SISTEMAS DE NUMERACINbinario, octal y hexadecimal

Sistemas de numeracinSistema de numeracin decimalSistema de numeracin binarioConversin entre nmeros decimales y binariosEl tamao de las cifras binariasConversin de binario a decimalSistema de numeracin octalConversin de un nmero decimal a octalConversin octal a decimalSistema de numeracin hexadecimalConversin de nmeros binarios a octales y viceversaConversin de nmeros binarios a hexadecimales y viceversa

Sistemas de numeracinUn sistema de numeracin es un conjunto de smbolos y reglas que permiten representar datos numricos. Los sistemas de numeracin actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porqueun smbolo tiene distinto valor segn la posicin que ocupa en la cifra.1. Sistema de numeracin decimal:El sistema de numeracin que utilizamos habitualmente es eldecimal,que se compone de diez smbolos o dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valordependiendo de la posicinque ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.El valor de cada dgito est asociado al de una potencia de base 10, nmero que coincide con la cantidad de smbolos o dgitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posicin que ocupa el dgito menos uno, contando desde la derecha.En el sistema decimal el nmero528, por ejemplo, significa:

5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:5*102+ 2*101+ 8*100o, lo que es lo mismo:500 + 20 + 8 = 528

En el caso de nmeros con decimales,la situacin es anloga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias sern negativos, concretamente el de los dgitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el nmero8245,97se calculara como:

8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 dcimos + 7 cntimos8*103+ 2*102+ 4*101+ 5*100+ 9*10-1+ 7*10-2, es decir:8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97

Sistema de numeracin binario.El sistema de numeracin binario utiliza slo dos dgitos, elcero(0) y eluno(1).En una cifra binaria, cada dgito tiene distinto valor dependiendo de la posicin que ocupe. El valor de cada posicin es el de una potencia debase 2, elevada a un exponente igual a la posicin del dgito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurra con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dgitos utilizados (2) para representar los nmeros.De acuerdo con estas reglas, el nmero binario1011tiene un valor que se calcula as:

1*23+ 0*22+ 1*21+ 1*20, es decir:8 + 0 + 2 + 1 = 11

y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos as:

10112= 1110

2. Conversin entre nmeros decimales y binariosConvertir un nmero decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizardivisiones sucesivas por 2y escribir los restos obtenidos en cada divisinen orden inversoal que han sido obtenidos.Por ejemplo, para convertir al sistema binario el nmero7710haremos una serie de divisiones que arrojarn los restos siguientes:77 : 2 = 38Resto:138 : 2 = 19Resto:019 : 2 = 9Resto:19 : 2 = 4Resto:14 : 2 = 2Resto:02 : 2 = 1Resto:01 : 2 = 0Resto:1y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

7710= 10011012

Ejercicio 1:Expresa, en cdigo binario, los nmeros decimales siguientes:191, 25, 67, 99, 135, 276

i. El tamao de las cifras binariasLa cantidad de dgitos necesarios para representar un nmero en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del prrafo anterior, para representar el nmero77, que en el sistema decimal est compuesto tan slo por dos dgitos, han hecho falta siete dgitos en binario.Para representar nmeros grandes harn falta muchos ms dgitos. Por ejemplo, para representar nmeros mayores de 255 se necesitarn ms de ocho dgitos, porque 28= 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el nmero ms grande que puede representarse con ocho dgitos.Como regla general, conndgitos binarios pueden representarse un mximo de2n, nmeros. El nmero ms grande que puede escribirse conndgitos es una unidad menos, es decir,2n 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de16nmeros, porque24= 16y el mayor de dichos nmeros es el15, porque24-1 = 15.

Ejercicio 2:Averigua cuntos nmeros pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cul es el nmero ms grande que puede escribirse en cada caso.

