aprendiendo matematica
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TEMA 4.- MATEMÁTICAS.
1.- Introducción.
2.- Ámbitos del conocimiento matemático.
2.1.- Concepto de número.
2.2.- Operaciones aritméticas básicas.
2.3.- Resolución de problemas.
3.- Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas.
3.1.- Dificultades en áreas específicas.
3.2.- Dificultades en la resolución de problemas.
4.- Evaluación.
5.- Intervención
5.1.- Principios generales de intervención.
5.2.- Métodos de enseñanza.
5.3.- Cambio de actitudes.
5.4.- Enseñanza de conceptos y de procedimientos
1.- Introducción.
Las matemáticas es uno de los conocimientos más antiguos que el ser
humano ha estudiado e investigado y están presentes en todos los ámbitos
de nuestra vida cotidiana. Aprender matemáticas es importante porque: Son un medio de comunicación: son un lenguaje. Son importantes para otros campos del conocimiento. Contribuyen, junto con otras materias, al desarrollo del pensamiento
lógico y a la precisión y visión espacial. Suscitan un interés intrínseco en muchas personas.
Aunque es uno de los conocimientos más valorados en nuestra sociedad
también es uno de los más inaccesibles para los alumnos. Los índices de
fracaso son altos, sobre todo en los años de escolaridad.
Las primeras dificultades surgen durante la adquisición de las nociones
básicas que son imprescindibles para la compresión del número como son:
clasificación, seriación, correspondencia, valor cardinal, reversibilidad, etc.
Los modelos cognitivos son actualmente los que dan una explicación más
satisfactoria de cómo se aprenden las matemáticas. Se pueden dividir en:
Modelos de comprensión: analizan cómo se traducen los enunciados de
un problema en representaciones mentales.
Modelos de procesos: identifican los pasos o procesos que da una persona
para realizar una operación matemática bien definida (v.gr., una división)
Modelos de estrategias: estudian la forma de escoger, controlar y alcanzar
las metas en la resolución de actividades cognitivas complejas (v.gr., un
problema de geometría)
Modelos de esquemas: describen el modo de seleccionar e integrar la
información en representaciones coherentes.
2.- Ámbitos del conocimiento matemático.
El conocimiento matemático se organiza de forma jerárquica siguiendo una
lógica que le dota de gran coherencia.
Los ámbitos son tres:
1.- Numeración.
2.- Aritmética.
3.- Resolución de problemas.
De ellos nos ocuparemos en los apartados siguientes.
2.1.- Concepto de número.
El concepto de número es una abstracción que se forma lentamente en el
niño a través de diversas experiencias.
Para su elaboración se requieren dos condiciones psicológicas (operaciones
lógico-matemáticas: la conservación del todo y la seriación de los
elementos.
Se da la conservación cuando el niño llega a la certeza de que el todo es
un conjunto de partes que se pueden distribuir cómo se quiera. Para que
haya conservación tiene que haber reversibilidad del pensamiento, es
decir, el niño tiene que descentrarse de uno de los puntos de vista (el todo y
las partes) para adaptar el otro (las partes y el todo)
La segunda condición es la seriación: el número se construye en la media
en que los elementos de la serie son concebidos a la vez como
“equivalentes y no equivalentes”:
Significa que los elementos se pueden seriar siendo cada término de la serie
semejante a los demás y diferente por el lugar que ocupa en dicha serie (una
cantidad es simultáneamente superior a una primera e inferior a una
segunda)
El conteo es un proceso cognitivo complejo que sirve de base a la
adquisición de habilidades numéricas posteriores.
Para su desarrollo, el niño tiene que adquirir (además de la condiciones
psicológicas) cinco principios de naturaleza cognitiva:
1.- Correspondencia 1 a 1 (biunívoca): en el conteo a un objeto le
corresponde un solo número y viceversa.
2.- Orden estable de la secuencia numérica: el conteo sigue un orden
determinado (v.gr., 1, 2, 3, 4, 5…)
3.- Principio de cardinalidad: el último número de la secuencia representa
no sólo el elemento situado en la última posición sino también el conjunto
formado por todos los elementos.
4.- Orden irrelevante: los elementos se pueden contar de izquierda a
derecha o al revés sin que esto afecte al resultado del conteo.
