aprender juntos matematicas 9 evaluaciones

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matemáticas evaluaciones 1290

aprender j u n t o s

2proyecto aprender juntos © ediciones sm

aprender j u n t o s

En este sentido, el cuadernillo de Evaluaciones del proyecto Aprender Juntos Matemáticas, ofrece instrumentos específicos y diferentes para fa-cilitar a los docentes la evaluación de los estudiantes en el ámbito institucional.Las actividades para la evaluación institu-cional permiten valorar el nivel de desempeño de los estudiantes a lo largo de su proceso educativo. Su diseño modular facilita la adaptación a los siste-mas institucionales de evaluación propios de cada establecimiento educativo.

Los cuadernos del proyecto Aprender Juntos Matemáticas Secundaria presentan un sistema flexible de evaluación que orienta las actividades según un nivel de desempeño. = Básico; = Intermedio y = Avanzado.

Además las actividades permiten una valoración cuantitativa de 1 a 5, la cual es fácilmente homolo-gable con otros sistemas de registro.

Los resultados que los estudiantes obtengan en es-tas pruebas ofrecen una fuente de información para la determinación de planes de mejoramiento para los estudiantes (cómo están aprendiendo, qué nece-sitan aprender, dónde es necesario aclarar, reforzar o consolidar conceptos y procesos, cómo pueden ser más competentes) y para la institución (mirar los procesos de enseñanza, cómo consolidar el apren-dizaje de los estudiantes, reorientar procesos con dificultades, …).

Los avances en investigación educativa facilitan la identificación de los ámbitos en los cuales se debe realizar la evaluación, dentro de los cuales se en-cuentran la evaluación externa, definida como la eva-luación que se realiza fuera del aula y la evaluación institucional que se realiza en cada institución para acompañar los procesos diarios del aula con el fin de hacerle un permanente seguimiento y monitoreo al proceso de enseñanza y aprendizaje.

Tal como lo expresa el artículo 1 del Decreto, la eva-luación de los aprendizajes de los estudiantes se rea-liza en los siguientes ámbitos:

1. Internacional. El Estado promoverá la partici-pación de los estudiantes del país en pruebas que den cuenta de la calidad de la educación frente a estándares internacionales.

2. Nacional. El Ministerio de Educación Nacional y el Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES), realizarán pruebas censales con el fin de monitorear la calidad de la educación de los establecimientos educativos con fundamen-to en los estándares básicos. Las pruebas nacio-nales que se aplican al finalizar el grado undécimo permiten, además, el acceso de los estudiantes a la educación superior.

3. Institucional. La evaluación del aprendizaje de los estudiantes realizada en los establecimientos de educación básica y media, es un proceso permanen-te y objetivo para valorar el nivel de desempeño.

Dada la importancia de la evaluación en el sistema educativo se hace impres-cindible conocer en detalle la normatividad que la orienta y que da pautas para su organización en cada establecimiento educativo.

El presente documento, que se elaboró a partir del estudio del documento Nº 11 del Ministerio de Educación Nacional, Fundamentaciones y orientaciones para la implementación del Decreto 1290 de 2009, ofrece una visión detallada de las fi-nalidades y alcances del Decreto y expone ideas que facilitarán su implementación en las aulas.

Ámbitos de la evaluación de los estudiantes


La evaluación en el aula

Todos los estudiantes, independientemente de su procedencia, situación social, económica y cultural, deben contar con oportunidades para adqui-rir conocimientos, desarrollar las competencias y valores necesarios para vivir, convivir, ser productivos y seguir aprendiendo a lo largo de la vida.

La meta fundamental de todo maestro debe tender, de manera perma-nente y absoluta, a que todos sus estudiantes alcancen de manera exito-sa los fines propuestos. El alcance de esta meta no será posible si no se realizan, de manera permanente, procesos de evaluación dentro del aula.

La evaluación en los niveles de enseñanza básica y media se debe cen-trar en sus propósitos formativos, es decir, en aquellos que faciliten el aprendizaje de todos los sujetos que intervienen en el proceso educa-tivo. Bajo esta perspectiva es necesario superar el concepto de evalua-ción asociado a la calificación; debe implicar una mirada amplia sobre los sujetos y sus procesos y tener presente que se debe caracterizar por los siguientes rasgos:

• Debecentrarse en las formas de apren-dizaje de los estudiantes, de manera que se detecten las posibles fortalezas y dificultades de cada uno de los estudiantes y los docentes puedan apoyarlos de acuerdo a sus necesidades.

• Debesertransparente, continua y proce-sual, se debe realizar a partir de criterios claros, establecidos en consenso y conocidos por todos y realizarse de manera continua, no como una acti-vidad aislada al finalizar un tema o unidad.

• Debeconvocar de manera responsable a todas las partes en un sentido democrático y fomentar la autoevaluación de ellas. Debe ofrecer espacios de reflexión de manera que se convier-ta en una gran oportunidad para que docentes y estudiantes analicen sus desempeños, identifiquen fortalezas y debilidades y asuman posturas que los lleven al mejoramiento permanente. Desde esta perspectiva, cuenta con la valoración del docente (quien evalúa a sus estudiantes pero que también debe ser evaluado por ellos), da espacio a la co-evaluación y a la autoevaluación.

• Debeserformativa, motivadora y orienta-dora; e invitar al aprendizaje de todos los actores involucrados en ella. La posibilidad de autoevaluar-se, de evaluar a otros y de ser evaluado facilita el conocimiento personal y de los otros, y establece estrategias para fortalecer los procesos de apren-dizaje.

• Debe utilizardiversas técnicas y manejar fuentes de información, de manera que per-mita la emisión de juicios contextualizados. Los exámenes o pruebas, no son los únicos recursos de evaluación que tienen los docentes. Es conve-niente integrar diversas estrategias de valoración como la observación de los estudiantes durante los trabajos individuales o grupales, sus estilos en la realización de trabajos personales o argumen-tación de respuestas, la forma como formulan in-quietudes o dudas, etc. El docente que trabaja con el proyecto Aprender Juntos Matemáticas dispone de una variedad de secciones y actividades que le generan el espacio propicio para el manejo de fuentes de información, estrategias de organiza-ción y mecanismos de búsqueda.


Sistema institucional de evaluación

La Ley General de Educación, en el artículo 77 otorga la autonomía escolar a las instituciones para la for-mulación de los Proyectos Educativos Institucionales (PEI) y para la organización de su plan de estudios de manera que respondan a las necesidades y ca-racterísticas regionales. Desde esa misma perspecti-va, la expedición del Decreto 1290, en el artículo 4, da autonomía a los centros educativos para definir y estructurar su propio sistema de evaluación, y reco-mienda que contemple los siguientes aspectos:

1. Los criterios de evaluación y promoción.

2. La escala de valoración institucional y su respecti-va equivalencia con la escala nacional.

3. Las estrategias de valoración integral de los de-sempeños de los estudiantes.

4. Las acciones de seguimiento para el mejoramiento de los desempeños de los estudiantes durante el año escolar.

5. Los procesos de autoevaluación de los estudiantes.

6. Las estrategias de apoyo necesarias para resolver situaciones pedagógicas pendientes de los estu-diantes.

7. Las acciones para garantizar que los directivos docentes y docentes del establecimiento educativo cumplan con los procesos evaluativos estipulados en el sistema institucional de evaluación.

8. La periodicidad de entrega de informes a los pa-dres de familia.

9. La estructura de los informes de los estudiantes, para que sean claros, comprensibles y den infor-mación integral del avance en la formación.

10. Las instancias, procedimientos y mecanismos de atención y resolución de reclamaciones de padres de familia y estudiantes sobre la evaluación y promoción.

11. Los mecanismos de participación de la comunidad educativa en la construcción del sistema institucio-nal de evaluación de los estudiantes.

Escala de valoración nacional

Ante la perspectiva de la posibilidad de que surjan di-versas propuestas, y ante la necesidad de establecer un lenguaje común que facilite la movilidad de los estu-diantes de una institución a otra, el Decreto 1290 ofre-ce, en el artículo 5, la siguiente escala de valoración:

•DesempeñoSuperior

•DesempeñoAlto

•DesempeñoBásico

•DesempeñoBajo

Desempeño básico se entiende como la superación de los desempeños necesarios en relación con las áreas obligatorias y fundamentales, teniendo como referen-te los estándares, las orientaciones y lineamientos ex-pedidos por el Ministerio de Educación Nacional y lo establecido en el proyecto educativo institucional. El desempeño bajo se entiende como la no superación de los mismos.

La equivalencia entre la escala propuesta en el Decreto y las escalas que se trabajan en la mayoría de las instituciones educativas opera como se indica en la siguiente tabla:

Tabla de equivalencias - Escalas de valoraciónEscala nacional

Valoración cualitativa

Valoración cuantitativa

Nivel de desempeño

Superior Excelente 5 AvanzadoAlto Sobresaliente 4 IntermedioBásico Aceptable 3 BásicoBajo Insuficiente 2

Deficiente 1

el proyecto aprender juntos y el decreto 1290


Promoción escolar y promoción anticipadaLa autonomía otorgada mediante el Decreto 1290 a las instituciones debe ser administrada de manera respon-sable para que en sus procesos evaluativos se eviden-cien todos y cada uno de los presupuestos hasta ahora mencionados y faciliten a los estudiantes la culminación satisfactoria de su proceso formativo.

A continuación se presentan los artículos 6 y 7 del Decreto, en los cuales se confirma que la promoción escolar es una decisión de extrema responsabilidad y que la promoción anticipada es una de las alternativas que debe ofrecer el sistema educativo para aquellos estudiantes que por efecto de sus ritmos de aprendi-zaje, evidencien desempeños superiores y avanzados en relación con el resto del grupo.

Artículo 6. Promoción escolar. Cada esta-blecimiento educativo determinará los criterios de promoción escolar de acuerdo con el sistema insti-tucional de evaluación de los estudiantes. Así mismo, el establecimiento educativo definirá el porcentaje de asistencia que incida en la promoción del estudiante.

Cuando un establecimiento educativo determine que un estudiante no puede ser promovido al grado si-guiente, debe garantizarle en todos los casos, el cupo para que continúe con su proceso formativo.Artículo 7. Promoción anticipada de gra-do. Durante el primer período del año escolar el con-sejo académico, previo consentimiento de los padres de familia, recomendará ante el consejo directivo la promoción anticipada al grado siguiente del estudian-te que demuestre un rendimiento superior en el desa-rrollo cognitivo, personal y social en el marco de las competencias básicas del grado que cursa. La deci-sión será consignada en el acta del consejo directivo y, si es positiva, en el registro escolar. Los estableci-mientos educativos deberán adoptar criterios y pro-cesos para facilitar la promoción al grado siguiente de aquellos estudiantes que no la obtuvieron en el año lectivo anterior.

Responsabilidades, derechos y deberes

El Decreto 1290 además de reglamentar la evalua-ción de los estudiantes, en sus artículos 9 a 15 define el papel de cada uno de los actores del proceso eva-luativo y especifica sus responsabilidades, derechos y deberes. A continuación se presentan algunos de ellos. Para una información más completa consulte www.colombiaaprende.edu.co

Artículo 9. Responsabilidades del Minis-terio de Educación Nacional. En cumplimiento de las funciones establecidas en la ley, el Ministerio de Educación Nacional debe:

1. Publicar información clara y oportuna sobre los resultados de las pruebas externas tanto interna-cionales como nacionales, de manera que sean un insumo para la construcción de los sistemas ins-titucionales de evaluación de los estudiantes y el mejoramiento de la calidad de la educación. (...)

4. Evaluar la efectividad de los diferentes sistemas institucionales de evaluación de los estudiantes.

Artículo 10. Responsabilidades de las se-cretarías de educación de las entidades territoriales certificadas. En cumplimiento de las funciones establecidas en la ley, la entidad territo-rial certificada debe:

1. Analizar los resultados de las pruebas externas de los establecimientos educativos de su jurisdicción y contrastarlos con los resultados de las evaluacio-nes de los sistemas institucionales de evaluación de los estudiantes. (...)

3. Trabajar en equipo con los directivos docentes de los establecimientos educativos de su jurisdicción para facilitar la divulgación e implementación de las disposiciones de este decreto.

4. Resolver las reclamaciones que se presenten con respecto a la movilidad de estudiantes entre esta-blecimientos educativos de su jurisdicción.


Artículo 11. Responsabilidades del esta-blecimiento educativo. En cumplimiento de las funciones establecidas en la ley, el establecimiento educativo, debe:

1. Definir, adoptar y divulgar el sistema institucional de evaluación de estudiantes, después de su apro-bación por el consejo académico.

2. Incorporar en el proyecto educativo institucional los criterios, procesos y procedimientos de evalua-ción; estrategias para la superación de debilidades y promoción de los estudiantes, definidos por el consejo directivo.

3. Realizar reuniones de docentes y directivos docen-tes para analizar, diseñar e implementar estrate-gias permanentes de evaluación y de apoyo para la superación de debilidades de los estudiantes y dar recomendaciones a estudiantes, padres de fa-milia y docentes.

4. Promover y mantener la interlocución con los pa-dres de familia y el estudiante, con el fin de pre-sentar los informes periódicos de evaluación, el plan de actividades de apoyo para la superación de las debilidades, y acordar los compromisos por parte de todos los involucrados. (...)

6. Atender los requerimientos de los padres de fami-lia y de los estudiantes, y programar reuniones con ellos cuando sea necesario.

7. A través del consejo directivo, servir de instancia para decidir sobre reclamaciones que presenten los estudiantes o sus padres de familia en relación con la evaluación o promoción.

8. Analizar periódicamente los informes de evalua-ción con el fin de identificar prácticas escolares que puedan estar afectando el desempeño de los estudiantes, e introducir las modificaciones que sean necesarias para mejorar.

9. Presentar a las pruebas censales del ICFES la tota-lidad de los estudiantes que se encuentren matri-culados en los grados evaluados, y colaborar con

este en los procesos de inscripción y aplicación de las pruebas, según se le requiera.

Artículo 12. Derechos del estudiante. El estudiante, para el mejor desarrollo de su proceso formativo, tiene derecho a:

1. Ser evaluado de manera integral en todos los as-pectos académicos, personales y sociales.

2. Conocer el sistema institucional de evaluación de los estudiantes: criterios, procedimientos e instru-mentos de evaluación y promoción desde el inicio de año escolar.

3. Conocer los resultados de los procesos de evaluación y recibir oportunamente las respuestas a las inquietu-des y solicitudes presentadas respecto a estas.

4. Recibir la asesoría y acompañamiento de los do-centes para superar sus debilidades en el apren-dizaje.

Artículo 13. Deberes del estudiante. El estudiante, para el mejor desarrollo de su proceso formativo, debe:

1. Cumplir con los compromisos académicos y de con-vivencia definidos por el establecimiento educativo.

2. Cumplir con las recomendaciones y compromisos adquiridos para la superación de sus debilidades.

Artículo 14. Derechos de los padres de familia. En el proceso formativo de sus hijos, los padres de familia tienen los siguientes derechos:

1. Conocer el sistema institucional de evaluación de los estudiantes: criterios, procedimientos e instru-mentos de evaluación y promoción desde el inicio de año escolar.

2. Acompañar el proceso evaluativo de los estudiantes.

3. Recibir los informes periódicos de evaluación.

4. Recibir oportunamente respuestas a las inquietu-des y solicitudes presentadas sobre el proceso de evaluación de sus hijos.

el proyecto aprender juntos y el decreto 1290



Rectoría

Preescolar

Granja

Segundo

Primero

Informática

Tercero

según la medida desus lados

según la medida desus ángulos

según la medida desus ángulos



El colegio Los Pinares tiene diseños muy particulares. El siguiente es un plano de una parte del colegio.

100. Comprende el concepto de polígono. Escribe falso (F) o verdadero (V), según co-rresponda.

a) La línea que determina el camino desde la rectoría hasta el salón de primero es una línea poligonal cerrada. ( )

b) La figura de la granja mostrada en el plano es un polígono. ( )

c) La vista superior del salón de informática es un polígono cóncavo. ( )

d) La vista superior del salón de primero es un polígono irregular. ( )

e) El octágono de la vista superior de la rectoría está inscrito en una circunferencia. ( )

101. Halla la suma de los ángulos de un polígono. Determina cuánto suman los ángulos inter-nos de los polígonos que representan:

a) La rectoría

b) El salón de preescolar

c) El salón de segundo

d) El salón de informática

e) El salón de primero

102. Clasifica triángulos según la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos. Clasifica los triángulos de las vistas superi-ores de algunos salones de bachillerato del colegio, según se indica.

a)

b)

c)

d)

e

8

Colegio:

Estudiante:

proyecto aprender juntos © ediciones sm

Pensamiento numéricoMauricio y Antonio fueron de compras. A continuación aparecen las facturas de lo que compró cada uno.

Mauricio Antonio

Producto Cantidad Precio por unidad ($) Producto Cantidad Precio por unidad ($)Jean clásico 3 230 000 Pantalón paño 3 190 000

Camisa polo 2 45 000 Camisa clásica 4 93 000

Chaqueta 2 265 000 Chaqueta paño 1 320 000

Zapatos 1 199 999 Zapatos formales 2 225 000

Pantalón cargo 3 150 000 Pantalón deportivo 2 95 999

Camiseta blanca 7 18 500 Camiseta blanca 6 18 500

1. Comprende el significado de la adición, iden-tifica sus términos y aplica su algoritmo. Determina el valor de compra en cada caso.

a) Un jean clásico y un pantalón deportivo

b) Una camisa polo y unos zapatos formales

c) Un pantalón clásico, un pantalón de paño y una chaqueta de paño

d) Un pantalón cargo, una camiseta blanca y una chaqueta de paño

e) Un pantalón deportivo y una camisa polo

2. Realiza operaciones combinadas entre núme-ros naturales. Determina el costo total en cada caso.

a) El precio de dos jeans clásicos y tres chaque-tas menos el de una camisa clásica

b) El precio de tres jeans menos el de dos cami-setas blancas

c) El precio de tres pantalones de paño más el de cuatro camisas clásicas

d) El precio de tres camisetas blancas y tres pantalones cargo menos el de una camisa clásica

e) El precio de la compra total de Mauricio me-nos el de la compra de Antonio

3. Halla el producto entre dos números naturales. Determina cuánto pagó Mauricio por:

a) Los tres jeans clásicos

b) Las dos camisas polo

c) Las dos chaquetas

d) Los tres pantalones cargo

e) Las siete camisetas blancas

4. Comprende el significado de la división, apli-ca el algoritmo y distingue sus términos. En el almacén los clientes pueden pagar por cuotas. Determina el valor de cada cuota si:

a) Mauricio paga la cuenta en ocho cuotas.

b) Antonio paga la cuenta en cuatro cuotas.

c) Antonio paga la cuenta en doce cuotas.

d) Mauricio paga la cuenta en 20 cuotas.

e) Antonio paga la cuenta en quince cuotas.

