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INTRODUCCIN A LA MECNICA DE MATERIALES

Teoras de la Elasticidad y Plasticidad

Eugenia Blangino

67.16 Ensayos Industriales - FIUBA 2008

LeonardoTexto escrito a mquina

LeonardoTexto escrito a mquina2011 - 2do Cuatrimestre

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Ensayos mecnicos Conceptos previos El objetivo de esta introduccin es poner de manifiesto los aspectos ingenieriles de las tcnicas de ensayos mecnicos de los materiales (con nfasis en el comportamiento de los metales). Interesar desarrollar los elementos que permiten la interpretacin de los ensayos y del efecto de las variables que en ellos intervienen, ms que profundizar en la tcnica de realizacin de los mismos, que regularmente esta determinada por alguna norma o protocolo. Los ensayos mecnicos tienen por finalidad proveer informacin que permita predecir la respuesta de los materiales frente a solicitaciones mecnicas externas (fuerzas o momentos). Estas solicitaciones pueden originarse en el uso de los materiales como componentes o partes de una estructura o mecanismo, en cuyo caso es necesario conocer los valores lmite que pueden soportar sin fallar a fin de determinar valores de diseo. Asimismo el control de calidad tambin es un motivo que lleva a la realizacin de ensayos para la verificacin de las propiedades previstas para un dado material. Por otra parte, el objetivo puede ser darle a un producto semielaborado con un dado material alguna forma adecuada para que cumpla determinada funcin y que -para ello- sea necesario someterlo a un proceso cuyas caractersticas deben ser tales que las condiciones fsicas y mecnicas sean las ms convenientes para la obtencin del resultado final. Finalmente durante el desarrollo de nuevos materiales y procesos de elaboracin de los mismos, conocer el comportamiento mecnico que presenta un dado material, como se modifica dicho comportamiento durante las distintas etapas de fabricacin es un mvil para la realizacin de ensayos mecnicos. La finalidad del ensayo es, entonces, caracterizar la respuesta mecnica de un material frente a una solicitacin externa. Los ensayos son experimentos controlados, ya que sobre el procedimiento a seguir, los dispositivos a utilizar y las probetas que se ensayen, se hacen numerosas hiptesis que buscan acotar las repuestas que pueden obtenerse, reducindolas a estndares. Es por eso que deben atenerse a normas/protocolos, para que se puedan aplicar frmulas estandarizadas cuyos resultados sean interpretables en trminos del fenmeno que intentan representar. Sus resultados tienen valor estadstico. Los clculos necesarios para obtener los parmetros caractersticos del comportamiento de un material bajo las condiciones de ensayo se basan, pues, en el modelo que se haya establecido para ese material. Por lo tanto, comentaremos brevemente que es un modelo matemtico para un fenmeno o comportamiento fsico: Entenderemos por modelo matemtico al conjunto de relaciones (pueden ser o no ecuaciones) que permiten describir una idealizacin de los fenmenos bajo ciertas hiptesis (pueden o no producir resultados numricos). Un modelo matemtico consta de un conjunto de variables que describen la situacin dada junto con una o ms ecuaciones y/o inecuaciones que relacionan esas variables y que se las supone vlidas. Se utilizan los resultados que se obtienen para predecir situaciones o comportamientos del mundo real. Si el modelo es demasiado detallado, puede ser difcil arribar a una solucin; si es demasiado simple, los resultados pueden ser inexactos o aun intiles. Hay, entonces, un compromiso inevitable entre lo fsicamente realista y lo matemticamente viable. Se deben encontrar caminos para simplificar el modelo matemtico sin sacrificar rasgos esenciales de la situacin del mundo real que se intenta describir.

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Dentro de los modelos matemticos, los modelos numricos son aquellos que siempre proveen un resultado numrico (que puede ser exacto o aproximado). La calibracin de los parmetros del modelo se hace mediante experimentos y ensayos adecuados que se planifican teniendo en cuenta las hiptesis hechas sobre el fenmeno de inters. Estas suposiciones estn basadas en el marco terico elegido para la formulacin del modelo. Entonces, al tratar de analizar un fenmeno en observacin, no analizamos las observaciones, sino el modelo que sobre ellas hemos construido. El marco terico adecuado para la elaboracin de un modelo que represente un fenmeno a escala del ojo humano suele ser la fsica clsica. En particular la mecnica clsica ofrece dos aproximaciones: la mecnica estadstica (que promedia en nmero) y la mecnica del continuo (que promedia en volumen). El modelo que propone la mecnica del continuo establece ciertos principios de conservacin o balance, regularmente formulados bajo la forma de ecuaciones diferenciales; en la geometra de los cuerpos involucrados (lo que provee las condiciones de contorno para las ecuaciones diferenciales) y una cantidad suficiente de relaciones (las ecuaciones constitutivas) y que son propias el material que constituye el medio continuo y que permiten resolver el sistema diferencial. En los fenmenos en estudio intervienen objetos, que pueden idealizarse como puntos u ocupando un volumen en el espacio (teniendo en cuenta la diferencia entre el objeto y el espacio que ocupa). Se asumir que los objetos llenan continuamente la regin del espacio que ocupan, lo que permitir el uso del clculo diferencial en la descripcin matemtica de las interacciones y sus respuestas. Estos modelos irreales proveen, no obstante, excelentes descripciones en la medida en que la longitud caracterstica de la microestructura sea considerablemente menor que la longitud caracterstica del problema fsico de inters. En este marco terico, los postulados fundamentales de una teora puramente mecnica son los siguientes: * Principio de determinismo para las tensiones: determinados por la historia del movimiento del cuerpo. * Principio de accin local: para la determinacin del estado tensional de una dada partcula puede despreciarse el movimiento fuera de un entorno. * Principio de indiferencia de marco referencial: las ecuaciones constitutivas son independientes del marco de referencia elegido para su formulacin. Las ecuaciones de conservacin/balance para el problema puramente mecnico son las siguientes:

(1)

4

Las relaciones constitutivas describen el comportamiento macroscpico resultante de la constitucin interna de un material. NO son constantes fsicas, tampoco son un descriptor matemtico del material per se, sino del comportamiento particular exhibido bajo las condiciones de inters. En este contexto, caracterizar el material significa conocer las relaciones constitutivas adecuadas. Mltiples relaciones pueden ser necesarias para describir la gran cantidad de comportamientos exhibidos por el mismo material bajo distintas condiciones. Cada una de ellas ser la formulacin matemtica de las observaciones fsicas aproximadas de la respuesta del material en el rango convenientemente restringido. Aun teniendo relaciones constitutivas adecuadas no necesariamente comprendemos las causas que producen ciertos efectos. En muchos casos nuestras leyes son fenomenolgicas y/o simples correlaciones empricas. Realizacin de los ensayos Los ensayos mecnicos pueden clasificarse en dos grandes grupos: los ensayos mecnicos propiamente dichos y los ensayos numricos (que no se tratarn en esta introduccin). Los ensayos mecnicos propiamente dichos suelen agruparse en: * (quasi) Estticos (si las velocidades involucradas son suficientemente lentas como para que puedan tratarse con los principios de la esttica) * Dinmicos, que pueden ser de impacto o cclicos * Otros (como por ejemplo los ensayos de creep) En las normas, que establecen las condiciones bajo las cuales deben realizarse los ensayos mecnicos, se tiene en cuenta: * Las condiciones de semejanza mecnica (caractersticas de aplicacin de las cargas, velocidad de deformacin, restricciones en los desplazamientos), semejanza fsica (condiciones de temperatura, presin, entre otras) y semejanza geomtrica (forma y dimensiones de las probetas). Es de gran importancia la terminacin superficial de las probetas, la ubicacin de las entallas, si las hubiere, y todo otro detalle que deba tenerse en cuenta para que lo que realmente se analice mediante el ensayo sea la o las caractersticas del material y no de la pieza particular que se ensaya. * Las condiciones del o los dispositivos que se utilizan para realizar el ensayo, de forma que las observaciones puedan interpretarse dentro del marco terico elegido. A ttulo de ejemplo se incluyen los esquemas de algunos de los ensayos usuales en la figura 1.

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Figura 1. Elasticidad Ideal (caso isotrmico) Un material se comporta como idealmente elstico cuando un cuerpo formado por ese material recupera completamente su forma original cuando se retiran las fuerzas que causaban la deformacin. En ese caso, para una dada temperatura, la relacin entre el estado de tensiones y el estado de deformaciones es biunvoca. Si el material se considera homogneo y no presenta direcciones preferenciales (istropo) las observaciones sobre su comportamiento no dependern de la posicin ni de la orientacin que se elija para realizarlas. Si, adems se observa una relacin lineal entre fuerzas y alargamientos o

6

acortamientos en la respuesta del material, este podr describirse mediante la ley de Hooke generalizada:

ij= ((1+)/E)*ij *kk*ij/E. (2) La teora de la elasticidad lineal es una simplificacin de la teora general de la elasticidad, y es suficiente para muchas de las aplicaciones ingenieriles. Puede aplicarse bajo las siguientes hiptesis: a) deformaciones infinitesimales a1) los desplazamientos son pequeos. a2) los gradientes de desplazamientos son pequeos, b) existencia de un estado neutro en el que las tensiones y deformaciones son nulas; c) proceso de deformacin isotrmico y adiabtico (la termoelasticidad ampla la teora a procesos no isotrmicos). Nota: Salvo indicacin en contrario el material ser slido istropo y homogneo. En la figura 2, se observan las respuestas de diferentes materiales a una solicitacin uniaxial. En estas curvas el comportamiento elstico corresponde al rango de tensiones por debajo de la tensin de fluencia y muestran la respuesta caracterstica de diferentes familias de materiales ingenieriles:

Figura 2.