Ejercicio 3:Dados dos nmeros binarios:01001000y01000100Cul de ellos es el mayor? Podras compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?3. Conversin de binario a decimalEl proceso para convertir un nmero del sistema binario al decimal es an ms sencillo; basta con desarrollar el nmero, teniendo en cuenta el valor de cada dgito en su posicin, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado ms a la derecha, y se incrementa en una unidad segn vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.Por ejemplo, para convertir el nmero binario10100112a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:

1*26+ 0*25+ 1*24+ 0*23+ 0*22+ 1*21+ 1*20= 8310100112= 8310

Ejercicio 4:Expresa, en el sistema decimal, los siguientes nmeros binarios:110111, 111000, 010101, 101010, 1111110

Sistema de numeracin octalEl inconveniente de la codificacin binaria es que la representacin de algunos nmeros resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeracin que resulten ms cmodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fcil convertir un nmero binario a octal o a hexadecimal.En el sistema de numeracin octal, los nmeros se representan medianteochodgitos diferentes: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dgito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.Por ejemplo, el nmero octal2738tiene un valor que se calcula as:2*83+ 7*82+ 3*81= 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610

2738=149610

4. Conversin de un nmero decimal a octalLa conversin de un nmero decimal a octal se hace con la misma tcnica que ya hemos utilizado en la conversin a binario, mediante divisiones sucesivaspor 8y colocando los restos obtenidosen orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el nmero decimal12210tendremos que hacer las siguientes divisiones:122 : 8 = 15 Resto:215 : 8 = 1 Resto:71 : 8 = 0 Resto:1Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:

12210= 1728Ejercicio 5:Convierte los siguientes nmeros decimales en octales:6310, 51310, 11910

5. Conversin octal a decimalLa conversin de un nmero octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posicin en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el nmero2378a decimal basta con desarrollar el valor de cada dgito:2*82+ 3*81+ 7*80= 128 + 24 + 7 = 15910

2378= 15910

Ejercicio 6:Convierte al sistema decimal los siguientes nmeros octales:458, 1258,6258

Sistema de numeracin hexadecimalEn el sistemahexadecimallos nmeros se representan con diecisis smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dgitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos smbolos depende, como es lgico, de su posicin, que se calcula mediante potencias de base 16.Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del nmero hexadecimal1A3F16:

1A3F16= 1*163+ A*162+ 3*161+ F*1601*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F16= 671910

Ejercicio 7:Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales:2BC516, 10016, 1FF16

Ensayemos, utilizando la tcnica habitual de divisiones sucesivas, la conversin de un nmero decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del nmero173510ser necesario hacer las siguientes divisiones:

1735 : 16 = 108 Resto:7108 : 16 = 6 Resto:Ces decir,12106 : 16 = 0 Resto:6De ah que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el nmero en hexadecimal:173510= 6C716

Ejercicio 8:Convierte al sistema hexadecimal los siguientes nmeros decimales:351910, 102410, 409510

6. Conversin de nmeros binarios a octales y viceversaObserva la tabla siguiente, con los siete primeros nmeros expresados en los sistemas decimal, binario y octal:DECIMALBINARIOOCTAL

00000

10011

20102

30113

41004

51015

61106

71117

Cada dgito de un nmero octal se representa con tres dgitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un nmero entre estos sistemas de numeracin equivale a "expandir" cada dgito octal a tres dgitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dgito octal.

Por ejemplo, para convertir el nmero binario1010010112a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:1012= 580012= 180112= 38y, de ese modo:1010010112= 5138

Ejercicio 9:Convierte los siguientes nmeros binarios en octales:11011012, 1011102, 110110112, 1011010112

La conversin de nmeros octales a binarios se hace, siguiendo el mismo mtodo, reemplazando cada dgito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el nmero octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dgitos:78= 111258= 101208= 0002y, por tanto:7508= 1111010002

Ejercicio 10:Convierte los siguientes nmeros octales en binarios:258,3728, 27538

7. Conversin de nmeros binarios a hexadecimales y viceversaDel mismo modo que hallamos la correspondencia entre nmeros octales y binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dgito hexadecimal y cuatro dgitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:

DECIMALBINARIOHEXADECIMAL

000000

100011

200102

300113

401004

501015

601106

701117

810008

910019

101010A

111011B

121100C

131101D

141110E

151111F

La conversin entre nmeros hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "contrayendo" cada dgito hexadecimal a cuatro dgitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el nmero binario 1010011100112bastar con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal:10102= A1601112= 71600112= 316y, por tanto:1010011100112= A7316

En caso de que los dgitos binarios no formen grupos completos de cuatro dgitos, se deben aadir ceros a la izquierda hasta completar el ltimo grupo. Por ejemplo:1011102= 001011102= 2E16

Ejercicio 11:Convierte a hexadecimales los siguientes nmeros binarios:10101001010111010102, 1110000111100002, 10100001110101112

La conversin de nmeros hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dgito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el nmero hexadecimal1F616hallaremos en la tabla las siguientes equivalencias:

116= 00012F16= 11112616= 01102y, por tanto:1F616= 0001111101102

Ejercicio 12:Convierte a binario los nmeros hexadecimales siguientes:7A5D16, 101016, 8F8F16

BINARIO 231=11100111OCTAL 231= 347HEXADECIMAL 231=E7

Evaluacin:1. Determinar la representacin en binario de la palabra Hola.2. Realizar la conversin de los siguientes valores decimales a octal32410651023110

3. Realizar las conversiones de los siguientes valores hexadecimal a decimal123416456168916

Ejemplos de algoritmosPROBLEMA:Cambiar la rueda pinchada de un automvil .Entrada: gato mecnico en buen estado, una rueda de reemplazo y una llave inglesaSalida: llanta de automvil cambiadaInicioPASO 1.Aflojar los tornillos de la rueda pinchada con la llave inglesa.PASO 2.Ubicar el gato mecnico en su sitio.PASO 3.Levantar el gato hasta que la rueda pinchada pueda girar libremente.PASO 4.Quitar los tornillos y la rueda pinchada.PASO 5.Poner rueda de repuesto y los tornillos.PASO 6.Bajar el gato hasta que se pueda liberar.PASO 7.Sacar el gato de su sitio.PASO 8.Apretar los tornillos con la llave inglesa.FinPROBLEMA:Realizar la suma de los nmeros 2448 y 5746.Entrada: valores 2248, 5746 operadores +, =Salida: resultado de la sumaInicioPASO 1.Colocar los nmeros el primero encima del segundo, de tal manera que las unidades, decenas, centenas, etc., de los nmeros queden alineadas. Trazar una lnea debajo del segundo nmero.PASO 2.Empezar por la columna ms a la derecha.PASO 3.Sumar los dgitos de dicha columna.PASO 4.Si la suma es mayor a 9 anotar un 1 encima de la siguiente columna a la izquierda y anotar debajo de la lnea las unidades de la suma. Si no es mayor anotar la suma debajo de la lnea.PASO 5.Si hay ms columnas a la izquierda, pasar a la siguiente columna a la izquierda y volver a 3.PASO 6.El nmero debajo de la lnea es la solucin.Fin

2. Hacer un diagrama de flujo que permita leer 2 nmeros diferentes y nos diga cual es el mayor de los 2 nmeros.

Realizar el diagrama de flujo de los siguientes algoritmos:Grupo 2 AAlgoritmo 1. Dado tres valores enteros calcular el promedio de estos mostrando el resultado en pantallaAlgoritmo 2. Dado los valores 12.5 y 10 obtener el rea de un triangulo mostrando en pantalla el resultadoGrupo 2 BAlgoritmo 3. Mediante el uso de la frmula para determinar el permetro de un cuadrado y mostrarlo en pantalla, solicitar el valor requerido.Algoritmo 4. Dados los valores 1243 realizar la divisin segn el nmero de dgitos que contenga la cantidad obteniendo el resultado.

Operadores aritmticos+: representa la suma de dos o ms valores o variables.-: representa la resta de dos o ms valores o variables.*: representa la multiplicacin de dos o ms valores o variables./: representa la divisin de dos o ms valores o variables.%: representa el modulo (obtencin del residuo de una divisin) de dos o ms valores o variables.

Operadores relacionales==: igual que!=: diferente a>: mayor que=: mayor igual que