aprender juntos matematicas 8 evaluaciones

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matemáticas evaluaciones 1290

aprender j u n t o s

2proyecto aprender juntos © ediciones sm

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En este sentido, el cuadernillo de Evaluaciones del proyecto Aprender Juntos Matemáticas, ofrece instrumentos específicos y diferentes para fa-cilitar a los docentes la evaluación de los estudiantes en el ámbito institucional.Las actividades para la evaluación institu-cional permiten valorar el nivel de desempeño de los estudiantes a lo largo de su proceso educativo. Su diseño modular facilita la adaptación a los siste-mas institucionales de evaluación propios de cada establecimiento educativo.

Los cuadernos del proyecto Aprender Juntos Matemáticas Secundaria presentan un sistema flexible de evaluación que orienta las actividades según un nivel de desempeño. = Básico; = Intermedio y = Avanzado.

Además las actividades permiten una valoración cuantitativa de 1 a 5, la cual es fácilmente homolo-gable con otros sistemas de registro.

Los resultados que los estudiantes obtengan en es-tas pruebas ofrecen una fuente de información para la determinación de planes de mejoramiento para los estudiantes (cómo están aprendiendo, qué nece-sitan aprender, dónde es necesario aclarar, reforzar o consolidar conceptos y procesos, cómo pueden ser más competentes) y para la institución (mirar los procesos de enseñanza, cómo consolidar el apren-dizaje de los estudiantes, reorientar procesos con dificultades, …).

Los avances en investigación educativa facilitan la identificación de los ámbitos en los cuales se debe realizar la evaluación, dentro de los cuales se en-cuentran la evaluación externa, definida como la eva-luación que se realiza fuera del aula y la evaluación institucional que se realiza en cada institución para acompañar los procesos diarios del aula con el fin de hacerle un permanente seguimiento y monitoreo al proceso de enseñanza y aprendizaje.

Tal como lo expresa el artículo 1 del Decreto, la eva-luación de los aprendizajes de los estudiantes se rea-liza en los siguientes ámbitos:

1. Internacional. El Estado promoverá la partici-pación de los estudiantes del país en pruebas que den cuenta de la calidad de la educación frente a estándares internacionales.

2. Nacional. El Ministerio de Educación Nacional y el Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES), realizarán pruebas censales con el fin de monitorear la calidad de la educación de los establecimientos educativos con fundamen-to en los estándares básicos. Las pruebas nacio-nales que se aplican al finalizar el grado undécimo permiten, además, el acceso de los estudiantes a la educación superior.

3. Institucional. La evaluación del aprendizaje de los estudiantes realizada en los establecimientos de educación básica y media, es un proceso permanen-te y objetivo para valorar el nivel de desempeño.

Dada la importancia de la evaluación en el sistema educativo se hace impres-cindible conocer en detalle la normatividad que la orienta y que da pautas para su organización en cada establecimiento educativo.

El presente documento, que se elaboró a partir del estudio del documento Nº 11 del Ministerio de Educación Nacional, Fundamentaciones y orientaciones para la implementación del Decreto 1290 de 2009, ofrece una visión detallada de las fi-nalidades y alcances del Decreto y expone ideas que facilitarán su implementación en las aulas.

Ámbitos de la evaluación de los estudiantes


La evaluación en el aula

Todos los estudiantes, independientemente de su procedencia, situación social, económica y cultural, deben contar con oportunidades para adqui-rir conocimientos, desarrollar las competencias y valores necesarios para vivir, convivir, ser productivos y seguir aprendiendo a lo largo de la vida.

La meta fundamental de todo maestro debe tender, de manera perma-nente y absoluta, a que todos sus estudiantes alcancen de manera exito-sa los fines propuestos. El alcance de esta meta no será posible si no se realizan, de manera permanente, procesos de evaluación dentro del aula.

La evaluación en los niveles de enseñanza básica y media se debe cen-trar en sus propósitos formativos, es decir, en aquellos que faciliten el aprendizaje de todos los sujetos que intervienen en el proceso educa-tivo. Bajo esta perspectiva es necesario superar el concepto de evalua-ción asociado a la calificación; debe implicar una mirada amplia sobre los sujetos y sus procesos y tener presente que se debe caracterizar por los siguientes rasgos:

• Debecentrarse en las formas de apren-dizaje de los estudiantes, de manera que se detecten las posibles fortalezas y dificultades de cada uno de los estudiantes y los docentes puedan apoyarlos de acuerdo a sus necesidades.

• Debesertransparente, continua y proce-sual, se debe realizar a partir de criterios claros, establecidos en consenso y conocidos por todos y realizarse de manera continua, no como una acti-vidad aislada al finalizar un tema o unidad.

• Debeconvocar de manera responsable a todas las partes en un sentido democrático y fomentar la autoevaluación de ellas. Debe ofrecer espacios de reflexión de manera que se convier-ta en una gran oportunidad para que docentes y estudiantes analicen sus desempeños, identifiquen fortalezas y debilidades y asuman posturas que los lleven al mejoramiento permanente. Desde esta perspectiva, cuenta con la valoración del docente (quien evalúa a sus estudiantes pero que también debe ser evaluado por ellos), da espacio a la co-evaluación y a la autoevaluación.

• Debeserformativa, motivadora y orienta-dora; e invitar al aprendizaje de todos los actores involucrados en ella. La posibilidad de autoevaluar-se, de evaluar a otros y de ser evaluado facilita el conocimiento personal y de los otros, y establece estrategias para fortalecer los procesos de apren-dizaje.

• Debe utilizardiversas técnicas y manejar fuentes de información, de manera que per-mita la emisión de juicios contextualizados. Los exámenes o pruebas, no son los únicos recursos de evaluación que tienen los docentes. Es conve-niente integrar diversas estrategias de valoración como la observación de los estudiantes durante los trabajos individuales o grupales, sus estilos en la realización de trabajos personales o argumen-tación de respuestas, la forma como formulan in-quietudes o dudas, etc. El docente que trabaja con el proyecto Aprender Juntos Matemáticas dispone de una variedad de secciones y actividades que le generan el espacio propicio para el manejo de fuentes de información, estrategias de organiza-ción y mecanismos de búsqueda.


Sistema institucional de evaluación

La Ley General de Educación, en el artículo 77 otorga la autonomía escolar a las instituciones para la for-mulación de los Proyectos Educativos Institucionales (PEI) y para la organización de su plan de estudios de manera que respondan a las necesidades y ca-racterísticas regionales. Desde esa misma perspecti-va, la expedición del Decreto 1290, en el artículo 4, da autonomía a los centros educativos para definir y estructurar su propio sistema de evaluación, y reco-mienda que contemple los siguientes aspectos:

1. Los criterios de evaluación y promoción.

2. La escala de valoración institucional y su respecti-va equivalencia con la escala nacional.

3. Las estrategias de valoración integral de los de-sempeños de los estudiantes.

4. Las acciones de seguimiento para el mejoramiento de los desempeños de los estudiantes durante el año escolar.

5. Los procesos de autoevaluación de los estudiantes.

6. Las estrategias de apoyo necesarias para resolver situaciones pedagógicas pendientes de los estu-diantes.

7. Las acciones para garantizar que los directivos docentes y docentes del establecimiento educativo cumplan con los procesos evaluativos estipulados en el sistema institucional de evaluación.

8. La periodicidad de entrega de informes a los pa-dres de familia.

9. La estructura de los informes de los estudiantes, para que sean claros, comprensibles y den infor-mación integral del avance en la formación.

10. Las instancias, procedimientos y mecanismos de atención y resolución de reclamaciones de padres de familia y estudiantes sobre la evaluación y promoción.

11. Los mecanismos de participación de la comunidad educativa en la construcción del sistema institucio-nal de evaluación de los estudiantes.

Escala de valoración nacional

Ante la perspectiva de la posibilidad de que surjan di-versas propuestas, y ante la necesidad de establecer un lenguaje común que facilite la movilidad de los estu-diantes de una institución a otra, el Decreto 1290 ofre-ce, en el artículo 5, la siguiente escala de valoración:

•DesempeñoSuperior

•DesempeñoAlto

•DesempeñoBásico

•DesempeñoBajo

Desempeño básico se entiende como la superación de los desempeños necesarios en relación con las áreas obligatorias y fundamentales, teniendo como referen-te los estándares, las orientaciones y lineamientos ex-pedidos por el Ministerio de Educación Nacional y lo establecido en el proyecto educativo institucional. El desempeño bajo se entiende como la no superación de los mismos.

La equivalencia entre la escala propuesta en el Decreto y las escalas que se trabajan en la mayoría de las instituciones educativas opera como se indica en la siguiente tabla:

Tabla de equivalencias - Escalas de valoraciónEscala nacional

Valoración cualitativa

Valoración cuantitativa

Nivel de desempeño

Superior Excelente 5 AvanzadoAlto Sobresaliente 4 IntermedioBásico Aceptable 3 BásicoBajo Insuficiente 2

Deficiente 1

el proyecto aprender juntos y el decreto 1290


Promoción escolar y promoción anticipadaLa autonomía otorgada mediante el Decreto 1290 a las instituciones debe ser administrada de manera respon-sable para que en sus procesos evaluativos se eviden-cien todos y cada uno de los presupuestos hasta ahora mencionados y faciliten a los estudiantes la culminación satisfactoria de su proceso formativo.

A continuación se presentan los artículos 6 y 7 del Decreto, en los cuales se confirma que la promoción escolar es una decisión de extrema responsabilidad y que la promoción anticipada es una de las alternativas que debe ofrecer el sistema educativo para aquellos estudiantes que por efecto de sus ritmos de aprendi-zaje, evidencien desempeños superiores y avanzados en relación con el resto del grupo.

Artículo 6. Promoción escolar. Cada esta-blecimiento educativo determinará los criterios de promoción escolar de acuerdo con el sistema insti-tucional de evaluación de los estudiantes. Así mismo, el establecimiento educativo definirá el porcentaje de asistencia que incida en la promoción del estudiante.

Cuando un establecimiento educativo determine que un estudiante no puede ser promovido al grado si-guiente, debe garantizarle en todos los casos, el cupo para que continúe con su proceso formativo.Artículo 7. Promoción anticipada de gra-do. Durante el primer período del año escolar el con-sejo académico, previo consentimiento de los padres de familia, recomendará ante el consejo directivo la promoción anticipada al grado siguiente del estudian-te que demuestre un rendimiento superior en el desa-rrollo cognitivo, personal y social en el marco de las competencias básicas del grado que cursa. La deci-sión será consignada en el acta del consejo directivo y, si es positiva, en el registro escolar. Los estableci-mientos educativos deberán adoptar criterios y pro-cesos para facilitar la promoción al grado siguiente de aquellos estudiantes que no la obtuvieron en el año lectivo anterior.

Responsabilidades, derechos y deberes

El Decreto 1290 además de reglamentar la evalua-ción de los estudiantes, en sus artículos 9 a 15 define el papel de cada uno de los actores del proceso eva-luativo y especifica sus responsabilidades, derechos y deberes. A continuación se presentan algunos de ellos. Para una información más completa consulte www.colombiaaprende.edu.co

Artículo 9. Responsabilidades del Minis-terio de Educación Nacional. En cumplimiento de las funciones establecidas en la ley, el Ministerio de Educación Nacional debe:

1. Publicar información clara y oportuna sobre los resultados de las pruebas externas tanto interna-cionales como nacionales, de manera que sean un insumo para la construcción de los sistemas ins-titucionales de evaluación de los estudiantes y el mejoramiento de la calidad de la educación. (...)

4. Evaluar la efectividad de los diferentes sistemas institucionales de evaluación de los estudiantes.

Artículo 10. Responsabilidades de las se-cretarías de educación de las entidades territoriales certificadas. En cumplimiento de las funciones establecidas en la ley, la entidad territo-rial certificada debe:

1. Analizar los resultados de las pruebas externas de los establecimientos educativos de su jurisdicción y contrastarlos con los resultados de las evaluacio-nes de los sistemas institucionales de evaluación de los estudiantes. (...)

3. Trabajar en equipo con los directivos docentes de los establecimientos educativos de su jurisdicción para facilitar la divulgación e implementación de las disposiciones de este decreto.

4. Resolver las reclamaciones que se presenten con respecto a la movilidad de estudiantes entre esta-blecimientos educativos de su jurisdicción.


Artículo 11. Responsabilidades del esta-blecimiento educativo. En cumplimiento de las funciones establecidas en la ley, el establecimiento educativo, debe:

1. Definir, adoptar y divulgar el sistema institucional de evaluación de estudiantes, después de su apro-bación por el consejo académico.

2. Incorporar en el proyecto educativo institucional los criterios, procesos y procedimientos de evalua-ción; estrategias para la superación de debilidades y promoción de los estudiantes, definidos por el consejo directivo.

3. Realizar reuniones de docentes y directivos docen-tes para analizar, diseñar e implementar estrate-gias permanentes de evaluación y de apoyo para la superación de debilidades de los estudiantes y dar recomendaciones a estudiantes, padres de fa-milia y docentes.

4. Promover y mantener la interlocución con los pa-dres de familia y el estudiante, con el fin de pre-sentar los informes periódicos de evaluación, el plan de actividades de apoyo para la superación de las debilidades, y acordar los compromisos por parte de todos los involucrados. (...)

6. Atender los requerimientos de los padres de fami-lia y de los estudiantes, y programar reuniones con ellos cuando sea necesario.

7. A través del consejo directivo, servir de instancia para decidir sobre reclamaciones que presenten los estudiantes o sus padres de familia en relación con la evaluación o promoción.

8. Analizar periódicamente los informes de evalua-ción con el fin de identificar prácticas escolares que puedan estar afectando el desempeño de los estudiantes, e introducir las modificaciones que sean necesarias para mejorar.

9. Presentar a las pruebas censales del ICFES la tota-lidad de los estudiantes que se encuentren matri-culados en los grados evaluados, y colaborar con

este en los procesos de inscripción y aplicación de las pruebas, según se le requiera.

Artículo 12. Derechos del estudiante. El estudiante, para el mejor desarrollo de su proceso formativo, tiene derecho a:

1. Ser evaluado de manera integral en todos los as-pectos académicos, personales y sociales.

2. Conocer el sistema institucional de evaluación de los estudiantes: criterios, procedimientos e instru-mentos de evaluación y promoción desde el inicio de año escolar.

3. Conocer los resultados de los procesos de evaluación y recibir oportunamente las respuestas a las inquietu-des y solicitudes presentadas respecto a estas.

4. Recibir la asesoría y acompañamiento de los do-centes para superar sus debilidades en el apren-dizaje.

Artículo 13. Deberes del estudiante. El estudiante, para el mejor desarrollo de su proceso formativo, debe:

1. Cumplir con los compromisos académicos y de con-vivencia definidos por el establecimiento educativo.

2. Cumplir con las recomendaciones y compromisos adquiridos para la superación de sus debilidades.

Artículo 14. Derechos de los padres de familia. En el proceso formativo de sus hijos, los padres de familia tienen los siguientes derechos:

1. Conocer el sistema institucional de evaluación de los estudiantes: criterios, procedimientos e instru-mentos de evaluación y promoción desde el inicio de año escolar.

2. Acompañar el proceso evaluativo de los estudiantes.

3. Recibir los informes periódicos de evaluación.

4. Recibir oportunamente respuestas a las inquietu-des y solicitudes presentadas sobre el proceso de evaluación de sus hijos.

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Rectoría

Preescolar

Granja

Segundo

Primero

Informática

Tercero

según la medida desus lados

según la medida desus ángulos

según la medida desus ángulos



El colegio Los Pinares tiene diseños muy particulares. El siguiente es un plano de una parte del colegio.

100. Comprende el concepto de polígono. Escribe falso (F) o verdadero (V), según co-rresponda.

a) La línea que determina el camino desde la rectoría hasta el salón de primero es una línea poligonal cerrada. ( )

b) La figura de la granja mostrada en el plano es un polígono. ( )

c) La vista superior del salón de informática es un polígono cóncavo. ( )

d) La vista superior del salón de primero es un polígono irregular. ( )

e) El octágono de la vista superior de la rectoría está inscrito en una circunferencia. ( )

101. Halla la suma de los ángulos de un polígono. Determina cuánto suman los ángulos inter-nos de los polígonos que representan:

a) La rectoría

b) El salón de preescolar

c) El salón de segundo

d) El salón de informática

e) El salón de primero

102. Clasifica triángulos según la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos. Clasifica los triángulos de las vistas superi-ores de algunos salones de bachillerato del colegio, según se indica.

a)

b)

c)

d)

e

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Colegio:

Estudiante:

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Pensamiento numéricoMauricio y Antonio fueron de compras. A continuación aparecen las facturas de lo que compró cada uno.

