apuntes estadistica aplicada a la ingenieria 10

Apuntes Estadística Aplicada A La Ingeniería – 24095 / Universidad Industrial de Santander

Importancia de la Estadística en la Ingeniería

Un ingeniero es alguien que cumple una importante función en la sociedad que consiste en la

aplicación de los principios de la ciencia para la formulación de problemas y/o soluciones

enfocados a la satisfacción de las necesidades del entorno al cual pertenece. Este proceso de

formular y dar solución a un problema se en encuentra ligado a un conjunto de pasos en los

cuales se encuentra fundamentado el método científico o método de la ingeniería que puede

resumirse como:

1. Observación: Mirar con atención y recato el comportamiento del fenómeno a estudiar.

2. Inducción: Obtener conclusiones generales, identificar las variables que pueden jugar un

papel en la solución.

3. Hipótesis: Proponer un modelo apoyado en postulados científicos que apliquen a la situación

de interés.

4. Prueba de la hipótesis: Con la utilización del modelo propuesto realizar un proceso de

experimentación realizando los ajustes necesarios para mejorar su semejanza con la realidad.

5. Demostración o refutación de la hipótesis: Verificar que los resultados obtenidos son

coherentes con la realidad estudiada.

6. Teoría científica o tesis: Generar conclusiones basadas en los resultados obtenidos de la

simulación procurando la solución del problema.

En el proceso de la aplicación del método científico el ingeniero deberá entonces realizar una

toma de datos que luego deberá analizar para encontrar una relación con una teoría científica o

tendencia y así poder formular un modelo el cual puede consistir en un conjunto de expresiones

matemáticas que permiten describir la situación analizada finalmente realizar una simulación y

obtener las respectivas conclusiones. Puede inferirse entonces que al momento de realizar las

acciones descritas se deberá hacer uso de la matemática en sus diferentes áreas.

La ciencia de las matemáticas puede considerarse como una caja herramientas en la cual se

encuentran disponibles gran variedad de herramientas con diferentes aplicaciones y

complejidades, una de estas herramientas es la Estadística.

La Estadística aparece de la necesidad de entender y describir la variabilidad que se presenta en

la naturaleza de un parámetro de interés un claro ejemplo puede citarse en el estudio del caudal

de un rio donde su variabilidad con respecto tiempo resulta de gran importancia al momento del

diseño de una estructura para captación de agua

La variables de interés para el ingeniero varían de acuerdo a su campo de acción un ejemplo de

esta afirmación puede observarse en el campo de la Ingeniería Civil que tiene diferentes

escenarios de actuación el Ingeniero Hidráulico estará interesado en el estudio del caudal de un

rio con el objetivo del suministro del liquido a una red de acueducto, el Ingeniero Estructural se

interesara por la resistencia a la compresión del concreto utilizado en la construcción de una

columna, el Ingeniero de Transportes por la cantidad de vehículos en las horas pico en una zona


alta congestión vehicular, El Ingeniero De Pavimentos por la cantidad de vehículos que transitan y

carga que estos ejercen sobre la estructura de pavimento a analizar.

Las necesidades del entorno pueden llegar a ser tan simples como estudiar la estatura de los

estudiantes presentes en un aula de clase, pero no todas las situaciones analizadas son simples

esto puede observarse en el estudio de los fenómenos climáticos donde a la actualidad existe

serias complicaciones para lograr una predicción exacta de los potenciales desastres.

Estadística descriptiva

Una parte importante de la estadística es la Estadística Descriptiva esta se ocupa de la recolectar,

analizar y representar un conjunto de datos con la finalidad de realizar una descripción de las

características de este.

La estadística descriptiva consta de dos partes como se observa en el siguiente diagrama.

Por lo general las observaciones son una parte de un conjunto de datos correspondiente a la

variable de interés, lo que se conoce como muestra que se considera como un subconjunto que

se encuentra contenido en el conjunto correspondiente a la población en la siguiente imagen

puede observarse tal situación.

Un ejemplo de un conjunto correspondiente a una población podría verse en los alumnos de un

curso de estadística donde una muestra de tal conjunto será un grupo de estudiantes de tal curso.

Estadística descriptiva numérica

1. Media o promedio aritmético

También conocida como promedio aritmético es una medida de tendencia central que puede

obtenerse mediante el cálculo de un promedio ponderado este valor no necesariamente coincide

con el de la moda y mediana.

Estadística Descriptiva

Grafica Numérica


La media de un conjunto de datos representa el valor esperado es decir el valor más probable a

obtener en uno de los elementos del conjunto analizado.

Definición

La media muestral para un conjunto “n” observaciones denotadas como se define

como:

∑

Donde “n” representa el tamaño del conjunto correspondiente a la muestra.

2. Moda.

Valor que más se repite en la muestra analizada por lo tanto la moda podría interpretarse como el

dato con mayor frecuencia relativa absoluta presente en un conjunto de datos analizados, el

conjunto de datos puede contar con una o mas modas pero también puede suceder el caso en

que ningún dato se repita entonces se dice que dicho conjunto no tiene moda.

3. Mediana.

Es el valor que se encuentra en posición central de los datos ordenados de menor a mayor el cual

su a su vez corresponde con el percentil 50 (P50) es decir el 50% de los datos tienen un valor

inferior a la mediana y el 50% un valor superior.

La mediana coincide con el valor del segundo cuartil (Q2)

4. Rango

5. Varianza

( ) ∑( )

( )

6. Desviación Estándar

√ ( ) √

√∑( )

( )


7. Coeficiente de variación

8. Coeficiente de asimetría

∑ ( )

Caracteriza el grado de asimetría con respecto a su media

Valor positivo: Distribución unilateral que se extiende hacia valores más positivos

Valor negativo: Distribución unilateral que se extiende hacia valores más negativos

9. Coeficiente de curtosis

Es un coeficiente que permite caracterizar el grado de elevación o el achatamiento relativo de una

distribución, comparada con la distribución normal

Valor positivo: Es indicador de una distribución relativamente elevada

Valor negativo: Es indicador de una distribución relativamente plana

∑ ( )

Ejemplo 1.1

Una clase de estadística consta de 56 alumnos, para explicar el tema de estadística descriptiva el

docente elige a un grupo de 16 estudiantes los cuales pueden asumirse como una muestra

representativa en el estudio de la estatura de los estudiantes del grupo, los valores obtenidos para

la estatura en metros de estos 16 estudiantes son los siguientes:

1.79 1.60 1.82 1.61 1.72 1.76 1.74 1.65

1.61 1.68 1.66 1.74 1.81 1.74 1.76 1.83

Realizar un análisis de estadística descriptiva para la estatura de los estudiantes de estadística.


1. Media o promedio aritmético

Aplicando la fórmula 1.1. se tiene:

Como puede observarse el valor promedio es un valor al que todos los valores se encuentran

relativamente cerca, en el caso de preguntar el valor de la estatura a un estudiante de este grupo

el valor esperado será de 1.72 [m]. El concepto de valor esperado se desarrollara en la sección de

probabilidad.

2. Moda

Es el dato que más se repite dentro del conjunto de datos de la muestra

3. Mediana

Ordenando los datos del menor valor al mayor valor se tiene:

1.59 1.60 1.61 1.65 1.66 1.68 1.72 1.74 1.74 1.74 1.76 1.76 1.79 1.81 1.82 1.83

Se tiene el caso de un tamaño de la muestra par n=16, el promedio aritmético de los datos de la

mitad es:

4. Rango

5. Varianza

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )


6. Desviación Estándar

√ ( ) √

7. Coeficiente de variación

8. Coeficiente de asimetría

( ) ( ) ( ) ( )

9. Coeficiente de curtosis

( ) ( ) ( ) ( )


Análisis de frecuencias

Un análisis de frecuencias resulta importante en el momento de realizar una descripción de la

distribución de los valores numéricos de los datos de una muestra en intervalos de clase definidos

según la necesidad del estudio realizado

Para el cálculo del número de intervalos de clase se tienen en cuenta las siguientes expresiones.

- Para muestras de gran cantidad de datos

√

- Para muestras de cantidad de datos moderada (Formula de Sturges)

( )

Se debe recordar que el numero de intervalos será una valor entero por tanto este deberá

aproximarse según reglas de aproximación.

Este número de intervalos puede ser asumido aleatoriamente según la necesidad del análisis

Ejemplo:

Se estudia la respuesta dinámica en la dirección paralela al viento de construcciones con formas

angulosas durante el paso del Huracán Sandy edificaciones ubicadas en regiones costeras de

Carolina Del Norte en las que pueden suponerse el primer modo o modo fundamental de vibración

como dominante, para esto se realizan mediciones del factor de ráfaga del viento el cual es

función de varios parámetros de entre los cuales el mas significativo es la velocidad del viento.

Una muestra representativa de los datos obtenidos es la siguiente:

2.08 1.81 2.14 2.09 2.14 1.67 2

1.73 2.35 2.28 1.26 1.42 2.39 1.16

1.26 2.17 1.58 2.45 2.29 1.45 2.08

1.1 1.65 2.33 1.56 1.24 1.68 2.38

2.28 2.04 2.45 2.17 1.87 2.46 2.27

Realizar un análisis de Frecuencias para los datos del factor de ráfaga del viento durante el paso

del huracán Sandy

Solución:

Para comenzar se calcula el numero de intervalos de clase para el respectivo análisis en este caso

se utiliza el radical del numero de datos en la muestra


√ √

Se calcula el ancho del intervalo para lo cual se tiene en cuenta el rango:

El inicio el primer intervalo deber ser el valor mínimo en la muestra y el final del ultimo intervalo

será el valor máximo de los datos presente en la muestra, esto puede observarse en la tabla de

análisis de frecuencia que se muestra

Intervalo de clase

Intervalo Frecuencia Absoluta

Frecuencia Absoluta Acumulada

Frecuencia Relativa

Frecuencia Relativa

Acumulada Inicio Fin

1 1.100 1.327 5 5 0.143 0.143

2 1.327 1.553 2 7 0.057 0.200

3 1.553 1.780 6 13 0.171 0.371

4 1.780 2.007 3 16 0.086 0.457

5 2.007 2.233 8 24 0.229 0.686

6 2.233 2.460 11 35 0.314 1.000

Suma 35 1.000

La frecuencia absoluta se interpreta como el número de datos que se encuentran en el intervalo

de clase al que corresponda. Debe observarse que la suma de estas frecuencias deberá ser el

mismo valor que el tamaño de la muestra de lo contrario se habrá cometido un error.

La frecuencia relativa se interpreta como la proporción de datos que se encuentran en el

intervalo de clase esta puede obtenerse de la división de la frecuencia absoluta sobre el número

de datos en la muestra, la suma de las frecuencias relativas deberá ser de uno.

Los histogramas del análisis se observan a continuación,


0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6

Fre

cue

nci

a A

bo

luta

Intervalo De Clase

Histograma de Frecuencia Absoluta

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1 2 3 4 5 6

Fre

cue

nci

a A

bo

luta

Intervalo De Clase

Histograma Frecuencia Relativa Acumulada

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6

Fre

cue

nci

a A

bo

luta

Intervalo De Clase

Histograma Frecuencia Absoluta Acumulada


0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

1 2 3 4 5 6

Fre

cue

nci

a A

bo

luta

Intervalo De Clase

Histograma Frecuencia Relativa


2. Probabilidad

El estudio de la probabilidad comienza en la antigüedad con los juegos de azar algunos

historiadores coinciden que los asirios y sumerios utilizaban un hueso del talón de las ovejas el

cual tallaban de tal manera que este tuviera la posibilidad de caer en cuatro posiciones diferentes

para realizar apuestas basadas en la posición final del hueso luego de un lanzamiento. Comienza

el estudio por parte de los apostadores sobre la posibilidad de obtener las diferentes posiciones

luego del lanzamiento y con esto tener una ventaja al momento de realizar la apuesta. Por estas

razones los asirios y sumerios son considerados como los precursores del dado.

En los tiempos del imperio romano los juegos relacionados con dados se practicaban con gran

fervor uno de estos juegos conocido como “hazard” lo que traduce en ingles y francés riesgo o

peligro entonces el termino se convierte en azar que fue introducido en Europa con la tercera

cruzada.

En la actualidad los juegos de azar aparecen en distintas formas juegos de cartas, juegos de

dados, ruletas, maquinas traga monedas, loterías, dominos etc. El estudio de la probabilidad deja

de ser único para los juegos de azar y pasa a tener gran variedad de aplicaciones en las distintas

ramas del conocimiento.

De los más notables estudiosos que emprendieron el estudio de la teoría de la probabilidad se

encuentran importantes matemáticos como Pierre Fermat y Blaise Pascal que comenzaron a

trabajar sobre algunos problemas relacionados con los juegos de azar, para luego llegar a

formular una discusión sobre la creencia en Dios basada en probabilidades.

El término de la probabilidad en ocasiones suele presentarse en palabras no tan formales un

ejemplo para este tipo de frase podría ser “Es muy posible que todos los estudiantes del curso

aprueben la asignatura”, entonces alguien curioso puede preguntar ¿Qué tan posible puede ser

este fenómeno? Para responder este tipo de pregunta se hace necesario dar un valor numérico

para determinar el grado de posibilidad es por ello que en esta sección y en las siguientes se

estudiaran diferentes métodos y procedimientos para calcular dichos valores.

Es posible que el estudiante de ingeniería en este momento piense que el presente capitulo está

orientado a formar apostadores en potencia, lo cual sería erróneo dado que la teoría de la

probabilidad tiene una gran aplicación en las distintas ramas de la ingeniería un ejemplo de esto

es el ingeniero encargado del diseño de obras civiles que deberá tener presente la probabilidad de

que se presente un evento climático extremo tal como una ráfaga de viento con altas velocidades

que puede resultar fatal para una estructura.