5.- El principio de abstracción: permite contar tanto objetos homogéneos
como heterogéneos, sin que se altere el resultado.
Además de los principios, para el conteo es necesario:
a.- percibir visualmente una cantidad.
b.- evocar el símbolo correspondiente.
c.- realizar el grafismo de dicho símbolo (representación motora del número)
Para que la numeración no se aprenda mecánicamente es imprescindible
que el niño comprenda desde el inicio del aprendizaje conceptos como
unidades, decenas, centenas, el valor posicional de los números dentro de
las cifras, etc.
Para ello, antes del aprendizaje de las representaciones gráficas de los
números es aconsejable que: El niño manipule objetos formando cantidades (v.gr., fichas)
2.3.- Operaciones aritméticas básicas.
Son la suma, resta, multiplicación y división.
A la hora de introducirlas hay que prestar atención al vocabulario. Los niños
deben saber conceptos como juntar y separar antes que sumar y restar.
El aprendizaje de las operaciones debe seguir el orden de dificultad que
presente cada una de ellas.
Primero se suman unidades, después decenas sin llevar, llevando, etc.
Después se pasa a la resta, la multiplicación y por último la división.
Las operaciones no se realizan si no se comprenden. Por ello el niño debe
entender que: La suma es esencialmente una operación de reunión. La resta es compleja, ya que sirve para calcular una diferencia, una
comparación y la parte desconocida de una suma (lo contrario de sumar) La multiplicación es una suma abreviada de números iguales. La división corresponde a dos acciones diferentes: una partición y una
distribución.
El mecanismo de las operaciones implica la noción de espacio y orientación:
los números se escriben de izquierda a derecha pero las operaciones se
calculan de derecha a izquierda.
2.3.- Resolución de problemas.
Los problemas matemáticos se representan de distinta manera:
Problemas de cambio:Alberto tiene 7 caramelos. María le da 3 caramelos más. ¿Cuántos caramelos tiene
ahora Alberto?
Problemas de combinación:Antonio tiene 5 caramelos y María 8. ¿Cuántos caramelos tiene entre los dos?
Problemas de comparación:Elena tiene 6 caramelos. Sergio tiene 3 caramelos más que Elena. ¿Cuántos
caramelos tiene Sergio?
El esquema de estos problemas sería el siguiente:
PROBLEMAS DE CAMBIO
Estado inicial Cambio Estado final
PROBLEMAS DE COMBINACIÓN
Parte Parte
Todo
PROBLEMAS DE COMPARACIÓN
Conjunto grande
Conjuntopequeño
ConjuntoDiferenc.
La representación de los problemas proporciona una base para su
comprensión y facilita: El establecimiento de relaciones entre los términos del enunciado. La selección del procedimiento para resolverlo.
Esto evita que los problemas se asocien a la idea de número, de operación,
por no al de búsqueda: lo más importante de los problemas no son los datos
sino la relación que hay que establecer entre ellos para llegar a la solución
correcta.
Por lo que respecta al conocimiento para solucionar un problema, éstos son:
a.- conocimiento lingüístico: interviene en la traducción del problema.
b.- conocimiento general acerca del mundo y conocimiento de
esquemas: interviene en la fase de integración de los datos del problema.
c.- conocimiento estratégico o de análisis medios-fines: necesario para
la planificación de la resolución.
d.- conocimiento operativo o del procedimiento (v.gr., cómo sumar):
interviene en la fase de ejecución.
3.- Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas.
No existe una definición clara y precisa que englobe todos los trastornos o
dificultades en el aprendizaje de las matemáticas (DAM)
Aquí nos referiremos a DAM cómo a todos aquellos alumnos que no llegan
al dominio de ciertas formas de pensamiento matemático o que encuentran
grandes dificultades para alcanzar los objetivos que establece el currículum
escolar.
Las dificultades más importantes son: No establecer la asociación número-objetos. No comprender que un sistema de numeración está formado por grupos
iguales de unidades que dan lugar a unidades de orden superior. No comprender el valor posicional de las cifras dentro de una cantidad. No descubrir la relación de los números en una serie. Mostrar alteraciones en la escritura de números (omisiones, confusiones,
reiteraciones, números en espejo, etc.) Manifestar dificultades en la estructura espacial de las operaciones o en la
comprensión de las acciones correctas que debe realizar. Confundir los signos.