Mauricio Antonio

Producto Cantidad Precio por unidad ($) Producto Cantidad Precio por unidad ($)Jean clásico 3 230 000 Pantalón paño 3 190 000

Camisa polo 2 45 000 Camisa clásica 4 93 000

Chaqueta 2 265 000 Chaqueta paño 1 320 000

Zapatos 1 199 999 Zapatos formales 2 225 000

Pantalón cargo 3 150 000 Pantalón deportivo 2 95 999

Camiseta blanca 7 18 500 Camiseta blanca 6 18 500

1. Comprende el significado de la adición, iden-tifica sus términos y aplica su algoritmo. Determina el valor de compra en cada caso.

a) Un jean clásico y un pantalón deportivo

b) Una camisa polo y unos zapatos formales

c) Un pantalón clásico, un pantalón de paño y una chaqueta de paño

d) Un pantalón cargo, una camiseta blanca y una chaqueta de paño

e) Un pantalón deportivo y una camisa polo

2. Realiza operaciones combinadas entre núme-ros naturales. Determina el costo total en cada caso.

a) El precio de dos jeans clásicos y tres chaque-tas menos el de una camisa clásica

b) El precio de tres jeans menos el de dos cami-setas blancas

c) El precio de tres pantalones de paño más el de cuatro camisas clásicas

d) El precio de tres camisetas blancas y tres pantalones cargo menos el de una camisa clásica

e) El precio de la compra total de Mauricio me-nos el de la compra de Antonio

3. Halla el producto entre dos números naturales. Determina cuánto pagó Mauricio por:

a) Los tres jeans clásicos

b) Las dos camisas polo

c) Las dos chaquetas

d) Los tres pantalones cargo

e) Las siete camisetas blancas

4. Comprende el significado de la división, apli-ca el algoritmo y distingue sus términos. En el almacén los clientes pueden pagar por cuotas. Determina el valor de cada cuota si:

a) Mauricio paga la cuenta en ocho cuotas.

b) Antonio paga la cuenta en cuatro cuotas.

c) Antonio paga la cuenta en doce cuotas.

d) Mauricio paga la cuenta en 20 cuotas.

e) Antonio paga la cuenta en quince cuotas.

Evaluaciones 1290

Artículo 15. Deberes de los padres de fa-milia. De conformidad con las normas vigentes, los padres de familia deben:

1. Participar, a través de las instancias del gobierno escolar, en la definición de criterios y procedimien-tos de la evaluación del aprendizaje de los estu-diantes y promoción escolar.

2. Realizar seguimiento permanente al proceso eva-luativo de sus hijos.

3. Analizar los informes periódicos de evaluación.

Procedimientos administrativos para la aplicación del Decreto 1290

Se presenta en los artículos 16 a 19.

Artículo 16. Registro escolar. Los estableci-mientos educativos deben llevar un registro actuali-zado de los estudiantes que contenga, además de los datos de identificación personal, el informe de valora-ción por grados y el estado de la evaluación.

Artículo 17. Constancias de desempeño. El establecimiento educativo, a solicitud del padre de familia, debe emitir constancias de desempeño de cada grado cursado, en las que se consignarán los resultados de los informes periódicos.

Cuando la constancia de desempeño reporte que el estudiante ha sido promovido al siguiente grado y se traslade de un establecimiento educativo a otro, será matriculado en el grado al que fue promovido según el reporte. Si el establecimiento educativo receptor, a través de una evaluación diagnóstica, considera que el estudiante necesita procesos de apoyo para estar acorde con las exigencias académicas del nuevo cur-so, debe implementarlos.

Artículo 18. Graduación. Los estudiantes que culminen la educación media obtendrán el título de Bachiller Académico o Técnico, cuando hayan cumpli-do con todos los requisitos de promoción. (...)

la evaluación en aprender juntosTeniendo en cuenta lo dispuesto en el Decreto 1290 ampliamente expuesto, el proyecto Aprender Juntos Matemáticas ofrece una completa propuesta de eva-luación. Esta se caracteriza por ser flexible, dinámica y ajustarse fácilmente a las diferentes necesidades cu-rriculares de las instituciones y de los docentes.

El docente encuentra un menú muy completo de ac-tividades que puede organizar de diferentes formas según sus necesidades e intenciones:

1. Conjunto de actividades organizadas según la secuen-cia didáctica y metodológica presentada en el libro.

2. Conjunto de actividades para cada uno de los es-tándares sugeridos por el MEN, que puede organi-zar según la secuencia didáctica y metodología que el docente sigue en la clase.

3. Conjunto de actividades clasificadas según su nivel: básico, intermedio y avanzado.

4. Actividades que puede emplear para la evaluación, el refuerzo o la recuperación.

5. Conjunto de actividades que dan un reporte cuanti-tativo. Pueden ser medibles de 1 a 5.

6. Actividades con criterios particulares de evaluación los cuales se presentan en la hoja de soluciones y permiten un registro cuantitativo de 1 a 5.


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Colegio:

Estudiante:

Pensamiento numéricoLa noticia de que la excursión sería en Buenos Aires cayó muy bien entre los estudiantes de 11.º grado. Para viajar, deben aportar cuotas semanales de la siguiente forma: la primera $ 12 000 y las siguientes3

20 partes más que la inmediatamente anterior. Además participar en las actividades programadas para

recaudar los $ 4,52 millones de pesos que cuesta el pasaje y la estadía de cada uno de los 26 estudiantes del curso.

1. Halla el producto entre dos números racionales.Calcula la cantidad acumulada por cada estudiante en los tiempos que se indican.

a) En la segunda semana d) En la quinta semana

b) En la tercera semana e) En la sexta semana

c) En la cuarta semana

2. Establece la relación de orden entre dos expresiones decimales.

Compara las cantidades que llevará cada pareja de estudiantes para los gastos adicionales y escribeen el cuadro o según corresponda.

a) Julián 0,74 millones Juan 0,735 millones

b) Daniela 0,565 millones Andrés 0,57 millones

c) Camila 1,05 millones Daniel 1,1 millones

d) Antonio 0,84 millones Carlos 0,8 millones

e) Laura 1,205 millones Santiago 1,25 millones.

3. Halla la diferencia entre dos números enteros.Escribe el número entero que representa la cantidad de dinero obtenida en algunas de las actividades.

a) En la rifa de un televisor invirtieron $ 1 600 000 y recaudaron $ 2 540 000.

b) En un bazar invirtieron $ 12 652 000 y recaudaron apenas $ 11 563 000.

c) En una fiesta invirtieron $ 5 200 000 y recaudaron $ 6 352 000.

d) En un jean day invirtieron $ 240 000 y recaudaron $ 560 000.

e) En un paseo invirtieron $ 3 500 000 y recaudaron $ 6 532 000.

4. Halla la expresión decimal de un número racional.Halla el número decimal que representa la fracción del total del dinero reunido, en cierto momento,por algunos estudiantes.

a) Daniela, 35

partes. c) Daniel, 1516

partes. e) Santiago, 68

partes.

b) Andrés, 615

partes. d) Laura, 716

partes.

Evaluaciones 1290


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5. Realiza operaciones combinadas entre números enteros. Calcula el dinero aportado por cada uno de los siguientes estudiantes.

a) Camilo pagó dos cuotas de $ 25 000, tres de $ 34 000 y tres de $ 33 400.

b) Katherine pagó tres cuotas de $ 52 000, cuatro de $ 32 000 y tuvo que pedir al profesor que le regresara $ 25 000.

c) Sergio pagó tres cuotas de $ 34 500, cinco de $ 43 000 y pidió al profesor que le regresara $ 32 000.

d) Catalina pagó cuatro cuotas de $ 32 500, una de $ 125 000 y dos de $ 47 500.

e) Felipe pagó una cuota de $ 34 000, tres cuotas de $ 56 700 y seis de $ 23 000.

6. Suma números racionales. Escribe la fracción del total que les falta por pagar a otros estudiantes, de acuerdo con la siguiente tabla.

César Alejandro María Carolina Sebastián

Cuota 1 15

15

25

15

25

Cuota 2 13

15

14

16

25

Cuota 3 38

38

18

25

18

Fracción faltante

7. Calcula una potencia de base entera y exponente natural. En Buenos Aires, algunos estudiantes fueron llevados a practicar paracaidismo, y otros espeleología (hacer recorridos subterráneos). Santiago, quien fue a la segunda actividad, llegó a tres metros de profundidad (23 m). Halla la posición de cada estudiante respecto a la superficie.

a) Daniela está a una profundidad igual al cubo de la que se encuentra Santiago.

b) Felipe está practicando paracaidismo a una altura igual a la cuarta potencia de la profundidad a la que se encuentra Santiago.

c) Andrés está a una profundidad igual al cuadrado de la que se encuentra Santiago.

d) Camila está a una altura igual a la quinta potencia de la profundidad a la que se encuentra Santiago.

e) Daniel está a una altura igual al cuadrado de la que se encuentra Daniela.

8. Plantea y resuelve ecuaciones aditivas y multiplicativas. Completa cada frase de acuerdo con la información.

a) Sebastián pagó $ 172 000 por una camiseta y una escultura. Si la camiseta le costó $ 95 000, el precio de la escultura fue $____________.

b) Santiago compró un disco y un sombrero por $ 216 000. Si el sombrero costó el doble que el disco, por el sombrero pagó $____________.

c) Daniela compró dos afiches de igual precio y un balón por $ 220 000. Si el balón costó $ 150 000, el precio de cada afiche es $____________

d) Juan pagó $ 160 000 por un libro de cocina argentina y dos artesanías. Si por cada artesanía pagó $ 46 000, el libro le costó $___________

e) Laura compró doce postales y dos cajas de chocolates por $ 150 000. Si por cada caja de chocolates pagó $ 45 000, una postal costó $_________.


10 2

10 2

10 2

10 2

10 2

La inversión en finca raíz consiste en comprar y remodelar inmuebles (casas, apartamentos, bodegas, etc.) para luego venderlos a un precio más elevado y ganar la diferencia sobre la venta.

Laura, una empresaria, decidió incursionar en esta modalidad de negocios. Como no quiere correr riesgos solo invirtió las 3

5 partes de sus ahorros en la compra de cuatro propiedades en diferentes partes de la ciudad. Distribuyó así el dinero invertido:

PropiedadApartamento

conjunto Los Sauces

Apartamento conjunto

El Porvenir

Casa conjunto Los Pinos

Casa barrio Las Flores

Parte de dinero invertido

13

15

1575

415

9. Comprende el concepto de fracción. Escribe falso (F) o verdadero (V), según corresponda:

a) El apartamento de Los Sauces fue menos cos-toso que el de El Porvenir.

b) El apartamento de El Porvenir costó lo mismo que la casa de Los Pinos.

c) De las cuatro propiedades, la casa de Las Flores fue la más costosa.

d) De las cuatro propiedades, la menos costosa fue la casa de Las Flores.

e) El apartamento del conjunto los Sauces costó lo mismo que el de Las Flores.

10. Realiza adiciones entre fracciones. Calcula qué fracción del total del dinero invertido representa la suma de las partes invertidas en la compra de cada par de propiedades.

a) Apartamento de Los Sauces y apartamento de El Porvenir

b) Apartamento de Los Sauces y casa de Los Pinos

c) Casa de Los Pinos y casa de Las flores

d) Casa de Las Flores y apartamento de los Sauces

e) Apartamento de El Porvenir y casa de Los Pinos

11. Halla la expresión decimal de un número racional. Ayuda a Laura a encontrar la expresión decimal de los números racionales que representan sus inver-siones.

a) 13

b) 15

c) 1575

d) 4

15

e) 35

12. Representa números racionales en la recta numérica. Laura quiere representar sus inversiones en una recta numérica. Ayúdale.

a) 13

b) 35

c) 15

d) 1575

e) 4

15


104 105 106103

0

0

0

0

0

13. Aproxima números irracionales.El apartamento de Los Sauces, cuenta adicionalmente con una bodega de 7 m2 de área, por tanto mide 2,645751311 m de lado. Aproxima esta medida, según se indica.

a) A seis cifras decimales.

b) A cinco cifras decimales.

c) A tres cifras decimales.

d) A dos cifras decimales.

e) A una cifra decimal.

14. Realiza operaciones con fracciones.Si en total Laura tenía $ 1 250 000 000 en su cuenta de ahorros:

a) ¿Cuánto pagó por el apartamento de los Sauces?

b) ¿Cuánto pagó por el apartamento de El Porvenir?

c) ¿Cuánto pagó por la casa de Los Pinos?

d) ¿Cuánto pagó por la casa de Las Flores?

e) ¿Cuál fue la cantidad de dinero que no invirtió en finca raíz?

15. Ordena números reales.Las propiedades compradas por Laura tienen áreas muy parecidas, sin embargo su precio depende de su ubi-cación. Estas áreas son 105,16 m2, 103,85 m2, 105,025 m2, 105,5 m2, respectivamente. Ubica en la recta numéri-ca los números que representan estas áreas, luego ordénalos de menor a mayor.

16. Representa intervalos en la recta numérica.Laura hizo un presupuesto para remodelar cada inmueble. Representa en la recta los intervalos dados.

a) Para el apartamento de Los Sauces invertirá entre $ 9,3 millones y $ 11 millones.

b) Para el apartamento de El Porvenir invertirá entre $ 6 millones y $ 10,5 millones.

c) Para la casa de Los Pinos invertirá entre $ 7,2 millones y $ 18 millones.

d) Para la casa de Las Flores invertirá entre $ 12,6 millones y $ 15,9 millones.

e) En total invertirá como mínimo $ 35,1 millones y como máximo $ 55,4 millones.


Tras la muerte de don Roberto, sus herederos fueron citados para la repartición de los bienes, entre los que se contaban casas, fincas, acciones de algunas empresas, y desde luego mucho dinero que el ganadero había ahorrado durante toda su vida.

El interés estaba centrado en cómo se repartiría ese dinero, cuyo monto era la suma de US 187 562, de la siguiente manera.

Nombre del heredero Parte de la herencia que recibió

David15

Daniela1

10

María12

Alejandra340

Jaime18

17. Halla la diferencia entre números reales. Calcula la diferencia, en dólares, de la herencia recibida por cada pareja de personas.

a) David y Daniela

b) Daniela y María

c) Alejandra y Jaime

d) Jaime y David

e) Alejandra y David

18. Halla la suma de dos números reales.

Además del dinero, cada heredero recibió una de las fincas que dejó don Roberto. La de David tenía un área de

2 5 km2; la de Daniela, 3 52

km2; la de María, 52

km2; la de Alejandra, 2 3 km2 ,y la de Jaime 3 3 km2. Calcula el

área que resultaría de unir las fincas de:

a) David y Daniela

b) Daniela y María

c) Jaime y David

d) Alejandra y Jaime

e) David y María


19. Halla el cociente de dos números reales.Calcula en metros cuadrados las siguientes medidas:

a) La mitad del área de la finca de David

b) La tercera parte del área de la finca de Daniela

c) La mitad del área de la finca de Jaime

d) La cuarta parte del área de la finca de Alejandra

e) La quinta parte del área de la finca de María

20. Calcula la potencia de un número real.Cada heredero decidió invertir una parte de la he-rencia en diferentes bancos. Según la fórmula de capitalización continua, si se invierte una cantidad P a una tasa nominal de interés anual R durante un tiempo de N años, el valor que se tendrá después de ese tiempo es PeiN, donde i 5 R

100. Calcula el

valor final para cada situación (usa el valor dee 5 2,718281828... aproximado al primer decimal).

a) David invirtió US 1 000, con un interésde R = 20% a 10 años.

b) Daniela invirtió US 200, con un interésde R 5 25% y a 8 años.

c) Jaime invirtió US 150, con un interésde R 5 10% a 20 años.

d) María invirtió US 300, con un interésde R 5 40% a 5 años.

e) Alejandra invirtió US 500, con un interésde R 5 8% a 25 años.

21. Calcula la raíz de un número real.Halla la medida del frente de cada uno de los lotes, de forma cuadrada, recibidos por los herederos.

a) David recibió un lote de 144 m2 de área.

b) Daniela recibió un lote de 240,25 m2 de área.

c) María recibió un lote de 148,84 m2 de área.

d) Alejandra recibió un lote de 169 m2 de área.

e) Jaime recibió un lote de 256 m2 de área.

22. Halla el producto de dos números reales.Los herederos invirtieron otra parte de su dinero en negocios personales que multiplicaron su inver-sión inicial. Calcula la cantidad que cada uno tiene al final.

a) David invirtió US 1 250 y multiplicó 3,65 veces la inversión.

b) Daniela invirtió US 865,6 y multiplicó 2,5 veces su inversión.

c) Jaime invirtió US 645,2 y multiplicó 1,5 veces su inversión.

d) Alejandra invirtió US 550 y multiplicó 2,3 veces su inversión.

e) María invirtió US 450 y multiplicó 1,25 veces su inversión.

23. Expresa cantidades en notación científica.Expresa las siguientes áreas en centímetros cua-drados (ten en cuenta que 1 m2 5 10 000 cm2).

a) 144 m2 5 1,44 10 cm2

b) 240,25 m2 5 2,4025 10 cm2

c) 148,84 m2 5 14,884 10 cm2

d) 169 m2 5 1,69 10 cm2

e) 256 m2 5 2,56 10 cm2

24. Multiplica cantidades expresadas en notación científica.Realiza las siguientes operaciones.

a) (2 105) (3,2 104)

b) (1,2 107) (2,5 102)

c) (4 106) (2,5 105)

d) (5 102) (3,1 104)

e) (3,1 105) (2 105)


316

2 pulgada 18

4 pulgada

14

46

?

pulgada

517

2 pulgada 18

4 pulgada

38

46

?

pulgada

517

2 pulgada 18

4 pulgada

13

47

?

pulgada

516

2 pulgada 18

4 pulgada

35

46

?

pulgada

717

2 pulgada 18

4 pulgada

18

47

?

pulgada

316

2 pulgada 18

4 pulgada

14

46

?

pulgada

517

2 pulgada 18

4 pulgada

38

46

?

pulgada

517

2 pulgada 18

4 pulgada

13

47

?

pulgada

516

2 pulgada 18

4 pulgada

35

46

?

pulgada

717

2 pulgada 18

4 pulgada

18

47

?

pulgada

Hace aproximadamente 3 000 años se realizan las justas deportivas más importantes para la humanidad, se trata de los juegos olímpicos. Estos empezaron a disputarse hacia el año 776 a. C. en la ciudad griega de Olimpia. Los juegos olímpicos modernos se iniciaron en 1896 en Atenas gracias al Barón de Coubertin, y desde entonces se realizan cada cuatro años con muy pocas excepciones (I y II guerra mundial).

