entre la parte entera y el periodo hay una parte decimal que no se repite, llamada anteperiodo. Así, por ejemplo,

7/15=0'4666....

Es decir, existen cifras que están fuera del periodo o patrón de cifras decimales, como en:

9,36666666…

Números decimales no periódicos.- estos números tienen cifras decimales infinitos que no pueden ser definidas como un patrón, un buen ejemplo de números decimales no periódicos, son los números irracionales, como:

El número Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.141592653589…

3.2 RECTA NUMERICA.

La recta numérica también recibe el nombre de “eje numérico” o “eje de coordenadas”, porque a los números que se asocian con los puntos de esta recta se les llama coordenadas.

3.2.1 ¿QUE ES UNA RECTA NUMERICA?.


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3.2.2 LA RECTA NUMERICA Y LOS NUMEROS ENTEROS.

Se ha construido una clase de números diferentes de los naturales a los que se acostumbra nombrar como “Enteros Negativos”, de acuerdo con las siguientes reglas.

1. Para cada número natural diferente de cero se inventó un numero entero negativo que se representa con el mismo símbolo del natural anteponiéndole el signo (-), el cual, en este caso no es el signo de sustracción.

2. El número natural cero no da lugar a ningún entero negativo. A partir de 1 se forma el numero negativo -1, partiendo del 2 se forma el número -2, etc. Si se considera los números naturales junto con los números enteros negativos, a la reunión de ambos se le llama números enteros. Cuando en una discusión se está considerando a los enteros se conviene que a los naturales diferentes del cero se les llame enteros positivos. De esta forma se puede afirmar que existen 3 clases de números enteros: Los enteros positivos, Negativos y el Cero. Con los números enteros y algunas reglas para ordenarlos y operar con ellos, se pueden representar y manejar cantidades que tienen, o conviene que tengan “sentidos opuestos”. La recta numérica de los números enteros contiene números naturales positivos (Enteros positivos), el cero como origen o centro y los números negativos, que se representan en sentido opuesto a los naturales, utilizando la unidad de medida ya definida para ellos. Obsérvese que en una recta numérica de números enteros, cada uno de los números naturales y los negativos que generan (sus opuestos) son “Simétricos” con respecto al punto cero. Por esta razón se dice de cada uno de ellos es simétrico del otro. Por ejemplo, el simétrico de 5 es -5 y el simétrico de -48 es 48.

UNIDAD DE MEDIDA


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3.2.2.1 IDEAS DE “MAYOR QUE >”, “MENOR QUE <” O “IGUAL A =”

ENTRE LOS ENTEROS. Dados dos números enteros representados en una recta numérica:

a) Es mayor el que está a la derecha. b) Es menor el que está más a la izquierda. c) Son iguales si les corresponde el mismo punto.

Cualquier positivo es mayor que cualquier negativo.

Cualquier negativo es menor que cero.

Cualquier negativo es mayor que otro negativo si el primero está más a la derecha que el segundo.


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Otra propiedad importante del orden de los naturales que se conserva para los enteros es la propiedad de Transitividad, con ella se pueden hacer afirmaciones como las siguientes:

Si se tiene que -8<-5 y -5<-3, se puede afirmar que: -8<-3.

9>0 y 0 > -2; 9 > -2. Se puede ahora concluir que el conjunto de los números enteros es un conjunto ordenado.

3.2.2.2 VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO ENTERO. Los números enteros negativos se inventaron para que junto con los números naturales pudieran describir situaciones en las que hubiera cantidades con sentidos opuestos. Ahora bien, algunos casos de esas mismas situaciones, No es necesario considerar su sentido, lo cual se puede indicar con un mismo número. Por ejemplo, la situación de subir o bajar los escalones de una escalera, si nos interesa conocer el número de escalones que se recorren, no importa si se sube o baja; es conveniente utilizar el numero 6 (por ejemplo), para hacerlo, esto si la escalera tiene 6 escalones. Muchas situaciones de este tipo conducen a la idea de “Valor Absoluto” de un número entero, que se puede definir así: El valor absoluto de:

Un número entero positivo es el mismo entero positivo. Un numero entero negativo es el opuesto o simétrico. El cero es el mismo cero.

El símbolo |-7| se lee: “valor absoluto de -7”. El símbolo |875| se lee: “valor absoluto de 875”. El símbolo |0| se lee: “valor absoluto de 0”. En problemas concretos en los que se utilizan números enteros, la idea de valor absoluto tiene diferentes significados, uno de ellos es cuando se aplica a la recta numérica. En la recta se han destacado los puntos que representan a -3 y 3. Por la definición de valor absoluto se tiene que:

|-3| = 3 y |3|=3. En consecuencia, el valor absoluto de ambos números es el mismo, esto significa que ambos tienen algo en común a pesar de que se representan en “Posiciones Opuestas” con respecto al cero en la recta numérica. Este “algo en común” es su distancia al origen, que es la misma en ambos casos; se puede entonces afirmar lo siguiente:

En una recta numérica, el valor absoluto de un número entero se interpreta como la

distancia del punto que lo representa hasta el cero u origen.


31

3.2.3 LOS RACIONALES EN LA RECTA NUMERICA.

Las fracciones tienen varias formas de representarse (partes de un entero, porciones de un conjunto, etc.), aquí se hablara de su representación en una recta numérica. Al representar una fracción en la recta numérica se determinara en primer lugar una unidad de medida y con ella se localizaran los enteros. Posteriormente bastara dividir la unidad en tantas partes iguales como indique el denominador de la fracción dada y enseguida señalar las partes que indique su numerador. Ejemplo: Representar 4/5 en la recta. La fracción 4/5 es propia, por lo que solo es necesario dividir un entero. Representar 7/4 en la recta numérica. La fracción representada es impropia, por lo que fue necesario tomar más de un entero.

4 5

7 4


32

De lo anterior podemos llegar a la siguiente conclusión: “para representar fracciones en una recta numérica,”

Si en una fracción el numerador es menor que el denominador, solo se considera un entero.

Si en una fracción, el numerador es mayor que el denominador, se considera más de un entero.

Los números racionales se localizan a ambos lados del cero en la recta numérica: a la derecha los racionales positivos y a la izquierda los negativos. Un numero racional se puede representar por medio de una fracción común, por ejemplo, -3/2, 1/4, etc.; y por “Números decimales”, que son fracciones que se escriben con cifras después del punto, los cuales se obtienen al dividir los números de una fracción común, ejemplos:

-1/4 = -.25 9/10 = 0.9


33

3.2.3.1 SIMETRICO DE UN NÚMERO RACIONAL. Se les llama opuestos o simétricos a 2 números racionales que se encuentran a igual distancia del origen y en lados opuestos de este, sobre la recta numérica. Ejemplos: -3/2 es simétrico de 3/2 y 3/2 es simétrico de -3/2 -0.5 es simétrico de 0.5 y 0.5 es simétrico de -0.5 3/4 es simétrico de -3/4 y -3/4 es simétrico de 3/4.

3.2.4 NUMEROS REALES EN LA RECTA NUMERICA.


34

3.2.4.1 RELACION DE MAGNITUD ENTRE NUMEROS REALES.

del


35

3.3 OPERACIONES ARITMETICAS BASICAS.


36

3.3.1 OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS. Las operaciones con números enteros no es otra cosa que la aplicación de la ley de los signos para suma, resta, multiplicación y división.

3.3.1.1 SUMA Y RESTA. La suma y la resta de números enteros la vamos a realizar de forma gráfica, es decir, utilizando la recta numérica. - Para sumar un número positivo nos desplazamos en la recta numérica, partiendo desde el primer sumando, hacia la derecha tantas unidades como nos indique el segundo sumando. - Para sumar un número negativo nos desplazamos en la recta numérica, partiendo desde el primer sumando, hacia la izquierda tantas unidades como nos indique el segundo sumando. - Para sumar dos números de diferentes signos, se restan los valores absolutos de esos números y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto, en este caso 6 - 1 = 5 y se conserva el signo del número mayor que es el 6 (+); y 3 – 5 = -2. Otro ejemplo: Para sumar dos números de igual signo, se suman los valores absolutos de esos números y se conserva el signo.


37

3.3.1.2 MULTIPLICACION.


38

La multiplicación de números enteros se realiza igual que la de números naturales, pero añadiendo el signo al resultado, que puede ser positivo o negativo.

Si multiplicamos dos números enteros que tienen el mismo signo, es decir, que los dos son positivos o los dos son negativos, el resultado es positivo.

Y si multiplicamos dos números enteros que tienen distinto signo, es decir, uno es positivo y el otro negativo, el resultado es negativo.


39

3.3.1.3 DIVISION. 1.- Propiedad fundamental de la división: si la división es exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente. Por ejemplo: 10 ÷ 2 = 2 x 5. En cambio, si la división es inexacta el dividendo será igual al divisor por el cociente más el resto. Por ejemplo: 30 ÷ 7 = 4 (resto 2), por lo tanto, divisor x cociente + resto = 7 x 4 + 2 = 28 + 2 = 30 = dividendo. 2.- Operación no interna: La división no es una operación interna en el conjunto de los números enteros. La división de dos números naturales no tiene que dar otro número natural. Es decir, al dividir dos números enteros puede ser que no resulte otro número entero. Además una característica de la propiedad de la división es que nunca se puede dividir por el número 0.