Evaluaciones 1290

Artículo 15. Deberes de los padres de fa-milia. De conformidad con las normas vigentes, los padres de familia deben:

1. Participar, a través de las instancias del gobierno escolar, en la definición de criterios y procedimien-tos de la evaluación del aprendizaje de los estu-diantes y promoción escolar.

2. Realizar seguimiento permanente al proceso eva-luativo de sus hijos.

3. Analizar los informes periódicos de evaluación.

Procedimientos administrativos para la aplicación del Decreto 1290

Se presenta en los artículos 16 a 19.

Artículo 16. Registro escolar. Los estableci-mientos educativos deben llevar un registro actuali-zado de los estudiantes que contenga, además de los datos de identificación personal, el informe de valora-ción por grados y el estado de la evaluación.

Artículo 17. Constancias de desempeño. El establecimiento educativo, a solicitud del padre de familia, debe emitir constancias de desempeño de cada grado cursado, en las que se consignarán los resultados de los informes periódicos.

Cuando la constancia de desempeño reporte que el estudiante ha sido promovido al siguiente grado y se traslade de un establecimiento educativo a otro, será matriculado en el grado al que fue promovido según el reporte. Si el establecimiento educativo receptor, a través de una evaluación diagnóstica, considera que el estudiante necesita procesos de apoyo para estar acorde con las exigencias académicas del nuevo cur-so, debe implementarlos.

Artículo 18. Graduación. Los estudiantes que culminen la educación media obtendrán el título de Bachiller Académico o Técnico, cuando hayan cumpli-do con todos los requisitos de promoción. (...)

la evaluación en aprender juntosTeniendo en cuenta lo dispuesto en el Decreto 1290 ampliamente expuesto, el proyecto Aprender Juntos Matemáticas ofrece una completa propuesta de eva-luación. Esta se caracteriza por ser flexible, dinámica y ajustarse fácilmente a las diferentes necesidades curri-culares de las instituciones y de los docentes.

El docente encuentra un menú muy completo de ac-tividades que puede organizar de diferentes formas según sus necesidades e intenciones:

1. Conjunto de actividades organizadas según la secuen-cia didáctica y metodológica presentada en el libro.

2. Conjunto de actividades para cada uno de los están-dares sugeridos por el MEN, que puede organizar según la secuencia didáctica y metodología que el docente sigue en la clase.

3. Conjunto de actividades clasificadas según su nivel: básico, intermedio y avanzado.

4. Actividades que puede emplear para la evaluación, el refuerzo o la recuperación.

5. Conjunto de actividades que dan un reporte cuanti-tativo. Pueden ser medibles de 1 a 5.

6. Actividades con criterios particulares de evaluación los cuales se presentan en la hoja de soluciones y permiten un registro cuantitativo de 1 a 5.


Agua en la Tierra Agua dulce en la Tierra

3% Dulce

97% Salada

33,25% Subterránea

0,5% Ríos y lagos66,25% Glaciares

8

Colegio:

Estudiante:

Pensamiento numéricoEn las gráficas se muestra la distribución del agua existente en la Tierra.

Evaluaciones 1290

3. Efectúa operaciones con números racionales. El área superficial de la Tierra es aproxima-damente 510 066 000 km2. Calcula cuántos kilómetros cuadrados están ocupados en cada caso si:

a) El área terrestre equivale a los 29100

.

b) El área acuática equivale a los 71100 .

c) El área africana equivale a 1150 .

d) El agua dulce ocupa los 21310 000 .

e) El agua salada ocupa los 6 887

10 000 .

4. Aproxima los resultados de operaciones con números reales. El área terrestre del planeta Tierra es aproxi-madamente 148 647 000 km2. Determina qué porcentaje del área terrestre mide la super-ficie de cada continente. Luego, redondea los resultados a las décimas.

a) Asia: 44 936 000 km2

b) América: 42 000 000 km2

c) Antártico: 14 200 000 km2

d) Europa: 10 359 358 km2

e) Oceanía: 76 828 300 km2

1. Maneja porcentajes como números racionales. Completa las tablas con base en la informa-ción de las gráficas.

Distribución del agua en la Tierra

Tipo de agua Porcentaje Expresión fraccionaria

Dulce 3%Salada 97%

Distribución del agua dulce en la Tierra


Subterránea 33,25%Ríos y lagos 0,5 %Glaciares 66,25%

2. Halla la expresión decimal de un número racional. Encuentra la expresión decimal de la fracción que se indica en cada caso.

a) Parte del agua de la Tierra correspondiente a agua dulce.

b) Parte del agua de la Tierra correspondiente a agua salada.

c) Parte del agua dulce correspondiente a agua subterránea.

d) Parte del agua dulce correspondiente a ríos y lagos.

e) Parte del agua dulce correspondiente a glaciares.


9

Los siguientes son los datos que anotó un científico al estudiar el comportamiento de cierta población de bacterias, durante un experimento.

Grupo 1

Tiempo (min) Cantidad de individuos

0 24 000 000

10 12 000 000

20 6 000 000

30 3 000 000

40 1 500 000

50 750 000

60 375 000

5. Expresa partes de un todo como un número racional. Indica a qué parte de la población inicial de bacterias en el grupo 1 corresponde la canti-dad de individuos existente al cabo de:

a) 10 min

b) 20 min

c) 30 min

d) 40 min

e) 50 min

6. Halla la expresión decimal de un número racional. Relaciona la expresión decimal de la parte de la población de bacterias del grupo 1 con respecto a la población inicial, con el tiempo correspondiente:

a) 0,5 ( ) 60 min

b) 0,0625 ( ) 40 min

c) 0,25 ( ) 50 min

d) 0,015625 ( ) 10 min

e) 0,03125 ( ) 20 min

7. Comprende el concepto de intervalo. Escribe el intervalo de tiempo durante el cual ocurre cada situación. Ten en cuenta los datos relacionados con el grupo 1.

a) La población decrece en 750 000 individuos.

b) La población decrece en 3 000 000 de indivi-duos.

c) La población decrece en 12 000 000 de indivi-duos.

d) La población decrece en 375 000 individuos.

e) La población decrece en 6 000 000 de indivi-duos.

8. Comprende la notación científica. Completa cada enunciado con base en la información relativa al grupo 1.

a) A los min la población es de 7,5 3 105 individuos.

b) A los min la población es de 2,4 3 107 individuos.

c) A los min la población es de 3,75 3 105 individuos.

d) A los min la población es de 1,5 3 106 individuos.

e) A los min la población es de 3 3 106 individuos.


9. Resuelve operaciones que involucran poten-cias de números reales. En un segundo experimento, y bajo nuevas condiciones, el científico estudió otro grupo de bacterias. Los datos fueron los siguientes.

Grupo 2

Tiempo (min)

Cantidad de individuos

0 10 000 3 20

10 10 000 3 21

20 10 000 3 22

30 10 000 3 23

40 10 000 3 24

50 10 000 3 25

60 10 000 3 26

Cuántos individuos hay al cabo de:

a) 10 min

b) 20 min

c) 30 min

d) 50 min

e) 1 hora

10. Calcula logaritmos de números reales. Ayuda al científico a encontrar los valores de n que dan sentido a las siguientes igualdades. Luego completa cada frase.

a) 10 240 000 5 10 000 3 1 024 5 10 000 3 2n Hay 10 240 000 individuos a los min.

b) 1 280 000 5 10 000 3 128 5 10 000 3 2n Hay 1 280 000 individuos a los min.

c) 2 560 000 5 10 000 3 256 5 10 000 3 2n Hay 2 560 000 individuos a los min.

d) 20 480 000 5 10 000 3 2 048 5 10 000 3 2n Hay 20 480 000 individuos a los min.

e) 5 120 000 5 10 000 3 512 5 10 000 3 2n Hay 5 120 000 individuos a los min.

11. Identifica radicales equivalentes. Cierto experimento con las bacterias del gru-po 2, se llevó a cabo dos veces. Indica si los datos obtenidos son equivalentes o no, en cada caso.

¿Son equivalentes?

Dato 1 Dato 2 Sí No

3 276

85 6410

958 967

624 61520

1123 113

12. Racionaliza expresiones fraccionarias. El científico obtuvo algunos datos que debe racionalizar para sacar conclusiones. Ayúdale a racionalizar los siguientes.

a) 42

b) 333

c) 23 7+

d) 22 3−

e) 1 21 2+−

13. Aplica las propiedades de los logaritmos. Para finalizar, en el segundo experimento se obtuvieron datos acerca de las bacterias, que se pueden expresar mediante logaritmos. Si se sabe que log 8 5 0,9031, relaciona cada expresión con su valor.

a) log 0,8 ( ) 3,8062

b) log 6 400 ( ) 20,0969

c) log 0,64 ( ) 2,9031

d) log 800 ( ) 0,3010

e) log 2 ( ) 20,1938


C

D C O

NMBA

Z S R

P QX Y

1

21 3

2

2

1

21 3

3

10 2 3 4

12r �

O 1

1

2 3 4

�2 �1 0 1 2 3 4

1

1

21 3

2

2

1

21 3

3

10 2 3 4

12r �

O 1

1

2 3 4

�2 �1 0 1 2 3 4

1

1

21 3

2

2

1

21 3

3

10 2 3 4

12r �

O 1

1

2 3 4

�2 �1 0 1 2 3 4

1

1

21 3

2

2

1

21 3

3

10 2 3 4

12r �

O 1

1

2 3 4

�2 �1 0 1 2 3 4

1

1

21 3

2

2

1

21 3

3

10 2 3 4

12r �

O 1

1

2 3 4

�2 �1 0 1 2 3 4

1

Mariana necesita calcular algunas medidas en las siguientes figuras.

14. Realiza operaciones con números reales. Ayúdale a Mariana a calcular la medida que se indica en cada caso, sin usar la calculadora.

a) El perímetro de la circunferencia con centro en C, si su radio es 3 cm.

b) La diagonal del cuadrado ABCD, de lado 5 cm.

c) La hipotenusa del triángulo rectángulo MNO, si MN 5 12 cm y MO 5 6 cm.

d) La hipotenusa del triángulo rectángulo XYZ, si XY 5 4 cm 5 YZ.

e) La diagonal del rectángulo PQRS, si PQ 5 10 cm y QR 5 5 cm.

15. Aproxima números reales. Completa la tabla.

MedidaExpresión decimal

(aproximada a las centésimas)

Perímetro de la circun-ferencia

Diagonal del cuadrado ABCD

Hipotenusa del MNO

Hipotenusa del XYZ

Diagonal del rectángulo PQRS

16. Representa números irracionales en la recta numérica. Para representar en la recta numérica las medidas encontradas por Mariana debe practi-car con los siguientes valores. Relaciona cada representación con el número correspondiente.

a)

b)

c)

d)

e)

( )

( ) 2

( ) 3

( ) 5

( ) 10


Mauricio aprendió que un fractal es una forma geométrica que muestra una estructura compleja inde-pendientemente de la ampliación con que sea observada, y que para generar una de estas imágenes en su computador debe realizar algunos cálculos con números complejos.

17. Reconoce ecuaciones cuya solución no está en el conjunto R. Antes de iniciar los cálculos, Mauricio debe seleccionar algunas ecuaciones. Indica cuáles de las siguientes tienen solución en el con-junto R y cuáles no.

a) x2 1 9 5 0

b) x2 2 16 5 0

c) x2 2 49 5 0

d) x2 1 81 5 0

e) x2 1 100 5 0

18. Identifica cantidades imaginarias. Algunas de las cantidades que Mauricio utilizará para sus cálculos tienen que estar expresadas en términos de la unidad imagi-naria. Ayúdalo con las siguientes.

a) −169

b) −400

c) −8

d) −7

e) −50

19. Reconoce las características de un número complejo. Mauricio completó la siguiente tabla pero co-metió algunos errores. Corrígelos.

Número complejo Parte real Parte imaginaria

5 1 3i 3 5

2 2 3i 2 3

27 0 27

223

1 i 223

0

215

i 215

0

20. Encuentra el conjugado de un número complejo. Mauricio debe determinar el conjugado de algunos números. Relaciona cada número complejo con su conjugado.

a) 2 2 3i ( ) 22 1 3i

b) 1 1 i ( ) 21 2 i

c) 24 1 5i ( ) 1 2 i

d) 22 2 3i ( ) 2 1 3i

e) 21 1 i ( ) 24 2 5i

21. Efectúa adiciones y sustracciones de números complejos. Para empezar a generar una imagen fractal en el computador, Mauricio debe realizar las siguientes operaciones. ¿Cuál es el resultado en cada caso?

a) (1 2 4i ) 1 (23 1 5i ) 1 (25 2 i )

b) (22 2 i ) 1 (28 2 6i ) 2 (9 1 5i )

c) (6 2 3i) 2 (25 1 i) 2 (8 2 9i)

d) (12

2 1113 i ) 1 (2 3

4 1 16 i ) 1 (25

2 1 17

17 i )

e) (227 2 3

8 i ) 2 ( 114 2 54 i ) 2 (4 2 5i )

22. Calcula productos y cocientes de números complejos. Obtén los resultados de las operaciones que debe realizar Mauricio.

a) (2 2 3i )(21 1 2i )

b) (25 2 4i )(22 2 i )

c) (21 2 2i )(3 2 i )

d) (3 2 2i ) 4 (23 1 5i )

e) (24 2 i ) 4 (21 2 3i )


2i

2

�5 � 7i

�3 � 2i

2 � 4i

Eje imaginario

Eje real

2i

�2

�3 � 5i

�5 � 3i

6 � 4i

Eje imaginario

Eje real

2i�2

5 � 6i

�6 � 5i

7 � 4i

Eje imaginario

Eje real

2i�2

�2 � 5i

1 � 7i

�4 � 4i

Eje imaginario

Eje real

2i�2

�2 � 5i

7 � 3i

�4 � 6i

Eje imaginario

Eje real

23. Comprende la igualdad de números complejos. Mauricio debe encontrar el valor de las in-cógnitas que hacen verdadera cada igualdad. Encuéntralos y completa la tabla.

Igualdad X Y

x 1 yi 5 58

1 2i

x 1 yi 5 3 2 34 i

x 1 yi 5 5

x 1 yi 5 5i

7x 1 710

yi 5 2i

12

2 i 1 (2x 1 yi ) 5 7 2 3i

(27 2 7i ) 1 (2x 1 yi ) 5 0

7 2 25 i 1 (27 1 4i ) 1 (2x 1 yi ) 5 0

(x 1 yi) 1 3 1 2 ) 5 23

1 3 i

(2x 2 3yi ) 1 (2 3 1 15

i ) 5 2 1 2 i

24. Encuentra potencias de números complejos. La fórmula que debe seguir Mauricio para generar uno de los fractales es la siguiente.

Primera iteración: z2 1 z Segunda iteración: (z2 1 z)2 1 z Tercera iteración: (z2 1 z)2 1 z 2 1 z Calcula las tres primeras iteraciones para

cada uno de los siguientes valores de z.

Primera iteración: a) 1 Segunda iteración: Tercera iteración:

Primera iteración: b) 21 Segunda iteración: Tercera iteración:

Primera iteración: c) 2i Segunda iteración: Tercera iteración:

Primera iteración: d) 2i Segunda iteración: Tercera iteración:

Primera iteración: e) 22i Segunda iteración: Tercera iteración:

25. Representa gráficamente números complejos. En cada caso, Mauricio ha cometido un error al representar gráficamente los números complejos dados. Determina el intruso en cada grupo.

a) (2 2 4i), (23 1 2i) y (25 2 7i)

b) (25 2 3i), (23 1 5i) y (6 2 4i)

c) (26 2 5i), (7 2 4i) y (5 1 6i)

d) (22 1 5i), (24 2 4i) y (1 1 7i)

e) (7 1 3i), (24 1 6i) y (22 2 5i)


3x � y

x

3y

2x � y

x � y

x

2x � y

2y

2x

x � 2y

3x

3x2y

3x

x � y

Cancha de fútbol

Canchas de tenis

Piscinas

Canchas de voleibol

2x � 3y

x � 2y

2y

Zona de restaurantes

Pensamiento variacionalMario elaboró el plano de un centro recreativo al que asiste con su familia.

