214704179 amster apuntes matematicos para leer a lacan 2 logica y teoria de conjuntos (1)

Pa blo A m ster

APUNTES MATEMTICOS PARA LEER A LACAN

2. Lgica y teora de conjuntos

Amster, Pablo

Apuntes matemticos para leer a Lacan : 2. Lgica y teora de conjuntos

- Ia ed. - Buenos A ires: Letra Viva, 2010.218 p . ; 22 x 14 cm.

ISBN 978-950-649-271-7

1. Psicoanlisis. I. Ttulo CDD 150.195

E d i c i n a l c u id a d o d e L e a n d r o S a l g a d o

2010, Letra Viva, Librera y Editorial Av. Coronel Daz 1837, (1425) C. A. de Buenos Aires, Argentina

e - m a i l : [email protected] / w e b p a g e : www.imagoagenda.com

2010, Pablo Amster [email protected]

Primera edicin: marzo de 2010

Impreso en Argentina - Printed in Argentina

Queda hecho el depsito que marca la Ley 11.723

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra bajo cualquier mtodo, incluidos la reprografa, la fotocopia y el tratamiento digital, sin la previa y expresa autorizacin por escrito de los titulares del copyright.

't*

Estoy convencido de que todo autntico terico es una especie de metafsico en estado de domesticidad, por muy positivista puro que se pueda tener a s mismo. El metafsico tiene la creencia de que lo lgicamente sencillo es tambin lo real; el metafsico domesticado no cree que todo cuanto sea lgicamente sencillo haya de tomar cuerpo en la realidad sensible, pero s que la totalidad de la experiencia sensorial puede entenderse a partir de un sistema conceptual construido sobre premisas de suma simplicidad. El escptico dir que esto es un credo milagroso" Reconozcamos que as es, pero tambin se trata de un credo milagroso confirmado en asombrosa medida por el desarrollo de la ciencia.

A l b e r t E i n s t e i n

Hay suficiente metafsica en no pensar en nada.

A l b e r t o C a e i r o

In d ic e

Prefacio ..........................................................................................9

Captu lo 1. No cio nes bsicas de l g ic a ............ ................... 131.Definicin de la definicin ............................... ................ 142.Qu significa significar? ......... ............................. .153.Las leyes del pensamiento ................. ...184.Deduccin, induccin, abduccin.................................. 215-Lgica aristotlica............ ................................ .................25.Enunciados categricos....................................................317-Cuadrante de Peirce........ .......................... .......................338.Silogismos.................................................................... . 3 49.Sintaxis y semntica de los lenguajes formales ...........38o.Tablas de ve rd ad ............ ............................................4 0u.Leyes lgicas..................................................................... 4312.Variables libres y cuantificacin............................. 4913.lgebra de clases.............. ........................................ . 5 4

Captu lo 2. La inducci n m atem tica y el sistem a de Peano ..................................... ........................59

Captu lo 3. La s reg las de a l-ja ba r y Fibonacci robado . 71Fibonacci robado ................................................................ 78De los conejos ureos a lo imaginario ................................... ..... ............. 81

Captu lo 4. La d em o straci n d iag o n al :una cruzada c a n t o r ia n a .............. ....................................... 87

.Un antecedente socrtico ....................... .. 882.Las paradojas de la identificacin............ ......................903.... y sin embargo, se coordina ......................... ................924.EI bicho de lo no-numerable.......... .. 94Eplogo ............................................................................... . 9 7

Captu lo 5. La vid a sin la bo lsa :AUTORREFERENCIA Y TEOREMAS DE GDEL........ ...................... OI

Uno. Breve referencia sobre Epimnides........ ..................101Dos. Breve referencia sobre la referencia:Quine y Gdel........ ....................................... ..................... 103Tres. Proposiciones indecidiblesy teorema de G d e l........................ ................................ . 107Cuatro. Cul es el ttulo de esta seccin?. . ..................110Cinco. Los lenguajes formales ............................................112Seis. Un pase mgico................................ .......................114Siete. La liebre de M arzo .................... ............................. 118Ocho. Autorretrato de m m ism o .............. .....................122Eplogo, y nueva gdelizacin....................................... .128

C aptulo 6. Breve presentacin de c a s o s ........................ 135Segundo caso. Un caso de inconsistencia..........................137Tercer caso. Un caso de metonimia.................................... 141Cuarto caso. Un caso de metfora..................................... 147Quinto caso. Un caso al margen................................ .. 151Sexto caso. Ramanujan, y otros casos. ..................... .. .160

C ap tu lo 7. La religin, o r d i n eMATHEMATICA D EM O NSTRATA .......................... ................... i 69

La creacin ..................................................................................... 170Ciencia, Matemtica, Religin............................ ............173Un Dios tautolgico...................... ...................................177Imagen y Semejanza .......................................................... 179Consistencia, Inconsistencia. ........................................... 186

Captu lo 8. Pa sc a l , aharn y la potencia del d o s . . . . .189 Eplogo ......................................................................... .. 2x2

B i b l i o g r a f a 217

P r e f a c io

En este libro se presentan diversos temas de la Matemtica; ms precisamente, de Lgica, Teora de Conjuntos y algunos aspectos de su filosofa.

Los primeros cuatro captulos se ocupan de las cuestiones ms generales de la lgica, desde las primeras formulaciones aristotlicas hasta los desarrollos actuales de Boole, Peano, Frege, etctera. Se habla tambin de la teora de nmeros naturales, el lgebra, y ciertos aspectos relacionados con los sistemas sintcticos introducidos por el psicoanalista francs Jacques Lacan en el Seminario sobre La carta robada.

El siguiente captulo comprende una exposicin informal de los clebres teoremas de incompletitud de Gdel, y su incidencia en los ms variados campos, en especial el del lenguaje y el Psicoanlisis. Esto lleva a reflexionar sobre ciertos temas que participan de modo esencial en dichos teoremas: en especial, el de la paradoja, de gran importancia en el desarrollo del pensamiento filosfico. A modo de conclusin se ver que, en cierto modo, la disyuntiva gdeliana entre incompletitud e inconsistencia puede ser contemplada desde la perspectiva de la lgica clsica como aquello que Lacan denomin una eleccin forzada.

El captulo posterior abarca, al modo de las presentaciones clnicas, una serie de "casos" matemticos. Se plantean all di

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L g ic a y t e o r a d e c o n ju n t o s Pa b l o A m st e r

ferentes asuntos, como el del infinito y los Alefs, el problema de la metfora y la representacin, para concluir con una pregunta: cmo piensa un matemtico?

El ttulo del captulo 7 evoca a la Etica de Spinoza, y refiere una serie de puntos en comn entre las teoras matemticas y el texto bblico. Dijo Yojann Ben Zacai: no hay verdad sin una fe sobre la que pueda apoyarse; como veremos, en cierto sentido esta afirmacin concierne tambin a las verdades matemticas. Dios -segn Lacan, inconsciente- se define en concordancia con la nocin lgica de tautologa. Por otra parte, la tradicin sostiene que su Nombre es indecible; la teora de conjuntos creada por el ruso Georg Cantor brinda argumentos capaces de sustentar este hecho.

Finalmente, el ltimo captulo es quiz el que ms resonancias despertar en el lector lacaniano; su lectura puede plantearse al modo de un ejercicio interpretativo. Por otra parte, se hace mencin explcita de diferentes materias desarrolladas por La- can, especialmente en los Seminarios XIX y XX: el tringulo de Pascal, la simetra y lo especular, y la lgica modal, muy conectada a la lgica temporal. Esto es algo que Lacan hace notar en sus conocidas frmulas:

no cesa de escribirse no cesa de no escribirsecesa de escribirse cesa de no escribirse

Hay una frase del seminario ...ou pire que se ha hecho clebre: no hay enseanza ms que matemtica, el resto es broma. Al margen de las muy dispares valoraciones que existen sobre la enseanza lacaniana, este trabajo busca -un poco en broma- apoyar esta postura, ofreciendo algunos elementos que ayuden a abordarla.

El lector advertir que determinados temas se repiten en distintos captulos; tal repeticin obedece a la finalidad de que cada seccin se encuentre autocontenida y pueda ser as leda en forma independiente.

Para concluir estas lneas, vale la pena sealar que el nimo que gua a esta obra es el de la Matemtica entendida como una de las ms grandes expresiones de la humanidad, fruto de las pasiones ms encendidas y de la bsqueda incesante. Una bsque-

Prefa c io

C a p t u l o i

N o c io n e s b s ic a s d e l g ic a

En este captulo describiremos algunos de los aspectos generales de la lgica, desde las primeras formulaciones aristotlicas hasta los desarrollos iniciados en el siglo XIX por autores como Boole, Peano y Frege, entre otros.

Para empezar, es oportuno destacar que cualquier reflexin ms o menos seria acerca del pensamiento obliga a justamente a pensar: muy especialmente, a pensar sobre el lenguaje. Segn ciertos autores, de la escuela denominada formalista, toda la Lgica no es ms que un lenguaje bien hecho; por ejemplo, ese es el singular parecer de aquel grupo de matemticos formalistas autodenominado Nicols Bourbaki:

... la Lgica, en lo que como m atem ticos nos concierne, no es m s que la gramtica del lenguaje que em pleam os, un lenguaje que tuvo que existir antes de que la gram tica pudiera ser construida...

Ms all de la Matemtica, que Russell intent presentar como un mero captulo de la Lgica, el debate filosfico del siglo XX encontr a un Wittgenstein profundamente implicado en estas cuestiones:

La filosofa es una lucha contra el em brujam iento de nuestra inteligencia por el lenguaje.

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L g ic a y t e o r a d e c o n ju n t o s Paiiu) Amstkk

Es claro que el lenguaje excede a la Lgica, hasta tal punto que el ms completo de los sistemas, si es consistente, resulta infaliblemente burlado por el mecanismo gdeliano que permite construir una proposicin indecidible y revelar as su incompletitud1. Como sea, vale la pena hacer un breve recorrido por las principales consideraciones lgicas en torno al lenguaj e, en particular sobre la definicin y algunos aspectos de la semntica.

Comenzaremos por ocuparnos del razonamiento y el clculo lgico. Tambin efectuaremos algunos comentarios acerca de ciertos razonamientos muy conocidos, invlidos pero sumamente valiosos, como la induccin y especialmente aquella sugestiva forma introducida por Peirce: la abduccin. Finalmente, veremos algunas nociones sobre el clculo proposicional, las tablas de verdad, las leyes lgicas, la cuantificacin y el lgebra de clases.

i. D e f i n i c i n d e l a d e f i n i c i n

En el lenguaje comn, definir consiste en explicar el significado de un trmino. Pero la matemtica y la lgica, o mejor dicho sus tropiezos, muestran que hace falta tener bastante ms cuidado. Esto justifica quizs la anterior frase de Bourba- ki, que postula la pre-existencia del lenguaje a la construccin de la gramtica.