Por ejemplo: 2 ÷ 6 ∄ N. 3.-Propiedad no conmutativa: el orden de los elementos de la división Si influye en el resultado de esta. A diferencia de la suma y la multiplicación de números que si tienen la propiedad conmutativa, la resta y la división no son operaciones conmutativas. Si cambiamos el orden de los números de una división, se altera el resultado. Por ejemplo:

10 ÷ 2 = 5 pero 2 ÷ 10 = 0.2


40

4.- Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la división. 5.- El cero: el cero dividido entre cualquier número da cero. Por ejemplo: 0 ÷ 5 = 0. Además, no se puede dividir ningún número entre cero, porque no existe ningún cociente que multiplicado por 0 sea igual al dividendo. 6.- PROPIEDAD NO ASOCIATIVA: si se descomponen uno o todos los números de una división, o se agrupan de diferentes maneras, el cociente o resultado puede cambiar. Por ejemplo: 400 ÷ 10 ÷ 5 puede dar 8 o 200 según como se asocie. Si realizamos (400 ÷ 10) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8, pero es diferente a 400 ÷ (10 ÷ 5) = 400 ÷ 2 = 200. 7.- PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: es válida la propiedad distributiva con respecto de la división cuando se descompone el dividendo. Por ejemplo: 400 ÷ 10 = 200 ÷ 10 + 200 ÷ 10.

3.3.1.4 JERARQUIA DE LAS OPERACIONES.

Operaciones combinadas sin paréntesis.

Combinación de sumas y diferencias: 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

= 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = 7

Combinación de sumas, restas y productos: 3 · 2 - 5 + 4 · 3 - 8 + 5 · 2 = Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.

= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = Efectuamos las sumas y restas.

= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = 15

Combinación de sumas, restas, productos y divisiones: 10 ÷ 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 2 - 16 ÷ 4 = Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = Efectuamos las sumas y restas.

= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = 10


41

Operaciones combinadas con paréntesis (15 - 4) + 3 - (12 - 5 · 2) + (5 + 16 ÷ 4) -5 + (10 - 23)= Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.

= (15 - 4) + 3 - (12 - 10) + (5 + 4) - 5 + (10 - 8)= Quitamos paréntesis realizando las operaciones.

= 11 + 3 - 2 + 9 - 5 + 2 = 18 Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

[15 - (23 - 10 ÷ 2] · [5 + (3 ·2 - 4)] - 3 + (8 - 2 · 3) = Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

= [15 - (8 - 5)] · [5 + (6 - 4)] - 3 + (8 - 6) = Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.

= [15 -3] · [5 + 2] - 3 + 2= Operamos en los paréntesis.

= 12 · 7 - 3 + 2 Multiplicamos.

= 84 - 3 + 2= Restamos y sumamos.

= 83

EJERCICIOS.

15

251

67

298

79

87

3

15

16

6


42

3.4 SIMPLIFICACION DE FRACCIONES.

= 1/6

= 3/4

= 25/32

= 4/15

= 15/28


43

3.5 m.c.m. Cuando se ordena de menor a mayor los múltiplos de dos o más números, se observa que algunos se repiten. A estos números que se repiten y que son comunes a los números dados, se les llama múltiplos comunes, ejemplo:

X 0 1 2 3 4 5 6

MULTIPLOS DE 4 = 0 4 8 12 16 20 24

MULTIPLOS DE 6 = 0 6 12 18 24 30 36

MULTIPLOS DE 8 = 0 8 16 24 32 40 48

Los números marcados son algunos de los múltiplos comunes de los números 4, 6, 8. De hecho, existe una infinidad de múltiplos comunes si se prolonga las 3 listas. De especial interés entre los múltiplos comunes de varios números es el Menor de ellos, si se hace excepción del cero. El cero se exceptúa porque es un múltiplo común de cualquier conjunto de números. Al menor de los múltiplos comunes de un conjunto de números naturales, exceptuando al cero, se le llama m.c.m. de esos números. En el ejemplo anterior, el m.c.m. de los números 4,6 y 8 es el 24. Esta expresión se simboliza así: m.c.m. (4, 6, 8) = 24. Hallar el m.c.m de 4, 6, 8.

4 6 8 2 2 3 4 2 1 3 2 2 1 3 1 3 1 1 1

m.c.m. (4, 6, 8) = 2x2x2x3 = 24


44

Encuentre el m.c.m. de los siguientes números 12 18 2 5 7 5 4 10 20 2

6 9 2 1 7 7 2 5 10 2

3 9 3 1 1 5 5 5

1 3 3 1 1

1 m.c.m (12,18) = 2x2x3x3= 36 m.c.m. (5,7) = 5x7= 35 m.c.m (4,10,20) = 2x2x5 = 20

Muchos problemas de interés práctico se resuelven utilizando esta sencilla idea.

En la central camionera del norte de la ciudad de México salen autobuses cada 3 horas rumbo a Querétaro, otros salen cada 4 horas con dirección a Guanajuato y otros más cada 6 horas hacia Guadalajara. Si a las 8 de la mañana de un día determinado coincide la salida de los autobuses, ¿Después de cuantas horas vuelve a coincidir la hora de salida de las 3 líneas de autobuses?. Solución: Es necesario encontrar el número de horas que tardan en salir los autobuses de cada línea y encontrar las horas de salida comunes (los múltiplos comunes de los intervalos 3, 4, 6).

3 4 6 2 3 2 3 2 3 1 3 3 1 1 1

m.c.m. (3, 4, 6) = 2x2x3 = 12

Los horarios de las 3 diferentes líneas vuelven a coincidir después de 12 horas a partir de las 8 de la mañana, esto es, a las 8 de la noche.


45

En un almacén se van a colocar bolsas de azúcar en dos costales, en uno de ellos bolsas de 12 kg y en el otro solo bolsas de 15 kg. Si se desea que los dos costales pesen lo mismo; ¿Cuál es el peso mínimo que puede tener cada costal?. R = m.c.m. 60 kg.

Cuál es la longitud minina que se puede medir Exactamente con una regla no graduada

de 2, 5 o de 8 m de largo, indistintamente?. R= m.c.m. 40 m.

Cuál debe ser la longitud de una varilla de acero para que pueda partirse exactamente

en pedazos de 8 cm, 9 cm, o bien 15 cm de longitud?. R= m.c.m = 360 cm.

Cuál es la menor suma de dinero con el que se puede comprar un número exacto de

libros de a $3, $4, $5 u $8 cada uno, y cuántos libros de cada precio podría comprar con esa suma?.

3 4 5 8 2 3 2 5 4 2 De $3: 120 ÷3 = 40 libros 3 1 5 2 2 De $4: 120 ÷ 4 = 30 3 5 1 3 De $5: 120 ÷ 5 = 24 1 5 5 De $8: 120 ÷ 8 = 15 1

mc.m. (3,4,5,8) = 2x2x2x3x5 = 120


46

3.6 M.C.D El MCD de dos o más números es el número mayor que los divide a todos exactamente. Se factorizan simultáneamente los números involucrados hasta que se tenga un divisor común, ejemplo:

16 24 28 2 8 12 14 2 4 6 7

Obsérvese que los números 4, 6, 7 no tienen divisor común, con excepción del 1. Por lo tanto, se detiene el proceso y puede manifestarse que el MCD de los números 16, 24 y 28 es el producto de los divisores comunes; entonces:

MCD (16, 24, 28) = 2x2 = 4. Encontrar el MCD de 8, 15 y 28

8 15 28 1 8 15 28

Por lo tanto, el MCD de 8,15 y 28 es el 1. MCD (8, 15, 28) = 1.

PROBLEMA: Se requiere construir una regla, lo más grande posible, que pueda medir de manera exacta las dimensiones de un salón que mide de largo 128 dm, de ancho 80 dm y de altura 48 dm. ¿Cuál debe ser la longitud de dicha regla?. SOLUCION: para que con la regla se pueda medir “de manera exacta” las longitudes del salón, su longitud debe caber un número exacto de veces en estas tres longitudes; es decir, debe ser un divisor común de esas dimensiones y como debe ser “lo más grande posible”, la longitud buscada es el MCD de 128, 80 y 48.

128 80 48 2 64 40 24 2

Se debe construir una regla cuya longitud sea de 16 dm.

32 20 12 2 16 10 6 2 8 5 3

MCD (128, 80, 48) = 2X2X2X2= 16


47

El almacenista tenía 16 calculadoras de bolsillo de color negro, 24 azules y 28 rosas. Debía empacarlas de tal manera que en cada paquete hubiese igual número de calculadoras del mismo color.

a) Cuál es el máximo número de paquetes que se puede formar? b) Cuál es el mayor número de calculadoras del mismo color que puede ir en cada

paquete?. MCD (16, 24, 28) = 4; el 4 indica el máximo número de paquetes que se pueden formar, de tal manera que cada paquete contenga el mismo número de calculadoras del mismo color. Ahora bien, se puede responder a la segunda pregunta si se considera lo siguiente: El número máximo de calculadoras de cada color que se puede poner en 4 paquetes se obtiene si se divide el total de calculadoras entre el número de paquetes, por lo tanto: 16 calculadoras negras ÷ 4 paquetes = 4 calculadoras negras en cada paquete. 24 calculadoras azules ÷ 4 paquetes = 6 calculadoras azules en cada paquete. 28 calculadoras rosas ÷ 4 paquetes = 7 calculadoras rosas en cada paquete. Se tiene que en cada paquete hay 17 calculadoras, de las cuales; 4 son negras, 6 azules y 7 rosas. Como se tienen 4 paquetes, el total de calculadoras empacadas es 68.

