apuntes matemticas logica

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Apuntes para matemáticas de lógica de proposiciones.

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  • TEMA 1 FUNDAMENTOS

    1.1 LGICA DE PROPOSICIONES

  • Proposiciones

    Proposicin, oracin que siempre podemos afirmar que es verdadera o falsa.

    Proposicin simple, se limita a enunciar una cualidad de un ser o cosa.

    Proposicin compuesta, se obtiene combinando una o ms proposiciones simples.

  • Conectores lgicos

    Se utilizan para combinar proposiciones simples.

    Una tabla de verdad representa todas las posibilidades lgicas que pueden tomar las proposiciones simples, son 2n.

    Variables proposicionales: p, q, r

    Constantes proposicionales: V, F.

  • Un conector lgico es una partcula que se utiliza para formar las proposiciones compuestas.

    Estn ordenadas por orden de preferencia.

    Las conexiones lgicas son:

    Negacin p

    Conjuncin

    (p

    q)

    Disyuncin

    (p

    q)

    Condicional

    (p q)

    (p

    q)

  • Clculo de valores de verdad

    p q p pq pq pqV V F V V VV F F F V FF V V F V VF F V F F V

  • Razonamientos

    Un razonamiento es una conclusin que resulta ser verdadera y que deducimos de unas premisas.

    Un razonamiento es lgicamente vlido si siempre que las premisas son verdaderas lo es tambin la conclusin.

    Un razonamiento que no es lgicamente vlido se llama falacia.

  • Razonamientos

    Las premisas implican lgicamente la conclusin, es decir, un razonamiento ser

    vlido cuando:

    p1 p2

    pn q

  • Razonamientos

    Para probar la validez de un razonamiento se forma la tabla de verdad de las premisas y la conclusin y se comprueba que siempre que las premisas toman el valor de verdad V tambin la conclusin toma el valor de V.

    Para mostrar que un razonamiento no es lgicamente vlido basta encontrar un caso en el que las premisas sean verdaderas y la conclusin falsa.

  • Reglas de inferencia

    Lo que afirma cada regla es que una estructura lgica produce siempre razonamientos vlidos, cualesquiera que sean las proposiciones particulares que se sustituyan.

  • Modus ponendo ponens

    p qp

    q

  • Modus ponendo ponens

  • Modus tollendo tollens

    p qq

    p

  • Modus tollendo tollens

  • Modus tollendo ponens

    p q

    p

    q

    p qq

    p

  • Modus tollendo ponens

  • Modus tollendo ponens

  • Silogismo hipottico

    p qq r

    p r

  • Silogismo hipottico

  • Deduccin

    Una deduccin o demostracin es el proceso que partiendo de las premisas nos lleva a la conclusin a travs de una serie de proposiciones intermedias obtenidas a partir de las reglas de inferencia.

  • TEMA 1 FUNDAMENTOS

    1.2 CONJUNTOS

  • Conceptos bsicos

    Los conjuntos se representan con letras maysculas, A, B,C ,

    Los elementos se representas con minsculas, a, b, c, x, y, z.

    Relacin de pertenencia: El elemento a pertenece al conjunto X, a X El elemento a no pertenece al conjunto Z, a Z

  • Formas de definir un conjunto Enumeracin: enumeramos todos y cada uno de

    los elementos.

    Conjunto definidos por enumeracin:

    S = {lunes, martes, mircoles, jueves, viernes, sbado, domingo}

    V = {a, e, i, o, u}

  • Formas de definir un conjunto Descripcin: definimos alguna caracterstica

    comn a todos los elementos.

    Conjunto definidos por descripcin:

    S = {das de la semana}

    V = {vocales del espaol}

  • Formas de definir un conjunto

    Por descripcin podemos definir de la siguiente manera los conjuntos:

    V es el conjunto de los elementos x que pertenecen al conjunto de las letras del alfabeto espaol A, tales que x es una vocal.

    es vocalV x A x

  • Relacin de inclusin Dados dos conjuntos A y B, se dice que A est

    incluido en B y se escribe:

    A

    B cuando todos los elementos de A pertenecen a

    B.

    Si A est contenido en B se dice que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B.

    Si A y B son dos conjuntos tales que AB y BA entonces son iguales A = B.

  • Relacin de inclusin Propiedades de la inclusin de conjuntos.

    Reflexiva: todo conjunto A est contenido en s mismo. AA

    Transitiva: Si un conjunto A est contenido en otro B, y B est contenido en otro conjunto C, entonces A est contenido en C.

    Si AB

    y , BC

    entonces AC.

  • Conjunto universal y vaco

    Conjunto universal, es el conjunto que contiene a todos los conjuntos que se analizan en un determinado contexto y se representa por U.

    Conjunto vaco es un conjunto que no tiene elementos, se representa por .

