apuntes estadistica aplicada a la ingenieria 9 (1)

Porras & Snchez

APUNTES DE ESTADSTICA APLICADA A LA INGENIERA CIVIL

Tercera Edicin

Apuntes de Estadstica Aplicada A La Ingeniera Civil - Porras & Snchez

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APUNTES DE ESTADSTICA APLICADA A LA INGENIERA CIVIL

Texto gua exclusivo para el estudiante de la asignatura de Estadstica

Aplicada A la Ingeniera - 24095 Grupos: O1, H1, K1

Docentes:

Ing. Hernn Porras Daz, M.Sc, Ph.D.

Ing. Omar Giovanny Snchez Rivera

Universidad Industrial de Santander

Escuela de Ingeniera Civil

Grupo de Investigacin de Geomtica, Gestin y optimizacin de sistemas

Asignatura de Estadstica Aplicada a La Ingeniera

Bucaramanga, enero de 2014


3

Importancia de la Estadstica en la Ingeniera

Un ingeniero es alguien que cumple una importante funcin en la sociedad que consiste en la

aplicacin de los principios de la ciencia para la formulacin de problemas y/o soluciones

enfocados a la satisfaccin de las necesidades del entorno al cual pertenece. Este proceso de

formular y dar solucin a un problema se encuentra ligado a un conjunto de pasos en los cuales se

encuentra fundamentado el mtodo cientfico o mtodo de la ingeniera que puede resumirse

como:

1. Observacin: Mirar con atencin y recato el comportamiento del fenmeno a estudiar.

2. Induccin: Obtener conclusiones generales, identificar las variables que pueden jugar un

papel en la solucin.

3. Hiptesis: Proponer un modelo apoyado en postulados cientficos que apliquen a la situacin

de inters.

4. Prueba de la hiptesis: Con la utilizacin del modelo propuesto realizar un proceso de

experimentacin realizando los ajustes necesarios para mejorar su semejanza con la realidad.

5. Demostracin o refutacin de la hiptesis: Verificar que los resultados obtenidos son

coherentes con la realidad estudiada.

6. Teora cientfica o tesis: Generar conclusiones basadas en los resultados obtenidos de la

simulacin procurando la solucin del problema.

En el proceso de la aplicacin del mtodo cientfico el ingeniero deber entonces realizar una

toma de datos que luego deber analizar para encontrar una relacin con una teora cientfica o

tendencia y as poder formular un modelo el cual puede consistir en un conjunto de expresiones

matemticas que permiten describir la situacin analizada finalmente realizar una simulacin y

obtener las respectivas conclusiones. Puede inferirse entonces que al momento de realizar las

acciones descritas se deber hacer uso de la matemtica en sus diferentes reas.

La ciencia de las matemticas puede considerarse como una caja herramientas en la cual se

encuentran disponibles gran variedad de herramientas con diferentes aplicaciones y

complejidades, una de estas herramientas es la Estadstica.

La Estadstica aparece de la necesidad de entender y describir la variabilidad que se presenta en

la naturaleza de un parmetro de inters un claro ejemplo puede citarse en el estudio del caudal

de un rio donde su variabilidad con respecto tiempo resulta de gran importancia al momento del

diseo de una estructura para captacin de agua

La variables de inters para el ingeniero varan de acuerdo a su campo de accin un ejemplo de

esta afirmacin puede observarse en el campo de la Ingeniera Civil que tiene diferentes

escenarios de actuacin el Ingeniero Hidrulico estar interesado en el estudio del caudal de un

rio con el objetivo del suministro del lquido a una red de acueducto, el Ingeniero Estructural se


4

interesara por la resistencia a la compresin del concreto utilizado en la construccin de una

columna, el Ingeniero de Transportes por la cantidad de vehculos en las horas pico en una zona

alta congestin vehicular, El Ingeniero De Pavimentos por la cantidad de vehculos que transitan y

carga que estos ejercen sobre la estructura de pavimento a analizar.

Las necesidades del entorno pueden llegar a ser tan simples como estudiar la estatura de los

estudiantes presentes en un aula de clase, pero no todas las situaciones analizadas son simples

esto puede observarse en el estudio de los fenmenos climticos donde a la actualidad existe

serias complicaciones para lograr una prediccin exacta de los potenciales desastres.


5

1. Estadstica descriptiva

Una parte importante de la estadstica es la Estadstica Descriptiva esta se ocupa de la recolectar,

analizar y representar un conjunto de datos con la finalidad de realizar una descripcin de las

caractersticas de este.

La estadstica descriptiva consta de dos partes como se observa en el siguiente diagrama.

Por lo general las observaciones son una parte de un conjunto de datos correspondiente a la

variable de inters, lo que se conoce como muestra que se considera como un subconjunto que

se encuentra contenido en el conjunto correspondiente a la poblacin en la siguiente imagen

puede observarse tal situacin.

Un ejemplo de un conjunto correspondiente a una poblacin podra verse en los alumnos de un

curso de estadstica donde una muestra de tal conjunto ser un grupo de estudiantes de tal curso.

Estadstica descriptiva numrica

1. Media o promedio aritmtico

Tambin conocida como promedio aritmtico es una medida de tendencia central que puede

obtenerse mediante el clculo de un promedio ponderado este valor no necesariamente coincide

con el de la moda y mediana.

La media de un conjunto de datos representa el valor esperado es decir el valor ms probable a

obtener en uno de los elementos del conjunto analizado.

Definicin

La media muestral para un conjunto n observaciones denotadas como 1, 2 . se define

como:

Estadstica Descriptiva

Grafica Numrica


6

= =1

=1 + 2 + .+

Donde n representa el tamao del conjunto correspondiente a la muestra.

2. Moda.

Valor que ms se repite en la muestra analizada, la moda podra interpretarse como el dato con

mayor frecuencia relativa absoluta presente en un conjunto de datos analizados, el conjunto de

datos puede contar con una o ms modas pero tambin puede suceder el caso en que ningn

dato se repita entonces se dice que dicho conjunto no tiene moda.

3. Mediana.

Es el valor que se encuentra en posicin central de los datos ordenados de menor a mayor el cual

su a su vez corresponde con el percentil 50 (P50) es decir el 50% de los datos tienen un valor

inferior a la mediana y el 50% un valor superior.

La mediana coincide con el valor del segundo cuartil (Q2)

4. Rango

=

5. Varianza

() = 2 =( )

2

( 1)

6. Desviacin Estndar

= () = 2

= ( )2

( 1)

7. Coeficiente de variacin

=

8. Coeficiente de asimetra


7

1 =

( )3

=13

Caracteriza el grado de asimetra con respecto a su media

Valor positivo: Distribucin unilateral que se extiende hacia valores ms positivos

Valor negativo: Distribucin unilateral que se extiende hacia valores ms negativos

9. Coeficiente de curtosis

Es un coeficiente que permite caracterizar el grado de elevacin o el achatamiento relativo de una

distribucin, comparada con la distribucin normal

Valor positivo: Es indicador de una distribucin relativamente elevada

Valor negativo: Es indicador de una distribucin relativamente plana

2 =

( )4

=14

Ejemplo 1.1

Una clase de estadstica consta de 56 alumnos, para explicar el tema de estadstica descriptiva el

docente elige a un grupo de 16 estudiantes los cuales pueden asumirse como una muestra

representativa en el estudio de la estatura de los estudiantes del grupo, los valores obtenidos para

la estatura en metros de estos 16 estudiantes son los siguientes:

1.79 1.60 1.82 1.61 1.72 1.76 1.74 1.65

1.61 1.68 1.66 1.74 1.81 1.74 1.76 1.83

Realizar un anlisis de estadstica descriptiva para la estatura de los estudiantes de estadstica.

1. Media o promedio aritmtico

Aplicando la frmula 1.1. se obtiene:

=1.79 + 1.60 + 1.82 + 1.61 + 1.72 + .+1.74 + 1.76 + 1.83

16


8

= 1.72 []

Como puede observarse el valor promedio es un valor al que todos los valores se encuentran

relativamente cerca, en el caso de preguntar el valor de la estatura a un estudiante de este grupo

el valor esperado ser de 1.72 [m]. El concepto de valor esperado se desarrollara en la seccin de

probabilidad.

2. Moda

Es el dato que ms se repite dentro del conjunto de datos de la muestra

= 1.74 []

3. Mediana

Ordenando los datos del menor valor al mayor valor se tiene:

1.59 1.60 1.61 1.65 1.66 1.68 1.72 1.74 1.74 1.74 1.76 1.76 1.79 1.81 1.82 1.83

Se tiene el caso de un tamao de la muestra par n=16, el promedio aritmtico de los datos de la

mitad es:

=1.74 + 1.74

2= 1.74 []

4. Rango

= 1,83 []

= 1.59 []

= 1.83 1.59 = 0.24 []

5. Varianza

() =(1.79 1.72)2 + (1.60 1.72)2 ++ (1.76 1.72)2 + (1.83 1.72)2

16 1

() = 0.0059

6. Desviacin Estndar

= () = 0.0059 = 0.0767 []

7. Coeficiente de variacin


9

==0.0767

1.72= 0.0446

8. Coeficiente de asimetra

1 =

(1.79 1.72)3 + (1.60 1.72)3 .+(1.76 1.72)3 + (1.83 1.72)3

160.07673

1 =

0.00132216

0.07673= 0.1831

9. Coeficiente de curtosis

2 =

(1.79 1.72)4 + (1.60 1.72)4 .+(1.76 1.72)4 + (1.83 1.72)4

160.07674

2 =

0.00050116

0.07674= 0.9048


10

2. Anlisis de frecuencias

Un anlisis de frecuencias resulta importante en el momento de realizar una descripcin de la

distribucin de los valores numricos de los datos de una muestra en intervalos de clase definidos

segn la necesidad del estudio realizado

Para el clculo del nmero de intervalos de clase se tienen en cuenta las siguientes expresiones.

- Para muestras de gran cantidad de datos

= ; :

- Para muestras de cantidad de datos moderada (Formula de Sturges)

= 1 + 3.3 (); :

Se debe recordar que el nmero de intervalos ser una valor entero por tanto este deber

aproximarse segn reglas de aproximacin.