Supóngase que se tienen 20 canicas rojas, 30 azul, 40 blancas y 50 verdes; y se quiere poner en bolsas, de tal manera que haya igual número de canicas del mismo color en cada paquete.

a) Cuál es el máximo número de bolsas que hay que llenar? b) Cuál es el mayor número de canicas del mismo color que pueden ir en cada bolsita?

20 30 40 50 2 Mayor número de canicas en cada

bolsita, vea la última fila del procedimiento para el MCD.

10 15 20 25 5 2 3 4 5

MCD = 2X5 = 10 = MAXIMO NUMERO DE BOLSAS

2 Rojas, 3 azules. 4 Blancas, 5 verdes.

Se tiene 3 varillas de 60, 80 y 100 m de longitud, y se quieren dividir en pedazos de igual longitud, es decir, en metros exactos sin que se desperdicie un solo trozo de varilla. ¿Cuál sería la longitud máxima que podrían tener?. MCD (60, 80 y 100) = 20; es decir, 20 m de longitud máxima cada pedazo. ¿Cuáles son las longitudes que podrían tener los pedazos? 2 m, 5 m y 10 m. porque estos tres números o factores, dividen a 60, 80 y 100, en partes exactas.

Amalia tiene 56 rosas y 60 claveles y desea hacer arreglos florales iguales. ¿Cuántos arreglos pueden hacerse como máximo y Cuantas flores de cada clase deben ponerse en cada uno de ellos?. R = MCD = 4, arreglos. 14 rosas y 15 claveles en cada arreglo.

Juan tiene $15 y luis $20, ambos desean cambiar sus billetes por monedas de la misma denominación y de la mayor posible. ¿Cuál es el mayor valor que pueden tener las monedas?. R= $5.


48

3.7 OPERACIONES CON FRACCIONES RACIONALES. Aquí vamos a discutir las operaciones de números racionales como la suma, resta, multiplicación y división:

3.7.1 SUMA DE FRACCIONES RACIONALES. 5/8 + 3/8 = 8/8 = 1.

De un grupo de alumnos, 4 de cada 7 obtienen de 6 a 8 de calificación en el examen de Matemáticas; 2 de cada 7 alcanzan de 9 a 10 de calificación y los alumnos restantes reprobaron. ¿Cuántos de cada 7 alumnos aprobaron el examen? 4 de cada 7 = 6 y 8 de calificación; = 4/7 2 de cada 7 = 9 y 10 de calificación; = 2/7 Aprobaron: 4/7 + 2/7 = 6/7. Parte de alumnos del grupo que aprobaron.

Se tienen tres envases con agua, uno con 4/9 l, el segundo con 3/9 l y el ultimo con 8/9 l. ¿Qué cantidad de agua hay en total?. 4/9 + 3/9 + 8/9 = 15/9 l de agua en los tres envases.


49

2.

7 70 140 2

7 35 70 2

7 35 35 7

1 5 5 5

1 1

m.c.m. (7, 70, 140) = 2x2x7x5 = 140


50

2/3 + 4/5 + 1/2 = m.c.m (3, 5, 2) = 30 Se transforman las fracciones a sus equivalentes que tengan el mismo denominador en este caso (30). Se suman las fracciones equivalentes: 20/30 + 24/30 + 15/30 = 59/30. Si la fracción resultante es Impropia, se convierte a número mixto.

2 3 2

2 x 30 2 = 2

3 10 10 x

30 20 =

4 5 2

2 x 30 2 = 4

5 6 6 x

30 24 =

1 2 15

15 x 30 15 =

= 1

59 30 29 30

29 1


51

Otra forma de realizar la adición de fracciones con distinto denominador (cuando solo son dos racionales), es como sigue:

a) Multiplicar ambos denominadores y el resultado será el nuevo denominador. b) Dividir este nuevo denominador entre el denominador de la primera fracción y

multiplicarlo por su numerador. c) Repetir el paso anterior, para la otra fracción. d) Sume lo obtenido.

Ejemplo: 3/5 + 5/7 =

a) 5x7=35 b) 35 ÷ 5 = 7; 7x3= 21 c) 35 ÷ 7 = 5; 5x5= 25 d)

Una variante del método anterior es hacer multiplicaciones cruzadas y sumarlas, para encontrar el numerador, el denominador sigue siendo la multiplicación de ambos denominadores.

Un hombre tiene 3 hectáreas de terreno y piensa unirlo con su señora que tiene 4/7 de hectáreas, al unirlos, cuánto obtendrán?.

21 + 25 35

= 46 35

3 5

+ 5 7

= 3x7 + 5x5

5x7 46 35

=

3 1

+ 4 7

= 3x7 + 1x4

1x7 21+4

7 =

25 7

4 7

= = 3


52

3.7.2 RESTA DE FRACCIONES RACIONALES.

Las 7/8 partes de un grupo asistieron a una competencia, pero solo compitieron 4/8

partes. ¿Qué cantidad de los que asistieron no compitió?

7/8 – 4/8 = 3/8 No compitieron. 5 2/3 - 1 3/8 = 5-1 + 2/3 – 3/8 = 4 = 4 En este caso se efectuó primero la sustracción de los enteros y a su resultado se le agrego la resta de las fracciones. 5 2/3 - 1 3/8 = 17/3 – 11/8 = (136-33) / (24) = 103/24 = 4 7/24.

13 5 7

8 - 35÷5=7x13=91 - 35÷7=5x8=40 = 5 x 7 = 35

= 91-40 = 51 35

= 51 35

16 35

= = 1

16-9 24

7 24


53

3.7.3 OPERACIONES MIXTAS DE SUMA Y RESTA CON FRACCIONES. Ejercicios diversos, recuerde usar la ley de los signos cuando así lo requiera. SUMAR: 3/4 + (-5/3) = 3/4 – 5/3 = (9-20) / (12) = -11/12. -5/3 + 3/4 = (-20 + 9) / 12 = -11/12 8/9 + 5 = 8/9 + 5/1 = (8+45) / 9 = 53/9 = 5 8/9 6 3/5 + 4/6 = 33/5 + 4/6 = (198+20) / 30 = 218/30 = 7 8/30


54

RESTAR: 6/4 – 3/4 = (6-3) / 4 = 3/4. -19/5 - 13/5 = (-19-13) / 5 = -32/5 = -6 2/5 8/7 – (-4/7) = 8/7 + 4/7 = (8+4) / 7 = 12/7 = 1 5/7 9/10 – 6/10 = 3/10 7/10 – 2/10 = 5/10 = ½ (se le saca quinta a 5 y a 10). 4/9 – 5/3 = (12-45) / 27 = -33/27 = -1 6/27 = -1 2/9 (Se le saca tercia a 6 y a 27). 8/7 – (-2/6) = 8/7 + 2/6 = (48+14) / 42 = 62/42 = 1 20/42 = 1 10/21 (mitad). 1 4/9 - 3/6 = 13/9 – 3/6 = (78-27) / 54 = 51/54 = 17/18 (tercia) 8 – 3/4 = 8/1 – 3/4 = (32-3) / 4 = 29/4 = 7 ¼ -3 - 2/6 = -3/1 - 2/6 = (-18-2) / 6 = -20/6 = -3 2/6 = -3 1/3 Una vez que se ha comenzado el aprendizaje de las fracciones comunes y se han ejercitado operaciones tanto de adición como de sustracción, se está en condiciones de realizar operaciones combinadas, que surgen de diversas situaciones problemáticas. Véanse los siguientes ejemplos.

Una persona acude a la tienda para comprar azúcar, la recibe en 3 paquetes con las

siguientes cantidades: 2/4, 3/4 y 4/4 de kg; sin embargo, al pagar, nota que no cuenta con el dinero suficiente y debe regresar 1/4 kg de azúcar. ¿Qué cantidad de azúcar compro?. 2/4 + 3/4 + 4/4 = 9/4 kg menos 1/4; 9/4 – 1/4 = 8/4 = 2 kg. Una cisterna tiene una profundidad de 5 m y contiene agua hasta la marca de 3 1/2 m de profundidad, y durante la noche se llena hasta la marca de 1 1/4. ¿Qué tanto ascendió el nivel del agua en la cisterna?.

1 ¼ m

3 ½ m

3 1/2 – 1 1/4 = 7/2 – 5/4 = (28-10) / 8 = 18/8 = 9/4 = 2 1/4 m.

El nivel del agua de la cisterna aumento 2 1/4 m.

Comprobando: 2 1/4 + 1 1/4 = 9/4 + 5/4 = 14/4 = 3 2/4 = 3 ½.