No profundizaremos aqu sobre este problema, aunque vale la pena sealar que la definicin esconde alguna imposibilidad. Es lo que han probado los lgicos del siglo XX, aunque de alguna manera ya lo saban los antiguos: de-finir implica delimitar, poner en el dominio de lo finito una infinitud de propiedades. Tales dificultades haban llevado a los filsofos platnicos a ensayar aquella definicin que se hara clebre:

El hombre es un bpedo implume.

Una versin sin duda falaz cuenta la no menos clebre respuesta que a tan acadmica audiencia ofreci Digenes el cnico, cuando arroj al estrado un pollo desplumado al tiempo que profera:

i. Ver captulo 5.

M

N(>< IO N I S D N IC A S D E M t o l C A

I le aqu al hombre de Platn.

Tal como ocurre ante su respuesta a las aporas de Zenn (el movimiento se demuestra andando, frase que supuestamente pronunci unos ochenta aos antes de desplumar al pobre pollo), se suele reprochar a Digenes el no haber entendido la verdadera esencia del problema. De todas formas debemos convenir que la definicin de Platn resulta un tanto amplia: las propiedades empleadas para definir el concepto, aunque verdaderas, no son suficientes para distinguirlos por completo de otras entidades (los pollos desplumados). De acuerdo con el identitas indiscerni- bilium -indiscernibilidad de los idnticos- formulado por Leib- niz, si dos cosas son distintas debe existir alguna propiedad que no sea comn a ambas, lo que permite estrechar un poco la definicin, por ejemplo:

El hombre es un bpedo implume que no cacarea.

Vale la pena aclarar que en el afn de distinguir se corre el riesgo de caer en definiciones demasiado estrechas, que no llegan a abarcar la totalidad de objetos que se quieren definir, por ejemplo:

El hombre es un bpedo implume de 36 aos que se llama Enrique.

2. Q u s i g n i f i c a s i g n i f i c a r ?

En los prrafos anteriores hemos dicho, vagamente, que definir consiste en explicar el significado de un trmino. Ahora bien: qu significa significar? Este tema constituye el campo de la semntica, cuyas consideraciones fundamentales pueden encontrarse en autores como Frege, Tarski, Quine, Davidson, etctera. Mencionemos brevemente aquella distincin elemental que establece dos sentidos diferentes para la nocin de significado:

En un sentido extensional o denotativo, el significado es el conjunto de objetos (extensin) a los cuales la definicin puede aplicarse.

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I.GICA y teo ra d e c o n ju n t o s Pa b l o A m s t e r

En un sentido intensional o connotativo, el significado consiste en las propiedades que son comunes a los objetos que cons- t i Luyen la extensin.

Conviene tener tambin en cuenta la distincin entre significacin y referencia', segn cita Quine (1984),

...los problem as de lo que genricamente se llama sem ntica quedan divididos en dos provincias tan fundam entalm ente diversas que no merecen una apelacin comn. Se las puede llamar teora de la significacin y teora de la referencia. Sem ntica sera un nombre excelente para la teora de la significacin, si no fuera por el hecho de que algunas de las mejores obras de la llam ada sem ntica, especialm ente la de Tarski, pertenecen a la teora de la referencia. Los principales conceptos de la teora de la significacin, aparte del de significacin mismo, son los de sinonimia (o igualdad de significacin), significancia o significatividad (posesin de significacin) y analiticidad (verdad por virtud de la significacin). Otro es el de implicacin, o analiticidad del condicional. Los principales conceptos de la teora de la referencia son los de nombrar, verdad, denotacin (o ser-verdadero-de) y extensin. Otro es la nocin de valores de variables.

Es fcil ver que un trmino puede tener connotacin y no denotacin: por ejemplo, podemos definir al mangrejo como la poco afortunada cruza entre una manguera y un cangrejo. La palabra, aunque desusada, tiene connotacin: su significado es claro y no induce a errores. Sin embargo, nada hay en el universo que merezca ser llamado mangrejo, y entonces su denotacin es vaca: esto muestra, entre otras cosas, que la definicin de una entidad no implica su existencia.

Ejemplos similares abundan en la obra de L.Carroll, bajo el famoso apelativo de palabras-maletn. Muchas de ellas aparecen en el poema Jabberwocky, minuciosamente explicado por Humpty Dumpty en el captulo VI de A travs del espejo. Aunque debemos decir que para este personaje la idea de significado difiere un poco de la que hemos expuesto:

Cuando yo uso una palabra -dijo Humpty Dum pty en tono algo despectivo-, esa palabra significa exactamente lo que yo quiero que signifique... ni m s ni menos.

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N o c io n e s DNICAS d e l g ic a

Tambin Quine hace un planteo al respecto, e intenta ver las consecuencias de definir a Pegaso de distintas maneras; entre ellas una muy sugestiva: la cosa que pegasea. Pero si asumimos

como alguna vez hicimos con los Reyes Magos o el Ratn P~ rez- que Pegaso no existe, dicha inexistencia tiene un carcter muy diferente a la que muestra este otro ejemplo:

La redonda cpula cuadrada del Berkeley College.

En efecto, aqu el objeto definido no puede existir pues su propia definicin presenta una contradiccin (ver Quine, op. cit., Acerca de lo que hay). Vale la pena mencionar tambin que la cuestin antes sugerida de que la esencia no implica la existencia permiti a Spinoza demostrar la unicidad de Dios. El filsofo entiende a Dios como una sustancia, cuya esencia es existir; y un ser cuya esencia es existir necesariamente existe. Luego, aduce que una definicin no establece el nmero de individuos que la satisfacen: de este modo, si hubiera por ejemplo catorce dioses se tendra que la existencia de trece de ellos sera innecesaria. Eso contradice la definicin de sustancia; existe, pues, un nico Dios2.

En Matemtica, los sentidos denotativo y connotativo se ven reflejados en las dos formas de definir a un conjunto, por comprensin y por extensin:

A = { x / x e su n nmero natural impar menor que 10 }(por comprensin)

o bien,

A = { i, 3, 5, 7, 9 } (por extensin).

Es claro que las dos definiciones describen un mismo conjunto, la primera de ellas dando una explicacin o descripcin de su contenido, y la segunda haciendo una lista de sus elemen

2 . Para Spinoza es fundamental el concepto de un Dios cuya esencia envuelve a la existencia, poniendo en juego la distincin aristotlica entre particulares y universales. Bajo esta distincin, la existencia queda del lado de lo particular, mientras que la esencia corresponde a lo universal.

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L g ic a y t e o r a d e c o n ju n t o s Pa b l o A m s t e r

tos3. Esta ltima se caracteriza por su unicidad: si bien existen infinitas maneras diferentes de definir por comprensin, la extensin es siempre nica.

La mezcla de denotacin y connotacin da lugar a confusiones y aparentes paradojas, como las que describe Quine en su artculo Referencia y Modalidad4. La discusin se centra en uno de los principios ms bsicos de la Lgica, que sin embargo a menudo se manifiesta ineficaz; por eso Quine lleg a postular la existencia de ciertas semientidades crepusculares a las cuales no se aplica el principio de identidad.

3. La s l e y e s d e l p e n s a m i e n t o

Esta seccin lleva el mismo ttulo que la famoso libro del lgico ingls G. Boole, considerada por los historiadores como el primer desarrollo de la lgica formal. Pero debemos decir que The laws ofThought era un ttulo demasiado ambicioso, y la propia Lgica no tardara en revelar que las ansiadas leyes no existen. Claro que eso no significa que pensemos sin ley alguna (al menos no siempre); sin embargo, los mtodos lgicos se toparon muy pronto con sus propias limitaciones y sufrieron su golpe definitivo con los sucesivos teoremas de Godel, Tarski, Church, segn veremos ms adelante. De cualquier modo, es justo reconocer en la obra de Boole el nacimiento de la Lgica. Es interesante mencionar que pocos aos antes de la aparicin de su obra, el filsofo alemn Immanuel Kant haba asegurado que la Lgica

...segn toda verosimilitud, parece estar conclusa y perfecta.

3 . La palabra lista es aqu empleada informalmente; debe ser entendida simplemente como una anotacin minuciosa de objetos, pero sin que ello implique una sucesin. Existen conjuntos cuyos elementos no pueden escribirse en forma sucesiva: son los que Cantor denomin conjuntos no numerables, como el de los nmeros reales. Esta denominacin surge por oposicin a los conjuntos numerables (por ejemplo, los nmeros naturales), cuyo cardinal o cantidad de elementos es el conocido K0 (alef cero). Veremos ms sobre esto en el captulo 4. Cabe aclarar tambin que la anterior definicin por comprensin no es del todo correcta, pues emplea aquel axioma que Cantor denomin de abstraccin, y es causante de la paradoja de Russell. En las prximas pginas veremos esto con mayor detalle.

4. Quine, op.cit.

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N O I'IO N I'.N hA SIC A S l i l i L G ICA

De algn modo, debe haber hecho falta este anuncio de Kant para que los matemticos se dispusieran por fin a sentar las bases de esta disciplina.

Qu es razonar? Para responder a esta pregunta nos remontaremos a los primeros esbozos que fueran trazados en tal direccin, aquellos que fomentaron el entusiasmo kantiano: nos referimos a la obra de Aristteles, cuyo sistema de reglas para el razonamiento mantuvo su vigencia por unos cuantos siglos.

En primer lugar, cabe sealar otro aspecto ligado al lenguaje, ms precisamente a sus usos: si bien en la escuela todos hemos aprendido que el lenguaje puede ser informativo, expresivoo directivo, no parece muy probable establecer un razonamiento con premisas tales como Qu mirs?, o Sonate la nariz. En otras palabras, es razonable suponer que los enunciados que interesan a la Lgica son siempre oraciones declarativas. Los razonamientos se basan en las relaciones entre las llamadas proposiciones o enunciados predicables, es decir, enunciados a los que se puede asignar un valor de verdad.