Los juegos congregan a los mejores deportistas de cada país, quienes buscan conseguir la medalla de oro y de ser posible superar récords mundiales.

25. Halla el producto de dos números reales. El radio r del disco utilizado en el lanzamiento de disco, tiene unas medidas reglamentarias. Para hombres entre 8,6 y 8,8 pulgadas y para mujeres entre 7 y 7,2 pulgadas.

Halla, en pulgadas, la longitud de la circunferencia de los discos cuyo radio se da a continuación, si se toma p 5 3,14.

a) r 5 8,62205 pulgadas d) r 5 7,16535 pulgadas

b) r 5 8,70079 pulgadas e) r 5 7,17526 pulgadas

c) r 5 7,08661 pulgadas

26. Calcula la potencia de un número real. En el lanzamiento de martillo, se arroja una esfera metálica cuyo peso mínimo es de 7,26 kg. Halla el volumen de un martillo cuyo diámetro es:

a) 112 mm

b) 114 mm

c) 117 mm

d) 120 mm

e) 132 mm

27. Realiza operaciones con números racionales. En el lanzamiento de martillo, la esfera está atada por un cable de acero de 3 mm de diámetro. Calcula, en pulgadas, la medida del cable, en cada caso.

a) d)

b) e)

c)


Pensamiento variacionalAndrea desea invertir sus ahorros en una empresa, donde le prometen que por cada $ 50 que invierta obtendrá una ganancia mensual de $ 3. Es decir que la razón entre las ganancias y la cantidad invertida es de 3 a 50.

28. Establece razones equivalentes a una dada. Señala cuáles de estas razones son y cuáles no son equivalentes a la razón dada:

a) 6100

b) 451

c) 116

d) 12200

e) 18300

29. Aplica la propiedad fundamental de las propor-ciones en la resolución de problemas. Encuentra la cantidad ganada por Andrea en un mes, si invierte:

a) $ 2 500 000

b) $ 3 200 000

c) $ 4 520 000

d) $ 4 890 000

e) $ 4 952 000

30. Calcula el tanto por ciento de una cantidad dada. Andrea invirtió su dinero en un banco que ofrece un rendimiento del 2,5% mensual. Halla la ganancia ob-tenida en el primer mes, si la inversión es de:

a) $ 2 500 000

b) $ 3 200 000

c) $ 4 520 000

d) $ 4 890 000

e) $ 4 952 000

31. Utiliza la regla de tres simple para resolver prob-lemas de aplicación. Andrea sabe que por cada tres días de trabajo puede ahorrar $ 157 800, y por cada cinco días, $ 263 000. Completa la siguiente tabla, si se sabe que el tiempo y la cantidad de dinero son magni-tudes directamente proporcionales.

Días trabajados Cantidad ahorrada

3 $ 157 800

5 $ 263 000

4

6

7

8

12

32. Reconoce magnitudes inversamente proporcionales. Juan Diego, decidió que entre más dinero pueda ahorrar al día, menos gastará en cosas innecesarias. Así, si ahorra $ 52 000 gastará $ 12 000, y si ahorra $ 75 000 podrá gastar $ 8 320. Completa la siguiente tabla de acuerdo con la información.

Cantidad ahorrada Gastos innecesarios

$ 52 000 $ 12 000

$ 75 000 $ 8 320

$ 24 960

$ 1 200

$ 3 200

$ 130 000

$ 65 000

33. Aplica la regla de tres compuesta para resolver problemas. En el fondo de empleados de una empresa se sabe que para reunir $ 10 millones, cinco empleados deben aportar dinero por ocho meses. Completa la siguiente tabla con base en la información.

Ahorro (en millones)

Número de empleados Tiempo (meses)

10 5 8

20 16

15 10

18 8

12 12

10 4


Dos años después de haber abierto una empresa de software los informes tanto de producción como de ventas e inversión reflejan los buenos tiempos por los que está pasando. La cantidad de empleados es quince más que el doble de los que trabajaron durante el primer año, y cada uno de los empleados del área de producción gana 2

5 más del sueldo con el que empezó, más una bonificación de $ 45 000 semanales a aquellos con el mejor desempeño. Los ingresos del primer año, en cientos de dólares, es-taban dados por la expresión 2x2 1 50x 1 100 con x igual al número de empleados en producción; mien-tras que, en el segundo año, la empresa obtuvo ingresos dados por 3x2 1 120x 1 150.

34. Identifica las características de una expresión al-gebraica. Encuentra las expresiones algebraicas que repre-sentan la cantidad (x) de empleados en cada caso.

a) En el segundo año.

b) En el tercer año se aumenta en doce el número de empleados con relación al segundo año.

c) En el cuarto año se despiden cuatro empleados y no se contrata ninguno.

d) En el quinto la cantidad de empleados es el doble con respecto al segundo año.

e) En el sexto año se despiden siete empleados y se contratan tres.

35. Halla el valor numérico de una expresión algebrai-ca. Calcula los ingresos de la empresa en el primer año, suponiendo que la empresa tenía:

a) 20 empleados

b) 25 empleados

c) 27 empleados

d) 30 empleados

e) 35 empleados

36. Usa lenguaje algebraico. Determina la expresión algebraica que representa la situación en cada caso, si se toma y como el sueldo que tuvo un empleado durante el segundo año y éste recibió:

a) La bonificación de una semana.

b) Una bonificación de dos semanas.

c) Una bonificación de tres semanas.

d) Siete veces el sueldo de un mes más una bonifi-cación de $ 150 000.

e) El sueldo de un mes menos un descuento de $ 35 000.

37. Identifica y reduce términos semejantes en un polinomio. Simplifica las expresiones que representan las utili-dades de algunas inversiones de la empresa en:

a) Empresas electrificadoras: 5x4 1 2xy 2 3x4 1 6xy21 3x 2 12xy

b) Empresas de hardware: 6x4 2 xy 2 3x4 1 6x2y2 1 3x 2 12x2y 1 xy

c) Empresas de diseño: 4x4 1 xy2 2 3x4 1 6xy 1 3x 2 12xy 1 xy2

d) Empresas de programación: x3 1 12xy 2 x3z 1 6xy2 1 3xz3 2 2xy 2 2xz3

e) Empresas de publicidad: 12x2y 2 xz3 1 xy2 1 3xz3 2 10x2y 2 2xz3

38. Encuentra el producto de dos polinomios. Determina el área que ocupan las bodegas de la empresa, de las cuales se conocen las dimensiones de su base rectangular.

a) (2x 1 3y) m de ancho y (2x 1 5y 2 3) m de largo

b) (6x 1 4y) m de ancho y (2x 1 y 1 1) m de largo

c) (12x 1 3y) m de ancho y (2x 1 5y 2 2) m de largo

d) (5x 1 5y) m de ancho y (5x 1 3y) m de largo

e) (8x 1 3y) m de ancho y (12x 1 3y 2 5) m de largo


(2x � y)

(2x � y)

(3x � 2y) (x � 2y)

(x � 2y)(3x � 2y)

(4x � 2y)

(4x � 2y)

(x � 3)

(x � 6)

39. Halla la diferencia entre dos polinomios. En un informe contable aparecen detalladas las expresiones que representan los ingresos y los egresos mensuales de la empresa, en miles de dólares (x es la cantidad de materia prima). Completa la tabla, si se sabe que la utilidad es la diferencia entre los egresos y los ingresos.

Mes Egresos Ingresos Utilidad

Enero x2 1 3x2 2 2x 1 3 2x3 1 6x2 1 x 2 6

Febrero 12x2 1 2x 1 32 x3 1 12x2 1 320

Marzo 3x3 2 3x2 1 2x 1 3 11x3 1 x2 2 2x

Abril 3x3 1 x2 2 x 14x3 1 x2 1 23

Mayo x3 1 x2 2 x 1 12 15x3 1 x2 1 20x 1 3

40. Calcula productos notables sin aplicar el algoritmo de la multiplicación. En la empresa se construyeron varios parqueaderos cuyas dimensiones se dan a continuación. Halla el área de cada uno sin realizar la multiplicación.

a) b) c)

d) e)

41. Reconoce productos notables. Relaciona cada producto notable que representa las utilidades de algunas inversiones con su respectivo resultado.

a) (x 1 3)2 ( ) x3 2 3x2 1 3x 2 1

b) (x 2 2)(x 1 2) ( ) x2 2 4

c) (x 1 3)(x 2 4) ( ) 9x2 2 4

d) (x 2 1)3 ( ) x2 1 6x 1 9

e) (3x 2 2)(3x 1 2) ( ) x2 2 x 2 12


h � (2x � 2) m h � (3x � 2) m

h � (x � 6) m h � (3x � 1) m

h � (2x � 3) m

42. Encuentra el cociente entre dos polinomios. Las bodegas en las que se realiza la producción, también están diseñadas de acuerdo con ciertas especifica-ciones. Halla el área de la base de cada bodega en términos de x, si se conoce el volumen ocupado por cada una.

a) b)

V 5 (2x3 1 4x2 2 2x 2 4) m3 V 5 (3x3 1 7x2 2 6x) m3

Ab 5 Ab 5

c) d)

V 5 (2x2 2 10x 2 12) m3 V 5 (3x3 1 8x2 2 3x) m3

Ab 5 Ab 5

e)

V 5 (2x3 1 7x2 2 15x) m3

Ab 5

43. Encuentra el cociente entre un polinomio y un monomio. El área de la base de algunas bodegas depende de x. Calcula la medida del largo de cada base, dados su área (A) y su ancho (a).

a) A 5 6x2 1 2x 2 6 a 5 3x

b) A 5 x3 1 2x2 2 4x a 5 2x

c) A 5 4x3 1 3x2 a 5 4x

d) A 5 3x6 1 4x4 1 6x a 5 x2

e) A 5 5x4 1 2x2 1 15

x a 5 52

x2

44. Emplea la división sintética para agilizar el cálculo de ciertos cocientes entre polinomios. Calcula la producción de cada máquina, si se da la producción total y el número de máquinas. Ten en cuenta que todas las máquinas producen lo mismo.

Producción total Cantidad de máquinas

a) (x3 1 4x2 1 9x 1 10) (x 1 2)

b) (x4 1 3x3 1 5x2 2 2x 2 5) (x 1 1)

c) (x4 1 4x3 1 3x2 2 x 2 1) (x 1 1)

d) (x4 1 6x3 2 14x2 2 4x) (x 2 2)

e) (3x5 2 4x4 1 x3 2 2x2 1 3x 2 1) (x 2 1)


45. Emplea el teorema del residuo para calcular residuos en la división de polinomios. La empresa entrega bonos en dinero a sus mejores empleados. Para esto dispone de una cantidad de dinero dada por la expresión 3x3 1 2x2 2 6x 1 200 dólares. Cuánto dinero sobrará si la cantidad x de empleados premiados:

a) Aumenta en dos. d) Disminuye en tres.

b) Disminuye en dos. e) Aumenta en uno.

c) Aumenta en tres.

46. Reconoce las raíces de un polinomio. La ganancia por la venta de cada uno de los software que vende la empresa depende del precio de venta x. En cada caso, relaciona el precio de venta con el que la ganancia es cero.

Ganancia Precio de venta

a) x2 2 117x 2 360 1. x 5 70

b) x2 2 78x 2 160 2. x 5 120

c) x2 2 4 900 3. x 5 80

d) 3x2 2 298x 2 200 4. x 5 60

e) x2 2 3 600 5. x 5 100

47. Emplea reglas de cocientes notables para agilizar cálculos de cocientes. La capacidad de algunas bodegas está dada por las siguientes expresiones. Halla el polinomio equivalente a cada una.

a) x yx y

4 4�

�

b) xx

3 273

�

�

c) x

x

4 2564

�

�

d) xx

5 322

�

�

e) xx

2 22515

�

�

48. Comprende y aplica el teorema fundamental del álgebra. La ganancia de algunos productos de la empresa se describe a partir de expresiones algebraicas. Completa la tabla determinando el número de raíces que tiene como máximo cada polinomio.

Polinomio Número de raíces

x3 1 2x 2 1

x4 1 2x3 2 1

x2 1 2x 2 1

x4 1 2x3 2 x

x2 1 12x 2 5


6x

4x4x

2x

y

y 2

v2

v2

6x

xz xz

xz

v2

2x

3z6x

4z2y 2

2x

2x

Los científicos y expertos de diferentes áreas del conocimiento suelen describir fenómenos usando las matemáticas. Es así como los econometristas, por ejemplo, tratan de describir los precios del petróleo mediante diferentes fórmulas que rela-cionan variables como el tiempo, el PIB (producto interno bruto), la inflación, etc.

49. Factoriza polinomios por agrupación de térmi-nos. Francisco, un econometrista, determinó algunas fórmulas según las cuales el precio del petróleo se puede describir usando diferentes variables. Halla la expresión factorizada de cada una.

a) x 1 t 1 x3 1 tx2 1 2t3 1 2xt2

b) 12a 2 5az 1 24b 2 10bz

c) 6px 1 9pz 2 3py 1 4ix 1 6iz 2 2iy

d) 6px 1 4pt 2 12pz 1 9x 1 6t 2 18z

e) 38p 2 14pt 1 52m 2 21mt

50. Factoriza la diferencia de cuadrados perfectos. Juan Diego, quien hace consultoría en la misma empresa, difiere de la opinión de Francisco y determinó otras expresiones. Halla la expresión factorizada en cada caso.

a) 2581

x2y4 2 t4

b) 14

2 121x4t6

c) 16(x 1 t)2 2 116

(p 1 i)2

d) 225x4y2 2 164

t2

e) 14

x2n 2 36y2m

51. Reconoce polinomios factorizables. El crecimiento de la población de algunos tipos de bacteria se puede expresar en términos del tiempo (x) y la temperatura (y). Identifica cuáles de las expresiones del crecimiento de bacterias son facto-rizables y cuáles no.

a) Salmonella: x5 1 2y2 1 2x

b) Colibacilo: 4x2 1 12xy 1 9y2

c) Leptspora: 36x2 1 60xy 1 25y

d) Treponema: 4x3 1 2x2y 1 2xy

e) Pseudomona fluorescens: 127

x6 1 216y9

52. Factoriza la suma o la diferencia de cubos perfectos. Para buscar diseños óptimos de algunas edifica-ciones, algunos ingenieros han determinado algu-nas expresiones de acuerdo con las medidas de las oficinas, los apartamentos y los consultorios que se vayan a construir. Factoriza el polinomio que representa el espacio ocupado por cada diseño.

a) b)

c) d)

e)


53. Reconoce trinomios cuadrados perfectos. Las dosis de medicamento que recomiendan los farmaceutas están medidas en miligramos y dependen de la edad del paciente (x) y de su peso en kilogramos (y). Determina cuáles de las expresiones de dosis de los medi-camentos son trinomios cuadrados perfectos.

a) 6x2 1 24xy 1 8y2 d) 49x2 1 98xy 1 49y4

b) 64x2 1 144xy2 1 81y4 e) 9x6y2 2 12x3yz2 2 4z4

c) 136

x6 1 2x3y2 1 36y4

54. Factoriza trinomios cuadrados perfectos. Carolina desarrolló expresiones que describen el nivel de mortalidad de la población de algunos países de acuerdo con el tiempo (y) y con el nivel de ingresos promedio (x) de sus habitantes. Relaciona la expresión de mortalidad con su respectiva expresión factorizada.

a) 81x2 2 54xy 1 9t2 ( ) 12

632

x y�

b) 436

x4 1 103

x2y2 1 25y4 ( ) (2xy 1 9)2

c) 4x2y2 1 36xy 1 81 ( ) 25

12

22

x y �

d) 14

x6 2 6x3y 1 36y2 ( ) (9x 2 3y)2

e) 425

x4y2 1 25

x2y 1 14

( ) 13

52 22

x y�

55. Factoriza trinomios de la forma x2n 1 bxn 1 c. Las utilidades de ciertas empresas se pueden expresar a partir de la cantidad invertida en materia prima me-diante fórmulas matemáticas. Factoriza las expresiones de utilidad de cada empresa.

a) Electrodomésticos Rocha: x6 2 9x3 2 90 d) Mediclin: x6 1 2x3 2 15

b) Constructora ICA S.A.: x8 1 9x4 1 18 e) AcroFarm: x8 1 27x4 2 160

c) Industrias ARGO LTDA.: x6 1 11x3 1 30

56. Factoriza trinomios de la forma ax2n 1 bxn 1 c. En la empresa avícola se determinó que la cantidad de alimento que se le da a los pollos depende de la edad de los mismos. Factoriza las expresiones de cantidad de alimento en cinco diferentes empresas.

a) 5x4 2 37x2 2 24 d) 2x4 2 11x 2 21

b) 7x2 1 37x 1 10 e) 3x6 2 11x3 1 10

c) 3x2 2 26x 1 48

57. Aplica diferentes casos de factorización. Según un grupo de biólogos, el tiempo exacto de incubación de los huevos de diferentes aves depende de la temperatura a la que se encuentren. Halla la expresión factorizada del tiempo de incubación.

a) x3 2 4x d) x4 2 x3 2 x2 1 x

b) 4x4 1 12x3y 1 9x2y2 e) 6x4 2 6x2y2 1 4x3 2 4xy2

c) y(x3 1 1) 1 3xy(x 1 1)


Las expresiones matemáticas que determinan los expertos de las diferentes áreas muestran cómo un fenómeno puede tomar valores de acuerdo con otros valores que tomen las variables de las cuales estos dependen.