55

3.7.4 MULTIPLICACION DE NUMEROS RACIONALES.

La multiplicación así definida puede servir para describir matemáticamente, situaciones en las que se requiera encontrar algunas partes iguales de un cierto número de partes iguales de una unidad. Ejemplo: Encontrar las 3/4 partes de los 2/5 del siguiente rectángulo, que se considera como la unidad. Las 3/4 partes de 2/5 se puede representar matemáticamente como:

3/4 x 2/5 = 6/20 Como se puede ver, las 3/4 partes de los 2/5 del rectángulo son 6/20 partes iguales del rectángulo completo, como se ve: Es por esta interpretación que la expresión 3/4 x 2/5 se puede leer como:

“3/4 de 2/5”. Finalmente, se acostumbra simplificar el resultado, que en este caso queda así:

6/20 = 3/10

1 2 9 10

3 4 12 13

5 6 15 16

7 8 18 19

11

14

17

20


56

3/5 x 40/1 = 120/5 = 24


57


58

Una fracción por un número natural. Es el producto de una fracción propia por un número natural. 4/5 x 3 = 4/5 x 3/1 = 12/5. La interpretación grafica de esta multiplicación queda de la siguiente forma:

Esto significa que, los “4/5 de 3 son 12/5”.


59

Producto de una fracción impropia por un número natural.

5/4 x 2 = 5/4 x 2/1 = 10/4; simplificando 10/4 = 5/2. Interpretación gráfica:

1/2 1/2

Esto significa, que los 5/4 de 2 son 10/4; obsérvese que como ya sabemos, el denominador nos indica en cuantas partes debe ser dividida la unidad (4 partes iguales); y el numerador nos indica que debemos tomar 10 partes iguales, por lo tanto es necesario dibujar más de un entero gráficamente divididos en 4 partes iguales. Vemos que tomamos dos enteros completos más 2 partes del otro entero; por lo tanto tendríamos: 2 + 2/4, o lo que es lo mismo 2 2/4, que es la representación de los 10/4 en número mixto. 10/4 = 2 2/4; simplificando queda 2 1/2. 10/4 = 5/2 = 2 1/2 en número mixto. Producto de un número mixto por un número natural.

1 1/2 x 3 = ((2x1) + 1) / (2) x 3/1 = 3/2 X 3/1 = 9/2 = 4 ½.

Interpretación gráfica:

Esto significa que 1 ½ de 3 son 9/2.


60

Problemas: En un terreno se habían destinado 2/3 partes de este para la construcción de la casa y

la otra parte para jardín, finalmente se construyó 4/5 partes de esas 2/3. ¿Qué parte del terreno ocupa la casa?. Solución.- El problema plantea que se han tomado 4/5 de 2/3; por tanto: 4/5 x 2/3 = 8/15, es la parte del terreno que se ocupó para la casa. 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

1/3 8/15 2/3 3/3

La carretera que une 2 pueblos tiene una longitud de 5 ½ km y la están reparando, si solo se han compuesto 3/4 de esta. ¿Cuántos km se han reparado de carretera?

3/4 x 5 ½ = 3/4 x 11/2 = 33/8 = 4 1/8 km. Reparado.

Siete alumnos del grupo de 2do grado van a vender licuados de frutas en la kermesse de la escuela; cada uno aporta 1/2 l de leche. ¿Cuántos litros de leche se reunieron?

7 x 1/2 = 7/1 x 1/2 = 7/2 = 3 ½ litros.

Para confeccionar un vestido, una modista dispone de 8 m de tela, como solo necesita ¾ de tela, ¿Cuántos metros utiliza?. Tomamos 3/4 de 8; 3/4 x 8 = 3/4 x 8/1 = 24/4 = 6m.

3.7.5 DIVISION DE NUMEROS RACIONALES.

Formar ¾ de 5

½. Reparado

5 ½ km


61

Otra forma: Ley de la tortilla o ley del Sándwich. Extremos por extremos y los de enmedio por los de enmedio. Así recita la ley del sándwich.


62

Ejercicios.

3/7 ÷ 5/4 = 3x4/7x5 = 12/35 2 ÷ 5 = 2/1 ÷ 5/1 = (2x1)/(1x5) = 2/5 3/2 ÷ 5/7 = 21/10 1/2 ÷ 3/10 = 10/6 = 5/3 12/16 ÷ 1/8 = 96/16 = 48/8 = 24/4 = 12/2 = 6/1 = 6 En ocasiones, hay necesidad de dividir una fracción en varias partes para repetirlas o ver cuántas veces cabe una parte en otra del entero. Situaciones como las anteriores requieren de una división de fracciones como las que se ejemplifican a continuación.

Con 5/8 l de loción se llenan 10 frascos pequeños. ¿Cuál es la capacidad de cada frasco?. Se reparten 5/8 l entre 10 frascos. 5/8 ÷ 10/1 = 5/80 = 1/16 l, para cada frasco.


63

¿Cuántas bolsas de ½ kg se pueden obtener de 5 bolsas de 1 kg?. 5/1 ÷ 1/2 = 10/1 = 10 bolsas de ½ kg.

¿Cuántas cajas de 1/8 l de capacidad se necesitan para envasar 3/4 l de esencia de frutas?. 3/4 ÷ 1/8 = 24/4 = 6 cajas.

¿Cuántas cintas de 2/5 m de listón se pueden obtener de 10/5 m?. 10/5 ÷ 2/5 = 50/10 = 5 cintas.

¿Cuántos tinacos cuya capacidad es de 3/4 m3 de agua, se pueden llenar con una pipa con capacidad de 15/8 m3?. 15/8 ÷ 3/4 = 60/24 = 30/12 = 15/6 = 5/2 = 2 1/2.


64

3.8 OPERACIONES CON DECIMALES.

3.8.1 NUMEROS DECIMALES. ¿Qué son los números decimales? Los números decimales se utilizan para representar números más pequeños que la unidad. Los números decimales se escriben a la derecha de las Unidades separados por una coma o punto decimal. Es decir:

Centenas Decenas Unidades, Décimas Centésimas Milésimas. En la imagen que aparece a continuación, el primer cuadrado representa la Unidad. Si esta unidad la dividimos en 10 partes iguales (segundo cuadrado), representaremos las Décimas. Si las décimas las dividimos en 10 partes iguales o la unidad en 100 partes iguales (tercer cuadrado), representaremos las Centésimas. Veamos algunos ejemplos: Primer ejemplo: Si la unidad la dividimos en 10 partes iguales, tendremos décimas. Y hemos coloreado 7 de estas partes. La forma de escribirlo es 0 unidades,7 décimas = 0,7. Segundo ejemplo: En el segundo ejemplo también tenemos décimas y tenemos coloreadas 1. Se escribirá de la siguiente forma: 0 unidades,1 décima = 0,1. Tercer ejemplo: En el tercer ejemplo tenemos representadas centésimas, de las cuales tenemos coloreadas 6 décimas y 4 centésimas. Por lo tanto se escribirá: 0 unidades, 6 décimas 4 centésimas = 0,64. Cuarto ejemplo: Tenemos centésimas (la unidad entre 100), de las cuales tenemos coloreadas 3 décimas y 5 centésimas. Lo escribiremos: 0 unidades, 3 décimas 5 centésimas = 0,35.


65

Quinto ejemplo: Tenemos dos unidades enteras coloreadas y de la tercera unidad, que está dividida en centésimas, tenemos 8 décimas coloreadas y una centésima coloreada. Por lo tanto, se escribirá: 2 unidades, 8 décimas 1 centésimas = 2,81. ¿Cuál es la relación de los decimales con las fracciones? La Unidad se representa por 1. La Décima es la unidad dividida en 10 partes iguales = 1/10 = 0,1 La Centésima es la unidad dividida en 100 partes iguales = 1/100 = 0,01 La Milésima es la unidad dividida en 1000 partes iguales = 1/1000 = 0,001


66

3.8.2 SUMA DE DECIMALES.

3.8.3 RESTA DE DECIMALES.


67

3.8.4 MULTIPLICACION DE DECIMALES.


68

3.8.5 DIVISION DE DECIMALES. Dividir: 0.1625 ÷ 4 . 0 4 0 6 2 5

4 0 . 1 6 2 5 1 6 0 2 2 5 1 0 2 0 0 Respuesta: 0.040625 543.1 ÷ 74

0 7 . 3 3 9 1 8 9 1 74 5 4 3 . 1

5 4 3 - 5 1 8

0 2 5 1 - 2 2 2

0 2 9 0 - 2 2 2 0 6 8 0 - 6 6 6

0 1 4 0 - 7 4 0 6 6 0 - 5 9 2

0 6 8 0 - 6 6 6 0 1 4 0 - 7 4

6 6


69

1 8 1 3 9 5 3 4 43 7 8 0 0 0 0 0 0 0

- 4 3

3 5 0 - 3 4 4

0 6 0 - 4 3

1 7 0 - 1 2 9

4 1 0 - 3 8 7

0 2 3 0 - 2 1 5

0 1 5 0 - 1 2 9

0 2 1 0 - 1 7 2

0 3 8 Resultado: 18.139534…. Resultado 200, no fue necesario agregar ceros como en el caso anterior, porque da un resultado exacto.

.

.


70

1 9 . 0 4 3 4 7 46 8 7 6 . 0 0 0 0 0

- 4 6

4 1 6 - 4 1 4

0 0 2 0 - 0 0

2 0 0 - 1 8 4

0 1 6 0 - 1 3 8

2 2 0 - 1 8 4

0 3 6 0 - 3 2 2

3 8 Resultado 19.04347


71

Aquí da entero, no es necesario colocar ceros a la derecha con punto decimal. Y se procede como en el caso 1.