No conocer las operaciones necesarias para resolver un problema. No considerar los datos de un problema u operar con ellos sin tener en
cuenta el resultado.
3.1.- Dificultades en áreas específicas.
Existen 8 áreas específicas: numeración, cálculo, álgebra, resolución de
problemas, geometría, gráficas, fracciones, y uso del lenguaje matemático.
a.- Numeración.
El conocimiento y memorización de los números no suele entrañar dificultad.
Lo que produce mayor dificultad en el aprendizaje es: La asociación número-objetos. La concepción del número como la unión de operaciones de clasificar y
seriar. Los fundamentos del sistema decimal. La escritura de los números debido a problemas de lateralidad. La comprensión del valor posicional de las cifras.
b.- Cálculo.
La primera dificultad es la comprensión y la mecánica de las cuatro
operaciones básicas.
La resta suele ser la operación que entraña mayor dificultad.
Nombre del fallo Ejemplo Descripción
Pedir al cero 103
45
158
Cuando restamos de una columna cuyo número superior es cero, el niño escribe 5 pero no sigue restando de la columna de la izquierda del 0.
Menor del mayor 253
119
146
El niño resta el dígito menor en cada columna del mayor, sin tener en cuenta cuál está arriba.
0-N = N 140
21
121
Cuando el dígito superior en una columna es 0, el niño escribe el dígito inferior como respuesta.
0-N = N
Y salta sobre el cero y pide prestado
304
75
279
Cuando el dígito superior en una columna es 0, el niño escribe como respuesta el dígito que está debajo. Cuando el niño necesita restar de una columna cuyo dígito superior es 0, se salta la columna y resta de la siguiente.
c.- Álgebra.
Con frecuencia los alumnos no comprenden que las letras simbolizan
números y que pueden tener un único valor (como en x + 5 = 9) o infinitos
valores (x + y = 0); tienden a sustituir expresiones aditivas (3 + x) por
multiplicaciones (3x); no respetan ni comprenden el significado del
paréntesis.
c.- Resolución de problemas (lo trataremos en un apartado posterior)
d.- Geometría.
Las dificultades vienen originadas por la abstracción de algunas nociones
(línea, plano, etc.) y por la dificultad de la terminología (pentágono, polígono)
e.- Gráficas.
Falta en la comprensión de que una gráfica muestra la relación entre dos
variables y no es sólo un dibujo.
f.- Fracciones.
El concepto de fracciones es difícil de entender. La mayor dificultad es
cuando se tiene que sumar o restar una fracción con un número entero. Otro
error común es considerar que numerador y denominador son elementos
independientes, por lo que operan con ellos aisladamente. El no saber cómo
interpretar el valor del cero en la fracción es otro error muy frecuente.
g.- Lenguaje matemático.
Las dificultades se producen por: Cantidad de vocabulario teórico nuevo que los alumnos deben asimilar. Distinto significado que los términos tienen a veces respecto a su uso
habitual. Legibilidad del texto por el uso del léxico, sintaxis, gráficas, tablas,
diagramas, etc. Símbolos matemáticos.
3.2.- Dificultades en la resolución de problemas.
Componente Tipo de conocimiento
Traducción del problema - Conocimiento lingüístico
- Conocimiento semántico
Integración del problema - Conocimiento esquemático
Planificación de la solución y supervisión
- Conocimiento estratégico
Ejecución de la solución - Conocimiento procedimental
Traducción del problema: transformar cada paso en la secuencia de
realización de un problema en una representación interna. Para ello
necesitamos el conocimiento del lenguaje y del mundo (semántico)
Integración del problema: consiste en aunar cada una de las
informaciones o representaciones que se van obteniendo de la traducción.
Se trata de construir una representación global del problema.
Planificación y supervisión del problema: para establecer un plan
primero tenemos que preguntarnos si conocemos algún problema que sea
parecido. Si la respuesta es afirmativa lo reconocemos (identificamos el
problema), realizamos una abstracción (extraemos el método de solución) y
trazamos el plan (aplicamos el método al objetivo actual)
Puesta en marcha de la solución: aplicamos o realizamos los cálculos
pertinentes.
4.- Evaluación.