    Cualquiera que sea el conjunto A se cumple A.

  • El conjunto de las partes

    El conjunto de las partes de un conjunto A es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Se representa por P(A).

    Si el conjunto A tiene n elementos, el conjunto de las partes de A tiene 2n elementos.

  • DIAGRAMAS DE VENN Los conjuntos suelen representarse por medio

    de unos dibujos denominados diagramas de Venn.

    El conjunto universal lo representamos por un rectngulo y los conjuntos por crculos dentro del conjunto universal.

  • OPERACIONES CON CONJUNTOS

    Interseccin. Conjuntos disjuntos. Unin. Conjunto complementario. Diferencia.

  • Interseccin La interseccin de dos conjuntos A y B es el

    conjunto que tiene como elementos los comunes a ambos conjuntos, se representa por AB.

    U

  • Conjuntos disjuntos Dos conjuntos son disjuntos si no tienen

    elementos comunes, AB=.

    U A B

  • Unin La unin de los conjuntos A y B es el conjunto

    que tiene como elementos los que pertenecen a alguno de los conjuntos, se representa por AB.

    U

  • Conjunto complementario El conjunto complementario de A est

    formado por los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A, se representa por AC.

  • Diferencia La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto

    formado por los elementos de A que no pertenecen a B, se representa por A-B.

    La diferencia de dos conjuntos A y B es igual a la interseccin de A con el complementario de B, se representa por ABC.

    U

  • PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS

  • TEMA 1 FUNDAMENTOS

    1.3 APLICACIONES

  • Concepto de aplicacin

    Una aplicacin entre dos conjuntos A y B es una transformacin que convierte cada elemento del conjunto A en un nico elemento del conjunto B.

    El conjunto A se llama conjunto inicial o dominio de la aplicacin.

  • Concepto de aplicacin

    El conjunto B se llama conjunto final o rango de la aplicacin.

    Las aplicaciones suelen designarse por las letras f, g, h y se representan por f:AB o BA f

  • Si el elemento x

    A se transforma en el elemento y

    B se escribe y = f(x), se dice que

    y es la imagen de x mediante la aplicacin f.

  • Imagen de un Subconjunto

    Sea f:AB una aplicacin y C

    A. Se denomina imagen del subconjunto C al conjunto de las imgenes de los elementos de C.

    La imagen de C se representa por f(C). En esta aplicacin la imagen del subconjunto C = {1,2,3}

    A es

    igual a f(C) = {a,b}

    B.

  • Inversa de un Subconjunto

    Sea f:AB una aplicacin y D

    B. Se denomina imagen inversa del subconjunto D al subconjunto formado por las preimagenes de los elementos de D, se representa por f -1(C).

    En esta aplicacin la imagen inversa del subconjunto D = {1,3}

    B es igual a f-1(C) = {b,c,d}

    A.

  • Tipos de aplicacinTipos de aplicacin Una aplicacin f:AB es inyectiva si a cada valor del conjunto A le

    corresponde un valor distinto en el conjunto B de f. Es decir, a cadacorresponde un valor distinto en el conjunto B de f. Es decir, a cadaelemento del conjunto A le corresponde un solo valor de B tal que,en el conjunto A no puede haber dos o ms elementos que tenganla misma imagen.

  • Tipos de aplicacinTipos de aplicacin Una aplicacin f:AB es, sobreyectiva cuando cada elemento de

    B" es la imagen de como mnimo un elemento de A".g

  • Tipos de aplicacinTipos de aplicacin Una aplicacin f:AB es, biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva

    y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto dey y ; , jsalida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cadaelemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento delconjunto de salidaconjunto de salida.

  • Composicin de aplicaciones Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la

    2 est incluido en el recorrido de la 1, se puede definir una nueva funcin que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

  • TEMA 1 FUNDAMENTOS

    1.4 CARDINAL DE UN CONJUNTO

  • 1.4.1 Clculo de cardinales con dos conjuntos

    El cardinal de un conjunto A es su nmero de elementos y se representa por #(A).

    Si dos conjuntos A y B son disjuntos, el cardinal de la unin es igual a la suma de los cardinales.

    Si AB=, entonces #(AB) = #(A) + #(B).

  • 1.4.1 Clculo de cardinales con dos conjuntos

    Si A y B son dos conjuntos, siempre se cumple que el cardinal de su unin #(AB) es igual al cardinal de A ms el cardinal de B menos el cardinal de la interseccin #(AB).

    #(AB) = #(A) + #(B) -

    #(AB).

  • Podemos razonar la frmula de otra manera:

    #(AB) = #(A -

    B) + #(B -

    A) + #(AB).

    Tenemos que A= (A -

    B) (AB), siendo (A -

    B) y (AB) disjuntos, por lo tanto:

    #(A) = #(A -

    B) + #(AB).