Este nmero de intervalos puede ser asumido aleatoriamente segn la necesidad del anlisis

Ejemplo:

Se estudia la respuesta dinmica en la direccin paralela al viento de construcciones con formas

angulosas durante el paso del Huracn Sandy edificaciones ubicadas en regiones costeras de

Carolina Del Norte en las que pueden suponerse el primer modo o modo fundamental de vibracin

como dominante, para esto se realizan mediciones del factor de rfaga del viento el cual es

funcin de varios parmetros de entre los cuales el ms significativo es la velocidad del viento.

Una muestra representativa de los datos obtenidos es la siguiente:

2.08 1.81 2.14 2.09 2.14 1.67 2

1.73 2.35 2.28 1.26 1.42 2.39 1.16

1.26 2.17 1.58 2.45 2.29 1.45 2.08

1.1 1.65 2.33 1.56 1.24 1.68 2.38

2.28 2.04 2.45 2.17 1.87 2.46 2.27

Realizar un anlisis de Frecuencias para los datos del factor de rfaga del viento durante el paso

del huracn Sandy

Solucin:

Para comenzar se calcula el nmero de intervalos de clase para el respectivo anlisis en este caso

se utiliza el radical del nmero de datos en la muestra.


11

= = 35 = 5.92 6

Se calcula el ancho del intervalo para lo cual se tiene en cuenta el rango:

= = 2.460 1.100 = 1.360

=

=1.360

6= 0.226667

El inicio el primer intervalo deber ser el valor mnimo en la muestra y el final del ultimo intervalo

ser el valor mximo de los datos presente en la muestra, esto puede observarse en la tabla de

anlisis de frecuencia que se muestra

Intervalo de clase

Intervalo Frecuencia Absoluta

Frecuencia Absoluta Acumulada

Frecuencia Relativa

Frecuencia Relativa

Acumulada Inicio Fin

1 1.100 1.327 5 5 0.143 0.143

2 1.327 1.553 2 7 0.057 0.200

3 1.553 1.780 6 13 0.171 0.371

4 1.780 2.007 3 16 0.086 0.457

5 2.007 2.233 8 24 0.229 0.686

6 2.233 2.460 11 35 0.314 1.000

Suma 35 1.000

La frecuencia absoluta se interpreta como el nmero de datos que se encuentran en el intervalo

de clase al que corresponda. Debe observarse que la suma de estas frecuencias deber ser el

mismo valor que el tamao de la muestra de lo contrario se habr cometido un error.

La frecuencia relativa se interpreta como la proporcin de datos que se encuentran en el

intervalo de clase esta puede obtenerse de la divisin de la frecuencia absoluta sobre el nmero

de datos en la muestra, la suma de las frecuencias relativas deber ser de uno.

Los histogramas del anlisis se observan a continuacin,


12

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6

Fre

cue

nci

a A

bo

luta

Intervalo De Clase

Histograma de Frecuencia Absoluta

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1 2 3 4 5 6

Fre

cue

nci

a A

bo

luta

Intervalo De Clase

Histograma Frecuencia Relativa Acumulada

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6

Fre

cue

nci

a A

bo

luta

Intervalo De Clase

Histograma Frecuencia Absoluta Acumulada


13

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

1 2 3 4 5 6

Fre

cue

nci

a A

bo

luta

Intervalo De Clase

Histograma Frecuencia Relativa


14

3. Diagrama de tallos y hojas.

Un diagrama de tallos y hojas permite obtener una distribucin de frecuencias y una representacin grfica de la dispersin de una variable analizada. Se utiliza cuando se cuenta con una muestra de tamao moderado, los pasos para la elaboracin de un diagrama de tallos y hojas son:

1. Seleccionar los dgitos que son convenientes para el tallo, se recomienda que el diagrama cuente con al menos 5 tallos para facilitar la visualizacin del comportamiento de los datos.

2. Elaborar una lista de los valores del tallo en una columna vertical. 3. Clasificar las hojas de acuerdo al tallo que correspondan.

Para los conjuntos de datos con una alta dispersin se recomienda el uso de un software.

Ejemplo:

En la construccin de una edificacin de vivienda se estudia la estatura de un conjunto de 30 trabajadores con el objetivo de analizar las tallas de la ropa de trabajo. Los datos obtenidos para la estatura en metros luego de una medicin cuidadosa son los siguientes.

Estatura [m]

1.85 1.49 1.70 1.79 1.69 1.79 1.63 1.73 1.61 1.68

1.68 1.65 1.60 1.65 1.72 1.72 1.60 1.91 1.78 1.58

1.68 1.60 1.78 1.83 1.74 1.73 1.69 1.75 1.67 1.55

Elaborar un diagrama de un diagrama de tallos y hojas para la estatura de los trabajadores

Solucin:

Son tres cifras significativas con las que se realiz la medicin, para el tallo se define las dos primeras cifras significativas y se clasifican la hojas segn corresponda. Se calculan los valores mximo y mnimo para elaborar la lista de los tallos.

= 1.49 []

= 1.91 []

Tallo Hojas Frecuencia

14 9 1

15 8 5 2

16 9 3 1 8 8 5 0 5 0 8 0 9 7 13

17 0 9 9 3 2 2 8 8 4 3 5 11

18 5 3 2

19 1 1

Total 30


15

4. Probabilidad

El estudio de la probabilidad comienza en la antigedad con los juegos de azar algunos

historiadores coinciden que los asirios y sumerios utilizaban un hueso del taln de las ovejas el

cual tallaban de tal manera que este tuviera la posibilidad de caer en cuatro posiciones diferentes

para realizar apuestas basadas en la posicin final del hueso luego de un lanzamiento. Comienza

el estudio por parte de los apostadores sobre la posibilidad de obtener las diferentes posiciones

luego del lanzamiento y con esto tener una ventaja al momento de realizar la apuesta. Por estas

razones los asirios y sumerios son considerados como los precursores del dado.

En los tiempos del imperio romano los juegos relacionados con dados se practicaban con gran

fervor uno de estos juegos conocido como hazard lo que traduce en ingls y francs riesgo o

peligro entonces el termino se convierte en azar que fue introducido en Europa con la tercera

cruzada.

En la actualidad los juegos de azar aparecen en distintas formas juegos de cartas, juegos de

dados, ruletas, maquinas traga monedas, loteras, dominos etc. El estudio de la probabilidad deja

de ser nico para los juegos de azar y pasa a tener gran variedad de aplicaciones en las distintas

ramas del conocimiento.

De los ms notables estudiosos que emprendieron el estudio de la teora de la probabilidad se

encuentran importantes matemticos como Pierre Fermat y Blaise Pascal que comenzaron a

trabajar sobre algunos problemas relacionados con los juegos de azar, para luego llegar a

formular una discusin sobre la creencia en Dios basada en probabilidades.

El trmino de la probabilidad en ocasiones suele presentarse en palabras no tan formales un

ejemplo para este tipo de frase podra ser Es muy posible que todos los estudiantes del curso

aprueben la asignatura, entonces alguien curioso puede preguntar Qu tan posible puede ser

este fenmeno? Para responder este tipo de pregunta se hace necesario dar un valor numrico

para determinar el grado de posibilidad es por ello que en esta seccin y en las siguientes se

estudiaran diferentes mtodos y procedimientos para calcular dichos valores.

Es posible que el estudiante de ingeniera en este momento piense que el presente capitulo est

orientado a formar apostadores en potencia, lo cual sera errneo dado que la teora de la

probabilidad tiene una gran aplicacin en las distintas ramas de la ingeniera un ejemplo de esto

es el ingeniero encargado del diseo de obras civiles que deber tener presente la probabilidad de

que se presente un evento climtico extremo tal como una rfaga de viento con altas velocidades

que puede resultar fatal para una estructura.

4.1 Espacio Muestral

Para el estudio de un parmetro de inters generalmente se hace necesaria la realizacin de un

experimento con la finalidad de obtener un patrn o tendencia del fenmeno a partir de los

resultados obtenidos,


16

Cuando se enuncia la palabra experimento puede pensarse en un laboratorio con los equipos

necesarios para las pruebas y personas calificadas encargadas de la interpretacin y toma de los

resultados, pero no siempre se da tal situacin se define entonces un experimento cualquier

accin o proceso cuyo resultado se encuentra sujeto a la incertidumbre.

Un experimento puede ser tan simple como lanzar un dado y estar interesado en la numeracin

obtenida, los posibles resultados para este experimento sern {1,2,3,4,5,6}, puede deducirse que la

variabilidad del parmetro de inters se encontrara sujeta a los posibles resultados que puedan

presentarse en este caso seis.

__________________________________________________________________________

Definicin:

El espacio muestral de un experimento se define como el conjunto de todas las posibles

respuestas que puedan obtenerse en dicho experimento.

La notacin del conjunto se realiza con la letra "", que se adopta de la traduccin en idioma

ingles Space

__________________________________________________________________________

Ejercicio 4.1:

Obtener el espacio muestral de un experimento que consiste en lanzar un dado

Solucin:

El conjunto de los posibles resultados que pueden obtenerse son:

= {1,2,3,4,5,6}

Grficamente,


17

Ejercicio 4.2:

Considere un experimento que consiste en lanzar una moneda y luego un dado obtener todos los

elementos del espacio muestral que corresponde a este experimento

Solucin:

El diagrama que se muestra a continuacin se conoce como diagrama de rbol, este tipo de

diagrama resulta de gran utilidad en el anlisis de problemas complejos de probabilidad

Se puede observar que en el primer nodo se representa el lanzamiento de la moneda por lo tanto

el nmero de ramas de salen son dos que corresponden al nmero de posibles resultados, para el

caso del lanzamiento del dado el nmero de ramas son seis, por tanto el nmero de ramas que

salen de un nodo es el mismo que posibilidades haya.

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3,

4, 5, 6}

2.2. Evento.

En el estudio de la probabilidad de cierto parmetro de inters generalmente se est interesado en

un conjunto de resultados que se encuentran contenidos en el espacio muestral, los cuales

cumplen ciertas caractersticas.

__________________________________________________________________________

Definicin


18

Un evento es un subconjunto de resultados contenido en el espacio muestral "", existen dos

clases de eventos:

Evento simple: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con un nico

elemento es decir un evento de un nico resultado.