Un mrito muy destacable de Aristteles consiste en haber transformado al razonamiento -o al menos buena parte de l- en un clculo, convirtiendo a los problemas lgicos en ejercicios de aplicacin de un conjunto de reglas. Esta idea es fiel a la etimologa de la palabra razn en tanto encierra una ratio o divisin: para detectar la validez de un argumento nada mejor que dividirlo en premisas y conclusiones, que a su vez pueden resultar premisas de nuevas conclusiones. Al cabo de tanta divisin se obtiene aquella unidad mnima denominada silogismo, que consiste en dos proposiciones (premisas), de las cuales se deriva, a partir de ciertas reglas de inferencia, una tercera proposicin llamada conclusin. El cumplimiento de dichas reglas es fundamental, al margen de la verdad de las proposiciones intervinientes: podemos decir que las premisas deben ofrecer, de alguna forma, una prueba de la conclusin a la que se llega. El siguiente es un razonamiento vlido

Todos los gatos son mamferos.Todos los mamferos son animales.Luego, todos los gatos son animales

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aunque tambin lo es este otro:

Todo buen ciclista lee a Kierkegaard.Los que leen a Kierkegaard no escuchan operetas.Luego, ningn buen ciclista escucha operetas.

Como se ve, lo que importa en la relacin entre las premisas y la conclusin es el aspecto sintctico y no el semntico. Pero alguna relacin entre los enunciados tiene que existir: comparemos por ejemplo las frases:

Desde el da en que vi Tiburn me da miedo meterme al agua.Desde el da en que vi Tiburn sal con mi novia tres o cua

tro veces.

En la primera hay implcito un razonamiento, puesto que la conclusin parece seguirse de la premisa vi Tiburn; en cambio, la segunda frase indica entre los dos enunciados una relacin temporal, pero no lgica.

En virtud de los ejemplos que hemos visto, cualquier persona seria podra poner en duda el valor de los mtodos lgicos: ciclistas que leen a Kierkegaard y no escuchan operetas, qu es eso? Bien podra decirse que la Lgica permite decir cualquier clase de disparate, siempre que se trate de un disparate lgico. Quizs por eso Russell dijo:

Las m atem ticas son una ciencia en la que nunca se sabe de qu sehabla, ni si lo que se dice es verdadero.

Por otro lado, despus de haber comprobado la validez de algunos silogismos no es difcil comprender el sentido de la ms famosa de sus frases:

La m atem tica es una vasta tautologa.

Famosao no, la aseveracin no quita valrala Matemtica. Hay algo que queda absolutamente garantizado por la correccin de un razonamiento: si se parte de premisas verdaderas, entonces la conclusin es verdadera. Se suele acusar a los mtodos lgicos de no

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N i H 'IO N IN IiA SIC A S lili I.tilCA

.irrogar nada a nuestros conocimientos: si al comienzo sabemos que todos los mamferos son animales, y tras un clculo obtenemos por resultado que todos los gatos son animales, terminamos el ivv/.onamiento sabiendo menos de lo que ya sabamos. Desde esta perspectiva la lgica no agrega, sino que en algn sentido resta: eso justifica el hecho de que la operacin lleve un nombre tan significativo como deducir. Sin embargo, la acusacin deja de lado un aspecto fundamental de los mtodos lgicos: brindar una manera efectiva de refutar un enunciado. Nada hay en la Lgica que permita validar las leyes de las ciencias empricas, pues para verificar una afirmacin universal deberamos ser capaces de comprobar su verdad caso por caso, y eso es imposible. Pero es muy fcil falsear un enunciado: si un razonamiento lleva a una conclusin falsa, entonces es falsa alguna de las premisas. En esta elemental observacin se basa el falsacionismo de Karl Popper.

4. D e d u c c i n , in d u c c i n , a b d u c c i n

En la seccin precedente hemos dado una breve descripcin de lo que para la Lgica significa razonar, haciendo hincapi en la propiedad principal que tienen los razonamientos vlidos: si las premisas son verdaderas, las conclusiones tambin lo son. Sin embargo, hay otras formas de llegar a conclusiones, que son invlidas desde el punto de vista lgico, pero no por eso menos importantes. Se las suele denominar tambin razonamientos aunque en rigor no lo sean; conviene llamar entonces al anterior razonamiento deductivo, para distinguirlo de otras dos formas no vlidas, conocidas como razonamiento inductivo y razonamiento abductivo.

A diferencia de la deduccin, la induccin no brinda certeza alguna respecto de la verdad de las conclusiones, aunque en ocasiones establece una cierta probabilidad. El razonamiento inductivo consiste, a grandes rasgos, en extraer alguna ley general a partir de determinado nmero de casos particulares. Como hemos anticipado, gran parte de las leyes de la ciencia se formulan en base a algn mtodo inductivo; un enunciado bastante elemental de la zoologa, por ejemplo

Los osos tienen cuatro patas,

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LGICA y TEORA d e c o n ju n t o s Pa b l o A m s t e r

se apoya en el hecho de que tal propiedad se ha verificado invariablemente en todos los casos observados, aunque no hay impedimentos de orden lgico a la aparicin futura de osos quin- tpedos5.

Dijimos antes que la deduccin resta; en la induccin, en cambio, la conclusin dice siempre ms de lo que dicen las premisas. Se suele decir que la induccin va de lo particular a lo general" contrariamente a la deduccin, que va de lo general a lo particular. Comparemos el contundente silogismo

Todos os gatos son simpticosFlix es un gatoluego, Flix es simptico

con un razonamiento inductivo, a todas luces ms sospechoso:

Flix es un gatoFlix es simpticoluego, todos los gatos son simpticos.

Desde el punto de vista prctico, quizs sea aventurado dar una ley general a partir de una nica observacin; al menos, la conclusin parece reforzarse si presentamos ms argumentos:

Flix es un gato y es simpticoTom es un gato y es simpticoEl gato Barbieri es un gato y es simptico

luego, todos los gatos son simpticos.

De cualquier forma, siempre queda abierta la posibilidad de que alguien venga y nos arruine todo al anunciar:

5. De todas maneras, negarse a admitir la ley como verdadera podra ser visto por algunos como una necedad, algo as como buscar la quinta pata al oso. Un carcter diferente presentan enunciados tales como

Los cuadrpedos tienen cuatro patas, cuya verdad es tautolgica. En efecto, la propiedad de tener cuatro patas no es otra cosa que la definicin del concepto cuadrpedo.

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N o c io n e s b sic a s d e l g ic a

El gato de mi cuada es un gato;no obstante, resulta un animal de lo ms hurao.

Como caso particular de induccin, debemos recordar tambin el razonamiento por analoga, que consiste en extraer conclusiones sobre determinado problema o situacin en base a resultados obtenidos en condiciones similares. Por ejemplo, si X e y tienen alguna propiedad en comn, entonces podemos aventurar que otras propiedades de X son tambin aplicables a Y. Pero como ocurre en cualquier aventura, el resultado final puede ser un desastre: el mtodo no ofrece las seguridades que ofrece la buena lgica.

Conviene sealar la diferencia entre esta clase de razonamiento inductivo y la induccin matemtica que, como veremos en el captulo 2, constituye una propiedad bsica de los nmeros naturales. Tambin se extiende -aunque esto es ms complicado- a conjuntos ms generales: se trata del llamado principio de induccin transfinita.

Es posible dar todava otra vuelta al esquema anterior:

Todos los gatos son simpticos Flix es simptico luego, Flix es un gato

Este nuevo razonamiento, denominado abductivo, presenta un defecto muy fcil de descubrir: es claro que el tal Flix bien podra haber sido un canario, un elefante o un individuo simptico de cualquier clase. La propiedad de ser gato se convierte as en una causa posible de la simpata de Flix, pero no necesariamente la nica. Se suele describir a la inferencia abductiva como la lgica de la mejor explicacin": por ejemplo, si nuestros invitados se presentan en casa completamente mojados, podemos extraer la conclusin de que afuera est lloviendo. Esto significa que hemos optado por una posibilidad que nos pareci razonable, descartando otras menos verosmiles: un vecino que riega sus plantas con descuido, o alguna travesura infantil con la manguera del garaje. Aunque en este caso no se trate de una conclusin especialmente lcida, la abduccin resulta de vital importancia, tanto en la ciencia como en cualquier clase de inves

t

\ICA Y TEORA DE CONJUNTOS Pa b l o A m st e rtigacin: tal es la forma de proceder de Sherlock Holmes, cuando reconstruye una situacin a partir de ciertos indicios. Esto guarda relacin con el origen etimolgico de la palabra investigar, proveniente del latin investigare, y en definitiva de vestigium: si leemos esto al pie de la letra, descubriremos que significa, justamente, planta del pie.

Cualquier persona versada en anatoma pensar en los msculos abductores, y podr justamente abducir que dicho trmino proviene de separar o abrir, origen que se vislumbra en la idea de buscar las eventuales causas de un efecto dado desplegando un abanico de posibilidades:

Hay que aclarar que la implicacin sigue el sentido de las flechas; el procedimiento de elegir una de las de las premisas como antecedente ms probable de q es descripto por Mr. Holmes como razonar hacia atrs:

El gran factor, cuando se trata de resolver un problema de esta clase, es la capacidad de razonar hacia atrs. Esta es una cualidad muy til y muy fcil, pero la gente no se ejercita mucho en ella. En las tareas corrientes de la vida cotidiana resulta de mayor utilidad el razonar hacia adelante, y por eso se la desatiende. Por cada persona q ue sabe analizar, hay cincuenta que saben razonar por sntesis.

Las dos formas de razonamiento comentadas en esta seccin resultan en algn sentido falaces; vale decir, una especie de infraccin a las leyes lgicas. En general, una falacia no es otra cosa que un razonamiento invlido, aunque a primera vista pueda parecer correcto o resultar psicolgicamente persuasivo. Tal es el caso de los famosos sofismas.

Pn

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N o c i o n u s iiA s i c a s d i ; l. c i c a

L g ic a a r i s t o t l i c a

Veremos ahora algunos elementos de la lgica aristotlica, que se apoya en la nocin intuitiva de clase: una coleccin de cosas que tienen algn atributo en comn. Por ejemplo, la clase de los jugadores de ping-pong, o la clase de los perros salchicha. A diferencia de la moderna teora de conjuntos, Aristteles no pre- vi la necesidad de contar con clases vacas.

Si bien el concepto de clase que estamos empleando no es muy riguroso, vale la pena mencionar algunos aspectos de aquello que actualmente se conoce como Teora Ingenua de Conjuntos. Se trata, esencialmente de la nada ingenua teora desarrollada por Cantor a fines del siglo XIX; el apelativo se debe a que han surgido all algunos inconvenientes, que derivaron en una profunda crisis en los fundamentos de la Matemtica. El problema no es menor, y fue motivo de controversias entre las escuelas logicista (encabezada por Russell y Frege), formalista (Hil- bert, y posteriormente Bourbaki) e intuicionista (Brouwer, Poin- car). De alguna manera, la discusin se calm en buena medida cuando Zermelo y Fraenkel propusieron en 1908 los axiomas para una teora no ingenua, que es la ms comnmente aceptada en la actualidad.