2.1 Espacio Muestral

Para el estudio de un parámetro de interés generalmente se hace necesaria la realización de un

experimento con la finalidad de obtener un patrón o tendencia del fenómeno a partir de los

resultados obtenidos,


Cuando se enuncia la palabra experimento puede pensarse en un laboratorio con los equipos

necesarios para las pruebas y personas calificadas encargadas de la interpretación y toma de los

resultados, pero no siempre se da tal situación se define entonces un experimento cualquier

acción o proceso cuyo resultado se encuentra sujeto a la incertidumbre.

Un experimento puede ser tan simple como lanzar un dado y estar interesado en la numeración

obtenida, los posibles resultados para este experimento serán { }, puede deducirse que la

variabilidad del parámetro de interés se encontrara sujeta a los posibles resultados que puedan

presentarse en este caso seis.

__________________________________________________________________________

Definición

El espacio muestral de un experimento se define como el conjunto de todas las posibles

respuestas que puedan obtenerse en dicho experimento.

La notación del conjunto se realiza con la letra , que se adopta de la traducción en idioma

ingles “Space”

__________________________________________________________________________

Ejercicio 2.1:

Obtener el espacio muestral de un experimento que consiste en lanzar un dado

Solución:

El conjunto de los posibles resultados que pueden obtenerse son:

{ }

Gráficamente,


Ejercicio 2.2:

Considere un experimento que consiste en lanzar una moneda y luego un dado obtener todos los

elementos del espacio muestral que corresponde a este experimento

Solución

El diagrama que se muestra a continuación se conoce como diagrama de árbol, este tipo de

diagrama resulta de gran utilidad en el análisis de problemas complejos de probabilidad

Se puede observar que en el primer nodo se representa el lanzamiento de la moneda por lo tanto

el número de ramas de salen son dos que corresponden al número de posibles resultados, para el

caso del lanzamiento del dado el número de ramas son seis, por tanto el número de ramas que

salen de un nodo es el mismo que posibilidades haya.

{

}

2.2 Evento

En el estudio de la probabilidad de cierto parámetro de interés generalmente se está interesado en

un conjunto de resultados que se encuentran contenidos en el espacio muestral, los cuales

cumplen ciertas características.

__________________________________________________________________________

Definición


Un evento es un subconjunto de resultados contenido en el espacio muestral , existen dos

clases de eventos:

Evento simple: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con un único

elemento es decir un evento de un único resultado.

Evento compuesto: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con más de un

elemento es decir un evento con varios resultados posibles.

__________________________________________________________________________

Ejemplo

Considere el evento de obtener un múltiplo de dos al lanzar un dado. Bosquejar el subconjunto

correspondiente.

Solución

{ }

2.3 Relaciones de la teoría de conjuntos

2.3.1 Intersección:

Sean dos eventos “A” y “B”,

La intersección de “A” y “B” se lee “A intersección B” y se denota como da como resultado

un evento que consiste en los resultados que están contenidos tanto en “A” como en “B” en la

gráfica se observa la región sombreada que pertenece tanto a “A” como a “B”


2.3.2 Unión:

Sean dos eventos “A” y “B”,

La unión de “A” y “B” se lee ”A unión B” que se denota como da como resultado un evento

que consiste en los resultados que están contenidos ya sea en “A” o en “B” por tanto la unión

incluye resultados para los que ocurren tanto “A” como “B” así como los resultados para los cuales

ocurren exactamente uno, esto puede observarse gráficamente como sigue:

2.3.3 Complemento:

Sea “A” un evento

El complemento de “A” se lee “A complemento” y se denota como da como resultado un

evento que contiene todos los resultados del espacio muestral a excepción de los que se

encuentran contenidos en el evento “A”


Ejercicio 2.3

Considere el experimento que consiste en lanzar un dado con los siguientes eventos

Calcular , ,

Solución

Los elementos de los eventos son:

{ }

{ }

El diagrama de Venn que representa la situación planteada es como se muestra:

Del diagrama se puede observar que:

{ }

{ }

{ }

2.4 Definición de probabilidad

__________________________________________________________________________

Definición de probabilidad

Como se vio anteriormente en un experimento se puede llegar a uno de los resultados

contenidos en el espacio muestral , sea un evento con ( ) resultados posibles la

probabilidad de ocurrencia de se define como:

( ) ( )

La probabilidad de A ( ) , puede ser expresada como una fracción, como un porcentaje o como

un número decimal


__________________________________________________________________________

Ejercicio 2.4

Considere el experimento de lanzar un dado y el evento de obtener un número múltiplo de

dos, calcular la probabilidad de ocurrencia del evento .

Solución:

{ }

( ) ( )

( )

Ejercicio 2.5

Una consultoría de proyectos de ingeniería civil ha licitado en tres proyectos Sea

{ }, para y suponga que ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Calcular:

a) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 o 2.

b) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 y 2.

c) La probabilidad de que le sea otorgado a lo más el proyecto 3.

Sugerencia: Recordar que la probabilidad del espacio muestral es uno. ( )

Solución:

Para la resolución del problema planteado es necesario hacer uso del conocido Diagrama de Venn

que para el caso analizado se observa en la siguiente figura.


Las letras corresponden a variables con las cuales se plantearan las ecuaciones que permitan dar

solución al problema propuesto, las ecuaciones son formuladas de acuerdo a las condiciones

suministradas por el enunciado.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:

Solución a)

( )

Solución b)

( )


Solución c)

( )

EJERCICIOS CONJUNTOS Y PROBABILIDAD

1. Encuentre la probabilidad de que en el lanzamiento sencillo de un dado resulte un número

menor que 5.

Respuesta: 2/3 = 0.666667 = 66.6667%

2. En una urna se tienen 8 bolas de las cuales 4 son rojas, 2 son verdes y 2 son azules. Se saca

1 bola al azar, determine:

a) La probabilidad de sacar una bola roja. Respuesta: 4/8

b) La probabilidad de sacar una bola azul. Respuesta: 2/8

c) La probabilidad de sacar una bola verde. Respuesta: 2/8

d) La probabilidad de sacar una bola azul o una bola verde. Respuesta: 0.5 = 50%.

e) Se sacan 2 bolas simultáneamente, determine la probabilidad de sacar una bola azul y

una bola roja. Respuesta: 2/7

3. Un dado se lanza dos veces. Encuentre la probabilidad de sacar un 2 y un 5, sin importar el

orden de obtención.

Respuesta: 1/18 = 0.05556 = 5.556%

4. El acueducto de cierta ciudad ofrece una tasa subsidiada a cualquier familia cuyo consumo de

agua sea menor que cierta cantidad durante un determinado mes. Sea A el evento en el que

una familia elegida al azar, en cierta comunidad no rebasa el consumo subsidiado durante

Agosto, y sea B el evento análogo para el mes de Octubre (A y B se refieren a la misma

familia). Supóngase que P(A)=0.6, P(B)=0.8 y P(AUB)=0.9. Calcule P(A∩B) . Respuesta: 0.5

= 50%.

5. Se elige al azar un alumno de cierto curso de estadística sea A el evento en el que el

estudiante utiliza una tarjeta de crédito VISA y B el evento análogo para una MasterCard.

Suponga que P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A B)=0.25

a) Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga al menos una de las dos

tarjetas

Respuesta: 0.65


b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo seleccionado no tenga ninguna de estas

tarjetas?

Respuesta: 0.35

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado tenga una tarjeta visa pero no

una Mastercad?

Respuesta: 0.25

6. En una determinada localidad residencial, el 40% de los hogares tienen televisor pero no

radio, el 10% de los hogares tienen radio pero no televisor y el 35% tiene televisor y radio.

Determine la probabilidad de que tenga al menos uno de los Aparatos electrónicos.

Respuesta: 0.85 = 85%.

7. Según el ejercicio anterior, determine la probabilidad de que no tenga televisor ni radio.

Respuesta: 0.15 = 15%.

8. Una consultoría de proyectos de ingeniería civil ha licitado en tres proyectos Sea

{ } , para y suponga que ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Calcular:

a) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 o 2.

Respuesta: 0.360

b) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 y 2.

Respuesta: 0.110

c) La probabilidad de que le sea otorgado a lo más el proyecto 3.

Respuesta: 0.640

d) La probabilidad de que no se le otorgue ningún proyecto a la consultoría.

Respuesta: 0.470

9. Se realiza una encuesta entre 250 estudiantes de una reconocida universidad para analizar el

medio de transporte que estos utilizan para llegar al claustro universitario los resultados

fueron los siguientes:

Medio No. Estudiantes

Automóvil 58

Motocicleta 68

Bus 83

Automóvil y Motocicleta 27

Motocicleta y Bus 16

Automóvil y Bus 23

Automóvil, Bus y Motocicleta 12


Calcular:

a) El número de estudiantes que utilizan únicamente Bus. b) El número de estudiantes que no utilizan ninguno de los medios de transporte descritos. c) El porcentaje de estudiantes que utilizan únicamente Motocicleta.

d) El porcentaje de estudiantes que utilizan Automóvil y Motocicleta pero no Bus.

e) El número de estudiantes que utilizan Automóvil o Motocicleta pero no Bus.

Respuesta: a) b) c) d) e)

10. Suponga que cierto ingeniero civil residente de obra en el proyecto de la construcción de un

colegio estudia los eventos A, B, C acerca del daño en una de las grúas empleadas en el

proyecto, suponga los siguientes eventos.

{ }

{ }

{ }

Con probabilidades de ocurrencia.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

a) Calcular la probabilidad de que el equipo haya fallado por mal manejo por parte del

operario y mala calidad del equipo.

b) Calcular la probabilidad de que el equipo haya fallado por mal manejo por parte del

operario o mala calidad del equipo.

c) Calcular la probabilidad de que el equipo haya fallado por mal manejo por parte del

operario o mala calidad del equipo pero no porque el equipo excede el tiempo de vida

útil.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo haya fallado por una causa diferente a A, B y

c?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo haya fallado únicamente por mala calidad del

equipo?


11. En un estudio sobre la falla de estructuras de pavimento se tienen los siguientes eventos con

probabilidades de ocurrencia:

{ }

{ }

{ }


( ) ( | ) ( | ) ( | )

( | ) ( | ) ( | )

a) Calcule la probabilidad de que falle la carpeta asfáltica dado que hubo fallas en la subrasante y en la capa granular.

b) Calcule la probabilidad de que se presente falla únicamente en la carpeta asfáltica. c) Calcule la probabilidad de que fallen la subrasante y la carpeta asfáltica pero no la capa

granular.

Respuesta: a) b) c)

EJERCICIOS TÉCNICAS DE CONTEO

1. De cuantas maneras se pueden ordenar 7 balotas de colores en línea.

Respuesta: 5040

2. Cuantos resultados posibles pueden obtenerse al lanzar tres dados (uno después del otro).

Respuesta: 216

3. Cierto Ingeniero Civil encargado de la venta de apartamentos ofrece siete tipos de

apartamentos, el cliente podrá elegir dos tipos de adicciones en acabados entre los que se

encuentran: puertas de cedro, guardarropas de cedro, cielo raso drywall, piso en

porcelanato para las habitaciones, bañera, estuco veneciano en la cocina y mesón en

mármol de alta calidad. El ingeniero desea crear un aviso bastante llamativo el cual lleva

como frase principal “Venga y escoja entre “n” apartamentos diferentes”. ¿Cuál es el valor

“n”?

Respuesta: 147

4. En una obra un ingeniero residente dispone de 11 ayudantes, si este ingeniero desea formar

una cuadrilla la cual conste de 4 ayudantes ¿Cuántas cuadrillas diferentes podrá formar?

Respuesta: 330

5. Un reconocido restaurante encargado de la venta de almuerzos estudiantiles ofrece a sus

clientes tres sopas, dos platos principales y tres bebidas, si un almuerzo consiste en una

sopa, un plato principal y una bebida ¿Cuántos almuerzos diferentes puede el restaurante

ofrecer a su clientela?

Respuesta: 18


6. Dos reconocidas firmas consultoras “A” y “B” encargadas del diseño de viviendas

unifamiliares ofrecen a sus clientes la opción de elegir el conjunto de profesionales que

actuaran en el diseño de la vivienda deseada, la consultoría A cuenta con 7 arquitectos, 5

ingenieros estructurales y 2 ingenieros de suelos, la consultoría “B” cuenta con 8

arquitectos, 4 ingenieros estructurales y 3 ingenieros de suelos, si el grupo de los

encargados del diseño de una vivienda se componen de un arquitecto, un ingeniero

estructural y un ingeniero de suelos ¿Cuántos grupos diferentes de profesionales una familia

podrá elegir teniendo en cuenta que todos los profesionales deben pertenecer a la misma

firma consultora?

Respuesta: 166

7. Cierto comité de ingenieros civiles consta de siete integrantes, en este comité se premia la

puntualidad de sus asistentes dado que se hace uso de una mesa con 5 sillas quedando dos

de los integrantes de pie los cuales son los últimos en llegar

a) ¿De cuántas formas posibles pueden ubicarse los ingenieros en la mesa del comité?

b) De los 7 integrantes 4 son hombres y 3 son mujeres ¿De cuantas formas posibles

pueden ubicarse los ingenieros si se debe alternar hombre – mujer y las mujeres deben

ir en los lugares pares?

Respuesta: a) 2520 b) 144

8. Una mano de póker consiste en 13 cartas seleccionadas al azar de una baraja de 52 cartas.

a) Calcular la probabilidad de obtener las 13 cartas de corazones

b) Cierto juego consiste en extraer 4 cartas de la baraja sin remplazo, calcular la

probabilidad de sacar los 4 aces

Respuestas: 1/6350135559600.

