apuntes.docx de ecuaciones

8/17/2019 APUNTES.docx de Ecuaciones

1/69

UNIVERSIDAD

AUTONÓMA DE

GUERRERO

UNIDADACADEMICA

DEINGENIERÍA

PROGRAMAEDUCATIVO:INGENIERÍA

CIVIL

UNIDAD DEAPRENDIZAJ

E:

ECUACIONESDIFERENCIA

LES.

TAREAS SERIES

APUNTES

ALUMNO:ESAÚ

COMONFORTCASTAÑÓN

FACILITADOR:


2/69

TAREASResolu!"# $e eu%!o#es $!&e'e#!%les l!#e%les $e ('!)e' o'$e#1¿ x ' −3 yx=0

M*+o$o $e se(%'%!"# $e ,%'!%-les

Y =variabledependiente X (Y )

X =variableindependiente

dxdy−3 yx=0⇒

dxdy=3 xy

dx x =3 ydy⇒∫ dx x =∫ 3 ydy

ln x+C 1=3 y

2

2 +C 2

ln x=3 y

2

2 +C 2+C 1

ln x=3 y 2

2 + K

e ln| X |=e(3 y

2

2 + K )

x=e3

y2

2 . ek


3/69

x=C . e3

y2

2

SOLUCION GENERAL/ De'!,%$%

3 yC. e3

y2

2 −3 y (C . e3

y2

2 )=0

(3 yC −3 yC ) e3

y2

2=0

0=0

2

¿ ECUACION θ¿' −tan r θ=0

M*+o$o $e se(%'%!"# $e ,%'!%-les

θ=

variabledependiente

θ(r)

r=variableindependiente

dθdr −tanr θ=0⇒

dθdr =tanr θ

dθθ =tanr dr⇒∫ dθθ =∫ tan r dr

θ+C 1=¿ ln|secr|+C 2ln ¿

θ=¿ ln|secr|+C 2−C 1ln¿


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Método de separación de variables

y ( x)

3dy

dx −3 x2 y=0⇒

3dy

dx =3 x2 y

3dy y =3 x2 dx⇒3∫ dy y =3∫ x

2 dx

y

ln ¿+C 1= x3

¿3¿

y

ln ¿= x3

¿3¿

y

ln ¿= x3

¿3¿

x(¿¿ 3+ K )/3

¿¿¿

e ln| y|=e¿

y=e( x3/3) . e K /3

y=e( x3/3) .C

y=C .e ( x3/3)

SOLUCION GENERAL


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/ DERIVADA

e

(¿¿ ( x3

3 ). C )=03 x

2

C . e( x3 /3 )

−3 x2

¿

(3 x2 C −3 x2C )e( x

3

3 )=0

0=0

SERIES.Se'!e ° P'o-le)%: Resol,e' l% s!0u!e#+e eu%!"#:

Ecuación deferencial lineal de primer orden.

1dzdt +3 z=0

dzdt +3 z=0

∫ dz z =−∫3 dt

ln( z )+c2=−3 t +c2


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z

(¿)=−3 t +c2−c1ln ¿

ln( z )=−3 t +k

eln( z )=e−3 t +k

z=e−3 t . ek

z=c . e−3 t

Solu!"# 0e#e'%l

Ve'!2%!"#

z ' +3 z=0

−3.c . e−3 t +3 ( c . e−3 t )=0

(−3.c+3.c ) e−3 t =0

(0 ) e−3t =0

0=0

3/ P'o-le)%: O-+e#e' l% solu!"# $e l%s s!0u!e#+esEu%!"#.

1dydx+(2 x+1 x ) y=e−2 x


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x= xc ( y )+ xp ( y)

dydx+(2 x+1 x ) y=0

dydx

=−( 2 x+1 x ) y

dy y =−( 2 x+1 x )dx

∫ dy y =−∫2 x x +∫ dx x

∫ dy y =−2∫dx+∫dx x

y(¿)+c1=−2 x+ln x+c2

ln ¿

y

(¿)=−2 x+ ln x+c2−cln¿

eln y=−2 x+e ln x +k

y=−2 x+eln x . ek

y=−2 x+ x . ek

y=−2 x+c . x ESTO ES. xc

Yp= ( y )(−2 x+ x) y= ( y ) (−2 x+ x ) ! y ' =' ( y ) (−2 x+ x )(−2+1)( y)

Sustituyendo x y x’ en la ecuación original


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' ( y ) (−2 x+ x )(−2+1)( y)+( 2 x+1 x ) ( x ) (−2 x+ x )=e−2 x

4/ P'o-le)%: O-+e#e' l% Solu!"# $e l% s!0u!e#+eeu%!"#:

1 r' '' −6 r ' ' +12 r ' −8 r=0

Operador diferencial:

"(¿¿3−6 "2+12 "−8)r=0

¿

La ecuación característica:

#3−6 #2+12 #−8=0

P.R:+-4+-2+-1

# 1=21 -6 12 -82 2 -8 8 1 -4 4 0


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Entonces buscamos las dems raíces mediante la factori!ación:

( #−2 ) ( #2−4 #+4)

( #−2 ) ( #−2 )( #−2)

#1= #2= #3=2

r1( y )=e2r2( y )=e

2 r3( y )=e2

Solu!"#:

x ( y )=c1e2

+c2e2

+c2 e2

5/ P'o-le)%: O-+e#e' l% Solu!"# $e l% s!0u!e#+e

eu%!"#:

c) x$I −6 x$ +12 x I$ −34 x' ' ' =0


"(¿¿6−6 "5+12 " 4−34 "3) x=0

¿

Ecuación característica:

#6−6 #5+12 #4−34 #3=0

"actori!amos:


11/69

#3( #3−6 #2+12 #−34)

Buscamos raíces mediante la división sintética:Pos!-les '%6es: 78 7.9 %2

R%6 #1=0

R%6 #2=4.9625

Ahora usamos la formula general para determinar lasdemás raíces.

1−1.0375+6.8514=0

−b%√ b2−4ac

2a

Resol,!e#$o.