La nocin de conjunto existaya en la Matemtica desde tiempo atrs, as como algunas de las paradojas que dicha nocin trae consigo. La representacin por medio de los diagramas de Venn tiene su origen en una idea anterior, la de los crculos de Euler, inventados por tan ilustre autor hacia 1770 como un modo de resolver silogismos y en especial poder explicrselos a su clebre princesa alemana.

Pero fue Cantor quien, en una serie de memorias escritas entre 1874 y 1884, se ocup de dar forma a tales cuestiones y fundar la teora que, adems de sus mltiples aplicaciones, permiti establecer sorprendentes conclusiones en torno al problema del infinito. En efecto, el descubrimiento de diversas clases de infinito, y la consecuente definicin de los nmeros transfinitos mostraron algunos aspectos de la Matemtica completamente insospechados. A una frase de Gauss, para quien el infinito actual era una manera de hablar, responde Cantor:

25

LGICA Y TEORA DE CONJUNTOS Pa b l o A m s t e r

No obstante la diferencia esencial entre los conceptos de infinito potencial y de infinito actual (siendo el primero una m agnitud finita variable que crece ms all de todo lmite finito, y el segundo una magnitud fija, constante, que se mantiene m s all de todas las m agnitudes finitas) ocurre con frecuencia tom ar el uno por el otro... En vista de la justificada aversin a tales infinitos actuales ilegtimos y a la influencia de la tendencia m oderna epicreo-materialista, se ha extendido en am plios crculos cientficos cierto horror infiniti, que encuentra su expresin clsica y su apoyo en la carta de Gauss; sin embargo me parece que el consiguiente rechazo, sin crtica alguna, del legtimo infinito actual no deja de ser una violacin de la naturaleza de las cosas, que han de tom arse como son.

La definicin cantoriana de conjunto no es, por cierto, una definicin formal. Se trata ms bien de una idea intuitiva, en donde un conjunto se piensa como una coleccin de cosas (Cantor emple la palabra Menge, multitud). Un conjunto es, para Cantor, un agrupamiento en un todo de objetos bien definidos, de nuestra intuicin o nuestro pensamiento.

Pero esto no significa gran cosa: el trmino conjunto es, en definitiva, un trmino primitivo de la teora. Tambin lo es aquel otro que se refiere a esos objetos de los que un conjunto se compone, los elementos. Para indicar que determinado x es elemento de un conjunto A, se emplea el smbolo de pertenencia, y se escribe: x e A.

El paralelo entre teora de conjuntos y la lgica es inmediato: por ejemplo, las operaciones de interseccin y unin se traducen respectivamente a las operaciones lgicas de conjuncin y disyuncin, as como la nocin de complemento, definida a partir de la diferencia entre conjuntos, se asocia con la negacin6. Podemos comparar las diferentes versiones de las clsicas leyes de De Morgan, que se enuncian

- '( p v q ) = -,pA-,


(A u B)c = A C n B

( A n B ) c = A cv B c en la teora de conjuntos7. Mencionemos finalmente a la relacin de inclusin, muy cercana a la implicacin: tanto, que en la teora de conjuntos el principio de identidad toma la forma

V A :A c A

Resulta claro: dicho principio, en la Lgica, dice que cualquier proposicin p verifica:

p = > p

(p implica p)

Por eso, dado un conjunto A y cualquier objeto x del universo, tomando como p el enunciado x e A" se obtiene

x e A => x e A,

que en otras palabras se lee: A est incluido en A.La teora de Cantor permite el libre empleo de un enunciado

conocido como axioma de abstraccin. En l se basan las definiciones por comprensin antes mencionadas, que en principio permiten construir a partir de cualquier funcin proposicional el conjunto de todos los objetos del universo que la satisfacen:

{ x /


de estampillas, obras pictricas o premios literarios, si se puede llamar coleccin a algo tan poco profuso como el vacio.

Como sea, este difcil conjunto puede definirse por abstraccin, mediante el sencillo recurso de buscar alguna propiedad que nadie8 en El Universo sea capaz de cumplir: de este modo, resulta tan vaco el conjunto de los elefantes que tienen seis patas como el de las peras de un olmo. Sin embargo, debemos convenir que es necesario dar una propiedad que sea formulable en lenguaje lgico:

i por eso, pens Frege que sera una buena idea definir

0 = { x / x * x }Con este truco, la Matemtica quedara completamente es

tablecida como un captulo de la Lgica, como pretenda la escuela logicista, aunque el descubrimiento de la paradoja de Rus- sell en 1901 mostr que la construccin llevada a cabo por Frege no era vlida, lo que signific un derrumbe de sus afanes. Una de las versiones ms difundidas de esta paradoja se refiere a un barbero que afeita a todos aquellos que no se afeitan a s mismos. Es fcil ver que este barbero no puede afeitarse ni dejar de hacerlo; sin embargo, segn seala Quine esto no determina una paradoja sino la imposibilidad de que exista un barbero as.

Llevada a nuestro contexto, se puede reproducir la paradoja considerando dos tipos diferentes de conjuntos:

1- Los conjuntos ordinarios, que no se contienen a s mismoscomo elemento, es decir: A es ordinario si A no pertenece a A. Por ejemplo, el conjunto de los nmeros naturales, que no es un nmero natural.

2- Los conjuntos extraordinarios, que se contienen a s mismos como elemento, es decir: A es extraordinario si A per-

8. Es claro que nadie no indica persona, sino que se refiere a una propiedad que ningn objeto del universo satisface. Borges hace un empleo interesante de dicho vocablo en Las ruinas circulares:

Nadie lo vio desembarcar en la unnime noche, nadie vio la canoa de bamb sumindose en el fango sagrado, pero a los pocos das nadie ignoraba...

Bor g e s , 1 976

28

N o * IO N I N I I S I l 'A S d i : l g i c a

teneceaA. Por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos, que en tanto conjunto es elemento de s mismo.

Esta clasificacin es completamente lcita en la teora de Can- tor, pues slo precisa del axioma de abstraccin. Pero el mismo axioma permite que definamos el conjunto

X = { A / A es un conjunto ordinario }

que no tardar en traernos problemas. En efecto, si X es ordinario, debe cumplirse que X pertenece a X, es decir, X es extraordinario (absurdo). Si suponemos, por el contrario, que X es extraordinario, por definicin resulta que X no pertenece a X y entonces X es ordinario... un nuevo absurdo, que seala que estamos ante una paradoja.

La aparicin de esta paradoja indica que, as planteada, la teora de conjuntos es inconsistente; eso no nos conviene, pues la presencia de una contradiccin (p a -,p) trivializa una teora. Puede verse fcilmente que a partir de una contradiccin se puede concluir cualquier cosa, como mostr por ejemplo Russell al dar una prueba rigurosa del siguiente enunciado:

Si i es igual a 2, yo soy el Papa.

Ante tal panorama, no queda otro remedio que cambiar la axiomtica: introducir condiciones que limiten la definicin de conjunto para impedir que pueda definirse de un conjunto tan pernicioso como el conjunto de los conjuntos ordinarios.

La manera ms simple, aunque tajante, consiste en decretar explcitamente que un conjunto no puede ser elemento de s mismo: es decir, slo considerar como conjuntos hechos y derechos a los conjuntos ordinarios, con lo que la paradoja se elimina de raz. En realidad, esta restriccin es excesiva y puede ser evitada, aunque ello no ocurre en los Principia Matemtica, esa obra monumental de Russell y Whitehead destinada a restablecer los vacilantes fundamentos de la Matemtica. Se describe all la teora de tipos, una construccin ms bien complicada segn la cual los conjuntos de cierto tipo tienen como elementos a conjuntos de tipos anteriores; de este modo, se evita la mezcla de niveles de lenguaje, un verdadero caldo de cultivo para el surgimiento de paradojas. El resultado, de todas formas, no logr satisfacer las aspiraciones logicistas, como ms adelante veremos.

29


Una consecuencia inmediata de la paradoja de Russell es que el Universo no es un conjunto. Esto significa que no tiene sentido proponer que El Universo es el conjunto de todas las cosas que existen,

U = { x / x existe }o el de las cosas idnticas a s mismas,

U = { x / x = x ]

La explicacin es sencilla, al menos si se supone que estamos hablando de un universo ordinario:

Si U es un conjunto, no puede ser elemento de s mismo;por ende U no existe (o bien: U es distinto de U).

De aqu se desprende un problema con respecto a la nocin de complemento, pues por definicin la unin de un conjunto con su complemento debera ser todo el universo. Pero todo no es un conjunto, de modo que slo puede pensarse en un complemento relativo: el complemento de un conjunto se define siempre respecto de otro conjunto que lo contenga. A este conjunto ms grande se lo llama universal, pero de ninguna forma puede pretenderse que se constituya en El Universo. Sera inadecuado, por ejemplo, considerar el complemento del conjunto G de los gatos como todo aquello en el universo que no es gato; en cambio, dado a priori el conjunto universal M de los mamferos, entonces es correcto definir el complemento de G en la siguiente forma:

Gc = M - G = { x e M / x G)

Es imposible dar un carcter absoluto al complemento, pues depende siempre de modo esencial de nuestra decisin previa acerca de cul va a ser el universo para nuestro discurso9.

9. Vemos as que es ms sencillo ponerse de acuerdo acerca de lo que li.iy que acerca de lo que no hay. Macedonio Fernndez se manifestaba en conl i'.i de productos tales como las galletas sin sal, pues existe una infinidad de cosas que las galletas no tienen. Como sea, a veces pensar en el complemenlo resulta ventajoso; por ejemplo para recibir regalos de no-cumpleaos, tal como demuestra I lump- ty Dumpty a una desconcertada Alicia (L.Carroll, op.cit.). Sobre el problema ontolgico de lo que hay, algo veremos en el ltimo captulo.

30

N o c io n e s b sic a s ije l g ic a

I , aparicin de paradojas en la teora de conjuntos no fue una novedad: en 1898 se haba formulado otra, la paradoja de Burali- I

LGICA Y TEORA DE CONJUNTOS 1AISLO Amster

Aunque la correspondencia gramatical no es exacta, las letras S y P evocan las ideas de sujeto y predicado. En trminos de clases, es inmediato observar que la oracin todo S e s P equivale a decir:

Todo elemento de S es tambin elemento de P.Ello revela una inclusin total: por ejemplo, la frase

Todos los gatos son pardos

seala el dudoso hecho de que todo elemento de la clase S = gatos pertenece a la clase P = individuos pardos. En otras palabras, la clase S est totalmente incluida en la clase P; del mismo modo, la proposicin particular afirmativa algn S es P nos informa que la clase S est parcialmente incluida en la clase P. Debemos aclarar que eso no niega la posibilidad de que la inclusin sea total: cuando decimos

Algunos miembros de mi familia tocan la trompeta,la oracin es verdadera si al menos uno de mis familiares es trompetista, y seguir sindola aun si todos lo son.