7

Esquemas para estados planos en elasticidad lineal Cuando una de las dimensiones cuerpo es notablemente diferente de las dos restantes, es posible hacer una simplificacin en la formulacin del problema, originalmente tridimensional, y reducirlo a una formulacin bidimensional. Esta simplificacin se debe a que, la propia geometra y las condiciones de contorno, permiten identificar una de las dimensiones como irrelevante, pudindose plantear el problema en forma independiente de la misma. Tales son los casos que se conocen como estado de tensiones planas y estado de de deformaciones planas. Tensiones planas: puede usarse esta aproximacin cuando una de las dimensiones es notablemente menor que las otras dos (que determinan el plano de anlisis) y que las acciones, desplazamientos impuestos y vector traccin estn contenidos en el plano de anlisis y no dependen de la tercera dimensin, como se muestra en la figura 3.

Figura 3.

Hiptesis: a) el estado tensional de la forma:

(3) b) las tensiones no nulas no dependen de z. Las ecuaciones constitutivas tienen la siguiente forma

(4) El estado de deformaciones correspondientes es

(5)

=

00000

yyyx

xyxx

[ ][ ]

[ ] 021,........

021.,.........1

21.,.........1

==+=

===

==

yzyzyxxx

xzxzxyyy

xyxyyxxx

GE

GE

GE

)(1

..,.........00

00

),,( yyxxzzzz

yyyx

xyxx

tyx

+=

=

8

Deformaciones planas: puede aplicarse esta aproximacin cuando la geometra de la pieza y las acciones sobre ella pueden generarse a partir de una seccin bidimensional (coordenadas x e y) que se traslada sobre una generatriz recta, perpendicular a la misma; solo hay desplazamientos segn las direcciones x e y, y tanto stos como las acciones, desplazamientos y condiciones de contorno son independientes de la tercer coordenada. Una situacin de ese tipo se muestra en la figura 4.

Figura 4.

Hiptesis sobre los desplazamientos

Deformaciones (6)

(7) Relaciones constitutivas

Tensiones (8)

(9)

( )( )

=

0,,yxuyxu

u yx

0,......21

0...........,.........

0............,.........

=

+

=

==

==

yzyx

xy

xzy

yy

zzx

xx

xu

yu

yuxu

0..,.........)1(

)()1()21)(1(

)1(

)1()21)(1()1(

==+=+=

++=

++

=

yzxzxyxy

yyxxzz

yyxxyy

yyxxxx

E

E

E

)(...,.........00

00

),,( yyxxzzzz

yyyx

xyxx

tyx

+=

=

9

Otras expresiones para las tensiones y las deformaciones En las curvas tensin vs deformacin de las figuras anteriores, se muestran las relaciones calculadas en base a mediciones de fuerzas y alargamientos o acortamientos registrados en ensayos controlados de traccin o compresin uniaxial. Estas fuerzas y desplazamientos estn relacionados con la geometra del espcimen utilizado, por lo tanto da cuenta de la reaccin de la pieza frente a las solicitaciones impuestas. Si queremos independizarnos de la forma y dimensiones de la probeta debemos efectuar ciertas operaciones con los valores medidos; eso lleva a concepto de ciertas magnitudes intensivas, como son las tensiones (fuerza aplicada dividida por rea de la seccin, magnitud acuada por L. Euler en 1757) y las deformaciones (alargamiento o acortamiento dividido por la longitud inicial). Se observa en el grfico correspondiente a metales que en el perodo lineal no se producen las mayores deformaciones; superada la tensin de fluencia, la pendiente de la curva se hace ms suave hasta llegar a un mximo y luego cae. Esto sucede porque las tensiones y deformaciones involucradas (llamadas convencionales o ingenieriles) estn calculadas en base a las dimensiones originales de la probeta, es decir, difieren de los valores de carga y alargamiento en factores de escala. Entonces, para analizar la respuesta del material a la carga impuesta, estas curvas no proveen toda la informacin de inters porque la probeta dispone ahora de otra geometra para hacer frente a las solicitaciones, de donde surge la utilidad de definir medidas de tensiones y deformaciones basadas en las dimensiones instantneas de los especimenes. Un concepto de gran utilidad es el de deformacin verdadera o logartmica, en la cual el cambio de longitud est referido a la longitud instantnea y no a la longitud original: Deformacin lineal convencional Deformacin lineal logartmica

00

0

00LL

LLL

Ldle

L

L

=== 0

ln0

LL

LdlL

L

== Entre ambas, la relacin es la siguiente:

)1ln(ln100

+===+ eLL

LLe

(10) Un concepto que utilizaremos con frecuencia es la relacin entre deformaciones y variacin de volumen unitario: En elasticidad lineal (con la aproximacin de pequeas deformaciones) considerando direcciones principales, se llegaba a la siguiente expresin para la variacin de volumen unitario (en la que se despreciaron los trminos no lineales):

yyxzyxzyx eeeeee

dxdydzdxdydzdxdydzeee

VV +++++=+++= 1)1)(1)(1()1)(1)(1(

(11) En plasticidad de metales es frecuente despreciar la variacin unitaria de volumen frente a la magnitud de las deformaciones plsticas, esto es, considerar constancia de volumen en el rango plstico mientras la deformacin sea uniforme:

10

1)1)(1)(1(1

1)1)(1)(1()1)(1)(1(

+++=+

+++=+++=

zyx

zyxzyx

eeeVV

eeedxdydz

dxdydzdxdydzeeeVV

(12)

Entonces, tomando logaritmos, resulta: zyxzyx eee ++=+++++= )1ln()1ln()1ln(0 (13) En la figura 5 se representaron las deformaciones convencionales y las logartmicas en funcin del estiramiento x/xo ; puede apreciarse que la diferencia es muy pequea hasta deformaciones de aproximadamente 0.1 (que son las que habitualmente aparecen en el campo elstico en metales).