−(−1.0375)%√ (1.0375)2−4(1)(6.8514)

2(1) =¿

;< 3 ;45 7

0 0 0 0 0

1 -6 12 -34 0

;< 3 ;45

5.=<39

4.9625 5.1486

34.000

;.74>9


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+1.0375% √ 1.07640−27.40562

=¿

+1.0375% √ 26.32922

=¿

Raíces.

0.51875+5.131198i

0.51875−5.131198i

Entonces Tenemos:

c10+c2

4.9625+c30.51875+c4

0.51875+c55.131198 i+c6

−5.131198 i

9/ P'o-le)%: O-+e#e' l% Solu!"# $e l% s!0u!e#+eeu%!"#:

1 y I$ − x ' ' ' −3 x '' − x' +2 x=0


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( "4− "3−3 "2− "+2 ") x=0

Ecuación característica: #4− #3−3 #2− #+2 #=0

#4− #3−3 #2+ #=0

Pos!-les R%6es. 7 %1%2

; ;4 7

7 0 0 0 0

; ;5 7

; ;4

;.5?3 -1.4812 3.67515

-0.9999

;3.5?3 7.9

7.777

;3.5?

3

7.9

7.4

0.31111

-0.6751

;3.>7 7


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Raíces:

#1=0

#2=−1.4812

#3=0.31111

#4=2.1701

Por último la solución es:

x ( y )=c1e(0 )+c2

−1.4812+c30.3111+c4

2.1701

6° Problema: Obtener el operador aniquilador de la siguiente

función:

c) & ( x )=3 x2+4sin x+cos x

Aplicamos las siguientes condiciones para hallar el operador

aniquilador.

"−¿¿¿

( "2−2"+ ( 2+ (2 ))

Para esta ecuación,

;3.>7

3.>7 2.1701

7


15/69

& ( x )=3 x2+4sin x+cos x

Usamos la formula:

"

2

−2

"+( 2

+ (

2

)¿n+1

¿

Identificamos en la ecuación los términos de ! ( y n .

=0

(=1

n=3

Sustituimos los valores otenidos:

"2−2(0) "+((0)2+12 )¿3+1¿

Resolviendo ecuación:

"2−2(0) "+((0)2+12 )¿3+1¿

!sí otenemos nuestro o"erador ani#uilador:

"2+1¿3

¿

Serie 2

$% PRO&'E(!


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O&TEER '! SO'U*IO +E '!S SIUIETE E*U!*I- +IERE*I!'.

c) p'' +6 p' +5 p=2e x+10e x

p +6 p ) +5p=0

( "2+6 "+5)

#2+6 #+5=0

Otenemos raíces.

1,2=¿−6%√ 6

2−4 (1 )(5)2(1)

=¿

#¿

1,2=¿−6%√ 36−20

2 =¿

#¿

1,2=¿−6 %√ 16

2=¿

#¿

1,2=¿−6%42 =¿

#¿

1,2=¿−6−4

2 =

−102 =−5

#¿

1,2=¿−6+4

2 =

2

2=1

#¿

Tenemos que yc ( x )=c1 e(−5) x+c

2e(1) x

cc e−5+c2 e

1

¿e− x ¿


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/% PRO&'E(!

O&TEER '! SO'U*IO +E '!S SIUIETE E*U!*I- +IERE*I!'.

c) y'' + y=sect

Primeramente la convertimos como una ecuación 0omo1énea:

y2+ y=0

Tenemos la ecuación característica:

#2+1=0

#=%i

+onde y= A sin x+* c+sx

Resolviendo la variación de "ar2metros.

,= y ) ( y2 )' − y2( y1) '

,=−sin2 x−cos2 x

,=1

!0ora:

v 1' = y 2 sect

v 1' =1

v 1= x

v 21=− y1 sect

v 1' =−tant

v 2=−ln ( sect )

Entonces y= Asin x+*c+sx+Cxsinx+ "c+sx(ln)secx


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19/69

3% PRO&'E(!

UTI'I4!+O '! +EII*IO, O&TEER '! TR!SOR(!+! +E '! P'!*E+E '!S SIUIETES U*IOES:

c) - ( t )=t sen t

{tsent }=∫0

❑

e−5 t tsentdt

!"licando la inte1ración "or "artes:

∫e−5 t tsent dt =−e−5 t −∫( tc+st )(−se−5 t dt )

/=e−5 t

d/=−s e−5 t

dt

dv=t sent dt v=−t cos t

{t sent }= 1s2+1

Inte1ramos de nuevo:

−∫ stc+st e−5 dt =−5∫e−5 t tc+st dt =−5∫ e−5 t tsent −∫−se−5t t sent dt =−s e−5 t t sent −52∫ e−5 t t se

Entonces tenemos #ue :

/=e−5 t d/=−s e5 t dt

dv=t c+st dt $ =sent

Esto es :

∫e−5 t t sent dt =−e−5 t −(−s e−5 t sent )−s2∫e−5 t t sent dt

∫e−5 t t sent dt =( stsent −tc+st ) e−5 t −s2∫ e−5 t t sent dt

∫e−5 t t sen t +dt +s2∫ e−5 t t sent dt =(s tsent −t c+st )e−5 t


20/69

(1+s2 )∫ e−5 t t sent dt =(s t sent t cot ) e−5 t

e−5t t sent dt =¿( s tsent −tc+st 1+s2 )e−5t |in-init+0 =0

∫ ¿

¿0−[ s sent (0 )−c+st (0 )1+s2 ] e−5 (0 )=−[ −1

1+s2 ]= 1

s2+1


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5% "rolema

Otener la transformada de 'a"lace de las si1uientes funciones:

c) - ( t )=e3 t

cos (−2t )+2 t 2 e−2 t

cos (−2t )+2 (t 2 )+l(e−2 t )l (e3t )+ ¿

( 1s−3 )( ss2+4 )+2( 2

s3 )+ 1

s−2


22/69

6% "rolema

Otener la transformada inversa de 'a"lace de las si1uientes funciones:

c) (s+10)/(s2+8 s+20)

7% "rolema

Utili8ando la transformada de 'a"lace, otener la solución de la ecuación:

c) y'' +2 y ' +5 y=3e-2 t y (0 )= y ' (0 )=1


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APUNT

ESCAPITULO ECAC!"#E$ %!&E'E#C!A(E$.• Ecuacin !i"e#encia$• %#a!o & o#!en !e una ecuacin !i"e#encia$• Ecuacin !i"e#encia$ $inea$• Ecuacin !i"e#encia$ 'omo(nea• Ecuacin !i"e#encia$ no 'omo(nea• *o$ucin !e una ecuacin !i"e#encia$

CAPITULO II ECAC!)# %!&E'E#C!A( %E *'!ME' "'%E#

• +e,nicin• Ecuacin !i"e#encia$ !e #ime# o#!en 'omo(nea• Ecuacin !i"e#encia$ !e #ime# o#!en no 'omo(nea• Reso$ucin !e una ecuacin !i"e#encia$ no 'omo(nea

/to!o !e sea#acin $a e#!a! en e$ tanque & e$ !e a#ia$es.