58. Halla el valor numérico de una fracción algebraica.

Un econometrista determinó que el comportamiento del precio aproximado de las acciones de

una empresa en la bolsa de valores mediante la expresión x x

x

2

210

1

� �

�, donde x es el valor de las

tasas de interés. Halla el valor de una acción cuando las tasas de interés están en:

a) x 5 2 d) x 5 3

b) x 5 1 e) x 5 2,3

c) x 5 2,5

59. Identifica los valores que hacen indeterminado el valor numérico de una fracción algebraica.

Cierto producto recién lanzado al mercado genera utilidades dadas por la fórmula x x

x

2

21200 350 000

1350 350 000

� �

� � ,

donde x es el precio de venta del producto. Completa las siguientes frases escribiendo Determinado

o Indeterminado, según corresponda.

a) Cuando el producto se vende en $ 1 000, la expresión tiene un valor ___________.

b) Cuando el producto se vende en $ 400, la expresión tiene un valor ___________.

c) Cuando el producto se vende en $ 250, la expresión tiene un valor ___________.

d) Cuando el producto se vende en $ 350, la expresión tiene un valor ___________.

e) Cuando el producto se vende en $ 700, la expresión tiene un valor ___________.

60. Halla fracciones algebraicas equivalentes a una fracción dada. En una compañía aseguradora se determinan las cuotas de acuerdo con las características de las empresas que paguen el seguro y están dadas por la cantidad de empleados que estas tengan. Escribe en el espacio el nombre de la empresa a la cual corresponde cada expresión equivalente.

a) ColTelas: 2 75 175

2 7 5

2

2x x

x x

� �

� � 1. x x

x

2 3 93

� �

�

b) AgroCol: x

x x

2

29

6 9

�

� � 2. x

x�

�

66

c) Dimco: x

x x

3

227

6 9

�

� � 3.

xx�

�

351

d) Asomédicos: x

x x

2

236

12 36

�

� � 4. x

x�

�

33

e) Servicarga: 4 46 60

4 9

2

2x x

x

� �

� 5. 2 10

2 3( )x

x�

�


61. Halla la diferencia entre dos fracciones algebraicas. Para algunas empresas, la utilidad neta se mide cal-culando la diferencia entre los ingresos y los egresos. Halla las utilidades en los siguientes casos.

Ingresos Egresos Utilidades

673

xx �

3 2

73x

x

�

�

3 11

2 7 32x

x x

�

� �

xx

�

�

23

x

x

�

�

6

127

1x

x �

62 12x

x x� �

xx

�

�

12

xx

2 12 4

�

�

3 22

xx

�

�

62. Halla el producto de dos fracciones algebraicas. Se entregaron diferentes lotes con las siguientes medidas en metros. Determina el área de cada uno.

Lote Largo Ancho Área

1x

x

�

�

5

92x

x x

�

� �

1

10 22

2x

x�12

xx

�

�

13 2

33 2

1xx

�

�x x

x

2 2 13 4� �

�

4xx�

�

52 1

x

x

�

�

3

2 42

5xx

�

�

22

xx

�

�

77

63. Reconoce expresiones radicales. Halla la medida del lado de cada cuadrado y, luego, suma los resultados.

a) c)

A 5 50x8y5 A 5 32x3y4

b) d)

A 5 108x4y A 5 8x3y4

e) Suma:_________

64. Halla el cociente entre dos fracciones algebraicas. Completa la tabla que relaciona los lados de un rec-tángulo con su área.

Lote Largo Ancho Área

12 5

2xx

�

�

6 32

x

x

�

2 xx

2 16

�

�

xx

�

�

12

3xx

�

�

21

xx�

�

52 3

4 xx

2 46 1

�

�

2 49

xx

�

�

5 xx2 3�

xx�

�

23 2

65. Reduce expresiones radicales al índice común. Pablo necesita organizar algunas expresiones radi-cales. Ayúdalo reduciéndolas a común índice.

a) x x x45 36 5122 5, ,

b) x x x23 4 2, ,

c) x y x x24 5 6 2, ,

d) x x x3 26 9 2, ,

e) x x x24 310 5 2, ,

66. Realiza operaciones con expresiones radicales. Julián está operando expresiones radicales. Realiza las siguientes operaciones.

a) 4 9 45 3 3 3 3x y x y x y� �

b) 2716

34

273 2 5x xy x� �

c) 34

12 277 5 3x x y x� �

d) x y xy3 25 4�

e) x y xy2 36 24�


A una feria ganadera asistieron un promedio de 8 000 personas al día. Un ganadero logró vender un caballo percherón y dos becerros por $ 12 400 000. El caballo fue vendido por un precio 18 veces ma-yor que el de uno de los becerros, los cuales, por tener la mismas características, costaron ambos lo mismo. El comprador pagó en efectivo con bi-lletes de $ 20 000 y $ 50 000, siendo la cantidad de billetes de $ 50 000, 28 más que el cuádruplo de los de $ 20 000.

67. Reconoce ecuaciones equivalentes a una ecuación dada. Indica si cada ecuación permite hallar el precio de un ternero o no. Toma x: precio de un ternero y y: precio de un caballo.

a) 2x 1 y 5 12 400 000 con x 5 18y

b) y 1 2x 5 12 400 000 con y 5 18x

c) 2y 1 4x 5 24 800 000 con y 5 36x

d) 2y 1 4x 5 24 800 000 con y 5 18x

e) 4x 1 2y 5 24 800 000 con x 5 18y

68. Resuelve problemas que involucran ecuaciones lineales. Además de ganado, en las ferias se vende maqui-naria con tecnología de punta. Determina el costo de una máquina en cada compra.

a) Un tractor y una motobomba por $ 36 800 000. El precio de la motobomba es de 3

20 del precio del

tractor.

b) Una guadañadora y dos agavilladoras por $ 880 000. Cada agavilladora costó $ 2 500 más que los 3

4 del costo de la guadañadora.

c) Una máquina picadora y un arador mecánico por $ 5 750 000. La picadora costó 2

3 del precio

del arador.

d) Un sistema de riego y un arador sencillo por $ 8 075 000. El arador costó los 3

16 del costo del sistema de riego.

e) Una trilladora, una desgranadora y una empaca-dora por $ 210 000 000. La desgranadora costó el doble de la empacadora y la mitad de la trilladora.

69. Plantea y resuelve ecuaciones lineales con coeficientes enteros. Halla el valor de cada tipo de animal, según el valor total de la venta en cada caso.

a) Dos vacas y una yegua de $ 6 200 000 por $ 9 400 000.

b) Tres toros y un caballo por $ 9 000 000. El ca-ballo se vendió por el doble de lo que se vendió un toro.

c) Cuatro terneros por $ 2 344 000. Se descontó del total $ 116 000 por impuestos.

d) Dos cerdos y cuatro terneros por $ 3 094 000. Cada ternero se vendió por $ 28 000 más que un cerdo.

e) Tres cerdos y cuatro terneros por $ 3 541 000 y cada ternero se vendió por $ 30 000 más que cada cerdo.

70. Resuelve ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios. Encuentra en cada ecuación el valor de x que re-presenta la parte de las ganancias obtenidas en cinco meses, del capital invertido.

a) 12

1 35 x 5 41

70 d) 4

3x 2

17

x 5 13105

b) 52

2 43

x 5 136

e) 5 2 13

x 5 11924

c) 27

x 1 25

x 5 47105

71. Reconoce las soluciones de ecuaciones de segun-do grado. Escribe la ecuación cuadrática que tiene como so-luciones las medidas de los lados de las siguientes fincas.

a) La finca de Juan mide 1 km de largo y 2 km de ancho.

b) La finca de Alberto mide 2 km de largo y 3 km de ancho.

c) La finca de Lucía mide 4 km de largo y 2 km de ancho.

d) La finca de Carlos mide 3 km de largo y 1 km de ancho.

e) La finca de Santiago mide 3 km de largo y 4 km de ancho.


72. Resuelve ecuaciones de segundo grado. Las siguientes ecuaciones representan el área en metros cuadrados de algunas fincas. Completa la tabla.

Área Largo Ancho

x2 2 5,5x 1 7 5 0

25x2 2 15x 1 2 5 0

3x2 2 14x 1 16 5 0

6x2 2 19x 1 15 5 0

5x2 2 17x 1 6 5 0

73. Resuelve ecuaciones con fracciones algebraicas. Las siguientes expresiones representan el tiempo (t), en meses, que tarda la recuperación de varios terrenos de acuerdo con la cantidad (g) de ani-males que se alimentan allí. Encuentra el valor de t en cada caso.

a) t gt�

�

63

2 62 5 0 con g 5 30 y t ? 3

b) 42

tt g�

2 1 5 0 con g 5 6 y t ? 23

c) t gt

2 123

� 2 1

11t � 5 0 con g 5 9, t ? 0 y t ? 11

d) 2 72t tt g

�

� 5

1510t�

con g 5 10 y t ? 2 10

e) t tt

2 45

�

� 2

g15

5 0 con g 5 60 y t ? 25

74. Resuelve problemas con sistemas de ecuaciones. Determina el precio de una vaca y el de un caballo en cada caso, si:

a) Tres caballos y dos vacas cuestan $ 11 600 000 y tres vacas y dos caballos cuestan $ 9 900 000.

b) En pago por cuatro caballos se dieron como parte de pago dos vacas y $ 8 800 000, y por tres caballos y una vaca se pagó $ 9 600 000.

c) El precio de dos vacas y las 34

partes del precio de un caballo es $ 4 275 000. El precio de tres vacas y dos caballos es $ 7 900 000.

d) Tres caballos y tres vacas cuestan $ 10 650 000. El precio de un caballo menos y tres vacas más es $ 11 900 000.

e) Por la venta de tres caballos se reciben seis va-cas y $ 1 680 000. Si se venden los tres caballos y se compra una vaca, le quedan $ 5 070 000.

75. Resuelve problemas con desigualdades lineales. Plantea una desigualdad y halla la cantidad de pro-teína mínima o máxima en cada caso.

a) Para pollos machos de engorde se recomienda que cinco veces la masa de las proteínas más 17 g no exceda los 55 g.

b) Para pollas de engorde se recomienda que las 23

partes de la masa de las proteínas disminuida en 18 g sean como mínimo 20 g.

c) Para pollos clase A, dos veces la masa de las proteínas aumentada en 18 g no pueden llegar a los 280 g.

d) Para pollos tipo B, cinco veces la masa de las proteínas aumentadas en 50 g deben superar los 200 g.

e) Para pollas tipo B, el doble de la masa de las proteínas aumentado en 30 g debe ser mínimo 174 g.


10

1

2

3

4

5

6

30 40 50 60 70 80 90 100

20

Util

idad

en

cien

tos

de m

illon

es d

e pe

sos

Número de obreros

2O 4 6 8 10 12 14 16

2

4

8

10

12

14

16

6

f(x)

x

En una fábrica de zapatos se determinó que el pre-cio de venta de los productos depende de la inversión que se haga en materia prima. Por cada par de za-patos de la colección escolar se cobrará tres veces el costo de fabricación más un costo fijo de $ 17 000, mientras que en la colección de zapatos deportivos el precio de venta es cuatro veces el de fabricación más el costo fijo de $ 25 000.Se sabe también que las utilidades dependen del número de obreros que haya en la fábrica. El re-gistro se presenta en la siguiente gráfica.

76. Halla elementos del conjunto de salida y de lle-gada de una función. Completa la siguiente tabla que relaciona el costo de producción de zapatos escolares con su precio de venta.

Costo de fabricación ($) Precio de venta ($)

30 000

35 000

50 000

71 000

92 000

77. Determina el crecimiento o decrecimiento de una función a partir de su gráfica. Determina en qué intervalos crece o decrece la función de utilidades de acuerdo con la gráfica.

Crece: __________________________

Decrece: _________________________

78. Determina puntos máximos y mínimos de una fun-ción a partir de su gráfica. En la gráfica de la función de utilidad, determina los puntos máximos y mínimos.

Máximos relativos: ___________ Máximo absoluto: ___________ Mínimos relativos: ___________ Mínimo absoluto: ___________

79. Representa gráficamente funciones afines. La expresión f(x) 5 3x 1 2 representa la cantidad de zapatos contramarcados en un minuto por un número de máquinas (x). Antes de encender las máquinas, un empleado elaboró manualmente dos pares. Completa la tabla y realiza la gráfica de la función.

Máquinas encendidas

Cantidad de pares de zapatos con-tramarcados por minuto

0

1

2

3

80. Reconoce funciones afines. Escribe función afín o función lineal según corres-ponda.

a) f(x) 5 13x 2 2 ___________

b) f(x) 5 8x ___________

c) f(x) 5 3x ___________

d) f(x) 5 12x 1 2 ___________

e) f(x) 5 9x 1 5 ___________


2

2�2�2

�4

�6

�8

�4�6�8 4 6 8

4

8

Y

XO

6

2

2�2�2

�4

�6

�8

�4�6�8 4 6 8

4

8

Y

XO

6

2

2�2�2

�4

�6

�8

�4�6�8 4 6 8

4

8

Y

XO

6

2

2�2�2

�4

�6

�8

�4�6�8 4 6 8

4

8

Y

XO

6

2

2�2�2

�4

�6

�8

�4�6�8 4 6 8

4

8

Y

XO

6

81. Halla la tasa de crecimiento de una función. Determina si la tasa de variación de las siguientes funciones en el intervalo [21, 3] es positiva, negativa o igual a cero.

a) f(x) 5 2 x ___________ c) f(x) 5 3 ___________ e) f(x) 5 2 3x3 ___________ b) f(x) 5 x3 ___________ d) f(x) 5 x 1 12 ___________

82. Reconoce variables dependientes y variables independientes. Enuncia en cada caso la variable dependiente (D) y la variable independiente (I).

a) Se determinó que la cantidad mínima que se debe suministrar de cierto medicamento es de 200 mg, y au-menta 10 mg por cada kilogramo de peso que el paciente exceda por encima de los 45 kg.

b) El precio de un recibo telefónico tiene un cargo fijo de $ 35 000, y $ 115 por cada minuto.

c) Se determinó que por cada litro de gasolina se pueden contaminar 750 000 l de agua.

d) La cantidad de calorías quemadas por una persona que hace ejercicio, depende del tiempo que dure dicha actividad.

e) En una fábrica los ingresos dependen de la cantidad de dinero que se invierta en mercadeo.

83. Representa gráficamente funciones cuadráticas. Dibuja en el plano cartesiano las gráficas de las funciones cuadráticas que se indican.

a) f(x) 5 2 4x2 b) f(x) 5 x2 1 3 c) f(x) 5 x2 2 2

d) f(x) 5 (x 1 1)2 e) f(x) 5 (x 2 2)2


84. Halla la expresión factorizada de una expresión algebraica dada. En una prueba de atletismo se determinó que el rendimiento de un deportista se puede represen-tar mediante una expresión algebraica. Halla la expresión factorizada de los rendimientos de los atletas.

a) Jonhson: 4ax 2 10a 1 18bx 2 15b b) Soto: 3x2 2 4x 2 15 c) Webb: 512x3 2 27y6

d) Tinelli: x4 2 32x2y 1 256y2

e) Sovórov: 964

4x 2 259

4y

85. Halla el valor numérico de una expresión alge-braica. Un grupo de deportólogos determinó que la canti-dad, en gramos, de proteínas (P) que tiene permitido consumir un levantador de pesas depende de su masa (x) en kilogramos, y se expresa de la forma:

P 5 4 3 2

110

5

2

2

x x

x x

� �

�.

Determina la cantidad de proteínas máxima per-mitida a un competidor de:

a) 80 kg c) 82 kg e) 92 kg

b) 81 kg d) 90 kg

86. Halla el producto entre dos expresiones algebrai-cas. Una delegación propuso cinco medidas, para un campo de bádminton. Halla en metros cuadrados, la expresión del área de cada campo.

Largo Ancho

a) 4 7 18

6

2

2x x

x

� �

� x

m (4x2 2 6x) m

b) (5y 1 6) m (4y2 1 6y 2 18) m

c) (12z 2 24) m 2 612

2z �

m

d) (3w 1 6) m12 31 15

3

2w ww� �

�

e)2 16 6

2 2

3 2

2r r r

r r

� �

�

2 153

r �

m

87. Halla la suma de fracciones algebraicas. En el salto triple se determinaron expresiones para los tres brincos de cinco deportistas. Halla la ex-presión que representa el total recorrido por cada deportista.

