apuntes estadistica aplicada a la ingenieria 7

Apuntes Estadística Aplicada A La Ingeniera – 24095 / Universidad Industrial de Santander

Importancia de la Estadística en la Ingeniería

Un ingeniero es alguien que cumple una importante función en la sociedad que consiste en la

aplicación de los principios de la ciencia para la formulación de problemas y/o soluciones

enfocados a la satisfacción de las necesidades del entorno al cual pertenece. Este proceso de

formular y dar solución a un problema se en encuentra ligado a un conjunto de pasos en los

cuales se encuentra fundamentado el método científico o método de la ingeniería que puede

resumirse como:

1. Observación: Mirar con atención y recato el comportamiento del fenómeno a estudiar.

2. Inducción: Obtener conclusiones generales, identificar las variables que pueden jugar un

papel en la solución.

3. Hipótesis: Proponer un modelo apoyado en postulados científicos que apliquen a la

situación de interés.

4. Prueba de la hipótesis: Con la utilización del modelo propuesto realizar un proceso de

experimentación realizando los ajustes necesarios para mejorar su semejanza con la

realidad.

5. Demostración o refutación de la hipótesis: Verificar que los resultados obtenidos son

coherentes con la realidad estudiada.

6. Teoría científica o tesis: Generar conclusiones basadas en los resultados obtenidos de la

simulación procurando la solución del problema.

En el proceso de la aplicación del método científico el ingeniero deberá entonces realizar una

toma de datos que luego deberá analizar para encontrar una relación con una teoría científica o

tendencia y así poder formular un modelo el cual puede consistir en un conjunto de

expresiones matemáticas que permiten describir la situación analizada finalmente realizar una

simulación y obtener las respectivas conclusiones. Puede inferirse entonces que al momento

de realizar las acciones descritas se deberá hacer uso de la matemática en sus diferentes

áreas.

La ciencia de las matemáticas puede considerarse como una caja herramientas en la cual se

encuentran disponibles gran variedad de herramientas con diferentes aplicaciones y

complejidades, una de estas herramientas es la Estadística.

La Estadística aparece de la necesidad de entender y describir la variabilidad que se presenta

en la naturaleza de un parámetro de interés un claro ejemplo puede citarse en el estudio del

caudal de un rio donde su variabilidad con respecto tiempo resulta de gran importancia al

momento del diseño de una estructura para captación de agua

La variables de interés para el ingeniero varían de acuerdo a su campo de acción un ejemplo

de esta afirmación puede observarse en el campo de la Ingeniería Civil que tiene diferentes

escenarios de actuación el Ingeniero Hidráulico estará interesado en el estudio del caudal de

un rio con el objetivo del suministro del liquido a una red de acueducto, el Ingeniero Estructural

se interesara por la resistencia a la compresión del concreto utilizado en la construcción de una

columna, el Ingeniero de Transportes por la cantidad de vehículos en las horas pico en una


zona alta congestión vehicular, El Ingeniero De Pavimentos por la cantidad de vehículos que

transitan y carga que estos ejercen sobre la estructura de pavimento a analizar.

Las necesidades del entorno pueden llegar a ser tan simples como estudiar la estatura de los

estudiantes presentes en un aula de clase, pero no todas las situaciones analizadas son

simples esto puede observarse en el estudio de los fenómenos climáticos donde a la actualidad

existe serias complicaciones para lograr una predicción exacta de los potenciales desastres.

Estadística descriptiva

Una parte importante de la estadística es la Estadística Descriptiva esta se ocupa de la

recolectar, analizar y representar un conjunto de datos con la finalidad de realizar una

descripción de las características de este.

La estadística descriptiva consta de dos partes como se observa en el siguiente diagrama.

Por lo general las observaciones son una parte de un conjunto de datos correspondiente a la

variable de interés, lo que se conoce como muestra que se considera como un subconjunto

que se encuentra contenido en el conjunto correspondiente a la población en la siguiente

imagen puede observarse tal situación.

Un ejemplo de un conjunto correspondiente a una población podría verse en los alumnos de un

curso de estadística donde una muestra de tal conjunto será un grupo de estudiantes de tal

curso.

Estadística descriptiva numérica

1. Media o promedio aritmético

También conocida como promedio aritmético es una medida de tendencia central que puede

obtenerse mediante el cálculo de un promedio ponderado este valor no necesariamente

coincide con el de la moda y mediana.