• Reso$ucin !e ecuacin !i"e#encia$ !e #ime# o#!en no 'omo(nea

⟹ /to!o !e a#iacin !e a#met#os.

CAPITULO III ECAC!)# %!&E'E#C!A( %E "'%E# n

• +e,nicin• Reso$ucin !e una ecuacin !i"e#encia$ !e o#!en 'omo(nea


24/69

e#a!o# !i"e#encia$ Ecuacin ca#acte#ística "uncin eonencia$

• Reso$ucin !e una ecuacin !i"e#encia$ !e o#!en n no 'omo(nea /to!o !e coe,cientes in!ete#mina!os /to!o !e a#iacin !e a#met#os

CAPITULO IV (A +'A#$&"'MA%A %E (A*(ACE.

• +e,nicin• uncin !e c$ase • tencin !e $a t#ans"o#ma!a !e a$ace• Ta$as !e $a t#ans"o#ma!a !e a$ace• Teo#ema !e t#ans$acin• T#ans"o#ma!a !e a$ace ine#sa• tencin !e $a t#ans"o#ma!a !e a$ace ine#sa• Teo#ema !e cono$ucin• T#ans"o#ma!a !e a$ace !e una ecuacin !i"e#encia$ $inea$• Reso$ucin !e una ecuacin !i"e#encia$ $inea$ o# $a t#ans"o#ma!a !e

a$ace

CAPITULO V $!$+EMA %E ECAC!"#E$ %!&E'E#C!A(E$

• *istema !e ecuaciones !i"e#encia$es !e #ime# o#!en 'omo(neo• *istema !e ecuaciones !i"e#encia$es !e #ime# o#!en no 'omo(neo• /at#i eonencia$. Teo#ema !e ;ami$ton Ea($e&• Reso$ucin !e un sistema !e ecuaciones !i"e#encia$es !e #ime# o#!en

'omo(nea• Reso$ucin !e un sistema !e ecuaciones !i"e#encia$es !e #ime# o#!en

no 'omo(nea• T#ans"o#macin !e una ecuacin !i"e#encia$ $inea$ en un sistema !e

ecuaciones !i"e#encia$es !e #ime# o#!en.

ECUACIONES DIFERENCIALES.


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a ecuacin !i"e#encia$ es una i(ua$!a! que #e$aciona a una "uncin!esconoci!a< con una a#ia$e in!een!iente & sus !e#ia!as.

d2 y

dx2 +

dydx+3 y⟹ y=a/navariabledependiente . x=variableindependiente

y ' + y ' +3 y=2e2 t +t 2⟹ y=variabledependiente !t =a/na variableindependiente

y'' +2 y ' −4 y=⟹ y=varabledependiente y= 0 (t ) y=- ( z )

x' ' +3 x' ' −4 x=5⟹ x=variable dependiente x=- ( , ) 1 1 . x= - ( z )

GRADO @ ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

• =R=TER>*T>=*

R+E? +E @? E=@=>A? +>ERE?=>

E$ o#!en !e una ecuacin !i"e#encia$ $o !e,ne $a !e#ia!a !e ma&o# o#!enino$uc#a!a en $a ecuacin

%R+ +E @? E=@=>A? +>ERE?=>

E$ (#a!o !e una ecuacin !i"e#encia$ $o !e,ne $a otencia a$a que este$ea!a $a !e#ia!a !e ma&o# o#!en. Bo# siem#e & cuan!o esta ecuacinue!a se# e#esa!a como un o$inomio.

ECUACION DIFERENCIAL LINEAL

*e !ice que una ecuacin !i"e#encia$ es $inea$ cuan!o cum$e con $assi(uientes con!iciones:

• =uan!o es !e #ime# (#a!o.• ?o contiene #o!uctos !e $a a#ia$e !een!iente en sus !e#ia!as.• ?o contiene #o!uctos !e $a !e#ia!a ent#e si.• ?o ino$uc#a "unciones t#i(onomt#icas & $o(a#ítmicas en $a a#ia$e

!een!iente.


26/69

ECem$os:

+ete#mina# e$ (#a!o< o#!en & $a $inea$i!a!.

1¿ d

3 y

dt 3 +2

d2 y

dt 2 +3

dy

dt −4 y=e2 t c+st

O2"EN :3

2A"O :1°

Es /naec/aci3ndi-erencial lineal .

2¿d

4 x

dt 4 +(d

2 x

dt 2 )

2

+2dx

dt =0

O2"EN : 4 °

2A"O :1°

Es /naec/aci3n di-erencial n+ lineal

3

¿(d2 y

dx2 )¿1/4+ dydx +3 y= x3+2 x

O2"EN :2d+

2A"O:1

°

Es /naec/aci3n di-erencial n+ lineal

(2t ) y ' ' +3 sent y ' +2 y ' =¿4¿cos ¿ 0


27/69

O2"EN :2d+

2A"O :1°

Es /naec/aci3ndi-erencial lineal

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es una "uncin !e una so$a a#ia$e in!een!iente que contiene un nDme#o !econtantes esencia$es & a#it#a#ias i(ua$ a$ o#!en !e $a ecuacin !i"e#encia$ &que a$ sustitui#$a en $a ecuacin !i"e#encia$ $a t#ans"o#ma en una i!enti!a!.