28. Efectúa multiplicación de polinomios. Completa la siguiente tabla.

Lugar representado en el plano

Expresión algebraica del área

Cancha de fútbol

Zona de restaurantes

Canchas de tenis

Piscinas

Canchas de voleibol

29. Aplica los productos notables. Las siguientes son expresiones del área de lugares que Mario representó en otro plano. Halla una expresión equivalente en cada caso.

a) (3x 1 2y)2

b) (x 235 y)2

c) (5x 1 12

y)(5x 2 12

y)

d) ( 13 x 2 4y)( 1

3 x 1 4y)

e) (x 2 13 )3

26. Realiza adición de polinomios. Relaciona cada lugar con el polinomio que expresa su perímetro.

a) Cancha de fútbol ( ) 10x 1 2y

b) Zona de restaurantes ( ) 6x 1 4y

c) Canchas de tenis ( ) 8x 1 6y

d) Piscinas ( ) 6x 1 10y

e) Canchas de voleibol ( ) 8x 1 5y

27. Calcula el valor numérico de un polinomio. Si se sabe que x 5 3 m y y 5 2 m, determina el valor numérico del perímetro de cada lugar.

a) Cancha de fútbol

b) Zona de restaurantes

c) Canchas de tenis

d) Piscinas

e) Canchas de voleibol


3 3

3 2

4 2

3 23 3

5 2

5 2

4 2

2 2

7 2

5 2

4 3

2 5 2 5

4 34 3

4 3 3 7

30. Efectúa división de polinomios. Mario conoce la expresión algebraica del área (A) y del lado (L1) de uno de sus dibujos, pero olvidó la correspondiente al otro lado (L2). Ayúdalo a encontrarla si:

a) A 5 6x2 2 xy 2 2y2 L1 5 y 1 2x

b) A 5 3x2 2 2x 2 16 L1 5 x 1 2

c) A 5 28x2 2 30y2 2 11xy L1 5 4x 2 5y

d) A 5 x4 1 12x2 1 36 L1 5 x2 1 6

e) A 5 x2 1 5x 2 14 L1 5 x 2 2

31. Factoriza polinomios. Los polinomios representan el área de cinco lugares del centro recreativo. Selecciona la factorización correcta en cada caso.

a) 2x4 1 15x2 1 7 (2x2 1 1)(x2 1 7) (2x2 2 1)(x2 1 7)

b) 4x2 2 8x 1 3 (2x 2 1)(2x 2 3) (x 2 1)(2x 2 3)

c) 6a2 1 7a 1 2 (2a 2 1)(3a 1 2) (2a 1 1)(3a 1 2)

d) 6m2 2 m 2 15 (3m 1 5)(5m 1 3) (3m 2 5)(5m 1 3)

e) 6x2 1 5x 2 25 (3x 2 5)(2x 1 5) (3x 1 5)(2x 1 5)

32. Realiza operaciones con fracciones algebraicas. Completa la tabla determinando el área de cada locación.

Locación Largo Ancho Área

A2 6

1xx

++

x xx x

2

23 2

4 12+ +

+

B5 25

14m + 7 7

10 50mm

++

C 26

2a a+ 84 2a +

D2 2

2

2

2y y

y+ y y

y y

2

23

2 3−

− −

E2 2

2 502x

x−−

x xx

2 4 53 3− −

+

33. Efectúa operaciones con expresiones radicales. En sus planos, Mario expresó la medida de los lados, en metros, de las figuras con radi-cales. Halla el perímetro en cada caso.

a) d)

b) e)

c)

34. Resuelve ecuaciones lineales con la incógnita en más de un término. Mario planteó las siguientes ecuaciones para averiguar las dimensiones de algunos de los lugares representados en sus planos. Ayúdale a relacionar cada ecuación con su solución.

a) 4x 1 6 5 8x 1 12(x 2 4) 2 10

b) 3x 2 (6x 1 3) 5 36 2 (9x 1 9)

c) 28x 2 20 5 212x 2 2(x 1 2) 1 2(2x 1 3)

d) 9x 1 [215x 2 3(x 1 3)] 5 24x 1 3(25x 2 9)

e) 10(x 2 9) 2 9(5 2 6x) 5 2(4x 2 1) 1 5(1 1 2x)

( ) 3

( ) 12

( ) 5

( ) 1

( ) 4


Para la clase de álgebra, Lucas debe resolver un cuestionario que incluye preguntas sobre las siguientes figuras.

A B C D E

35. Reduce términos semejantes en un polinomio. Lucas debe encontrar la expresión algebraica que representa el área de cada figura. Cuál es esta expresión en el caso de:

a) La figura A

b) La figura B

c) La figura C

d) La figura D

e) La figura E

36. Efectúa operaciones con polinomios. Calcula los productos si:

a) El área de A se multiplica por 3x 1 2y.

b) El área de B se multiplica por 5a 2 b.

c) El área de C se multiplica por 2xy 2 1.

d) El área de D se multiplica por m 1 5n.

e) El área de E se multiplica por 4m 2 3.

37. Calcula productos notables por simple ins-pección. Lucas calculó estos productos por simple inspección pero cometió errores. Corrígelos.

a) (4m 1 7n)2 5 16m2 2 11mn 1 28n2

b) (5x 2 y)2 5 25x2 1 5xy 1 y2

c) (3x 2 7y)(3x 1 7y) 5 9x2 1 14y2

d) (5m 1 2n)(5m 2 2n) 5 25n2 2 4m2

e) (a 1 7b)3 5 a3 2 21a2b 1 42ab2 2 21b3

38. Factoriza polinomios. Indica, en cada caso, si la expresión algebraica que representa el lado del cuadrado es correc-ta o no.

¿Es correcta?

Figura Lado Sí NoA 3x 1 2y

B 5a 1 3b

C 7x 1 4y

D 3m 1 5n

E 3m 1 5

39. Aplica la regla de Ruffini. Las siguientes divisiones se deben resolver utilizando la regla de Ruffini. Ayuda a Lucas y relaciona cada una con el cociente, C(x), y el residuo, R, respectivos.

a) (x3 2 5x2 1 3x 1 11) 4 (x 2 3)

b) (x4 2 5x3 1 4x 2 39) 4 (x 1 2)

c) (x3 2 x2 1 2x 1 8) 4 (x 1 1)

d) (x3 2 2x2 1 9x 2 11) 4 (x 2 2)

e) (x4 1 x3 1 x2 2 x 1 1) 4 (x 2 1)

( ) C(x) 5 x3 2 7x2 1 14x 2 24 y R 5 9

( ) C(x) 5 x2 2 2x 1 4 y R 5 4

( ) C(x) 5 x3 1 2x2 1 3x 1 2 y R 5 3

( ) C(x) 5 x2 2 2x 2 3 y R 5 2

( ) C(x) 5 x2 1 9 y R 5 7


40. Comprende los teoremas del residuo y del factor. Una de las actividades que debe desarrollar Lucas consiste en que, sin efectuar las di-visiones, debe determinar si son exactas o inexactas. Clasifícalas.

a) (x2 2 2x 1 1) 4 (x 2 2) Exacta

Inexacta

b) (m3 2 3m2 1 2m 2 8) 4 (m 2 4) Exacta

Inexacta

c) (a3 2 a2 1 a 1 14) 4 (a 1 2) Exacta

Inexacta

d) (z3 2 3z2 1 2z 2 10) 4 (z 2 3) Exacta

Inexacta

e) (x6 2 1) 4 (x 2 1) Exacta

Inexacta

41. Identifica las raíces enteras de un polinomio. Lucas debe marcar las casillas correspon-dientes a raíces del polinomio P(x). ¿Cuáles son en cada caso?

a) P (x) 5 x3 2 4x2 2 5x 1 8

1 21 2 22 4 24 8 28

b) P (x) 5 2x4 1 5x3 2 5x2 2 5x 1 3

1 21 3 23

c) P (x) 5 x3 1 3x2 2 x 2 3

1 21 3 23

d) P (x) 5 x3 2 2x2 1 2x 2 4

1 21 2 22 4 24

e) P (x) 5 x3 1 2x2 2 x 2 2

1 21 2 22

42. Factoriza un polinomio conociendo sus raíces enteras. Indica, en cada caso, si Lucas completó los espacios correctamente o no. Justifica.

a) P (x) 5 x2 2 7x 1 12 Raíces: 3 y 4 Factorización: (x 2 3)(x 2 4)

b) P (x) 5 x2 2 6x 1 9 Raíces: 3 y 23 Factorización: (x 2 3)(x 1 3)

c) P (x) 5 x2 2 8x 1 12 Raíces: 2 y 6 Factorización: (x 2 6)(x 2 2)

d) P (x) 5 x2 2 2x 2 15 Raíces: 23 y 5 Factorización: (x 1 3)(x 2 5)

e) P (x) 5 x2 2 7x 2 30 Raíces: 6 y 5 Factorización: (x 2 6)(x 2 5)

43. Identifica polinomios irreducibles. Es necesario determinar cuáles de los si-guientes polinomios son irreducibles. Encuéntralos.

a) P (x) 5 x2 1 2x 1 32

b) P (x) 5 5x2 2 3x 1 4

c) P (x) 5 x2 2 7x 1 10

d) P (x) 5 2x2 1 x 1 3

e) P (x) 5 3x2 2 2x 1 1

44. Descompone un polinomio en factores utili-zando diversas estrategias. Para factorizar los siguientes polinomios, Lucas debe utilizar diferentes estrategias. Indica cuál es la más conveniente en cada caso y aplícala.

a) P (x) 5 x3 1 2x2 2 5x 2 6

b) P (x) 5 x3 1 x2 2 17x 1 15

c) P (x) 5 3x3 2 5x2 2 4x 1 4

d) P (x) 5 2x3 1 5x2 2 4x 2 3

e) P (x) 5 x3 2 2x2 2 5x 1 6


Claudia hizo una encuesta acerca del número de vehículos que guardaron cinco parqueaderos en cierto día de la semana, a las 8:00 a.m. y a las 12:00 m. Los datos obtenidos fueron los siguientes.

8:00 a.m 12:00 m

Parqueadero Número de motos

Número de automóviles

Número de motos

Número de automóviles

A 7 9 8 11

B 4 5 6 7

C 8 10 5 7

D 9 8 7 6

E 12 9 8 6

45. Resuelve ecuaciones de primer grado con la incógnita en más de un término. Halla la solución de cada ecuación y determi-na el número de personas que le colaboraron a Claudia realizando las encuestas en cada parqueadero.

a) A: 5x 1 10 2 18 5 14 2 6x

b) B: 3x 1 9 1 5x 5 10 1 7x

c) C: 11x 1 3(x 1 1) 5 6x 1 35

d) D: 2(x 2 1) 1 4x 5 (x 2 2) 1 15

e) E: 4(2x 2 1) 1 3(x 1 2) 5 5x 1 44

46. Resuelve ecuaciones de primer grado con fracciones algebraicas. Halla la solución de las ecuaciones para descubrir cuántos empleados tiene cada parqueadero.

a) A: 23x 1 5x 1 6 5 18 1 5

3x

b) B: 45x 1 2x 1 7 5 41

2 1 x10

c) C: 3x 1 72x 2

332

5 34x 2 5

d) D: 10 2 58x 1 2x 5 25

2 1 34x

e) E: 37x 2 3x 5 37

14 2

1714

x 2 4

47. Plantea sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Claudia recolectó la siguiente información.

Dinero en pesos recolectado por los parqueaderos

Parqueadero 8:00 12:00A 8 200 9 800

B 5 500 7 900

C 10 100 6 800

D 10 950 8 350

E 14 400 9 600

Para averiguar el costo de parqueo (x) de un cuarto de hora de una moto y el de un auto-móvil (y), en cada sitio, Claudia planteó cinco sistemas de ecuaciones. Relaciona cada par-queadero con el sistema correspondiente.

a) A ( ) 8x 1 10y 5 10 100 5x 1 7y 5 6 800

b) B ( ) 9x 1 8y 5 10 950 7x 1 6y 5 8 350

c) C ( ) 7x 1 9y 5 8 200 8x 1 11y 5 9 800

d) D ( ) 12x 1 9y 5 14 400 8x 1 6y 5 9 600

e) E ( ) 4x 1 5y 5 5 500 6x 1 7y 5 7 900


O

100

100

Y

X

48. Emplea el método gráfico para hallar la solución de sistemas de ecuaciones. Sigue los pasos para resolver por el método gráfico el sistema de ecuaciones que Claudia planteó para averiguar los precios en el parqueadero A.

a) Completa la tabla de valores para la primera ecuación.

x 2500 400 1 300

y

b) Completa la tabla de valores para la segunda ecuación.

x 2700 400 1 500

y

c) Representa las dos ecuaciones en el plano cartesiano.

d) Identifica la intersección de las rectas.

e) Describe la solución del sistema.

49. Resuelve sistemas de ecuaciones por sustitución. Resuelve el sistema correspondiente al par-queadero B siguiendo estos pasos.

a) Despeja la incógnita x en la primera ecuación.

b) Sustituye la expresión que encontraste para x, en la segunda ecuación.

c) Despeja la incógnita y en la expresión que encontraste en el paso anterior.

d) Sustituye el valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales.

e) Halla el valor de x.

50. Resuelve sistemas de ecuaciones por reducción. Halla la solución del sistema correspondien-te al parqueadero C mediante el siguiente proceso.

a) Multiplica las ecuaciones de manera que se consiga el mismo coeficiente en las x.

b) Suma o resta las ecuaciones según convenga.

c) Resuelve la ecuación de primer grado que obtuviste en el paso anterior.

d) Sustituye el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.

e) Resuelve la nueva ecuación y halla el valor de x.

51. Resuelve sistemas de ecuaciones por igualación. Mediante el siguiente proceso resuelve el sistema correspondiente al parqueadero D.

a) Despeja la incógnita x en las dos ecuaciones.

b) Iguala las expresiones obtenidas y resuelve la ecuación de primer grado resultante.

c) Sustituye el valor obtenido en alguna de las ecuaciones del sistema.

d) Resuelve la ecuación obtenida en el paso anterior.

e) Verifica que los valores de x y y satisfacen el sistema.

52. Comprende el significado de las soluciones de un sistema de ecuaciones. Determina si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F).

El costo en pesos del cuarto de hora para motos y automóviles es respectivamente:

a) Parqueadero A: 400 y 600

b) Parqueadero B: 500 y 700

c) Parqueadero C: 600 y 800

d) Parqueadero D: 700 y 900

e) Parqueadero E: 600 y 800


x � 5

y � 7

2y � 1

3m � 2

a2a � 1

2m � 5

2n � 4

3n � 5

2x

10 cm

A

B

D

C

E

8 cm

12 cm

10 cm

9 cm

La profesora de Federico dibujó los siguientes triángulos en el tablero.

55. Interpreta las soluciones de una inecuación de primer grado. Selecciona las medidas más grandes que pueden tener los lados de los triángulos si:

a) El perímetro del triángulo A es menor o igual que 42 cm.

9 cm13 cm17 cm

10 cm14 cm18 cm

11 cm15 cm19 cm

b) El perímetro del triángulo B es menor o igual que 33 cm.

4 cm8 cm

21 cm

11 cm33 cm22 cm

8 cm16 cm42 cm

c) El perímetro del triángulo C es menor o igual que 20 cm.

2 cm6 cm9 cm

4 cm8 cm

11 cm

3 cm7 cm

10 cm

d) El perímetro del triángulo D es menor o igual que 40 cm.

12 cm13 cm15 cm

11 cm32 cm14 cm

13 cm14 cm16 cm

e) El perímetro del triángulo E es menor o igual que 18 cm.

3 cm10 cm11 cm

2 cm9 cm

10 cm

1 cm8 cm9 cm

53. Comprende el concepto de inecuación. Federico sabe que, en todo triángulo, la suma de las medidas de dos de sus lados siempre es menor que la del tercer lado. Completa la tabla de acuerdo con esta información.

¿Refleja la situación?

Triángulo Inecuación Sí No

A 2x 1 (x 1 5) , 10

B (2y 2 1) 1 (y 2 7) , 8

C a 1 (2a 2 1) , 10

D 3m 1 (2m 1 5) . 12

E 3n 1 (2n 2 5) , 9

54. Aplica las reglas de la suma y del producto, para resolver inecuaciones. Plantea y resuelve una inecuación que te permita determinar los valores que puede tomar la incógnita en cada figura. Luego, escribe en la casilla la incógnita correspon-diente.

a) , 163

d) , 95

b) , 53

e) , 3

c) , 2


x2 � 2x � 3 � 0

x2 � 4x2 � 3x � 2

x2 � 2x � 3 � 0

x2 � 4x2 � 3x � 2

56. Halla la solución de inecuaciones polinómicas de grado superior. Sigue los pasos para determinar los valores que puede tomar la incógnita, de acuerdo con la figura.

a) Calcula las raíces del polinomio P(x) 5 x2 2 2x 2 3 y factorízalo.

b) Completa el siguiente esquema.

Signo del primer factor x 2 3

Signo del segundo factor x 1 1

Signo del polinomio (x 2 3)(x 1 1)

c) Halla la solución de la inecuación.

d) Describe con tus palabras los valores obtenidos.

e) Escoge un valor de la incógnita y halla la me-dida del lado en ese caso.

57. Resuelve inecuaciones racionales por factorización. Federico debe averiguar cuáles son los posi-bles valores de la incógnita, si el lado de un triángulo está dado como se muestra en la figura. Sigue los pasos para averiguarlo.

a) Factoriza el polinomio x2 2 4.

b) Factoriza el polinomio x2 2 3x 1 2.

c) Simplifica los términos comunes al numerador y al denominador.

d) Completa el cuadro de signos.

Signo del numerador

Signo del denominador

Signo del cociente

e) Describe los valores que puede tomar la incógnita.

58. Halla la solución de sistemas de inecuaciones de primer grado. La profesora de Federico propone nuevos ejercicios sobre inecuaciones. Ayúdale a re-solver el que se presenta a continuación.

¿Cuál es la solución del siguiente sistema?

2x 2 3 , 1 2 x 4 2 4x $ 6

a) Resuelve la primera inecuación.

b) Resuelve la segunda inecuación.

c) Representa gráficamente la solución de las inecuaciones.

d) Halla la intersección de las soluciones gráficas.

e) Describe la solución del sistema.

59. Encuentra la solución de sistemas de inecua-ciones de primer grado con dos incógnitas. Otro de los ejercicios que debe resolver Federico es el siguiente:

Resuelve el sistema de inecuaciones.

x 1 2y , 1 3x 2 y # 2

a) Escribe un sistema equivalente de inecua-ciones despejando y en las dos inecuaciones originales.

b) Completa las siguientes tablas de valores, para el sistema de ecuaciones asociado.

x y x y

23 0

3 1

c) Representa gráficamente las soluciones de las inecuaciones.

d) Encuentra la intersección de las soluciones gráficas encontradas en el paso anterior.

e) Describe la solución del sistema de inecua-ciones.