9. En una urna se dispone de 6 balotas rojas 4 azules y 3 negras si se extraen dos balotas

sucesivamente calcular la probabilidad de obtener:

a) Dos balotas negras.

b) Una balota roja y una azul.

c) Sacar balotas sin obtener alguna de color negro.

d) Si se sacan tres balotas de la urna calcular la probabilidad de obtener una de cada color.

Respuesta: a) 1/26 b) 4/13 c) 15/26 d) 36/143

10. A un ingeniero encargado del diseño de los parqueaderos de un edificio de oficinas el cliente

le indica que requiere de 8 parqueaderos para los automóviles de la empresa. Los

automóviles dos son Mercedez Benz, tres BMW y 3 son Chevrolet.


a) Suponga que por cuestiones de estética los autos de la misma marca deberán quedar

juntos ¿Cuántas formas posibles existen para parquear estos automóviles?

b) Los autos Mercedes Benz pertenecen a los cargos más altos de la empresa los cuales

deben quedar uno al lado del otro mientras que los de las otras marcas pueden quedar

en cualquier orden ¿Cuántas formas posibles existen para parquear estos automóviles

en tales condiciones?

c) Por capricho del cliente la posición de los Mercedes Benz deberán ser { } las

posiciones de los BMW serán { } y los Chevrolet { } ¿Cuántas formas posibles

existen para parquear estos automóviles en tales condiciones?

Respuesta: a) 432 b) 10080 c) 72

11. Una mano de póker consiste en 5 cartas seleccionadas sin remplazo de una barajas de 52

cartas. Determine la probabilidad de obtener.

a) Full: Tres cartas con la misma numeración y otros dos con misma numeración.

b) Escalera: Cinco cartas con numeración consecutiva (El as puede ir al comienzo o al

final).

c) Póker. Cuatro cartas con la misma numeración.

d) Obtener los cuatro ases presentes en la baraja.

e) Obtener cinco cartas de corazones.


12. Un club de ingenieros extranjeros tiene como miembros a dos canadienses tres japoneses

cinco italianos y dos alemanes si se selecciona al azar un comité de cuatro calcule la

probabilidad de que:

a) Todas las nacionalidades estén representadas.

b) Todas las nacionalidades estén representadas excepto los italianos.

c) Todos los miembros del comité son italianos.

d) A lo más dos miembros del comité son italianos.

e) A lo sumo dos miembros sean japoneses.

f) A lo menos un miembro del comité sea alemán.

Respuesta: a) 4/33 b) 8/165 c) 1/99 d) 28/33 e) 54/55 f) 19/33

13. Un estudiante de ingeniería desea ubicar en una biblioteca 11 libros de los cuales 4 son de

matemáticas 5 de física y 2 de química calcular

a) El número de ubicaciones posibles si no se tiene en cuenta el orden de los libros.

b) El número de ubicaciones posibles si los libros de cada una de las asignaturas deben

quedar seguidos.


c) El número de ubicaciones posibles si únicamente los libros de matemáticas deben

quedar seguidos.

d) El número de ubicaciones posibles si los 4 libros de matemáticas jamás deben quedar

seguidos (tres pueden quedar seguidos al igual que dos).

Respuesta: a) 39916800 b) 34560 c) 967680 d) 38949120

14. Un ingeniero residente en la construcción de un reconocido intercambiador cuenta con 11

ayudantes la tarea del día consiste en formar una cuadrilla de 6 ayudantes para las

excavaciones y otra de 5 ayudantes para la fundición de un muro de contención ¿De

cuantas formas diferentes el ingeniero puede formar las cuadrillas descritas?

Respuesta: 462

15. En una urna se dispone de 8 balotas blancas, 5 negras, 6 azules y 7 Rojas. Si se extraen

cuatro balotas de la urna sucesivamente y sin remplazo calcular

a) La probabilidad de obtener 2 blancas y 2 Negras. b) La probabilidad de obtener cuatro balotas del mismo color.

Respuesta: a) b)


Ejercicio 2.6.

La urna A contiene 8 bolas rojas 5 azules en tanto que la urna B contiene 7 bolas rojas y 6 azules.

a) Se lanza un dado si se obtiene un número mayor o igual que 2 se saca una bola de la urna A,

de lo contrario se saca una bola de la urna B. Determine la probabilidad de sacar una bola roja.

b) Si la bola extraída, según el literal anterior, se deposita en la urna diferente a la que se saco y

se lanza de nuevo el dado, manteniendo las mismas condiciones de extracción del literal a.,

cuál es la probabilidad de extraer dos bolas del mismo color.

c) Teniendo en cuenta el numeral a y b, ¿Cuál es la probabilidad de extraer en el orden una bola

roja y luego una bola azul?

Solución:

Para la solución se emplea el diagrama de árbol que se observa en la figura, en donde debe

tenerse en cuenta que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un nodo dede ser

uno.

Efectuando las opresiones necesarias se tiene que:

a)

( )

b)

( )

c)

( )


Figura: Diagrama de árbol para la solución del ejercicio 2.6


EJERCICIOS PROBABILIDAD CONDICIONAL

1. En una encuesta que tiene por objeto estudiar el número de estudiantes de cierta

universidad que ejercitan su cuerpo teniendo en cuenta si es hombre o mujer, se

entrevistan a 145 mujeres y a 163 hombres donde se obtienen los siguientes resultados.

Ejercitan su cuerpo

Si No

Hombres 11 152

Mujeres 25 120

Si se elige a un estudiante al azar calcule:

a) La probabilidad de que sea mujer.

b) La probabilidad de que no ejercite su cuerpo.

c) Si el estudiante resulta ser hombre calcule la probabilidad de que ejercite su cuerpo.

d) Si se sabe que el estudiante ejercita su cuerpo calcule la probabilidad de que sea mujer.

e) Se entrevista nuevamente al estudiante elegido resultando que no ejercita su cuerpo

¿cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

Respuesta: a) b) c) d) e) .

2. Cierto estudiante de ingeniería realiza un trayecto todos los días desde su casa hasta la

universidad donde recibe clases. Suponga los eventos

{ }

{ }

Con probabilidades de ocurrencia

( ) ( ) ( )

a) Calcule la probabilidad de que el estudiante salga a tiempo.

b) Calcule la probabilidad de que el estudiante salga a tiempo y llegue a tiempo.

c) Calcule la probabilidad de que el estudiante no salga a tiempo ni tampoco llegue a

tiempo.

d) Cierto día el estudiante llega a tiempo. Calcule la probabilidad de que el estudiante haya

salido a tiempo.

e) Cierto día el estudiante sale de su casa tarde. Calcule la probabilidad de que llegue a

tiempo.

f) Cierto día el estudiante sale a tiempo. Calcule la probabilidad de que llegue tarde.

Respuesta: a) b) c) d) e) f)


3. Se lanza tres veces una moneda con dos resultados posibles de igual probabilidad de

obtención. Calcular la probabilidad de:

a) Obtener tres caras.

b) Obtener una cara y dos sellos.

c) Obtener tres caras o tres sellos.

d) Obtener una cara y dos sellos o dos caras y un sello

Respuesta: a) 1/8 b) 3/8 c) 1/4 d) 3/4.

4. Una urna U1 contiene 8 balotas blancas, 5 negras y 4 azules, la urna U2 contiene 7 blancas,

6 negras y 8 azules. Se extraen dos balotas sucesivamente sin remplazo de una urna, la

probabilidad de elegir la urna U1 es de 3/4 mientras que la probabilidad de elegir la urna U2

es del 1/4. Calcular la probabilidad de.

a) Obtener dos balotas blancas.

b) Una balota blanca y una balota azul.

c) Obtener dos balotas del mismo color.

d) Obtener una balota de un color y otra de otro color.

Respuesta: a) 61/340 b) 62/255 c) d) .

5. En un experimento estadístico se cuenta con un dado y una moneda. El experimento

consiste en lanzar el dado si el numero obtenido es par se lanza dos veces la moneda, si el

número es impar la moneda se lanza tres veces. Calcular la probabilidad de:

a) Obtener únicamente caras como resultado en la moneda.

b) Obtener a lo menos dos caras.

c) Obtener únicamente caras o sellos como resultado en la moneda.

d) Obtener un número impar en el dado y dos sellos en la moneda.

Respuesta: a) 3/16 b) 3/8 c) 3/8 d) 3/16.

6. La urna A contiene 3 bolas rojas 2 azules en tanto que la urna B contiene 2 bolas rojas y

ocho azules.

a) Se lanza un dado si se obtiene un número mayor que 2 se saca una bola de la urna A, de lo

contrario se saca una bola de la urna B. Determine la probabilidad de sacar una bola roja.

b) Si la bola extraída, según el literal anterior, se deposita en la urna diferente a la que se sacó y se

lanza de nuevo el dado, manteniendo las mismas condiciones de extracción del literal a., cuál es

la probabilidad de extraer en esta ocasión una bola azul

Respuesta: a) 7/15 b) 802/1485.

7. A un examen de estadística se presentan alumnos de cuatro grupos diferentes.

Grupo A: 80 alumnos, de los cuales el 35% son mujeres.

Grupo B: 70 alumnos, de los cuales el 25% son mujeres.


Grupo C: k alumnos, de los cuales el 80% son varones.

Grupo D: 60 alumnos, de los cuales el 85% son varones.

Se les reúne a todos en el aula magna y se elige uno de ellos al azar para repartir el

examen, resultando ser mujer. Si la probabilidad de que pertenezca al grupo D es 0.13.

a) ¿Cuántos alumnos hay en el grupo C?

b) Si se selecciona un alumno al azar ¿Cuál es la probabilidad de que este sea un varón?

c) Se selecciona un alumno al azar, el cual resulta ser un varón ¿Cuál es la probabilidad

de que pertenezca al grupo C?

Respuesta: a) b) 3/4 c) 16/75.

8. Una red de energía eléctrica tiene subestaciones A,B,C la sobrecarga en cualquiera de

ellas puede originar que se interrumpa el abastecimiento de electricidad en toda la red la

historia muestra que la probabilidad de apagón es de 1% si ocurre la sobrecarga en A y de

2% y 3% si sobreviene en las subestaciones B y C respectivamente. La sobrecarga en dos

o más subestaciones de manera simultánea origina apagones en 5% de los casos, durante

una onda cálida hay 60% de posibilidades que solo la subestación A experimente una

sobrecarga. Para B y C estos porcentajes son de 20% y 15%, respectivamente. Si en una

onda cálida especifica tuvo lugar un apagón debido a sobrecarga.

a) Calcule la probabilidad de que haya habido sobrecarga en A o en C

b) Encuentre la probabilidad de que haya habido sobrecarga en dos o más subestaciones

al mismo tiempo.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra apagón?

Respuesta: a) 0.617647 b) 0.147059 c) 0.017.

9. En una estación de servicio, el 40% de los clientes utilizan gasolina corriente, el 35% usan

gasolina extra y el 25% utilizan diesel. De los clientes que utilizan diesel el 50% llenan sus

tanques. De los clientes que utilizan gasolina corriente, solo el 25% llenan sus tanques. El

53.1% de los clientes que no llenan el tanque utilizan gasolina corriente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra y llene el

tanque?

b) Si el siguiente cliente no llena el tanque, ¿cuál es la probabilidad de que pida gasolina?

c) Se sabe que un cliente pide gasolina extra ¿cuál es la probabilidad llene el tanque?

Respuesta: a) 0.2100 b) 0.778761 c) 0.6000.

10. Para evitar que individuos potencialmente peligrosos sean celadores de obra, se ha

establecido un examen psicológico que los aspirantes deben aprobar como requisito sine

qua non para ser contratados. El defecto de esta prueba sin embargo, es que el 8% de los

individuos aptos quedan erróneamente descalificados por haber reprobado, mientras que el

12% de los que no son aptos aprueban y son contratados por equivocación. Suponga que

todos los que pasan son contratados.


a) Si la experiencia muestra que solo el 85% de los celadores son aptos para su trabajo,

determine el porcentaje de aspirantes que lo son.

b) Teniendo en cuenta el numeral a. ¿Cuál es el porcentaje de aspirantes aptos que no

aprueban el examen?

c) Teniendo en cuenta el numeral a. ¿Cuál es la probabilidad de que el examen

psicológico arroje un resultado erróneo?

Respuesta: a) 0.425 b) 6.2963% c) 0.1030.

11. En un sistema de alarma, la probabilidad de esta funcione habiendo peligro es de 0.95, y la

probabilidad de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber

peligro es 0.1.

a) Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no haya peligro.

b) Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya peligro.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la alarma funcione?

Respuesta: a) 22.131%0 b) 5/878 c) 0.1220.

12. La contaminación de las fuentes de agua en Colombia es un problema de grandes

magnitudes que compromete la calidad del agua que es destinada para el consumo

humano:

{ }

{ }

{ }

Donde,

( ) ( | ) ( | ) ( | )

( | ) ( | ) ( | )

a) Calcule la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación, un análisis en la muestra de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua potable para el consumo humano.

b) Calcule la probabilidad de que un análisis de una muestra de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua para el consumo humano

c) Calcule la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación, pero no se permite el suministro de agua potable para la población.

d) Calcule la probabilidad que el rio este expuesto a contaminación, dado que un análisis de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua potable para el consumo humano.

e) Cuál es la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación.

Respuesta: a) 0.015 b) 0.030 c) 0.520 d) 0.500 e) 0.565.