Solu!"# (%'+!ul%' $e u#% eu%!"# $!&e'e#!%l

Es una "uncin !e una so$a a#ia$e que se otiene !e $a so$ucin(ene#a$< a$uan!o sus contantes esencia$es &a a#it#a#ias & que a$sustitui#$a en $a ecuacin B $a t#ans"o#ma en una i!enti!a!.

Ee)(lo:

+ete#mina# cu$es !e $as si(uientes "unciones es so$ucin !e$a ecuacin!i"e#encia$< !e,nien!o a$ mismo tiemo cu$ !e e$$as es $a so$ucin

a#ticu$a#.

y '' −3 y ' −10=12 e x+12e2 x

a¿ y ( x )=e5 x+2e−2 x−e x−e2 x

b¿ y ( x )= Ae5 x+* e2 x−e x−e2 x

c ¿ y ( x )= x e5 x+2e2 x−3e− x

*@=>A? a) y=e5 x+2e−2 x−e x−e2 x

y' =5e5 x−4e−2 x−e x−2e2 x


28/69

y'' =25 e5 x−8 e−2 x−e x−4 e2 x

5e5 x−4e−2 x−e x−2e2 x

25e5 x−8e−2 x−e x−4e2 x

−10e5 x

−20e−2 x

+10 e x

+10e2 x

(25−15−10 ) e5 x+(8+12−20 ) e−2 x+(3−1−10)

y ' '

y '

−10 y12e

x+12e x

0e5 x+0e−2 x−8e x−12e x

(25−15−10 ) e5 x (8+12−20 ) e−2 x+ (13−1 ) e x+(16−4 )e2 x

0e5 x+0e−2 x12e x+12e x

y ( x )= Ae5 x+* e2 x−e x−e2 x

y ' =5 A e x−4*e2 x−e x−2e2 x

y'' =25 A e5 x+8 *

*@=>A? b¿ y ( x )= Ae5 x+* e2 x−e x−e2 x

y= Ae5 x+* e2 x−e x−e2 x

y ' =5 Ae5 x−2* e2 x−e x−e2 x

y ' ' =25 Ae5 x−4 * e2 x−e x−4 e2 x


29/69

25 Ae5 x+4 * e−2 x−e x−4 e2 x

−15 Ae5 x+6 * e−2 x+3 e x+6 e2 x

−10 Ae5 x−10 * e−2 x+10 e x+10 e2 x

(25−13−10 ) Ae5 x−(10−10 ) * e−2 x (13−1 ) (16−4 )

y4

−3 y−10 y

12 e x−12 e2 x

0e5 x+0e−2 x12e x+12e2 x

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

FORMA GENERAL

xn+an xn−1+1+an−1 x

' +an x=& ( t ) Ec/aci+n di-erencial de+rdennlineal

4 (a ) x=&(t )

'E$"(C!)# %E #A ECAC!)# %!&E'E#C!A( %E *'!ME' "'%E#:

dy

dt + 4 ( t ) y=& ( t )⟹ec/aci+ndi-erencieal de pri5er +rden n+ 6+5+7enea

dydt + 4 (t ) 7=0⟹ec/aci+n di-erencial de pri5er+rden6+5+7enea.

/T+ +E *EBR=>A? +E FR>GE*. y

' −2 y=0

y=variabledependiente

x=variabledependiente

dydx−2 y=0⟹

dydx=2 y

dy

y =2dx⟹ inte7ra5+s∫ dy

y =∫2dx

lny+c=2 x+c2

y ( x)


30/69

lny=2 x+c

2−c1k

last+lvas red+ndas

lny=2 x+k

e ln ( y)=e(2 x +k )= y=e2 x . ek

c

y=c . e2 x s+l/ci3n

Co)('o-%)os:

y=c . e2 x en la ec/aci3n y ' −2 y=0

2c . e2 x−2 (c .e2 x )=0

2(−2c) .e 2 x=0¿

0=0

SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER GRADO NOBOMOGENEA

y' + p ( x ) y= Ec/aci+ndi-erencial de pri5er +rden n+ 6+5+7enea.

4ri5er+ se+btienela 6+5+7enea as+ciada y ' + p ( x )=∫ p ( x ) dx

⟹ y ( x )=ce

⟹ yc ( x )

y p ( x )=9 y ( x )= ye( x )+ yp ( x ) variaci3n de para5etr+s

y p( x)=( x)e∫ p ( x ) dx

tene# $a so$ucin !e $as si(uientes ecuaciones:


31/69

1¿ y ' −2 y=e2 x+c+sx 2¿ y ' + y=e− x+senx

3¿ y ' +2 y=3

4 sen 3 t

*o$ucin y ( x )= y c( x)+ pc( x)

SOLUCIÓN: 1¿ y' −2 y=e2 x+c+sx

1° se otiene $a ecuacin 'omo(nea asocia!a ⟹ y' −2 y=0

dydx−2 y=0⟹

dydx=2 y⟹dy=2 ydx

⟹∫ dy y =∫2dx⟹ ln ( y )=2 x+c

e ln ( y)=e2 x+ c⟹ yc=Ce2 x

Yp=( x)e2 x

Sus+!+ue#$o % Yp=( x)e2 x

!e#ian!o

y' = ( x ) e2 x+2e2 x ( x ) :/stit/i5+senla ec/aci3n+ri7inal= y ' −2 y=e2 x+c+sx

x¿

' ( x ) e2 x+2 ( x ) e2 x−2 ( x ) e2 x=e2 x+cos¿

e2 x ' ( x )=e2 x+cos x

' ( x )= e

2 xcos x

e2 x

=e

2 x

e2 x+cos x

e2 x


32/69

1

ea=e−a

'

( x )=1+e−2 x

cos x

1+e−2 x

(¿)dx

( x )=∫ ¿ ( x )=∫ dx+∫ e−2 x

cos x dx

Obtene5+sla inte7ral

∫e2 x cos x dx aplicand + la -+r5/la:∫/−dv=/v−∫ vd/

yc=C e2 x y p= ( x )e

2 x ( x )= x+|e−2 x cos x dx

∫e−2 x cos xdx

/=e−2 x dv=c+sx dx

/' =−2e−2 xdx v=senx

−2

(.c+sx)(¿¿e−2 x dx )=2∫−e−2 x cos−2∫ ( e−2 x ) dx(e−2 x ) (−c+sx )−∫ ¿∫ e−2 x dxsenx=2∫ ¿