2 0 . 1 1 5 3 8 39 7 8 4 . 5

- 7 8

0 0 4 - 0 0

0 4 5 - 3 9

0 6 0 3 9

2 1 0 - 1 9 5

0 1 5 0 - 1 1 7

3 3 0 - 3 1 2

1 8

El resultado es 20.11538


72

3.8.6 CONVERTIR DECIMALES A FRACCIONES. Imagina que tienes que realizar la siguiente suma de números decimales y fracciones: No es fácil sumar una fracción con un número decimal, ¿verdad? Es mucho más fácil sumar fracciones o sumar números decimales. Por tanto tenemos dos posibilidades: Pasar el número decimal a fracción. Pasar la fracción a número decimal. Hoy vamos a aprender la primera posibilidad: pasar decimales a fracciones, ya que la segunda posibilidad es demasiado sencilla, solo basta con dividir 5 ÷ 4 y listo. Pero para la segunda posibilidad, lo primero que necesitarás es saber hallar fracciones equivalentes, que ya hemos visto en temas anteriores. De todas maneras, vamos a hacer

aquí un repaso rápido de cómo hallar una fracción equivalente:


73

Ejemplo para hallar una fracción equivalente. Tenemos la fracción: y queremos conseguir que su denominador sea el número 6, es decir: Tienes que pensar por qué número se ha multiplicado el 3 (el denominador) para obtener el número 6… ¡Eso es! Se ha multiplicado por 2. Por tanto, el numerador también habrá que multiplicarlos por 2 si multiplicamos el número 2 por 2 obtenemos 4. y ahora que ya sabemos hallar una fracción equivalente, vamos a pasar un número decimal a fracción. Pasar un número decimal a fracción. Ahora, tenemos el número ¿Cómo podemos pasarlo a número racional? Vamos a seguir la misma estrategia, pero primero tenemos que pensar qué denominador tiene… ¿qué número pueden llevar todos los números como denominador sin que varíen?… ¡Eso es! El número 1 Ahora tenemos que pensar qué número ponemos en el denominador de la fracción equivalente… El truco es usar el 1 seguido de ceros. Así que lo primero que vamos a probar es con un cero, el 10


74

Como para pasar del 1 al 10 (el denominador) hay que multiplicar por 10, multiplicamos también 0.25 (el numerador) por 10 Y nos queda…. No hemos quitado todos los decimales aún, ¿verdad? ¡Pues seguimos añadiendo ceros! Si multiplicamos por 100 nos queda Por último, recuerda que las fracciones se pueden simplificar. Si simplificamos esta fracción nos queda Entonces, Hemos convertido un número decimal en fracción gracias a las fracciones equivalentes. Fíjate en una cosa, ¿cuántos ceros hemos tenido que añadir detrás del 1 para que el 0.25 pierda todos los decimales? Tenía dos decimales y le hemos añadido dos ceros, o lo que es lo mismo, un cero por cada número decimal que tiene. Es decir, ¡cada cero quita un decimal al número!


75

Así que, resumiendo los pasos, cuando queramos pasar un número decimal a fracción tenemos que: Poner el número decimal en una fracción encima de un 1. Es decir, el número decimal es el numerador, el 1 el denominador. Buscar una fracción equivalente. Esa fracción llevará en el denominador un 1, y tantos ceros como decimales tengan nuestro número. Multiplicar el número de arriba por ese número. Simplificar la fracción. ¡Y ahora, volvamos al ejercicio del principio! Como Quedaría Y simplificando


76


77

Ejercicios.

María adquirió 3/4 m de listón rojo, 1.35 m de listón azul y 2/5 m de listón amarillo. ¿Qué cantidad de listón adquirió en total? 3/4 + 1.35 + 2/5 = 3/4 + 135/100 + 2/5 = m.c.m. (4, 100, 5) = 100; por lo tanto: = (75+135+40)/(100) = 250/100 = 125/50 = 25/10 = 5/2 = 2 ½ m de listón.

3/4 x 0.5 = 3/4 x 5/10 = 15/40 = 3/8. = 0.75 x 0.5 = 0.375

2/4 x -1.2 = 2/4 x -12/10 = -24/40 = -12/20 = -6/10 = -3/5

Se tiene un garrafón de 3.21 l de aceite, ¿Cuántas botellas de 0.81 l se pueden llenar?

3.21 ÷ 0.81 = 321/100 ÷81/100 = (321x100)/(100x81) = 32,100/8,100 = 321/81 = 107/27 = 3.9. 3.9 es casi igual a 4 botellas. 3.6 ÷0.12 = 36/10 ÷12/100 = 3600/120 = 360/12 = 180/6 = 90/3 = 30/1 = 30.


78

3.9 Evaluación.


79


80

4. POTENCIAS Y RAICES.

4.1 POTENCIAS.

Base = 2 y Exponente = 5. Ejercicios:

Aplicación: Imagine, que sus padres llegan a una acuerdo con usted, de que le darán un peso el día Lunes y al día siguiente el doble (2 pesos), y así sucesivamente, hasta llegar a 30 días (un mes); ¿cuánto dinero habrá usted obtenido en un mes con este simple acuerdo?

Lunes, Primer Día=$1, es to equivale a 20, 2, porque siempre obtendrá el doble y a la 0, porque todo número elevado a la cero siempre nos dará 1, que es con lo que se debe iniciar.

Segundo Día = $2, esto equivale a 21, todo número elevado a la uno, nos da el mismo número, y el doble de 1, es dos. Tercer día = $4, lo que equivale a 22 4.- = $8; 23 5.- = $16; 24 6.- = $32; 25 7.- = $64; 26

8.- = $128 = 27 9.- = $256 = 28 10.- = $512 = 29; (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2) = 512

4 = base, 2= exponente

= (6)(6)(6) = 216


81

Complete la Tabla hasta llegar al mes y conteste a la pregunta, de ¿Cuánto dinero usted habría recibido?. (Sumatoria de 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+…….etc). Si dan la respuesta de $536, 870, 912. Esta incorrecto, ya que eso solo es 229. La respuesta correcta es $ 1073, 741, 823. Que es la suma desde el día 1 hasta el día 30 (primer día recibió $1, segundo día ya tenía $3, tercer día $3 + $4 = $7; cuarto día $7 + $8 = $15, etc.). POTENCIA: Producto de varios factores iguales. BASE: Numero o variable que se repite como factor. EXPONENTE: Numero que indica cuantas veces se toma como factor la base.

4.1.1 POTENCIA DE BASE ENTERA Y EXPONENTE NATURAL.

Si la base a pertenece al conjunto de los Números Enteros ( a Z ); (léase a pertenece a zeta) significa que puede tomar valores positivos y negativos. Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales, significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3, .....).

Potencia de base entera positiva:

Si la base (a) es positiva, la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.

Potencia de base entera negativa:

Si la base (a) es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.

a) Si el exponente es par, la potencia es positiva.

http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/ConjuntosNumericos.htm

http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/ConjuntosNumericos.htm


82

b) Si el exponente es impar, la potencia es negativa.


83

Resumen:

4.1.2 PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS. Las Propiedades de las Potencias nos ahorraran bastante tiempo resolviendo operaciones, su función es simplificarnos los problemas antes de resolver.

4.1.2.1 POTENCIA DE EXPONENTE 0.

4.1.2.2 POTENCIA DE EXPONENTE 1.

4.1.2.3 POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO.

4.1.2.4 POTENCIA DE EXPONENTE RACIONAL.


84

4.1.2.5 POTENCIA DE EXPONENTE RACIONAL Y NEGATIVO.

4.1.2.6 POTENCIA DE PRODUCTOS.

Una multiplicación de factores iguales se puede expresar como una potencia indicada de una misma base:

3*3*3*3*3 = 35; m.m.m.m = m4 Una potencia indicada se puede expresar mediante una descomposición de factores iguales.

73 = 7*7*7; (5b)4 = (5b)(5b)(5b)(5b) Si una potencia se representa en forma general como an, entonces se tienen los siguientes casos:

a0 = 1; a1 = a; (12d)0 = 1; (18)1 = 18; e0 = 1; (13f)1 = 13f

4.1.2.7 PRODUCTOS DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE. Es igual a la base elevada a la suma (respetando la ley de los signos) de los exponentes.

am*an = am+n; a-m*an = a-m+n; am*a-n = am+(-n) = am-n

(3a)4(3a)9 = (3a)13 (2/3)-2(2/3)5 = (2/3)3 (z)9(z)-12 = (z)-3 = 1/z3 (3)7(3)0 = (3)7


85

4.1.2.8 PRODUCTOS DE POTENCIAS DE DIFERENTE BASE. Son de diferentes bases.

(5)2(3)2 = (25)(9) = 225; (5)2(3)2 = (25)(27) = 675

4.1.2.9 COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE. Cociente de potencias donde las bases son iguales o;

a) Cuando el exponente de dividendo es mayor que el exponente del divisor.

b) Cuando los exponentes de las potencias son iguales:

c) Cuando el exponente del dividendo es menor que el exponente del divisor:

X5

X3

=

X5-3 = X2

X3

X3

=

X3-3 = X0

= 1

X3

X5

=

X3-5 = X-2 =

1

X2

a-m = 1/m


86

d)

4.1.2.10 POTENCIA DE COCIENTES.

4.1.2.11 POTENCIA DE POTENCIAS.

(52)3 = 52*3 = 56 La potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes.