Pensamiento variacionalRosaura tiene algunos terrenos de forma rectangular cuya área se registró en la tabla.

Área

Terreno Expresión algebraica Valor numérico (m2)

T1 7x2 63

T2 x2 2 2x 24

T3 x2 2 3x 18

T4 2x2 2 7x 4

T5 3x2 2 2x 5

60. Reconoce ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Selecciona la ecuación de segundo grado que se obtiene al igualar la expresión algebraica del área de cada terreno con su valor numé-rico.

a) T1 7x2 2 63 5 0

7x2 1 33 5 0

b) T2 x2 2 2x 1 24 5 0

x2 2 2x 2 24 5 0

c) T3 x2 2 3x 2 18 5 0

x2 2 3x 1 18 5 0

d) T4 2x2 2 7x 2 4 5 0

2x2 2 7x 1 4 5 0

e) T5 3x2 2 2x 1 5 5 0

3x2 2 2x 2 5 5 0

61. Resuelve ecuaciones de la forma ax2 1 c 5 0. Cuáles son los posibles valores de la incógnita si el área de T1 es la que se indica en cada caso.

a) 63 m2

b) 112 m2

c) 175 m2

d) 252 m2

e) 343 m2

62. Encuentra la solución de ecuaciones de la forma x2 1 bx 1 c 5 0. Completa los datos que se refieren a T2.

a) Área: 24 m2 Largo: Ancho:

b) Área: 35 m2 Largo: Ancho:

c) Área: 48 m2 Largo: Ancho:

d) Área: 63 m2

Largo: Ancho:

e) Área: 80 m2 Largo: Ancho:

63. Encuentra la solución de ecuaciones de la forma ax2 1 bx 1 c 5 0. Indica si cada afirmación con respecto a T4 es verdadera (V) o falsa (F). Justifica en caso de que sea falsa.

a) Si el área es 4 m2, entonces mide 1 m de ancho y 4 m de largo. ( )

b) Si el área es 15 m2, entonces mide 3 m de ancho y 5 m de largo. ( )

c) Si el área es 9 m2, entonces mide 1 m de ancho y 9 m de largo. ( )

d) Si el área es 22 m2, entonces mide 5,5 m de ancho y 4 m de largo. ( )

e) Si el área es 30 m2, entonces mide 3 m de ancho y 10 m de largo. ( )


50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

100

150

200

250Millones de pesos

Mes

64. Completa trinomios cuadrados perfectos en una ecuación cuadrática. Rosaura quiere averiguar las dimensiones de algunos terrenos aledaños a los suyos. Ayúdala a llenar la siguiente tabla completando trinomios cuadrados perfectos.

Terreno Expresión del área

Expresión equivalente

A x2 2 8x 5 9

B x2 2 18x 5 19

C x2 1 6x 5 7

D x2 1 18x 5 19

E x2 1 12x 5 45

65. Utiliza la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado. Utiliza la fórmula general para determinar si las siguientes ecuaciones pueden expresar el área de terrenos rectangulares o no. Justifica en cada caso.

a) 9x2 1 27x 1 18 5 0

b) 2x2 1 10x 1 12 5 0

c) 7x2 2 21x 1 14 5 0

d) 9x2 2 30x 1 25 5 0

e) 3x2 1 10x 1 3 5 0

66. Comprende el concepto de función. Rosaura vende porciones de los terrenos así: los diez primeros metros cuadrados a $ 1 500 000 cada uno; más de diez y hasta 100 m2,a $ 1 200 000 cada uno y más de 100 m2, a $ 1 000 000 cada uno.

Realiza lo que se indica a continuación, con base en la información.

a) Explica por qué la relación f(x) entre el nú-mero de metros cuadrados y el precio es una función.

b) Describe la función f(x) mediante una fórmula.

c) Describe el dominio.

d) Describe el rango de f(x)

e) Represéntala gráficamente.

67. Identifica diferentes características en una función dada. Completa los enunciados con base en la grá-fica que obtuvo Rosaura al representar el comportamiento de las ventas de los terrenos.

a) La función representada en la gráfica es de-creciente en el intervalo:

b) La función es creciente en el intervalo: .

c) La función tiene un mínimo relativo en:

d) La función no es periódica porque:

e) La función no es simétrica porque:

68. Reconoce las características de las funciones lineales. Contesta las preguntas con base en la infor-mación de la tabla.

Comportamiento de las ventas de terrenos en cierto periodo de tiempo

Mes Monto de las ventas (pesos)1 15 000 000

2 30 000 000

3 45 000 000

4 60 000 000

5 75 000 000

a) ¿ Qué magnitudes están relacionadas en la tabla?

b) ¿ Qué clase de función representa esta fun-ción? Explica.

c) ¿Existe constante de proporcionalidad? d) ¿ Cuál es la grafica de esta función?

Constrúyela. e) Si el comportamiento de las ventas se

mantiene, ¿cuál será el monto durante el sexto mes?


1

123456789

2 3 4 5�1�1�2�3�4�5�6�7�8�9

�2�3�4�5

Y

XO

f �x� � 2x2

510

2�2

Y

X

O

f�x� � x3

Violeta encontró que la trayectoria de algunos cuerpos celestes se puede describir mediante las siguientes funciones en las que x representa el tiempo en días y f(x) el recorrido en kilómetros.

Cuerpo celeste Descripción de la trayectoria

C1 f(x) 5 2x2

C2 f(x) 5 3x2 1 12

C3 f(x) 5 5x2 1 10x 1 5

69. Reconoce funciones de la forma f(x) 5 ax2. Violeta representó la función f(x) 5 2x2 en el plano cartesiano.

Describe cómo varía la gráfica de cada una de las siguientes funciones, con respecto a la de f(x) 5 2x2.

a) f(x) 5 22x2

b) f(x) 5 x2

c) f(x) 5 2x2

d) f(x) 5 3x2

e) f(x) 5 23x2

70. Caracteriza funciones de la forma f(x) 5 ax2 1 c. Realiza lo que se indica con respecto a la gráfica de la función f(x) 5 3x2 1 12.

a) Describe el dominio.

b) Describe el rango.

c) Nombra el eje de simetría.

d) Indica para cuáles valores de x crece y para cuáles decrece.

e) Escribe las coordenadas del vértice.

71. Interpreta las características de las funciones de la forma f(x) 5 ax2 1 bx 1 c. Con respecto a la función f(x) 5 5x2 1 10x 1 5:

a) Exprésala de la forma f(x) 5 a(x 1 h)2

b) Indica las coordenadas del vértice V(h, 0) c) Describe hacia donde se traslada la gráfica

con respecto a la de f(x) 5 5x2

d) Describe el dominio de la función e) Describe el rango de la función

72. Identifica funciones polinómicas de tercer y cuarto grado. Observa la gráfica de la trayectoria de otro cuerpo celeste estudiado por Verónica.

Determina si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F), con relación a la función repre-sentada en la gráfica.

a) Representa una función continua. ( ) b) El punto de corte con los ejes es (0, 0). ( ) c) Es una función cuártica. ( ) d) Su dominio es R+. ( ) e) Es creciente en todo su dominio. ( )


2

2

Y

X

2

2

Y

X

2

2

Y

X

2

2

Y

X

2

2

Y

X

Miguel debe estudiar las siguientes funciones para su clase de álgebra.

Nombre: Miguel Bermúdez

a) y 5 10x c) y 5 6

1x − e) y 5 −−4

3x b) y 5 210

x d) y 5 4

3x −

73. Comprende las características de las funciones de proporcionalidad inversa. Relaciona cada función con su gráfica.

a) y 5 10x

d) y 5 43x −

b) y 5 210x

e) y 5 −−4

3x

c) y 5 61x −

( )

( )

( )

( )

( )

74. Estudia la tendencia de una función. Miguel debe estudiar la forma como se com-porta la función y 5 4

3x − . A qué valor se acerca esta función:

a) Cuando x se acerca a 1.

b) Cuando x se aproxima a 21.

c) Cuando x se acerca a 3.

d) Cuando x se aproxima a 1.

e) Cuando x se aproxima a 2.

75. Encuentra las asíntotas horizontales y verticales de una función. Completa las frases.

a) La función y 5 10x

tiene una asíntota horizon-tal en y una vertical en .

b) La función y 5 210x

tiene una asíntota hori-zontal en y una vertical en .

c) La función y 5 61x − tiene una asíntota hori-

zontal en y una vertical en .

d) La función y 5 43x − tiene una asíntota hori-

zontal en y una vertical en .

e) La función y 5 −−4

3x tiene una asíntota hori-zontal en y una vertical en .


1

1

2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

�1

�2

Y

X

O

76. Identifica todas las asíntotas de una función. Ayuda a Miguel a encontrar todas las asíntotas de la función y 5 4

6

3

2x

x x− −, siguiendo el proceso.

a) Busca los valores de x que anulan el denomi-nador pero no el numerador.

b) Describe las asíntotas verticales.

c) Divide el numerador de la función entre el denominador.

d) Reescribe la fórmula de la función según el resultado de la división anterior y determina su tendencia cuando x se acerca a 1.

e) Describe la asíntota oblicua.

77. Comprende las características de una función exponencial. Entre las funciones que debe estudiar Miguel,

se encuentran y 5 3x e y 5 13

x

. Completa la

tabla con las características de estas funciones.

y 5 3x y 5 13

x

¿Es exponencial?

Dominio

Rango

¿Es creciente?

Asíntotas

78. Comprende las características de las funciones de la forma y 5 10x. Miguel quiere saber cómo varían las gráficas de algunas funciones con respecto a la de y 5 10x. Describe las variaciones, en cada caso.

a) y 5 102x

b) y 5 10x 1 1

c) y 5 10x 2 1

d) y 5 10x 1 2

e) y 5 10x 2 2

79. Resuelve ecuaciones exponenciales. En uno de los ejercicios, Miguel debe resol-ver las siguientes ecuaciones exponenciales. Relaciona cada ecuación con su solución.

a) 6 3x 5 1 458 ( ) 2

b) 3 32x 5 2 187 ( ) 6

c) 52x 1 1 5 3 125 ( ) 3

d) 5 2x 2 1 5 1 280 ( ) 5

e) 4 7x 2 3 5 1 372 ( ) 9

80. Comprende las funciones logarítmicas. Para graficar las funciones y 5 log2 x, y y 5 log 1

2 x, Miguel debe seguir este proceso.

Ayúdalo con cada paso.

a) Completa la tabla de valores para y 5 log2 x.

x14

12 1 2 4 8

y

b) Completa la tabla de valores para y 5 log 12

x.

x 14

12 1 2 4 8

y

c) Representa la dos funciones en el siguiente plano cartesiano.

d) Describe cuatro similitudes entre las dos funciones.

e) Describe una diferencia entre las dos funciones.


84. Halla la solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Como parte de la carrera de pistas, Ricardo debe encontrar los valores que satisfacen cada ecuación.

a) x2 1 x 2 30 5 0

b) x2 1 x 2 6 5 0

c) x2 1 x 2 1 5 0

d) 9x2 2 3x 2 2 5 0

e) 8x2 1 14x 1 3 5 0

85. Realiza operaciones con números complejos. Ricardo resolvió algunas operaciones con números complejos, pero cometió errores. Detéctalos y corrígelos.

a) (4 2 3i) 1 (22 1 5i) 1 (25 2 i)

5 4 2 3i 1 2 2 5i 1 5 1 i

5 4 1 2 1 5 2 3i 2 5i 1 i

5 11 2 9i

b) (6 2 3i) 2 (25 1 i) 2 (8 2 9i)

5 6 1 3i 1 5 1 i 1 8 1 9i

5 6 1 5 1 8 1 3i 1 i 1 9i

5 19 1 12i

c) (2 2 3i)(21 1 2i)

5 22 2 2i 2 3i 2 6

5 28 1 i

d) (25 2 4i)(22 2 i)

5 210 1 5i 2 8i 2 4

5 26 2 2i

e) (24 2 i) 4 (21 2 3i)

5 � �

� �

41 3

ii .

1 31 3

�

�

ii

5 4 12 31 3 3 9

� � �

� � �

i ii i

5 7 11

8� i

5 710

2 1110

i

Ricardo participa en un examen de matemáticas en el que debe poner a prueba sus conocimientos de álgebra.

81. Resuelve ecuaciones de primer grado con la incógnita en más de un término. En la primera parte de la prueba, Ricardo debe resolver las siguientes ecuaciones. ¿Cuál es la solución en cada caso?

a) 4(x 1 8) 1 3(6 2 3x) 5 0

b) 6(12 2 5x) 2 2(3x 1 2) 1 2x 5 0

c) 3(4 2 x) 2 (5x 1 1) 1 6x 5 0

d) 3 1 6(x 2 2) 5 5x 2 4(2x 1 7) 1 1

e) 1 2 4(5x 2 1) 5 6 1 7(12 2 10x)

82. Encuentra la solución de ecuaciones de primer grado con fracciones algebraicas. Ricardo debe encontrar la solución de algunas ecuaciones con fracciones algebraicas. Ayúdalo a resolverlas.

a) 33x 5

x4 25

b) 3 5

4x �

5 x2

1 14

c) x � 3

6 2

52� x

5 3 4

12x �

d) 10 8

10x �

2 x � 5

2 5

x � 65

e) x �110

2 2

6� x

5 x � 615

83. Resuelve sistemas de inecuaciones de primer grado. Como parte de la carrera de pistas, Ricardo debe encontrar los valores que satisfacen las siguientes inecuaciones. Determínalos.

a) x 2 3 . 2

b) 4x 2 9 , x 2 6

c) 1 2 3x # 2x 2 9

d) x 2 2 $ 2x 2 3

e) 5 2 x , x 1 3


1 2

2

4

6

8

10

Y

X

12

14

16

3 4 5 6

86. Comprende las características de la función lineal. En la tabla se muestra el volumen de agua en un tanque en función del tiempo.

Tiempo (min) 0 1 2 3 4 5

Volumen (l) 0 5 10 15 20 25

Ayuda a Ricardo a contestar las siguientes preguntas.

a) En esta relación, ¿cuál es la variable inde-pendiente? ¿Y la dependiente?

b) ¿Cuál es la fórmula de la función que repre-senta la variación del volumen del tanque por minuto?

c) ¿Cuál es la gráfica de la función? Represéntala.

d) ¿Qué significado tiene el valor de la pendiente de la gráfica?

e) ¿Cómo varía la gráfica de la función, si el agua ingresa al tanque a razón de 20 l por minuto?

87. Comprende las características de una función afín. En un experimento, la temperatura inicial de una sustancia es 5 ºC, pero, al calentarla, aumenta 3 ºC cada minuto. Realiza lo que se indica en cada caso.

a) Escribe la fórmula de la función. b) Completa la tabla.

Tiempo (min) 0 1 2 3 4 5

Temperatura (ºC)

c) Elabora la gráfica de la función.

d) Indica qué temperatura tendrá la sustancia al cabo de 10 min de iniciado el experimento.

e) Explica cómo varía la gráfica de esta función, con respecto a la de y 5 3x.

88. Interpreta las características de las funciones de la forma f(x) 5 ax2 1 bx 1 c. Realiza los pasos que debe seguir Ricardo para estudiar la función f(x) 5 x2 1 x 1 1.

a) Exprésala de la forma f(x) 5 a(x 1 h)2 1 k.

b) Indica las coordenadas del vértice V(h, k).

c) Describe el desplazamiento de la gráfica con respecto a la de f(x) 5 x2.

d) Indica cuál es el dominio de la función.

e) Indica cuál es el rango de la función.

89. Identifica las características de las funciones exponenciales. Entre las funciones que debe analizar Ricardo, se encuentran y 5 2x e y 5 1

2( )x

. Completa la tabla con las características de

estas funciones.

y 5 2x y 5 12( )x

¿Es exponencial?

Dominio

Rango

¿Es creciente?

Asíntotas

90. Comprende las funciones logarítmicas. Ricardo quiere graficar las funciones

y 5 log3 x, y y 5 log 13

x. Ayúdalo con cada paso del siguiente proceso. a) Completa una tabla de valores para cada

función.

b) Representa las dos funciones en el plano car-tesiano.

c) Indica si las dos funciones son crecientes o decrecientes.

d) Describe el dominio de cada función.

e) Describe el rango de cada función.


Mónica analizó las anotaciones de las jugadoras de baloncesto participantes en un campeonato y descubrió que algunas de estas anotaciones estaban en progresión aritmética según se observa en la tabla.

Día del partido

Jugadora Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

Carolina 4 8 12 16 20 24

Tatiana 1 3 5 7 9 11

Rebeca 0 2 4 6 8 10

Antonia 2 5 8 11 14 17

Fabiana 0 1 2 3 4 5

93. Comprende las progresiones geométricas. Mónica encontró que las anotaciones de otra de las jugadoras se comporta como una pro-gresión geométrica.

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes1 2 4 8 16

Responde las preguntas con base en esta información.

a) ¿Cuál es el primer término de la progresión?

b) ¿Cuál es la razón de la progresión?

c) ¿ Cuál es el término general de esta progre-sión?

d) Si las anotaciones de esta jugadora siguen teniendo este comportamiento, ¿cuántas hará en el octavo partido?

e) ¿ Cuántas anotaciones hará en el décimo partido?