Evento compuesto: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con ms de un

elemento es decir un evento con varios resultados posibles.

__________________________________________________________________________

Ejemplo:

Considere el evento de obtener un mltiplo de dos al lanzar un dado. Bosquejar el subconjunto

correspondiente.

Solucin:

= {2,4,6}

4.3. Relaciones de la teora de conjuntos

4.3.1. Interseccin:

Sean dos eventos A y B,

La interseccin de A y B se lee A interseccin B y se denota como " " da como resultado

un evento que consiste en los resultados que estn contenidos tanto en A como en B en la

grfica se observa la regin sombreada que pertenece tanto a A como a B


19

4.3.2. Unin:

Sean dos eventos A y B,

La unin de A y B se lee A unin B que se denota como " " da como resultado un evento

que consiste en los resultados que estn contenidos ya sea en A o en B por tanto la unin

incluye resultados para los que ocurren tanto A como B as como los resultados para los cuales

ocurren exactamente uno, esto puede observarse grficamente como sigue:

4.3.3. Complemento:

Sea A un evento

El complemento de A se lee A complemento y se denota como "" da como resultado un

evento que contiene todos los resultados del espacio muestral a excepcin de los que se

encuentran contenidos en el evento A


20

Ejercicio 4.3

Considere el experimento que consiste en lanzar un dado con los siguientes eventos

:

:

Calcular " ", " ", ""

Solucin

Los elementos de los eventos son:

= {2,4,6}

= {3,6}

El diagrama de Venn que representa la situacin planteada es como se muestra:

Del diagrama se puede observar que:

= {6}

= {2,3,4,6}

= {1,3,5}

4.4 Definicin de probabilidad

__________________________________________________________________________

Definicin de probabilidad

Como se vio anteriormente en un experimento se puede llegar a uno de los "" resultados

contenidos en el espacio muestral "", sea "" un evento con "()" resultados posibles la

probabilidad de ocurrencia de "" se define como:

() =()

La probabilidad de A "()", puede ser expresada como una fraccin, como un porcentaje o como

un nmero decimal.


21

__________________________________________________________________________

Ejercicio 4.4

Considere el experimento de lanzar un dado y el evento "" de obtener un nmero mltiplo de

dos, calcular la probabilidad de ocurrencia del evento "".

Solucin:

:

= {2,4,6}

() =()

=3

6=1

2

() =1

2= 0.5 = 50%

Ejercicio 4.5

Una consultora de proyectos de ingeniera civil ha licitado en tres proyectos Sea =

{ }, para = 1,2,3 y suponga que (1) = 0.165, (2) = 0.200, (3) = 0.315,

(1 2) = 0.030, (1 3) = 0.035, (2 3) = 0.040, (1 2 3) = 0.01, Calcular:

a) La probabilidad de que a la consultora le sean otorgados los proyectos 1 o 2.

b) La probabilidad de que a la consultora le sean otorgados los proyectos 1 y 2.

c) La probabilidad de que le sea otorgado a lo ms el proyecto 3.

Sugerencia: Recordar que la probabilidad del espacio muestral es uno. () = 1

Solucin:

Para la resolucin del problema planteado es necesario hacer uso del conocido Diagrama de Venn

que para el caso analizado se observa en la siguiente figura.


22

Las letras corresponden a variables con las cuales se plantearan las ecuaciones que permitan dar

solucin al problema propuesto, las ecuaciones son formuladas de acuerdo a las condiciones

suministradas por el enunciado.

() = . + + + = 0.165

() = . + + + = 0.200

() = . + + + = 0.315

( ) = . + = 0.030

( ) = . + = 0.035

( ) = . + = 0.040

( ) = . = 0.01

() = + + + + + + + = 1

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:

Solucin a)

() = + + + + + = .

Solucin b)

( ) = + = .


23

Solucin c)

() = + = .

Ejercicios conjuntos y probabilidad

1. Encuentre la probabilidad de que en el lanzamiento sencillo de un dado resulte un nmero

menor que 5.

Respuesta: 2/3 = 0.666667 = 66.6667%

2. En una urna se tienen 8 bolas de las cuales 4 son rojas, 2 son verdes y 2 son azules. Se saca

1 bola al azar, determine:

a) La probabilidad de sacar una bola roja. Respuesta: 4/8

b) La probabilidad de sacar una bola azul. Respuesta: 2/8

c) La probabilidad de sacar una bola verde. Respuesta: 2/8

d) La probabilidad de sacar una bola azul o una bola verde. Respuesta: 0.5 = 50%.

e) Se sacan 2 bolas simultneamente, determine la probabilidad de sacar una bola azul y una

bola roja. Respuesta: 2/7

3. Un dado se lanza dos veces. Encuentre la probabilidad de sacar un 2 y un 5, sin importar el

orden de obtencin.

Respuesta: 1/18 = 0.05556 = 5.556%

4. El acueducto de cierta ciudad ofrece una tasa subsidiada a cualquier familia cuyo consumo de

agua sea menor que cierta cantidad durante un determinado mes. Sea A el evento en el que

una familia elegida al azar, en cierta comunidad no rebasa el consumo subsidiado durante

Agosto, y sea B el evento anlogo para el mes de Octubre (A y B se refieren a la misma

familia). Supngase que P(A)=0.6, P(B)=0.8 y P(AUB)=0.9. Calcule P(AB) .

Respuesta: 0.5 = 50%.

5. Se elige al azar un alumno de cierto curso de estadstica sea A el evento en el que el

estudiante utiliza una tarjeta de crdito VISA y B el evento anlogo para una MasterCard.

Suponga que P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(AB)=0.25

a) Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga al menos una de las dos tarjetas

Respuesta: 0.65

b) Cul es la probabilidad de que el individuo seleccionado no tenga ninguna de estas tarjetas?

Respuesta: 0.35


24

c) Cul es la probabilidad de que el alumno seleccionado tenga una tarjeta visa pero no una

Mastercad?

Respuesta: 0.25

6. En una determinada localidad residencial, el 40% de los hogares tienen televisor pero no radio,

el 10% de los hogares tienen radio pero no televisor y el 35% tiene televisor y radio. Determine

la probabilidad de que tenga al menos uno de los Aparatos electrnicos.


7. Segn el ejercicio anterior, determine la probabilidad de que no tenga televisor ni radio.


8. Una consultora de proyectos de ingeniera civil ha licitado en tres proyectos Sea =

{ }, para = 1,2,3 y suponga que (1) = 0.22, (2) = 0.25, (3) = 0.28,

(1 2) = 0.11, (1 3) = 0.05, (2 3) = 0.07, (1 2 3) = 0.01, Calcular:

a) La probabilidad de que a la consultora le sean otorgados los proyectos 1 o 2.

Respuesta: 0.360

b) La probabilidad de que a la consultora le sean otorgados los proyectos 1 y 2.

Respuesta: 0.110

c) La probabilidad de que le sea otorgado a lo ms el proyecto 3.

Respuesta: 0.640

d) La probabilidad de que no se le otorgue ningn proyecto a la consultora.

Respuesta: 0.470

9. Se realiza una encuesta entre 250 estudiantes de una reconocida universidad para analizar el

medio de transporte que estos utilizan para llegar al claustro universitario los resultados fueron

los siguientes:

Medio No. Estudiantes

Automvil 58

Motocicleta 68

Bus 83

Automvil y Motocicleta 27

Motocicleta y Bus 16

Automvil y Bus 23

Automvil, Bus y Motocicleta 12

Calcular:

a) El nmero de estudiantes que utilizan nicamente Bus.


25

b) El nmero de estudiantes que no utilizan ninguno de los medios de transporte descritos. c) El porcentaje de estudiantes que utilizan nicamente Motocicleta.

d) El porcentaje de estudiantes que utilizan Automvil y Motocicleta pero no Bus.

e) El nmero de estudiantes que utilizan Automvil o Motocicleta pero no Bus.

Respuesta: a) 56 b) 95 c) 14.8% d) 6.0% e) 72

10. Suponga que cierto ingeniero civil residente de obra en el proyecto de la construccin de un

colegio estudia los eventos A, B, C acerca del dao en una de las gras empleadas en el

proyecto, suponga los siguientes eventos.

= { }

= { }

= { }

Con probabilidades de ocurrencia.

() = 0.21, () = 0.65, () = 0.38, ( ) = 0.1, ( ) = 0.03, ( ) = 0.17,

( ) = 0.02,

a) Calcular la probabilidad de que el equipo haya fallado por mal manejo por parte del operario y

mala calidad del equipo.

b) Calcular la probabilidad de que el equipo haya fallado por mal manejo por parte del operario o

mala calidad del equipo.

c) Calcular la probabilidad de que el equipo haya fallado por mal manejo por parte del operario o

mala calidad del equipo pero no porque el equipo excede el tiempo de vida til.

d) Cul es la probabilidad de que el equipo haya fallado por una causa diferente a A, B y c?

e) Cul es la probabilidad de que el equipo haya fallado nicamente por mala calidad del

equipo?

Respuesta: a) b) c) d) e)

11. En un estudio sobre la falla de estructuras de pavimento se tienen los siguientes eventos con

probabilidades de ocurrencia:

A = {Falla en la carpeta asfltica} B = {Falla una capa granular} C = {Falla en la subrasante}

p(A) = 0.265000; p(B|A) = 0.0943396; p(B|A) = 0.408163; p(C|A B) = 0.400000

p(C|A B) = 0.533333; p(C|A B) = 0.916667; p(C|A B) = 0.804598

a) Calcule la probabilidad de que falle la carpeta asfltica dado que hubo fallas en la subrasante y en la capa granular.

b) Calcule la probabilidad de que se presente falla nicamente en la carpeta asfltica. c) Calcule la probabilidad de que fallen la subrasante y la carpeta asfltica pero no la capa

granular.


26

Sugerencia: Recuerde que:

p(|B) =( )

()

Respuesta: a) 0.058824 b) 0.020000 c) 0.220000

12. En cierto experimento estadstico se lanza un par de dados.

a) Calcule la probabilidad de obtener un puntaje de siete. b) Un valor mltiplo de seis.