X*X*X

X*X

=

X3

X2

Y diferentes bases


87

4.1.2.12 POTENCIAS DONDE LA BASE ES UN PRODUCTO.

4.1.2.13 POTENCIAS CON BASE RACIONAL.

Y diferentes bases


88

4.1.2.14 POTENCIAS DE RECÍPROCOS.


89

4.1.2.15 EJERCICIOS.


90


91


92

4.1.3 PROPIEDADES DE BASE 10.

Un número escrito en notación científica sigue el siguiente patrón:

El número m se denomina «mantisa» y e el «orden de magnitud».

La representación de estos números, tal como se presenta, tiene poco significado práctico. Incluso se podría pensar que estos valores son poco relevantes y de uso casi inexistente en la vida cotidiana. Sin embargo, en áreas como la física y la química, estos valores son comunes. Por ejemplo, la mayor distancia observable del universo mide cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 m, 740 x 1024 y la masa de un protón es de unos 0.00000000000000000000000000167 kg. 1.67 x 10-27.

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar las mantisas, dejando la potencia de 10 con el mismo grado:

https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica

https://es.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmica

https://es.wikipedia.org/wiki/Universo

https://es.wikipedia.org/wiki/Metro

https://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramo


93

Para sumar y restar dos números (o más) debemos tener el mismo exponente en las potencias de base diez. Tomamos como factor común el mayor y movemos la coma flotante, en los menores, tantos espacios como sea necesario, elevando los correspondientes exponentes hasta que todos sean iguales. Ejemplo:

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican las mantisas y se suman los exponentes algebraicamente.

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen las mantisas y se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador).


94

Para elevar una notación científica a un exponente cualquiera, se eleva la mantisa a la potencia correspondiente y se multiplican los exponentes. (Potencia de potencias de base 10).

4.1.4 POTENCIA DE BASE DECIMAL.


95

Para realizar una potencia cuya base es un número decimal y cuyo exponente es un número natural se opera de acuerdo con la definición inicial de potencia, teniendo en cuenta los casos especiales de potencias de exponente 1 y 0.

4.2 RADICALES


96

En la raíz cuadrada no se coloca el índice (2), se sobre-entiende que ahí está, se empieza a colocar índice a partir de la raíz cubica en adelante. De hecho la raíz más pequeña que podemos calcular es la cuadrada, No existe raíz a la uno. La raíz cuadrada vale ½, por lo que es lo mismo en el ejemplo 4, tener: (81)1/2; lo anterior si el radicando esta elevado a la exponente 1; pero, si hay un exponente diferente dentro de la raíz se expresa de manera diferente, ejemplo: Lo que se acaba de hacer con una raíz cuadrada, es aplicable a cualquier tipo de raíz o (índice) en una raíz. Veamos: El ejemplo numero 1 anterior quedaría: (27)1/3 El ejemplo numero 3 anterior queda: (32)1/5 Por esta razón es que en la ecuación general cuadrática se tienen dos raíces o dos resultados.

3; (3)3 = (3)(3)(3) = 27

2; (2)5 = (2)(2)(2)(2)(2) = 32

5; (5)3 = (5)(5)(5) = 125

9; (9)2 = (9)(9) = 81

√(4)2 = 42/2 = 41 = 4; √16 = 4

√(6)7 = 67/2; √(23)-4 = (23)-4/2 = (23)-2 = 1/(23)2

+ - 2 +

- 12

4 √(4)2 = 42/7 = 41 = 4; √16 = 4

√(6)8 = 68/9; √(23)-4 = (23)-4/6 = (23)-2 = 1/(23)2

7

9 6

√(1)2 = (1)2/4 = (1)1/2

Porque es raíz cuadrada y es PAR.


97

4.2.1 SIGNOS DE UNA RAIZ.

Para calcular el signo y valor de una raíz cuya cantidad del radicando es un real positivo o negativo, se debe tener presente si el índice es par o impar:

Son cuatro las posibilidades que se presentan al calcular el signo de una raíz:

a) que el radicando sea positivo y el índice sea impar;

b) que el radicando sea negativo y el índice sea impar;

c) que el radicando sea positivo y el índice sea par;

d) que el radicando sea negativo y el índice sea par.

Veamos cada una de estas posibilidades:

Raíz de radicando positivo e índice impar

Toda raíz de índice impar de un radicando positivo, es siempre positiva.

Ejemplo:

Raíz de radicando negativo e índice impar

Toda raíz de índice impar de un radicando negativo, es siempre negativa.

Ejemplo:

3


98

Raíz de radicando positivo e índice par

Toda raíz de índice par de un radicando positivo, siempre tiene doble signo.

Ejemplo:

Raíz de un radicando negativo e índice par

Todas las raíces de índice par y radicando negativo son cantidades imaginarias, pues dichas raíces no son reales dado que toda cantidad real elevada a exponente par es siempre positiva.

Ejemplo:

√-36 no se puede obtener en , ya que:

(-6)2 = + 36 y

(+6)2 = +36

Entonces, comprobamos que no hay ningún número real que elevado al cuadrado dé -36. En la calculadora les marcará error.

Para determinar el signo o valor de las raíces de radicando negativo e índice par, es necesario que ampliemos nuestro ámbito numérico y definamos el conjunto de los números complejos, que No es el objetivo de este curso.

-

-


99

4.2.2 ACTIVIDAD.

Contesta las siguientes preguntas: Responda según lo que se le solicite a continuación:


100

4.2.3 PROPIEDADES DE LOS RADICALES.


101


102


103

Verdadero o falso?


104

4.3 POTENCIACION Y RADICACION DE NUMEROS RACIONALES (1/5)4 = (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) = 1/625 (4/3)2 = (4/3)(4/3) = 16/9 Para calcular la raíz cuadrada de una fracción común se calcula la raíz cuadrada del numerador y después la del denominador. Si estas no son exactas se dejan indicadas. √9/25 = √9 / √25 = 3/5 √35/64 = √35 / √64 = √35 / 8

4.4 TRANSFORMACION DE POTENCIAS FRACCIONARIAS A RADICALES Y VICEVERSA.


105

4.5 SIMPLIFICACION DE RADICALES


106


107


108


109

4.6 SUMA Y RESTA CON RADICALES


110


111

4.7 EVALUACION.


112


113


114


115


116


117


118

5. HABILIDAD MATEMATICA. La Habilidad Matemática es la capacidad para encontrar relaciones, percibir el mundo visual (objetos y formas) para hacer transformaciones o modificaciones a partir de lo percibido inicialmente y basándose en un proceso de razonamiento, síntesis y análisis de los objetos matemáticos. Se suele clasificar en cuatro rubros; Sucesiones Numéricas, Series Espaciales, Imaginación Espacial y Problemas de Razonamiento Matemático.

5.1 SUCESIONES NUMERICAS. Una sucesión numérica es un conjunto de números que cumplen con un modelo o regla matemática, la cual es generalmente generada por una o varias operaciones aritméticas.

Para calcular un número que falta en una sucesión, primero necesitas saber la regla que sigue la sucesión. A veces basta con mirar los números y ver el patrón. Ejemplo: Calcula el número que sigue en la sucesión 1, 4, 9, 16, …

Solución: La regla que muestra la sucesión es que cada término es un número elevado al

cuadrado:

Y por lo tanto la sucesión continúa con los números 25, 36, 49,... etc.

Ejercicio: Calcula el término que sigue en las siguientes sucesiones:

A) 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, B) 1, 3, 9, 27,…, C) 4, 8, 12, 16,…


119

5.2 SERIES ESPACIALES. Las series espaciales son un conjunto de signos o imágenes que están ordenados de acuerdo a un principio, o patrón determinado.

Al observar el principio que rige la serie, nos percatamos que el número de triángulos negros

va en aumento, de esta forma se puede inferir que el siguiente término debe tener cinco

triángulos negros y además la posición de los triángulos no cambia. Por lo tanto, la figura que

continúa la serie es la del inciso D).

Que opción continúa la serie:

Observa que en cada paso se van

agregando más cubos en la base y lo demás

queda igual, por lo tanto, la respuesta

correcta es el inciso A).


120

5.3 IMAGINACION ESPACIAL. La imaginación espacial permite encontrar la forma de figuras o imágenes desconocidas a partir de algunos datos, empleando a fondo la experiencia, lógica e imaginación. Al igual que en las sucesiones numéricas y series espaciales, la imaginación espacial no depende de muchos conocimientos matemáticos, sino que se desarrolla gradualmente, como resultado de un entrenamiento continuo; es necesario imaginarse bien “desde distintos puntos de vista” los cuerpos y figuras que se plantean en el problema. La imaginación espacial tiene gran importancia en la resolución de problemas geométricos, ya

que es fundamental a la hora de trabajar e imaginarse correctamente el dibujo, examinarlo y

explicar todos los casos que se presentan.

EJEMPLO: Si se tiene el siguiente cubo desarmado, ¿Cuál imagen mostrara el resultado final

al armar el cubo?