94. Calcula la suma de términos consecutivos de una progresión geométrica. Cuántas anotaciones en total habrá hecho la jugadora mencionada en el ejercicio anterior, en:

a) El quinto partido

b) En el séptimo partido

c) En el octavo partido

d) En el noveno partido

e) En el décimo partido

91. Comprende las progresiones aritméticas. Relaciona el nombre de cada jugadora con el término general correspondiente a la progre-sión aritmética de sus anotaciones.

a) Carolina ( ) n 2 1

b) Tatiana ( ) 2n 2 2

c) Rebeca ( ) 3n 21

d) Antonia ( ) 4n

e) Fabiana ( ) 2n 2 1

92. Calcula la suma de términos consecutivos de una progresión aritmética. Supón que las anotaciones de las jugadoras se siguen comportando en progresión aritmé-tica y determina el total de puntos que llevará cada una, según se indica.

a) Carolina En el partido 10: En el partido 13:

b) Tatiana En el partido 12: En el partido 15:

c) Rebeca En el partido 14: En el partido 17:

d) Antonia En el partido 13: En el partido 16:

e) Fabiana En el partido 15: En el partido 20:


P

R

Q

S

U

T

V

X

W

T

R

Q

C

B

A

P

NM

ED

C FH

GK

I

J

F

D E

J

G H

C

A B

Z

Y

X

M

Q

N

S

R

Q

Verde

Amarillo

Azul

Azul

Azul

Naranja Naranja Naranja

Morado

Morado

MoradoAmarillo

Amarillo

Verde

Verde

K

I

J

Verde

F

D E

Morado

P

R

QAmarillo

S

R

Q

Naranja

P

NM

Azul

Pensamiento espacialUn artista quiere escoger diferentes tipos de recortes de baldosas para hacer un mural. Algunas opciones son las siguientes.

95. Clasifica triángulos según la medida de sus lados y de sus ángulos. Algunos triángulos que se usarán en el mu-ral deben clasificarse según la medida de sus lados y de sus ángulos. Relaciona cada triángulo con su clasificación.

a)

( ) Acutángulo isósceles

b)

( ) Rectángulo escaleno

c)

( ) Obtusángulo escaleno

d)

( ) Rectángulo isósceles

e)

( ) Acutángulo escaleno

96. Aplica los criterios para determinar la congruencia de triángulos. Algunas figuras del mural estarán formadas por grupos de triángulos congruentes. Nombra los triángulos congruentes de cada grupo.

a) Grupo amarillo

b) Grupo azul

c) Grupo verde

d) Grupo morado

e) Grupo naranja

97. Reconoce características de los movimientos en el plano. Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F), acerca de las figuras del mural.

a) Para trasladar un triángulo se trasladan los puntos que lo determinan. ( )

b) Un giro transforma un punto P del plano en otro punto del mismo P’. ( )

c) Cualquier triángulo tiene simetría axial. ( )

d) La simetría respecto a un punto se llama si-metría central. ( )

e) Dos puntos son simétricos si sus abscisas y sus ordenadas son opuestas. ( )


A

E

B F C

C’

D’

G’

H’

P’

A’

E’

B’ F’

G

DH

P

40 cm

50 cm

25 cm

10 cm

26,95 cm13,5 cm

20 cm

50 cm

27 cm53,9 cm20 cm

20 cm

76º

76º

47º

45º 29º

47º

45º

29º

25 cm

10 cm

a

b

c

d

0

P

R

T

Verónica diseña vitrales como los que se muestran en la ilustración.

100. Aplica las propiedades de las rectas tangen-tes a una circunferencia. En otros diseños, Verónica utiliza cuatro rec-tas tangentes a una circunferencia.

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F).

a) Si OP es un radio, entonces es tangente a c. ( )

b) b y c son paralelas. ( )

c) TP y TR son congruentes. ( )

d) Si OP es un radio, entonces es perpendicular a c. ( )

e) OR y OP son congruentes. ( )

98. Comprende los criterios de semejanza de triángulos. Verónica descubrió que triángulos del diseño I son semejantes a triángulos del II. Nombra el criterio que permite verificar la semejanza en cada caso.

Triángulos Criterio

FPG y F’P’G’

HPG y H’P’G’

AEH y A’E’H’

EBF y E’B’F’

GCF y E’A’H’

99. Calcula medidas de figuras semejantes. Verónica diseña un triángulo X’Y’Z’ semejante a EAH, para complementar su vitral. Cuál debe ser la medida del segmento Z’Y’, si:

a) X’Y’ 5 30 cm

b) X’Y’ 5 60 cm

c) X’Y’ 5 50 cm

d) X’Z’ 5 75 cm

e) X’Z’ 5 100 cm


1

1

A (5, 4)

Y

X

O

C (�2, 3)

D (�4, �3)E (6, �2)

B (8, 2)

En un radar se observa la ubicación de cinco em-barcaciones A, B, C, D y E, como se muestra en la gráfica. Cada unidad en la gráfica representa 10 km.

101. Representa el vector de posición de un pun-to en el plano. Representa en el plano cartesiano los vecto-res de posición de cada punto.

a) Punto A

b) Punto B

c) Punto C

d) Punto D

e) Punto E

102. Calcula las coordenadas de un vector libre. La embarcación debe desplazarse siguiendo, consecutivamente, la orientación de los si-guientes vectores libres. ¿Cuáles son las coordenadas de cada uno?

a) AB

b) BE

c) ED

d) DC

e) CA

103. Calcula el módulo de un vector. Calcula la distancia que recorre la embarca-ción desde:

a) A hasta B

b) B hasta E

c) E hasta D

d) D hasta C

e) C hasta A

104. Calcula el ángulo que forman dos vectores. Determina el ángulo aproximado que forman los trayectos orientados por:

a) AB y BE

b) BE y ED

c) ED y DC

d) DC y CA

e) CA y AB

105. Comprende las diferentes formas de la ecuación de una recta. Escribe la ecuación que se pide en cada caso.

a) Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A y lleva la dirección de AB.

b) La ecuación continua de la recta que pasa por el punto B y lleva la dirección de BE.

c) La ecuación general de la recta que pasa por el punto E y lleva la dirección de ED.

d) Las ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto D y lleva la dirección de DC.

e) Las ecuación explícita de la recta que pasa por el punto C y lleva la dirección de CA.


2 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

6 8 91 3 5 7 10 11 12 13 14 15 16 17

A M

N

P

Q

BC

Y

X

Para hacer el plano de dos terrenos, uno de forma triangular y otro en forma de cuadrilátero, Ana hizo el siguiente dibujo, en el que cada unidad corresponde a 1 m.

108. Calcula el módulo de un vector. Calcula lo que se indica en cada caso.

a) El módulo de MN.

b) El módulo de NP.

c) El módulo de PQ.

d) El módulo de QM.

e) El perímetro del cuadrilátero MNPQ, aproxi-mado a las centésimas.

109. Encuentra las coordenadas del punto medio de un segmento. Calcula las coordenadas del punto medio de los siguientes segmentos.

a) AB d) MN

b) BC e) NP

c) CA

110. Calcula el ángulo que forman dos vectores. Determina el ángulo aproximado que forman los vectores.

a) AB y BC d) MN y NP

b) BC y CA e) NP y PQ

c) CA y AB

106. Comprende la semejanza de triángulos. Cuáles serán las medidas de los lados B’C’ y C’A’ de un triángulo A’B’C’, semejante al de la figura, si:

a) A’B’ 5 5 m d) A’B’ 5 25 m

b) A’B’ 5 15 m e) A’B’ 5 30 m

c) A’B’ 5 20 m

107. Encuentra las coordenadas de un vector li-bre en el plano. Considera los vectores determinados por los vértices de los polígonos dibujados por Ana y selecciona las coordenadas en cada caso.

a) De AB

(26, 28) (28, 6) (6, 8)

b) De BC

(26, 0) (0, 26) (6, 0)

c) De CA

(28, 0) (0, 28) (0, 8)

d) De MN

(28, 21) (8, 21) (8, 1)

e) De NP

(3, 27) (23, 27) (23, 7)


9 cm

12 cm

6 cm

24 cm

14 cm

14 cm

24 cm

16 cm

8 cm

170 cm70 cm

30 cm

30 cm 30 cm

80 cm

130 cm

50 cm

30 cm

70 cm

140 cm

40 cm

4 cm

2 cm

12 cm

9 cm

8 cm

4 cm

A

B

C

D

E

8 cm7,14 cm

10 cm13,55 cm

6 cm9,23 cm

9 cm

15,49 cm

12 cm9,45 cm

8 cm

8 cm8 cm

8 cm

18 cm

32 cm

10 cm

16 cm

36 cm

24 cm

15 cm

20 cm

20 cm

Pensamiento métricoMariana y Rodrigo dibujaron las siguientes figuras compuestas.

113. Determina el área de polígonos regulares. Mariana dibujó los siguientes polígonos regulares. ¿Cuál es el área de cada uno?

a) c)

b) d)

e)

114. Calcula el área total y el volumen de algu-nos cuerpos geométricos. Halla el área total y el volumen de los cuer-pos que Rodrigo construyó para la clase de geometría.

a) c)

b) d)

e)

111. Identifica figuras compuestas por triángulos y cuadriláteros. Relaciona el nombre de cada figura con las figuras de las que está compuesta.

a) Figura A ( ) Un trapecio y un triángulo

b) Figura B ( ) Dos rectángulos y un triángulo

c) Figura C ( ) Un trapecio y un paralelogramo

d) Figura D ( ) Un rectángulo y dos triángulos

e) Figura E ( ) Un rectángulo y dos trapecios

112. Calcula el área de figuras planas. Completa los enunciados describiendo el proceso que sigues para calcular el área de cada figura.

a) El área de la figura A es porque

b) El área de la figura B es porque

c) El área de la figura C es porque

d) El área de la figura D es porque

e) El área de la figura E es porque


A

C

B D

E

FG

HM I

K

45º

60º

J

R

Q P

Fabiola dibujó una casa utilizando solo triángulos.

115. Aplica el teorema de Pitágoras para deter-minar medidas en un triángulo rectángulo. Utiliza el teorema de Pitágoras para encon-trar la medida desconocida en cada caso.

a) En ABC, AB 5 2,5 cm; AC 5 2,5 cm y BC 5 .

b) En BDE, BD 5 2,5 cm; DE 5 6 cm y BE 5 .

c) En GHE, HG 5 2,5 cm; HE 5 5 cm y GE 5 .

d) En MIK, MI 5 3 cm; IK 5 3 cm y MK 5 .

e) En IJK, IJ 5 4 cm; IK 5 3 cm y KJ 5 .

116. Calcula las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Calcula las razones trigonométricas que se indican en cada caso.

a) En IJK: sen J 5 cos J 5 tg J 5

b) En MIK: sen K 5 cos K 5 tg K 5

c) En BDE: sen B 5 cos B 5 tg B 5

d) En GHE: sen E 5 cos E 5 tg E 5

e) En ABC: sen B 5 cos B 5 tg B 5

117. Encuentra las razones trigonométricas de ángulos especiales. En el CGF, CG 5 1 cm; GF 5 4 cm.

a) ¿Cuál es la medida de CF?

b) ¿Cómo se clasifica el CGF según la medi-da de sus ángulos?

c) ¿Cuál es el valor de sen F?

d) ¿Cuál es el valor de cos F?

e) ¿Cuál es el valor de tg F?

118. Comprende las relaciones entre las razones trigonométricas. Fabiola dibujó el triángulo rectángulo de la figura.

Cuál es el valor de las demás razones trigo-nométricas del ángulo agudo P, si:

a) sen P 5 725 d) sen P 5 3

5

b) cos P 5 810 e) cos P 5 5

13

c) tg P 5 1


TC 001

TC 002

TC 003

TC 004

TC 00530º

A B

C

80 cmD

80 �5 cm

59,04º

MP

N

O

40 �34 cm

120 cm

20 �74 cm35,5º

X TY

Z

100 cm

20 �113 cm41,2º

FI

G

H

140 cm

60 � 5 cm

60ºK

WL

V

60 cm

A B

C

30°

100°

Patricia planea salir de excursión y necesita una tienda de campaña para acampar. En el supermercado observa los siguientes modelos.

119. Calcula medidas en triángulos rectángulos. Halla la altura de la tienda cuya referencia es:

a) TC001 d) TC004

b) TC002 e) TC005

c) TC003

120. Resuelve triángulos rectángulos. Calcula los datos que completan la tabla.

Triángulo Medida de los lados

Medida de los ángulos

DBC

DB 5 DBC 5

BC 5 BCD 5

CD 5 CDB 5

PNO

PN 5 PNO 5

NO 5 NOP 5

OP 5 OPN 5

TYZ

TY 5 TYZ 5

YZ 5 YZT 5

ZT 5 ZTY 5

IGH

IG 5 IGH 5

GH 5 GHI 5

HI 5 HIG 5

WLV

WL 5 WLV 5

LV 5 LVW 5

VW 5 VWL 5

121. Aplica el teorema del seno y del coseno en la resolución de triángulos. Durante su excursión, Patricia necesita cru-zar el río que se muestra en la figura.

Calcula el ancho del río si AB mide:

a) 50 m d) 200 m

b) 100 m e) 250 m

c) 150 m

122. Calcula áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Patricia compró una tienda de campaña de forma piramidal y base cuadrada. Cuál es el área total y el volumen ocupado por la tienda si el lado de la base y su altura son respec-tivamente:

a) 3 m y 4 m d) 3,5 m y 4 m

b) 2,5 m y 3 m e) 3,5 m y 3,5 m

c) 3 m y 3 m


7 cm

50°

5 cm

60°

3m

14

5m

16 cm

10 cm

6 cm

26,08 cm

32,47°

m

110 m

x

610 m

�1

x

40 m

41 m

63 m

16 m

x

36 m

x85 m

7,5 mx

4,5 m

�2

�5

�4

�3

Observa las gráficas.

123. Calcula medidas en triángulos rectángulos. Responde las preguntas con base en la infor-mación de las figuras.

a) ¿A qué distancia horizontal se encuentra el avión con respecto al joven?

b) ¿Cuál es el ancho del río?

c) ¿Cuál es la longitud de la escalera?

d) ¿Cuál es la altura del árbol?

e) ¿Cuál es la altura de la rampa?

124. Determina las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Calcula las siguientes razones trigonométri-cas.

a) sen 1 5 d) sen 4 5 cos 1 5 cos 4 5 tg 1 5 tg 4 5

b) sen 2 5 e) sen 5 5 cos 2 5 cos 5 5 tg 2 5 tg 5 5

c) sen 3 5 cos 3 5 tg 3 5

125. Determina la medida de un ángulo en un triángulo. Encuentra la medida de cada ángulo, con ayuda de la calculadora. Aproxima cada valor a las centésimas.

a) 1 c) 3 e) 5

b) 2 d) 4

126. Aplica las razones trigonométricas en el cál-culo de volúmenes de cuerpos geométricos. Halla el volumen de cada cuerpo.

a) d)

b) e)

c)


Edades de los asistentes a un cinema

12 24 36 48 60 72 84

2

0

4

6

8

10

12

14

16

18

20

fi

x

Pensamientos estadísti-co y aleatorioEl histograma representa la información reco-lectada al preguntar la edad a los aisntentes a un cinema.

127. Elabora la distribución de frecuencias de un conjunto de datos a partir del histograma. Completa la tabla de acuerdo con los datos representados en el histograma.

Edad (años)

Marca de clase

Número de asistentes

Frecuencias acumuladas

[0, 12) 6 1 1

[12, 24) 18 8 9

[24, 36)

[36, 48)

[48, 60)

[60, 72)

[72, 84)

128. Interpreta información representada en una gráfica. Determina si cada información es verdadera (V) o falsa (F).

a) Las edades más frecuentes están entre 24 años y 36 años. ( )

b) Las edades menos frecuentes están entre 72 años y 84 años. ( )

c) Seis de los asistentes tienen entre 48 años y 60 años. ( )

d) Diez de los asistentes tienen entre 36 años y 48 años. ( )

e) Se registró la edad de 40 asistentes. ( )

129. Calcula medidas de tendencia central y los cuartiles de un conjunto de datos agrupa-dos. Calcula los siguientes valores del conjunto de datos representados.

a) La moda

b) La mediana

c) La media

d) El primer cuartil

e) El segundo y el tercer cuartil

130. Calcula la probabilidad de ocurrencia de la intersección de sucesos dependientes. Se deben seleccionar dos de las siguientes personas.

Casado Soltero

Mujeres 4 1

Hombres 3 2

Cuál es la probabilidad de que el primero sea un hombre soltero, y el segundo:

a) Un hombre

b) Una mujer soltera

c) Una mujer casada

d) Un hombre soltero

e) Un hombre casado


20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

2

0

46

8

10

1214

16

1820

22

24

26

283032

Número de personas

Tiempo(min)

La tabla y la gráfica representan los datos obtenidos al preguntar a 100 personas acerca de los minutos que emplean realizando algún tipo de ejercicio físico.

Tiempo en minutos (x) xi fi Fi

[20, 30) 25 2 2

[30, 40) 35 5 7

[40, 50) 45 7 14

[50, 60) 55 10 24

[60, 70) 65 27 51

[70, 80) 75 31 82

[80, 90) 85 13 95

[90, 100) 95 4 99

[100, 110) 105 1 100

131 Calcula la media, la moda, la mediana y los cuartiles de una distribución. Calcula los siguientes datos con respecto a la información de la tabla.

a) La media

b) La clase modal y la moda

c) La clase mediana y la mediana


e) El tercer cuartil

132. Interpreta las representaciones gráficas de una distribución. Ten en cuenta la información representada en la gráfica en relación con el tiempo que emplean las personas encuestadas realizan-do ejercicio físico y responde las preguntas.

a) ¿Cuántas personas emplean menos de 60 min?

b) ¿Cuántas personas emplean 70 min o más?

c) ¿Qué porcentaje del total emplean menos de 90 min?

d) ¿Qué porcentaje del total emplean 40 min o más?

e) ¿Qué porcentaje del total emplean entre 60 min y 70 min?

133. Estudia la simetría de una distribución. Realiza lo que se indica a continuación, con respecto a la información representada en la tabla y la gráfica.

a) Encuentra el límite inferior.

b) Encuentra el límite superior.

c) Representa el límite inferior, el primer cuar-til, la mediana, el tercer cuartil y el límite superior.

d) Dibuja la gráfica de cajas y bigotes.

e) Observa la gráfica de cajas y bigotes, e indi-ca si la distribución es simétrica o no.