Respuesta: a) b) c)

13. Se lanza tres veces una moneda.

a) Calcule la probabilidad de obtener dos caras y un sello.

b) Calcule la probabilidad de obtener solo caras o solo sellos.

Respuesta: a) b) c)

14. Se lanza un dado y dos veces una moneda.

a) Calcule la probabilidad de obtener dos caras y un nmero par. b) Calcule la probabilidad de obtener una cara y un sello y un nmero mltiplo tres en el dado. c) Si no se lanza el dado y se lanza 4 veces la moneda cual es la probabilidad de obtener a lo

ms dos caras.

Respuesta: a) b) c)

15. Con el objetivo de analizar la salud de los ingenieros civiles de una reconocida firma

constructora, se realiza un estudio donde se evalan distintos factores que contribuyen a la

buena salud de los ingenieros. Uno de los factores que se analiza est relacionado con la

cantidad de ejercicio fsico que el ingeniero realiza, suponga los siguientes eventos con

probabilidades de ocurrencia.

= { }

= { }

= { }

() = 0.16, () = 0.17, () = 0.13, ( ) = 0.03, ( ) = 0.02, ( ) = 0.04, (

) = 0.01

Si se selecciona al azar un ingeniero de la firma constructora, calcular:

a) La probabilidad de que practique algn deporte pero no realice actividad cardiovascular al aire

libre.

b) La probabilidad de que nicamente realice actividad cardiovascular en gimnasio.

c) La probabilidad de que a lo ms practique algn deporte.

d) (( ) ), explicar la interpretacin del resultado.


27


Respuesta: a) 0.090000 b) 0.120000 c) 0.700000 d) 0.25

16. Se realiza un estudio entre la comunidad estudiantil del pregrado de ingeniera civil en una

reconocida universidad sobre la marca de aparatos celulares que alguna vez han tenido los

estudiantes, suponga los siguientes eventos con probabilidades de ocurrencia.

= { }

= { }

= { }

() = 0.287, () = 0.410, () = 0.252, ( ) = 0.120, ( ) = 0.067, ( ) = 0.082,

( ) = 0.015

Si se selecciona al azar un estudiante de ingeniera civil, calcular:

a) La probabilidad de que el estudiante haya tenido un celular marca Apple o marca Samsung

pero no uno marca Blackberry.

b) La probabilidad de que el estudiante haya tenido a lo ms una de las marcas de celular

mencionadas en los eventos A, B, y C.

c) La probabilidad de que el estudiante haya tenido a lo menos dos de las marcas de celular

mencionadas en los eventos A, B, y C.

d) (( ) ), explicar la interpretacin del resultado.


Respuesta: a) b) c) d)

17. Cierto estudiante de ingeniera es conocido entre sus compaeros por sus eficientes tcnicas

de conquista aplicadas a las chicas de su facultad, suponga los siguientes eventos y

probabilidades de ocurrencia:

= { }

= { }

= { }

() = 0.265000; (|) = 0.0943396; (|) = 0.408163; (| ) = 0.400000

(| ) = 0.533333; (| ) = 0.916667; (| ) = 0.804598

a) Calcule la probabilidad de que el estudiante conquiste a una chica de la facultad. b) Una chica de intercambio acadmico afirma que el estudiante le regalo chocolates, cul es la

probabilidad de que el estudiante la conquiste? c) Una estudiante de Ingeniera Industrial afirma que el estudiante le regalo chocolates pero no la

invito a salir, cul es la probabilidad de que conquiste a la estudiante de ingeniera industrial? d) Calcule la probabilidad de que el estudiante conquiste a una chica a la cual invito a salir.

Respuesta: a) 0.740000 b) 0.867925 c) 0.916667 d) 0.229729


28

18. Los ingenieros residentes de obra, pertenecientes a una constructora de edificaciones de vivienda, resultan ampliamente beneficiados con la tecnologa, uno de los problemas en la construccin de una edificacin es la visualizacin de los planos en la obra. En la actualidad con equipos informticos es posible la modelacin y visualizacin de modelos tridimensionales detallados elaborados con tecnologas BIM (building information modeling). Se sabe que el 38% de los ingenieros utiliza computador, si un ingeniero utiliza computador la posibilidad de que utilice tableta es de 13.16%, si un ingeniero no utiliza computador la posibilidad de que utilice tableta es de 25.81%, la probabilidad de que un ingeniero utilice el celular dado que utiliza computador y tableta es de 60%, la probabilidad de que un ingeniero utilice el celular dado que no utiliza computador y utiliza tableta es de 75%, si un ingeniero utiliza computador y no utiliza tableta la posibilidad de que utilice celular es de 48.48%, si un ingeniero no utiliza computador y no utiliza tableta la posibilidad de que utilice celular es de 47.83%. Suponga que en la constructora laboran 47 ingenieros como residentes de obra, calcule: a) El nmero de ingenieros que utilizan a los ms uno de los equipos descritos. b) El nmero de ingenieros que utilizan a lo menos dos de los equipos descritos. c) El nmero de ingenieros que utilizan computador o tableta si se sabe que no utilizan

celular. Respuesta: a) 31.49 31 [] b) 15.51 16 [] c) 23 []

5. Tcnicas de conteo

5.1. Regla del producto

La regla del producto se aplica cuando se analiza un proceso que puede realizarse de 1 formas y

para cada una de tales formas existe otro proceso que puede realizarse de 2 formas, de la misma

forma existe otro proceso que puede realizarse de 3 formas, entonces la serie de operaciones

es posible realizarla de 123 . . formas diferentes.

Ejemplo 5.1.

Se lanza tres veces un dado, Cuntos resultados pueden obtenerse?

Solucin:

En cada lanzamiento del dado existen seis posibilidades de respuesta aplicando la regla del

producto se obtiene:

1 = 6; 2 = 6; 3 = 6

= 123 = 6 6 6 = 216

5.2. Permutacin


29

Una secuencia ordenada de elementos tomados de un conjunto de elementos se conoce

como permutacin. El nmero de permutaciones de elementos tomados de un conjunto de

elementos es:

=!

( )!

Ejemplo 5.2.

Se desea definir un equipo de microftbol para ello se cuenta con 7 jugadores potenciales, si el

equipo consta de 5 jugadores e importa la posicin de cada jugador Cuntos equipos diferentes

de microftbol es posible definir?

Solucin:

Segn las indicaciones del enunciado la posicin del jugador importa, por tanto se debe utilizar la

permutacin.

= 7; = 5

= 75 =7!

(7 5)!

=

5.3. Combinacin

Una secuencia elementos tomados de un conjunto de elementos donde el orden de obtencin

no tiene incidencia se conoce como combinacin. El nmero de combinaciones de elementos

tomados de un conjunto de elementos es:

= () =

!=

!

! ( )!

Ejemplo 5.3.

Se desea definir un equipo de microftbol para ello se cuenta con 7 jugadores potenciales, si el

equipo consta de 5 jugadores y no importa la posicin de cada jugador Cuntos equipos

diferentes de microftbol es posible definir?

Solucin:

Segn las indicaciones del enunciado la posicin del jugador no importa, por tanto se debe utilizar

la combinacin.

= 7; = 5


30

= 75 =7!

(7 5)!

=

Ejemplo 5.4.

En una reconocida empresa constructora colombiana se desea elegir un comit de 5 integrantes pertenecientes a la junta directiva de la empresa, se sabe que la junta directiva cuenta con 21 integrantes, de los cuales 5 son de Cundinamarca, 4 de Santander, 3 de Boyac, 4 de Antioquia y 5 del Tolima. La seleccin del comit obedece a un evento internacional para el cual hay recursos limitados, con la finalidad de no despertar malestar entre los involucrados la eleccin se realizara al azar, calcule:

a) La probabilidad de que todos los departamentos estn representados. b) La probabilidad de que a lo ms dos departamentos estn representados. c) La probabilidad de que a lo menos asistan 2 integrantes del departamento de Cundinamarca. d) La probabilidad de que est representado un nico departamento.

Solucin:

Para la solucin del presente enunciado se elabora la tabla que se muestra a continuacin, donde se observa la composicin de la junta directiva.

Departamento # de

integrantes

Cundinamarca 5

Santander 4

Boyac 3

Antioquia 4

Tolima 5

Total 21

Tabla 2: Composicin de la junta directiva segn departamento.

Solucin a.

Segn las condiciones expuestas por el enunciado, la solucin es posible plantearla de la siguiente forma:

() =(51) (41) (31) (41) (51)

(215)

=400

6783= 0.058971


31

() =

= . = . %

Solucin b.

Segn las condiciones expuestas por el enunciado, la solucin es posible plantearla de la siguiente forma:

() =(55) (40) (30) (40) (50)

(215)

+(50) (40) (30) (40) (55)

(215)

+(54) (41) (30) (40) (50)

(215)

+(53) (42) (30) (40) (50)

(215)

+(52) (43) (30) (40) (50)

(215)

+(51) (44) (30) (40) (50)

(215)

+(54) (40) (31) (40) (50)

(215)

+(53) (40) (32) (40) (50)

(215)

+(52) (40) (33) (40) (50)

(215)

+(54) (40) (30) (41) (50)

(215)

+(53) (40) (30) (42) (50)

(215)

+(52) (40) (30) (43) (50)

(215)

+(51) (40) (30) (44) (50)

(215)

+(54) (40) (30) (40) (51)

(215)

+(53) (40) (30) (40) (52)

(215)

+(52) (40) (30) (40) (53)

(215)

+(51) (40) (30) (40) (54)

(215)

+(50) (44) (31) (40) (50)

(215)

+(50) (43) (32) (40) (50)

(215)

+(50) (42) (33) (40) (50)

(215)

+(50) (44) (30) (41) (50)

(215)

+(50) (43) (30) (42) (50)

(215)

+(50) (42) (30) (43) (50)

(215)

+(50) (41) (30) (44) (50)

(215)

+(50) (44) (30) (40) (51)

(215)

+(50) (43) (30) (40) (52)

(215)

+(50) (42) (30) (40) (53)

(215)

+(50) (41) (30) (40) (54)

(215)

+(50) (40) (33) (42) (50)

(215)

+(50) (40) (32) (43) (50)

(215)

+(50) (40) (31) (44) (50)

(215)

+(50) (40) (33) (40) (52)

(215)