Tambin resulta claro que las proposiciones negativas, tanto la universal como la particular, niegan la inclusin parcial o total de la clase S en la clase P. As, al decir

Ningn pingino desayuna antes de las ocho, estamos negando la proposicin

Algunos pinginos desayunan antes de las ocho.

En otras palabras, negamos la inclusin parcial de la clase pinginos en la clase individuos que desayunan antes de las ocho. Veamos por ltimo un ejemplo de particular negativa:

Algunos bailarines no saben de contabilidad.

En este caso, estamos negando la inclusin total de la clase de bailarines en la clase de personas que saben de contabilidad. La frase podra leerse, en efecto, como:

No todos los bailarines saben de contabilidad.

Durante la Edad Media, los escolsticos denotaron a las cua tro proposiciones categricas empleando respectivamente las letras A, E, I, O, a partir de una sencilla regla mnemotcnica que tiene en cuenta el hecho evidente de que los dos enunciados afirmati-

3 2


vos (Afflrmo) contradicen a los negativos (nEgO). Ms precisamente, las relaciones se resumen en el siguiente esquema:

A contrarias E

subalternas subalternas

7. C u a d r a n t e de P e ir c e

Lacan presenta la lgica aristotlica en el Seminario IX mediante el famoso cuadrante de Peirce, a partir de los enunciados

A: todo trazo es vertical

E: ningn trazo es vertical

I: algn trazo es vertical

O: algn trazo no es vertical

y un sencillo diagrama:

El lector puede intentar, a modo de ejercicio, analizar la verdad de cada una de las proposiciones en los distintos cuadrantes. Ms adelante volveremos sobre este punto.

L g ic a y t e o r a d e c o n ju n t o s Iaiii.o A m s t u r

8 . S il o g i s m o s

Segn mencionamos, los silogismos son razonamientos que se componen de dos premisas y una conclusin:

Premisa i: Ningn oso hormiguero tiene ideas polticas moderadas.

Premisa 2: Algunos osos hormigueros prefieren el tal caf.

Conclusin: Algunos seres que prefieren el t al caf no tienen ideas polticas moderadas.

A pesar de su simplicidad, Aristteles y su discpulo Teofrasto han dedicado seguramente unas cuantas tardes a formular reglas precisas para determinar si un silogismo es o no vlido; sin embargo, si se emplea un sistema de clculo apropiado, o el lenguaje de la teora de conjuntos, dichas reglas se vuelven innecesarias. Pero los antiguos estudiaron exhaustivamente los 64 posibles silogismos, y determinaron la validez de 19 de ellos.

Veremos una forma muy sencilla de resolver silogism os a partir de diagramas: para ello, bastar con representar a las clases mediante los llamados crculos de Euler, indicando con un o aquellas regiones en donde no hay elementos, y con un i aquellas en donde hay al menos uno. As, las cuatro proposiciones categricas se representan del siguiente modo:

S P S P S P S P

T od oS es P Ningn S es P Algn S es P Algn S no es P

Con un poco de cuidado, resulta fcil aplicar esta representacin a cualquier silogismo: en el ejemplo anterior, si consideramos

S = osos hormigueros

P = seres con ideas polticas moderadas

R = seres que prefieren el t al caf

34


I demos traducir una a una las premisas, y representarlas a to- * las en un nico diagrama:

Premisa i: Ningn S es P

S P

Conviene observar aqu que nos vemos forzados a escribir dos c eros distintos, pues la presencia de R divide la regin comn a S y P en dos partes. Un problema distinto aparece con la premisa siguiente,

Premisa 2: Algn S es R

S P

R

En efecto, sabemos que hay por lo menos un elemento comn .1 S y R, pero la premisa por s sola no nos permite decir a cul de las dos regiones de esta interseccin pertenece (acaso haya elementos en ambas). Por eso escribimos provisoriamente un 1 sobre la lnea divisoria, hasta tanto recopilemos toda la informacin disponible:

3 5


Premisas i y 2: Ningn S es PAlgn S es R

S P

Gracias a la segunda premisa se resuelven las dudas acerca de ese x, que se encontraba en suspenso hasta que el o de la regin comn a S y P lo desplaz, para confinarlo en esa pequea porcin que se ve en el diagrama. En consecuencia, podemos extraer la conclusin; existe al menos un elemento que pertenece a i? y no pertenece a P:

Conclusin: Algn R no es P

A veces se presentan razonamientos ms complicados, pero que en realidad no son otra cosa que la combinacin de dos o ms silogismos. Consideremos por ejemplo las siguientes premisas:

1. Algunas estufas son objetos de arte.2. Todo objeto de arte causa a mi abuela dolor de cabeza.3. Todo lo que causa a m abuela dolor de cabeza es muy apre

ciado por mi abuelo.De acuerdo con el mtodo que hemos visto, se definen las

clases:

S = estufas

P = objetos de arte

R = objetos que causan a mi abuela dolor de cabeza

T = objetos muy apreciados por mi abuelo

Se tiene, entonces,

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Nck'ionkn bAsicas di: lgica

S P

Premisas i y 2: Algn S es PTodo P esR

Conclusin 1: Algn S es RR

Premisa 3 y Conclusin 1:R T

Todo R e s T

Algn S es R

Conclusin -.Algn S es T.

En otras palabras:

Algunas estufas son muy apreciadas por mi abuelo.

Estos razonamientos se denominan sorites; en ocasiones la conclusin parece muy alejada del punto de partida, porque pueden ser muchos los silogismos que se concatenan. Esto termina de explicar la idea de vasta tautologa mencionada en la pgina 20: todo teorema, por complicado que parezca, no resulta en el fondo otra cosa que el encadenamiento de cierto nmero de pasos triviales.

Tambin pueden presentarse silogismos en forma incompleta, omitiendo alguna de las premisas, por ejemplo:

Ninguna persona respetable roba el sombrero a sus semejantes; en consecuencia, nosotros no robamos el sombrero a nuestros semejantes.

Para que el razonamiento sea correcto, se debe intercalar la siguiente premisa, cuya verdad puede merecer alguna objecin:

Nosotros somos personas respetables.

A estos razonamientos incompletos se los conoce como entime- mas. La premisa que se omite se da por sobreentendida, pero no re

37

L g ic a y t e o r a d e c o n ju n t o s Pa u lo A m st e r

sulta consecuencia de las otras dos proposiciones; como ya vimos, el siguiente razonamiento abductivo es lgicamente invlido:

Premisa i: Ninguna persona respetable roba el sombrero a sus semejantes.

Premisa 2: Nosotros no robamos el sombrero a nuestros semejantes.

Conclusin: Nosotros somos personas respetables

R = personas respetablesS = personas que roban el sombrero a sus semejantes,N = nosotros

N

El diagrama muestra que -mal que nos pese- nuestra respetabilidad no se sigue de las premisas. Felizmente tampoco se sigue la presuncin contraria; en rigor, el propio diagrama deja ver que las premisas no permiten extraer conclusin alguna.

9. S in t a x is y s e m n t i c a d e lo s l e n g u a je s f o r m a l e s

En las pginas anteriores hemos visto que los razonamientos se construyen a partir de proposiciones: enunciados a los que se puede asignar un valor de verdad. Los silogismos consideran nicamente proposiciones categricas; sin embargo, la Lgica formal emplea un lenguaje que permite operar con las proposiciones como simples letras. Las reglas que nos dicen cmo combinare! chas letras forman parte de aquello que se conoce como clculo proposicional.

38


C onsideremos para comenzar ciertas proposiciones denomi- n,u las atmicas, que se indican por medio de las letras p, q, r, etc. Se definen adems diversos operadores, llamados genricamente conectivas: entre ellos los ms comunes son

la negacin, denotada por medio del smbolo

la conjuncin o et (a )

la disyuncin o ve/ (v)

la implicacin (=>)

la disyuncin exclusiva (y)

la equivalencia lgica, tambin conocida como si y slo si ( o )

Esto permite formar distintos tipos de proposiciones compuestas, por ejemplo

p ^ q

-.p a q

(p = > q )v - ,r

Como se ve en el ltimo caso, si se pretende combinar mediante conectivas ms de dos proposiciones, se hace preciso introducir parntesis, a fines de evitar la ambigedad en la escritura. El proceso que permite definir las proposiciones es induc- t ivo; toda proposicin compuesta se define a partir de las proposiciones atmicas mediante las siguientes reglas:

1) Si p es una proposicin, entonces -.p es una proposicin.2) Si p y q son proposiciones, entonces

p A q p v q P => q PY.q P ^ Q son proposiciones".

11. En rigor, las proposiciones definidas por la regla 2 deben escribirse:

(PA9) (pvq) (p=>


10. Ta b l a s d e v e r d a d

Una vez dadas las reglas que permiten formar las proposiciones, se define el valor de verdad como una funcin que a cada proposicin le hace corresponder el valor V (verdadero) 0 F (falso) a partir de los valores de sus tomos. La manera habitual de presentar a tal funcin es por medio de las tablas de verdad; por ejemplo, el valor de verdad para la negacin se establece de modo tal que si p es verdadera, entonces su negacin es falsa, y viceversa:

NEGACIN

P PV FF V

De la misma forma, la conjuncin de dos proposiciones p y q toma el valor V si (y solamente si) el valor de ambas es V, como se refleja en la tabla:

CONJUNCIN

p q p A qV V VV F FF V FF F F

Para la conectivas restantes tenemos:

DISYUNCIN

P


IMPLICACIN

P q p qV V V

V F F

F V V

F F V

DISYUNCIN EXCLUSIVA

P q p v q

V V F

V F V

F V V

F F F

EQUIVALENCIA LGICA

P q pq

V V V

V F F

F V F

F F V

Otra manera de presentar a esta funcin de valuacin consiste en los circuitos lgicos, a los que Lacan se refiere en el Seminario II: por ejemplo, la conjuncin y la disyuncin se representan respectivamente por

conjuncin

disyuncin

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Estos circuitos se interpretan en trminos de pasaje de corriente: bajo qu condiciones pasa la corriente desde el punto A hasta el punto B? En el primer caso, resulta claro que ambas puertas, p y q deben estar cerradas, mientras que en el segundo caso basta con que al menos una de ellas lo est.