Figura 5.

Esto es, cuando el estiramiento x/x0 es prximo a 1 (estado no deformado) ambas definiciones proveen el mismo resultado a los efectos prcticos. Otra ventaja de las deformaciones logartmicas es que, cuando la deformacin es uniforme, la deformacin verdadera total es la suma de las deformaciones incrementales.

nn

n

n

nn

LL

LL

LL

LL

LL

LL

LL +++=+++=

==

...ln...lnln...lnln 21

11

2

0

1

11

2

0

1

0

(14)

Esta aditividad es particularmente til cuando se trata de calcular la deformacin total de un proceso que se realiza en varias etapas. La tensin verdadera se define como la carga aplicada dividida por el rea instantnea de la seccin: Tensin uniaxial convencional Tensin uniaxial verdadera

0A

Ps = AP= (15)

Cuando puede asumirse constancia de volumen, ambas estn relacionadas de la siguiente manera:

11

)1(1000

000 +===+=== esL

LAP

APe

LL

AA

ALLA (16) No haremos comentarios respecto de las curvas de solicitacin uniaxial para cermicos y polmeros, puesto que su comportamiento se asume conocido de otras asignaturas. En el estudio de estados triaxiales es de utilidad descomponer aditivamente los tensores de tensiones y deformaciones en una parte hidrosttica y otra desviadora, puesto que -en muchas situaciones- las causas de las modificaciones en el estado del material pueden asociarse solo con una parte de los tensores. Definimos, para el tensor de tensiones (), las componentes esfrica (e) y desviadora (d) de la siguiente manera:

+

=

=+=

3/333231

233/2221

13123/11

3/

3/

3/

333231

232221

131211

000000

ii

ii

ii

ii

ii

ii

de

(17) En la figura 6 se muestra un esquema del estado general y las componentes esfrica y desviadora.

Figura 6.

Similarmente, el tensor de deformaciones (), se descompone en suma de un tensor esfrico (e) y uno desviador (d):

+

=

=+=

3/333231

233/2221

13123/11

3/

3/

3/

333231

232221

131211

000000

ii

ii

ii

ii

ii

ii

de

(18)

12

Finalmente, al tratar estados complejos de tensiones y deformaciones, es de gran utilidad disponer de un valor nico para las tensiones y otro para las deformaciones, que sean representativos del estado en lugar de las 9 componentes de cada uno de los tensores que pueden reducirse a 6, si las matrices son simtricas o a 3 si tomamos valores principales. Para el caso de materiales istropos y homogneos con tensores de tensiones y deformaciones constantes y simtricas, se define: Tensin equivalente (los subndices numricos indican tensiones principales)

( )

( ) 2/12222222/12

132

322

21

)(6)()()(2

1

)()()(2

1

zxyzxyxzzyyx

eqiv

+++++=

=++= (19)

y deformacin equivalente (los subndices numricos indican deformaciones principales)

( )

( ) 2/12222222/12

132

322

21

)(6)()()(32

)()()(32

zxyzxyxzzyyx

eqiv

+++++=

=++= (20)

Estos conceptos que, en el caso de metales y bajo hiptesis muy fuertes, proveen una serie de ventajas importantes (como veremos cuando estudiemos plasticidad) carecen absolutamente de significacin si alguna de las hiptesis asumidas (que se explicitarn al utilizarlos) no se verifica. Por eso tendremos especial cuidado en recalcar bajo qu condiciones la tensin y la deformacin equivalente nos provee informacin sobre el estado del material. Introduccin al tratamiento de la plasticidad A partir de las experiencias de carga-alargamiento en solicitaciones uniaxiales practicadas para la mayora de los materiales ingenieriles convencionales, se deduce que -pasado un perodo en el cual la relacin es proporcional- se producen deformaciones irrecuperables, cuya descripcin matemtica presenta serias dificultades. Algunos de los motivos son los siguientes: el proceso no es reversible; no es posible determinar una nica respuesta; a diferencia de lo que ocurre en elasticidad, aqu el estado actual de deformaciones depende de la historia de cargas y no solo de los estados inicial y final; en los metales el endurecimiento dificulta la descripcin del proceso de deformacin. El conocimiento de las caractersticas del proceso de deformacin plstica (el que produce transformaciones no recuperables) es necesario tanto en cuestiones de diseo como de produccin. Por tanto, se trata de establecer teoras que permitan el clculo de los parmetros relevantes del proceso y/o ayuden a una mejor comprensin de los fenmenos involucrados en el mismo. Sigue siendo un rea de investigacin permanente. Es de particular inters comparar la curva de tensin verdadera vs deformacin verdadera (usualmente llamada curva de fluencia) obtenida a partir de un ensayo uniaxial con las curvas tericas que -en virtud de su mayor o menor acuerdo con la curva que surge del ensayo- tendrn la capacidad predictiva suficiente para el propsito perseguido (diseo a elasticidad o a plasticidad, laminado, conformado o trabajado, etc...)