Estadística Descriptiva

Grafica Numérica


La media de un conjunto de datos representa el valor esperado es decir el valor más probable

a obtener en uno de los elementos del conjunto analizado.

Definición

La media muestral para un conjunto “n” observaciones denotadas como se define

como:

∑

Donde “n” representa el tamaño del conjunto correspondiente a la muestra.

2. Moda.

Valor que más se repite en la muestra analizada por lo tanto la moda podría interpretarse como

el dato con mayor frecuencia relativa absoluta presente en un conjunto de datos analizados, el

conjunto de datos puede contar con una o mas modas pero también puede suceder el caso en

que ningún dato se repita entonces se dice que dicho conjunto no tiene moda.

3. Mediana.

Es el valor que se encuentra en posición central de los datos ordenados de menor a mayor el

cual su a su vez corresponde con el percentil 50 (P50) es decir el 50% de los datos tienen un

valor inferior a la mediana y el 50% un valor superior.

La mediana coincide con el valor del segundo cuartil (Q2)

4. Rango

5. Varianza

( ) ∑( )

( )

6. Desviación Estándar

√ ( ) √

√∑( )

( )

7. Coeficiente de variación

8. Coeficiente de asimetría


∑ ( )

Caracteriza el grado de asimetría con respecto a su media

Valor positivo: Distribución unilateral que se extiende hacia valores más positivos

Valor negativo: Distribución unilateral que se extiende hacia valores más negativos

9. Coeficiente de curtosis

Es un coeficiente que permite caracterizar el grado de elevación o el achatamiento relativo de

una distribución, comparada con la distribución normal

Valor positivo: Es indicador de una distribución relativamente elevada

Valor negativo: Es indicador de una distribución relativamente plana

∑ ( )

Ejemplo 1.1

Una clase de estadística consta de 56 alumnos, para explicar el tema de estadística descriptiva

el docente elige a un grupo de 16 estudiantes los cuales pueden asumirse como una muestra

representativa en el estudio de la estatura de los estudiantes del grupo, los valores obtenidos

para la estatura en metros de estos 16 estudiantes son los siguientes:

1.79 1.60 1.82 1.61 1.72 1.76 1.74 1.65

1.61 1.68 1.66 1.74 1.81 1.74 1.76 1.83

Realizar un análisis de estadística descriptiva para la estatura de los estudiantes de estadística.

1. Media o promedio aritmético

Aplicando la fórmula 1.1. se tiene:


Como puede observarse el valor promedio es un valor al que todos los valores se encuentran

relativamente cerca, en el caso de preguntar el valor de la estatura a un estudiante de este

grupo el valor esperado será de 1.72 [m]. El concepto de valor esperado se desarrollara en la

sección de probabilidad.

2. Moda

Es el dato que más se repite dentro del conjunto de datos de la muestra

3. Mediana

Ordenando los datos del menor valor al mayor valor se tiene:

1.59 1.60 1.61 1.65 1.66 1.68 1.72 1.74 1.74 1.74 1.76 1.76 1.79 1.81 1.82 1.83

Se tiene el caso de un tamaño de la muestra par n=16, el promedio aritmético de los datos de

la mitad es:

4. Rango

5. Varianza

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

6. Desviación Estándar

√ ( ) √

7. Coeficiente de variación

8. Coeficiente de asimetría


( ) ( ) ( ) ( )

9. Coeficiente de curtosis

( ) ( ) ( ) ( )


Análisis de frecuencias

Un análisis de frecuencias resulta importante en el momento de realizar una descripción de la

distribución de los valores numéricos de los datos de una muestra en intervalos de clase

definidos según la necesidad del estudio realizado

Para el cálculo del número de intervalos de clase se tienen en cuenta las siguientes

expresiones.

- Para muestras de gran cantidad de datos

√

- Para muestras de cantidad de datos moderada (Formula de Sturges)

( )

Se debe recordar que el numero de intervalos será una valor entero por tanto este deberá

aproximarse según reglas de aproximación.