¿−2e−2 x cos x−4∫ e−2 xcos x dx

est+es :

∫e−2 x c+sxdx=e−2 x senx

z−4

∫e−2 xcos x dx

∫e−2 x cos x dx+4

∫e−2 x cos xdx=¿

−2e2 xcos¿


33/69

xsenx−2cos ¿

¿e−2 xcos xdx=e−2 x¿

e−2 x ( senx−2c+sx )5∫ ¿

xcos x−2cos ¿

( x )= x+e2 x

5 ¿

¿¿ x

senx−2cos ¿ x dx=1/5¿

e2 x cos¿

∫¿

y ( x )=C e2 x+1

5(senx−2c+x)

RE*FER:

2¿ y ' + y=e− x+senx

O-+e#e)os l% eu%!"# o)o0*#e% %so!%$%

y ' + y=0⟹dydx+ y=0⟹

dydx=− y⟹

dy0 =−dx⟹ yc=C e

− x

tenemos $a ecuacin a#ticu$a#

( x )= ' ( x )e− x

yp= ( x ) e− x y ' =' ( x ) e− x+(−e− x)¿

Ent+nces :


34/69

) ( X ) e− x− ( x )+ ( x ) e− x=e− x+senx¿

' ( x ) e− x=e− x+sen x⟹ ' ( x )= e

− x

e− x +

senx

e− x =1+e

− xsenx

calc/la5+slainte7ral

8 X ¿=∫1+e− x senx dx= x+∫1+e− x senxdx

aplica5+s lainte7raci3n p+r partes

/=e x d/=e x dx

dv=sexdxv=−c+sx

x−cos ¿(e x dx)

¿¿¿

x−∫ ¿e x senxdx=−e xcos ¿

∫ ¿

¿−e x cos x+∫e x c+sx dx

inte7ra5+sden/ev+

/=e x d/=e x dx dv=cos xdx v=senx

res+lve5+s:

∫e x senxdx=e x c+sx+e x senx−∫ (senx ) (e x dx )


35/69

x

senx−cos¿−∫ e x senxdx¿

e x senxdx=e x ¿

∫¿

x

senx−cos ¿¿

e x

s en xd x=e x¿2∫¿

∫e x senxdx=e x

2(senx−c+sx )

( x )= x+ e x

2( senx−c+sx )

x

senx−cos¿e− x=¿e− x . x+1

2(senx−c+sx)

y ( p)=( x+e

x

2 ) ¿

x e− x+1

2(senx−c+x)

e− x+¿ y ( x )=¿

¿ (c+ x )e− x+1

2(senx−c+sx)

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ORDEN #

ECem$o:

+ete#mina# $a so$ucin !e$as si(uientes ecuaciones


36/69

1¿ y ' ' ' −5 y' ' +7 y ' +13 y 2¿ y ' v+8 y ' ' +18 y=0

3¿ y v−9 y ' v+34 y ' ' ' −66 y ' ' +65 y ' −25 y=0 si61=62=2+i

Resol,!e#$o: 1¿ y' ' ' −5 y' ' +7 y ' +13 y 7

( "3−5 "2+7 "+13) y=0

#3−5 #2+7 #+13=0

==@/* R>=E*

4O:I*E: 2AICE:=%1%13

X 1=−1

A6+ra tene5+s : #2−6 x+13=0

aplica5+s la-+r5/la 7eneral para6allar las de5;sraices .

1(13)¿

(−6 )2−4¿−(−6 )%√ ¿

#2,3=¿

3%√ 36−522

= #2.3=3%√ −16

2 =3%

4

2=3%2i

Esto es:

1 -5 7 13

1 1 -4 3

1 -4 3 16

1 -5 7 13

-1 -1 6 -13

1 -6 13 7


37/69

#2=3+2i #3=3−2 i x1=−1 y1 ( x )=C 1 e

2 t +¿c3 t c2cos¿

2,3=¿3%2 i⟹ y2 ( x )=e3t

¿ #¿

a=3b=2 est+es : #=a+bi⟹ y=eat (c1bt +c2 senbt )3sen2 t

c1 cos2 t +c¿ y (t )=c1 e

−t +e3 t ¿

EJERCICIO 2¿ y' v+8 y ' ' +18 y=0

( "4+8 "2+16 ) y=0 #4+8 #2+16=0 #2= A

A2+8 A+16=0Obtene5+sel -act+r c+5


38/69

3=¿ #4=2+ ia=2, b=11=¿ #2=2+i = #¿

si #¿

( "5−9 "4+34 "3−66 "2+65 "−25) y=0

#5−9 #4+34 #3−66 #2+65 #−25

calc/l+de raices:

#=1 y (t )=c1 e− x+e2 x(( c2+c3 # )+c+sx+(c4+c5 x ) senx)

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL # NO BOMOGENEA

PHD1H1

1¿COE0ICIEN>E: IN"E2>E2?INA"O: 2¿$A2IACI N "E 4A2A?E>2O:

COE0ICIEN>E: IN"E2>E2?INA"O::

y '' +2 y ' + y=2 x+3 para ell++c/pa5+s laec/aci3n di-erencial 6+5+7eneaas+ciada

y '' +2 y ' + y=0

( "2+2 "+1 ) y=0

#2+2 #+1=0+btene5+s -act+rc+5


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ent+ncestene5+s&/e : & ( " )= " 2⟹O4E2A"O2 ANIUIA"O2