13

Para un primer tratamiento de la plasticidad en metales, es necesario asumir que los siguientes efectos NO se producen: anelasticidad (figura 7a)), histresis (figura 7b)), efecto Bauschinger (figura 7c)).

Figura 7.

Tambin se asume la hiptesis de homogeneidad el material (esto es, el tratamiento de imperfecciones se hace en otra etapa). A efectos de interpretar los resultados experimentales es til contar con una expresin nica que aproxime los resultados obtenidos. Existen varias propuestas al respecto, siendo una de la ms difundidas la ecuacin de Hollomon para aproximar la curva de flujo:

).(....:,.......)(

UTSddoverificandk

UTSn

== = (21) donde y son la tensin verdadera y la deformacin verdadera, respectivamente y (UTS) es el valor de la tensin verdadera correspondiente a la resistencia a la rotura. De la condicin de tangencia resulta que el exponente de endurecimiento n es el valor de la deformacin verdadera que corresponde a la mxima tensin ingenieril (resistencia a la rotura): n= UTS. La constante de Hollomon k se despeja planteando la ecuacin de la tensin verdadera correspondiente a la resistencia a la rotura: k = UTS / (nn). Los valores de k y n estn tabulados (ver Dieter, por ejemplo) por que no se trata de una aproximacin potencial, sino de la que verifica la condicin de tangencia en el ensayo de traccin uniaxial: Del diagrama de carga-alargamiento, asumiendo condiciones de regularidad suficientes para la curva, se tiene, en el punto de carga mxima: dP(,A) = 0=A.d+.dA => d/ = -dA/A=d pues,por constancia de volumen: A0.l0 =(A+dA)(l+dl)=A.l, de donde, operando, resulta: A/dA = 1-l/dl=-l0/dl=-1/d Los valores lmite para n son: n=1 =>v = k.v (perfectamente elstico) n=0 =>v = k (perfectamente plstico) Este modelo de comportamiento -si bien es til en algunos clculos, como veremos- no permite comprender la naturaleza de los fenmenos involucrados en los procesos que llevan al comportamiento plstico del material, por lo que resulta importante disponer de teoras que tengan en cuenta la historia de las cargas y deformaciones que sufri el material.

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Nota: en lo que sigue asumiremos que todos los subndices toman los valores (1, 2, 3) o (x, y, z). Para estudiar analticamente las relaciones entre tensiones y deformaciones en un material en todo el rango de cardas de servicio, es necesario plantear: a) las ecuaciones de equilibrio esttico, b) las ecuaciones de compatibilidad, c) las condiciones de contorno, d) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango elstico, e) un criterio de fluencia que establezca la transicin del rgimen elstico al plstico, f) las relaciones entre tensiones y deformaciones en el rango plstico, g) la variacin de las condiciones de fluencia para un material que ya experiment endurecimiento o ablandamiento. Los puntos a) a d) son comunes al estudio del comportamiento elstico; los tres ltimos propios del anlisis plstico. e) Planteo de un criterio de fluencia En un ensayo de traccin o compresin uniaxial, la transicin entre el comportamiento elstico y el plstico est determinada por la tensin de fluencia. Cuando un material experimenta un estado complejo de tensiones, los criterios de fluencia proveen las hiptesis con respecto al lmite de elasticidad. El tratamiento formal para establecer dichas hiptesis requiere de nuevos conceptos: Definimos espacio de tensiones al espacio vectorial real de dimensin nueve cuyas coordenadas son las componentes del tensor de tensiones en una base dada. Cada punto del espacio representa un estado tensional para el material. Si el material verifica el principio de conservacin del momento angular (condicin que NO hemos incluido en la fig. 1 porque hay materiales que no la requieren) su tensor de tensiones es simtrico y la dimensin del espacio de tensiones se reduce a seis. Los materiales tradicionales de ingeniera verifican este principio, por lo que en el curso asumiremos que los tensores de tensiones son simtricos. Si, adems, el material es istropo no hay direcciones preferenciales y la descripcin no vara por rotacin ortogonal del sistema de referencia; entonces, la dimensin del espacio puede reducirse a tres. Este se llama espacio de tensiones principales porque en los ejes coordenados se representan los autovalores i (i=1, 2, 3) del tensor de tensiones = [ij]. Dado que los autovalores del tensor de tensiones son invariantes por cambio de coordenadas cartesianas ortogonales, tambin lo son las funciones (simtricas en i en el sentido de que los valores de i sean intercambiables) de ellos, en particular:

3213

1332212

12

3211

)det(

)()(21

)(

==++==

++===

I

II

TrI

ijij

ii

(22)

donde Tr indica traza del tensor y det, su determinante. Los invariantes J que se construyen a partir de los invariantes I:

15

)(31

)(21

)(

33

22

11

TrJ

TrJ

TrIJ

kijkij

ijij

==

====

(23)

Y lo mismo para los autovalores de la parte desviadora de [ij] (que llamaremos s = [sij], con

===

jiji

s ijkkijijij ,0,1

,31 ) :

kijkij

ijij

ij

sssIJ

ssIJ

sTrIJ

31''

21''

0)(''

33

22

11

==

=====

(24)

Otros espacios pueden definirse a partir de los invariantes anteriores; en particular, el que tiene como ejes las coordenadas unificadas de Haigh-Westergaard:

2/32

3

2

1

''

233)3cos(..,....

'2

3

JJdonde

fJ

fI

c

c

=

=

=

(25)

donde fc es una constante de normalizacin . Volviendo al espacio de tensiones principales, se definen eje hidrosttico E (1=2=3) y plano octadrico (1+2+3= cte.). Se muestra un esquema en la figura 9.

Figura 9.

E

16

Con estas definiciones, cualquier estado tensional queda caracterizado unvocamente por I1, J2 y J3. En la figura 10 se muestra la ubicacin de un punto en el espacio de tensiones principales y sus coordenadas unificadas (con constante de normalizacin fc=1) las tensiones -octadrica (

3 =oct ) y -octadricas ( 3

=oct ) y el ngulo de Lode ():

Figura 10.

Las condiciones de simetra asumidas, reducen la regin a analizar en cada plano octadrico a la zona sombreada en la figura 11.

Figura 11.

Estas proyecciones sobre presentan caractersticas muy diferentes en distintos materiales. Se ejemplificar ms adelante. A partir de la estructura del espacio de tensiones principales, diremos que un programa de cargas que es cualquier curva lisa en el espacio de tensiones. Para caracterizar la regin en la cual cualquier combinacin de tensiones mantiene al material en rgimen elstico definimos dominio elstico en el espacio de tensiones al que contiene a todos los estados tensionales para los cuales el material est en rgimen elstico. Su borde se denomina superficie de fluencia, si el material no ha sufrido endurecimiento o ablandamiento previo, de lo contrario se denomina superficie de carga. Las expresiones generales para estos conjuntos son:

17

Dom.elstico: E ={=(11,12,13,21,22,23,31,32,33), ij nmeros reales / F(,)

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ii) criterio de Tresca El material permanece en rgimen elstico mientras se verifique: yJJf 2 > 3 .

Figura 13.

En ambos criterios, notar que estas funciones que los definen verifican f(1, 2, 3 ) = f(-1, 2, -3 ) lo que presupone que el material presenta el mismo comportamiento en traccin y en compresin. La proyeccin de los diagramas de las figuras 12 y 13 en el plano xy se muestra en la figura 14.

Figura 14.

Notar que para un mismo estado tensional, ambos criterios pueden arrojar un resultado diferente, como puede verse en el siguiente.

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Ejemplo numrico:

Se ensay una pieza de un material caracterizado por los siguientes parmetros: E=210 GPa, = 0.33, y = 950 MPa, determinndose que su estado tensional (en el sistema de coordenadas elegido) queda descrito por la matriz de tensiones:

= [ij] =

800030004000

30000

Se desea saber si entr en fluencia. Solucin:

Al aplicar el Criterio de Tresca (despus de haber hallado las tensiones principales) obtenemos:

( ) 9501000900100 >=

por lo que podemos concluir que entr en fluencia Aplicando ahora el Criterio de Von Mises:

( )[ ] 950025.866 50050010002

1~ 21222

20

Figura 15.

f) Hasta ahora hemos tratado de sistematizar el tratamiento de los estados de tensiones para determinar la entrada en fluencia, ahora debemos relacionarlos con las deformaciones permanentes, para establecer relaciones constitutivas. En la literatura se encuentran dos tipos de formulaciones: las teoras de la deformacin total (Hencky, 1924) y las teoras incrementales o teoras del flujo. Ambas arriban a resultados similares bajo hiptesis sumamente restrictivas, por ejemplo para programas de cargas radiales y condiciones apropiadas de contorno. Sin embargo en casos ms generales el tratamiento matemtico (particularmente el numrico) de las primeras es sumamente engorroso, cuando es posible. Las del segundo tipo tienen un tratamiento numrico ms natural y son ms adecuadas para tener en cuenta la dependencia de la historia de cargas y deformaciones. Slo enunciaremos algunos resultados de las teoras incrementales para materiales ideales, segn las hiptesis simplificativas que en cada caso estableceremos Estos materiales ideales presentan curvas de flujo lineales o lineales a trozos y admiten modelos reolgicos sencillos que no analizaremos.

a b

Figura 16.