+(50) (40) (32) (40) (53)

(215)

+(50) (40) (31) (40) (54)

(215)

+(50) (40) (30) (44) (51)

(215)

+(50) (40) (30) (43) (52)

(215)


32

+(50) (40) (30) (42) (53)

(215)

+(50) (40) (30) (41) (54)

(215)

() =1

20349+

1

20349+

20

20349+

20

6783+

40

20349+

5

20349+

5

6783+

10

6783+

10

20349

+20

20349+

20

6783+

40

20349+

5

20349+

25

20349+

100

20349+

100

20349+

25

20349+

1

6783

+4

6783+

2

6783+

4

20349+

8

6783+

8

6783+

4

20349+

5

20349+

40

20349+

20

6783

+20

20349+

2

6783+

4

6783+

1

6783+

10

20349+

10

6783+

5

6783+

5

20349+

40

20349

+20

6783+

20

20349

() =302

20349+

337

20349+107

6783=320

6783

() =

= . = . %

Solucin c. Segn las condiciones expuestas por el enunciado, la solucin es posible plantearla de la siguiente forma:

() =(52) (163)

(215)

+(53) (162)

(215)

+(54) (161)

(215)

+(55) (160)

(215)

=800

2907+400

6783+

80

20349+

1

20349=983

2907

() =

= . = . %

Solucin d. Segn las condiciones expuestas por el enunciado, la solucin es posible plantearla de la siguiente forma:

() =(55) (40) (30) (40) (50)

(215)

+(50) (40) (30) (40) (55)

(215)

=1

20349+

1

20349=

2

20349

() =

= . = . %


33

Ejercicios Tcnicas De Conteo

1. De cuantas maneras se pueden ordenar 7 balotas de colores en lnea.

Respuesta: 5040

2. Cuantos resultados posibles pueden obtenerse al lanzar tres dados (uno despus del otro).

Respuesta: 216

3. Cierto Ingeniero Civil encargado de la venta de apartamentos ofrece siete tipos de

apartamentos, el cliente podr elegir dos tipos de adicciones en acabados entre los que se

encuentran: puertas de cedro, guardarropas de cedro, cielo raso drywall, piso en porcelanato

para las habitaciones, baera, estuco veneciano en la cocina y mesn en mrmol de alta

calidad. El ingeniero desea crear un aviso bastante llamativo el cual lleva como frase principal

Venga y escoja entre n apartamentos diferentes. Cul es el valor n?

Respuesta: 147

4. En una obra un ingeniero residente dispone de 11 ayudantes, si este ingeniero desea formar

una cuadrilla la cual conste de 4 ayudantes Cuntas cuadrillas diferentes podr formar?

Respuesta: 330

5. Un reconocido restaurante encargado de la venta de almuerzos estudiantiles ofrece a sus

clientes tres sopas, dos platos principales y tres bebidas, si un almuerzo consiste en una sopa,

un plato principal y una bebida Cuntos almuerzos diferentes puede el restaurante ofrecer a

su clientela?

Respuesta: 18

6. Dos reconocidas firmas consultoras A y B encargadas del diseo de viviendas unifamiliares

ofrecen a sus clientes la opcin de elegir el conjunto de profesionales que actuaran en el

diseo de la vivienda deseada, la consultora A cuenta con 7 arquitectos, 5 ingenieros

estructurales y 2 ingenieros de suelos, la consultora B cuenta con 8 arquitectos, 4 ingenieros

estructurales y 3 ingenieros de suelos, si el grupo de los encargados del diseo de una

vivienda se componen de un arquitecto, un ingeniero estructural y un ingeniero de suelos

Cuntos grupos diferentes de profesionales una familia podr elegir teniendo en cuenta que

todos los profesionales deben pertenecer a la misma firma consultora?

Respuesta: 166


34

7. Cierto comit de ingenieros civiles consta de siete integrantes, en este comit se premia la

puntualidad de sus asistentes dado que se hace uso de una mesa con 5 sillas quedando dos

de los integrantes de pie los cuales son los ltimos en llegar

a) De cuntas formas posibles pueden ubicarse los ingenieros en la mesa del comit?

b) De los 7 integrantes 4 son hombres y 3 son mujeres De cuantas formas posibles pueden

ubicarse los ingenieros si se debe alternar hombre mujer y las mujeres deben ir en los

lugares pares?

Respuesta: a) 2520 b) 144

8. Una mano de pker consiste en 13 cartas seleccionadas al azar de una baraja de 52 cartas.

a) Calcular la probabilidad de obtener las 13 cartas de corazones

b) Cierto juego consiste en extraer 4 cartas de la baraja sin remplazo, calcular la probabilidad

de sacar los 4 aces

Respuestas: 1/6350135559600.

9. En una urna se dispone de 6 balotas rojas 4 azules y 3 negras si se extraen dos balotas

sucesivamente calcular la probabilidad de obtener:

a) Dos balotas negras.

b) Una balota roja y una azul.

c) Sacar balotas sin obtener alguna de color negro.

d) Si se sacan tres balotas de la urna calcular la probabilidad de obtener una de cada color.

Respuesta: a) 1/26 b) 4/13 c) 15/26 d) 36/143

10. A un ingeniero encargado del diseo de los parqueaderos de un edificio de oficinas el cliente le

indica que requiere de 8 parqueaderos para los automviles de la empresa. Los automviles

dos son Mercedez Benz, tres BMW y 3 son Chevrolet.

a) Suponga que por cuestiones de esttica los autos de la misma marca debern quedar juntos

Cuntas formas posibles existen para parquear estos automviles?

b) Los autos Mercedes Benz pertenecen a los cargos ms altos de la empresa los cuales

deben quedar uno al lado del otro mientras que los de las otras marcas pueden quedar en

cualquier orden Cuntas formas posibles existen para parquear estos automviles en tales

condiciones?

c) Por capricho del cliente la posicin de los Mercedes Benz debern ser {1,4} las posiciones

de los BMW sern {2,5,7} y los Chevrolet {3,6,8} Cuntas formas posibles existen para

parquear estos automviles en tales condiciones?

Respuesta: a) 432 b) 10080 c) 72

11. Una mano de pker consiste en 5 cartas seleccionadas sin remplazo de una barajas de 52

cartas. Determine la probabilidad de obtener.

a) Full: Tres cartas con la misma numeracin y otros dos con misma numeracin.


35

b) Escalera: Cinco cartas con numeracin consecutiva (El as puede ir al comienzo o al final).

c) Pker. Cuatro cartas con la misma numeracin.

d) Obtener los cuatro ases presentes en la baraja.

e) Obtener cinco cartas de corazones.

Respuesta: a) 6/4165 b) 128/32487 c) 1/4165 d) 1/54145 e) 33/66640

12. Un club de ingenieros extranjeros tiene como miembros a dos canadienses tres japoneses

cinco italianos y dos alemanes si se selecciona al azar un comit de cuatro calcule la

probabilidad de que:

a) Todas las nacionalidades estn representadas.

b) Todas las nacionalidades estn representadas excepto los italianos.

c) Todos los miembros del comit son italianos.

d) A lo ms dos miembros del comit son italianos.

e) A lo sumo dos miembros sean japoneses.

f) A lo menos un miembro del comit sea alemn.

Respuesta: a) 4/33 b) 8/165 c) 1/99 d) 28/33 e) 54/55 f) 19/33

13. Un estudiante de ingeniera desea ubicar en una biblioteca 11 libros de los cuales 4 son de

matemticas 5 de fsica y 2 de qumica calcular

a) El nmero de ubicaciones posibles si no se tiene en cuenta el orden de los libros.

b) El nmero de ubicaciones posibles si los libros de cada una de las asignaturas deben

quedar seguidos.

c) El nmero de ubicaciones posibles si nicamente los libros de matemticas deben quedar

seguidos.

d) El nmero de ubicaciones posibles si los 4 libros de matemticas jams deben quedar

seguidos (tres pueden quedar seguidos al igual que dos).

Respuesta: a) 39916800 b) 34560 c) 967680 d) 38949120

14. Un ingeniero residente en la construccin de un reconocido intercambiador cuenta con 11

ayudantes la tarea del da consiste en formar una cuadrilla de 6 ayudantes para las

excavaciones y otra de 5 ayudantes para la fundicin de un muro de contencin De cuantas

formas diferentes el ingeniero puede formar las cuadrillas descritas?

Respuesta: 462

15. En una urna se dispone de 8 balotas blancas, 5 negras, 6 azules y 7 Rojas. Si se extraen

cuatro balotas de la urna sucesivamente y sin remplazo calcular

a) La probabilidad de obtener 2 blancas y 2 Negras. b) La probabilidad de obtener cuatro balotas del mismo color.

Respuesta: a) 0.018729 b) 0.008361


36

16. Un experimento de estadstica consiste en lanzar un dado dos veces y finalmente una moneda,

calcular:

a) La probabilidad de obtener un puntaje superior a siete en la suma de los puntajes obtenidos

en los lanzamientos del dado.

b) La probabilidad de obtener nmeros pares en los lanzamientos del dado y una cara en la moneda.

Respuesta: a) 0.416667 b) 0.125000

17. En una urna se dispone de 9 balotas blancas, 6 negras, 8 azules y 7 Rojas. Si se extraen

cuatro balotas de la urna sucesivamente y sin remplazo calcular:

a) La probabilidad de obtener balotas de colores diferentes. b) La probabilidad de obtener balotas azules o rojas. c) La probabilidad de obtener a lo ms dos balotas rojas. d) La probabilidad de obtener a lo menos dos balotas negras o azules.

Respuesta: a) 0.110345 b) 0.049808 c) 0.969349 d) 0.647510

13. Un experimento estadstico consiste en lanzar veces una moneda con dos posibilidades de respuesta de igual probabilidad, calcule:

a) La probabilidad de obtener a lo menos un sello. b) La probabilidad de obtener solo sellos o solo caras. c) La probabilidad de obtener a lo ms una cara.

Respuesta: a) 1 1

2 b)

1

21 c)

+1

2


37

6. Diagramas de rbol y probabilidad condicional

______________________________________________________________________________

Definicin probabilidad condicional

Sean A y B eventos contenidos en un espacio muestral con () > 0, la probabilidad de

condicional se define como:

p(|B) =( )

()

Se lee La probabilidad de que ocurra el evento A dado que ocurri el evento B.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Axiomas de la probabilidad

Axioma 1.