Deportista Salto 1 Salto 2 Salto 3

Ax yx y

�

�

x yx y

�

�12 2

2 2x y

x y�

B x � 210

xx�

�

110 5

xx2 1�

C xb bx2

�

b xbx� b

bx x�2

D 25x �

3252

xx �

35

xx �

E xx

�

�

33

xx

�

�

22

xx�1

88. Realiza operaciones entre expresiones radicales. Realiza las siguientes operaciones:

a) x y23 3 x y23

b) x y7 34 4 xy24

c) x y7 43 1 27 4 43 x y 2 8 4 73 x y

d) x y3 26 4 xy

e) 3y 3 23 xy 3 6 2 36 x y

89. Plantea y resuelve ecuaciones algebraicas de primer grado con una incógnita. Determina los tiempos alcanzados por los nada-dores en la prueba de nado libre.

a) El triple del tiempo que tardó el nadador A dis-minuido en 1,2 s es 28,5 s.

b) Las dos terceras partes de lo que tardó el nada-dor B aumentadas en 6 s son 18,2 s.

c) Las tres cuartas partes de lo que tardó el nada-dor C disminuidas en 4,2 s son 14,55 s.

d) El doble de lo que tardó el nadador D aumen-tado en 13,5 s es 43,1 s.

e) Cuatro veces lo que tardó el nadador E aumen-tado en 2,3 s es 67,1 s.


10

10

20

30

40

50

60

70

80

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Y

X

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10�1

0

Y

�1

�2

�3

�4

�5

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X

90. Resuelve ecuaciones con la incógnita en más de un término. En la prueba de gimnasia, los jueces califican a los competidores con puntajes entre 1 y 10. Halla el puntaje obtenido por cada competidor.

a) Al competidor A, el juez 1 le dio el doble de puntaje del que le dio el juez 2, y el Juez 3 dos puntos más que el juez 1. En total suman 22 puntos.

b) Al competidor B, el juez 1 le dio dos puntos menos que el juez 2, o sea el doble de lo que le dio el juez 3. En total suman 18 puntos.

c) Al competidor C, el juez 1 le dio un punto menos que el juez 2, y este último a su vez le dio la mitad de puntos que el juez 3. En total suman 17 puntos.

d) Al competidor D, el juez 2 le dio medio punto más que el 1 y a su vez, el juez 3 le dio la mi-tad de lo que le dio el juez 1. En total suman 18 puntos.

e) Al competidor E, el juez 1 le dio el doble de puntaje que el juez 2, el juez 3 le dio dos puntos menos que el juez 1. En total suman 23 puntos.

91. Resuelve ecuaciones de segundo grado. En las pruebas de lanzamiento de jabalina se de-terminaron las expresiones de la altura (y) en tér-minos de la distancia horizontal (x) recorrida por la jabalina. Halla la distancia de caída de cada jaba-lina, es decir, cuando la altura es 0.

a) y 5 2 164

2x 1 12

x

b) y 5 2 1

702x 1 1

2x

c) y 5 2 1

802x 1 3

4x

d) y 5 2 1

702x 1 5

8x

e) y 5 2 1

802x 1 3

5x

92. Identifica máximos y mínimos en una función. La gráfica representa los cambios de velocidad de un triatlonista respecto al tiempo de la competen-cia. Encuentra la gráfica y halla lo que se indica a continuación.

a) Máximos relativos: b) Máximo absoluto: c) Mínimos relativos: d) Mínimo absoluto: e) Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

93. Representa máximos y mínimos de funciones con-tinuas. Representa una función continua que tenga:

a) Un máximo en el punto (5, 4) b) Un máximo absoluto en el punto (8, 6) c) Un mínimo absoluto en el punto (0, 4) d) Un mínimo en el punto (3, 22) e) Un máximo en el punto (0, 0)


A B D F H

mEC G

QPR

RT

I

55º1 2

3 4

5 6

55º

55º

105ºn

p

Pensamiento espacialPara participar en una licitación para la construcción de un puente, el arquitecto Pérez presentó el siguiente plano.

94. Reconoce características de ángulos determinados entre paralelas intersecadas por una secante. Escribe falso (F) o verdadero (V), según corresponda.

a) Los ángulos 3 y 4 tienen igual medida.

b) La suma de las medidas de los ángulos 2 y 4 es igual a la medida del ángulo 6.

c) Los ángulos 3 y 4 son alternos internos.

d) Los ángulos 4 y 5 son ángulos correspondientes.

e) Los ángulos 1 y 3 son congruentes.

95. Establece la medida de los ángulos determinados por rectas paralelas intersecadas por una secante. Si el ángulo 3 mide 558, cuánto mide:

a) El ángulo EDF

b) El ángulo PDO

c) El ángulo GOT

d) El ángulo EPR

96. Reconoce rectas paralelas según la relación que se establece entre los ángulos que se determinan. De acuerdo con la información de la figura, ¿se puede afirmar que BC // DE?

a) No, porque aunque 1 y 2 son congruentes, no son alternos externos entre BC y DE.

b) Sí, porque 1 y 2 son congruentes y correspondientes entre BC y DE.

c) Sí, porque 1 y 2 tienen la misma medida.

d) No, porque aunque 1 y 2 son congruentes, no son alternos internos entre BC y DE.


�A �C

�B

1 2

3 4

5 6

D

B

50º 80º

2,1

22,41,8

2,73,6

1,7

32,55

3,15

80º50º

A C

GJ

L

E F H

I

K

C

D

E

HG

M

I

X

B

F

C

D

E

HG

M

I

X

B

F

C

G

M

X

B

En el pueblo Yoruba, al oeste de África, se elabo-ran diseños sobre un paño almidonado, tiñendo de azul, de modo que la parte almidonada permanezca blanca contra el fondo azul.

97. Reconoce ángulos determinados por rectas paralelas y una secante a ellas. Completa cada afirmación, según la información grá-fica.

a) El XAB y el AEF son:

b) El XAB y el DAE son:

c) El CAX y el CAD son:

d) El GHE y el BAE son:

98. Establece la medida de los ángulos determinados por paralelas intersecadas por una secante. Halla la medida de los ángulos pedidos.

a) DEA 5 898, entonces HEI 5 ______

b) XAB 5 468, entonces DAE 5 ______

c) HEF 5 1408, entonces XEF 5 ______

d) GHM 5 43,68, entonces EHI 5 ______

e) DAX 5 1408, entonces GHE 5 ______

99. Reconoce la relación que se establece entre ángulos determinados por rectas paralelas y secantes a ellas. Si en la construcción el C 5 1, ¿cuál es la relación entre B y 2? Justifica tu respuesta.

100. Identifica ángulos correspondientes determinados por rectas paralelas intersecadas por una secan-te. Los lados de dos ángulos correspondientes siem-pre forman una F mayúscula. Identifica en las figuras pares de ángulos corres-pondientes y traza una F diferente en cada caso.

a) b)

c) d)

101. Aplica criterios para determinar la semejanza entre triángulos. Escribe semejantes o no semejantes, de acuerdo con lo que observas en la ilustración.

a) Los triángulos ABC y DBE son:

b) Los triángulos ABC y IJL son:

c) Los triángulos CGI y IJL son:

d) Los triángulos CGI y HGF son

e) Los triángulos IJL y HJK son:


R

P Q X

V W

U

S

T

I

J K C

E D

F H

G

M

P

N

T

R

Q

C

B

A

T P Q

W

Z T

M SC

A B H L

X

R

60°90°

100°

36°

33°

27°

115°

30°

73°

45°

?

?

?

?

?

60°R S

45°?

T P Q

W

Z T

M SC

A B H L

X

R

60°90°

100°

36°

33°

27°

115°

30°

73°

45°

?

?

?

?

?

60°R S

45°?

T P Q

W

Z T

M SC

A B H L

X

R

60°90°

100°

36°

33°

27°

115°

30°

73°

45°

?

?

?

?

?

60°R S

45°?

T P Q

W

Z T

M SC

A B H L

X

R

60°90°

100°

36°

33°

27°

115°

30°

73°

45°

?

?

?

?

?

60°R S

45°?

10 cm45º

45º 45º

14,14 cm

3 cm

5 cm

5 cm?

?

73º

10 cm45º

45º 45º

14,14 cm

3 cm

5 cm

5 cm?

?

73º

102. Reconoce triángulos congruentes. Cada fábrica de automóviles identifica su marca mediante un símbolo, que en algunos casos está formado por triángulos congruentes. Algunas de el-las se presentan en las figuras que se ilustran a continuación.

Determina si las afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) La primera figura se puede descomponer en seis triángulos congruentes.

b) Los triángulos que se identifican en el primera figura son congruentes según el criterio ALA.

c) En la segunda figura no se identifican triángu-los congruentes.

d) En la segunda figura se identifican 10 triángu-los congruentes según el criterio LLL.

103. Aplica las propiedades de los triángulos. Encuentra la medida del ángulo desconocido.

a) b)

c) d)

e) f)

104. Utiliza las propiedades de los triángulos para de-terminar valores desconocidos en él. Selecciona el valor aproximado de la incógnita.

10 cm

14,14 cm

4 cm

738

438

348

105. Identifica triángulos congruentes. Identifica los triángulos congruentes en cada gru-po.

a)

b)

c)


A B

C

G

H

I

N

PM

D E

F

J

E

L

Q

RT

A

D

B

C

A B

C

G

H

I

N

PM

D E

F

J

E

L

Q

RT

A

D

B

C

A B

C

G

H

I

N

PM

D E

F

J

E

L

Q

RT

A

D

B

C

A B

C

G

H

I

N

PM

D E

F

J

E

L

Q

RT

A

D

B

C

D

0

C

BA

O

5

6

7

8

9

4

3

2

1

�1

�1�2�3�4�5�6�7�8�9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

�2

�3

�4

�5

�6

�7

�8

�9

106. Aplica los criterios de congruencia e identifica triángulos congruentes. Escribe el criterio que verifica la congruencia de los triángulos.

a)

b)

c)

d)

107. Identifica y clasifica cuadriláteros. Alberto diseñó una serie de ventanas con forma de cuadriláteros. Relaciona cada una con su clasifi-cación.

a)

b)

c)

d)

e)

108. Reconoce cuadriláteros. Dibuja los cuadriláteros que utilizó Alberto como dis-eños para decorar algunas paredes, de acuerdo con las condiciones dadas.

a) Cuadrado cuyo lado mide 3 cm. b) Rectángulo cuya base mide el doble de su altu-

ra, que es 2 cm. c) Rombo cuyas diagonales miden 3 cm y 4 cm. d) Cuadrado cuya diagonal mide 3 cm. e) Trapecio rectángulo cuya altura mide 3 cm,

base menor 2 cm y base mayor 3,5 cm.

109. Identifica propiedades de un paralelogramo. Observa el paralelogramo ABCD. Luego, nombra figuras que cumplan la condición.

a) Dos ángulos congruentes.

b) Dos triángulos congruentes.

c) Dos segmentos paralelos.

d) Dos ángulos suplementarios.

e) Dos lados opuestos congruentes.

f) Dos segmentos que se cortan en sus respecti-vos puntos medios.

110. Realiza movimientos de figuras en el plano. Alberto ubicó un cuadrilátero cuyos vértices están en las coordenadas A (1, 1), B (3, 1), C (3, 3), D (1, 3).

Dibuja en el plano las figuras que se generan después de realizar los movimientos sucesivos al cuadrilátero anterior.

a) Traslación según el vector guía u(4, 1). b) Giro con centro en A y un ángulo de 1808. c) Simetría sobre un eje que pasa por los puntos

E(0 , 21) y F(4, 21). d) Traslación según el vector guía u(25, 0). e) Giro con centro en A y un ángulo de 908.

1. Trapezoide asimétrico

2. Trapcio rectángulo

3. Paralelogramo romboide

4. Trapecio isósceles

5. Trapecio simétrico


490 m

A

BC

D E

F G

H

350 m

460 m

210 m

750 m

460 m

12 m5 m

2 m

5 m

Pensamiento métricoEl plano muestra el terreno que don Ricardo compró para poner a pastar sus 120 cabezas de ganado.

114. Comprende la equivalencia entre unidades de vo-lumen y realiza conversiones. Don Ricardo construyó un granero con forma de prisma rectangular y cuyo techo es un prisma de base triangular. Halla el volumen del granero y exprésalo en las unidades que se piden.

a) Metros cúbicos: _____________

b) Decímetros cúbicos: _____________

c) Decámetros cúbicos: _____________

d) Hectómetros cúbicos _____________

e) Centímetros cúbicos: _____________

115. Comprende las equivalencias entre unidades de medida del tiempo y realiza conversiones. La adaptación de una finca para llevar el ganado tardó dos meses, una semana y tres días. Expresa este tiempo en las unidades que se indican:

a) Días: _________

b) Horas: _________

c) Meses: _________

d) Minutos: _________

e) Semanas: _________

111. Comprende la equivalencia entre unidades de longitud y hace conversiones. Expresa el perímetro de la finca en las unidades que se pide.

a) Metros: ________________

b) Decímetros: ________________

c) Decámetros: ________________

d) Hectómetros: ________________

e) Kilómetros: ________________

112. Comprende y aplica el teorema de Pitágoras. Halla los valores de las distancias entre:

a) Las esquinas A y G

b) Las esquinas D y F

c) Las esquinas B y H

d) Las esquinas C y E

e) Las esquinas A y C

113. Comprende la equivalencia entre unidades de su-perficie y realiza conversiones. Expresa el área de la finca en las unidades que se piden.

a) Metros cuadrados: _______________

b) Decímetros cuadrados: _______________

c) Centímetros cuadrados: _______________

d) Hectómetros cuadrados: _______________

e) Kilómetros cuadrados: _______________


T P Q

W

Z T

MS

C

A B

X

R

60°90°

100°

36°

33° 27°

115°30°45°

?

?

?

?

?60°

R S

6x m

3x m

x m(5x � 2) m

(3x � 5) m

x � 10 m25

x m35

x � 10 m x m

2x m

25(

(

)

)

(2b � 1) m 3b m

3x m 3x m

2b m

b � 4 m b � 2 m

x � 3 m3x � 6 m

b � 4 m

b m32

(2x � 2) cm

(4x � 3) cm

(3x � 2) cm

Una empresa de publicidad distribuye sus productos por toda la ciudad.

116. Identifica las propiedades de los triángulos. Encuentra, en cada aviso, el valor del ángulo desconocido.

a) b) c) d) e)

117. Halla el área de triángulos. Calcula el precio de cada lote que anuncia la valla publicitaria, si se sabe que el metro cuadrado cuesta $ 750 000.

a) b) c) d) e)

x = 3 x = 10 x = 12 x = 5 x = 6

118. Halla el área de cuadriláteros. Estas vallas tienen formas de diferentes cuadriláteros. Halla el área de cada una, si x = 2.

a) c) e)

b) d)

119. Halla el área de regiones sombreadas. Halla el área de la región sombreada en el aviso, si x toma los valores que se indican. Toma p = 3,14.

a) x 5 10 b) x 5 1 c) x 5 2

d) x 5 4 e) x 5 5,5


25 cm

15 cm9,5 cm

6,7 cm

12 cm

10 cm

4,2 cm

3,5 cm12 cm

6 3 cm

15 cm5 cm

8 cm

10 cm14 cm

6 cm

6 cm

10 cm

8 cm

6 cm

15 cm 15 cm

10 cm 14 cm

24 cm

12 cm

12 cm

2,1 cm1,2 cm 1 cm

1,8 cm0,5 cm

3 cm

1,2 cm

2 cm

0,5 cm

3,5 cm1,8 cm

2 cm

1,5 cm 1,3 cm

1,4 cm

María Camila tiene una fábrica de chocolates. Para empacarlos diseñó varios empaques.

120. Calcula el área de un prisma. Calcula la cantidad mínima de cartón que se usó para fabricar cada tipo de caja.

a) b) c) d) e)

121. Calcula el área de cilindros y conos. Halla la cantidad mínima de cartón usada para fabricar las cajas. Toma p = 3,14.

a) b) c) d) e)

122. Calcula el volumen de esferas. Maria Camila fabrica unos chocolates esféricos. Calcula el volumen de cada uno.

a) b) c) d) e)

V 5 ______ V 5 _______ V 5 _______ V 5 _______ V 5 _______

123. Halla el volumen de cuerpos compuestos. Calcula lo que se pide en cada caso.

a) b) c)

V 5 _______ V 5 _______ V 5 _______

AT 5 _______ AT 5 _______ AT 5 _______


(4x � 3) m (4x � 3) m

(2x � 10) m(4x � 5) m

(2x � 5) m (3x � 4) m

(5x � 4) m(5x � 6) m

(5x � 4) m

(x � 1) m

( x) m(2x � 3) m

(2x � 13) m

(3x � 6) m

(3x � 6) m

12

( x � ) m14

12

13 cm11 cm

9,5 cm

D � 45 cm

r � 4 cm

8 cm

D � 38 cm

r � 4 cm

8 cm

D1 � 30 cm

D2 � 4 cm

8 cm

124. Calcula la longitud de una circunferencia. En las pruebas de gimnasia rítmica se usan cuerdas, pelotas, palos especiales, cintas y aros. Los aros tienen un diámetro que varía entre los 80 cm y 90 cm. Calcula la longitud de un aro cuyo diámetro (D) se da en cada caso. Toma p 5 3,14.

a) D 5 80 cm c) D 5 90 cm e) D 5 85,5 cm

b) D 5 81 cm d) D 5 82 cm

125. Calcula el volumen de prismas. Algunas delegaciones propusieron nuevas dimensiones y formas para las plataformas de lucha grecorromana, expresadas en términos de la estatura de los competidores. Determina la expresión del volumen que tendrá cada una.

a) b) c)

d) e)

126. Calcula el volumen y el área de esferas. En el lanzamiento de bala, se usan esferas hechas con hierro o plomo cuyo peso aproximado es de 7,26 kg para hombres y de 4 kg para mujeres. Determina el área y el volumen de las siguientes balas.

a) V 5 ________ c) V 5 ________ b) A 5 ________ d) A 5 ________ e) V 5 ________

127. Calcula el volumen y el área de cilindros. En las competencias de pesas, los discos, que tienen un hueco en el centro, están marcados con sus respec-tivos pesos. Halla el área total y/o el volumen de cada disco.

a) V 5 ________ c) V 5 ________ e) V 5 ________ b) A 5 ________ d) A 5 ________


�0 321 4 5 6

Núm

ero

de s

tand

s

20

15

10

5

�0 321 4 5 6

Núm

ero

de s

tand

s

20

15

10

5

�0 321 4 5 6

Núm

ero

de s

tand

s

1 � comidas, 2 � juegos, 3 � magia, 4 � animales, 5 � música, 6 � variados

20

25

15

10

5

�0 321 4 5 6

Núm

ero

de s

tand

s

20

15

10

5

�0 321 4 5 6

Núm

ero

de s

tand

s

15

10

5�0 321 4 5 6

Núm

ero

de s

tand

s

20

15

10

5

�0 321 4 5 6

Núm

ero

de s

tand

s20

15

10

5

�0 321 4 5 6

Núm

ero

de s

tand

s

1 � comidas, 2 � juegos, 3 � magia, 4 � animales, 5 � música, 6 � variados

20

25

15

10

5

�0 321 4 5 6

Núm

ero

de s

tand

s

20

15

10

5

�0 321 4 5 6

Núm

ero

de s

tand

s

15

10

5

Pensamiento aleatorioEntre los 65 stands que hay en una feria se pueden contar doce de comidas internacionales, 20 de juegos, trece de magia, tres de animales curiosos, dos de música en vivo y el resto de actividades variadas.