Desde un punto de vista cognitivo, la evaluación para un diagnóstico eficaz
debe: Evaluar tanto el conocimiento formal como el informal. Evaluar la precisión y eficacia de las técnicas matemáticas básicas y su
grado de automatización, así como las estrategias que se siguen para la
solución y los errores sistemáticos.
¿Cómo detectar a un niño con DAM?
1.- Lentitud: En dar la respuesta a cuestiones matemáticas. En la realización de tareas en comparación con sus compañeros.
2.- Uso de la contabilización “tangible” Tienen dificultad en el cálculo mental. Utilizan los dedos para contar. Utilizan marcas donde otros alumnos utilizan el cálculo mental. Encuentran dificultades en estimar o dar respuestas aproximadas.
3.- Dificultades con las secuencias. Se pierden al contar. Se pierden al decir las tablas de multiplicar. Dificultades en recordar todos los pasos de un proceso.
4.- Dificultades en el lenguaje matemático. Le resulta difícil hablar sobre procesos matemáticos. No formulan preguntas, a pesar de resultar evidente que no comprenden. Dificultades en generalizar el aprendizaje de una situación a otra.
Omisión de errores en la interpretación de los enunciados de los problemas.
5.- Dificultades mnésicas. Dificultades en el recuerdo de “hechos matemáticos” y símbolos. Dificultades en recordar aprendizajes anteriores. Dificultades en recordar los enunciados de los problemas.
6.- Uso de la imitación y el aprendizaje “de memoria” en lugar de
comprender.
5.- Intervención.
Un niño con DAM necesita: Una enseñanza más intensiva y explícita sobre el sentido numérico. Más práctica en el uso del sistema numérico. Un periodo de tiempo más extenso en el aprendizaje de los conocimientos
básicos. Experiencia concreta con números grandes y pequeños.
Para la intervención se aconseja el uso de las estrategias habituales en la
enseñanza de las matemáticas , pero más intensivas, más extensas en el
tiempo y con un repaso constante.
Decálogo para que la enseñanza de las matemáticas sea más efectiva y
motivadora:
1.- Hay que generar expectativas positivas en todos los alumnos. Se
debe de cuidar las reacciones frente a los errores, sobre todo, con
comentarios informales que pueden afectar a la autoestima del alumno
cuestionando su capacidad y sus posibilidades de mejora.
2.- Se debe prestar especial atención a la construcción del
conocimiento. Hay que sobrepasar el simple desarrollo disciplinar y
centrarse en un enfoque más global, que los niños investiguen, piensen,
analicen, indaguen, saquen sus conclusiones.
3.- La experimentación debe ser la base del aprendizaje. Los principios,
leyes, pautas, estrategias, etc., se deben introducir a partir de simples
experiencias y situaciones significativas que se convertirán en los algoritmos
que luego aplicarán.
4.- Hay que favorecer y estimular la comprensión. Es necesario dar
tiempo para el diálogo, hacer preguntas, consultar, etc. Precipitar los
resultados no es adecuado. Hay que asegurarse de que se ha asimilado lo
viejo antes de pasar a lo nuevo.
5.- Se enseñarán paso a paso las estrategias y algoritmos específicos
que exige la tarea. Para ello hay que servirse de la atención exploratoria
del niño como recurso educativo.
6.- Hay que asegurar que el niño puede recordar los aspectos
relevantes de una tarea o problema. Se debe ir comprobando siempre que
sea posible que el niño ha procesado la información relevante.
7.- Hay que tener presente que la diversidad es un hecho. Pretender
que todos los alumnos consigan los mismos objetivos con las mismas
actividades y al mismo tiempo es simplemente una falacia. Lo adecuado es
plantear la programación como un espacio flexible y disponer de actividades
de diferentes niveles para el refuerzo y la ampliación.
8.- La ayuda se debe prestar de forma mutua. Los compañeros pueden
actuar de forma cooperativa, ayudándose los unos a los otros.
9.- La enseñanza de las matemáticas debe seguir una secuenciación
espiral ascendente. Un determinado contenido se retoma en niveles
sucesivos, acordes con los niveles madurativos del niño y valiéndose de
otros contenidos que se han ido desarrollando paralelamente. En una espiral
ascendente se retoma cada aspecto de la disciplina en un nivel superior,
más complejo.