0 () 1

Axioma 2.

Sean 1, 2 eventos mutuamente excluyentes.

(1 2 ) =

=1

Axioma 3.

La probabilidad del todos los elementos del espacio muestral es uno.

() = 1

_____________________________________________________________________________


38

Ejercicio 6.1.

La urna A contiene 8 bolas rojas 5 azules en tanto que la urna B contiene 7 bolas rojas y 6 azules.

a) Se lanza un dado si se obtiene un nmero mayor o igual que 2 se saca una bola de la urna A,

de lo contrario se saca una bola de la urna B. Determine la probabilidad de sacar una bola roja.

b) Si la bola extrada, segn el literal anterior, se deposita en la urna diferente a la que se sac y

se lanza de nuevo el dado, manteniendo las mismas condiciones de extraccin del literal a.,

cul es la probabilidad de extraer dos bolas del mismo color.

c) Teniendo en cuenta el numeral a y b, Cul es la probabilidad de extraer en el orden una bola

roja y luego una bola azul?

Solucin:

Para la solucin se emplea el diagrama de rbol que se observa en la figura, en donde debe

tenerse en cuenta que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un nodo dede ser

uno.

Efectuando las opresiones necesarias se tiene que:

a)

() =47

78

b)

() =1234

2457

c)

() =1223

4914


39


40

Ejemplo 6.2. El gerente de una reconocida firma de consultora se encuentra interesado en estudiar el motivo del retraso en cronograma de algunos proyectos, la firma de consultora se encarga de la elaboracin de los estudios tcnicos para la construccin de obras de infraestructura del estado. De la experiencia se sabe que el 25% de las veces el retraso se genera por concepto del equipo tcnico de la arquitectura, mientras que el 45% de las veces el retraso se genera por concepto del equipo tcnico de estructuras, se sabe que el equipo de diseo de redes tiene la responsabilidad en retrasos el doble de las veces del equipo de geotecnia y el equipo de presupuesto 1.5 veces las del equipo de redes. Si se presenta retraso por concepto del equipo de estructuras el 30% de las veces se debe al personal no profesional, para el caso del equipo de presupuesto este porcentaje corresponde al 55% y para el equipo de Geotecnia 50%. El gerente afirma que si hay retraso en cronograma por concepto del personal no profesional la posibilidad que pertenezca al equipo de estructuras es de 27.07%, la posibilidad que pertenezca al equipo de redes es de 18.05%. a) Si hay un retraso en cronograma por concepto del personal profesional, calcule la probabilidad

de que pertenezca al equipo de arquitectura. b) Calcule el porcentaje de veces en que un atraso se debe al personal profesional, si se sabe

que pertenece al equipo de redes. c) Cul es la probabilidad se presente un atraso por concepto del equipo de presupuesto? Solucin: Teniendo en cuenta la complejidad del enunciado para el desarrollo se utiliza el diagrama de rbol. En las primeras ramas del diagrama de rbol se deber modelar los diferentes equipos tcnicos la segunda rama representara si el personal es profesional o no profesional.


41

La asignacin de probabilidades se realiza con los datos suministrados por el enunciado, las letras son variables que se pretenden despejar con los datos restantes.

(| ) =( )

( )= 0.270700

(| )

=(0.45)(0.30)

(0.25)(1 ) + (0.45)(0.30) + (2)(1 ) + ()(0.50) + (3)(0.55)= 0.270700

(| ) =( )

( )= 0.180500

(| ) =(2)(1 )

(0.25)(1 ) + (0.45)(0.30) + (2)(1 ) + ()(0.50) + (3)(0.55)= 0.180500

0.25 + 0.45 + 2 + + 3 = 1

Se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas.

(0.45)(0.30)

(0.25)(1 ) + (0.45)(0.30) + (2)(1 ) + ()(0.50) + (3)(0.55)= 0.270700 ()

(2)(1 )

(0.25)(1 ) + (0.45)(0.30) + (2)(1 ) + ()(0.50) + (3)(0.55)= 0.180500 ()

0.25 + 0.45 + 2 + + 3 = 1 ()

= . ; = . ; = .

Solucin a. Segn la estructura de la pregunta, se requiere calcular una probabilidad condicional.

(|) =( )

()

(. |)

=(0.25)(0.335238)

(0.25)(0.335238) + (0.45)(0.70) + (2)(0.05)(0.099834) + (0.05)(0.50) + (3)(0.05)(0.45)

(. |) = . = . %

Solucin b. Segn la estructura de la pregunta, se requiere calcular una probabilidad condicional.

(|) =( )

()


42

(|) =(2)(0.05)(0.099834)

(2)(0.05)

(|) = . = . %

Solucin c. Segn la estructura de la pregunta, se requiere calcular una probabilidad.

() = (3)(0.05) = 0.15

() = . = . %

Ejemplo 6.3. Una estudiante de ingeniera civil con gran sentido del deber a su labor como estudiante sale tarde del claustro universitario, esto con motivo de la realizacin del trabajo final de resistencia de materiales. A dos manzanas de la entrada principal la estudiante es abordada por un ladrn que aprovecha la oscuridad de la noche y la soledad del sitio para hurtarle el celular. Un polica que patrulla cerca del lugar en que suceden los hechos acude al auxilio de la estudiante, el ladrn huye hasta una casa abandona en donde encuentra posibles escapatorias. El ladrn es ms veloz que el polica, en el caso en que el ladrn encuentre una salida diferente a la de la entrada escapara del polica.

El ladrn ingresa por la salida 1 y su nica escapatoria es llegar a la salida 2, por tanto el ladrn deber pasar por alguna ruta en donde encontrara algunas puertas internas en la casa, para su escapatoria las puertas de alguna de las rutas debern estar abiertas. Se sabe que:

( 1, ) = ( 2, ) = ( 3, ) = 0.35

( 4, ) = ( 5, ) = 0.25

Calcule la probabilidad de que el ladrn logre escapar del polica, suponga que los eventos en que las puertas estn abiertas o cerradas son independientes.

Solucin: Se analiza la probabilidad de que el ladrn logre superar la primera serie de puertas, para logre superarla la Puerta 1 debe estar abierta o la Puerta 2 o la Puerta 3, la probabilidad se calcula de la siguiente forma.

( 1, 2, 3, ) = 1 ( 1, 2, 3, )

Aplicando la propiedad de la independencia de eventos se tiene:


43

( 1, 2, 3, )= 1 (( 1, ))(( 2, ))(( 3, ))

( 1, 2, 3, ) = 1 (0.65)(0.65)(0.65)

( , , , ) = .

Se analiza la probabilidad de que el ladrn logre superar la segunda serie de puertas, para logre superarla la Puerta 4 debe estar abierta o la Puerta 5, la probabilidad se calcula de la siguiente forma.

( 4, 5, ) = 1 ( 4, 5, )

Aplicando la propiedad de la independencia de eventos se tiene:

( 4, 5, ) = 1 (( 4, ))(( 4, ))

( 4, 5, ) = 1 (0.75)(0.75)

( , , ) = .

Para que el ladrn pueda escapar deber encontrar abierta una puerta de la primera serie de puertas (Puerta 1, Puerta 2 y Puerta 3) y una puerta de la segunda serie de puertas (Puerta 4 y Puerta 5). Las probabilidades de los eventos descritos se calcularon en los pasos anteriores. Aplicando la independencia de evento se tiene:

() = (0.725375)(0.437500) = 0.317352

() = .

Ejercicios de probabilidad condicional y diagramas de rbol

1. En una encuesta que tiene por objeto estudiar el nmero de estudiantes de cierta universidad que ejercitan su cuerpo teniendo en cuenta si es hombre o mujer, se entrevistan a 145 mujeres y a 163 hombres donde se obtienen los siguientes resultados.

Ejercitan su cuerpo

Si No

Hombres 11 152

Mujeres 25 120

Si se elige a un estudiante al azar calcule:

a) La probabilidad de que sea mujer. b) La probabilidad de que no ejercite su cuerpo. c) Si el estudiante resulta ser hombre calcule la probabilidad de que ejercite su cuerpo. d) Si se sabe que el estudiante ejercita su cuerpo calcule la probabilidad de que sea mujer.


44

e) Se entrevista nuevamente al estudiante elegido resultando que no ejercita su cuerpo cul es la probabilidad de que sea un hombre?

Respuesta: a) 0.470779 b) 0.883117 c) 0.067485 d) 0.694444 e) 0.558824.

2. Para cierta obra de ingeniera civil se hace un pedido de ropa de trabajo teniendo en cuenta la talla requerida y el color del uniforme de trabajo para esto se realiz un sondeo del nmero de trabajadores segn el uniforme requerido, el sondeo arrojo los siguientes resultados.

Talla Color

Azul Negro Rojo

Pequea 15 5 9

Mediana 18 8 6

Grande 26 18 21

Suponga que los trabajadores hacen una fila para reclamar el uniforme de trabajo.

a) Cul es la probabilidad de que el siguiente trabajador requiera un uniforme de talla mediana? b) Cul es la probabilidad de que el siguiente trabajador requiera un uniforme de talla grande y

de color negro? c) El prximo trabajador en la fila es de talla pequea Cul es la probabilidad de que el uniforme

requerido sea del color negro? d) El prximo trabajador en la fila requiere uniforme Rojo Cul es la probabilidad de que el

uniforme requerido sea de talla pequea o mediana?

Respuesta: a) 0.253967 b) 0.142857 c) 0.172414 d) 0.416667

3. Cierto estudiante de ingeniera realiza un trayecto todos los das desde su casa hasta la universidad donde recibe clases. Suponga los eventos

: { } : { }

Con probabilidades de ocurrencia

() = 0.5, () = 0.4, ( ) = 0.2

a) Calcule la probabilidad de que el estudiante salga a tiempo. b) Calcule la probabilidad de que el estudiante salga a tiempo y llegue a tiempo. c) Calcule la probabilidad de que el estudiante no salga a tiempo ni tampoco llegue a tiempo. d) Cierto da el estudiante llega a tiempo. Calcule la probabilidad de que el estudiante haya salido

a tiempo. e) Cierto da el estudiante sale de su casa tarde. Calcule la probabilidad de que llegue a tiempo. f) Cierto da el estudiante sale a tiempo. Calcule la probabilidad de que llegue tarde.