128. Reconoce e interpreta gráficas estadísticas. Encuentra el error en cada gráfica.

a) b) c) d) e)

129. Halla la moda de un conjunto de datos. Durante una semana se tomaron los datos de las edades de los niños que jugaron tiro al blanco en la feria y se obtuvieron los siguientes resultados.

Lunes 12 12 11 10 12 13 14 12 10 11 13 16 12 13 14 12

Martes 13 12 12 12 11 12 12 14 11 10 12 13 11 12 13 11

Miércoles 12 11 13 12 11 13 13 15 14 9 11 13 14 16 16 15

Jueves 12 11 11 12 13 13 14 15 13 12 11 10 9 13 12 13

Viernes 12 11 13 14 11 12 11 11 10 13 9 12 11 13 14 12

Halla la moda de las edades en cada uno de los días de la semana.

a) Lunes: ________ c) Miércoles: ________ e) Viernes: ________

b) Martes: ________ d) Jueves: ________

130. Halla la media de un conjunto de datos. Halla la media de las edades de cada uno de los días.

a) Lunes: ________ c) Miércoles: ________ e) Viernes: ________

b) Martes: ________ d) Jueves: ________

131. Reconoce y aplica el concepto de probabilidad. Completa cada frase de acuerdo con la información.

a) Si se selecciona al azar un niño de los que jugaron tiro al blanco el lunes, lo menos probable, pero no im-posible, es que tenga ______ años.

b) Si se selecciona al azar un niño de los que jugaron tiro al blanco el martes, lo más probable es que tenga ______años.

c) La probabilidad de que al seleccionar un niño de los que jugó tiro al blanco el miércoles tenga catorce años se representa mediante la fracción ______.

d) La probabilidad de que al seleccionar al azar un niño de los que jugó tiro al blanco el jueves tenga más de ocho años es _______.

e) La probabilidad de que al seleccionar al azar uno de los niños que jugó tiro al blanco el viernes tenga más de catorce años es ________.


Para medir el impacto del nuevo jabón Lava Rápido en Bogotá, la empresa Mercadeo Express S.A. entrevistó telefónicamente a 225 consumidores. Al preguntar sobre la cali-dad del producto se obtuvieron las siguientes respuestas.

Calidad del jabón Lava Rápido Cantidad de amas de casa

Excelente 56

Muy bueno 25

Bueno 46

Regular 50

Malo 21

Pésimo 12

No sabe / No responde 15

132. Reconoce los elementos principales en un estudio estadístico. Relaciona cada término con su caso particular.

a) Amas de casa de Bogotá ( ) Frecuencia absoluta

b) 225 amas de casa que usan el jabón ( ) Variable estadística cualitativa

c) Calidad del jabón Lava Rápido ( ) Población

d) 56, 25, 46, 50, 21, 12, 15 ( ) Muestra

e) Entrevista telefónica ( ) Técnica de recolección de datos

133. Calcula la frecuencia relativa de un conjunto de datos. Escribe enfrente a cada categoría su frecuencia relativa.

a) Excelente: ____________ d) Regular: ____________

b) Muy bueno: ____________ e) Malo: ____________

c) Bueno: ____________

134. Construye intervalos de clase. A los 21 consumidores que respondieron que el jabón es de mala calidad, se les pidió que calificaran entre 1 y 10 la calidad del jabón y se obtuvieron estas respuestas:

3,5 3,5 2,8 2,5 3,6 4 3,8 4 3,7 3,5 2,9

3,7 3,5 3,5 2,9 3 3,5 4,2 3,3 3,1 3

Agrupa los resultados en cinco intervalos y completa la tabla.

Límite inferior Límite superior Intervalo de calificación Frecuencia

2,5 2,84


�0

1,6

51,7

21,7

91,8

6

1,6

51,7

21,7

91,8

6

1,6

51,7

21,7

91,8

6

1,6

51,7

21,7

91,8

6

1,6

51,7

21,7

91,8

6

Juga

dore

s

Ballet Azul

20

15

10

5

�0

Juga

dore

s

Almagro

20

15

10

5

�0

Juga

dore

s

Expreso Rojo

20

15

10

5

�0

Juga

dore

s

Deportivo Municipal

20

15

10

5

�0

Juga

dore

s

Deportivo Real

20

15

10

5

En un informe de una confederación de fútbol se presentaron algunas gráficas con los datos agrupados de las estaturas de los jugadores de los cinco equipos participantes en un torneo.

135. Calcula la moda en un conjunto de datos. Calcula la moda de las estaturas de los jugadores de cada equipo.

a) Ballet Azul d) Deportivo Real

b) Expreso Rojo e) Deportivo Municipal

c) Almagro

136. Calcula la media en un conjunto de datos. Calcula la media de las estaturas de los jugadores de cada equipo.



c) Almagro

137. Encuentra el intervalo mediana en un conjunto de datos. Determina el intervalo mediana de las estaturas de los jugadores de cada equipo.



c) Almagro

138. Reconoce medidas de posición en un conjunto de datos. La siguiente es la lista de las edades de los jugadores del Ballet Azul.

22 19 24 25 22 23 21 21 19 30 21 27 29

23 23 22 31 32 21 18 25 28 32 26 24 33

Completa los enunciados de acuerdo con la información.

a) El primer cuartil del conjunto de datos es ____

b) El segundo cuartil del conjunto de datos es ____

c) El tercer cuartil del conjunto de datos es ____

d) El rango del conjunto de datos es ____

e) La mediana y el segundo cuartil tienen el mismo valor, porque __________________________


En un casino se instalaron algunos juegos tales como la ruleta americana, las cartas, el póquer, la veintiuna, los dados y las máquinas paga monedas, entre otros.

139. Diferencia un experimento aleatorio de uno determinístico. Identifica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles determinísticos.

a) Extraer, al azar, una carta de la baraja. b) Lanzar un dado y observar los puntos obtenidos. c) Girar la ruleta y mirar donde cayó la bola. d) Lanzar un dado que tiene dos puntos en todas sus caras. e) Sacar una balota de una bolsa donde solo hay balotas azules.

140. Conoce el espacio muestral de un experimento aleatorio. Determina el espacio muestral del experimento y escribe los elementos del suceso en cada caso.

a) Lanzar un dado de seis caras y obtener un múltiplo de 3. b) Lanzar un dado de ocho caras y obtener un numero mayor que 6. c) Lanzar un dado de nueve caras y obtener un número par. d) Lanzar un dado de cuatro caras y obtener 1. e) Lanzar un dado de nueve caras y obtener un número primo.

141. Usa técnicas de conteo para analizar la cantidad de posibles resultados de un experimento aleatorio. En el casino hay cinco tipos diferentes de máquinas paga monedas. Identifica cuántos resultados son posibles en cada máquina, si tiene:

a) Cuatro ruedas y en cada rueda las figuras

b) Cinco ruedas y en cada rueda las figuras

c) Siete ruedas y en cada rueda las figuras

d) Seis ruedas y en cada rueda las figuras

e) Ocho ruedas y en cada rueda

142. Calcula la probabilidad de un evento simple usando la regla de Laplace. La baraja de cartas que se está usando únicamente tiene diez cartas numeradas del 1 al 10. Determina la probabilidad de que, al sacar una carta, se obtenga:

a) 7 d) Número primo b) Número par e) Múltiplo de tres c) Número impar

143. Conoce y aplica las propiedades de la probabilidad. En los sorteos del casino se extraen las balotas de una urna que contiene 20 balotas rojas, 25 verdes, 18 blancas y una azul. Calcula la probabilidad de extraer una balota:

a) Roja d) Que no sea roja b) Amarilla e) Que no sea azul c) Verde


En un laboratorio se realizó un experimento con un grupo de ratones contagiados con cinco virus. El 12% están infectados del virus A, el 25% del B, el 13% del C, el 20% del D, el 10% del E y el resto están sanos. Ningún ratón tiene más de un virus.

A los ratones contagiados se les aplicó un fármaco que los curó así: al 40% de los que tenían el virus A, al 30% de los que tenían el B, al 50% de los que tenían el C, al 67% de los que tenían el D y al 45% de los que tenían el E.

144. Halla la probabilidad de la intersección desucesos.Si después de aplicado el fármaco, se agrupan todos los ratones, y de estos se saca uno al azar, halla la probabilidad de que el ratón:

a) Haya sido curado del virus A.

b) Esté contagiado por el virus B.

c) Esté contagiado por el virus C.

d) Se haya curado del virus D.

e) Nunca haya estado enfermo.

145. Halla la probabilidad de la unión de eventos inde-pendientes.Si antes de realizar la prueba del fármaco se eligió al azar uno de los ratones, halla la probabi-lidad de que esté contagiado por:

a) El virus A o el C.

b) El virus A o el B.

c) El virus A o el D.

d) El virus B o el E.

e) El virus D o el E.

146. Halla la probabilidad de sucesos en experimentos compuestos.Otro experimento consiste en dejar dos ratones en una jaula X, uno contagiado con el virus A y otro sano, y en una jaula Y cuatro ratones: tres con los virus A, B y C respectivamente y un cuarto sano. Usa diagramas de árbol para hallar la probabili-dad de que al sacar una ratón de cada jaula:

a) Ambos tengan el virus A.

b) Uno de ellos esté sano y otro tenga el virus B.

c) Ambos estén sanos.

d) Ambos tengan el virus B.

e) Uno de ellos tenga el virus A y otro el virus B.

147. Calcula la probabilidad de la intersección de eventos dependientes.Al elegir un ratón al azar de la jaula no se de-vuelve, y luego se escoge otro. Según la ilus-tración, calcula la probabilidad de que:

a) El primero tenga el virus A y el segundo el B.

b) El primero tenga el virus B y el segundo el C.

c) El primero tenga el virus A y el segundo esté sano.

d) El primero tenga el virus C y el segundo el D.

e) Los dos tengan el virus A.


Masa (kg)

Frecuencia relativa

Los deportistas inscritos en el levantamiento de pesas en la categoría de 60 kg - 67,5 kg fueron pesados. Los resultados, en kilogramos, fueron los siguientes.

60,5 60 67 67,4 67,3 65,2 62,3 63,5 64 65,5 67 67 63,5 60 62,5 65,5 65 67 66,5 63,5 61,8 63 64 64,5 60,2 60,21 63 64,5 64 62,5

148. Reconoce conceptos de estadística descriptiva. Teniendo en cuenta los pesos de los deportistas, determina:

a) El primer cuartil d) El rango

b) El segundo cuartil e) El promedio

c) El tercer cuartil

149. Representa datos agrupados. Completa la tabla.

Masa (kg) Número de deportistas

[60 - 61,5)

150. Representa gráficamente datos agrupados. Realiza la gráfica con las frecuencias relativas de los datos obtenidos en el punto anterior.

151. Calcula la probabilidad de eventos simples. Si se elige al azar uno de los competidores pesa-dos, cual es la probabilidad de que pese:

a) 60 kg d) 63,5 kg

b) 62,5 kg e) 68 kg

c) 67 kg

152. Calcula la probabilidad de la intersección de eventos dependientes. Al elegir al azar a uno de los competidores y después elegir un segundo, sin regresar el prim-ero al grupo, calcula la probabilidad de que:

a) Ambos pesen 67 kg.

b) Ambos pesen 64 kg.

c) Uno pese 64 kg y el otro 65 kg.

d) Uno pese 64 kg y el otro 68 kg.

e) Uno pese 63,5 kg y el otro 60,2 kg.

153. Calcula la probabilidad de la unión de sucesos. Al elegir al azar uno de los competidores y obser-var su peso, cuál es la probabilidad de que pese:

a) 67 kg ó 60 kg

b) 64 kg ó 60,21 kg

c) 65 kg ó 64 kg

d) 61,8 kg ó 60 kg

e) 62,3 kg ó 62,5 kg

154. Calcula la probabilidad de sucesos en experimen-tos compuestos. Del grupo total de competidores se extrajeron dos equipos, A y B, con los mejores deportistas cuyos pesos, en kilogramos, son los siguientes:

Equipo A 62,5 63 63 64 64,5

Equipo B 63,5 67 62,3 60,2

Calcula la probabilidad de que al elegir al azar un competidor de cada grupo:

a) Uno de ellos pese 62,5 kg y otro 63,5 kg.

b) Uno de ellos pese 63 kg y otro 67 kg.

c) Uno de ellos pese 64 kg y otro 67 kg.

d) Uno de ellos pese 60,2 kg y otro 64 kg.

e) Uno de ellos pese 67 kg y otro 64,5 kg.

44

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.


Hoja de soluciones

10 2

13

10 2

35

10 2

15

10 2

1575

415

10 2

Pensamiento numérico 1. Halla el producto entre dos números racionales.

a) $ 25 800

b) $ 41 670

c) $ 59 921

d) $ 80 910

e) $ 105 047


a) .

b) ,

c) ,

d) .

e) ,

3. Halla la diferencia entre dos números enteros.

a) 940 000

b) 21 089 000

c) 1 152 000

d) 320 000

e) 3 032 000

4. Halla la expresión decimal de un número racional.

a) 0,6

b) 0,4

c) 0,9375

d) 0,4375

e) 0,75

5. Realiza operaciones combinadas entre números enteros.

a) $ 252 200

b) $ 259 000

c) $ 286 500

d) $ 350 000

e) $ 344 800

6. Suma números racionales.

a) 11120

b) 940

c) 940

d) 730

e) 340

7. Calcula una potencia de base entera y exponente natural.

a) 2 27

b) 81

c) 2 9

d) 243 e) 729

8. Plantea y resuelve ecuaciones aditivas y multiplicativas.

a) $ 77 000

b) $ 144 000

c) $ 35 000

d) $ 68 000

e) $ 5 000

9. Comprende el concepto de fracción.

a) F

b) V

c) F

d) F

e) F

10. Realiza adiciones entre fracciones.

a) 815

b) 815

c) 715

d) 35

e) 25


a) 0,333…

b) 0,2

c) 0,2

d) 0,2666…

e) 0,6

12. Representa números racionales en la recta numérica.

a)

b)

c)

d)

e)

13. Aproxima números irracionales.

a) 2,645751

b) 2,64575

c) 2,646

d) 2,65

e) 2,6

14. Realiza operaciones con fracciones.

a) 250 000 000

b) 150 000 000

c) 150 000 000

d) 200 000 000

e) 500 000 000

Planilla de seguimiento


Colegio: Estudiante:

Pensamiento númerico Indicador de logro

ValoraciónObservaciones

Estándares S A Ba B

• Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.

1. Halla el producto entre dos números racionales.


•Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.

3. Halla la diferencia entre dos números enteros.



5. Realiza operaciones combinadas entre números enteros.

6. Suma números racionales.

• Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.

7. Calcula una potencia de base entera y exponente natural.


8. Plantea y resuelve ecuaciones aditivas y multiplicativas.


9. Comprende el concepto de fracción.


10. Realiza adiciones entre fracciones.



12. Representa números racionales en la recta numérica

13. Aproxima números irracionales.


14. Realiza operaciones con fracciones.

S = Superior (5 puntos) A = Alto (4 puntos) Ba = Básico (3 puntos) B = Bajo (2 puntos)

Nivel básico Nivel intermedio Nivel avanzado

El estudiante tiene la habilidad para resolver problemas rutinarios utilizando solo una estrategia de solución.

El estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios simples, en los que debe reorganizar información y utilizar solo una estrategia para su solución.

El estudiante tiene la habilidad de resolver problemas no rutinarios complejos, en los que debe reorganizar información y utilizar más de una estrategia para su solución.