Este número de intervalos puede ser asumido aleatoriamente según la necesidad del análisis

Ejemplo:

Se estudia la respuesta dinámica en la dirección paralela al viento de construcciones con

formas angulosas durante el paso del Huracán Sandy edificaciones ubicadas en regiones

costeras de Carolina Del Norte en las que pueden suponerse el primer modo o modo

fundamental de vibración como dominante, para esto se realizan mediciones del factor de

ráfaga del viento el cual es función de varios parámetros de entre los cuales el mas significativo

es la velocidad del viento. Una muestra representativa de los datos obtenidos es la siguiente:

2.08 1.81 2.14 2.09 2.14 1.67 2

1.73 2.35 2.28 1.26 1.42 2.39 1.16

1.26 2.17 1.58 2.45 2.29 1.45 2.08

1.1 1.65 2.33 1.56 1.24 1.68 2.38

2.28 2.04 2.45 2.17 1.87 2.46 2.27

Realizar un análisis de Frecuencias para los datos del factor de ráfaga del viento durante el

paso del huracán Sandy

Solución:

Para comenzar se calcula el numero de intervalos de clase para el respectivo análisis en este

caso se utiliza el radical del numero de datos en la muestra

√ √

Se calcula el ancho del intervalo para lo cual se tiene en cuenta el rango:


El inicio el primer intervalo deber ser el valor mínimo en la muestra y el final del ultimo intervalo

será el valor máximo de los datos presente en la muestra, esto puede observarse en la tabla

de análisis de frecuencia que se muestra

Intervalo de clase

Intervalo Frecuencia Absoluta

Frecuencia Absoluta Acumulada

Frecuencia Relativa

Frecuencia Relativa

Acumulada Inicio Fin

1 1.100 1.327 5 5 0.143 0.143

2 1.327 1.553 2 7 0.057 0.200

3 1.553 1.780 6 13 0.171 0.371

4 1.780 2.007 3 16 0.086 0.457

5 2.007 2.233 8 24 0.229 0.686

6 2.233 2.460 11 35 0.314 1.000

Suma 35 1.000

La frecuencia absoluta se interpreta como el número de datos que se encuentran en el

intervalo de clase al que corresponda. Debe observarse que la suma de estas frecuencias

deberá ser el mismo valor que el tamaño de la muestra de lo contrario se habrá cometido un

error.

La frecuencia relativa se interpreta como la proporción de datos que se encuentran en el

intervalo de clase esta puede obtenerse de la división de la frecuencia absoluta sobre el

número de datos en la muestra, la suma de las frecuencias relativas deberá ser de uno.

Los histogramas del análisis se observan a continuación,

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6

Fre

cue

nci

a A

bo

luta

Intervalo De Clase

Histograma de Frecuencia Absoluta


0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6

Fre

cue

nci

a A

bo

luta

Intervalo De Clase

Histograma Frecuencia Absoluta Acumulada

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1 2 3 4 5 6

Fre

cue

nci

a A

bo

luta

Intervalo De Clase

Histograma Frecuencia Relativa Acumulada

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

0.300

0.350

1 2 3 4 5 6

Fre

cue

nci

a A

bo

luta

Intervalo De Clase

Histograma Frecuencia Relativa


2. Probabilidad

El estudio de la probabilidad comienza en la antigüedad con los juegos de azar algunos

historiadores coinciden que los asirios y sumerios utilizaban un hueso del talón de las ovejas el

cual tallaban de tal manera que este tuviera la posibilidad de caer en cuatro posiciones

diferentes para realizar apuestas basadas en la posición final del hueso luego de un

lanzamiento. Comienza el estudio por parte de los apostadores sobre la posibilidad de obtener

las diferentes posiciones luego del lanzamiento y con esto tener una ventaja al momento de

realizar la apuesta. Por estas razones los asirios y sumerios son considerados como los

precursores del dado.

En los tiempos del imperio romano los juegos relacionados con dados se practicaban con gran

fervor uno de estos juegos conocido como “hazard” lo que traduce en ingles y francés riesgo o

peligro entonces el termino se convierte en azar que fue introducido en Europa con la tercera

cruzada.

En la actualidad los juegos de azar aparecen en distintas formas juegos de cartas, juegos de

dados, ruletas, maquinas traga monedas, loterías, dominos etc. El estudio de la probabilidad

deja de ser único para los juegos de azar y pasa a tener gran variedad de aplicaciones en las

distintas ramas del conocimiento.

De los más notables estudiosos que emprendieron el estudio de la teoría de la probabilidad se

encuentran importantes matemáticos como Pierre Fermat y Blaise Pascal que comenzaron a

trabajar sobre algunos problemas relacionados con los juegos de azar, para luego llegar a

formular una discusión sobre la creencia en Dios basada en probabilidades.