134. Calcula el rango, la varianza y la desviación típica de una distribución. Relaciona cada concepto con su valor.

a) Número total de datos ( ) 80

b) Media ( ) 15,6

c) Rango ( ) 100

d) Varianza ( ) 67,6

e) Desviación típica ( ) 243,24


XO

Y

XO

Y

XO

Y

XO

Y

XO

Y

En la siguiente tabla de doble entrada se registraron los datos correspondientes a la variable bidimensional “número de hermanos” (X) “número de hermanas” (Y) para los empleados de una empresa.

X

Y0 1 2 3 4 Total

0 3 1 4 1 2 11

1 1 3 1 1 1 7

2 1 1 3 5 3 13

3 1 3 1 2 2 9

4 2 1 4 2 1 10

Total 8 9 13 11 9 50

135. Interpreta los datos registrados en una tabla de doble entrada. Completa las siguientes frases con base en la información de la tabla.

a) El número de personas que tienen dos hermanos y dos hermanas es .

b) Cinco personas tienen hermanos y hermanas.

c) El número de personas que tienen cuatro hermanos y dos hermanas es .

d) Cuatro personas tienen hermanos y cuatro hermanas

e) Se encuestaron en total personas.

136 Identifica el tipo de relación entre dos variables. Realiza lo que se indica a continuación.

a) Determina la media de las variables X y Y.

b) Calcula la desviación típica de las variables X y Y.

c) Representa la nube de puntos de la distribu-ción.

d) Indica qué tipo de relación existe entre las dos variables: correlación positiva o directa, correlación negativa o inversa, o correlación nula.

e) Explica si el número de hermanos está rela-cionado o no con el número de hermanas en este caso.

137. Comprende los conceptos de covarianza y correlación. En otros estudios que realizaron en la em-presa, se obtuvieron los siguientes diagramas de dispersión.

Asocia cada diagrama al índice de correla-ción correspondiente.

a) d)

b) e)

c)

( ) r 5 1

( ) r 5 0,92

( ) r 5 20,25

( ) r 5 0

( ) r 5 20,78


El director de una escuela de fútbol, que quiere encargar sudaderas para ofrecer a sus estudiantes, se dirige a un almacén donde le ofrecen las siguientes posibilidades.

Colores Tallas

Azul (A)

Rojo (R)

Verde (V)

Negro (N)

Blanco (B)

Pequeña (S)

Mediana (M)

Grande (L)

Extragrande (XL)

138. Construye un diagrama de árbol para contar el número de maneras en que pueden ocu-rrir dos sucesos. Elabora un diagrama de árbol para averiguar cuántas sudaderas recibirá el director de la escuela si las encarga:

a) En los colores azul y rojo y en las tallas pequeña y mediana.

b) En los colores azul, rojo y verde, y en las tallas pequeña y mediana.

c) En los colores verde, negro y blanco, y en las tallas pequeña, mediana y grande.

d) En los colores azul, blanco, negro y rojo, y en las tallas mediana, grande y extragrande.

e) En todos los colores y en todas las tallas.

139. Comprende las permutaciones sin repeti-ción. En la escuela de fútbol se organizó un campeonato. Indica de cuántas formas pueden clasificar los participantes si los equipos inscritos son:

a) A, B y C

b) A, B, C y D

c) A, B, C, D y E

d) A, B, C, D, E y F

e) A, B, C, D, E, F y G

140. Identifica las variaciones sin repetición. De cuántas formas pueden otorgarse los títulos de campeón y subcampeón si los equipos inscritos son:

a) A, B y C

b) A, B, C y D

c) A, B, C, D y E

d) A, B, C, D, E y F

e) A, B, C, D, E, F y G

141. Identifica las variaciones con repetición. De cuántas maneras distintas se puede conformar un grupo con tres de los inte-grantes de uno de los equipos participan-tes en el campeonato, si cuenta con:

a) 12 jugadores

b) 13 jugadores

c) 15 jugadores

d) 16 jugadores

e) 20 jugadores


4

5

6

2

3

9

7

8

1

0

Nicolás tiene una bolsa con diez balotas nume-radas de 0 a 9 de la que extrae una balota sin mirar y luego anota el resultado.

142. Clasifica diferentes sucesos. Relaciona los sucesos anotados por Nicolás con el nombre correspondiente.

a) S1 5 {1}

b) S2 5 {1, 3, 5, 7, 9}

c) S3 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

d) S4 5 “Sacar 17”

e) S5 5

( ) Suceso contrario de S3

( ) Suceso seguro

( ) Suceso elemental

( ) Suceso compuesto

( ) Suceso imposible

143. Encuentra la unión y la intersección de sucesos. Otros sucesos considerados por Nicolás son

A1 5 “Números mayores que 4”

A2 5 “Números impares menores que 8”

A3 5 “Múltiplos de 4”

A4 5 “Múltiplos de 3”

Determina los siguientes sucesos.

a) A1 A2

b) A1 A2

c) A1 A3

d) A2 A3

e) A2 A3

144. Calcula la probabilidad de la unión de suce-sos. Calcula las siguientes probabilidades. Ten en cuenta los sucesos considerados por Nicolás anteriormente.

a) P(S1 S2)

b) P(S3 S5)

c) P(A1 A2)

d) P(A1 A3)

e) P(A2 A3)

145. Determina la probabilidad de experimentos compuestos. Además de extraer una balota de la urna, Nicolás lanza una moneda y anota los resul-tados en cada caso. Calcula la probabilidad de:

a) Extraer la balota 4 y cara en la moneda.

b) Extraer la balota 5 y sello en la moneda.

c) Extraer una balota con un número par y cara en la moneda.

d) Extraer una balota con un número primo y sello en la moneda.

e) Extraer una balota con un número mayor que 2 y sello en la moneda.


El consumo de gasolina, en galones, de los carros de los empleados de una empresa durante una semana se registró en la siguiente tabla.

Cantidad de galones (x) xi fi[0, 10) 5 9

[10, 20) 15 13

[20, 30) 25 11

[30, 40) 35 16

[40, 50) 45 23

[50, 60) 55 18

[60, 70) 65 10

149. Determina la probabilidad de la unión de sucesos. Se quiere elegir un representante de los em-pleados de la empresa, se postularon cinco candidatos de la división financiera, siete de la administrativa y quince de servicios generales. Calcula la probabilidad de que el represent-ante elegido sea:

a) De la división financiera

b) De la división administrativa

c) De servicios generales

d) De la división financiera o de la administra-tiva

e) De la división administrativa o de servicios generales

150. Determina la probabilidad de experimentos compuestos. En una bolsa se introducen tarjetas con los nombres de los candidatos: 16 mujeres y doce hombres. Si se extraen dos tarjetas al azar, cuál es la probabilidad de que sean:

a) Mujeres, con devolución de la primera tar-jeta.

b) Mujeres, sin devolución

c) Hombres, con devolución

d) Hombres, sin devolución

e) Una mujer en la primera tarjeta y un hom-bre en la segunda

146. Organiza y representa un conjunto de datos. Calcula los siguientes datos con respecto a la información de la tabla.

a) La media

b) La clase modal y la moda

c) La clase mediana y la mediana


e) El tercer cuartil

147. Estudia la simetría de una distribución. Realiza lo que se indica en cada caso.

a) Encuentra el límite inferior.

b) Encuentra el límite superior.

c) Representa el límite inferior, el primer cu-artil, la mediana, el tercer cuartil y el límite superior.

d) Dibuja la gráfica de cajas y bigotes.

e) Observa la gráfica de cajas y bigotes, e in-dica si la distribución es simétrica o no.

148. Calcula el rango, la varianza y la desviación típica de una distribución. Calcula los valores para la distribución.

a) Número total de datos

b) Media

c) Rango

d) Varianza

e) Desviación típica

44

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.


Hoja de soluciones

Pensamiento numérico 1. Maneja porcentajes como números racionales.

Distribución del agua en la Tierra


Dulce 3%3

100

Salada 97%97

100

Distribución del agua dulce en la Tierra


Subterránea 33,25%133400

Ríos y lagos 0,5%1

200

Glaciares 66,25%5380

2. Halla la expresión decimal de un número racional.

a) 0,03 b) 0,97 c) 0,0325

d) 0,005 e) 0,6625

3. Efectúa operaciones con números racionales.

a) 147 919 140 b) 362 146 860 c) 112 214 520

d) 10 864 405,8 e) 351 282 454,2

4. Aproxima los resultados de operaciones con números reales.

a) 30,2% b) 28,3% c) 9,6%

d) 7% e) 5,2%

5. Expresa partes de un todo como un número racional.

a) 12

b) 14

c) 18

d) 116

e) 132


a) 10 min b) 40 min c) 20 min

d) 60 min e) 50 min

7. Comprende el concepto de intervalo.

a) [40, 50) b) [20, 30) c) [0, 10)

d) [50, 60) e) [10, 20)

8. Comprende la notación científica.

a) 50 b) 0 c) 60 d) 40 e) 30

9. Resuelve operaciones que involucran potencias de números reales.

a) 20 000 b) 40 000 c) 80 000 d) 320 000 e) 640 000

10. Calcula logaritmos de números reales.

a) 10 b) 7 c) 8 d) 11 e) 9

11. Identifica radicales equivalentes.

a) Sí b) Sí c) No d) No e) No

12. Racionaliza expresiones fraccionarias.

a) 2 2 b) 93 c) 7 32−

d) − −2 6 e) − −3 2 2

13. Aplica las propiedades de los logaritmos.

a) 20,0969 b) 3,8062 c) 20,1938

d) 2,9031 e) 0,3010

14. Realiza operaciones con números reales.

a) 6 cm b) 5 2 cm c) 6 5 cm

d) 4 2 cm e) 5 5 cm

15. Aproxima números reales.

a) 18,85 cm b) 7,07 cm c) 13,42 cm

d) 5,66 cm e) 11,18 cm

16. Representa números irracionales en la recta numérica.

a) 3 b) 2 c)

d) 6 e) 5

17. Reconoce ecuaciones cuya solución no está en el conjunto R.

a) No b) Sí c) Sí

d) No e) No

18. Identifica cantidades imaginarias.

a) 13i b) 20i c) 2 2 i d) 7 i e) 5 2 i

19. Reconoce las características de un número complejo.

Número complejo 5 1 3i 2 2 3i 27 223

1 i 215

i

Parte real 5 2 27 223 0

Parte imaginaria 3 23 0 1 215

20. Encuentra el conjugado de un número complejo.

a) 2 1 3i b) 1 2 i c) 24 2 5i d) 22 1 3i e) 21 2 i

21. Efectúa adiciones y sustracciones de números complejos.

a) 27 b) 219 2 12i c) 3 1 5i

d) 2114 2 19

6 i d) 2 6114

1 478 i

22. Calcula productos y cocientes de números complejos.

a) 4 1 7i b) 6 1 13i c) 25 2 5i

d) 21934

2 934

i e) 710 2

1110 i

23. Comprende la igualdad de números complejos.

x58

3 5 0 0

y 2 234 0 5 2

107

x 2132 27 0

23

3− 22

3−

y 22 27 2185 3 2− 2

3 24. Encuentra potencias de números complejos.

a) 2, 5, 26 b) 0, 21, 0

c) 24 1 2i, 12 2 14i, 252 2 334i d) 21 2 i, i, 21 2 i e) 24 2 2i, 12 1 14i, 252 1 334i 25. Representa gráficamente números complejos.

a) 25 2 7i b) 25 2 3i c) 5 1 6i d) 24 2 4i e) 24 1 6i

Planilla de seguimiento


Colegio: Estudiante:

Pensamiento númerico Indicador de desempeño

ValoraciónObservaciones

Estándares S A Ba B

• Utilizonúmerosrealesensusdiferentesrepre-sentaciones y en diversos contextos.

• Utilizolanotacióncientíficapararepresentarmedidas de cantidades de diferentes magni-tudes.

• Resuelvoproblemasysimplificocálculosusandopropiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

• Identificoyutilizolapotenciaciónylalogarit-mación para representar situaciones matemáti-cas y no matemáticas y para resolver problemas.

1. Maneja porcentajes como números racionales.


3. Efectúa operaciones con números racionales.

4. Aproxima los resultados de operaciones con números reales.

5. Expresa partes de un todo como un número racional.


7. Comprende el concepto de intervalo.

8.Comprendelanotacióncientífica.

9. Resuelve operaciones que involucran potencias de números reales.

10. Calcula logaritmos de números reales.

11.Identificaradicalesequivalentes.

12. Racionaliza expresiones fraccionarias.

13. Aplica las propiedades de los logaritmos.

14. Realiza operaciones con números reales.

15. Aproxima números reales.

16. Representa números irracionales en la recta numérica.

17. Reconoce ecuaciones cuya solución no está en el conjunto R.

18.Identificacantidadesimaginarias.

19. Reconoce las características de un número complejo.

20. Encuentra el conjugado de un número complejo.

21. Efectúa adiciones y sustracciones de números complejos.

22. Calcula productos y cocientes de números complejos.

23. Comprende la igualdad de números complejos.

24. Encuentra potencias de números complejos.

25.Representagráficamentenúmeroscomplejos.

S = Superior (5 puntos) A = Alto (4 puntos) Ba = Básico (3 puntos) B = Bajo (2 puntos)

Nivel básico Nivel intermedio Nivel avanzado

El estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

El estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

El estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

46

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.Hoja de soluciones


Pensamiento variacional26. Realiza adición de polinomios.

a) 8x 1 6y b) 6x 1 10y c) 8x 1 5y d) 10x 1 2y e) 4x 1 6y

27. Calcula el valor numérico de un polinomio.

a) 36 m b) 38 m

c) 34 m d) 34 m

e) 24 m

28. Efectúa multiplicación de polinomios.

a) 3x2 1 7xy 1 2y2

b) 2x2 1 3xy 1 6y2

c) 3x2 1 5xy d) 6x2 1 3xy e) 6xy

29. Aplica los productos notables. a) 9x2 1 12xy 1 4y2

b) x2 2 65

xy 1 9

25 y2

c) 25x2 2 14

y2

d) 19

x2 2 16y2

e) x3 2 x2 1 13 x 1 1

2730. Efectúa división de polinomios.

a) 3x 2 2y b) 3x 2 8

c) 7x 1 6y d) x2 1 6

e) x 1 7

31. Factoriza polinomios.

a) (2x2 1 1)(x2 1 7)

b) (2x 2 1)(2x 2 3)

c) (2a 1 1)(3a 1 2)

d) (3m 2 5)(5m 1 3)

e) (3x 2 5)(2x 1 5)

32. Realiza operaciones con fracciones algebraicas.

a) x

x+ 2

2 b) m + 1

4 c) 2

3a

d) 1

e) xx−+

13 15

33. Efectúa operaciones con expresiones radicales.

a) 7 3 1 3 7 b) 12 2 1 4 3

c) 12 2 1 3 3 d) 4 5 1 8 3 e) 14 2

34. Resuelve ecuaciones lineales con la incógnita en más de un término.

a) 4 b) 5

c) 12

d) 1

e) 3

35. Reduce términos semejantes en un polinomio.

a) 4x2 1 12xy 1 9y2

b) 25a2 1 30ab 1 9b2

c) 49x2y2 1 56xy 1 16

d) 9

25 m2 1 65 mn 1 n2

e) 9m2 1 30m 1 25

36. Efectúa operaciones con polinomios.

a) 12x3 1 44x2y 1 51xy2 1 18y3

b) 125a3 1 125a2b 1 15ab2 2 9b3

c) 98x3y3 1 63x2y2 2 24xy 2 16

d) 925

m3 1 3m2n 1 7mn2 1 5n3

e) 36m3 1 93m2 1 10m 2 75

37. Calcula productos notables por simple inspección.

a) 16m2 1 56mn 1 49n2

b) 25x2 2 10xy 1 y2

c) 9x2 2 49y2

d) 25m2 2 4n2

e) a3 1 21a2b 1 147ab2 1 343b3


a) No b) Sí

c) No d) No

e) Sí

39. Aplica la regla de Ruffini.

a) C(x) 5 x2 2 2x 2 3 y R 5 2

b) C(x) 5 x3 2 7x2 1 14x 2 24 y R 5 9

c) C(x) 5 x2 2 2x 1 4 y R 5 4

d) C(x) 5 x2 1 9 y R 5 7

e) C(x) 5 x3 1 2x2 1 3x 1 2 y R 5 3

40. Comprende los teoremas del residuo y del factor.

a) Inexacta

b) Inexacta

c) Exacta

d) Inexacta

e) Exacta

41. Identifica las raíces enteras de un polinomio.

a) 1 b) 1, 21, 23

c) 1, 21, 23 d) 2

e) 1, 21, 22

42. Factoriza un polinomio conociendo sus raíces enteras.

a) Sí b) No

c) Sí d) Sí

e) No

43. Identifica polinomios irreducibles.

a) Irreducible

b) Irreducible

c) No es irreducible

d) Irreducible

e) Irreducible


47



Pensamiento variacional Indicador de desempeño



•Identificorelacionesentrepropiedadesdelasgráficasypropiedadesdelasecuacionesalgebraicas.

•Construyoexpresionesalgebraicasequivalentesauna expresión algebraica dada.

•Modelosituacionesdevariaciónconfuncionespolinómicas.

•Usoprocesosinductivosylenguajealgebraicopara formular y poner a prueba conjetura.

26 Realiza adición de polinomios.

27. Calcula el valor numérico de un polinomio.

28. Efectúa multiplicación de polinomios.

29. Aplica los productos notables.

30. Efectúa división de polinomios.


32. Realiza operaciones con fracciones algebraicas.

33. Efectúa operaciones con expresiones radicales.

34. Resuelve ecuaciones lineales con la incógnita en más de un término.

35. Reduce términos semejantes en un polinomio.

36. Efectúa operaciones con polinomios.

37. Calcula productos notables por simple inspección.


39AplicalaregladeRuffini.