Comenzando a armar el cubo, y en primer lugar, observando que una cara blanca se alterna

con una negra en la sección larga del cubo, entonces de inmediato se debe descartar

cualquier respuesta que nos muestre 2 caras blancas o 2 caras negras juntas:

Ahora se debe observar que la línea central de la cara bicolor es perpendicular a las caras

blancas, por lo que también se elimina la respuesta D.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.


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5.4 PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO MATEMATICO. El razonamiento es una facultad del ser humano (aunque no es exclusiva de nosotros) que le permite resolver un problema. Para ello recurre a una serie de procesos mentales que le permiten llegar a una idea, una vez que desarrolla esa idea puede encontrar la solución del problema. Cuando realizamos este proceso decimos que usamos la razón. Por ejemplo, supongamos que nos hacen este tipo de preguntas: El número de mi casa es el doble que el de la casa de mi amigo Beto que vive en el mismo lado. Las casas con número pares están del lado izquierdo de la acera y las casas que tienen números impares del lado derecho. ¿De qué lado está mi casa? A primer momento parecería incluso una pregunta sin sentido, pero si hacemos un pequeño de procesos matemáticos podríamos llegar a lo siguiente: Si dice que el número de su casa es el doble que la de su amigo, podemos comenzar a imaginar un número comenzando por el 1 para la casa de su amigo, así el doble sería 2. Luego, si fuera el 2 la casa de su amigo, el doble sería 4. Si la casa de su amigo fuera el número 3, el doble sería 6. Podríamos continuar así y llegaríamos a la siguiente conclusión. Si todos los números aunque sean impares, el doble es un número par, entonces la casa debe estar en donde están los números pares, puesto que son vecinos. Así que la respuesta correcta es que la casa está del lado izquierdo de la acera. Las preguntas de Razonamiento Matemático al que vas a enfrentarte en diferentes momentos de tu vida sirven para medir tu habilidad para aplicar las matemáticas en situaciones nuevas y diferentes. Las preguntas miden tu habilidad para procesar, analizar y utilizar información en la Aritmética, el Álgebra, la Geometría”, etc. Los problemas que se te presentarán por lo general no tienen una única forma de resolverlos y/o plantearlos, para encontrar la solución de algunos podrás utilizar un esquema o dibujo, para otros una fórmula matemática, para otros leyendo el problema se te ocurrirá la solución y muchas veces la encontrarás por ensayo y error. Esto es porque existen muy variadas formas de plantear y resolver problemas, es decir; cada persona “razona” de una forma diferente. También existen diversas “técnicas” para resolver problemas. A continuación te planteamos un esquema que puede serte útil a la hora de abordar un problema. 1. Entiende el problema. El problema debe ser leído, releído y analizado cuidadosamente, hasta entender completamente ¿Qué es lo que se te está pidiendo?. 2. Elabora un plan. Ya dijimos que hay muchas formas de atacar un problema, aquí enlistamos varias estrategias: Haz un dibujo o diagrama. Busca un patrón. Elabora una tabla de datos. Piensa o recuerda un problema similar más sencillo. Piensa si alguna ecuación o fórmula es aplicable y utilízala. Si una respuesta parece demasiado obvia o imposible entonces busca una trampa. 3. Realiza tu plan, es decir resuelve el problema. 4. Revisa y comprueba. Comprueba tu respuesta para ver que es razonable.


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5.5 SUCESIONES, PROGRESIONES Y SERIES.

SUCESION: Conjunto de números, uno detrás de otro en un cierto orden. 2, 4, 6, 8, 10… Va de 2 en 2, al número que aparece primero se le llama primer término (2), el siguiente es el segundo término (4), tercer término (6) y así sucesivamente. Los tres puntos al final indican que la sucesión continúa y nunca termina, es decir, es infinita. 7, 11, 15, 19, 23… ahora se van sumando 4 unidades, o sea van de 4 en 4.

Regla general.- Es una fórmula que nos ayudara a crear sucesiones, en esta fórmula

utilizamos la letra (n), que va representar el término que estamos buscando. n= Valor posicional. Ejemplo: 2n + 1.

Primer término (1): 2(1) + 1 = 3 Segundo termino (2): 2(2) + 1 = 5 Tercer término: 2(3) + 1 = 7 Cuarto termino 2(4) + 1 = 9 Quinto termino 2(5) + 1 = 11

La serie quedaría: 3, 5, 7, 9, 11… 5n + 2: 7, 12, 17, 22, 27… ¿Cómo encontrar la regla general de una sucesión? 6, 9, 12, 15, 18… como te habrás dado cuenta van de 3 en 3. Lo primero que se hace es colocar 3n y tratamos de buscar el primer término 3(1) = 3, pero como el primer término es 6, nos faltan 3 unidades, por lo tanto seria: 3(1) + 3 = 6 y mi regla general es 3n +3. 3n + 3: 6, 9, 12, 15, 18… 7, 9, 11, 13, 15… ahora va de 2 en 2. 2n; 2(1)= 2, me falta 5 para el primer término: 2n + 5, ahora vemos:

2(1) + 5 = 7 2(2) + 5 = 9 2(3) +5 = 11

-4, 0, 4, 8, 12… como la sucesión va de 4 en 4 empiezo con 4n Primer término 4(1) = 4 como es menos cuatro ahora tengo que restar 8, así 4-8= -4 (4n-8) 4(2) -8 = 0 4(3) – 8 = 4 4(4) – 8 = 8 4(5) – 8 = 12


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PROGRESION ARITMETICA: es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d

la cual puede ser positiva o negativa.

1, 6, 11, 16… Va de 5 en 5; 1+5=6, 6+5=11, 11+5=16, etc. 6-1= 5 11-6=5 16-11 = 5 d=5

Término general de una progresión aritmética.- Si conocemos el 1er término.

an = a1 + (n - 1) · d

a1=1; d=5. a 2=6, a 3=11, a 4=16, etc…. a n=termino n .

a n = 1 + (n - 1) · 5 = 1 +5n – 5 = 5n + 1 – 5 =

an = 5n - 4

Ejemplo: a 2 0= 5(20)-4 = 100-4 = 96, e l termino 20 es 96.

Suma de n términos consecutivos

Calcular la suma de los primeros 20 términos de la progresión: 1, 6, 11, 16…

S20 = (a1+a20)(20) ÷ 2 = (1+96)(20)/2 = (97)(10) = 970

Ejercicio: 8, 3, -2, -7, -12...

d= -5; an= -5n + 13; suma de los primeros 5 términos: -10


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SERIE: Es la suma de una sucesión. Sucesión.- 1, 2, 3, 4… Serie.- 1+2+3+4 = 10 Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa “Sumatoria”. Significa: suma de 1 a 4: 1+2+3+4 = 10

Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1" Que son los cuatro primeros términos {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24

Series.- En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos

de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · ·

Σ n=1

4 n

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Suma

http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1tica


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5.6 RAZONES, PORCENTAJES Y PROPORCIONES.

RAZON: 20/50; 20:50; 20 a 50.


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Proporciones: Es la igualdad de dos razones.

1/2 = 4/8; 1:2 = 4:8. Las partes de una proporción son: el 1ro y 4to elemento llamados EXTREMOS de la proporción y el segundo y tercer elemento llamados MEDIOS de la proporción.

6:9 = 2:3

Extremos

Medios.


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2 a 10 = 1 a 6; (2)(6) = (10)(1); 12=10; No es una proporción, ya que no cumple la propiedad de las proporciones: Producto de los extremos = al producto de los medios.

2 de segundo semestre.


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30/2 = 60/4


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Ya vimos en la proporcionalidad directa que hay relaciones en las que cuanto más crece una de las magnitudes más crece la otra.

Pero cuando una magnitud crece y la otra disminuye proporcionalmente, se le llama

proporcionalidad Inversa.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número.

Cuanta mayor velocidad lleve el coche de carreras

Menos tiempo tardará en dar una vuelta al circuito

Imaginemos que dando una vuelta al circuito a 100 km/h, el coche tarda 12 min. En este caso y sabiendo que existe una relación de proporcionalidad inversa podremos decir que si multiplicamos la velocidad por 2 (200 km/h), entonces el tiempo por vuelta quedará dividido entre 2 (6 min).

Si por el contrario, redujera su velocidad a la mitad (100 km/h ÷ 2 = 50 km/h) el tiempo por vuelta sería al doble (12 min x 2 = 24 min).

Si el coche diera su última vuelta en 4 min, ¿qué habría pasado con la velocidad del coche

durante esa vuelta?

(12 min ÷ 4 min = 3) Como el tiempo se ha dividido entre 3, la velocidad se tiene que multiplicar por 3 (3 x 100 km/h = 300 km/h). Es decir que la velocidad a la que el coche dio su última vuelta fue 300 km/h.

Con estos ejemplos podemos observar el porqué del nombre INVERSA para este tipo de relación de proporcionalidad. Lo que ocurre con una de las magnitudes ocurre de forma INVERSA con la otra magnitud, cuando una crece la otra disminuye y viceversa.

Ahora, igual que ocurre con la proporcionalidad directa, vamos a hallar la Razón de Proporción.

http://www.smartick.es/blog/index.php/ejercicios-de-numeros-proporcionales/

http://www.smartick.es/blog/index.php/ejercicios-de-numeros-proporcionales/


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Para calcular la razón, tenemos que multiplicar las cantidades de cada magnitud relacionadas entre sí.