El termino de la probabilidad en ocasiones suele presentarse en palabras no tan formales un

ejemplo para este tipo de frase podría ser “Es muy posible que todos los estudiantes del curso

aprueben la asignatura”, entonces alguien curioso puede preguntar ¿Qué tan posible puede ser

este fenómeno? Para responder este tipo de pregunta se hace necesario dar un valor numérico

para determinar el grado de posibilidad es por ello que en esta sección y en las siguientes se

estudiaran diferentes métodos y procedimientos para calcular dichos valores.

Es posible que el estudiante de ingeniería en este momento piense que el presente capitulo

esta orientado a formar apostadores en potencia, lo cual seria erróneo dado que la teoría de la

probabilidad tiene una gran aplicación en las distintas ramas de la ingeniería un ejemplo de

esto es el ingeniero encargado del diseño de obras civiles que deberá tener presente la

probabilidad de que se presente un evento climático extremo tal como una ráfaga de viento con

altas velocidades que puede resultar fatal para una estructura.


2.1 Espacio Muestral

Para el estudio de un parámetro de interés generalmente se hace necesaria la realización de

un experimento con la finalidad de obtener un patrón o tendencia del fenómeno a partir de los

resultados obtenidos,

Cuando se enuncia la palabra experimento puede pensarse en un laboratorio con los equipos

necesarios para las pruebas y personas calificadas encargadas de la interpretación y toma de

los resultados, pero no siempre se da tal situación se define entonces un experimento

cualquier acción o proceso cuyo resultado se encuentra sujeto a la incertidumbre.

Un experimento puede ser tan simple como lanzar un dado y estar interesado en la numeración

obtenida, los posibles resultados para este experimento serán { }, puede deducirse

que la variabilidad del parámetro de interés se encontrara sujeta a los posibles resultados que

puedan presentarse en este caso seis.

__________________________________________________________________________

Definición

El espacio muestral de un experimento se define como el conjunto de todas las posibles

respuestas que puedan obtenerse en dicho experimento.

La notación del conjunto se realiza con la letra , que se adopta de la traducción en idioma

ingles “Space”

__________________________________________________________________________

Ejercicio 2.1:

Obtener el espacio muestral de un experimento que consiste en lanzar un dado

Solución:

El conjunto de los posibles resultados que pueden obtenerse son:

{ }

Gráficamente,


Ejercicio 2.2:

Considere un experimento que consiste en lanzar una moneda y luego un dado obtener todos

los elementos del espacio muestral que corresponde a este experimento

Solución

El diagrama que se muestra a continuación se conoce como diagrama de árbol, este tipo de

diagrama resulta de gran utilidad en el análisis de problemas complejos de probabilidad

Se puede observar que en el primer nodo se representa el lanzamiento de la moneda por lo

tanto el numero de ramas de salen son dos que corresponden al numero de posibles

resultados, para el caso del lanzamiento del dado el numero de ramas son seis, por tanto el

numero de ramas que salen de un nodo es el mismo que posibilidades haya.

{

}

2.2 Evento

En el estudio de la probabilidad de cierto parámetro de interés generalmente se esta interesado

en un conjunto de resultados que se encuentran contenidos en el espacio muestral, los cuales

cumplen ciertas características.


__________________________________________________________________________

Definición

Un evento es un subconjunto de resultados contenido en el espacio muestral , existen dos

clases de eventos:

Evento simple: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con un único

elemento es decir un evento de un único resultado.

Evento compuesto: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con más de

un elemento es decir un evento con varios resultados posibles.

__________________________________________________________________________

Ejemplo

Considere el evento de obtener un múltiplo de dos al lanzar un dado. Bosquejar el subconjunto

correspondiente.