40. Comprende los teoremas del residuo y del factor.

41.Identificalasraícesenterasdeunpolinomio.

42. Factoriza un polinomio conociendo sus raíces enteras.

43.Identificapolinomiosirreducibles.






48



Y

X100

100

(400,600)

�12

43

34

12 �1

2

43

�12

43

x �

x ��

44. Descompone un polinomio en factores utilizando diversas estrategias.

a) Teorema del factor, (x 1 1)(x 2 2)(x 1 3)

b) Teorema del factor, (x 2 1)(x 2 3) (x 1 5)

c) Teorema del factor y resolución de una ecuación de segundo grado, (x 1 1)(x 2 2)(3x 2 2)

d) Teorema del factor y resolución de una ecuación de segundo grado, (2x 1 1)(x 1 3)(x 2 1)

e) Teorema del factor, (x 2 1)(x 1 2)(x 2 3)

45. Resuelve ecuaciones de primer grado con la incógnita en más de un término.

a) 2 b) 1

c) 4 d) 3

e) 7

46. Resuelve ecuaciones de primer grado con fracciones algebraicas.

a) 3 b) 5

c) 2 d) 4

e) 1

47. Plantea sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

a) 9x 1 9y 5 8 200 8x 1 11y 5 9 800

b) 4x 1 5y 5 5 500 6x 1 7y 5 7 900

c) 8x 1 10y 5 10 100 5x 1 7y 5 6 800

d) 9x 1 8y 5 10 950 7x 1 6y 5 8 350

e) 12x 1 9y 5 14 400 8x 1 6y 5 9 600

48. Emplea el método gráfico para hallar la solución de sistemas de ecuaciones.

a) (2500, 1 300); (400, 600); (1 300, 2100)

b) (2700, 1 400); (400, 600); (1 500, 2200)

c) y d)

e) Parqueo de una moto, $ 400 y el de un automóvil, $ 600.

49. Resuelve sistemas de ecuaciones por sustitución.

a) x 5 5 500 54

− y

b) 6 5 500 54−

y 1 7y 5 7 900

c) y 5 700

d) 4x 1 5(700) 5 5 500

e) x 5 500

50. Resuelve sistemas de ecuaciones por reducción.

a) 40x 1 50y 5 50 500 40x 1 56y 5 54 400

b) 26y 5 23 900

c) y 5 650

d) 5x 1 5(650) 5 6 800

e) x 5 450

51. Resuelve sistemas de ecuaciones por igualación.

a) x 5 10 950 8

9− y

, x 5 8 350 6

7− y

b) y 5 750

c) 9x 1 8(750) 5 10 950

d) x 5 550

e) 9(550) 1 8(750) 5 10 950 y 9(550) 1 8(750) 5 8 350

52. Comprende el significado de las soluciones de un sistema de ecuaciones.

a) V b) V c) F

d) F e) V

53. Comprende el concepto de inecuación.

Sí: triángulos A y B; No: triángulos C, D y E.

54. Aplica las reglas de la suma y del producto, para resolver inecuaciones.

a) y b) x c) n

d) m e) a

55. Interpreta las soluciones de una inecuación de primer grado.

a) 10 cm, 14 cm y 18 cm b) 4 cm, 8 cm y 21 cm

c) 3 cm, 7 cm y 10 cm d) 12 cm, 13 cm y 15 cm

e) 1 cm, 8 cm y 9 cm

56. Halla la solución de inecuaciones polinómicas de grado superior.

a) Las raíces son 3 y 21. (x 2 3)(x 1 1)

b) 21 3

Signo de x 2 3 2 2 1


Signo de (x 2 3)(x 1 1) 1 2 1

c) (2, 21) (3, )

d) Números menores que 21 y números mayores que 3 e) Respuesta abierta. Por ejemplo si x 5 4, lado: 5 cm.

57. Resuelve inecuaciones racionales por factorización.

a) x2 2 4 5 (x 1 2)(x 2 2)

b) x2 2 3x 1 2 5 (x 2 2)(x 2 1)

c) xx+−

21

d) 22 1



Signo de (x 1 2) (x 2 1) 1 2 1

e) (2, 22) (1, )

58. Halla la solución de sistemas de inecuaciones de primer grado.

a) x , 43

b) x # 2 12

c), d) y e)


49



Pensamiento variacional Indicador de desempeño




• Construyoexpresionesalgebraicasequivalentesa una expresión algebraica dada

•Modelosituacionesdevariaciónconfuncionespolinómicas.

•Identificoyutilizodiferentesmanerasdedefinirymedir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación.

44. Descompone un polinomio en factores utilizando diversas estrategias.

45. Resuelve ecuaciones de primer grado con fracciones algebraicas.


47. Plantea sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

48.Empleaelmétodográficoparahallarlasolución de sistemas de ecuaciones.

49. Resuelve sistemas de ecuaciones por sustitución.

50. Resuelve sistemas de ecuaciones por reducción.

51. Resuelve sistemas de ecuaciones por igualación.

52.Comprendeelsignificadodelassolucionesde un sistema de ecuaciones.

53. Comprende el concepto de inecuación.

54. Aplica las reglas de la suma y del producto, para resolver inecuaciones.

55. Interpreta las soluciones de una inecuación de primer grado.

56. Halla la solución de inecuaciones polinómicas de grado superior.

57. Resuelve inecuaciones racionales por factorización.

58. Halla la solución de sistemas de inecuaciones de primer grado.






50



2

2

Y

XO

20

20

40

60

80

100

120 Millones de pesos

Mes

40 60 80 100 140

2

30

60

90

110

4 6 8 10

Millonesde pesos

Mes

59. Encuentra la solución de sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

a) y , 1

2− x

, y y $ 3x 2 2

b) (23, 2); (3, 21) y (0, 22); (1, 1)

c) y d)

e) Región del plano comprendida entre

las rectas y 5 1

2− x

, y y 5 3x 2 2

incluida la recta y 5 3x 2 2.

60. Reconoce ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

a) 7x2 2 63 5 0

b) x2 2 2x 2 24 5 0

c) x2 2 3x 2 18 5 0

d) 2x2 2 7x 2 4 5 0

e) 3x2 2 2x 2 5 5 0

61. Resuelve ecuaciones de la forma ax2 1 c 5 0.

a) 3 b) 4

c) 5 d) 6

e) 7

62. Encuentra la solución de ecuaciones de la forma x2 1 bx 1 c 5 0.

a) 6 m, 4 m b) 7 m, 5 m

c) 8 m, 6 m d) 9 m, 7 m

e) 10 m, 8 m

63. Encuentra la solución de ecuaciones de la forma ax2 1 bx 1 c 5 0.

a) V

b) V

c) F, porque mide 2 m de ancho y 4,5 m de largo

d) V

e) F, porque mide 5 m de ancho y 6 m de largo

64. Completa trinomios cuadrados perfectos en una ecuación cuadrática.

Terreno Expresión del área Expresión equivalenteA x2 2 8x 5 9 x2 2 8x 1 16 5 25B x2 2 18x 5 19 x2 2 18x 1 81 5 100C x2 1 6x 5 7 x2 1 6x 1 9 5 16D x2 1 18x 5 19 x2 1 18x 1 81 5 100E x2 1 12x 5 45 x2 1 12x 1 36 5 81

65. Utiliza la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

a) No, son dos raíces negativas.

b) No, son dos raíces negativas.

c) Sí, son dos raíces positivas.

d) Sí, es una única raíz positiva.

e) No, son dos raíces negativas.

66. Comprende el concepto de función.

a) A cada valor de x le corresponde un único valor de f(x).

b) f(x) 5

1 500 000x, si 0 , x # 10 1 200 000x, si 10 , x # 100 1 000 000x, si 100 , x

c) D (x) 5 R+

d) R (x) 5 R+

e)

67. Identifica diferentes características en una función dada.

a) 1, 6)

b) 7, 13)

c) x 5 6

d) Respuesta abierta

68. Reconoce las características de las funciones lineales.

a) Tiempo (en meses) y monto de las ventas (en pesos)

b) Una función lineal, porque su fórmula es f(x) 5 90 000 000x c) Sí. 15 000 000

d)

69. Reconoce funciones de la forma f(x) 5 ax2.

a) Abre hacia abajo

b) Tiene una abertura mayor

c) Tiene una abertura mayor y abre hacia abajo

d) Tiene una abertura menor.

e) Tiene una abertura menor y abre hacia abajo.

70. Caracteriza funciones de la forma f(x) 5 ax2 1 c.

a) D(f) 5 R

b) R(f) 5 12, 1 c) Eje Y d) Crece para todox . 0 y decrece para todo x , 0; e) (0, 3)

71. Interpreta las características de las funciones de la forma f(x) 5 ax2 1 bx 1 c.

a) f(x) 5 5(x 1 1)2

b) V (21, 0)

c) Se traslada una unidad hacia la izquierda

d) D(f) 5 R; e) R(f) 5 R+ 0 72. Identifica funciones polinómicas de tercer y cuarto grado.

a) V b) V

c) F d) F

e) V


51



Pensamiento métrico Indicador de desempeño



•Modelosituacionesdevariaciónconfuncionespolinómicas

•Identificolarelaciónentreloscambiosenlosparámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficasquelasrepresentan

•Analizoenrepresentacionesgráficascartesianas los comportamientos de cambio defuncionesespecíficaspertenecientesafamilias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

59. Encuentra la solución de sistemas de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

60. Reconoce ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

61. Resuelve ecuaciones de la forma ax2 1 c 5 0.

62. Encuentra la solución de ecuaciones de la forma x2 1 bx 1 c 5 0.

63. Encuentra la solución de ecuaciones de la forma ax2 1 bx 1 c 5 0.

64. Completa trinomios cuadrados perfectos en una ecuación cuadrática.

65. Utiliza la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

66. Comprende el concepto de función.

67.Identificadiferentescaracterísticasenunafunción dada.

68. Reconoce las características de las funciones lineales.

69. Reconoce funciones de la forma f(x) 5 ax2.

70. Caracteriza funciones de la forma f(x) 5 ax2 1 c.


72.Identificafuncionespolinómicasdetercery cuarto grado.






52



2

2

Y

X

2

2

Y

X

2

2

Y

X

2

2

Y

X

2

2

Y

X

1

1

2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

�1

�2

Y

X

O

y � log2x

y � log x12

73. Comprende las características de las funciones de proporcionalidad inversa.

a)

b)

c)

d)

e)

74. Estudia la tendencia de una función. a) A 22 b) A 21 c) A 2 si se acerca por la izquierda.

A 1 si se acerca por la derecha. d) A 0; e) A 0

75. Encuentra las asíntotas horizontales y verticales de una función. a) y 5 0, x 5 0 b) y 50, x 5 0 c) y 5 0, x 5 1 d) y 5 0, x 5 3 e) y 5 0, x 5 3

76. Identifica todas las asíntotas de una función. a) x 5 3, x 5 22 b) Las rectas x 5 3 y x 5 22 c) Cociente: 4x 1 4, residuo: 28x 1 24

d) 46

3

2x

x x− − 5 4x 1 4 1

28 2462

xx x

+− −

. La función tiende a 4x 1 4.

e) y 5 4x 1 4

77. Comprende las características de una función exponencial.

y 5 3x y 5 13

x

¿Es exponencial? Sí Sí

Dominio R R

Rango R+ R+

¿Es creciente? Sí No. Decreciente

Asíntotas y 5 0 y 5 0 78. Comprende las características de las funciones de la forma y 5 10x. a) Es el reflejo de y 5 10x con respecto al eje Y b) Se traslada una unidad hacia la izquierda c) Se traslada una unidad hacia la derecha d) Se traslada dos unidades hacia la izquierda e) Se traslada dos unidades hacia la derecha.

79. Resuelve ecuaciones exponenciales. a) 5 b) 3 c) 2 d) 9 e) 6

80. Comprende las funciones logarítmicas.a)x

14

12 1 2 4 8

b)x

14

12 1 2 4 8

y 22 21 0 1 2 3 y 2 1 0 21 22 23

c)

d) Su dominio es x . 0. Su recorrido es R. Son continuas en todo su dominio. Tienen como asíntota vertical la recta x 5 0

e) y 5 log2 x es creciente en todo su dominio y y 5 log 12 x es de-

creciente en todo su dominio.


53



Pensamiento aleatorio Indicador de desempeño



•Identificolarelaciónentreloscambiosenlosparámetros de la representación algebraica de una familiadefuncionesyloscambiosenlasgráficasque las representan.

•Analizoenrepresentacionesgráficascartesianaslos comportamientos de cambio de funciones específicaspertenecientesafamiliasdefuncio-nes polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

73. Comprende las características de las funciones de proporcionalidad inversa.

74. Estudia la tendencia de una función.

75. Encuentra las asíntotas horizontales y verticales de una función.

76.Identificatodaslasasíntotasdeunafunción.

77. Comprende las características de una función exponencial.

78. Comprende las características de las funciones de la forma y 5 10x.

79. Resuelve ecuaciones exponenciales.

80. Comprende las funciones logarítmicas.






54



1

5

10

15

20

25

2 3 4 5 6 7

1

4

8

12

16

20

2 3 4 5 6 7

1

1

2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

�1

�2

Y

X

O

y � log3x

y � log x13


a) 10 b) 2

c) 1112 d) 22

e) 1710

82. Encuentra la solución de ecuaciones de primer grado con fracciones algebraicas.

a) 2203

b) 6

c) 24 d) 293

e) 16

83. Resuelve sistemas de inecuaciones de primer grado.

a) x . 5 b) x , 1

c) x 2 d) x 1

e) x . 1

84. Halla la solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

a) x 5 26 y x 5 5

b) x 5 23 y x 5 2

c) x 5 − +1 5

2 y x 5

− −1 52

d) x 5 23

y x 5 2 13

e) x 5 214 y x 5 2 3

2 85. Realiza operaciones con números complejos.

a) 23 1 i b) 3 1 5i c) 4 1 7i d) 6 1 13i

e) 710

2 1110

i

86. Comprende las características de la función lineal.

a) Independiente: tiempo, dependiente: volumen

b) y 5 5x

c)

d) En la gráfica, por cada unidad horizontal que se avance a la derecha, se ascienden cinco unidades verticalmente.

e) La recta tiene mayor pendiente.

87. Comprende las características de una función afín.

a) y 5 3x 1 5

b) (0, 5); (1, 8); (2, 11); (3, 14); (4, 17); (5, 20)

c)

d) 35 ºC; e) Se traslada cinco unidades hacia arriba.

88. Interpreta las características de las funciones de la forma f(x) 5 ax 2 1 bx 1 c.

a) y 5 (x 1 12

)2 1 34

b) V(2 12

, 34

)

c) Se traslada 12

unidad hacia la izquierda y 34

de unidad hacia arriba

d) R; e) [ 34

, 1)

89. Identifica las características de las funciones exponenciales.

y 5 2x y 5 ( 12 )

x

¿Es exponencial? Sí Sí

Dominio R R

Rango R+ R+

¿Es creciente? Sí No

Asíntotas y 5 0 y 5 0


a) 13

1,�

; (1, 0); (3, 1); (9, 2)

13

1,

; (1, 0); (3, 21); (9, 22)

b)

c) La primera es creciente y la segunda, decreciente.

d) R+ e) R

91. Comprende las progresiones aritméticas. a) 4n b) 2n 2 1 c) 2n 2 2 d) 3n 2 1 e) n 2 1

92. Calcula la suma de términos consecutivos de una progresión aritmética.

a) 220, 364 b) 144, 225

c) 182, 272 d) 260, 392

e) 22, 190 93. Comprende las progresiones geométricas.

a) 1 b) 2

c) an 5 2n 2 1 d) 128; e) 512

94. Calcula la suma de términos consecutivos de una progresión geométrica.

a) 31 b) 127

c) 255 d) 511

e) 1 023


55



Pensamiento aleatorio Indicador de logro




•Identificolarelaciónentreloscambiosenlosparámetros de la representación algebraica de una familiadefuncionesyloscambiosenlasgráficasque las representan.

•Analizoenrepresentacionesgráficascartesianaslos comportamientos de cambio de funciones específicaspertenecientesafamiliasdefuncio-nes polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.


82. Encuentra la solución de ecuaciones de primer grado con fracciones algebraicas.

88. Resuelve sistemas de inecuaciones de primer grado.

84. Halla la solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

85. Realiza operaciones con números complejos.

86. Comprende las características de la función lineal.

87. Comprende las características de una función afín.


89.Identificalascaracterísticasdelasfunciones exponenciales.