21

Teora de Prandlt y Reuss (para materiales elstico-plsticos ideales, fig 16 b)): Bajo la hiptesis de que los ejes principales de tensiones y deformaciones coinciden y de que los incrementos de deformaciones totales pueden descomponerse aditivamente en un incremento de deformacin elstica ms uno de deformacin plstica (d = de+dp), esta teora postula que los incrementos de deformacin plstica son instantneamente proporcionales a las tensiones desviadoras actuantes:

ds

ds

ds

ds

ds

ds

d

zx

pzx

yz

pyz

xy

pxy

zz

pzz

yy

pyy

xx

pxx ====== (30)

donde d es una funcin instantnea del punto del cuerpo en el que se considera el estado. Una forma de calcular d es la siguiente:

rquiv

pequiv

equivijijijijp

equivp

ijp

ij

ijp

ij

dd

dssdsddddd

ecuacinsdd

23

)(32

32)(

32).)(

32()()

32(

))30((.

2222

=

=====

(31)

Para escribir los incrementos de la deformacin elstica en funcin de las tensiones, se toman incrementos en la ecuacin (1), que es la Ley de Hook generalizada. Para calcular los incrementos de la deformacin plstica se utiliza en cada caso la ecuacin 30 y la expresin para sij de la ecuacin (17), de donde resulta:

xyequiv

pequivxy

ijxy

xy

zzyyxxequiv

pequiv

zzyyxx

zzyyxxzzyyxxxx

ijijkkijp

ijeijij

dG

dsd

Gd

d

dddd

E

ddddE

d

ejemplopor

sddE

dE

ddd

+=+=

+++=

=+++=

++=+=

2.

2

)](21[)]([1........

)](21.[

32)]([1

:.

.))1((

(32)

Teora de Levy y Mises (para materiales rgido-plsticos ideales, fig.16 a)): Con las hiptesis de la teora de Prandlt y Reuss y suponiendo que los incrementos de las deformaciones elsticas son despreciables frente a los de deformacin plstica, se tendr d = dp, con lo que las relaciones (30) y (31) pueden repetirse reemplazando los incrementos de deformaciones plsticas por los incrementos de deformaciones totales. En lugar de las expresiones de las relaciones (32) tendremos ahora:

22

xyequiv

equivxy

zzyyxxequiv

equivzzyyxxxx

ijp

ijij

dd

ddd

ejemploporsddd

=

+=+=

==

)](21[)](

21.[

32

:.,...

(33)

g) El ltimo punto a tratar en el esquema que hemos propuesto para el anlisis del comportamiento plstico es cmo se modifica la superficie de fluencia por endurecimiento o ablandamiento. Los modelos ideales para endurecimiento de metales se muestran en la figura 17.

Figura 17.

Comparar con la figura 15 en la que no haba endurecimiento. Solo trataremos someramente in caso particular de endurecimiento lineal. La necesidad de modificar la superficie de fluencia o carga cuando la deformacin progresa se debe a cuestiones de consistencia en la formulacin matemtica que requieren que el espacio de tensiones admisibles en plasticidad quasiesttica sea: Eadm = E U E = { / F (,) 0}. Las suposiciones ms simples sobre la variacin de una superficie de carga en el espacio de tensiones principales son los siguientes: i) Endurecimiento isotrpico: la superficie mantiene su forma mientras el crecimiento de su tamao es controlado por un parmetro de endurecimiento. ii) Endurecimiento cinemtico: la superficie no cambia de forma ni de tamao, pero se traslada en el espacio de tensiones principales, de manera que si originalmente estaba descripta por una ecuacin F(,)=0 , despus de un incremento de deformaciones, su descripcin ser F(0,)=0 (0 son las coordenadas del nuevo centro y la direccin de la traslacin est determinada por la del incremento de deformacin plstica). No trataremos este caso. Supongamos, entonces que el endurecimiento es isotrpico (la expresin de f(I1, I2, I3) en la ecuacin (26) no vara), mostraremos, en el caso de solicitacin uniaxial, como describir la evolucin de la superficie de carga para la curva de la figura 16 b) .

23

En el espacio de las tensiones admisibles Eadm las siguientes situaciones son posibles: j) En rgimen elstico ( E): = E => d = E d , (Ley de Hooke) (34) jj) En rgimen elasto-plstico ( E): en descarga: dF(,) d = E d , (Ley de Hooke) (35) en carga plstica: dF(,)=0 (36) postulamos que la relacin es: d = Eplast d , (37) queremos hallar una expresin para Eplast . Elegiremos, como variable (funcional) de endurecimiento = (, p) a una funcin que verifique: pdsignd )(= y (p=0) = 0. Si el proceso de deformacin es montono creciente = p, esto no es vlido bajo condiciones generales de deformacin. Dar una ley de endurecimiento significa especificar la funcin y() que aparece en la ecuacin (26), que en este caso ser: y()=y + H => dy()=Hd (38)

Figura 18.

Completamos la expresin de F, que en este caso (ya sea que usemos el criterio de Tresca o de von Mises en la frmula (26)) es: )'(),( HF y += . (39) Sobre la superficie de fluencia E se verifica F(,)=0. Por lo tanto diferenciando y teniendo en cuenta (36), se tiene:

24

.'