Entonces conviene pensar a los valores F y V respectivamente como puerta abierta y puerta cerrada. Existe otra forma de escribirlos,xje nos brindar una nueva perspectiva: se trata simplemente de denotar con un o al valor F, y con un i al valor V. Observamos entonces por ejemplo que la conjuncin p a q toma el valor i slo cuando el valor de cada uno de sus trminos es i; basta con que alguno de ellos tenga valor o para que el valor de p a q tambin sea o. En otras palabras, el valor de p a q equivale al mnimo valor entre los valores de p y q. Esto se puede escribir de la siguiente manera:

v(p a q) = inf{v{p), v(q)}en donde v denota la funcin devaluacin y la partcula inf expresa el nfimo (el ms pequeo) entre los correspondientes valores. Anlogamente, el valor de p v q corresponde al mayor de dichos valores, que expresamos como un supremo:

v(p v q) = sup{v(p), v(q)}

Esta manera de pensar al conjunto de valores de verdad remite al ejemplo ms elemental de lgebra de Boole'1', segn esta idea, los valores o y i se definen como complementarios,

o 1 / - o

y resulta fcil verificar las siguientes propiedades, que junto a las anteriores pueden tomarse como una definicin de la funcin v, alternativa a las tablas de verdad:

v(-,p) = v(p)'

v(p => q) = sup{v(p)\ v((/))

La equivalenciay la disyuncin exc I u s i va req u i e re n fo r mas algo ms complicadas, cuya verificacin queda como ejercicio:

12. Es decir, el lgebra booleana {o, i}. A pesar di' mi i iivi.ilnl.nl, l.i observacin deja ver la posibilidad de una generalizacin qurri ml rmpli Lis llamadas lgicas multivalentes, con ms de desvalores deverd.ul l'.ir.i iiii.i dcliiucin de "lgebra de Boole"verel Diccionario de trminos malrinAlirun, de prxima publicacin.

4 2


v (p q) = inf{sup{v(p), v(q)}, sup{v(p), vO?)1}}

v ( p v q ) = inf{sup{v(p), v(q)}, sup{v(p), v(q}}

11. Le y e s l g ic a s

Las anteriores tablas de verdad permiten demostrar las denominadas leyes lgicas o tautologas. Ms all del uso informal que liemos dado a esta palabra al recordar la frase de Russell, una tau- I ologa consiste simplemente en una proposicin cuyo valor de verdad es i, independientemente del valor de sus componentes13. Hay algunos ejemplos muy sencillos, como el principio de identidad:

P ^ P

que se demuestra por la tabla

P P p^>pV V VF F V

Del mismo modo se prueban otras leyes tales como

Principio de no contradiccin: *(p A p)

P -p p a -- P -'(pA -'p)V F F VF V F V

Principio de tercero excluido: P V - p

P -'P p v - pV F VF V V

13. Anlogamente se define a la falsedad lgica o contradiccin" como una proposicin compuesta cuyo valor de verdad es o. A las proposiciones que no son tautologas ni contradicciones se las denomina contingencias, vale decir, proposiciones cuyo valor de verdad depende de los valores de verdad de sus tomos.

4 3


Algunas de estas tautologas expresan la equivalencia de dos frmulas, lo que permite aplicar el importante principio de sus- tituibilidad'4, y se demuestra por la igualdad de las respectivas tablas de verdad. Una de las ms evidentes es la doble negacin

P = Pcuya verificacin es inmediata15:

_________ P____________________ ZP_______________________________V F VF V F

A modo de ejemplo algo menos trivial podemos comprobar la validez de la primera de las leyes de De Morgan comentadas por Lacan en diversos seminarios:

->(P a q) = (~,p v -,q)Para el primer trmino de la igualdad se obtiene:

P q p A q ^( pAq)V V V FV F F VF V F VF F F V

mientras que para el segundo vale

14. A grandes rasgos/dicho principio establece que en cualquier frmula, una expresin puede reemplazarse por otra equivalente. Por ejemplo, a partir de la igualdad 4 = 2 + 2, podemos reemplazar al valor 4 en la frmula

4

No c io n e s b sic a s d e l g ic a

p q ~'P ~,q -'p v -q-V V F F F

V F F V V

F V V F V

F F V V V

y la equivalencia queda demostrada. La otra ley,j "a < -c 11 "a > j

se demuestra en forma anloga.

El ltimo ejemplo establece una propiedad importante, puesbl inda una forma de negar una conjuncin o una disyuncin.(omo negar las otras conectivas? Es fcil verificar a partir deLis tablas que

i(p q ) = p v qy obviamente entonces

i ( p Y q ) = p o q

Por otro lado, tenemos:

p q p= >q ^(p => q)V V V F

V F F V

F V V F

F F V F

y entonces es inmediato verificar que

(p = > q )= p A -,g

Esto hace pensar en la siguiente definicin alternativa para la implicacin:

P => 9 = ~>P v 9El resultado es bastante intuitivo: o bien no se cumple p, o se

cumple q. Cabe decir que esta ltima igualdad se verifica sin necesidad de recurrir ya a las tablas: en efecto, por la ley de doblo negacin sabemos que

p => q = ,(p => q)

-r*

L g ic a y t e o r a d e c o n ju n t o s Pablo Amster

De este modo, la propiedad anterior nos permite deducir lo siguiente:

P =>


I ,a negacin de p se define como la incompatibilidad de p consigo misma, es decir:

- 'P = P \ PUna simple inspeccin a la tabla de verdad basta para reco

nocer a la incompatibilidad en su carcter de negacin de la conjuncin; luego es claro que conviene definir a la conjuncin de la siguiente manera:

p A q = ~ ,(p\q) = (p\q) | (p\q)

P q p 1 q (p\q) 1 (p\q)V V F VV F V FF V V FF F V F

A partir de aqu, el resto de las conectivas se obtiene de un modo similar al desarrollado unos prrafos atrs. A modo de ejercicio, se puede comprobar que todas las conectivas se definen tambin a partir de otra conectiva, que intuitivamente expresa la frmula ni p ni q\ vale decir:

p __ ________________ q____________________ni (p,q)V V FV F FF V FF F V

De este modo observamos un hecho que puede parecer curioso: todo el sistema se sostiene sobre una versin ms o menos formal de una expresin un tanto insulsa:

Ni fu, nifa.

El lector interesado en ejercitar un poco puede entretenerse demostrando algunas de las siguientes leyes lgicas:

Idempotencia del et p / \p = pIdempotenciadel vel p v p = pSimplificacin {p a q) => p

'17


Adicin p => (p v q)Enunciado contrarrecproco (p => q) = (-.q => p)Transitividad de la implicacin

(p => q) a (q :=> r) => (p => r)Ley asociativa para el et [(p a q) a r] = [p a (q a r)]Ley asociativa para el ve/ [(p v q) v r] = [p v (g v r)]Ley asociativa para la equivalencia

[(p o q) r] = [p (q o r)]Leyes conmutativas para et, ve/ y equivalencia:

p A q = q a P p v q = q v p p ^ q = q o p

Leyes distributivas, del et respecto del ve/, y viceversa:

(p a q) v r = (p v r) a (g v r)

(p v g) a r = (p a r) v (g a r)

Una regla de especial importancia es la reduccin al absurdo, dada por la absurda tautologa

(-P => p) => P,cuya aplicacin prctica se resume en la siguiente receta para demostrar un enunciado p:

Suponemos que p es falsa; si de all obtenemos una contradiccin, esto quiere decir que p es falsa, y en consecuencia p es verdadera16.

Mencionemos finalmente aquellas conocidas reglas que conforman la base de todo clculo:

Modus ponendo ponens [(p => q) a p] => qModus tollendo tollens [(p => q) a -,q] => -.pModus ponendo tollens [(p y q) a P ] =>Modus tollendo ponens [(p v q) A-ip] => q

Cabe advertir que ante tal profusin de leyes lgicas es fcil cometer algn descuido y tomar por verdadero lo que es falso y por falso lo que es verdadero... Quin sabe, acaso porque un espritu, no menos astuto y burlador que poderoso, ha puesto su industria toda en engaarme17.

16. A modo de ejemplo, veremos una aplicacin de este mtodo en el captulo 4.17. Las citas pertenecen a Descartes, Meditaciones. En realidad, no se requiere un

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12. Va r i a b l e s l ib r e s y c u a n t i f i c a c i n

Hasta el momento hemos descripto los fundamentos de un clculo basado nicamente en proposiciones, en las que an no aparece la idea de variable.

Pero en los desarrollos del siglo XIX aparecera aquella nocin que en ese entonces se denomin/unc/n proposicional, definida por B. Russell de la siguiente manera:

Una funcin proposicional es una expresin que contiene uno o m s constituyentes indeterminados, tales que, cuando asignam os valores a estos constituyentes, la expresin resulta una proposicin.

Por ejemplo, si consideramos la frase

((je): x es mayor de 25 aos,

no podemos decir que sea verdadera o falsa a menos que asig- nemos un valor a la variable:

(j> (mi to Carlos): mi to Carlos es mayor de 25 aos.

I ,a definicin russelliana, ms bien intuitiva, lleva a pensar a l.i funcin proposicional segn anticipamos, como un predicado sin sujeto; el sujeto faltante es una suerte de agujero, que puede resumirse en esa sensacin de suspenso dejada por los puntos suspensivos:

..........es un hombre.

Por otro lado, introduce el concepto de variable, que Lacan describe siguiendo a Fregecomo un agujero en el que se puede ubicar cualquier valor del universo:

genio tan poderoso para hacer errar a cualquiera, se trate o no -al decir de La- can- de un no-incauto. Por ejemplo, bien podra uno creer que la siguiente regla es verdadera,

(p => q) =>r = p => (q => r),c incluso reforzar tal creencia asignndole un nombre pomposo:

asociatividad de la implicacin.

Si 11 embargo, es fcil probar que la presunta ley es falsa. El error en asunto de leyes, que en Garganta y Pantagruel se compara con la confusin de Isaac (a la que colabor su esposa Rivka) de tomar a Jacob por Esa, en determinados casos toma un cariz ms trgico: por ejemplo, el lamentable error judicial que llev al presidio .1 Mitia Karamazov (ver F.Dostoyevski, Los Hermanos Karamazov).

4 9


----------------------

Se dice tambin que es una frmula abierta, que se cierra al po ner un sujeto -o, si se quiere, sujetar- a la variable libre. En realidad existe otra manera de cerrarla, dada por la cuantificacin.

La Lgica Matemtica introduce a las variables como trminos del lenguaje formal, que a su vez pueden combinarse para formar nuevos trminos; luego, se definen las frmulas de un modo inductivo similar al mencionado en la seccin 918.