13. Una urna U1 contiene 3 bolas azules y 4 rojas, una urna U2 6 bolas azules y 8 rojas. Se

lanza un par de dados si el numero obtenido de la suma de los dos puntajes es múltiplo de

tres se extraen dos bolas de la urna U1, si es múltiplo de cinco se extraen dos bolas de la

urna U2 y en cualquier otro caso se extrae una bola de la urna U1 y luego una bola de la

urna U2, las dos bolas extraídas según las condiciones anteriores son depositadas en la

urna U1. Finalmente se extrae una bola de la urna U1 (cuando ya han sido depositadas las

dos bolas provenientes de las extracciones anteriores según las condiciones indicadas).

a) Calcular la probabilidad de obtener bolas producto de las tres extracciones en el orden:

roja, azul, roja.

b) Calcular la probabilidad de obtener una bola roja en la extracción de la urna U1 (cuando

ya han sido depositadas los dos bolas provenientes de las extracciones anteriores

según las condiciones indicadas).

Respuesta: a) b)

14. En la urna U1 hay 9 bolas blancas y 7 negras, en la urna U2 hay 7 bolas blancas 5 negras y

8 rojas, en la urna U3 hay 4 bolas blancas y 12 negras. Se extrae una bola de la urna U1

luego una bola de la urna U2 y finalmente una bola de la urna U3 obteniendo así 3 bolas que

se depositan en una urna U4 y se extrae una bola de la urna U4.

a) Calcule la probabilidad de obtener una bola blanca cuando se extrae la bola de la urna U4.

b) Calcule la probabilidad de obtener una bola blanca en la urna U1, una bola roja en la urna U2, una bola negra en la urna U3 y una bola blanca en la urna U4

c) Calcule la probabilidad de que las bolas extraídas de las urnas U1, U2 y U3 sean del mismo color.

Respuesta: a) b) c)

15. Cierto organismo gubernamental emplea a tres empresas consultoras (A,B y C) con

probabilidades de 0.110, 0.350 y 0.250, respectivamente. De la experiencia pasada se sabe

que las probabilidades de excesos en costos de las empresas son 0.05, 0.03 y 0.15,

respectivamente y de otras empresas es de 0.12. En cierto ajuste de cuentas el organismo

gubernamental experimenta un exceso en los costos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa consultora implicada sea la compañía C? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa consultora implicada no sea la empresa B? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el organismo gubernamental no experimente

sobrecostos?

Respuesta: a) b) c)


16. Un reconocido ingeniero debe realizar todos los días un trayecto desde su casa hasta el

lugar de trabajo, la probabilidad de que no logre salir a tiempo de su casa es de 50%, la

probabilidad de que el ingeniero no llegue a tiempo a su trabajo es de 40% y la probabilidad

de que el ingeniero salga a tiempo de su casa y llegue a tiempo al trabajo es del 20%.

a) Calcule la probabilidad de que el ingeniero llegue a tiempo. b) Cierto día el ingeniero sale de su casa tarde, calcule la probabilidad de que llegue a su

trabajo a tiempo. c) Cierto día el ingeniero llega a tiempo, calcule la probabilidad de que haya salido de su

casa tarde.

17. Cierto profesor acostumbrado a llegar tarde a clase recibe una llamada de atención del jefe

de escuela. El profesor con el fin de acostumbrar a sus estudiantes a llegar temprano,

impone a sus estudiantes que ningún estudiante podrá entrar al aula de clase después del

profesor, Un estudiante acostumbrado a llegar tarde siempre tiene una disculpa, 10% de las

veces que llega tarde se debe al transporte, 25% se debe a que se queda dormido, 40% se

debe a su falta de voluntad, 10% a que desayuna tarde. De las veces que llega tarde por

motivo del transporte el 35% alcanza a entrar a clase, de las veces que el estudiante se

queda dormido el 15% alcanza a entrar a clase, de las veces que el estudiante llega tarde

por desayunar tarde 60% no alcanza a entrar a clase, de las veces que llega tarde por otros

motivos el 70% entra a clase. La hermana del estudiante afirma, si mi hermano no alcanza

a entrar a clase la posibilidad que se haya quedado dormido es de 33.1%.

a) Calcule el porcentaje de veces en que el estudiante llega tarde y por tanto no alcanza a

entrar a clase.

b) Si el estudiante desayuna tarde, ¿Cuál es la probabilidad de que no alcance a entrar a

clase?

c) Si el estudiante no alcanza a entrar a clase, ¿Cuál es la probabilidad de que haya tenido

problemas con el transporte?

Respuesta: a) b) c)

18. Para un experimento estadístico se cuenta con una moneda y las tres urnas A, B y C, La

urna A contiene 8 bolas rojas y 10 bolas negras, la urna B contiene 7 bolas rojas y 6 bolas

negras, la urna C contiene 12 bolas rojas y 5 bolas negras. Se lanza la moneda, en el caso

de obtener una cara se extrae una bola de la urna A y en seguida una bola de la urna B, las

dos bolas extraídas son depositadas en la urna C. En el caso de obtener un sello en la

moneda se extrae una bola de la urna B y en seguida una bola de la urna C, las dos bolas

extraídas son depositadas en la urna A. Para finalizar el experimento se lanza nuevamente

la moneda, en el caso de obtener una cara se extrae una bola de la urna C y en el caso de

obtener un sello se extrae una bola de la urna B.

a) Calcular la probabilidad de que en las extracciones realizadas las bolas sean del mismo color.


b) Calcular la probabilidad de obtener la serie: una cara en el primer lanzamiento de la moneda, extraer una bola negra en la urna A, extraer una bola roja en la urna B, obtener una cara en el segundo lanzamiento de la moneda y extraer una bola negra en la urna C.

c) Calcular la probabilidad de que las tres bolas sean extraídas en el orden roja - negra - roja.

Respuesta: a) b) c)

19. Un ingeniero residente de obra afirma, con base en su experiencia y trayectoria, que de los

accidentes que se producen en obra por falta del uso de elementos de protección personal,

el 40% se dan por la falta de guantes, el 20% se dan por falta de botas, el 10% por falta de

casco, el 10% por falta de gafas. De los accidentes causados por falta de guantes el 15%

terminan en hospitalización, por falta de botas el 95% de los casos no terminan en

hospitalización, para los accidentes por falta de cascos el porcentaje de individuos no

hospitalizados corresponde al 75%, el ingeniero recalca que en los casos de otros tipos de

accidentes el 95% no terminan en hospitalización. El médico del centro de salud más

cercano a la obra, afirma que si un paciente es hospitalizado la probabilidad de que el

accidente haya ocurrido por falta de gafas es de 12.3%.

a) Calcule el porcentaje de trabajadores que son hospitalizados a casusa de un accidente por falta de elementos de protección.

b) Calcule la probabilidad de que si un individuo es hospitalizado sea a causa de la falta de botas.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo sea hospitalizado dado que el accidente se

produjo por la falta de guantes?

Respuesta: a) b) c)

20. En un depósito de materiales de construcción, se lleva un riguroso balance de los productos

cotizados, el propietario afirma que el 45% de los materiales cotizados son concretos, el

25% aceros, el 15% tuberías y accesorios, 5% ladrillos. De las cotizaciones de concreto el

20% se convierten en ventas, de las cotizaciones de acero el 75% nunca llegan a

convertirse en ventas, las cotizaciones que de tuberías y accesorios que se convierten en

ventas son el 60%. Se sabe que si se realiza una venta la probabilidad de que sea acero es

de 21.4%, si una cotización no se convierte en venta la probabilidad de que el material

involucrado sea diferente de concreto, acero, tuberías, accesorios y ladrillos es de 9.18%.

a) Calcule el porcentaje de veces que el depósito de materiales de construcción logra convertir una cotización en una venta.

b) Si se realiza una cotización de concretos, calcule la probabilidad de que se logre una venta.

c) Si se logra una venta, calcule la probabilidad de que sean ladrillos.


Respuesta: a) b) c)

21. Un sistema de canalización de agua tiene 4 compuertas, dispuestas como se presentan en

la figura.

Cada compuerta se abre al azar dejando pasar agua (si está abierta) o impidiéndolo.

Suponga las probabilidades siguientes:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Calcular la probabilidad de que un torrente de agua lanzado en el punto A llegue a B.

Respuesta:

22. Una moneda presenta en el anverso una cara y en el reverso un sello. Si se lanza la moneda hasta que aparezca la primera cara y, a continuación, se realizan tantos lanzamientos adicionales como sellos han precedido la primera cara. Determinar:

a) La probabilidad de que aparezca sellos en la primera fase y en la segunda. b) La probabilidad de que el número total de caras supere al número total de sellos. c) La probabilidad de obtener en todos los lanzamientos solo caras o solo sellos.


EJERCICIOS FUNCIONES DE MASA DE PROBABILIDAD Y DENSIDAD DE PROBABILIDAD

Formulas: Variable aleatoria discreta:

( )

∑ ( )

( ) Función de distribución de probabilidad acumulada

( ) ∑ ( )

Valor esperado

( ) ∑ ( )

( ) ∑ ( ) ( )

Varianza

( ) ∑( ) ( )

Coeficiente de variación

Coeficiente de asimetría

( )

Coeficiente de curtosis

( )

Variable aleatoria continúa:

( )

∫ ( )

( ) ∫ ( )


Función de distribución de probabilidad acumulada

( ) ∫ ( )

Valor esperado

( ) ∫ ( )

( ) ∫ ( ) ( )

Varianza

( ) ∫ ( ) ( )

Coeficiente de variación

Coeficiente de asimetría

( )

Coeficiente de curtosis

( )

1. Un negocio de suministro de materiales de construcción que atiende pedidos por correo, tiene seis líneas telefónicas. Sea X el número de líneas en uso en un momento específico. Suponga que la función de masa de probabilidad está dada en la siguiente tabla

x 0 1 2 3 4 5 6

p(x) 0.10 0.15 a 0.25 0.20 0.06 0.04

a) Calcular el valor de a. b) Calcular la función de probabilidad acumulada c) Graficar la función de probabilidad acumulada d) Calcular la probabilidad de que a lo sumo tres líneas están en uso e) Calcular la probabilidad de que menos de tres líneas están en uso f) Calcular la probabilidad de que por lo menos tres líneas están en uso g) Calcular la probabilidad entre dos y cinco líneas. Inclusive están en uso h) Calcular la probabilidad entre dos y cuatro líneas. Inclusive no están en uso i) Calcular la probabilidad de que por lo menos cuatro líneas no están en uso

Respuesta: a) 0.2 b) ( ) c) d) 0.7 e) 0.45 f) 0.55 g) 0.71 h) 0.35 i) 0.7


( )

{

}

2. El peso de arrastre real de un diamante en una máquina que se utiliza para cortar ciertos

metales se fija en 3 [gr] que se puede considerar como una variable aleatoria continúa “x”

con función de densidad de probabilidad:

( ) { ( ( ) )

}

a) Calcular el valor de “k”.

b) Calcular la probabilidad de que el peso del diamante sea a lo sumo 4 gr

c) Calcular la probabilidad de que el peso del diamante se encuentre entre 2.5 gr y 3.5gr

d) Calcular la probabilidad de que el peso del diamante sea a lo menos de 2.5 gr

e) Obtener la función de densidad de acumulada

f) Calcular el valor esperado para el peso de arrastre real.

g) Calcular el coeficiente de variación.

h) Calcular el coeficiente de curtosis.

i) Calcular el coeficiente de asimetría.

j) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso de arrastre sea mayor que el establecido?

k) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso real difiera del peso descrito en 0.5 [gr]?

Respuestas: a)

b) 1 c) 0.6875 d) 0.84375 e) f) g)

√

h)

i)

j) 0.5 k) 0.6875

( ) {

}

3. Un gremio de inversionistas que evalúa apartamentos nuevos, suele informar la cantidad de defectos importantes en cada apartamento de una determinada edificación. Sea x el número de defectos importantes en un apartamento de cierta edificación, la función de distribución acumulada es:


( )

{

}

a) p(3), es decir, p(x=3) b) p(x>3)

c) p(2 x 5) d) p(2<x<5)

4. Un maestro de universidad nunca termina sus clases antes de que termine la hora y

siempre termina su clase dentro de los dos minutos después de la hora. Sea “x” el tiempo

que trascurre entre el final de la hora y el fin de la clase. Suponga que la función de la

densidad de probabilidad es:

( ) {

}

a) Encontrar el valor de “k”. b) Obtener la función de distribución acumulada de probabilidad. c) Calcular la mediana del tiempo que transcurre entre el final de la hora y el fin de la

clase. d) ¿Cuál es la probabilidad de que la clase termine dentro de un minuto después de que

termina la hora?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe mas allá de la hora entre 60 y 90 segundos?

f) Calcular el tiempo esperado que trascurre entre el final de la hora y el final de la clase. g) Calcular el coeficiente de asimetría.

h) Calcular el coeficiente de curtosis.