46

Docente: No olvide socializar los resultados y explicar la prueba, para que todos los estudiantes encuentren la razón de cada respuesta.Hoja de soluciones


103

103,85 105,16 105,5105,025

104 105 106

8 9 10 11

6 7 8 9 10 11

76 9 11 13 15 17 19

3530 40 45 50 55 60 65

12 13 14 15 16

15. Ordena números reales.

103,85 m2 , 105,025 m2 , 105,16 m2 , 105,5 m2

16. Representa intervalos en la recta numérica.

a)

b)

c)

d)

e)

17. Halla la diferencia entre números reales.

a) US 18 756,2

b) US 75 024,8

c) US 9 378,1

d) US 14 067,15

e) US 23 445,25


a) 7 52

km2

b) 2 5 km2

c) ( )2 5 3 3� km2

d) 5 3 km2

e) 5 52

km2

19. Halla el cociente de dos números reales.

a) 5

b) 52

c) 3 32

d) 32

e) 510

20. Calcula la potencia de un número real.

a) US 7 290

b) US 1 458

c) US 1 093,5

d) US 2 187 e) US 3 645

21. Calcula la raíz de un número real.

a) 12 m

b) 15,5 m

c) 12,2 m

d) 13 m

e) 16 m

22. Halla el producto de dos números reales.

a) US 4 562,5

b) US 2 164

c) US 967,8

d) US 1 265

e) US 562,5

23. Expresa cantidades en notación científica.

a) 6

b) 6

c) 5

d) 6

e) 4

24. Multiplica cantidades expresadas en notación científica.

a) 6,4 3 109 b) 3 3 109 c) 1 3 1012

d) 1,55 3 107 e) 6,2 3 1010


a) 54,146474

b) 54,6409612

c) 44,5039108

d) 44,998398

e) 45,0606328


a) 715 726 mm3

b) 775 341,36 mm3

c) 838 177,47 mm3

d) 904 320 mm3

e) 973 853,73 mm3

27. Realiza operaciones con números racionales.

a) 63516

b) 2 717

68

c) 69017

d) 17 373

408

e) 63316


47



Pensamiento númerico Indicador de logro




15. Ordena números reales.

16. Representa intervalos en la recta numérica.


17. Halla la diferencia entre números reales.


19. Halla el cociente de dos números reales.



21. Calcula la raíz de un número real.


22. Halla el producto de dos números reales

•Utilizo la notación científica para representar medidas de cantidades de diferentes magnitudes.

23. Expresa cantidades en notación científica.

24. Multiplica cantidades expresadas en notación científica.






27. Realiza operaciones con números racionales.






48



Pensamiento variacional 28. Establece razones equivalentes a una dada. a) Equivalente b) No equivalente c) No equivalente d) Equivalente e) Equivalente

29. Aplica la propiedad fundamental de las proporciones en la resolu-ción de problemas.

a) $ 150 000 b) $ 192 000 c) $ 271 200 d) $ 293 400 e) $ 297 120

30. Calcula el tanto por ciento de una cantidad dada.

a) $ 62 500 b) $ 80 000 c) $ 113 000 d) $ 122 250 e) $ 123 800

31. Utiliza la regla de tres simple para resolver problemas de apli-cación.

Días trabajados Cantidad ahorrada

3 $ 157 8005 $ 263 0004 $ 210 4006 $ 315 6007 $ 368 2008 $ 420 800

12 $ 631 200

32. Reconoce magnitudes inversamente proporcionales.

Cantidad ahorrada Gastos innecesarios

$ 52 000 $ 12 000$ 75 000 $ 8 320$ 24 960 $ 25 000

$ 520 000 $ 1 200$ 195 000 $ 3 200$ 130 000 $ 4 800

$ 65 000 $ 9 600

33. Aplica la regla de tres compuesta para resolver problemas.

Ahorro (en millones) Empleados Tiempo (meses)

10 5 820 16 515 10 618 8 912 12 410 4 10

34. Identifica las características de una expresión algebraica.

a) (2x 1 15) b) (2x 1 27) c) (2x 1 23)

d) (4x 1 30) e) (4x 1 27)

35. Halla el valor numérico de una expresión algebraica.

a) 1 900 b) 2 600 c) 2 908 d) 3 400 e) 4 300

36. Usa el lenguaje algebraico.

a) 75

y 1 45 000 b) 145

y 1 90 000 c) 75

y 1 135 000

d) 495

y 1 150 000 e) 75

y 2 35 000

37. Identifica y reduce términos semejantes en un polinomio.

a) 2x4 1 3x 2 10xy 1 6xy2 b) 3x4 1 3x 1 10x2y2 2 12x2y c) x4 1 2xy2 2 6xy 1 3x d) x3 1 10xy 2 x3z 1 xz3

e) 2x2y 1 xy2

38. Encuentra el producto de dos polinomios. a) 4x2 1 16xy 1 15y2 2 6x 2 9y b) 12x2 1 14xy 2 4y2 1 6x 1 4y c) 24x2 1 66xy 2 15y2 2 24x 2 6y d) 25x2 1 40xy 2 15y2

e) 96x2 1 60xy 1 9y2 2 40x 2 15y

39. Halla la diferencia entre dos polinomios. a) x3 1 3x2 1 3x 2 9 b) x3 2 2x2 1 288 c) 8x3 1 4x2 2 4x 2 3 d) 11x3 1 x 1 23 e) 14x3 1 21x 2 9

40. Calcula productos notables sin aplicar el algoritmo de la multipli-cación.

a) 4x2 1 4xy 1 y2 b) 9x2 1 12xy 1 4y2 c) x2 2 4y2

d) x2 1 9x 1 18 e) 16x2 2 16xy 1 4y2

41. Reconoce productos notables. a) x2 1 6x 1 9 b) x2 2 4 c) x2 2 x 2 12 d) x3 2 3x2 1 3x 2 1 e) 9x2 2 4

42. Encuentra el cociente entre dos polinomios. a) A 5 (x2 1 3x 1 2) m2 b) A 5 (x2 1 3x) m2

c) A 5 (2x 1 2) m2 d) A 5 (x2 1 3x) m2

e) A 5 (x2 1 5x) m2

43. Encuentra el cociente entre un polinomio y un monomio.

a) 2x 1 23

2 2x

b) x2

2 1 x 2 2

c) x2 1 34

x d) 3x4 1 4x2 1 6x

e) x3 1 25

x 1 125

44. Emplea la división sintética para agilizar el cálculo de cocientes entre polinomios.

a) t2 1 2t 1 5 b) t3 1 2t2 1 3t 2 5 c) t3 1 3t2 2 1 d) t3 1 8t2 1 2t e) 3t4 2 t3 2 2t 1 1

45. Emplea el teorema del residuo para calcular residuos en la di-visión de polinomios.

a) 196 b) 220 c) 155 d) 119 e) 205

46. Reconoce las raíces de un polinomio.

a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 4

47. Emplea reglas de cocientes notables para agilizar cálculos de cocientes.

a) x3 1 x2y 1 xy2 1 y3 b) x2 1 3x 1 9 c) x3 1 4x2 1 16x 1 64 d) x4 2 2x3 1 4x2 2 8x 1 16 e) x 1 15

48. Comprende y aplica el teorema fundamental del álgebra.

a) Tres b) Cuatro c) Dos d) Cuatro e) Dos

49. Factoriza polinomios por agrupación de términos. a) (x 1 t)(1 1 x2 1 2t2) b) (a 1 2b)(12 2 5z) c) (3p 1 2i)(2x 1 3z 2 y) d) (2p 1 3)(3x 1 2t 2 6z) e) (2p 1 3m)(19 2 7t)

50. Factoriza la diferencia de cuadrados perfectos.

a) (59

2xy 2 t2)( 59

2xy 1 t2) b) ( 12

1 11x2t3)( 12

2 11x2t3) c) (4x 1 4t 2 1

4p 2 1

4i )(4x 1 4t 1 1

4p 1 1

4i )

d) (15x2y 2 18

t)(15x2y 1 18

t) e) (12 xn 1 6ym)( 12

xn 2 6ym) 51. Reconoce polinomios factorizables. a) No factorizable b) Factorizable c) No factorizable d) Factorizable e) Factorizable


49



Pensamiento variacional Indicador de logro



•Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

28. Establece razones equivalentes a una dada.

•Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

29. Aplica la propiedad fundamental de las proporciones en la resolución de problemas.

30. Calcula el tanto por ciento de una cantidad dada.

31. Utiliza la regla de tres simple para resolver problemas de aplicación.

32. Reconoce magnitudes inversamente proporcionales.

33. Aplica la regla de tres compuesta para resolver problemas.


34. Identifica las características de una expresión algebraica.



36. Usa lenguaje algebraico.


37. Identifica y reduce términos semejantes en un polinomio.

38. Encuentra el producto de dos polinomios.

39. Halla la diferencia entre dos polinomios.

40. Calcula productos notables sin aplicar el algoritmo de la multiplicación.

41. Reconoce productos notables.

42. Encuentra el cociente entre dos polinomios.

43. Encuentra el cociente entre un polinomio y un monomio.

44. Emplea la división sintética para agilizar el cálculo de ciertos cocientes entre polinomios.

45. Emplea el teorema del residuo para calcular residuos en la división de polinomios.

46. Reconoce las raíces de un polinomio.

47. Emplea reglas de cocientes notables para agilizar cálculos de cocientes.

48. Comprende y aplica el teorema fundamental del álgebra.

49. Factoriza polinomios por agrupación de términos.

50. Factoriza la diferencia de cuadrados perfectos.


51. Reconoce polinomios factorizables.






50



52. Factoriza la suma o la diferencia de cubos perfectos.

a) (6x 2 y)(36x2 1 6xy 1 y2)

b) (2x 2 3z)(4x2 1 6xz 1 9z2)

c) (4z 2 y2)(16z2 1 4y2z 1 y4)

d) (xz 2 2y2)(x2z2 1 2xy2z 1 4y4)

e) (y2 2 2x)(y4 1 2xy2 1 4x2)

53. Reconoce trinomios cuadrados perfectos.

a) No b) Sí c) Sí d) No e) No

54. Factoriza trinomios cuadrados perfectos.

a) (9x 2 3t)2 b) (132x 1 5y2)2 c) (2xy 1 9)2

d) ( 12

3x 2 6y2)2

e) ( 25

2x y 1 12 )2

55. Factoriza trinomios de la forma x2n 1 bxn 1 c.

a) (x3 2 6)(x3 1 15) b) (x4 1 3)(x4 1 6) c) (x3 2 6)(x3 2 5)

d) (x3 1 5y)(x3 2 3y) e) (x4 1 32)(x4 2 5)

56. Factoriza trinomios de la forma ax2n 1 bxn 1 c.

a) (5x2 1 3)(x2 2 8) b) (7x 1 2)(x 1 5) c) (3x 2 8)(x 2 6)

d) (2x2 1 3)(x2 2 7) e) (3x3 2 5)(x3 2 2)

57. Aplica diferentes casos de factorización.

a) x3 2 4x b) x2(2x 1 3y)2 c) y(x 1 1)3

d) x(x 1 1)(x 2 1)2 e) 2x(3x 1 2)(x2 2 y2)


a) 4

b) No existe valor numérico

c) 2,62

d) 2

e) 3,028


a) Indeterminado b) Determinado c) Determinado

d) Indeterminado e) Determinado

60. Halla fracciones algebraicas equivalentes a una fracción alge-braica dada.

a) 3 b) 4 c) 1 d) 2 e) 5

61. Halla la diferencia entre dos fracciones algebraicas.

a) 3 2

73x

x

�

� b)

−2 2 11

2 7 3

2

2x x

x x

� �

� �

c) −7 6 6

1

2

2x x

x

� �

� d)

−x x x

x x x

3 2

3 23 3 11

4 5 2

� � �

� � �

e) x x

x

2 6 52 4� �

�

62. Halla el producto de dos fracciones algebraicas.

a) x

x x x

�

� � �

1

5 9 453 2 b) x

x x

2

21

6 4

�

� c)

3 5 23 4

2x xx� �

�

d) x x

x x x

2

3 2

8 15

4 2 8 4

� �

� � � e)

x x

x x

2

29 14

9 14

� �

� �

63. Reconoce expresiones radicales.

a) 5 24 2x y y b) 6 32x y

c) 4 22xy x d) 2 22xy x

e) 6 22xy x 1 5 24x y y 1 6 32x y

64. Halla el cociente entre dos fracciones algebraicas.

a) 6 15 6

2 5

2

3 2

x x

x x

� �

� b)

x

x x

�

� �

6

22 c) x x

x x

2

2

4 5

2 6

� �

� �

d) 12 2

7 182

x

x x

�

� � e)

2 7 6

3 2

2

2

x x

x x

� �

�

65. Reduce expresiones radicales al índice común.

a) x4860 , 1024 3060 x , 3 125 2560 x b) x812 , x312 , 64 612 x

c) x y30 1560 , x1260 , 1024 1060 x d) x618 , x618 , 4 218 x

e) x1020 , x620 , 16 420 x

66. Realiza operaciones con expresiones radicales.

a) (2x2y 1 3xy 1 2x ) xy b) 34

12

3 32x y x x� �

c) 12

2 3 33 2x x y x x� �

d) x y17 1320 e) x12

67. Reconoce ecuaciones equivalentes a una ecuación dada. a) No b) Sí c) No d) Sí e) No

68. Resuelve problemas que involucran ecuaciones lineales.

a) Tractor: $ 32 000 000; motobomba: $ 4 800 000.

b) Guadañadora: $ 350 000; agavilladora: $ 265 000.

c) Arador: $ 3 450 000; picadora: $ 2 300 000.

d) Sistema de riego: $ 6 800 000; arador: $ 1 275 000.

e) Trilladora: $ 120 000 000; desgranadora: $ 60 000 000 empacadora: $ 30 000 000.

69. Plantea y resuelve ecuaciones lineales con coeficientes enteros.

a) Vaca: $ 1 600 000 b) Toro: $ 1 800 000; caballo $ 3 600 000

c) Ternero: $ 615 000 d) Cerdo: $ 497 000; ternero $ 525 000

e) Ternero:$ 523 000; cerdo: $ 493 000

70. Resuelve ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios.

a) x 5 17

b) x 5 14

c) x 5 16

d) x 5 15

e) x 5 18

71. Reconoce las soluciones de ecuaciones de segundo grado.

a) x2 2 3x 1 2 b) x2 2 5x 1 6 c) x2 2 6x 1 8

d) x2 2 4x 1 3 e) x2 2 7x 1 12

72. Resuelve ecuaciones de segundo grado.

a) 2 km, 3,5 km b) 25

km, 15

km c) 83

km, 2 km

d) 32

km, 53

km e) 3 km, 52

km

73. Resuelve ecuaciones con fracciones algebraicas.

a) Seis meses b) Tres meses c) Doce meses d) Cinco meses e) Diez meses


51







52. Factoriza la suma o la diferencia de cubos perfectos.


53. Reconoce trinomios cuadrados perfectos.


54. Factoriza trinomios cuadrados perfectos.

55. Factoriza trinomios de la forma x2n 1 bxn 1 c.

56. Factoriza trinomios de la forma ax2n 1 bxn 1 c.


57. Aplica diferentes casos de factorización.




60. Halla fracciones algebraicas equivalentes a una fracción algebraica dada.

61. Halla la diferencia entre dos fracciones algebraicas.

62. Halla el producto de dos fracciones algebraicas.

63. Reconoce expresiones radicales.

64. Halla el cociente entre dos fracciones algebráicas.

65. Reduce expresiones radicales al índice común.

66. Realiza operaciones con expresiones radicales.

67. Reconoce ecuaciones equivalen-tes a una ecuación dada.

68. Resuelve problemas que involucran ecuaciones lineales.

69. Pantea y resuelve ecuaciones lineales con coeficientes enteros.

70. Resuelve ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios.

71. Reconoce las soluciones de ecuaciones de segundo grado.


73. Resuelve ecuaciones con fracciones algebraicas.






52



5

5�5 2,5�2,5

�5

O

5

5�5 2,5�2,5

�5

O

5

5�5 2,5�2,5

�5

O

5

5�5 2,5�2,5

�5

O

74. Resuelve problemas con sistemas de ecuaciones.

a) Caballo: $ 3 000 000; vaca: $ 1 300 000

b) Caballo: $ 2 800 000; vaca: $ 1 200 000

c) Caballo: $ 1 700 000; vaca: $ 1 500 000

d) Caballo: $ 2 350 000; vaca: $ 1 200 000

e) Caballo: $ 2 140 000; vaca: $ 1 350 000

75. Resuelve problemas con desigualdades lineales.

a) x 7,6 g b) x 57 g c) x , 131 g

d) x . 30 g e) x 72 g

76. Halla elementos del conjunto de salida y de llegada de una función.

Costo de fabricación ($) Precio ($)

30 000 107 00035 000 122 00050 000 167 00018 000 71 00025 000 92 000

77. Determina el crecimiento o decrecimiento de una función a partir de su gráfica.

Crece: [0, 10] U [20, 40] U [70, 10] Decrece: [10, 20] U [40, 70]

78. Determina puntos máximos y mínimos de una función a partir de su gráfica.

Máximos relativos: (10, 2), (40, 3), (100, 5) Mínimo absoluto: (20, 21)

Mínimos relativos: (20, 21), (70, 0) Máximo absoluto: (100, 5)