Se hace necesaria, sin embargo, una nueva y misteriosa regla denominada de cuantificacin:

Si

No c io n e s b sic a s ije l g ic a

dependiendo del universo en que sean interpretadas, las frases .interiores resultarn verdaderas o falsas. Por ejemplo, en el conjunto de seres humanos la primera de ellas es falsa y la segunda es verdadera, pues existe al menos un ser humano que colecciona mariposas19. Si consideramos como universo, en cambio, al c onjunto de coleccionistas de mariposas, se ve que ambas frases son all verdaderas. La cuestin que podemos plantear ahora es: existe alguna interpretacin segn la cual la primera frase sea verdadera y la segunda falsa? Se trata de un asunto clave: se suele decir que la universal afirmativa expresa la esencia, mientras que la particular expresa la existencia; nuestra pregunta nos ubica en- lonces en torno a la cuestin comentada en la primera seccin: es lcito afirmar que la esencia implica la existencia?

I ,a respuesta es sencilla, aunque de ningn modo trivial. La- can recurre al cuadrante de Peirce antes mencionado, en donde se ve perfectamente que las proposiciones

Todo trazo es vertical

Ningn trazo es vertical

son simultneamente verdaderas all donde no hay trazos.

O

En efecto, vemos que A es verdadera en el cuadrante superior izquierdo pero tambin en el derecho, y algo similar ocurre con lasi )t ras proposiciones: cada una de ellas domina exactamente dos cua

ic). En el al menos uno se basa Lacan para hablar del homoinzune, homofona de au moins une.

51


drantes. Eso determina una inevitable superposicin; en particular, en el cuadrante superior derecho las dos proposiciones universales son simultneamente verdaderas. Esto muestra que la contrariedad no implica contradiccin, como pensaba Aristteles. Como dijimos, el filsofo no tuvo en cuenta a las clases vacas; por eso en su lgica todos implica algunos. Sin embargo, si el universo fuera vaco el hecho de que todos coleccionasen mariposas no garantizara la existencia de al menos un coleccionista, justamente porque el vaco anula toda existencia. La definicin lgica de la interpretacin como semntica de los lenguaj es formales pone precisamente como condicin que el universo de discurso sea no vaco.

De las observaciones anteriores se desprende una forma inmediata de reescribir las cuatro proposiciones categricas:

A Vx. (x) E

I 3x/(j)(x) 3x/-i(j)(x) O

en donde las contradicciones antes sealadas reflejan el evidente hecho de que A es la negacin de O, y E es la negacin de I, es decir:

A = -i O

= -. J

Tales identidades determinan dos equivalencias que bien pueden considerarse una generalizacin de las leyes de De Morgan:

3x/ -i(j)(x) = -i (V x : 4>(x))

Vx: -.(x,) a ... a (x )

3x /(j)(x) = Vx/

N o c io n e s bAsic a s d e l g ic a

lo que termina de explicar la relacin con las leyes de De Morgan, ln definitiva, la universal afirmativa puede construirse como serala Lacan a partir de la excepcin; ms precisamente, negando que la haya:

Vx:


h(x): x es hombre m{x): x es mortal s(x): x es Scrates

con las que se obtiene:Premisa i \/x: h(x) => m(x)

Premisa 2 Vx: s(x) h(x)

luego,

Conclusin Vx: s(x) => m(x)

El clculo se verifica entonces una vez que probamos que las dos premisas implican la siguiente frmula:

Vx: [s(x) => h(x)] a [h(x) => m(x)]

De este modo, la conclusin no es otra cosa que una consecuencia de la transitividad de la implicacin.

Para concluir esta seccin, podemos retomar los conceptos antes sugeridos de frmula cerrada y frmula abierta, para definirlos con mayor precisin21.

Una frmula se dice abierta cuando contiene variables libres, es decir: no cuantificadas.

Una frmula se dice cerrada cuando no es abierta.Se desprende dlo visto que existen bsicamente dos maneras

de cerrar una frmula y transformarla as en proposicin: asignar valores a cada una de sus variables, o bien cuantificarla.

13. l g e b r a d e c l a s e s

Para concluir este primer captulo, dedicaremos algunos prrafos a la denominada lgebra de clases, cuya opera toria es muy familiar para quien conozca la teora de conjuntos. Sin embargo, el tratamiento que se da aqu a las clases es abstracto; no se las piensa como colecciones de cosas sino directamente -tal como se propone en Encor- como letras. En rigor, las clases son elementos de un conjunto que se llama lgebra de Boole22, dotado de dos operaciones: la unin (u) y la interseccin (n). Por definicin existen, adems, dos clases especiales que se denominan clase vaca y clase universal, a las que denotamos respect-

21. No hay que confundir estos conceptos con ias nociones de conjunto cerrado y conjunto abierto que aparecen en la topologa (ver volumen 1).

22. Ver el Diccionario de trminos matemticos; de prxima publicacin.

54

N o c i o n e s b s ic a s d e l g ic a

vamente 0 y U. Finalmente, para cada clase a la existe su d a se complementaria a c de modo tal que valgan las siguientes reglas o axiomas:

1) Identidad a = a2) Tercero excluido a vj a c = U3) No contradiccin a n a c = 04) Interseccin con clase universal a n U = a5) Unin con clase nula a u 0 = a6) u y n son asociativas; es decir, para a, p, y cualesquiera vale(a u (3) u y = a u ((3 u y); (a n |3) n y = a n (|3 n y)7) u y n son conmutativas; es decir, para a, P cualesquiera valea u p = p u a ; a n p = (3 n a8) Leyes distributivas:(a u P) n y = (a n y) u (P n y);(a n P) u y = (a u y) n (P u y)

A partir de estas reglas se deduce fcilmente:9) Idempotencia de n a n a = a

En efecto, empleando la regla 4) y luego la 2) resulta que a = a n U = a n (a u a c)

Por la ley distributiva, usando luego 3) y 5) se deduce: a = (a n a) u (a n a c) = (a n a) u 0 = a n a

con lo que 9) queda probado. Una propiedad anloga se verifica para u :

10) Idempotencia d e u a \J a = aTambin valen las siguientes propiedades:

11) Unin con clase universal a u U = U12) Interseccin con clase nula a n 0 = 0

Por ejemplo, 11) puede comprobarse a partir de 2), empleando la asociatividad de u y su idempotencia:

a u U = a u (a u a c) = (a u a) u a c = a u a c = U De modo similar se obtiene 12).Otra propiedad importante es la unicidad del complemento,

que permitir a su vez demostrar otras cosas. Pero conviene preguntarse: qu significa que el complemento es nico? La respuesta no parece complicada: significa que para cualquier clase a existe slo una clase que verifica las propiedades expresadas por los

55

L g ic a y t e o r a d e c o n j u n t o s Pa b l o A m s t e r

axiomas 2) y 3). En rigor, dicha unicidad es la que permite hablar seriamente de el complemento; si hubiera ms de uno la definicin resultara ambigua. Aunque esto nos lleva a un proceder un tanto cuestionable (ver, por ejemplo, el Tractatus de Wittgens- tein), pero que es moneda corriente a la hora de probar unicidades: suponer que hay otro elemento p que satisface dichas propiedades, vale decir

c t u p = U, a n p = 0para concluir finalmente que p es forzosamente igual a a c. En otras palabras, que P no es otro sino que es el mismo. Por ejemplo, es fcil verificar que a c = a cu P = a cn p, y a partir de all resulta:

a cn Pc = (acn p) n p = a cn (p n pc) = a cn 0 = 0

En consecuencia,P = P u 0 = p u (acn pc) = (P u a c) n (p u Pc) = a cn U = a c

como queramos (realmente queramos?) demostrar.Valindose de esta propiedad, queda para el lector la tarea de

comprobar estas otras leyes:13) Doble negacin (ac)c = a14) Ley de De Morgan para u (a u P)c = a c n Pc15) Ley de De Morgan para n (a n P)c = a c u pc

Entre conjuntos se define la relacin de inclusin, cuya importancia se puso de manifiesto en el desarrollo de la lgica aristotlica. Como es de esperar, la idea puede reproducirse en este nuevo contexto algebraico de las clases, aunque eso plantea un problema: cmo definirla? Resulta sencillo decir que un conjunto A est incluido en otro conjunto B cuando todo elemento de A es elemento de B; sin embargo, la definicin algebraica de clase prescinde de los elementos y nos obliga a pensar en otra cosa.

5 6

N o c i o n e s b s ic a s d e l g ic a

l'elizmente, el diagrama parece darnos una buena clave: la re- j>in sombreada, que no es otra que el complemento de P, resul-l.i disjunta del crculo que representa a a . La causa de ello, justamente, es que la clase a est metida en P; eso nos permite idear la siguiente

Definicin: diremos que a est incluida en p (a c P) si y slo si se cumple que

a n Pc = 0Esto permite establecer las propiedades clsicas que debe cum

plir toda inclusin que merezca ese nombre (las demostraciones quedan como ejercicio):

16) Definicin de inclusin por u : ( a c p ) o ( a 0u p = U)17) 0 est incluido en toda clase: 0 c a18) Toda clase est incluida en la universal: a c U19) Transitividad de la inclusin: ( a c: p a p cz y) => a c y20) Antisimetra: ( a c p A P c a ) ^ a = P

Vale la pena mencionar que la ltima propiedad, pensada enel contexto de la teora de conjuntos, no expresa otra cosa que el afamado principio de extensionalidad, el mismo que brinda la manera ms convincente de probar la igualdad entre conjuntos23.

23. En efecto, el principio establece que "dos conjuntos que tienen la misma extensin son iguales. En otras palabras:Dos conjuntos son iguales si y slo si tienen los mismos elementos.Esto nos lleva a pensar en la famosa frase de Gide: de alguna forma, se trata de un Dos que se regocija de ser Uno. En el Seminario XIX, Lacan relaciona a la extensionalidad con la mismidad.

57

C a p t u l o 2

L a in d u c c i n m a t e m t ic a y e lSISTEMA DE PEANO

Segn hemos visto en el captulo previo, entre las distintas formas de razonamiento existe una muy frecuente, que permite construir leyes universales a partir de premisas particulares: la induccin. El procedimiento parece poco menos que mgico, pues multiplica nuestro saber acerca del mundo en forma sorprendente; sin embargo, es claro que una forma tan singular de obtener enunciados generales slo es aceptable en caso de que el universo sea finito, de tal suerte que las premisas contemplen un anlisis exhaustivo caso por caso. En cualquier otra situacin la induccin es necesariamente invlida, lo que provoca que muchas de las verdades de la ciencia deban ser tomadas como provisorias: no hay manera de ponerlas a salvo de una eventual excepcin capaz de hacerlas sucumbir.

Distinta situacin se presenta en una de las ms clsicas ramas de la Matemtica, aquella que se ocupa de los nmeros naturales y es conocida como Aritmtica. En efecto, veremos que es all posible formular leyes generales que se apoyan en la verificacin de unos pocos casos particulares; ms aun, en ocasiones basta con verificar apenas un caso, sin que se pierda por ello el rigor lgico. En realidad, todo el secreto de este proceder se basa

5 9


en un principio fundamental de los nmeros naturales, aunque hace algn tiempo se comprendi que no se trataba de un principio de tales nmeros sino ms bien de su definicin.