10.- Hay que procurar darle al niño tareas de orientación adecuada,
procedimientos de análisis profundo y ocasiones frecuentes de
aprendizaje incidental. Esto es válido tanto para los niños interesados en la
matemáticas como para aquellos que no están motivados.
5.2.- Métodos de enseñanza.
Los métodos de enseñanza basados en la psicología cognitiva proponen
algunas prescripciones, que completan el decálogo de principios generales
que hemos expuesto anteriormente:
a.- Tener en cuenta los conocimientos previos de los alumnos, con el fin de
que los materiales no resulten ni demasiado nuevos ni demasiado
conocidos.
b.- Disponer el tiempo suficiente para que se dé un aprendizaje significativo.
c.- Planificar las actividades para que los niños experimenten las
matemáticas en acción, aclarando los objetivos de las mismas.
d.- Evitar la complejidad notacional, introduciendo la notación formal y las
técnicas pertinentes sólo cuando el alumno disponga de suficientes
estructuras de conocimiento para asimilarlas y esté adecuadamente
motivado.
e.- Estimular el aprendizaje de relaciones y la modificación de los puntos de
vista, priorizando la comprensión y la resolución de problemas, pero sin
descuidar el recuerdo de hechos numéricos, deficitario en los alumnos con
DAM.
f.- Aprovechar la matemática inventada por los niños y el interés de éstos
por el juego.
g.- Proporcionar experiencias múltiples, con formas de representación
diversas y materiales variados.
h.- Emplear la práctica distribuida, breve pero frecuente, en torno a los
conceptos más complejos.
5.3.- Cambio de actitudes.
Desde la psicología cognitiva se ha comprobado que los procesos
implicados en la resolución de problemas son susceptibles al influjo de los
factores afectivos. Muchas creencias negativas en torno a las matemáticas,
algunas de ellas inducidas por la instrucción, tienen una influencia inhibitoria
sobre sus actividades. Ello hace necesario romper el círculo vicioso que
muchos alumnos con DAM establecen entre las creencias irracionales,
ansiedad, conductas de protección para fomentar creencias constructivas
acerca de las matemáticas.
Lo anterior se puede lograr poniendo de manifiesto la inexactitud de las
creencias y ayudando a los niños a desarrollar una perspectiva adecuada,
que mantenga una imagen positiva de las matemáticas, tanto por su papel
en la resolución de tareas cotidianas como en la propia naturaleza de las
matemáticas.
5.4.- Enseñanza de conceptos y de procedimientos.
Las principales dificultades de las matemáticas surgen durante la adquisición
de los conceptos básicos que son la base de toda actividad matemática. Su
adquisición supone un nivel determinado de desarrollo que depende del
proceso de maduración. Por ello, debemos cuidar en modo extremo la
enseñanza de nociones como las de clasificación, correspondencia, valor
cardinal, etc. Es recomendable identificar las características relevantes e
irrelevantes de cada concepto, llamando la atención de los alumnos hacia
las mismas mediante preguntas y explicaciones, así como seleccionar
ejemplos que contengan las características relevantes más frecuentes, y
gran variedad de contraejemplos que infrinjan las características relevantes.
Uno de los métodos más conocidos que utiliza sistemáticamente las ideas
erróneas de los alumnos, con el fin de modificarlas, es la enseñanza
diagnóstica. Dicho método se basa en tareas críticas que exponen las ideas,
tanto correctas como equivocadas, de los alumnos, a partir de las cuales se
estima la discusión; dichas tareas se aproximan lo más posible a aquellas en
las que se espera que los alumnos apliquen los principios aprendidos. Una
vez que los alumnos descubren el método correcto de resolución, se les
plantea problemas similares, con feed-back inmediato, para consolidar el
nuevo conocimiento. Este método ejemplifica la idea de que la enseñanza de
conceptos y de procedimientos se encuentra íntimamente relacionada, más
aún si cabe que en otras disciplinas.
Por lo que respecta a la enseñanza de procedimientos, actualmente se
recomienda dar instrucción explícita de los conceptos y las relaciones entre
ellos. Esto ayuda a los niños con DAM a progresar en las fases de
resolución de problemas de modo ordenado y exitoso, evitando que sus
errores sistemáticos predominen en todos sus intentos de solución.