Respuesta: a) 0.500000 b) 0.200000 c) 0.100000 d) 0.333333 e) 0.800000 f) 0.600000

4. Se lanza tres veces una moneda con dos resultados posibles de igual probabilidad de obtencin. Calcular la probabilidad de:


45

a) Obtener tres caras. b) Obtener una cara y dos sellos. c) Obtener tres caras o tres sellos. d) Obtener una cara y dos sellos o dos caras y un sello

Respuesta: a) 1/8 b) 3/8 c) 1/4 d) 3/4.

5. Una urna U1 contiene 8 balotas blancas, 5 negras y 4 azules, la urna U2 contiene 7 blancas, 6 negras y 8 azules. Se extraen dos balotas sucesivamente sin remplazo de una urna, la probabilidad de elegir la urna U1 es de 3/4 mientras que la probabilidad de elegir la urna U2 es del 1/4. Calcular la probabilidad de.

a) Obtener dos balotas blancas. b) Una balota blanca y una balota azul. c) Obtener dos balotas del mismo color. d) Obtener una balota de un color y otra de otro color.

Respuesta: a) 61/340 b) 62/255 c) d) .

6. En un experimento estadstico se cuenta con un dado y una moneda. El experimento consiste en lanzar el dado si el nmero obtenido es par se lanza dos veces la moneda, si el nmero es impar la moneda se lanza tres veces. Calcular la probabilidad de:

a) Obtener nicamente caras como resultado en la moneda. b) Obtener a lo menos dos caras. c) Obtener nicamente caras o sellos como resultado en la moneda. d) Obtener un nmero impar en el dado y dos sellos en la moneda.

Respuesta: a) 3/16 b) 3/8 c) 3/8 d) 3/16.

7. La urna A contiene 3 bolas rojas 2 azules en tanto que la urna B contiene 2 bolas rojas y ocho azules.

a) Se lanza un dado si se obtiene un nmero mayor que 2 se saca una bola de la urna A, de lo contrario se saca una bola de la urna B. Determine la probabilidad de sacar una bola roja.

b) Si la bola extrada, segn el literal anterior, se deposita en la urna diferente a la que se sac y se lanza de nuevo el dado, manteniendo las mismas condiciones de extraccin del literal a., cul es la probabilidad de extraer en esta ocasin una bola azul

Respuesta: a) 7/15 b) 802/1485.

8. A un examen de estadstica se presentan alumnos de cuatro grupos diferentes. Grupo A: 80 alumnos, de los cuales el 35% son mujeres. Grupo B: 70 alumnos, de los cuales el 25% son mujeres. Grupo C: k alumnos, de los cuales el 80% son varones. Grupo D: 60 alumnos, de los cuales el 85% son varones. Se les rene a todos en el aula magna y se elige uno de ellos al azar para repartir el examen, resultando ser mujer. Si la probabilidad de que pertenezca al grupo D es 0.13.

a) Cuntos alumnos hay en el grupo C? b) Si se selecciona un alumno al azar Cul es la probabilidad de que este sea un varn? c) Se selecciona un alumno al azar, el cual resulta ser un varn Cul es la probabilidad de que

pertenezca al grupo C?


46

Respuesta: a) = 73.65 74 b) 3/4 c) 16/75.

9. Una red de energa elctrica tiene subestaciones A,B,C la sobrecarga en cualquiera de ellas puede originar que se interrumpa el abastecimiento de electricidad en toda la red la historia muestra que la probabilidad de apagn es de 1% si ocurre la sobrecarga en A y de 2% y 3% si sobreviene en las subestaciones B y C respectivamente. La sobrecarga en dos o ms subestaciones de manera simultnea origina apagones en 5% de los casos, durante una onda clida hay 60% de posibilidades que solo la subestacin A experimente una sobrecarga. Para B y C estos porcentajes son de 20% y 15%, respectivamente. Si en una onda clida especifica tuvo lugar un apagn debido a sobrecarga.

a) Calcule la probabilidad de que haya habido sobrecarga en A o en C b) Encuentre la probabilidad de que haya habido sobrecarga en dos o ms subestaciones al

mismo tiempo. c) Cul es la probabilidad de que ocurra apagn?

Respuesta: a) 0.617647 b) 0.147059 c) 0.017.

10. En una estacin de servicio, el 40% de los clientes utilizan gasolina corriente, el 35% usan gasolina extra y el 25% utilizan diesel. De los clientes que utilizan diesel el 50% llenan sus tanques. De los clientes que utilizan gasolina corriente, solo el 25% llenan sus tanques. El 53.1% de los clientes que no llenan el tanque utilizan gasolina corriente.

a) Cul es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra y llene el tanque? b) Si el siguiente cliente no llena el tanque, cul es la probabilidad de que pida gasolina? c) Se sabe que un cliente pide gasolina extra cul es la probabilidad llene el tanque?

Respuesta: a) 0.2100 b) 0.778761 c) 0.6000.

11. Para evitar que individuos potencialmente peligrosos sean celadores de obra, se ha establecido un examen psicolgico que los aspirantes deben aprobar como requisito sine qua non para ser contratados. El defecto de esta prueba sin embargo, es que el 8% de los individuos aptos quedan errneamente descalificados por haber reprobado, mientras que el 12% de los que no son aptos aprueban y son contratados por equivocacin. Suponga que todos los que pasan son contratados.

a) Si la experiencia muestra que solo el 85% de los celadores son aptos para su trabajo, determine el porcentaje de aspirantes que lo son.

b) Teniendo en cuenta el numeral a. Cul es el porcentaje de aspirantes aptos que no aprueban el examen?

c) Teniendo en cuenta el numeral a. Cul es la probabilidad de que el examen psicolgico arroje un resultado errneo?

Respuesta: a) 0.425 b) 6.2963% c) 0.1030.

12. En un sistema de alarma, la probabilidad de esta funcione habiendo peligro es de 0.95, y la probabilidad de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber peligro es 0.1.

a) Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no haya peligro. b) Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya peligro. c) Cul es la probabilidad de que la alarma funcione?


47

Respuesta: a) 22.131%0 b) 5/878 c) 0.1220.

13. La contaminacin de las fuentes de agua en Colombia es un problema de grandes magnitudes que compromete la calidad del agua que es destinada para el consumo humano:

= { } = { } = { }

Donde,

() = 0.565000; (|) = 0.061947; (|) = 0.540230; (| ) = 0.428571 (| ) = 0.063830; (| ) = 0.056604; (| ) = 0.750000

a) Calcule la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminacin, un anlisis en la muestra

de agua detecta contaminacin y se permite el suministro de agua potable para el consumo humano.

b) Calcule la probabilidad de que un anlisis de una muestra de agua detecta contaminacin y se permite el suministro de agua para el consumo humano

c) Calcule la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminacin, pero no se permite el suministro de agua potable para la poblacin.

d) Calcule la probabilidad que el rio este expuesto a contaminacin, dado que un anlisis de agua detecta contaminacin y se permite el suministro de agua potable para el consumo humano.

e) Cul es la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminacin.

Respuesta: a) 0.015 b) 0.030 c) 0.520 d) 0.500 e) 0.565.

14. Una urna U1 contiene 3 bolas azules y 4 rojas, una urna U2 6 bolas azules y 8 rojas. Se lanza un par de dados si el nmero obtenido de la suma de los dos puntajes es mltiplo de tres se extraen dos bolas de la urna U1, si es mltiplo de cinco se extraen dos bolas de la urna U2 y en cualquier otro caso se extrae una bola de la urna U1 y luego una bola de la urna U2, las dos bolas extradas segn las condiciones anteriores son depositadas en la urna U1. Finalmente se extrae una bola de la urna U1 (cuando ya han sido depositadas las dos bolas provenientes de las extracciones anteriores segn las condiciones indicadas).

a) Calcular la probabilidad de obtener bolas producto de las tres extracciones en el orden: roja, azul, roja.

b) Calcular la probabilidad de obtener una bola roja en la extraccin de la urna U1 (cuando ya han sido depositadas las dos bolas provenientes de las extracciones anteriores segn las condiciones indicadas).

Respuesta: a) 4841/34398 b) 4/7

15. En la urna U1 hay 9 bolas blancas y 7 negras, en la urna U2 hay 7 bolas blancas 5 negras y 8 rojas, en la urna U3 hay 4 bolas blancas y 12 negras. Se extrae una bola de la urna U1 luego una bola de la urna U2 y finalmente una bola de la urna U3 obteniendo as 3 bolas que se depositan en una urna U4 y se extrae una bola de la urna U4.

a) Calcule la probabilidad de obtener una bola blanca cuando se extrae la bola de la urna U4. b) Calcule la probabilidad de obtener una bola blanca en la urna U1, una bola roja en la urna U2,

una bola negra en la urna U3 y una bola blanca en la urna U4


48

c) Calcule la probabilidad de que las bolas extradas de las urnas U1, U2 y U3 sean del mismo color.

Respuesta: a) 31/80 b) 9/160 c) 21/160

16. Cierto organismo gubernamental emplea a tres empresas consultoras (A,B y C) con probabilidades de 0.110, 0.350 y 0.250, respectivamente. De la experiencia pasada se sabe que las probabilidades de excesos en costos de las empresas son 0.05, 0.03 y 0.15, respectivamente y de otras empresas es de 0.12. En cierto ajuste de cuentas el organismo gubernamental experimenta un exceso en los costos.

a) Cul es la probabilidad de que la empresa consultora implicada sea la compaa C? b) Cul es la probabilidad de que la empresa consultora implicada no sea la empresa B? c) Cul es la probabilidad de que el organismo gubernamental no experimente sobrecostos?