0)(')(')(

0)(

p

p

y

dHddsignHdsigndHdsign

dd

===

= (40)

de (35), (36) y (40), con la hiptesis de aditividad de los incrementos de deformacin resulta (ver figura 19):

''.......

''

'')

'11(

'11

HEHEEd

HEHEd

dEH

HEdHE

dH

dE

ddd

plast

pe

+=+=

+=+=+=+=

(41)

Figura 19.

La expresin (41) permite explicar diversos comportamientos: l) H>0 => Eplast>0 lo que indica endurecimiento (ver figura 20 a)). En particular, si H= => Eplast=E y no hay fluencia. ll) H=0 => Eplast=0 es el caso de elasto-plasticidad ideal (figura 16 b)) lll) H Eplast Eplast=- (ver figura 20 b))

a b

Figura 20.

25

Para tratar la plasticidad en estados complejos de tensiones solo comentaremos dos tendencias en el caso de metales con endurecimiento (asumiendo que la variacin unitaria de volumen es despreciable, que los ejes de tensiones y de incrementos de la deformacin se mantienen paralelos a los largo de todo el proceso y -como antes- que el endurecimiento es isotrpico, que la expresin de f(I1, I2, I3) est determinada por el criterio de von Mises y la ley de endurecimiento es lineal): m) hiptesis de curva universal de flujo (endurecimiento por deformacin). Esta suposicin asume que = )( pequivequiv dH , donde )( pequivdH es una funcin conveniente. Bajo las hiptesis de proporcionalidad requeridas para la aplicacin de las teoras de Prandlt-Reuss o de Levy-Mises, suponiendo, adems, que las cargas son aplicadas radialmente, que producen componentes de tensin proporcionales y que sigue siendo vlida la hiptesis de pequeas deformaciones, es posible integrar los incrementos plsticos obteniendo entonces una relacin de la forma )( pequivequiv H = . Las expresiones

equiv

pequiv

equiv

equiv ddod

d

23....

23 == (de acuerdo a si es posible o no despreciar la

componente elstica del incremento de deformacin) para d continan siendo vlidas an con endurecimiento. Como ahora hay una expresin funcional que relaciona equiv y equiv, que se supone derivable,

'2

3)('H

dd

dd

ddH

Hequiv

equivp

equiv

equivp

equiv

pequiv

=== (42)

lo que permite generalizar la frmula incluida en (32), obtenindose:

ijij

ijij

pij

eijij sH

dd

Eddd .

'231

+=+= (43)

La expresin (43) es muy similar a la primera cadena de igualdades en (41). Si pueden despreciarse los incrementos de deformaciones elsticas, se obtiene la relacin:

ijij

ijpijij sH

ddd .

'23

== (44)

mm) se asume que la tensin equivalente equiv es una funcin del trabajo plstico total (endurecimiento por trabajado). Es un caso particular del anterior en el que la relacin universal se puede expresar en trminos del potencial plstico. Bajo hiptesis suficientes, esta teora propone la siguiente relacin

== pequivequivppequiv dWconWG ..),..( . Procediendo de manera similar al caso anterior y notando que:

223

23

equiv

p

equiv

pequivp

equivequivp

dWddddW

=== (45) se obtienen las expresiones:

26

ijequiv

pij

pij

eijij s

dWd

Eddd .

231

2 +=+= (46) y, cuando es posible despreciar los incrementos de deformaciones elsticas,

ijequiv

ppijij s

dWdd .

23

2 == (47) Cabe recalcar la importancia de obtener una curva nica que extienda a la curva de flujo de un ensayo de uniaxial a todo el rango de servicio de un material, ya que sta proveer informacin importante para diseo o para procesos de deformacin que sobre piezas del material deban efectuarse. Caso particular: fluencia plana. Se conoce con este nombre al proceso de deformacin plstica en el que las mayores deformaciones se producen solamente en un plano (pudindose despreciar las que resultan en la direccin normal a dicho plano). Esto puede suceder porque el mismo material restringe las deformaciones o porque la herramienta usada en el proceso impide las deformaciones en una direccin. Es el caso de la laminacin de metales o de compresin de planchas entre placas paralelas. Si llamamos xy al plano en el que se produce la deformacin, se tienen las siguientes Conclusiones t) si el flujo de deformacin es siempre paralelo al plano xy y es independiente de la variable z, lo que implica que los nicos incrementos de deformacin nulos sern dxx, dyy y dxy que slo dependen de x e y. tt) si los incrementos de deformaciones elsticas son despreciables frente a los correspondientes a las deformaciones plsticas, pueden aplicarse las relaciones de Levy-Mises. En particular, de la ltima expresin de (33) se obtiene

00

00

===

===

yzyzrquiv

equivyz

xzxzrquiv

equivxz

dd

dd

(48)

lo que significa que la direccin z es principal y vale (tambin por (33)):

2

0)](21[ yxzyxz

rquiv

equivzz

dd

+==+= (49)

Comprese esta ltima expresin con la ecuacin (8). ttt) si se asume constancia de volumen, de la ecuacin (13) se deduce que dxx = -dyy.