Respuesta: a)

b) c)

d)

e)

f)

g)

√

h)

( ) {

}


RECOMENDADO

5. Sea una variable aleatoria continua Z con fdp:

( ) {

}

a) Determine la constantes a y b si 0 es la mediana de z b) Determine la función de distribución acumulada c) Calcule la probabilidad, p(z<-2) d) Calcule la probabilidad, p(z<4) e) Calcule la probabilidad, p(z>4) f) Calcule la probabilidad, p(-2<z<5) g) Calcule el valor esperado de z h) Calcule el coeficiente de variación de z i) Calcule el coeficiente de asimetría de z j) Calcule el coeficiente de curtosis

Respuesta: a)

b) c) 0.147584 d) 0.990842 e) 0.009158 f) 0.849047 g) -

10.4666 h)

( ) {

( )

}

6. Según informes de la Secretaria de Ecología y Protección al Medio Ambiente de la Ciudad de México, la variable aleatoria x que denota el número aproximado de decenas de toneladas de materias fecales en polvo (principalmente humanas y de perro) que flotan en el aire en la ciudad de México en un día cualquiera, puede estimarse mediante la función de densidad de probabilidad siguiente

( ) ( )

a) Calcular el valor de K b) Determinar la función de distribución acumulada c) Calcular la probabilidad de que la cantidad de toneladas de materias fecales en polvo

sea a lo menos 4 d) Calcular la probabilidad de que la cantidad de toneladas de materias fecales en polvo

sea a lo más 5 e) Calcular la probabilidad de que la cantidad de toneladas de materias fecales en polvo

se encuentre entre 3 y 4 toneladas f) Calcular la probabilidad de que la cantidad de toneladas de materias fecales en polvo

se encuentre a no más de 2 toneladas con respecto al valor esperado g) Calcular el coeficiente de asimetría h) Calcular el coeficiente de curtosis


i) Calcular el coeficiente de variación

Respuesta: a)

b) c) 0.406006 d) 0.712703 e) 0.15182 f) 0.536611 g) √ h)

( ) {

}

7. El número de imperfecciones por 10 metros de un Geotextil utilizado en la estabilización de un talud de una vía en construcción cuenta con una función de masa de probabilidad:

x 0 1 2 3 4

f(x) 0.41 k 0.16 0.05 0.01

a) Calcular el valor de “k”. b) Obtener la función de probabilidad acumulada. c) Graficar la función de probabilidad acumulada. d) Calcular la probabilidad de tener menos de tres imperfecciones en 10 metros de

Geotextil. e) Calcular la probabilidad de encontrar a lo más 3 imperfecciones en 10 metros de

Geotextil. f) Calcular la probabilidad de encontrar a lo menos 3 imperfecciones en un rollo de 10

metros. g) Calcular la probabilidad de encontrar entre una y tres imperfecciones, inclusive, en un

rollo de 10 metros. h) Calcular el coeficiente de variación del número de defectos del geotextil i) Calcular el coeficiente de asimetría j) Calcular el coeficiente de curtosis

Respuesta: a) b) c) d) 0.94 e) 0.99 f) 0.06 g) 0.58 h) 1.04496 i) 0.933846 j) 3.4337717

( )

{

}

8. Sea X una variable aleatoria discreta con la siguiente distribución de probabilidad

x 1 3 5


p(x) P1 P2 P3

Si se sabe que la media de X es 0.30 y la varianza de X es 2.51, determine los valores de las probabilidades P1, P2 y P3.

9. Una variable aleatoria X tiene la siguiente fmp:

x 2 3 x3 8

p(x) 0.15 P2 0.30 P4

Si se sabe que y la ( ) , calcule el coeficiente de asimetría de X

10. Dada la variable aleatoria con la siguiente FDA

( )

{

}

Determine ( ) Respuesta: 0.65625

11. El número total de horas, en unidades de 100 horas que una luminaria de sodio permanece prendía en un parqueadero sin averiarse es una variable aleatoria con función de densidad

de probabilidad ( ), para prevenir posibles incidentes tales como incendios por la falla de las luminarias el fabricante estipula que el tiempo máximo de servicio de una luminaria deberá ser de 7500 [horas].

( )

{

}

a) Si la mediana del tiempo que la luminaria permanece prendida sin averiarse es de

3200 [horas] y según especificaciones del fabricante la luminaria tiene un 85% de posibilidad de funcionar entre 1000 y 6000 [horas] sin averiarse. Calcular los valores de a,b y c.

b) Calcular el tiempo esperado de funcionamiento de la luminaria.

c) Calcular el coeficiente de variación de . d) Calcular el coeficiente de asimetría. e) Calcular el coeficiente de curtosis. f) Obtener la función de probabilidad acumulada g) Calcular la probabilidad de que el tiempo que la luminaria permanece prendida sin

averiarse sea inferior de 2500 [horas].


h) Calcular la probabilidad de que el tiempo que la luminaria permanece prendida sin averiarse se encuentre entre 2500 y 5000 [horas]

Respuesta: a) b) ( ) c) d) e) f)

( )

{

( )

}

12. La medida del tiempo en minutos que un ingeniero director de obra gasta en reprender a

sus empleados en el día es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad ( ), según un reconocido psicólogo el tiempo para reprender no debe ser superior a 30 minutos para evitar el riego de trauma psicológico.

( )

{

(

)

}

a) Si la mediana del tiempo en que el director de obra reprende a sus súbditos es de 17

minutos, por experiencia se sabe de que la posibilidad de que este director reprenda a un súbdito durante un tiempo de entre 5 y 25 minutos es de 87%. Calcular los valores de a,b y c.

b) Suponga que usted es un empleado del director de obra ¿Cuál es el tiempo esperado para que se le reprenda?

c) Calcular el coeficiente de variación de . d) Calcular el coeficiente de asimetría. e) Calcular el coeficiente de curtosis. f) Obtener la función de probabilidad acumulada g) Calcular la probabilidad de que el tiempo de un regaño dure más de 5 minutos. h) Calcular la probabilidad de que un regaño dure entre 10 y 20 minutos. i) Calcular la probabilidad de que el tiempo para un regaño sea a lo más de 7 minutos.

Respuesta: a) b) ( ) c)

d) e) f)


( )

{

(

)

(

√ (

√ ) )

}

13. Una reconocida constructora de edificaciones de vivienda, se encuentra interesada en

estudiar la estatura de sus empleados que laboran en obra, el objetivo es realizar algunas

modificaciones en la ropa de trabajo y los elementos de protección personal. La compañía

para estudiar la estatura de sus empleados realiza una toma de datos, entre una muestra

representativa de los trabajadores, y contrata a un estudiante de Ingeniería Civil

apasionado por el estudio de la estadística para que modele una función de densidad de

probabilidad con la estatura como variable aleatoria. Suponga que el estudiante determina

la siguiente función de densidad de probabilidad.

( ) {

√

}

a) Si el 56% de los trabajadores tienen una estatura inferior a 1.72 m, y el 72% de los trabajadores una estatura superior a 1.64 m, calcular los valores de las constantes a, b, c y obtener la función de distribución acumulada.

b) Calcule el valor de estatura esperado en los empleados de la constructora. c) Calcule la probabilidad de que la estatura de un empleado elegido al azar se encuentre

entre 1.61 y 1.78 m.

Respuesta: a) b) ( ) c)

( )

{

| | }

14. Un estudiante de ingeniería civil debe recorrer todos los días un trayecto considerable

desde su casa hasta el lugar en el que se encuentra la universidad, el estudiante dispone

de dos horas para almorzar, tiempo que es insuficiente para ir hasta su casa, por esta

razón el estudiante compra el almuerzo en la cafetería de la universidad. El tiempo que el

estudiante ha utilizado para esperar su almuerzo lo ha dedicado a modelar la siguiente

función de distribución acumulada, donde la variable aleatoria es el tiempo de espera en la


cafetería en minutos, el estudiante afirma que no espera un tiempo superior a 30 minutos

pues de darse el caso prefiere quedarse sin almorzar

( )

{

( )

|

| ( )

|

| |

| ( )

}

( )

a) Obtener la función de densidad de probabilidad y el valor de las constantes a, b y c. b) Calcular el tiempo más probable que el estudiante tendrá que esperar para que le

sirvan su almuerzo. c) Calcular la probabilidad de que el estudiante tenga que esperar en la fila a lo más un

tiempo de 19 minutos.

Respuesta: a) b) ( )

c)

( )

{

}

15. En un grupo de investigación laboran, Estudiantes de Ingeniería Civil, con una gran de

dedicación y sentido del deber, situación que tiene como consecuencia la alta ocupación

de los seis equipos informáticos disponibles para trabajar, uno de los estudiantes

interesado en el arduo trabajo estudia el número de equipos disponibles a determinada

hora del día, para el estudio realiza una toma de datos en la sala de informática durante

varios días y finalmente obtiene la siguiente función de masa de probabilidad acumulada.

( )

{

}

Se sabe que:


( ) ( ) ( )

a) Obtener los valores de las constantes a, b y c además de la función de masa de probabilidad.

b) Calcular la probabilidad de que se encuentren disponibles entre dos y cinco computadores, inclusive.

c) Calcular el coeficiente de asimetría para el número de computadores disponibles.

Respuesta: a) b) c)

16. En la construcción de la Fase II de un reconocido Megacolegio se debe realizar una excavación de gran volumen, el ingeniero residente de la obra en construcción pidió a un estudiante de Ingeniería Civil de la Universidad Industrial de Santander, modelar una función de densidad de probabilidad para el tiempo que una volqueta dobletroque permanece en la obra, desde el momento de la entrada hasta el momento de la salida de la obra, tiempo que según especificaciones de la interventoría no deberá ser superior a 15 minutos, el estudiante llego a la función de distribución acumulada:

( )

{

(

) ( )

(

) ( ) (

)

( ) (

)

( ) (

) (

)

}

a) Si el ingeniero residente sabe por experiencia que la probabilidad de que el tiempo que una volqueta demore en la obra sea inferior a 10 minutos es de 35,56%, la probabilidad de que se demore entre 3 y 7 minutos inclusive es de 13,33% y según el estudiante de ingeniería la mediana del tiempo que demora una volqueta es de 12,5064 minutos. Calcule los valores de a,b,c y d.

b) Obtener la función de densidad de probabilidad ( ). c) Graficar la función de densidad de probabilidad ( ). d) Graficar la función de densidad acumulada de probabilidad ( ). e) Calcular el tiempo más probable que una volqueta demora en la obra. f) Calcular la probabilidad de que el tiempo que una volqueta demore en la obra sea a lo

más de 9 minutos. g) Calcular la probabilidad de que el tiempo que una volqueta demore en la obra sea a lo

menos 10 minutos. h) Calcular la probabilidad de que el tiempo que una volqueta demore en la obra sea a lo

sumo 6 minutos. i) Calcular la probabilidad de que el tiempo que una volqueta demore en la obra se

encuentre entre 9 y 12 minutos, inclusive. j) Calcular el coeficiente de curtosis del tiempo que demora una volqueta en la obra. k) Calcular el coeficiente de asimetría del tiempo que demora una volqueta en la obra.


17. Cierto estudiante de ingeniería auxiliar de la asignatura de Estadística, es un fiel fanático

del modelado matemático a partir de datos estadísticos y su área de mayor fascinación de la Estadística es la Teoría de la Probabilidad, en la asignatura todos los semestres se aplica una prueba de conocimientos previos que consta de 10 preguntas, el estudiante con el objetivo de analizar el comportamiento probabilístico de la variable aleatoria del número de respuestas correctas modela una función de masa de probabilidad a partir del historial de notas obtenidas por los estudiantes de los semestres anteriores.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p(x) 0.15 a 0.13 b 0.09 c 0.07 d 0.03 0.03 e

a) Se sabe que el valor más probable de respuestas correctas es de 3.06, la varianza del

número de respuestas correctas es de 6.6364, la probabilidad de que un estudiante conteste entre 2 y 6 preguntas, inclusive, de forma correcta es de 0.5 y la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen es de 0.19 (el examen se aprueba con 6 o más respuestas de forma correcta), calcule los valores de a,b,c,d y e.

b) Calcule el coeficiente de curtosis. c) Calcule el coeficiente de asimetría. d) Obtenga la función de distribución acumulada de probabilidad. e) Grafique las funciones de masa de probabilidad y densidad de probabilidad acumulada. f) Calcule la probabilidad de que un estudiante conteste de forma correcta a los sumo

tres de las preguntas. g) Calcule la probabilidad de que un estudiante conteste de forma correcta a lo menos 2

preguntas de forma correcta h) Calcule la probabilidad de que un estudiante conteste de forma correcta entre 4 y 7

preguntas, inclusive, de forma correcta.


Distribución Binomial

La distribución binomial es aplicable en un experimento donde se estudia una variable aleatoria

discreta, que corresponde al número de éxitos , que se presentan en ensayos, donde:

1. Los ensayos son independientes. 2. Cada uno de los ensayos tiene dos resultados posibles Éxito o Fallo.

3. La probabilidad de éxito permanece constante, al igual que la probabilidad de fallo .

La variable aleatoria discreta , que representa el número de éxitos que suceden en ensayos tiene la función de masa de probabilidad ( ), denotada como ( ).

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) Donde,

Número de ensayos. Número de éxitos.

Probabilidad de éxito.

Distribución Geométrica

La distribución geométrica es aplicable en un experimento donde se estudia una variable aleatoria

discreta, que corresponde al número ensayos , que deben realizarse para obtener el primer éxito, donde.



La función de masa de probabilidad de la distribución geométrica ( ), que da como resultado la

probabilidad de obtener el primer éxito en el ensayo , está definida como:

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

Donde,

Número del ensayo en el que ocurre el primer éxito.

Probabilidad de éxito.


Distribución Binomial Negativa

La distribución Binomial Negativa es aplicable en un experimento donde se estudia una variable

aleatoria discreta, que corresponde al número ensayos , que deben realizarse para obtener el éxito, donde:



La función de masa de probabilidad de la distribución Binomial negativa ( ) , que da como

resultado la probabilidad de obtener éxito en el ensayo , está definida como:

( ) ( ) (

) ( )

( )

( )

( )

Donde,

Número del ensayo en el que ocurre el éxito. Numero de éxitos. Probabilidad de éxito.

Distribución Poisson

La distribución Poisson es aplicable en un experimento donde se estudia una variable aleatoria

discreta, que corresponde al número de éxitos , que ocurren en un tiempo determinado ,

teniendo en cuenta una frecuencia de éxitos .