Solución

{ }

2.3 Relaciones de la teoría de conjuntos

2.3.1 Intersección:

Sean dos eventos “A” y “B”,

La intersección de “A” y “B” se lee “A intersección B” y se denota como da como

resultado un evento que consiste en los resultados que están contenidos tanto en “A” como en

“B” en la grafica se observa la región sombreada que pertenece tanto a “A” como a “B”


2.3.2 Unión:

Sean dos eventos “A” y “B”,

La unión de “A” y “B” se lee ”A unión B” que se denota como da como resultado un

evento que consiste en los resultados que están contenidos ya sea en “A” o en “B” por tanto la

unión incluye resultados para los que ocurren tanto “A” como “B” así como los resultados para

los cuales ocurren exactamente uno, esto puede observarse gráficamente como sigue:

2.3.3 Complemento:

Sea “A” un evento

El complemento de “A” se lee “A complemento” y se denota como da como resultado un

evento que contiene todos los resultados del espacio muestral a excepción de los que se

encuentran contenidos en el evento “A”


Ejercicio 2.3

Considere el experimento que consiste en lanzar un dado con los siguientes eventos

Calcular , ,

Solución

Los elementos de los eventos son:

{ }

{ }

El diagrama de Venn que representa la situación planteada es como se muestra:

Del diagrama se puede observar que:

{ }

{ }

{ }

2.4 Definición de probabilidad

__________________________________________________________________________

Definición de probabilidad

Como se vio anteriormente en un experimento se puede llegar a uno de los resultados

contenidos en el espacio muestral , sea un evento con ( ) resultados posibles la

probabilidad de ocurrencia de se define como:

( ) ( )

La probabilidad de A ( ) , puede ser expresada como una fracción, como un porcentaje o

como un número decimal

__________________________________________________________________________


Ejercicio 2.4

Considere el experimento de lanzar un dado y el evento de obtener un número múltiplo de

dos, calcular la probabilidad de ocurrencia del evento .

Solución:

{ }

( ) ( )

( )

EJERCICIOS CONJUNTOS

1. Encuentre la probabilidad de que en el lanzamiento sencillo de un dado resulte un número

menor que 5.

Respuesta: 2/3 = 0.666667 = 66.6667%

2. En una urna se tienen 8 bolas de las cuales 4 son rojas, 2 son verdes y 2 son azules. Se

saca 1 bola al azar, determine:

a) La probabilidad de sacar una bola roja. Respuesta: 4/8

b) La probabilidad de sacar una bola azul. Respuesta: 2/8

c) La probabilidad de sacar una bola verde. Respuesta: 2/8

d) La probabilidad de sacar una bola azul o una bola verde. Respuesta: 0.5 = 50%.

e) Se sacan 2 bolas simultáneamente, determine la probabilidad de sacar una bola azul y

una bola roja. Respuesta: 2/7

3. Un dado se lanza dos veces. Encuentre la probabilidad de sacar un 2 y un 5, sin importar

el orden de obtención.

Respuesta: 1/18 = 0.05556 = 5.556%

4. El acueducto de cierta ciudad ofrece una tasa subsidiada a cualquier familia cuyo consumo

de agua sea menor que cierta cantidad durante un determinado mes. Sea A el evento en

el que una familia elegida al azar, en cierta comunidad no rebasa el consumo subsidiado

durante Agosto, y sea B el evento análogo para el mes de Octubre (A y B se refieren a la

misma familia). Supóngase que P(A)=0.6, P(B)=0.8 y P(AUB)=0.9. Calcule P(A∩B) .

Respuesta: 0.5 = 50%.


5. Se elije al azar un alumno de cierto curso de estadística sea A el evento en el que el

estudiante utiliza una tarjeta de crédito VISA y B el evento análogo para una MasterCard.

Suponga que P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A B)=0.25

a) Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga al menos una de las

dos tarjetas

Respuesta: 0.65

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo seleccionado no tenga ninguna de estas

tarjetas?

Respuesta: 0.35

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado tenga una tarjeta visa pero no

una Mastercad?

Respuesta: 0.25

6. En una determinada localidad residencial, el 40% de los hogares tienen televisor pero no

radio, el 10% de los hogares tienen radio pero no televisor y el 35% tiene televisor y radio.

Determine la probabilidad de que tenga al menos uno de los Aparatos electrónicos.


7. Según el ejercicio anterior, determine la probabilidad de que no tenga televisor ni radio.


8. Una consultoría de proyectos de ingeniería civil ha licitado en tres proyectos Sea

{ }, para y suponga que ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Calcular:

a) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 o 2.

Respuesta: 0.360

b) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 y 2.

Respuesta: 0.110

c) La probabilidad de que le sea otorgado a lo más el proyecto 3.

Respuesta: 0.640

d) La probabilidad de que no se le otorgue ningún proyecto a la consultoría.