Comencemos justamente por el principio. Eso nos llevar a considerar un mtodo insinuado ya en su tiempo por los rabes, que ms tarde habra de revelar gran eficacia en las diestras manos del famoso Pierre de Fermat: el descenso infinito. Todo el mundo reconoce all una gran evidencia intuitiva; a grandes rasgos, el mtodo para probar que cierta propiedad P es verdadera para todos los nmeros naturales consiste en demostrar

(j) Si P es falsa para cierto nmero n, entonces es falsa

para algn nmero menor que n.

La validez del procedimiento no es difcil de vislumbrar si se piensa que, en caso de que P fuera falsa para algn nmero n, existira una secuencia decreciente de nmeros para los cuales la propiedad es falsa, y tal cosa es imposible en un conjunto como IN (nmeros naturales), en el que no hay manera de descender ad infinitum.

Para entender mejor la idea, conviene recordar el aspecto que tiene dicho conjunto, que suele escribirse en forma de sucesin:

o, i, 2, 3, 4,

Cabe sealar que cada uno de los nmeros, a excepcin del primero de ellos, puede definirse de un modo que parece algo zonzo: el siguiente del nmero inmediatamente anterior. As se tiene que

1 es el siguiente de o

2 es el siguiente de i

3 es el siguiente de 2

4 es el siguiente de 3

1. En este trabajo respetaremos la convencin ms difundida de considerar al o como un nmero natural, a pesar de su muchas veces denunciada falta de naturalidad

6 p

I ,A IN D U C C I N M A T E M T IC A Y E L S I S T E M A D E P E A N O

El o es el primero, no sigue a ningn otro, lo que nos permite ciarnos el lujo de afirmar la siguiente tautologa: dada una propiedad P, se cumple que

P es verdadera para todo nmero natural menor que o.

Esto es as, en efecto, pues el conjunto de nmeros naturales menores que cero no es otro que el conjunto vaco2. Podra decirse que a tan trivial afirmacin cabe aplicar la famosa atribucin queO. Wilde concede al arte, la de ser completamente intil; sin embargo, a nosotros nos servir para entender que si para P se comprueba el descensus Averni3 expresado en (i), entonces P tiene que ser verdadera para el o4. Por otra parte, observemos que si P cumple (i) entonces tambin cumple la regla siguiente:

(2) Si P es verdadera para todo nmero menor que n, entonces es verdadera para n.

En otras palabras, el mtodo de descenso infinito es consecuencia del denominado principio de induccin de los nmeros naturales, cuya evidencia no es menor:

2. La conclusin se obtiene a partir de la ley de la implicacin que vimos en el captulo previo: a grandes rasgos, a partir de una falsedad se deduce cualquier cosa. En el presente caso, la proposicin

n < o => P(n) es verdadera

es verdadera para todo nmero natural n, pues ningn nmero natural es menor que o. Aplicando la regla que vimos en la pgina 45, dicha implicacin es equivalente a la disyuncin

n > o v P(n) es verdadera.Esta ltima proposicin puede resultar algo ms evidente, pues su primer trmino (n > o) es verdadero para todo n.

3. La expresin latina cobra especial importancia en el cuento La carta robada, de Edgar Alian Poe.

4. Como antes, si P fuera falsa para el o, debera existir un nmero menor que o para el cual P es falsa, lo que es absurdo. Notemos que sin embargo es lcito afirmar:

P es falsa para todo nmero natural menor que o,

lo que nos pone ante aquel curioso hecho que mencionamos en la primera parte: una proposicin universal no permite deducir una particular.

6 l

LGICA Y TEO RA DE CONJUNTOS Pa b l o A m s t e r

P rincip io de induccin: si P es una propiedad que cumple (2), entonces P es verdadera para todos los nmeros naturales.

Puede probarse que en realidad este principio es equivalente al mtodo de Fermat; ms aun, ambos resultan equivalentes a otro, llamado a menudo de induccin completa. Se trata de la versin ms difundida de todas, cuyo empleo se remonta al matemtico medieval Mauryloco:

P rincipio de induccin (versin habitual): si P es una propiedad tal que

P es verdadera para el o,

y adems cumple

(3) Si P es verdadera que n, entonces es verdadera

para el siguiente de n, entonces P es verdadera para todos los nmeros naturales.

Para explicar este principio se suele apelar a una imagen ms bien literaria: supongamos un estante que sostiene cierto nmero de libros ordenados en fila, de modo que se cumple la siguiente regla:

(4) Si un libro se cae, el que est inmediatamente

a su derecha cae tambin.

Es correcto inferir de all que todos los libros van a caerse? Obviamente no, pues podemos perfectamente suponer una fila construida al amparo de la ley (4), en la que no todos los libros caen:

desm oronam iento" a partir de n = 5

Sin embargo, si nos dicen que el primero de los libros cae, entonces la regla nos permite decir:

Dado que el primero cae, el segundo cae tambin.

62

I,A INDUCCI N M ATEM TICA Y EL SISTEM A DE PEANO

Y as sucesivamente,dado que el segundo cae, el tercero cae tambin;

dado que el tercero cae, el cuarto cae tambin, hasta agotar el estante. Observemos que para llegar a esta conclusin, slo nos hizo falta informacin precisa sobre el primero tic los libros, y conocer la regla inductiva (4).

I ,a pregunta que cabe hacerse ahora es: qu ocurre cuando el estante es inagotable? Tal es el caso, precisamente, de los nmeros naturales, en donde la regla (3) indica que la veracidad de P para 1111 nmero n induce la veracidad de P para el siguiente de n.

P ( o ) P ( i ) -> P(2)1,0 que sigue parece ms bien una cuestin de confianza. Dado

que cae el primero de los nmeros, y que cada nmero empuja" al que viene despus, entonces cualquier nmero -ms tarde1) ms temprano- caer en algn momento. Sin embargo, como liemos comentado, no se trata de una confianza ciega en la cada de cada uno de los nmeros, sino que precisamente se define a los nmeros de modo que ello ocurra. Como expresa Russell,

En el pasado, el uso de la induccin m atem tica en las dem ostraciones era algo misterioso. Entonces, no pareca razonable dudar de que fuera un m todo conveniente de prueba, pero nunca se supo bien por qu tena validez. Algunos lo creyeron realmente un caso de induccin, en el sentido en que esta palabra se emplea en lgica. Poincar lo consideraba como un principio muy importante, por m edio del cual infinitos silogism os podan ser condensados en un nico argumento. Ahora sabem os que todas estas consideraciones son errneas, y que la induccin m atem tica es una definicin, no un principio3.

Cabe sealar el rol fundamental que tiene aqu la finitud: cuando Russell brinda su versin -con cierto sabor barrial- del principio,

lo que puede inferirse de vecino a vecino puede ser inferido del pri mero al ltimo,

5. B. Russell, 11946).

63


no demora en hacer la siguiente aclaracin:

Esto es verdadero cuando el nmero de pasos intermedios entre el primero y el ltimo permanece finito.

Esta afirmacin aparece sostenida en un sugestivo ejemplo:

Cualquiera que haya observado la partida de un tren de carga, habr notado cmo el impulso es comunicado, con una sacudida, por cada vagn al siguiente, hasta que el ltimo se pone en movimiento. Cuando el tren es muy largo, tambin es muy largo el tiempo transcurrido antes de que el ltimo vagn se ponga en movimiento. Si el tren fuera infinitamente largo, habra una sucesin de sacudidas y no llegara nunca el momento en que todo el tren entrase en movimiento.6

Puede demostrarse que el principio de induccin tambin es equivalente a otro enunciado muy popular y tanto o ms convincente:

Principio de buena ordenacin: todo conjunto no vaco de nmeros naturales tiene un primer elemento.

A modo de ejercicio, podemos mostrar la equivalencia entre este ltimo enunciado y alguna de las formas anteriores: en primer lugar, veamos que

Principio de buena ordenacin => Principio de induccin

Para ello, supongamos que cierta proposicin P cumple (2), y consideremos el conjunto S formado por todos los nmeros naturales para los cuales P(n) es falsa. Nuestra intencin, de lo ms honesta, es probar que S es vaco; podemos entonces suponer que no lo es y en consecuencia S tiene un primer elemento n. Precisamente a causa de tal primeridad, P tiene que ser verdadera para todo nmero menor que n, y por (2) se deduce que P es verdadera para n, lo que es absurdo. Queda probado, pues, que si vale el principio de buena ordenacin entonces tambin vale el de induccin.

6. ibid.

64

I.A IN D U C C I N M A T E M T I C A Y E L S IS T E M A D E P E A N O

Corresponde demostrar tambin la afirmacin recproca, esdecir

Principio de induccin => Principio de buena ordenacin

Consideremos ahora un conjunto S que tiene la desafortunada propiedad de no tener primer elemento, y la propiedad P dada por

P(n) = n no pertenece a S

Emplearemos la induccin para verificar que P es verdadera para todos los nmeros, lo que nos permitir concluir que S es vaco. Para ello debemos verificar el paso inductivo:

(2) Si P es verdadera para todo nmero menor que n,

entonces es verdadera para n.

Como antes, procederemos por el absurdo. Supongamos queI es verdadera para todo nmero menor que n (hiptesis inductiva), pero no es verdadera para n: en tal caso n pertenece a S, y por la hiptesis inductiva sabemos que

si k es menor que n, entonces k no pertenece a S.

Esto implica que n es el primer elemento de S, estableciendo una contradiccin con nuestro supuesto7.

La descripcin de EN como un conjunto inductivo da lugar a una magnfica idea, la de las definiciones por recurrencia. Qu c osa podra ser ms recurrente que el conjunto de nmeros naturales, en donde cada nmero, a excepcin del primero, recurre a su antecesor para formarse? Generalizando el mecanismo, podemos formar una infinidad de sucesiones recurrentes o re- cursivas, por ejemplo:

7. Como mencionamos anteriormente, es fcil comprobar tambin que la versin habitual del principio de induccin es equivalente a la otra, con lo cual se tiene que:P.de induccin o P.de buena ordenacin P.de induccin (versin habitual) Cabe aclarar que la equivalencia con la versin habitual se debe justamente a la definicin de los nmeros naturales. En realidad, el principio de induccin en la forma dada por la regla (2) vale para cualquier conjunto bien ordenado. La versin ms general del principio se denomina induccin transfini

214704179 amster apuntes matematicos para leer a lacan 2 logica y teoria de conjuntos (1)

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