La función de masa de probabilidad de la distribución Poisson ( ), que da como resultado la probabilidad de obtener éxitos, en un tiempo , está definida como:

( ) ( )

( ) ( ) Donde,

Número de éxitos. Intervalo de tiempo, área, volumen, etc, analizado


Ejercicios distribuciones de probabilidad (binomial, binomial negativa, geométrica y poisson)

1. Un examen de resistencia de materiales consta 10 preguntas con cuatro opciones de

respuesta. Suponga que cierto estudiante no prepara el examen, por lo cual se ve obligado a adivinar cada una de las respuestas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste de forma correcta exactamente 3

preguntas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste a lo más 5 preguntas de forma

correcta? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste entre 5 y 7 preguntas inclusive de

forma correcta? d) Si el examen se aprueba con 6 o más respuestas correctas ¿cuál es la probabilidad de que

este estudiante poco responsable apruebe el examen? e) ¿Cuál es el número esperado de respuestas correctas en el examen del estudiante

descrito? f) Calcular el coeficiente de variación del número de respuestas correctas en el examen del

estudiante g) Encontrar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada h) Graficar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada


2. Cierto ingeniero civil dedicado a la docencia debe recorrer todos los días un trayecto desde su vivienda hasta el lugar de trabajo, en el trayecto debe pasar por un cruce congestionado que cuenta con un semáforo el cual está en verde el 35% de las veces. Suponga que comienza una semana laboral con el lunes como primer día laboral de la semana. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera mañana en que se pasa el semáforo en verde

sin tener que esperar sea el día jueves? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera mañana en que se pasa el semáforo en verde

sin tener que esperar se encuentre entre los días martes y jueves, inclusive? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera mañana en que se pasa el semáforo en verde

sin tener que esperar sea a lo menos el día jueves? d) ¿Cuál es el día esperado en el que el semáforo se encontrara en verde?

Respuesta: a) b) c) d)

3. Una prueba consiste en someter probetas cilíndricas de concreto de 10 [cm] de diámetro y 20 [cm] de altura a un esfuerzo normal de 3000 [psi] con el objetivo de determinar si cumple el esfuerzo de diseño, se sabe por experiencia que el 15% de las probetas de este tipo de concreto no cumplen con la resistencia de diseño. Suponga que se analiza un lote de 8 probetas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen exactamente 4 probetas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen a lo más 3 probetas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna probeta falle? d) ¿Cuál es la probabilidad de que no fallen más de 7 probetas?


e) ¿Cuál es el número más probable de probetas que fallan? f) Calcule el coeficiente de variación del número de probetas que fallan g) Encontrar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada h) Graficar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada


4. Cierto individuo estudiante de ingeniería es famoso entre sus compañeros de estudio por transmitir información errónea basada en algún acontecimiento, sus compañeros más allegados saben que a este individuo hay que creerle una cuarta parte de lo que dice (basados en la experiencia). Suponga que hay un nuevo rumor que este individuo comenta a 10 personas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que a exactamente 6 personas se les diga la verdad? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo menos a 5 personas se les suministre información

errónea? c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 4 y 8 personas inclusive se les diga la verdad? d) ¿Cuál es la probabilidad de que a ninguna persona se le dé la información correcta? e) ¿Cuál es el número esperado de personas al cual este individuo le suministra información

correcta? f) Encontrar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada. g) Graficar las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada. h) Calcular el coeficiente de curtosis para el número de personas que el individuo mencionado

le suministra información incorrecta

Respuesta: a) b) c) d) e) h)

5. Una maquina produce piezas metálicas, de las cuales el 0.1% son de pésima calidad ¿Cuántas piezas deberán producirse para que la probabilidad de que haya por lo menos una pieza de pésima calidad sea mayor a 0.5?

Respuesta:

6. Los grandes maestros Vishy Anand, de la India, y Garry Kasparov, de Rusia juegan una serie de partidas de ajedrez (match). Los expertos estiman que la probabilidad de que una partida entre ellos termine en tablas (empate) es de 0.8. Si en total disputaran 24 partidas, para definir el campeonato del mundo, halle el número más probable de partidas que terminarán en tablas.

Respuesta: 7. Dos tiradores disparan al blanco. La probabilidad de fallar un solo disparo para el primer tirador

es igual a 0.2, y para el segundo, 0.4. Halle el número más probable de disparos para los cuales no se hará ni un solo blanco, si los tiradores efectúan 25 disparos cada uno y lo hacen simultáneamente.

Respuesta:


8. Un ingeniero de tráfico afirma que uno de cada 10 accidentes automovilísticos son causador por fatiga del conductor. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres de cinco accidentes automovilísticos sean causados por fatiga del conductor?

Respuesta: **Recomendado 9. La biblioteca de cierta universidad genera multas a sus usuarios por concepto de atraso en la

entrega de los libros, multas que deben pagarse en un cubículo que es atendido por un individuo que generalmente atiende de mal humor por lo que sus servicios han generado el repudio en los estudiantes. La comunidad estudiantil decide redactar una carta para generar una petición de remoción del cargo de tal individuo para ello se recolectan firmas entre los estudiantes. Si la aceptación de tal individuo entre la comunidad estudiantil es del 8% calcular: a) La probabilidad de que en un grupo de 10 estudiantes 8 firmen para apoyar la iniciativa de

la remoción del cargo de tal individuo. b) La probabilidad de que se tenga que abordar a 7 estudiantes para encontrar la primera

persona que no firme la propuesta de la remoción al cargo. c) La probabilidad de que en un grupo de 8 estudiantes a lo menos 7 firmen para apoyar la

iniciativa de la remoción del cargo de tal individuo. d) La probabilidad de que se tenga que abordar a 15 estudiantes para encontrar 13 personas

que firmen la revocatoria del funcionario. e) La probabilidad de que en un grupo de 10 todos firmen para la revocatoria del funcionario. f) El número más probable de firmas que se recolectaran en un grupo de 30 personas. g) El número más probable de estudiantes que se tendrán que abordar para encontrar dos

personas que no firmen la propuesta de revocatoria. h) El número de estudiantes que se deberán abordar para que la probabilidad de que dos de

ellos no firmen la propuesta sea de 0.05. i) El número de estudiantes que se deben abordar para que la probabilidad de encontrar el

primero que no firme la propuesta sea de 0.025. j) El estudiante encargado de recoger las firmas afirma que en su planilla registra en

promedio 2 firmas cada 10 minutos ¿Cuál es la probabilidad que en 20 minutos este estudiante logre registrar exactamente 5 firmas?

k) El estudiante encargado de recoger las firmas afirma que en su planilla registra en promedio 2 firmas cada 10 minutos ¿Cuál es la probabilidad que en 30 minutos este estudiante logre registrar entre 3 y 5 firmas inclusive?

l) El estudiante encargado de recoger las firmas afirma que en su planilla registra en promedio 2 firmas cada 10 minutos ¿Cuál es la probabilidad que en 15 minutos este estudiante logre registrar a lo más 3 firmas?

m) A un grupo de 20 estudiantes se les reúne en un aula, 17 de tales estudiantes firmaron la propuesta y los restantes no firmaron. Se seleccionan 5 estudiantes al azar ¿Cuál es la probabilidad de que 4 estudiantes hayan firmado y 1 no haya firmado?

Respuesta: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m)

10. El número de defectos en rollos de geotextil (utilizado para hacer filtros para taludes) de cierta industria tiene una media de 0.1 defectos por metro cuadrado.


a) ¿Cuál es la probabilidad de tener dos defectos en un metro cuadrado de geotextil? b) ¿Cuál es la probabilidad de tener un defecto en 10 metros cuadrados de geotextil? c) ¿Cuál es la probabilidad de no hallar defectos en 20 metros cuadrados de geotextil? d) ¿Cuál es la probabilidad de que existan al menos dos defectos en 10 metros cuadrados de

geotextil?


11. Una gran encuesta en una reconocida ciudad arroja como resultado que el 63% de las personas encuestadas no se encuentran a gusto con la pareja sentimental con la que comparten en la actualidad. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga que entrevistar a 8 personas para encontrar

alguien que no esté a gusto con su pareja sentimental actual? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga que entrevistar a 4 personas para encontrar a dos

personas que no estén a gusto con su pareja sentimental actual? c) ¿Cuál es la probabilidad de tener que entrevistar entre 3 y 5 personas inclusive para

encontrar una persona que se encuentre a gusto con su pareja? d) ¿Cuál es el número más probable de personas que se deben encuestar para encontrar a

alguien que se encuentre a gusto con su pareja? e) ¿Cuál es el número más probable de personas que se deben encuestar para encontrar a

alguien que no se encuentre a gusto con su pareja? f) Calcular el coeficiente de variación para el número de personas que se deben encuestar

para encontrar a alguien que se encuentre a gusto con su pareja.


12. Un laboratorio de una reconocida planta encargada del suministro de concreto a diferentes obras recolecta muestras de sus concretos que son utilizados en columnas con el objetivo de verificar la calidad del producto ofrecido al público. La prueba consiste en verificar con un ensayo de compresión la resistencia al esfuerzo normal para el cual fue diseñado el concreto. Según la experiencia se sabe que aproximadamente el 7% de los concretos suministrados no cumplen con la resistencia de diseño, suponga que se analiza cierto lote de probetas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que analizar 25 probetas para encontrar una que no

cumple con la resistencia de diseño? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la probeta analizada en la posición 17 sea la primera que

falle? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera probeta que falle se encuentre entre la analizada

en la posición 17 y la posición 20, inclusive? d) Si 20 probetas se seleccionan del lote al azar y se analizan ¿Cuál es el número esperado

de probetas que no cumplen con la resistencia? e) Si 25 probetas se seleccionan del lote al azar y se analizan ¿Cuál es el número esperado

de probetas que cumplen con la resistencia? f) ¿Cuál es el número esperado de probetas que se tendrá que analizar para encontrar la

primera que no cumple con la resistencia de diseño? g) Suponga que se analizan 35 probetas ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más dos no

cumplan con la resistencia de diseño?


Respuesta: a) b) c) d) e) f) g)

13. Un inspector de calidad, se desempeña en el área de muebles para oficinas, suponga que cierto día el inspector es contratado por una prestigiosa universidad para verificar el estado de un aula magistral adscrita a la escuela de Ingeniería Civil. De acuerdo a las observaciones, el inspector afirma que aproximadamente un 25% de las sillas requieren mantenimiento. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector tenga que analizar 10 sillas para encontrar 3

que necesiten mantenimiento? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector tenga que analizar 8 sillas para encontrar 6

que no requieran mantenimiento? c) Si se elige un lote de 15 sillas, ¿Cuál es la probabilidad a lo más 4 sillas requieran

mantenimiento? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el inspector tenga que analizar 5 sillas para encontrar la

primera que requiera mantenimiento? e) Calcule el número más probable de sillas que el inspector tendrá que analizar para

encontrar 5 sillas defectuosas. f) Si se tiene un aula con 40 sillas, ¿Cuál es el número más probable de sillas que no

requieren reparación?


14. Un estudiante de ingeniería debe trabajar para cubrir sus gastos de universidad, para tal fin trabaja los fines de semana como cajero en un reconocido supermercado, el estudiante afirma que su trabajo es muy eficiente al punto de atender en promedio tres clientes por minuto. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un tiempo de 3 minutos el estudiante atienda a 10

clientes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un tiempo de 2 minutos el estudiante atienda entre 4 y 7

clientes, inclusive? c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un tiempo de 1.5 minutos el estudiante atienda a lo

menos 4 clientes? d) ¿Cuál es el número más probable de clientes que el estudiante atiende en una hora



Distribución Exponencial

La distribución Exponencial es aplicable en un experimento donde se estudia una variable aleatoria continua, que puede corresponder a un tiempo, un volumen, un área, una distancia, etc

variable que usualmente se representa como , el valor de la variable aleatoria continua corresponde al tiempo, intervalo que debe darse para que ocurra un éxito:

La función de masa de probabilidad de la distribución Exponencial ( ) es de la forma:

( ) {

}

( )

( )

Donde,

Variable aleatoria continua que puede representar tiempo, área, volumen, etc. Numero promedio de éxitos por unidad de tiempo, área volumen, etc.

Distribución Gamma

La distribución Gamma es aplicable en un experimento donde se estudia una variable aleatoria continua, que puede corresponder a un tiempo, un volumen, un área, una distancia, etc variable

que usualmente se representa como , este intervalo de la variable aleatoria continua corresponde al intervalo que debe darse para que ocurra un éxito:


Ejercicios distribuciones de probabilidad (Exponencial, Poisson, Normal)

1. Suponga que en un punto de venta de vivienda usada los clientes, independientemente de que pregunten sobre vivienda unifamiliar o apartamento, lo hacen con un promedio de 26 clientes por hora. a) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de una hora lleguen exactamente 24 clientes b) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 15 minutos lleguen exactamente 6 clientes c) Calcule la probabilidad de que se espere un tiempo de menos de cinco minutos antes de

que llegue el próximo cliente. d) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 3 minutos lleguen entre 1 y 3 clientes,

inclusive e) Calcule la probabilidad de que se espere un tiempo entre 2 y 4 minutos antes de que llegue

el próximo cliente f) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 2 minutos lleguen a lo menos dos clientes g) Calcule la probabilidad de que se espere un tiempo que diste de la media no más de una

desviación estándar.

Respuesta: a) b) c) d) e) f) g)

2. En la construcción del sistema de drenaje de una cancha se utiliza un geotextil no tejido que tiene una alta permeabilidad permitiendo el flujo de agua a través de este, según el fabricante el geotextil presenta un promedio de 0.1 imperfecciones por metro cuadrado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos imperfecciones en 1 metro cuadrado de

geotextil? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya una imperfección en 10 m2 de geotextil? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya imperfecciones en 20 m2 de geotextil? d) ¿Cuál es la probabilidad de que en 40 m2 haya a lo más 3 imperfecciones en el geotextil? e) ¿Cuál es la probabilidad de que en 30 m2 haya a lo menos 2 imperfecciones en el geotextil?