Respuesta: 0.470


EJERCICIOS TÉCNICAS DE CONTEO

1. De cuantas maneras se pueden ordenar 7 balotas de colores en línea.

Respuesta: 5040

2. En una obra un ingeniero residente dispone de 11 ayudantes, si este ingeniero desea

formar una cuadrilla la cual conste de 4 ayudantes ¿Cuántas cuadrillas diferentes podrá

formar?

Respuesta: 330

3. Un reconocido restaurante encargado de la venta de almuerzos estudiantiles ofrece a

sus clientes tres sopas, dos platos principales y tres bebidas, si un almuerzo consiste en

una sopa, un plato principal y una bebida ¿Cuántos almuerzos diferentes puede el

restaurante ofrecer a su clientela?

Respuesta: 18

4. Dos reconocidas firmas consultoras “A” y “B” encargadas del diseño de viviendas

unifamiliares ofrecen a sus clientes la opción de elegir el conjunto de profesionales que

actuaran en el diseño de la vivienda deseada, la consultoría A cuenta con 7 arquitectos,

5 ingenieros estructurales y 2 ingenieros de suelos, la consultoría “B” cuenta con 8

arquitectos, 4 ingenieros estructurales y 3 ingenieros de suelos, si el grupo de los

encargados del diseño de una vivienda se componen de un arquitecto, un ingeniero

estructural y un ingeniero de suelos ¿Cuántos grupos diferentes de profesionales una

familia podrá elegir teniendo en cuenta que todos los profesionales deben pertenecer a

la misma firma consultora?

Respuesta: 166

5. Cierto comité de ingenieros civiles consta de siete integrantes, en este comité se premia

la puntualidad de sus asistentes dado que se hace uso de una mesa con 5 sillas

quedando dos de los integrantes de pie los cuales son los últimos en llegar

a) ¿De cuántas formas posibles pueden ubicarse los ingenieros en la mesa del comité?

b) De los 7 integrantes 4 son hombres y 3 son mujeres ¿De cuantas formas posibles

pueden ubicarse los ingenieros si se debe alternar hombre – mujer y las mujeres

deben ir en los lugares pares?

Respuesta: a) 2520 b) 144

6. Una mano de póker consiste en 13 cartas seleccionadas al azar de una baraja de 52

cartas.

a) Calcular la probabilidad de obtener las 13 cartas de corazones

b) Cierto juego consiste en extraer 4 cartas de la baraja sin remplazo, calcular la

probabilidad de sacar los 4 aces


Respuestas: 1/6350135559600.

7. En una urna se dispone de 6 balotas rojas 4 azules y 3 negras si se extraen dos balotas

sucesivamente calcular la probabilidad de obtener:

a) Dos balotas negras.

b) Una balota roja y una azul.

c) Sacar balotas sin obtener alguna de color negro.

d) Si se sacan tres balotas de la urna calcular la probabilidad de obtener una de cada

color.

Respuesta: a) 1/26 b) 4/13 c) 15/26 d) 36/143

8. A un ingeniero encargado del diseño de los parqueaderos de un edificio de oficinas el

cliente le indica que requiere de 8 parqueaderos para los automóviles de la empresa.

Los automóviles dos son Mercedez Benz, tres BMW y 3 son Chevrolet.

a) Suponga que por cuestiones de estética los autos de la misma marca deberán

quedar juntos ¿Cuántas formas posibles existen para parquear estos automóviles?

b) Los autos Mercedes Benz pertenecen a los cargos más altos de la empresa los

cuales deben quedar uno al lado del otro mientras que los de las otras marcas

pueden quedar en cualquier orden ¿Cuántas formas posibles existen para parquear

estos automóviles en tales condiciones?

c) Por capricho del cliente la posición de los Mercedes Benz deberán ser { } las

posiciones de los BMW serán { } y los Chevrolet { } ¿Cuántas formas

posibles existen para parquear estos automóviles en tales condiciones?