( "2 ) ( "2+2 "+1 ) y= ( "2 ) (2 x+3 ) ( "2 ) ( "2+2 "+1) y=06+5+7enea

( #2

) ( #2

+2 #+1 )=0⟹ #1= #2=0 #3= #4=−1 y ( x )= (c1+c2 x ) e− x

+ (c3+c4 x) e0 x

yp

yp= A+*X ⟹ A !* c+e-icientes inderter5inad+s . :U:>I>UI?O: EN A ECUACI N O2IINA

Y4= A+*x Y ' 4=* Y ' ' 4=0 0+2 (* )+ ( A+*X )=2 X +3 *X +2 *+ A=2 X +3

IUAAN"O *=2 2 *+ A=34+ A=3⟹ A=−1 Y4=−1+2Y

y ( x )= (c1+c2 x ) e− x+2 x−1

L !"S#O"$% %& LPL'&

Pierre Simon $arqu() de Laplace 9$5; astrónomo francéstan famoso en su tiem"o #ue se le conocía como el e?ton de rancia. Sus"rinci"ales cam"os de interés fueron la (ec2nica *eleste, o movimiento"lanetario, la teoría de "roailidades, > el "ro1reso "ersonal. Pruea de sustalentos son:

$. Mécanique Céleste monumental tratado en sore cuestiones de 1ravitación"ulicado en cinco vol@menes entre los anos de $;; > $=/6. El "rinci"al

le1ado de esta "ulicación reside en el desarrollo de la teoría de "otencial,con im"licaciones de lar1o alcance en ramas de la ísica #ue van desde la1ravitación, la mec2nica de fluídos, el ma1netismo > la física atómica.

/. Théorie Analytique des Probabilités #ue se considera la m2s 1randecontriución a esa "arte de las matem2ticas. *omo anecdota, el liro iniciacon "alaras #ue mas o menos dicen "n el !ondo la teor#a de

probabilidades no es si no el sentido común reducido a c$lculosA, "uede ser


40/69

#ue si, "ero las BB "21inas #ue le si1uen a esas "alaras son un an2lisisintrincado, en el cual usa a discreción la transformada de la"lace, lasfunciones 1eneratrices, > muc0as otras técnicas no triviales.

*+, !"-S#O"$% %& LPL'&

'a Transformada de 'a"lace es una técnica (atem2tica #ue forma "arte deciertas trans!ormadas integrales como la transformada de ourier, la transformadade Cilert, > la transformada de (ellin entre otras. 'a transformada de 'a"lace"uede ser usada "ara resolver Ecuaciones +iferenciales 'ineales > EcuacionesInte1rales. !un#ue se "ueden resolver al1@n ti"o de E+ con coeficientes variales,en 1eneral se a"lica a "rolemas con coeficientes constantes.

cuando tal inte1ral con%erge

-otas

$. 'a letra s re"resenta una nueva variale, #ue "ara el "roceso deinte1racion se considera constante

/. 'a transformada de 'a"lace convierte una funcion en t en una funcion en lavariale s

3. *ondiciones "ara la eDistencia de la transformada de una función:

$. +e orden eD"onencial

/. *ontinua a tro8os

*+. O/!&-'01- %& L !"-S#O"$% %& LPL'&&emplo ,: Otener la transformada de 'a"lace de:

&emplo 2: Otener la transformada de 'a"lace de:

f 3t45 t+

a"licando la inte1ración "or "artes:

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#Convergenciahttp://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#orden_exponencialhttp://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#funcion_seccionadahttp://www.monografias.com/trabajos11/funpro/funpro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/funpro/funpro.shtmlhttp://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#orden_exponencialhttp://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#funcion_seccionadahttp://www.monografias.com/trabajos11/funpro/funpro.shtmlhttp://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#Convergencia


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LFtG H

en 1eneral : LF G H

&emplo .: Otener la transformada de 'a"lace de:

Sen at+

Paso ,+ resolviendo la inte1ral "or "artes:

Paso 2+

Paso .+

Paso *+ Inte1rando "or "artes:

Paso 7+ uH *os at duH simult2neamente latransformada de *os at :

http://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtml


42/69

Paso ,+

Paso 2+ Sustituir Sen at "or :

Paso .+ LF G

Paso *+ *omo en el eJem"lo $,se otuvo entonces en este

caso:

Paso 7+

Utili8ando la identidad de Euler:

> a"lic2ndola a éste caso:

Paso 6+

Paso 8+ !"licando la "ro"iedad de las i1ualdades en:

se otiene #ue

> #ue "esultados+

Propiedades de la transformada de Laplace+

0) Si f9t), f$ 9t) > f/9t) "oseen transformadas de 'a"lace >,* es una constanteentonces:

Paso ,+ L F f9t)K L f$9t)K L f/9t) G H L Ff9t)G K L F f$9t)G K L F f/9t) G

Paso 2+ L F * f9t) G H * L F f9t) G

00 ) Si 9s) H L F f9t) G , entonces:

L F G H

EJem"lo: Otener

Paso ,+ L F G H 9


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Paso 2+

Paso .+

Paso *+ F "esultado+

*+* !/LS %& L !"-S#O"$% %& LPL'&


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*+7 !&O"&$S %& !"SL'01- ; %&"0


45/69

EQE(P'O $ Primer teorema de traslación

Evaluando

SO'U*IO 'os resultados son consecuencia del teorema.

orma inversa del "rimer teorema de traslación si , la forma inversadel teorema .6 es

EQE(P'O / *om"letar el cuadrado "ara determinar '


46/69

"ero como este término cuadr2tico no se factori8a, com"letamos su cuadrado.

EQE(P'O 3 *om"letar el cuadrado > linealidad

Eval@e

SO'U*I- *om"letamos el cuadrado en el se1undo denominador > a"licamos lalinealidad como si1ue:


47/69

5.7 TR!SOR(!+! +E '!P'!*E IERS!

'a Transformada inversa de una función en s, di1amos &'s( es una función de t cu>a transformada es "recisamente &'s(, es decir

si es #ue acaso

Esta definición oli1a a #ue se cum"la:

>

Transformada Inversa de 'a"lace:

EQE(P'OS

*aso:

+enominador "otencia de s

EJem"lo+etermine:

Solución+istriuimos "rimeramente el denominador:

Usando la "ro"iedad de linealidad tenemos:

Utili8ando a0ora la tala de transformadas tenemos:

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.html#Teorema1http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.html#Teorema1


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Por tanto:

*aso:

+enominador "otencia de 's)a(

EJem"lo

+etermine:

SoluciónEl denominador domina el "roceso "ara a"licar el "rimer teorema de traslacióndeemos 0acer #ue la eD"resión sea una en s*+. Para ello todas las s en elnumerador las camiaremos "or s*+)+:

O:

El termino s*+ es s)a, es decir a,)+ > al a"licar el "rimer teorema de traslación tenemos:

si1uiendo la "ro"iedad de linealidad:

Caciendo uso de la tala de transformadas:

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.html#Teorema2http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.html#Teorema1http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.html#Teorema2http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.html#Teorema1


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Por tanto

5.= TR!SOR(!+ el ! +E '!P'!*E +E U! E*U!*I- +IERE*I!''IE!'