3. La longitud media del tiempo para que un individuo sea atendido en una reconocida cafetería ubicada en la ciudad de Bucaramanga es de 3 minutos a) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 2 minutos no se despache ningún cliente en

la cafetería. b) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 5 minutos sean atendidos exactamente dos

clientes de la cafetería. c) Suponga que usted requiere comprar parte del desayuno en esta cafetería y al momento de

llegar es atendido inmediatamente, calcule la probabilidad de que el tiempo en ser atendido sea a lo más 2.5 minutos.

d) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 5 minutos sean atendidos a lo menos dos clientes de la cafetería.

e) Calcule la probabilidad de que en un tiempo de 7 minutos sean atendidos a lo más 3 clientes en la cafetería.

f) Keyla una reconocida clienta de la cafetería realiza una apuesta con su mejor amiga que consiste en que comprara productos de la cafetería en 5 días diferentes y que de estos días


en por lo menos dos será atendida en un tiempo inferior a 2 minutos, calcule la probabilidad de que Keyla gane la apuesta a su mejor amiga.


4. Para la Escuela de Ingeniería Civil de una reconocida universidad Colombiana trabaja una

secretaria encargada de la atención a estudiantes quien es popular entre estos por su mal humor, y largas conversaciones de teléfono con sus amigas. El tiempo medio que demora en despachar a un estudiante es de 5 minutos de los cuales 2 son dedicados a la investigación de nuevos chismes con sus amigas al teléfono. a) Suponga que usted requiere ser atendido por esta secretaria ¿Cuál es la probabilidad de

que esta diligencia le demore a usted entre 2 y 5 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que esta secretaria atienda a 3 estudiantes en 9 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que esta secretaria atienda a lo menos a dos estudiantes en 10

minutos? d) Cierta semana el Director de escuela decide supervisar la labor desempeñada por la

secretaria y por lo tanto esta no habla con sus amigas dedicándose a su verdadera labor, en tal semana Camilo un estudiante debe ir todos los 6 días a la secretaria y ser atendido ¿Cuál es la probabilidad de que a lo menos en cuatro de estos seis días sea atendido en un tiempo inferior a 3 minutos?


5. Suponga que las estaturas de 800 estudiantes están distribuidas con media de 1.68 [m] y desviación estándar de 13 [cm]. a) Calcule la probabilidad de que la estatura de un estudiante elegido al azar sea superior a

1.65 [m]. b) Calcule la probabilidad de que la estatura de un estudiante elegido al azar sea inferior a

1.72 [m]. c) Si se elige un grupo de diez estudiantes, calcule la probabilidad de que a lo menos dos

estudiantes tienen una estatura inferior a 1.58 [m]. d) Cuál es el número esperado de estudiantes que deberán medirse para encontrar dos con

una estatura inferior a 1.60 [m]. e) Calcule el valor esperado del número de estudiantes con estaturas entre 1.65 [m] y 1.78

[m].


6. La dureza Rockwell de un metal se determina al golpear con un punzón acerado la superficie de un metal y después medir la profundidad del penetración del punto. Suponga que la dureza Rockwell de cierta aleación esta normalmente distribuida con media de 70 y desviación estándar de 3 (La dureza Rockwell se mide en escala continua). a) Si la escala aceptable de dureza es (70-c,70+c), ¿para qué valor de c tendrá una dureza

aceptable el 95% de todas las probetas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la dureza sea superior 70.8? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la dureza sea inferior de 69.2?


d) ¿Cuál es la probabilidad de que la dureza se encuentre entre 68.5 y 72.5? e) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo ocho de diez probetas seleccionadas

independientemente tengan una dureza menor de 73.84?


7. En cierto estudio se concluye que la densidad de la tierra arcillosa sigue una distribución normal. Los estudios demuestran que el 4.01% de las zonas arcillosas tiene densidad inferior a 0.825 [g/cm3] y el 1.5% densidad superior a 1.217 [g/cm3] a) Si son objeto de estudio las zonas con densidad inferior a 0.735 [g/cm3], hallar la

probabilidad de que, entre 1375 zonas haya 7 con esa densidad. b) Un ingeniero de suelos está interesado en aquellas zonas cuya densidad oscila entre 1.058

[g/cm3] y 1.117 [g/cm3]. Si se selecciona al azar, hallar la probabilidad de que tenga que rechazar 10 zonas antes de encontrar 4 de interés, así como el número esperado de zonas que tendrá que rechazar y la varianza de tal medida.

Respuesta: a) b) ( ) ( )

8. En un estudio sobre probetas del concreto que se utiliza en la construcción de cierta urbanización se encontró que el 30% tenían una resistencia menor a 23.5 [MPa], mientras que el 40% tenían una resistencia inferior a 24 [MPa]. Calcular el porcentaje de las probetas que tiene una resistencia mayor a 25.5 [MPa].

Respuesta:

9. Los anchos de las ranuras (en centímetros) de una división de baño en duraluminio tiene como

y . Los límites dados en las especificaciones tienen una tolerancia admisible de 1 milímetro. a) ¿Qué porcentaje de las divisiones saldrán defectuosas?

b) ¿Cuál es el valor máximo aceptable de que no permitirá más de 1 defecto por cada 100 unidades producidas?

Respuesta: a) b) 10. Una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de interruptores

terminales de botón solicitados diariamente tiene una media de 200 y una varianza de 2500. a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90 interruptores? b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores? c) Con base en consideraciones de costo, la compañía ha determinado que su mejor

estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda 94% de todos los días. ¿Cuántos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día?

Respuesta: a) b) c)


11. Los costos de fabricación de un producto siguen una distribución normal con media de 10 y desviación estándar de 3 mientras que los ingresos, independientes de los costos, se distribuyen normalmente con una media de 12 y una varianza de 16. Si el impuesto sobre utilidad es del 35% de la misma, determine la probabilidad de que el impuesto pagado está comprendido entre 0.4 y 0.9.

12. La resistencia a la flexión de la madera extraída de cierto bosque tiene una media de 240 [kp/cm2] y una varianza de 4.850 [kp/cm2]. Una compañía de construcción compra un lote de 1.000 vigas de esta madera a un precio de $50.000 por unidad. a) Si se elige una viga al azar, calcular la probabilidad de que ests tenga una resistencia

superior a 230 [kp/cm2] b) Si la viga de madera con resistencia menor a 185 [kp/cm2] se vende a $60.000, la que tiene

resistencia mayor a 325 [kp/cm2] se vende a $100.000 y las demás a $80.000, cuál será el porcentaje de utilidad esperado en la venta de las 1000 vigas.

13. Para el figurado de hierro de una obra de construcción se cortan varillas en longitudes

nominales de 1.50 metros. Las longitudes reales se encuentran en torno a una media de 1.50 metros y una desviación estándar de 15 milímetros. a) Qué porcentaje de las varillas exceden los límites de tolerancia de 1.48 metros a 1.52

metros. b) A qué valor es necesario reducir la desviación estándar si el 99% de las varillas deben

encontrarse dentro de la tolerancia. 14. En cierto laboratorio dedicado a la investigación de la dureza de un tipo de acero utilizado

como refuerzo en vigas de concreto se define una escala de dureza que se distribuye normalmente, se sabe que el 95% de los especímenes se encuentran en un rango de dureza menor de 86.7 además que el 85% tiene una dureza superior a 78.2. a) Si se elige al azar un espécimen, calcule la probabilidad de que la dureza sea superior 80.6 b) Si se eligen muestras al azar, calcule la probabilidad de que tenga que analizar 12 para

encontrar 8 con resistencia inferior a 85.0.

Respuesta: a) b)

15. Suponga que hace fila en una sucursal bancaria para cancelar el valor de su matrícula. El tiempo medio que tarda el cajero en despachar a un usuario es de 2 minutos. a) Calcule la probabilidad de que en los siguientes 4 minutos el cajero atienda mínimo a dos

personas. b) Suponga que acaba de pasar la persona que está adelante vuestro por tanto usted queda

como la siguiente persona por ser atendida por el cajero y son las 9:10:00 a.m., calcule la probabilidad de que usted empiece a ser atendido entre las 9:10:30 a.m. y las 9:11:30 a.m.

c) Si adelante vuestro se encuentran cinco personas, acaba de pasar una persona para ser despachada por el cajero y son las 9:10:00 a.m., calcule la probabilidad de que usted empiece a ser atendido antes de las 9:18:30 a.m.

Respuesta: a) b) c)


16. En la construcción de las viguetas correspondientes a una placa aligerada de una edificación se debe doblar una barra de acero en uno de sus extremos para elaborar un gancho, la longitud a doblar está dada según el diseño estructural. En cierta construcción el encargado de doblar las barras de acero afirma basado en los reportes del control de calidad que la longitud de doblado de cierto gancho tiene una media de 17 centímetros y una desviación estándar de 0.8 centímetros. a) Si se eligen 10 ganchos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que a lo menos 2 tengan una

longitud de gancho inferior a 15.8 centímetros? b) Si usted necesita un gancho con una longitud inferior a 16.5 centímetros ¿Cuál es el

numero esperado de ganchos que deberá analizar para encontrar 3 con estas características?

Respuesta: a) b)

17. Un oficial de tránsito afirma que el 16% de los conductores que retiene en una reconocida vía son merecedores de comparendos, a 12% impone comparendos mientras que el otro 4% le perdona el comparendo por “ayudarle con $50.000 para la gasolina”. a) Si el oficial de tránsito descrito en un día cualquiera retiene a 150 conductores ¿Cuál es el

monto que se espera que acumule al final del día teniendo en cuenta que cada uno los conductores “que le ayudan para la gasolina” lo hacen con exactamente $50.000?

b) Cierto día el oficial retiene un promedio de 2 vehículos cada 5 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que en un tiempo de 10 minutos retenga a lo menos a 3 vehículos?

c) Teniendo en cuenta las condiciones del numeral b, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo que tarde en retener a 3 vehículos sea a lo más de 6 minutos?

Respuesta: a) b) c)

18. Para la formaleta de cierta placa aérea maciza se cortan parales de madera en longitudes nominales de 2.8 metros. Las longitudes reales se encuentran en torno a una media de 2.8 metros y una desviación estándar de 20 milímetros. a) Qué porcentaje de parales se encuentran fuera de los límites de tolerancia de 2.75 metros a

2.84 metros. b) Si se eligen al azar 6 parales, ¿cuál es la probabilidad de que a lo más dos tengan un

longitud menor de 2.76 metros? c) ¿Cuál es el numero esperado de parales con una longitud nominal menor de 2.85 metros

en un grupo de 20 parales?

Respuesta: a) b) c)

19. En una reconocida universidad se realiza un estudio de la estatura de los estudiantes con el objetivo de adecuar las aulas de clase de tal manera que la comodidad de los estudiantes en las sillas sea óptima. Los estudios demuestran que el 3.24% de los estudiantes tienen una estatura superior a 1.92 metros y que el 32.22% de los estudiantes tiene una estatura inferior a 1.62 metros. a) Si se escoge un estudiante al azar calcular la probabilidad de tenga una estatura inferior a

1.72 metros.


b) Suponga que se escoge al azar un grupo de 10 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más dos tengan una estatura superior a 1.75 metros?

c) ¿Cuál es el numero esperado de estudiantes que deberán entrevistarse para encontrar 5 con estatura inferior de 1.65 metros?

Respuesta: a) b) c)

20. Un funcionario del sistema de transporte masivo Metrolinea afirma que los buses de cierta ruta en un determinado periodo del día en promedio llegan a la parada del Colegio Tecnológico cada tres minutos. a) Calcular la probabilidad de que en un tiempo de 10 minutos lleguen a lo menos 4 buses de

la ruta de interés. b) Suponga que acaba de llegar un bus correspondiente a la ruta y el funcionario de

Metrolinea realiza una apuesta con un pasajero que consiste en que el próximo bus llegara en un tiempo inferior a 2 minutos. Calcular la probabilidad de que el funcionario gane la apuesta al pasajero.

c) Suponga que son las 11:50 ¿cuál es la probabilidad de que antes de 12:00 lleguen tres buses?

Respuesta: a) b) c)

Valores Extremos

1. Distribución Tipo I 1.1 Gumbel para valores máximos.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

1.2 Gumbel para valores mínimos:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

2. Distribución Tipo II: Fréchet

( ) (

)

( )

(

)

(

)


( ) (

) ( ) [ (

) (

)]

(

)

( )

3. Distribución Tipo III: Weibull

( ) (

)

( )

(

)

(

)

( ) (

) ( ) [ (

) (

)]

(

)

( )

Nota: ( ) ∫

( ) ( )

4. Distribución Log Normal:

( )

√

(

)

;

√

( )


Ejercicios de valores extremos.

1. Un reconocido ingeniero civil dedicado al diseño de redes sanitarias, redes hidráulicas y redes pluviales es contratado para la elaboración de los diseños del drenaje que deberá tener una cancha de futbol con grama sintética, drenaje que deberá ser efectivo por motivo de que la presencia agua en la grama resulta bastante perjudicial generando altos costos de reparación y mantenimiento además de la incomodidad en el usuario, El sistema de drenaje propuesto consiste en tubería perforada enterrada en el área de la cancha a una distancia prudente para la efectiva recolección del agua pluvial, distancia que dependerá de la precipitación característica del lugar. En la siguiente tabla se muestra el registro histórico de precipitaciones máximas del lugar.

Año P [mm] Año P [mm] Año P [mm] Año P [mm] Año P [mm] Año P [mm]

1982 70 1987 62 1992 51 1997 36 2002 45 2007 67

1983 62 1988 60 1993 38 1998 61 2003 38 2008 77

1984 48 1989 58 1994 22 1999 58 2004 32 2009 46

1985 54 1990 71 1995 17 2000 55 2005 22 2010 64

1986 46 1991 51 1996 45 2001 79 2006 32 2011 69

a) Graficar a escala la distribución la distribución de Log-normal ajustada a los datos. b) Suponga que usted es el reconocido ingeniero y le indican que el tiempo de vida útil de la

cancha deberá ser de 30 años ¿cuál será el valor de precipitación máxima que usted utilizaría para diseñar?

c) Calcular el tiempo de retorno para la precipitación máxima anual de 88 mm.