91. Comprende las progresiones aritméticas.

92. Calcula la suma de términos consecutivos de una progresión aritmética.

93. Comprende las progresiones geométricas.

94. Calcula la suma de términos consecutivos de una progresión geométrica.






56



1

1

A (5, 4)Y

X

O

C (�2, 3)

D (�4, �3)

E (6, �2)

B (8, 2)

Pensamiento espacial

95. Clasifica triángulos según la medida de sus lados y de sus ángulos.

a) Obtusángulo escaleno

b) Rectángulo isósceles

c) Acutángulo escaleno

d) Acutángulo isósceles

e) Rectángulo escaleno

96. Aplica los criterios para determinar la congruencia de triángulos.

a) UST y VXW

b) MNP, TRQ y CBA

c) IJK y FHG

d) ABC, JHG y EDF

e) XYZ y NMQ

97. Reconoce características de los movimientos en el plano.

a) V b) V

c) F d) V

e) V

98. Comprende los criterios de semejanza de triángulos.

Triángulos Criterio

FPG y F’P’G’ ángulo-ángulo

HPG y H’P’G’ lado-ángulo-lado

AEH y A’E’H’ lado-lado-lado

EBF y E’B’F’ ángulo-ángulo

GCF y E’A’H’ lado-ángulo-lado

99. Calcula medidas de figuras semejantes.

a) 75 cm b) 150 cm

c) 125 cm d) 69,6 cm

e) 92,8 cm

100. Aplica las propiedades de las rectas tangentes a una circunferencia.

a) F b) F

c) V d) V

e) V

101. Representa el vector de posición de un punto en el plano.

102. Calcula las coordenadas de un vector libre.

a) (3, 22) b) (22, 24)

c) (210, 21) d) (2, 6)

e) (7, 1)

103. Calcula el módulo de un vector.

a) 13

b) 2 5

c) 101

d) 2 10

e) 5 2

104. Calcula el ángulo que forman dos vectores.

a) 82,87º b) 57,72º

c) 114,15º d) 63,43º

e) 41,82º

105. Comprende las diferentes formas de la ecuación de una recta.

a) x 5 5 1 3t, y 5 4 2 2t

b) x −−

82 5

y −−

24

c) x 2 10y 2 26 5 0

d) y 1 3 5 3(x 1 4)

e) y 5 17

x 1 237

106. Comprende la semejanza de triángulos.

a) B’C’ 5 3 m, A’C’ 5 4 m

b) B’C’ 5 9 m, A’C’ 5 12 m

c) B’C’ 5 12 m, A’C’ 5 16 m

d) B’C’ 5 15 m, A’C’ 5 20 m

e) B’C’ 5 18 m, A’C’ 5 24 m

107. Encuentra las coordenadas de un vector libre en el plano.

a) (6, 8) b) (26, 0)

c) (0, 28) d) (8, 1)

e) (23, 7)


a) 65 b) 58

c) 527 d) 727 e) 25, 46 m

109. Encuentra las coordenadas del punto medio de un segmento.

a) (5, 6)

b) (5, 10)

c) (2, 6)

d) (12, 52

)

e) (192

, 132

)


a) 126,87º b) 90º

c) 143,13º d) 106,1º

e) 111,8º


57



Pensamiento espacial Indicador de desempeño



•Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas.

•Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.

95.Clasificatriángulossegúnlamedidadesuslados y de sus ángulos.

96. Aplica los criterios para determinar la congruencia de triángulos.

97. Reconoce características de los movimientos en el plano.

98. Comprende los criterios de semejanza de triángulos.

99.Calculamedidasdefigurassemejantes.

100. Aplica las propiedades de las rectas tangentes a una circunferencia.

•Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

101. Representa el vector de posición de un punto en el plano.

102. Calcula las coordenadas de un vector libre.



105. Comprende las diferentes formas de la ecuación de una recta.

106. Comprende la semejanza de triángulos.

107. Encuentra las coordenadas de un vector libre en el plano.


109. Encuentra las coordenadas del punto medio de un segmento.







58



Pensamiento métrico 111. Identifica figuras compuestas por triángulos y cuadriláteros.

a) Un rectángulo y dos triángulos

b) Un trapecio y un paralelogramo

c) Un rectángulo y dos trapecios

d) Un trapecio y un triángulo

e) Dos rectángulos y un triángulo

112. Calcula el área de figuras planas.

a) 351 cm2, ARectángulo 5 108 cm2, ATriángulo 1 5 27 cm2 y ATriángulo 2 5 216 cm2

b) 242 cm2, AParalelogramo 5 128 cm2 y ATrapecio 5 114 cm2

c) 12 350 cm2, ARectángulo 5 5 600 cm2, ATrapecio 1 5 4 250 cm2 y ATrapecio 2 5 2 500 cm2

d) 11 550 cm2, ATrapecio 5 5 250 cm2 y ATriángulo 5 6 300 cm2

e) 86 cm2, ARectángulo 1 5 36 cm2, ARectángulo 2 5 32 cm2 y ATriángulo 5 18 cm2

113. Determina el área de polígonos regulares.

a) 228,48 cm2 b) 283,5 cm2 c) 249,21 cm2

d) 542 cm2 e) 697,05 cm2

114. Calcula el área total y el volumen de algunos cuerpos geométri-cos.

a) A T 5 384 cm2 y V 5 512 cm3

b) A T 5 1 952 cm2 y V 5 4 608 cm3

c) A T 5 1 632,8 cm2 y V 5 5 024 cm3

d) A T 5 1 882,12 cm2 y V 5 5 425,92 cm3

e) A T 5 4 488 cm2 y V 5 2 000 cm3

115. Aplica el teorema de Pitágoras para determinar medidas en un triángulo rectángulo.

a) 2 5 2, cm b) 6,5 cm c) 52

5 cm

d) 3 2 cm e) 5 cm

116. Calcula las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

a) 35

, 45

y 34

b) 22

, 22

y 1

c) 1213

, 513

y 125

d) 5

5 , 2 5

5 y 12

e) 22

, 2

2 y 1

117. Encuentra las razones trigonométricas de ángulos especiales.

a) 17 cm b) Rectángulo

c) 1717

cm d) 4 1717

cm

e) 14

cm

118. Comprende las relaciones entre las razones trigonométricas.

a) cosP 5 725

y tanP 5 724

y

b) senP 5 610

y tanP 5 68

y

c) senP 5 22

y cosP 5 22

y

d) cosP 5 45

y tanP 5 34

y

e) senP 5 1213

y tanP 5 125

y

119. Calcula medidas en triángulos rectángulos.

a) 160 cm b) 200 cm

c) 140 cm d) 160 cm

e) 120 cm

120. Resuelve triángulos rectángulos.

Triángulo Medida de los lados Medida de los ángulos

DBCDB 5 80 cm DBC 5 60º

BC 5 80 5 cm BCD 5 30º

CD 5 160 cm CDB 5 90º

PNO

PN 5 120 cm PNO 5 59,04º

NO 5 40 34 cm NOP 5 30,96º

OP 5 200 cm OPN 5 90º

TYZ

TY 5 100 cm TYZ 5 54,5º

YZ 5 20 74 cm YZT 5 35,5º

ZT 5 140 cm ZTY 5 90º

IGHIG 5 140 cm IGH 5 48,8º

GH 5 20 113 cm GHI 5 41,2º

HI 5 160 cm HIG 5 90º

WLVWL 5 60 cm WLV 5 60º

LV 5 60 5 cm LVW 5 30º

VW 5 120 cm VWL 5 90º

121. Aplica el teorema del seno y del coseno en la resolución de triángu-los.

a) 32,64 m b) 62,27 m

c) 97,9 m d) 130,54 m

e) 163,18 m

122. Calcula áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.

a) A T 5 31,26 m2, V 5 12 m3 d) A T 5 35,84 m2, V 5 16,33 m3 b) A T 5 21,25 m2, V 5 6,25 m3 e) A T 5 39,62 m2, V 5 14,29 m3 c) A T 5 29,1 m2, V 5 9 m3


a) 600 m b) 9 m

c) 65 m d) 77 m

e) 6 m

124. Determina las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.

a) 1161

, 6061

, 1160

b) 941

, 4041

, 940

c) 6365

, 1665

, 6316

d) 7785

, 3685

, 7736

e) 45

, 35

, 43

125. Determina la medida de un ángulo en un triángulo.

a) 10,39º b) 12,68º

c) 75,75º d) 64,94º

e) 53,13º

126. Aplica las razones trigonométricas en el cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos.

a) 448,96 cm3 b) 94,239 cm3

c) 214,5 cm3 d) 423,9 cm3

e) 3 386,64 cm3


59



Pensamiento métrico Indicador de desempeño



•Generalizoprocedimientosdecálculoválidosparaencontrar el área de regiones planas y el volumen de sólidos.

• Usorepresentacionesgeométricaspararesolvery formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas

•Seleccionoyusotécnicaseinstrumentosparamedirlongitudes,áreasdesuperficies,volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

111.Identificafigurascompuestasportriángulos y cuadriláteros.

112.Calculaeláreadefigurasplanas.

113. Determina el área de polígonos regulares.

114. Calcula el área total y el volumen de algunos cuerpos geométricos.

115. Aplica el teorema de Pitágoras para determinar medidas en un triángulo rectángulo.

116. Calcula las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

117. Encuentra las razones trigonométricas de ángulos especiales.

118. Comprende las relaciones entre las razones trigonométricas.


120. Resuelve triángulos rectángulos.

121. Aplica el teorema del seno y del coseno en la resolución de triángulos.

122. Calcula áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.


124. Determina las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.

125. Determina la medida de un ángulo en un triángulo.

126. Aplica las razones trigonométricas en el cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos.






60



10

Li

Li

1 3 SQ Q L

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10

1 3

S

Q

M

Q

L

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10

Li

Li

1 3 SQ Q L

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10

1 3

S

Q

M

Q

L

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Pensamiento aleatorio 127. Elabora la distribución de frecuencias de un conjunto de datos

a partir del histograma.

Edad (años) Marca de clase

Número de asistentes

Frecuencias acumuladas

[0, 12) 6 1 1

[12, 24) 18 8 9

[24, 36) 30 14 23

[36, 48) 42 10 33

[48, 60) 54 7 40

[60, 72) 66 6 46

[72, 84) 78 4 50

128. Interpreta información representada en una gráfica. a) V b) F c) F d) V e) F

129. Calcula medidas de tendencia central y los cuartiles de un conjunto de datos agrupados.

a) 30 años b) 42 años c) 41,52 años d) 30 años e) 42 años y 54 años

130. Calcula la probabilidad de ocurrencia de la intersección de su-cesos dependientes.

a) 445 b)

145 c)

445

d) 1

45 e) 1

15 131. Calcula la media, la moda, la mediana y los cuartiles de una

distribución. a) 67,6 min b) [70, 80) y 75 min c) [60, 70) y 65 min d) 65 min e) 75 min

132. Interpreta las representaciones gráficas de una distribución. a) 24 b) 49 c) 95% d) 93% e) 27%

133. Estudia la simetría de una distribución.

a) Li: 25 b) Ls: 105

c)

d)

e) La distribución no es simétrica.

134. Calcula el rango, la varianza y la desviación típica de una distribución.

a) 100 b) 67,6 c) 90

d) 243,24 e) 15,6.

135. Interpreta los datos registrados en una tabla de doble entrada.

a) Tres b) Tres, dos c) Tres

d) Dos e) 50 personas

136. Identifica el tipo de relación entre dos variables. a) x 5 2,08 y y 5 2 b) sx 5 1,3242 y sy 5 1,4142 c) Respuesta abierta d) Correlación nula e) No. Respuesta abierta.

137. Comprende los conceptos de covarianza y correlación.

a) r 5 0,92 b) r 5 20,78 c) r 5 0

d) r 5 20,25 e) r 5 0 138. Construye un diagrama de árbol para contar el número de ma-

neras en que pueden ocurrir dos sucesos.

a) 4 b) 6 c) 9

d) 12 e) 20

139. Comprende las permutaciones sin repetición.

a) 6 b) 24 c) 120

d) 720 e) 5 040

140. Identifica las variaciones sin repetición.

a) 6 b) 12 c) 20

d) 30 e) 42

141. Identifica las variaciones con repetición.

a) 1 728 b) 2 197 c) 3 375

d) 4 096 e) 8 000

142. Clasifica diferentes sucesos.

a) Suceso elemental b) Suceso compuesto

c) Suceso seguro d) Suceso imposible

e) Suceso contrario de S3

143. Encuentra la unión y la intersección de sucesos.

a) 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9 b) 5, 7 c) 4, 5, 6, 7, 8, 9 d) 1, 3, 4, 5, 7, 8 e)

144. Calcula la probabilidad de la unión de sucesos.

a) 12 b) 1 c)

710

d) 35

e) 35

145. Determina la probabilidad de experimentos compuestos.

a) 120

b) 1

20 c) 15

d) 15

e) 720

146. Organiza y representa un conjunto de datos.

a) 37,5 galones b) [40, 50), 45 c) [40, 50), 45 d) 25 e) 55


a) 5 b) 65

c); d) y e)] Respuesta abierta

148. Calcula el rango, la varianza y la desviación típica de una distri-bución.

a) 100 b) 37,5 c) 60

d) 322,75 e) 17,97

149. Determina la probabilidad de la unión de sucesos.

a) 527

b) 727

c) 1527

d) 1227 e)

2227


a) 1649

b) 2063

c) 949

d) 1163

e) 1663


61



Pensamiento aleatorio Indicador de desempeño



•Interpretoyutilizoconceptosdemedia,medianaymoda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría.

•Usoconceptosbásicosdeprobabilidad(espaciomuestral, evento, independencia, etc.)

127. Elabora la distribución de frecuencias de un conjunto de datos a partir del histograma.

128. Interpreta información representada en unagráfica.

129. Calcula medidas de tendencia central y los cuartiles de un conjunto de datos agrupados.

130. Calcula la probabilidad de ocurrencia de la intersección de sucesos dependientes.

• Interpretoanalíticaycríticamenteinformaciónestadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas entrevistas).

131. Calcula la media, la moda, la mediana y los cuartiles de una distribución.

132.Interpretalasrepresentacionesgráficasde una distribución.



• Reconozcotendenciasquesepresentanenconjuntos de variables relacionadas.

135. Interpreta los datos registrados en una tabla de doble entrada.

136.Identificaeltipoderelaciónentredosvariables.

137. Comprende los conceptos de covarianza y correlación.

•Resuelvoyformuloproblemasseleccionandoinformación relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas)

138. Construye un diagrama de árbol para contar el número de maneras en que pueden ocurrir dos sucesos.

139. Comprende las permutaciones sin repetición.

140.Identificalasvariacionessinrepetición.

141.Identificalasvariacionesconrepetición.

•Usoconceptosbásicosdeprobabilidad(espaciomuestral, evento, independencia, etc.).

142.Clasificadiferentessucesos.

143. Encuentra la unión y la intersección de sucesos.

144. Calcula la probabilidad de la unión de sucesos.


•Interpretoanalíticaycríticamenteinformaciónestadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, ent-revistas).

146. Organiza y representa un conjunto de datos.



149. Determina la probabilidad de la unión de sucesos.








Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Pensamiento espacial y sistemas geométricos

Pensamiento métrico y sistemas de medidas

Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

• Utilizo números reales en sus diferen-tes representaciones en diversos con-textos.

• Conjeturo y verifico propiedades de con-gruencia y semejanza entre figuras bi-dimensionales y entre objetos tridimen-sionales en la solución de problemas.

• Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y volumen de sólidos.

• Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar distintas interpretaciones.

• Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

• Resuelvo problemas y simplifico cálcu-los usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

• Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).

• Selecciono y uso técnicas e instru-mentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

• Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revis-tas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expre-sión algebraica dada.

• Utilizo la notación científica para re-presentar medidas de cantidades de diferentes magnitudes.

• Aplico y justifico criterios de congruen-cias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.

• Justifico la pertinencia de utilizar uni-dades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas cien-cias.

• Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dis-persión y asimetría.

• Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

• Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para re-presentar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver pro-blemas.

• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en la matemática y en otras disciplinas.

• Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados al tipo de problema, de información y al nivel de la escala en la que se representa (nominal, ordinal, de intervalo o de razón).

• Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

• Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático proba-bilístico.

• Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

• Resuelvo y formulo problemas seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

• Analizo los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales.

• Reconozco tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas.

• Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación.

• Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo).

• Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que la representan.

• Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.).

• Analizo en representaciones gráficas cartesianas los compor-tamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

Tabla de esTándares para los grados 8 y 9


Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Pensamiento espacial y sistemas geométricos

Pensamiento métrico y sistemas de medidas

Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

• Utilizo números reales en sus diferen-tes representaciones en diversos con-textos.

• Conjeturo y verifico propiedades de con-gruencia y semejanza entre figuras bi-dimensionales y entre objetos tridimen-sionales en la solución de problemas.

• Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y volumen de sólidos.

• Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar distintas interpretaciones.

• Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

• Resuelvo problemas y simplifico cálcu-los usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

• Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).

• Selecciono y uso técnicas e instru-mentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

• Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revis-tas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expre-sión algebraica dada.

• Utilizo la notación científica para re-presentar medidas de cantidades de diferentes magnitudes.

• Aplico y justifico criterios de congruen-cias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.

• Justifico la pertinencia de utilizar uni-dades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas cien-cias.

• Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dis-persión y asimetría.

• Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

• Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para re-presentar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver pro-blemas.

• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en la matemática y en otras disciplinas.

• Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados al tipo de problema, de información y al nivel de la escala en la que se representa (nominal, ordinal, de intervalo o de razón).

• Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

• Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático proba-bilístico.

• Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

• Resuelvo y formulo problemas seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

• Analizo los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales.

• Reconozco tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas.

• Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación.

• Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo).

• Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que la representan.

• Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.).

• Analizo en representaciones gráficas cartesianas los compor-tamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

Esta obra forma parte de un Proyecto global concebido por el equipo editorial de Edicio-nes SM. El Proyecto editorial comprende la creación, diseño y desarrollo, por iniciativa y bajo la coordinación de Ediciones SM, de los libros de texto, materiales didácticos com-plementarios y otros documentos o conteni-dos que sirvan de ayuda didáctica, editados para la aplicación de los currículos conforme a los sistemas educativos oficiales de ense-ñanza básica. Para la elaboración de la presente obra Edi-ciones SM ha procurado ser especialmente respetuoso con los derechos morales y patri-moniales de terceros, quedando salvaguar-dados los derechos de autor reconocidos a sus titulares por cualquier legislación, acuer-do o convenio internacional de aplicación. No obstante, para cualquier consulta, acla-ración o reclamación por la explotación o actividad que pudieran contravenir los dere-chos de terceros, podrá ponerse en contacto con Ediciones SM en la siguiente dirección: [email protected]

dirección editorial César Camilo Ramírez S.

edición ejecutiva Luz Stella Alfonso Orozco

autoría Equipo Ediciones SM, José Luis Urquiza Simbaqueba

corrección de estilo

Leonard Múnera Villamil

gerencia de arte y diseño de la serie Rocío Duque S.

coordinación de diseño

Elkin Vargas Bohórquez

diagramación y gráficas

Sandra Inés Dueñas S.

fotografía Archivo SM

retoque digital Ángel Camacho L.

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Impresión: Impreso en Colombia / Printed in Colombia

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