Solución de ecuaciones diferenciales

'a transformada de 'a"lace es @til "ara resolver ecuaciones

diferenciales #ue involucran funciones , "eriódicas, funcionesdiscontinuas a tro8os o deltas de +irac, como lo muestran lossi1uientes eJem"los.

EJem"loResuelva el si1uiente "rolema de valor inicial

SoluciónTomando la transformada a amos lados, tenemos #ue


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al a"licar la transformada inversa

'a 1r2fica de la solución se muestra en la fi1ura $.$B

i1ura $.$B

EJem"loResuelva el si1uiente "rolema de valor inicial

donde est2 dada "or

Solución

'a función "uede inter"retarse como una fuer8a eDterna #ue act@aen un sistema mec2nico sólo "or un tiem"o corto, siendo desactivada"osteriormente. !un#ue este "rolema "uede resolverse de la formaconvencional no es conveniente.

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node12.html#1.10http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node12.html#1.10


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Primero usemos la función de Ceaviside "ara reescriir :

!"licando transformada tenemos #ue

!l a"licar la transformada inversa otenemos

'a 1r2fica de se muestra en la fi1ura $.$$.

i1ura $.$$

EJem"lo

Resolver el si1uiente "rolema de valor inicial

Solución

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node12.html#1.11http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node12.html#1.11


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En este caso la ecuación diferencial tiene coeficientes variales, "or lo#ue la transformada de 'a"lace resulta mu> @til.

ElB

B

B

Inte1rando otenemos #ue

+e donde otenemos #ue

Para determinar el valor de osérvese #ue . *on

lo cual la solución al "rolema est2 dada "or .


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*!PTU'O

SISTE(! +E E*U!*IOES +IERE*I!'ES

6.$ SISTE(! +E E*U!*IOES +IERE*I!'ES +E PRI(ER OR+ECO(OEO

• TEORI! &!SI*! +E 'OS SISTE(!S 'IE!'ES +E E*U!*IOES +EPRI(ER OR+E

Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de $ er orden

...

Utili8ando notación matricial el sistema se "uede escriir

donde

> su derivada

>


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Esta notación, adem2s de sim"lificar la escritura, enfati8a el "aralelismo entre lossistemas > las ecuaciones diferenciales lineales de "rimer orden.

Se dice #ue un vector D H F 9t)G es solución del sistema si sus com"onentessatisfacen todas las ecuaciones del sistema.

Su"ón1ase #ue P > # son continuos en un intervalo N t N . En "rimer lu1ar, se estudia la ecuación 0omo1énea

9$)

Una ve8 #ue esta ecuación esté resuelta se resolver2 la no sustituirla en 9$)

!"arentemente se "ueden encontrar infinitas soluciones, "or ello se deecuestionar acerca del n@mero mínimo de soluciones inde"endientes #ue 1enerantodas > cada una de las soluciones del sistema.


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Por similitud a los temas "revios se "uede afirmar #ue 0ar2 n. Sean , , ......,. *onsidérese la matri8 formada "or estos vectores columna sólo si el determinante es distinto de cero en ese "unto. !l

determinante de se le llama ?ronsViano de las n soluciones.

Teorema

Si las funciones vectoriales , , ......, son soluciones linealmenteinde"endientes del sistema 9$) en cada "unto de N t N entonces la solución del sistema F 9t)G "uede ser eD"resada como una cominación lineal de ,, ......, .

Para demostrarlo véase #ue con sólo ele1ir adecuadamente los valores de lasconstantes se "uede otener la solución F 9t)G #ue cum"la unas determinadascondiciones de contorno en un "unto del intervalo

N t N

Sean estas condiciones

siendo

Si

Sustitu>endo el valor se otienen n ecuaciones al1eraicas de la forma:


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Este sistema tiene solución "ara las incó1nitas , , ........, si el determinantede los coeficientes es distinto de cero. *omo el ?ronsViano es distinto de cero


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Por consi1uiente se lle1a a #ue

Inte1rando se otiene #ue

siendo X una constante de inte1ración.

Una ve8 reali8ada este c2lculo se "uede estudiar otro teorema.

Teorema /

Si , , ......, son soluciones de


58/69

en el intervalo Nt N entonces en este intervalo el ?ronsViano o es cero o nunca es cero.

'a demostración sur1e como una consecuencia de la fórmula de !el. Si lasfunciones son continuas en 9 , ) la tra8a de la matri8 P9t) es una función

continua > "or consi1uiente la función eD"onencial no se anula "ara valores de D"ertenecientes al intervalo 9 , ). El @nico valor #ue "uede ser cero es la constante X. Si lo es, el ?ronsViano es cero "ara cual#uier valor de D en casocontrario, nunca se anula.

Teorema +

Si se llama

, , ... ,

> las soluciones , , ......, son tales #ue

donde t es cual#uier "unto en Nt N , entonces , , ......, son conocidascomo soluciones fundamentales > cual#uier solución del sistema se "uedeeD"resar como una cominación lineal de estas soluciones fundamentales.

'a demostración es una consecuencia de lo visto en teoremas anteriores. Estassoluciones fundamentales son linealmente inde"endientes, >a #ue en un "unto delintervalo su ?ronsViano es distinto de cero en concreto, vale uno. !l ser unconJunto de n soluciones linealmente inde"endientes constitu>e un conJunto1enerador de soluciones.

6./ SISTE(! +E E*U!*IOES +IERE*I!'ES +E PRI(ER OR+ECO(EO

En este a"artado se constru>e la solución 1eneral de un sistema de ecuaciones

lineales 0omo1éneas con coeficientes constantes.