Respuesta: a) 432 b) 10080 c) 72

9. Una mano de póker consiste en 5 cartas seleccionadas sin remplazo de una barajas de

52 cartas. Determine la probabilidad de obtener.

a) Full: Tres cartas con la misma numeración y otros dos con misma numeración.

b) Escalera: Cinco cartas con numeración consecutiva (El as puede ir al comienzo o al

final)

c) Póker. Cuatro cartas con la misma numeración

Respuesta: a) 6/4165 b) 128/32487 c) 1/4165

10. Un club de ingenieros extranjeros tiene como miembros a dos canadienses tres

japoneses cinco italianos y dos alemanes si se selecciona al azar un comité de cuatro

calcule la probabilidad de que:

a) Todas las nacionalidades estén representadas.

b) Todas las nacionalidades estén representadas excepto los italianos.

c) Todos los miembros del comité son italianos.

d) A lo mas dos miembros del comité son italianos.


e) A lo sumo dos miembros sean japoneses.

f) A lo menos un miembro del comité sea alemán.

Respuesta: a) 4/33 b) 8/165 c) 1/99 d) 28/33 e) 54/55 f) 19/33

11. Un estudiante de ingeniería desea ubicar en una biblioteca 11 libros de los cuales 4 son

de matemáticas 5 de física y 2 de química calcular

a) El numero de ubicaciones posibles si no se tiene en cuenta el orden de los libros.

b) El numero de ubicaciones posibles si los libros de cada una de las asignaturas deben

quedar seguidos.

c) El número de ubicaciones posibles si únicamente los libros de matemáticas deben

quedar seguidos.

d) El número de ubicaciones posibles si los 4 libros de matemáticas jamás deben

quedar seguidos (tres pueden quedar seguidos al igual que dos).

Respuesta: a) 39916800 b) 34560 c) 967680 d) 38949120

12. Un ingeniero residente en la construcción de un reconocido intercambiador cuenta con

11 ayudantes la tarea del día consiste en formar una cuadrilla de 6 ayudantes para las

excavaciones y otra de 5 ayudantes para la fundición de un muro de contención ¿De

cuantas formas diferentes el ingeniero puede formar las cuadrillas descritas?

Respuesta: 462


EJERCICIOS DIAGRAMA DE ARBOL

1. Se lanza tres veces una moneda con dos resultados posibles de igual probabilidad de

obtención. Calcular la probabilidad de:

a) Obtener tres caras.

b) Obtener una cara y dos sellos.

c) Obtener tres caras o tres sellos.

d) Obtener una cara y dos sellos o dos caras y un sello

Respuesta: a) 1/8 b) 3/8 c) 1/4 d) 3/4.

2. Una urna U1 contiene 8 balotas blancas, 5 negras y 4 azules, la urna U2 contiene 7

blancas, 6 negras y 8 azules. Se extraen dos balotas sucesivamente sin remplazo de

una urna, la probabilidad de elegir la urna U1 es de 3/4 mientras que la probabilidad de

elegir la urna U2 es del 1/4. Calcular la probabilidad de.

a) Obtener dos balotas blancas.

b) Una balota blanca y una balota azul.

c) Obtener dos balotas del mismo color.

d) Obtener una balota de un color y otra de otro color.

Respuesta: a) 61/340 b) 62/255 c) d) .

3. En un experimento estadístico se cuenta con un dado y una moneda. El experimento

consiste en lanzar el dado si el numero obtenido es par se lanza dos veces la moneda,

si el numero es impar la moneda se lanza tres veces. Calcular la probabilidad de:

a) Obtener únicamente caras como resultado en la moneda.

b) Obtener a lo menos dos caras.

c) Obtener únicamente caras o sellos como resultado en la moneda.

d) Obtener un número impar en el dado y dos sellos en la moneda.

Respuesta: a) 3/16 b) 3/8 c) 3/8 d) 3/16.

4. La urna A contiene 3 bolas rojas 2 azules en tanto que la urna B contiene 2 bolas rojas y

ocho azules.

a) Se lanza un dado si se obtiene un numero mayor que 2 se saca una bola de la urna

A, de lo contrario se saca una bola de la urna B. Determine la probabilidad de sacar

una bola roja.

b) Si la bola extraída, según el literal anterior, se deposita en una urna diferente a la que

se saco y se lanza de nuevo el dado, manteniendo las mismas condiciones de

extracción del literal a., cuál es la probabilidad de extraer en esta ocasión una bola

azul

Respuesta: a) 7/15 b) 802/1485.


5. A un examen de estadística se presentan alumnos de cuatro grupos diferentes.

Grupo A: 80 alumnos, de los cuales el 35% son mujeres.

Grupo B: 70 alumnos, de los cuales el 25% son mujeres.

Grupo C: k alumnos, de los cuales el 80% son varones.

Grupo D: 60 alumnos, de los cuales el 85% son varones.