100 km/h x 12 min = 1200 200 km/h x 6 min = 1200 50 km/h x 24 min = 1200 300 km/h x 4 min = 1200

Al ver esto recordamos que la razón de proporción es una constate, es decir que es igual para cada par de números que representan las magnitudes relacionadas. En este caso la razón de proporción es 1200.

4personas = 8 días; xpersonas = 2 días. 8dias/2dias = 4; como el tiempo se ha dividido entre 4, las personas se multiplican igual por 4, quedando: 4(4) = 16 personas. Note la diferencia en como representar esta proporción, a diferencia de una proporción directa.


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5.7 REGLA DE 3 (Aplicaciones Aritméticas de la Proporcionalidad). Aunque Griegos y Romanos conocían las proporciones no llegaron a aplicarlas a la resolución de problemas de regla de tres. En la edad media los árabes dieron a conocer la regla de 3. La regla de 3 es una operación que tiene por objeto hallar el 4to término de una proporción, cuando se conocen 3, puede ser simple o compuesta. Es simple cuando solamente intervienen en ella 2 magnitudes y es compuesta cuando intervienen 3 o más magnitudes. SUPUESTO Y PREGUNTA. El supuesto está constituido por los datos de la parte del problema que se conoce, y la pregunta por los datos que contiene la incógnita; así el problema: Si 4 libros cuestan $8. ¿Cuánto costaran 15 libros?. Supuesto: 4 libros y $8. Pregunta: 15 libros y Xpesos. METODOS DE RESOLUCION: La regla de 3 se puede resolver por 3 métodos: método de reducción a la unidad, método de las proporciones y método práctico.

1. Método de Reducción a la unidad. Regla de 3 simple directa: Si 4 libros cuestan $8. ¿Cuánto costaran 15 libros?. Si 4 libros cuestan $8, 1 libro costara 4 veces menos: $8/4 = $2 Y 15 libros costaran 15 veces más: ($2)(15) = $30. Regla de 3 simple inversa: 4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿Cuántos días podrían

hacer la misma obra 7 hombres? Si 4 hombres hacen la obra en 12 días, 1 hombre tardaría para hacerla 4 veces más: (4)(12)=48 días. Y 7 hombres tardarían 7 veces menos: 48/7 = 6 6/7 días. Regla de 3 compuesta. 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 m de una obra en 10 días. ¿Cuántos días necesitaran 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 m de la misma obra?. Si 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 m de la obra en 10 días, 1 hombre tardara 3 veces más y 5 hombres, 5 veces menos. (10)(3)/5 días trabajando 8 horas diarias. Si en lugar de trabajar 8 horas diarias, trabajan 1 hora diaria, tardarían 8 veces más y trabajando 6 horas diarias tardarían 6 veces menos. (10)(8)/6; (10)(3)(8)/(5)(6) días para hacer 80 m. Si en lugar de hacer 80 m, hicieran 1 m, tardarían 80 veces menos y para hacer 60 m, tardarían 60 veces más. (10)(3)(8)(60) / (5)(6)(80) días. Luego: X= 14,400/2400 = 6 días.

2. Método de las proporciones. Regla de 3 simple directa.- Si 4 libros cuestan $8. ¿Cuánto costaran 15 libros?. Supuesto: 4 libros = $8 Pregunta: 15 libros = $X Como que a más libros más pesos, estas cantidades son directamente proporcionales y sabemos que la proporción se forma igualando las razones directas: 4/15 = 8/x; x=(15)(8)/4 = 120/4 = $30.


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Regla de 3 simple inversa: 4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿Cuántos días podrían hacer la misma obra 7 hombres? Supuesto: 4 hombres = 12 días Pregunta 7 hombres = Xdias. Como que a más hombres menos días, estas cantidades son inversamente proporcionales y sabemos que la proporción se forma igualando la razón directa de las dos primeras con la razón inversa de las dos últimas o viceversa. 4/7 = X/12; X=(4)(12)/7 = 48/7 = 6 6/7 días. 7/4 = 12/x; X=(4)(12)/7 = 6 6/7 días. Regla de 3 compuesta. 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 m de una obra en

10 días. ¿Cuántos días necesitaran 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 m de la misma obra?. Supuesto: 3 hombres, 8 horas diarias, 80 m, 10 días. Pregunta: 5 hombres, 6 horas diarias, 60 m, X días. El método de las proporciones consiste en descomponer la regla de 3 compuesta en reglas de 3 simples y luego multiplicar ordenadamente las proporciones formadas. Al formar cada regla de 3 simple, consideramos que las demás magnitudes no varían, en este caso tenemos 3 proporciones:

a) 3 hombres hacen la obra en 10 días 5 hombres la hacen en Y días. A más hombres, menos días; luego, son inversamente proporcionales. 3/5 = Y/10 o 5/3 = 10/Y

b) Se emplean Y días trabajando 8 horas diarias. Se emplearan Y` días trabajando 6 horas diarias. A más días, menos horas diarias, luego, son inversamente proporcionales. Y/Y` = 6/8 o 6/8 = Y/Y`

c) Se emplean Y` días para hacer 80 m de la obra. Se emplearan X días para hacer 60 m de la obra. A más días, más metros, luego, son directamente proporcionales. Y`/X = 80/60 o 80/60 = Y`/X

Multiplicando término a término las proporciones a, b y c tenemos: (3)(Y)(Y`) / (5)(Y`)(X) = (Y)(6)(80) / (10)(8)(60) Simplificando, queda: 5xy = 30y; x = 30y/5y = 6 días. O también: (5)(6)(80) / (3)(8)(60) = (10)(Y)(Y`) / (Y)(Y´)(X) Simplificando: 5/3 = 10/x X=(3)(10)/5 = 6 días.

3. Método Práctico. Regla practica para resolver cualquier problema de regla de tres simple o compuesta. Se escriben el supuesto y la pregunta. Hecho esto, se compara cada una de las magnitudes con la incógnita (suponiendo que las demás no varían), para ver si son directa o inversamente proporcionales con la incógnita. A las magnitudes que sean directamente proporcionales con la incógnita se les pone debajo un signo (+) y encima un signo (-). A las magnitudes que sean inversamente proporcionales con la incógnita se les pone debajo un signo (-) y encima un signo (+)-


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El valor de la incógnita (X), será igual al valor conocido de su misma especie (al cual siempre se le pone (+)), multiplicado por todas las cantidades que llevan el signo (+), partiendo este producto por el producto de las cantidades que llevan el signo (-). Regla de 3 simple directa.- Si 4 libros cuestan $8. ¿Cuánto costaran 15 libros?.

Supuesto: 4 libros = $8 Pregunta: 15 libros = $X Comparamos: a mas libros, mas pesos, luego; estas magnitudes son directamente proporcionales; ponemos (+) debajo de los libros y (-) encima; ponemos (+) también a $8.

- + 4 libros = $8 15 libros = $X + Ahora el valor de X será igual al producto de 15(8), que son los que tienen el signo (+), partiendo por 4 que tiene signo (-) y tendremos: X = (15)(8) / 4 = $30 pesos. Regla de 3 simple inversa: 4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿Cuántos días podrían

hacer la misma obra 7 hombres? + + Supuesto: 4 hombres = 12 días Pregunta 7 hombres = Xdias. - Comparamos: a más hombres, menos días, luego; son inversamente proporcionales. Ponemos (-) debajo de hombres y (+) arriba, ponemos (+) también a 12 días. Ahora, el valor de X será igual al producto de (12)(4) entre 7 quedando: X= 48/7 = 6 6/7 días. Regla de 3 compuesta. 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 m de una obra en

10 días. ¿Cuántos días necesitaran 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 m de la misma obra?. + + - + Supuesto: 3 hombres, 8 horas diarias, 80 m, 10 días. Pregunta: 5 hombres, 6 horas diarias, 60 m, X días.

- - + Comparamos: a más hombres, menos días, ponemos (-) debajo de hombres y + encima. A más horas diarias de trabajo, menos días en hacer la obra, (-) debajo de horas y + encima. A más metros, mas días, ponemos (+) debajo de metros y (-) encima; Ponemos (+) también a 10 días. El valor de X será el producto de (10)(60)(8)(3) que son los que tienen el signo (+). Dividido por el producto de (80)(6)(5) que son los que tienen signo (-) para obtener: X= 14,400/2400 = 6 días.


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5.8 TANTO POR CIENTO. El signo de tanto por ciento (%) surgió como una corrupción de la abreviatura de ciento (cto), que se empleaba en la operaciones mercantiles. El primero que utilizo el signo tal como lo usamos hoy fue Delaporte, que en 1685 lo expuso en su libro “Le Guide des Negotien”, (Guía del comerciante). Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número. Hallar el 15% de 32. 15%/100% (32) = (0.15)(32) = 4.8 De que numero es 46 el 23%? 46 = 23% X = 100% A mayor numero, mayo porcentaje; directamente proporcionales, por lo tanto: 46/X = 23/100; X = (100%)(46)/23% = 200. Que % de 8400 es 2940? 8400 = 100% 2940 = X% X% = (2940)(100)/8400 = 35%.

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