Respuesta: a) 0.424689 b) 0.881087 c) 0.911700

17. Un reconocido ingeniero debe realizar todos los das un trayecto desde su casa hasta el lugar de trabajo, la probabilidad de que no logre salir a tiempo de su casa es de 50%, la probabilidad de que el ingeniero no llegue a tiempo a su trabajo es de 40% y la probabilidad de que el ingeniero salga a tiempo de su casa y llegue a tiempo al trabajo es del 20%.

a) Calcule la probabilidad de que el ingeniero llegue a tiempo. b) Cierto da el ingeniero sale de su casa tarde, calcule la probabilidad de que llegue a su trabajo

a tiempo. c) Cierto da el ingeniero llega a tiempo, calcule la probabilidad de que haya salido de su casa

tarde.

18. Cierto profesor acostumbrado a llegar tarde a clase recibe una llamada de atencin del jefe de escuela. El profesor con el fin de acostumbrar a sus estudiantes a llegar temprano, impone a sus estudiantes que ningn estudiante podr entrar al aula de clase despus del profesor, Un estudiante acostumbrado a llegar tarde siempre tiene una disculpa, 10% de las veces que llega tarde se debe al transporte, 25% se debe a que se queda dormido, 40% se debe a su falta de voluntad, 10% a que desayuna tarde. De las veces que llega tarde por motivo del transporte el 35% alcanza a entrar a clase, de las veces que el estudiante se queda dormido el 15% alcanza a entrar a clase, de las veces que el estudiante llega tarde por desayunar tarde 60% no alcanza a entrar a clase, de las veces que llega tarde por otros motivos el 70% entra a clase. La hermana del estudiante afirma, si mi hermano no alcanza a entrar a clase la posibilidad que se haya quedado dormido es de 33.1%.

a) Calcule el porcentaje de veces en que el estudiante llega tarde y por tanto no alcanza a entrar a clase.

b) Si el estudiante desayuna tarde, Cul es la probabilidad de que no alcance a entrar a clase? c) Si el estudiante no alcanza a entrar a clase, Cul es la probabilidad de que haya tenido

problemas con el transporte?

Respuesta: a) 0.641994 b) 0.6000000 c) 0.101247

19. Para un experimento estadstico se cuenta con una moneda y las tres urnas A, B y C, La urna A contiene 8 bolas rojas y 10 bolas negras, la urna B contiene 7 bolas rojas y 6 bolas negras, la


49

urna C contiene 12 bolas rojas y 5 bolas negras. Se lanza la moneda, en el caso de obtener una cara se extrae una bola de la urna A y en seguida una bola de la urna B, las dos bolas extradas son depositadas en la urna C. En el caso de obtener un sello en la moneda se extrae una bola de la urna B y en seguida una bola de la urna C, las dos bolas extradas son depositadas en la urna A. Para finalizar el experimento se lanza nuevamente la moneda, en el caso de obtener una cara se extrae una bola de la urna C y en el caso de obtener un sello se extrae una bola de la urna B.

a) Calcular la probabilidad de que en las extracciones realizadas las bolas sean del mismo color. b) Calcular la probabilidad de obtener la serie: una cara en el primer lanzamiento de la moneda,

extraer una bola negra en la urna A, extraer una bola roja en la urna B, obtener una cara en el segundo lanzamiento de la moneda y extraer una bola negra en la urna C.

c) Calcular la probabilidad de que las tres bolas sean extradas en el orden roja - negra - roja. Respuesta: a) 0.259789 b) 0.023617 c) 0.114493

20. Un ingeniero residente de obra afirma, con base en su experiencia y trayectoria, que de los accidentes que se producen en obra por falta del uso de elementos de proteccin personal, el 40% se dan por la falta de guantes, el 20% se dan por falta de botas, el 10% por falta de casco, el 10% por falta de gafas. De los accidentes causados por falta de guantes el 15% terminan en hospitalizacin, por falta de botas el 95% de los casos no terminan en hospitalizacin, para los accidentes por falta de cascos el porcentaje de individuos no hospitalizados corresponde al 75%, el ingeniero recalca que en los casos de otros tipos de accidentes el 95% no terminan en hospitalizacin. El mdico del centro de salud ms cercano a la obra, afirma que si un paciente es hospitalizado la probabilidad de que el accidente haya ocurrido por falta de gafas es de 12.3%.

a) Calcule el porcentaje de trabajadores que son hospitalizados a casusa de un accidente por falta de elementos de proteccin.

b) Calcule la probabilidad de que si un individuo es hospitalizado sea a causa de la falta de botas. c) Cul es la probabilidad de que un individuo sea hospitalizado dado que el accidente se

produjo por la falta de guantes? Respuesta: a) 0.1097263 b) 0.083524 c) 0.150000

21. En un depsito de materiales de construccin, se lleva un riguroso balance de los productos cotizados, el propietario afirma que el 45% de los materiales cotizados son concretos, el 25% aceros, el 15% tuberas y accesorios, 5% ladrillos. De las cotizaciones de concreto el 20% se convierten en ventas, de las cotizaciones de acero el 75% nunca llegan a convertirse en ventas, las cotizaciones que de tuberas y accesorios que se convierten en ventas son el 60%. Se sabe que si se realiza una venta la probabilidad de que sea acero es de 21.4%, si una cotizacin no se convierte en venta la probabilidad de que el material involucrado sea diferente de concreto, acero, tuberas, accesorios y ladrillos es de 9.18%.

a) Calcule el porcentaje de veces que el depsito de materiales de construccin logra convertir una cotizacin en una venta.

b) Si se realiza una cotizacin de concretos, calcule la probabilidad de que se logre una venta. c) Si se logra una venta, calcule la probabilidad de que sean ladrillos.


50

Respuesta: a) 0.292056 b) 0.200000 c) 0.049803

22. Un sistema de canalizacin de agua tiene 4 compuertas, dispuestas como se presentan en la

figura.

Cada compuerta se abre al azar dejando pasar agua (si est abierta) o impidindolo. Suponga las probabilidades siguientes:

P(I abierta) = P(II abierta) = P(IV abierta) = 0.55; P(III abierta) = 0.36

P(I cerrada, II abierta) = P(I abierta, IV cerrada) = P(I cerrada, III abierta) = 0.2

P(II abierta, IV abierta) = 0.35; P(III abierta, IV cerrada) = 0.26

P(II abierta, III abierta) = 0

P(I o II o IV abierta) = 0.85; P(I o III o IV abierta) = 0.87

Calcular la probabilidad de que un torrente de agua lanzado en el punto A llegue a B.

Respuesta: 0.157905

23. Una moneda presenta en el anverso una cara y en el reverso un sello. Si se lanza la moneda hasta que aparezca la primera cara y, a continuacin, se realizan tantos lanzamientos adicionales como sellos han precedido la primera cara. Determinar:

a) La probabilidad de que aparezca n sellos en la primera fase y m en la segunda. b) La probabilidad de que el nmero total de caras supere al nmero total de sellos. c) La probabilidad de obtener en todos los lanzamientos solo caras o solo sellos. 24. Una reconocida universidad tiene como criterio de admisin a los programas de posgrado en

modalidad investigacin la aprobacin de un examen de competencia en lengua inglesa. El reglamento de la universidad establece que los aspirantes a ttulo de posgrado debern tener un nivel mnimo de lengua inglesa. Un examen se efecta a los estudiantes que ingresan y a los que egresan, aspirantes y egresados. Se sabe que el 22% son estudiantes relacionados con la maestra en gerencia de negocios, los estudiantes de maestra en historia son la mitad de los de maestra en gerencia de negocios, el 18% son de la maestra en ingeniera civil. De los estudiantes de la maestra en ingeniera civil 45% son aspirantes, de la maestra en telecomunicaciones 85% son egresados, en la maestra en biloga este porcentaje es de 82%. El organizador del examen afirma, basado en las listas de presentacin, si se sabe que un estudiante es de la maestra en historia la posibilidad de que sea aspirante es del 20%, si un estudiante es egresado la posibilidad de que sea de la maestra en gerencia de negocios es de 3.56% y el porcentaje de aspirantes que presenta la prueba es de 38.11%.


51

a) Si 85 estudiantes presentan la prueba, calcule el nmero de aspirantes de la maestra en telecomunicaciones.

b) Si se elige un estudiante al azar y resulta ser de la maestra en gerencia de negocios, calcule la probabilidad de que sea egresado.

c) Si se elige un estudiante al azar y resulta ser aspirante, calcule la probabilidad de que el programa al que aspira sea la maestra en biologa.

Respuesta: a) 22.86 23 [] b) 0.100149 c) 0.104427

25. La construccin de una reconocida edificacin de vivienda en la ciudad de Bucaramanga

consta de varias fases, una de las fases corresponde a la construccin de la estructura de concreto reforzado que contrarrestar la solicitud de cargas vivas y muertas. Se sabe que el concreto empleado en la construccin del proyecto proviene de una reconocida planta ubicada en las cercanas de la obra. El ingeniero director de obra se encuentra preocupado por el retraso frecuente en la hora de entrega de los concretos en la obra, el fenmeno puede llegar a producir un retraso en la fecha de entrega del proyecto, situacin que dejara como consecuencia el pago de una cuantiosa multa que es directamente proporcional al tiempo de retraso. Para el anlisis del fenmeno el ingeniero solicita un informe detallado del nmero de camiones que registran retraso y el motivo por el cual se produce. Los resultados del informe se resumen en la tabla siguiente:

Id Motivo del retraso Nmero

de retrasos

Nmero de retrasos que

produjeron atraso general del proyecto

Nmero de retrasos que no

produjeron atraso general del proyecto

1

Alto trfico en el trayecto comprendido entre la planta y la obra

35 15 20

2 Gran volumen de pedidos de concreto en la planta

15 s t

3 Generacin del pedido con poco margen de tiempo

u v 6

4 Incompetencia de los funcionarios de la planta de concreto

42 w x

5 Demora para recibir el concreto en la obra

4 y z


52

6 Otros 11 4 7

Con el fin de seleccionar un ingeniero, residente de obra, el director de obra disea la siguiente prueba: Se sabe que: Si hay atraso general en el proyecto, la posibilidad de que se haya producido por gran

volumen de pedidos de concreto en la planta es de 1/9. Si hay demora para recibir el concreto en la obra, la posibilidad para que se retrase la

entrega del proyecto es de 1 entre 4. Si hay atraso general en el proyecto, la posibilidad de que se haya producido por

incompetencia de los funci

apuntes estadistica aplicada a la ingenieria 9 (1)

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