Respuesta: a) b) c) .

2. En el municipio de Garagoa Boyacá se requiere diseñar un acueducto que tendrá como fuente la quebrada conocida como “quebrada de la miel”, aguas abajo del punto donde se planea la construcción de la bocatoma distintos ecosistemas dependen de la quebrada para su existencia. El ingeniero ambiental le indica al ingeniero hidráulico que deberá ser bastante cuidadoso con el caudal que se tomara de la quebrada ya que en tiempo de verano el agua en la quebrada disminuye notablemente. En la siguiente tabla se muestra el registro histórico para los caudales mínimos anuales en la quebrada, tomados de una estación ubicada cerca del punto donde se planea realizar la captación.

Año Q (m3/s) Año Q (m3/s) Año Q (m3/s) Año Q (m3/s) Año Q (m3/s) Año Q (m3/s)

1975 12.1 1981 3.6 1987 3.6 1993 4.6 1999 13.7 2005 12.4

1976 13.3 1982 9.8 1988 10 1994 13.2 2000 8.8 2006 10.2

1977 7.7 1983 3.9 1989 5.2 1995 10.4 2001 14.4 2007 8.7

1978 13 1984 4.6 1990 13.7 1996 -- 2002 9.6 2008 6.2

1979 4.8 1985 4.1 1991 13.6 1997 8.2 2003 13 2009 9.3

1980 4.1 1986 6.4 1992 7 1998 5.7 2004 8.8 2010 5.7


a) Graficar a escala la distribución la distribución de Weibull ajustada a estos datos. b) Calcular el valor del caudal mínimo para el año 50. c) Calcular el tiempo de retorno del caudal mínimo de 3.2 (m3/s).

Respuesta: a) b) [

] c) .

3. En el municipio de Barrancabermeja Santander, la radiación solar resulta perjudicial para la piel por motivo de su ubicación geográfica cerca de la línea del ecuador y su altura sobre el nivel del mar que es de 146 metros. El alcalde con motivo de promover la práctica del deporte por parte de la población decide realizar un proyecto que consiste en colocar una cubierta en las canchas deportivas para ello contrata el diseño de las cubiertas las cuales deberán soportar las corrientes de viento características del municipio. En la siguiente tabla se observa el registro histórico de las velocidades máximas del viento.

Año V (kph) Año V (kph) Año V (kph) Año V (kph) Año V (kph)

1978 51.5 1985 20 1992 32 1999 33.3 2006 23.1

1979 31.4 1986 23.2 1993 18.8 2000 22.3 2007 15.2

1980 19.9 1987 48.5 1994 26.2 2001 28.9 2008 16.7

1981 26.6 1988 34.9 1995 ------ 2002 15.4 2009 40.2

1982 25.2 1989 32.8 1996 21.8 2003 14.2 2010 37.5

1983 25.1 1990 35.7 1997 23.1 2004 ------ 2011 34.6

1984 30.4 1991 20.2 1998 21.8 2005 34.2 2012 30.2

a) Graficar a escala la distribución la distribución de Frechet ajustada a los datos. b) Suponga que usted es el ingeniero encargado del diseño de las cubiertas y le indican que

el tiempo de vida útil de las cubiertas debe ser de 50 años ¿Cuál sería el valor de velocidad del viento que utilizaría para el diseño?

c) Calcular el tiempo de retorno para velocidad máxima de 42.5 (khp).

Respuesta: a) b) c) .

4. El Aeropuerto Santiago Vila (SKGI) de la ciudad región de Girardot, situado a 3.1 km el nivel del mar (m.s.n.m), registra las temperaturas mínimas anuales desde el año 1978 hasta el 2007. Datos Tomados de la Pagina Web del Centro Internacional para la Investigación del Fenómeno de El Niño (CIIFEN).

Año T [ºC] Año T [ºC] Año T [ºC] Año T [ºC] Año T [ºC]

1978 19.0 1984 19.0 1990 20.0 1996 20.0 2002 19.6

1979 20.0 1985 19.6 1991 18.6 1997 19.6 2003 20.0

1980 18.4 1986 19.0 1992 19.6 1998 19.6 2004 18.6

1981 19.2 1987 18.4 1993 20.0 1999 18.3 2005 19.6

1982 19.0 1988 19.0 1994 19.0 2000 17.8 2006 20.0

1983 18.6 1989 19.6 1995 19.9 2001 19.5 2007 20.0


a) Grafique a escala la distribución de Weibull ajustada a estos datos. b) Encuentre el tiempo de retorno de la temperatura mínima anual de 18.5 [ºC]. c) Calcule la temperatura mínima anual para el año 50. d) Calcule la probabilidad de que la temperatura mínima anual sea a lo mas de 20.2 [ºC] e) Calcule la probabilidad de que la temperatura mínima anual se encuentre entre 17.5 [ºC] y

20.5 [ºC]. Respuesta: a) b) c) d) e)

5. El Aeropuerto Internacional de El Alto está situado a 14 kilómetros (8,5 millas) de la ciudad de El Alto, ciudad vecina de La Paz que es la capital de Bolivia, a una altura de 4.061 msnm, es uno de los aeropuertos más altos del mundo. Sirve como principal terminal aérea de la ciudad de La Paz. Las precipitaciones mínimas en [mm] registradas en los últimos años son:

Año P [mm] Año P [mm] Año P [mm] Año P [mm] Año P [mm]

1981 589.63 1987 699.05 1993 308.37 1999 518.64 2005 456.15

1982 654.23 1988 267.17 1994 594.84 2000 573.85 2006 326.56

1983 703.40 1989 530.59 1995 526.05 2001 551.44 2007 569.56

1984 582.74 1990 559.80 1996 578.93 2002 689.93 2008 695.23

1985 562.10 1991 431.04 1997 446.28 2003 592.13 2009 680.69

1986 345.56 1992 364.97 1998 449.65 2004 393.99 2010 561.33

a) Grafique a escala la distribución de Log-normal ajustada a estos datos. b) Encuentre el tiempo de retorno de la precipitación mínima anual de 450 [mm]. c) Calcule la precipitación mínima anual para el año 30. d) Calcule la probabilidad de que la precipitación mínima anual sea a lo mas de 475 [mm] e) Calcule la probabilidad de que la precipitación mínima anual se encuentre entre 320 [mm] y

535 [mm]. Respuesta: a) b) c) d)

e) 6. La serie histórica de 30 años de los caudales mínimos anuales en metros cúbicos por segundo

de la estación en Puerto Berrio - Antioquia que corresponden a la corriente del rio Magdalena, información proporcionada por el Instituto de Hidrología, Meteorología y Estudios Ambientales (IDEAM).

Año Q [m3/s] Año Q [m3/s] Año Q [m3/s] Año Q [m3/s]

1979 1250 1987 2430 1995 1750 2003 2855

1980 2339 1988 1810 1996 2490 2004 2300

1981 2288 1989 2050 1997 2050 2005 2365

1982 2288 1990 2300 1998 2790 2006 2490

1983 1990 1991 1690 1999 3300 2007 1657

1984 2128 1992 1930 2000 2180 2008 1690

1985 1834 1993 2115 2001 2050 2009 1420

http://es.wikipedia.org/wiki/Kil%C3%B3metros

http://es.wikipedia.org/wiki/Millas

http://es.wikipedia.org/wiki/El_Alto

http://es.wikipedia.org/wiki/Msnm

http://es.wikipedia.org/wiki/La_Paz


1986 2490 1994 2610 2002 1370 2010 2520

a) Grafique a escala la distribución de Gumbel ajustada a estos datos. b) Encuentre el tiempo de retorno para el caudal mínimo anual de 1750 [m3/seg]. c) Calcule el caudal mínimo anual para el año 40. d) Calcule la probabilidad de que el caudal mínimo anual sea a lo menos de 1625 [m3/seg]. e) Calcule la probabilidad de que el caudal mínimo anual se encuentre entre 1575 [m3/seg] y

2375 [m3/seg].

Respuesta: a) b) c) [

] d)

e) 7. El Aeropuerto Internacional El Dorado. Es el principal y más importante aeropuerto

de Colombia. Se encuentra localizado a 15 kilómetros al occidente del centro de Bogotá. Es el aeropuerto con mayor volumen de carga de Latinoamérica y el tercero con mayor movimiento de pasajeros. Opera vuelos nacionales e internacionales a 2.548 msnm. La serie histórica para las temperaturas máximas medias anuales (°C), en este aeropuerto corresponde a los siguientes datos:

Año T

[ºC] Año

T [ºC]

Año T

[ºC] Año

T [ºC]

Año T

[ºC] Año

T [ºC]

Año T

[ºC]

1961 19.0 1969 18.6 1977 19.4 1984 18.7 1991 -- 1998 -- 2005 --

1962 19.2 1970 -- 1978 19.3 1985 19.1 1992 -- 1999 19.3 2006 18.8

1963 19.8 1971 -- 1979 19.5 1986 18.9 1993 19.7 2000 19.0 2007 18.8

1964 --- 1972 -- 1980 19.9 1987 19.5 1994 19.9 2001 19.5 2008 17.9

1965 19.5 1973 19.1 1981 19.5 1988 19.1 1995 20.3 2002 -- 2009 19.1

1966 -- 1974 18.2 1982 19.1 1989 19.0 1996 20.1 2003 19.6 2010 20.4

1967 18.2 1975 18.3 1983 -- 1990 -- 1997 20.6 2004 18.7 2011 19.9

1968 18.3 1976 18.6

a) Grafique a escala la distribución de Frechet ajustada a estos datos. b) Encuentre el tiempo de retorno de la temperatura máxima anual de 21.5 [ºC]. c) Calcule la temperatura máxima anual para el año 30. d) Calcule la probabilidad de que la temperatura máxima anual sea a lo menos de 18.5 [ºC] e) Calcule la probabilidad de que la temperatura máxima anual se encuentre entre 17.5 [ºC] y

23.5 [ºC].

8. El municipio del Guamo Tolima ubicado en el departamento del Tolima a 321 msnm con una superficie de 561 [km2], limita al norte con los municipios de San Luis y El Espinal al Sur con Purificación y Saldaña al oriente con Suárez y al occidente con San Luis. El municipio se encuentra asentado en tierras donde la principal actividad que se ejerce es la agricultura, el ciclo anual de precipitaciones presenta dos épocas en el año lluviosas que se conoce como ciclo bimodal, en la tabla se observan las precipitaciones máximas en [mm] de los últimos años.


Año P [mm] Año P [mm] Año P [mm] Año P [mm] Año P [mm]

1970 106.3 1977 25.7 1985 117.1 1993 100.5 2000 139.4

1971 70.2 1978 60.0 1987 53.9 1994 81.5 2001 102.4

1972 90.0 1979 87.5 1988 128.5 1995 133.5 2002 170.0

1973 98.5 1980 75.3 1989 94.6 1996 96.2 2003 74.5

1974 50.8 1981 120.0 1990 114.0 1997 70.5 2004 146.0

1975 85.0 1982 89.7 1991 117.3 1998 97.3 2005 70.1

1976 80.5 1983 76.2 1992 72.0 1999 86.2 2006 65.0

a) Grafique a escala la distribución de Log-normal ajustada a estos datos. b) Encuentre el tiempo de retorno de la precipitación máxima anual de 125 [mm]. c) Calcule la precipitación máxima anual para el año 50. d) Calcule la probabilidad de que la precipitación máxima anual sea a lo menos de 130 [mm]. e) Calcule la probabilidad de que la precipitación máxima anual se encuentre entre 115 [mm]

y 130 [mm].

Respuesta (Log-Normal): a) b) c) d) e) Respuesta (Frechet): a) b) c) d)

e) Respuesta (Gumbel): a) b) c) d) e)

9. La estación hidrológica 20120788 PTE ADOBES ubicada en la Cuenca Del Rio Teusacá en el municipio de Sopo Cundinamarca, ubicada a una latitud de 0.453 N y una longitud de 7358 W, registra el valor del caudal en metros cúbicos por segundo, El sistema de Información del Instituto de Hidrología y Meteorología y Estudios Ambientales IDEAM, suministra el registro de caudales máximos anuales que se muestran en la siguiente tabla.

Año Q [m3/s] Año Q [m3/s] Año Q [m3/s] Año Q [m3/s] Año Q [m3/s]

1970 3.14 1976 3.79 1993 3.71 1999 4.13 2005 3.28

1971 3.38 1977 2.94 1994 4.41 2000 5.38 2006 2.95

1972 3.14 1978 2.11 1995 3.20 2001 2.86 2007 2.43

1973 2.73 1979 3.06 1996 3.21 2002 5.27 2008 2.18

1974 2.98 1991 3.50 1997 2.83 2003 3.40

1975 3.10 1992 2.79 1998 3.74 2004 3.55

a) Grafique a escala la distribución de Gumbel ajustada a estos datos. b) Encuentre el tiempo de retorno para el caudal máximo anual de 6.1 [m3/s]. c) Calcule el caudal mínimo anual para el año 30. d) Calcule la probabilidad de que el caudal máximo anual sea a lo menos de 3.5 [m3/s].


e) Calcule la probabilidad de que el caudal máximo anual se encuentre entre 3.5 [m3/seg] y 5.2 [m3/seg], inclusive.

Respuesta (Gumbel): a) b) c) [

] d)

e)

Respuesta (Frechet): a) b) c) [

] d)

e)

apuntes estadistica aplicada a la ingenieria 10

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