Se les reúne a todos en el aula magna y se elige uno de ellos al azar para repartir el

examen, resultando ser mujer. Si la probabilidad de que pertenezca al grupo D es 0.13.

a) ¿Cuántos alumnos hay en el grupo C?

b) Si se selecciona un alumno al azar ¿Cuál es la probabilidad de que este sea un

varón?

c) Se selecciona un alumno al azar, el cual resulta ser un varón ¿Cual es la

probabilidad de que pertenezca al grupo C?

Respuesta: a) b) 3/4 c) 16/75.

6. Una red de energía eléctrica tiene subestaciones A,B,C la sobrecarga en cualquiera de

ellas puede originar que se interrumpa el abastecimiento de electricidad en toda la red la

historia muestra que la probabilidad de apagón es de 1% si ocurre la sobrecarga en A y

de 2% y 3% si sobreviene en las subestaciones B y C respectivamente. La sobrecarga

en dos o más subestaciones de manera simultánea origina apagones en 5% de los

casos, durante una onda cálida hay 60% de posibilidades que solo la subestación A

experimente una sobrecarga. Para B y C estos porcentajes son de 20% y 15%,

respectivamente. Si en una onda cálida especifica tuvo lugar un apagón debido a

sobrecarga.

a) Calcule la probabilidad de que halla habido sobrecarga en A o en C

b) Encuentre la probabilidad de que halla habido sobrecarga en dos o más

subestaciones al mismo tiempo.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra apagón?

Respuesta: a) 0.617647 b) 0.147059 c) 0.017.

7. En una estación de servicio, el 40% de los clientes utilizan gasolina corriente, el 35%

usan gasolina extra y el 25% utilizan diesel. De los clientes que utilizan diesel el 50%

llenan sus tanques. De los clientes que utilizan gasolina corriente, solo el 25% llenan sus

tanques. El 53.1% de los clientes que no llenan el tanque utilizan gasolina corriente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra y llene el

tanque?

b) Si el siguiente cliente no llena el tanque, ¿cuál es la probabilidad de que pida

gasolina?

c) Se sabe que un cliente pide gasolina extra ¿cuál es la probabilidad llene el tanque?

Respuesta: a) 0.2100 b) 0.778761 c) 0.6000.


8. Para evitar que individuos potencialmente peligrosos sean celadores de obra, se ha

establecido un examen psicológico que los aspirantes deben aprobar como requisito

sine qua non para ser contratados. El defecto de esta prueba sin embargo, es que el 8%

de los individuos aptos quedan erróneamente descalificados por haber reprobado,

mientras que el 12% de los que no son aptos aprueban y son contratados por

equivocación. Suponga que todos los que pasan son contratados.

a) Si la experiencia muestra que solo el 85% de los celadores son aptos para su

trabajo, determine el porcentaje de aspirantes que lo son.

b) Teniendo en cuenta el numeral a. ¿Cuál es el porcentaje de aspirantes aptos que no

aprueban el examen?

c) Teniendo en cuenta el numeral a. ¿Cuál es la probabilidad de que el examen

psicológico arroje un resultado erróneo?

Respuesta: a) 0.425 b) 6.2963% c) 0.1030.

9. En un sistema de alarma, la probabilidad de esta funcione habiendo peligro es de 0.95, y

la probabilidad de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de

haber peligro es 0.1.

a) Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no haya peligro.

b) Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya peligro.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la alarma funcione?

Respuesta: a) 22.131%0 b) 5/878 c) 0.1220.

10. La contaminación de las fuentes de agua en Colombia es un problema de grandes

magnitudes que compromete la calidad del agua que es destinada para el consumo

humano:

{ }

{ }

{ }

Donde,

( ) ( | ) ( | ) ( | )

( | ) ( | ) ( | )

a) Calcule la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación, un análisis en la muestra de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua potable para el consumo humano.

b) Calcule la probabilidad de que un análisis de una muestra de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua para el consumo humano

c) Calcule la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación, pero no se permite el suministro de agua potable para la población.

d) Calcule la probabilidad que el rio este expuesto a contaminación, dado que un análisis de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua potable para el consumo humano.

e) Cual es la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación.


Respuesta: a) 0.015 b) 0.030 c) 0.520 d) 0.500 e) 0.565.

apuntes estadistica aplicada a la ingenieria 7

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