Sea el sistema

DY H !ZD

donde ! es una matri8 n D n. Por analo1ía a las ecuaciones lineales de "rimer orden con coeficientes constantes, se usca una solución de la forma


59/69

donde el vector a > el escalar r son constantes a determinar. Sustitu>endo en laecuación diferencial se lle1a a:

como no es cero, se otiene #ue

o

9! valores "ro"ios de la matri8 !.Por tanto el vector

solución del sistema viene definido "or los valores r #ue son los autovalores de ! >los vectores a son sus autovectores asociados.

EJem"lo

Su"oniendo

se lle1a a #ue

lue1o

Son soluciones:


60/69

>

> los autovectores asociados son:

Por tanto las soluciones son

>

El ?ronsViano es

#ue no es cero, "or tanto, la solución 1eneral es:

"uesto de otra forma:

Para visuali8ar estos resultados se "ueden re"resentar en el "lano lassoluciones "ara distintos valores de > .


61/69

olviendo al sistema ori1inal, los autovalores 9"uede 0aer raíces m@lti"les)son las raíces de:

det 9! < rZI) H B

!) Sistema Cermítico:

'a situación m2s sim"le se da cuando ! es una matri8 0ermítica 9una matri8 #uees i1ual a su trans"uesta conJu1ada en el caso de ser de elementos reales, unamatri8 0ermítica es sinónima de simétrica). *omo se sae las raíces son todasreales. !un#ue 0a>a al1una re"etida 0a> siem"re un conJunto de n autovectores

linealmente inde"endientes, #ue adem2s se "ueden ele1ir de modo #uesean orto1onales.

Por tanto las soluciones del sistema son:

...

Estas soluciones son linealmente inde"endientes >a #ue su ?ronsViano es:

cada una de las columnas son los vectores "ro"ios, #ue son inde"endientes entresí. Por consi1uiente su determinante es distinto de cero > como tamién lo es elfactor eD"onencial #ue a"arece en la fórmula anterior, entonces W B. 'assoluciones son linealmente inde"endientes, > la solución 1eneral es:

&) Sistema no 0ermítico

Sea la matri8 ! de valores reales. Pueden "resentarse varios casos:


62/69

$) n valores "ro"ios reales > distintos. Car2 n vectores "ro"ios linealmenteinde"endientes. 'a solución ado"ta la forma del caso 0ermítico.

/) valores "ro"ios com"leJos

3) valores "ro"ios re"etidos, tanto reales como com"leJos. *omo no todos losvalores "ro"ios m@lti"les tienen tantos vectores asociados como el orden de sumulti"licidad, necesitan una consideración es"ecial.

EJem"lo del caso 0ermítico

El "olinomio característico de la matri8 ! es:

> sus raíces son

*on :

lue1o

*on H


63/69

Solución 1eneral:

"uesto de otro modo

Es interesante estudiar el com"ortamiento de estas funciones en el "lano defases, es decir en el "lano cartesiano .

EJem"lo /

'os valores "ro"ios son /.

'os vectores "ro"ios asociados:

a) al valor


64/69

!UTO!'ORES *O(P'EQOS

Sea la matri8 real ! entre los valores "ro"ios de ! 0a> al1uno com"leJo. Si ! es real > es com"leJo

Se "uede oservar #ue, calculando la conJu1ada se otiene

>a #ue ! e I son matrices reales. Esto si1nifica #ue, siendo un valor "ro"io

com"leJo, su com"leJo conJu1ado tamién es valor "ro"io. 'ó1icamente losvectores "ro"ios asociados ser2n com"leJos > entre sí com"leJos conJu1ados.

Sea un valor "ro"io com"leJo > su vector asociado, oviamente los valoresconJu1ados > definen tamién una solución. !sí,

si

entonces

tamién ser2 solución:


65/69

Por tanto

Solución:

'a re"resentación en el "lano de fases es:

6.3 SISTE(!S +E E*U!*IOES +IERE*I!'ES O CO(OEOS


66/69

Sea el sistema

Su"ón1ase resuelto el sistema 0omo1éneo

> ll2mese 9t) a la matri8 fundamental de las soluciones. Se van a distin1uir distintos casos:

!) Si P9t) H !, matri8 constante dia1onali8ale.

'lamando T a la matri8 de los vectores "ro"ios de ! > 0aciendo el camio devariale

D H TZ>resulta

*omo T es no sin1ular

"ero

9matri8 dia1onal de los valores "ro"ios)

Por consi1uiente

en com"onentes

9no 0a> suma en índices re"etidos)

'ue1o


67/69

+es0aciendo el camio de variale

D H TZ>

&) ariación de los "ar2metros

*onocida 9t), matri8 fundamental de la ecuación 0omo1énea se usca unasolución de la forma

u dee ser determinado de modo #ue el vector D sea solución del sistema.

DY H P9t)ZD K [9t)

Sustitu>endo

"ero

>a #ue las columnas de J son solución de la 0omo1énea. 'ue1o

'ue1o la solución 1eneral ser2

6.6 (!TRI4 EPOE*I!', TEORE(! +E C!(I'TO


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Si la matri8 tiene al1una "otencia nula , es decir si es nil"otente deorden , entonces > lo anterior se convierte en

una suma finita. Por eJem"lo la matri8 es nil"otente de orden

"or tanto sus "otencias su"eriores a se anulan> así su eD"onencial es la si1uiente suma

Si "or el contrario no es nil"otente nos vemos oli1ados a considerar un"roceso de "aso al límite.

Por eJem"lo "ara la matri8 se tiene #ue , > "or tanto sus

"otencias "ares dan la identidad, > sus "otencias im"ares vuelven a dar denuevo la matri8 .


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!sí la eD"onencial de es la si1uiente serie

Este "roceso de "aso al límite "uede ser mu> com"leJo en 1eneral > es a#uídonde la forma normal 9o canónica ) de Qordan nos "uede ser mu> util.

*omo curiosidad fiJémonos #ue la matri8 anterior no es nil"otente, aun#ue essuma de dos nil"otentes

apuntes.docx de ecuaciones

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