79. Representa gráficamente funciones afines.

Máquinas encendidas

Zapatos contramarcados por

minuto0 21 52 83 11

80. Reconoce funciones afines. a) Afín b) No afín c) No afín d) Afín e) Afín

81. Halla la tasa de crecimiento de una función. a) 25 b) 26 c) 0 d) 4 e) 8

82. Reconoce variables dependientes y variables independientes.

a) D: cantidad de medicamento; I: peso del paciente

b) D: precio del recibo; I: cantidad de minutos gastados

c) D: cantidad de litros de agua contaminados; I: cantidad de li-tros de gasolina

d) D: cantidad de calorías quemadas; I: Tiempo que dure haci-endo deporte

e) D: ingresos de la empresa; I: cantidad invertida en mercadeo

83. Representa gráficamente funciones cuadráticas.

84. Halla la expresión factorizada de una expresión algebraica dada.

a) (2a 1 3b)(6x 2 5)

b) (x 2 3)(3x 1 5)

c) (8x 2 3y2)(64x2 1 24xy2 1 9y4)

d) (x2 2 16)2

e) 38

53

38

53

2 2 2 2x y x y� �

85. Calcula el valor numérico de una expresión algebraica. a) 107,7 b) 105,5 c) 103,4 d) 90,7 e) 88,3

86. Halla el producto entre dos expresiones algebraicas.

a) 28 57 546

3 2( )x x xx

� � �

�

b) (2y3 2 54y2 2 54y 2 108)

c) (2z3 2 4z2 2 6z 1 12)

d) (36w2 1 87w 1 30)

e) 2 2 114 303 3

3 2r r rr

� � �

�

87. Halla la suma de fracciones algebraicas.

a) 2 12 22 2 2

2 2

x x y yx y

� �

�

m

b) 2 15 4

20 10

2x xy

� �

�

m

c) 2bx b x( )�

m

d) 3 10 1025

2

2

x xx� �

�

m

e) 3 4 11 6

6

3 2

3 2

x x xx x x� � �

� �

m

88. Realiza operaciones entre expresiones radicales.

a) x xy23 b) x x y24 c) (x2y 1 3xy 2 2xy2) xy3

d) 1

6 y e) 18 26 y

89. Plantea y resuelve ecuaciones algebraicas de primer grado con una incógnita.

a) 14,5 s b) 18,3 s c) 15 s d) 14,8 s e) 16,2 s

90. Resuelve ecuaciones con la incógnita en más de un término.

a) J1:8; J2:4; J3:10 b) J1:6; J2:8; J3:3 c) J1:3,5; J2:4,5; J3:9

d) J1:7; J2:7,5; J3:3,5 e) J1:10; J2:5; J3:8


a) 32 m b) 35 m c) 60 m d) 43,75 m e) 48 m

92. Identifica máximos y mínimos en una función.

a) Máx. rel.: (20,45); (50,35); (75,40); (95,25) b) Máx. abs.: (20,45)

c) Mín. rel.: (40,30); (60,30); (90,20) d) Mín. abs.: (90,20)

e) Crecimiento: [0,20]U[40,50]U[60,75]U[90,95]; decrecimiento: [20,40]U[50,60]U[75,90]U[90,110]

93. Representa máximos y mínimos de funciones continuas.

Respuesta abierta


53







74. Resuelve problemas con sistemas de ecuaciones.

• Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

75. Resuelve problemas con desigualdades lineales.

•Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

76. Halla elementos del conjunto de salida y de llegada de una función.

77. Determina el crecimiento o decrecimiento de una función a partir de su gráfica.

78. Determina puntos máximos y mínimos de una función a partir de su gráfica.

79. Representa gráficamente funciones afines.

80. Reconoce funciones afines.

81. Halla la tasa de crecimiento de una función.


82. Reconoce variables dependientes y variables independientes.

83. Representa gráficamente funciones cuadráticas.


84. Halla la expresión factorizada de una expresión algebraica dada.


86. Halla el producto entre dos expresiones algebraicas.

87. Halla la suma de fracciones algebraicas.

88. Realiza operaciones entre expresiones radicales. Plantea y resuelve ecuaciones algebraicas de primer grado con una incógnita.


89. Plantea y resuelve ecuaciones algebraicas de primer grado con una incógnita.


90. Resuelve ecuaciones con la incógnita en más de un término.


•Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

92. Identifica máximos y mínimos en una función.

93. Representa máximos y mínimos de funciones continuas.






54



Pensamiento espacial 94. Reconoce características de los ángulos determinados entre rec-

tas paralelas y una secante a ellas.

a) V

b) F

c) V

d) V

e) V

95. Establece la medida de los ángulos determinados por rectas pa-ralelas intersecadas por una secante.

a) 1258

b) 708

c) 558

d) 558

96. Reconoce rectas paralelas según la relación que se establece en-tre los ángulos que se determinan.

b) Sí, porque 1 y 2 son congruentes y correspondientes entre BC y DE.

97. Reconoce características de ángulos determinados entre parale-las cortadas por una secante.

a) Correspondientes

b) Opuestos por el vértice

c) Adyacentes suplementarios

d) Alternos internos

98. Establece la medida de los ángulos determinados por paralelas cortadas por una secante.

a) 898

b) 468

c) 408

d) 43,68

e) 1408

99. Reconoce la relación que se establece la medida entre ángulos determinados por paralelas y secantes a ellas.

a) 898

b) 468

c) 408

d) 43,68

e) 1408

100. Identifica en las figuras pares de ángulos correspondientes y traza una F diferente en cada caso.

a) b)

c) d)

101. Aplica criterios para determinar la semejanza entre triángulos.

a) Semejantes

b) No semejantes

c) No semejantes

d) Semejantes

e) Semejantes

102. Reconoce triángulos congruentes.

a) V b) F

c) F d) V

103. Aplica las propiedades de los triángulos.

a) 608

b) 458

c) 508

d) 1178

e) 388

f) 288

104. Utiliza las propiedades de los triángulos para determinar valo-res desconocidos en él.

a) 14,14 cm

b) 348

105. Identifica triángulos congruentes.

a) UTS VXW a) PMN QRT ABC a) IJK GHF

106. Aplica los criterios de congruencia e identifica triángulos con-gruentes.

a) LLL b) LAL

c) ALA d) LLL

107. Identifica y clasifica cuadriláteros.

a) 4 b) 3

c) 2 d) 1

e) 5

108. Reconoce cuadriláteros.

Respuesta abierta

109. Identifica propiedades de un paralelogramo.

Respuesta abierta.

110. Realiza movimientos de figuras en el plano.

O

5

6

7

4

3

2

1

�1

�2�3�4�5�6�7

1 2 3 4 5 6 7

�2

�3

�4

�5

�6

�7

D

Y

X

C

BA

a)

b)

c)d)

e)


55



Pensamiento espacial Indicador de logro



•Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

94. Reconoce características de ángulos determinados entre paralelas intersecadas por una secante.

95. Establece la medida de los ángulos determinados por paralelas intersecadas por una secante.

96. Reconoce rectas paralelas según la relación que se establece entre los ángulos que se determinan.

97. Reconoce ángulos determinados por rectas paralelas y una secante a ellas.

• Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).

98. Establece la medida de los ángulos determinados por paralelas intersecadas por una secante.

99. Reconoce la relación que se establece entre ángulos determinados por rectas paralelas y secantes a ellas.


100. Identifica ángulos correspondientes por rectas paralelas intersecadas por una secante.

•Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.

101. Aplica criterios para determinar la semejanza entre triángulos.

102. Reconoce triángulos congruentes.

•Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas.

103. Aplica las propiedades de los triángulos.

104. Utiliza las propiedades de los triángulos para determinar valores desconocidos en él.

105. Identifica triángulos congruentes.

106. Aplica los criterios de congruencia e identifica triángulos congruentes.

107. Identifica y clasifica cuadriláteros.

108. Reconoce cuadriláteros.


109. Identifica propiedades de un paralelogramo.

110. Realiza movimientos de figuras en el plano.






56



Pensamiento métrico 111. Comprende la equivalencia entre unidades de longitud y hace

conversiones. a) 5 020 b) 50 200 c) 502 d) 50,2 e) 5,02

112. Comprende y aplica el teorema de Pitágoras. a) 1 753,65 m b) 879,83 m c) 1 802,8 m d) 778,85 m e) 774,66 m

113. Comprende la equivalencia entre unidades de superficie y hace conversiones.

a) 1 062 500 b) 106 250 000 c) 106 250 000 d) 106,25 e) 1,0625

114. Comprende la equivalencia entre unidades de volumen y realiza conversiones.

a) 360 b) 360 000 c) 0,36 d) 0,00036 e) 360 000 000

115. Comprende las equivalencias entre unidades de medida del tiempo y realiza conversiones.

a) 10 b) 240 c) 0,33 d) 14 400 e) 1,4286

116. Identifica las propiedades de los triángulos. a) 60º b) 45º c) 44º d) 117º e) 142º

117. Halla el área de triángulos. a) $ 114 750 000 b) $ 73 500 000 c) $ 162 000 000 d) $ 5 625 000 e) $ 103 500 000

118. Halla el área de cuadriláteros. a) 36 m2

b) 10 m2

c) 3 m2

d) 36 m2

e) 27 m2

119. Halla el área de regiones sombreadas. a) 1 350,97 cm2

b) 37,78 cm2

c) 91,13 cm2

d) 267,25 cm2

e) 460,0825 cm2

120. Calcula el área de un prisma. a) 1 510 cm2

b) 511,6 cm2

c) 388 cm2

d) 214,2 cm2

e) 1 828,2 cm2

121. Calcula el área de cilindros y conos.

a) 2 009,6 cm3

b) 1 695,6 cm3

c) 2 260,8 cm3

d) 314 cm3

e) 1 230,88 cm3

122. Calcula el volumen de esferas. a) 7,23 cm3

b) 4 186,�

cm3

c) 24,42 cm3

d) 0 523,�

cm3

e) 38,8 cm3

123. Halla el volumen de cuerpos compuestos.

a) V 5 18,96 cm3, AT 5 41,6204 cm2

b) V 5 2,75 cm3, AT 5 15,8 cm2

c) V 5 20,8 cm3

124. Calcula la longitud de una circunferencia.

a) 251,2 cm

b) 254,34 cm

c) 257,48 cm

d) 268,47 cm

e) 282,6 cm

125. Calcula el volumen de prismas.

a) (32x3 2 32x2 2 102x 2 45) m3

b) 752

x3 1 25x2 2 64x 2 48 m3

c) ( 52

x3 1 234

x2 1 3x) m3

d) 15 117 288 228

8

3 2x x x� � �

m3

e) (8x3 1 58x2 1 100x 2 50) m3

126. Calcula el volumen y el área de esferas.

a) V 5 1 149,8 cm3

b) A 5 530,66 cm2

c) V 5 696,6 cm3

d) A 5 379,94 cm2

e) V 5 448,7 cm3

127. Calcula el volumen y el área de cilindros.

a) V 5 464,72 cm3

b) A 5 4 410,13 cm2

c) V 5 376,8 cm3

d) A 5 3 322,12 cm2

e) V 5 276,32 cm3


57



Pensamiento métrico Indicador de logro



• Justifico la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas ciencias.

111. Comprende la equivalencia entre unidades de longitud y hace conversiones.

•Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de sólidos.

112. Comprende y aplica el teorema de Pitágoras.


113. Comprende la equivalencia entre unidades de superficie y realiza conversiones.

114. Comprende la equivalencia entre unidades de volumen y realiza conversiones.

115. Comprende las equivalencias entre unidades de medida del tiempo y realiza conversiones.

116. Identifica las propiedades de los triángulos.

•Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de sólidos.

117. Halla el área de triángulos.

118. Halla el área de cuadriláteros.

119. Halla el área de regiones sombreadas.

120. Calcula el área de un prisma.

121. Calcula el área de cilindros y conos.

• Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

122. Calcula el volumen de esferas.

123. Halla el volumen de cuerpos compuestos.


124. Calcula la longitud de una circunferencia.

• Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

125. Calcula el volumen de prismas.

126. Calcula el volumen y el área de esferas.

127. Calcula el volumen y el área de cilindros.






58



Pensamiento aleatorio 128. Reconoce e interpreta gráficas estadísticas.

a) La barra que representa las cantidades de stands de animales curiosos está mal.

b) Las barras de los stands de juegos y la de magia están mal.

c) La barra que representa los stands variados está mal.

d) Las barras de stands de comidas y juegos están intercambiadas.

e) La barra de los stands de juegos está mal.

129. Halla la moda de un conjunto de datos.

a) 12

b) 12

c) 13

d) 12

e) 12

130. Halla la media de un conjunto de datos.

a) 12,36

b) 11,76

c) 13,1

d) 12

e) 11,5

131. Reconoce y aplica el concepto de probabilidad.

a) Quince

b) Doce

c) 320

d) 1

e) Cero

f) 54 450 000

132. Reconoce los elementos principales en un estudio estadístico.

a) 3

b) 4

c) 2

d) 1

e) 5

133. Calcula la frecuencia relativa de un conjunto de datos.

a) 0,24889

b) 0,11111…

c) 0,20444

d) 0,22222…

e) 0,09333…

134. Construye intervalos de clase.

Límite inferior

Límite superior

Intervalo de calificación

Frecuencia absoluta

2,5 2,84 [2,5; 2,84) 2

2,84 3,18 [2,84; 3,18) 5

3,18 3,52 [3,18; 3,52) 7

3,52 3,86 [3,52; 3,86) 4

3,86 4,2 [3,86; 4,2) 3

135. Calcula la moda en un conjunto de datos.

a) 1,755 m

b) 1,825 m

c) 1,825 m

d) 1,825 m

e) 1,895 m

136. Calcula la media en un conjunto de datos.

a) 1,756 m

b) 1,79 m

c) 1,82 m

d) 1,79 m

e) 1,82 m

137. Encuentra el intervalo mediana en un conjunto de datos.

a) [1,72; 1,79)

b) [1,79; 1,86)

c) [1,79; 1,86)

d) [1,79; 1,86)

e) [1,79; 1,86)

138. Reconoce medidas de posición en un conjunto de datos.

a) 21,25

b) 23

c) 24,75

d) 14

e) Ambos ocupan la posición central en el conjunto ordenado de datos.

139. Diferencia un experimento aleatorio de uno determinístico.

a) Aleatorio

b) Aleatorio

c) Aleatorio

d) Determinístico

e) Determinístico

140. Conoce el espacio muestral de un experimento aleatorio.

a) E 5 51, 2, 3, 4, 5, 66, A 5 53, 66

b) E 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 86, A 5 57, 86

c) E 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96, A 5 52, 4, 6, 86

d) E 5 51, 2, 3, 46, A 5 516

e) E 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96, A 5 52, 3, 5, 76

141. Usa técnicas de conteo para analizar la cantidad de posibles resultados de un experimento aleatorio.

a) 20

b) 30

c) 63

d) 42

e) 64


59



Pensamiento aleatorio Indicador de logro



• Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar distintas interpretaciones.

128. Reconoce e interpreta gráficas estadísticas.

• Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría.

129. Halla la moda de un conjunto de datos.

130. Halla la media de un conjunto de datos.

•Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo).

131. Reconoce y aplica el concepto de probabilidad.

• Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas.

132. Reconoce los elementos principales en un estudio estadístico.


133. Calcula la frecuencia relativa de un conjunto de datos.

134. Construye intervalos de clase.

• Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría.

135. Calcula la moda en un conjunto de datos.

136. Calcula la media en un conjunto de datos.

137. Encuentra el intervalo mediana en un conjunto de datos.

138. Reconoce medidas de posición en un conjunto de datos.

•Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático probabilístico.

139. Diferencia un experimento aleatorio de uno determinístico.

140. Conoce el espacio muestral de un experimento aleatorio.


141. Usa técnicas de conteo para analizar la cantidad de posibles resultados de un experimento aleatorio.






60



142. Calcula la probabilidad de un evento simple usando la regla de Laplace.

a) 1

10

b) 12

c) 12

d) 25

e) 310

143. Conoce y aplica las propiedades de la probabilidad.

a) 5

16

b) 0

c) 2564

d) 1116

e) 6364

144. Halla la probabilidad de la intersección de sucesos.

a) 0,048

b) 0,175

c) 0,065

d) 0,134

e) 0,2

145. Halla la probabilidad de la unión de eventos independientes.

a) 0,25

b) 0,37

c) 0,32

d) 0,35

e) 0,3

146. Halla la probabilidad de sucesos en experimentos compuestos.

a) 18

b) 18

c) 18

d) 0

e) 38

147. Calcula la probabilidad de la intersección de eventos dependi-entes.

a) 0 08,�

b) 0 02,�

c) 0 04,�

d) 0 01,�

e) 0 13,�

148. Representa datos agrupados.

Masa (kg) [60 2 61,5) [61,5 2 63) [63 2 64,5) [64,5 2 66) [66 2 66,7)

Número de deportistas 5 4 8 6 7

149. Representa gráficamente datos agrupados.

Respuesta abierta

150. Reconoce conceptos de estadística descriptiva.

a) 62,3 kg

b) 63,5 kg

c) 65,5 kg

d) 7,5 kg

e) 63,6724 kg

151. Calcula la probabilidad de eventos simples.

a) 0 06,�

b) 0 06,�

c) 0 013,�

d) 0,1

e) 0

152. Calcula la probabilidad de la intersección de eventos dependientes.

a) 0,0138

b) 0,007

c) 0,003

d) 0

e) 0,003

153. Calcula la probabilidad de la unión de sucesos.

a) 0 191,�

b) 0,13

c) 0,13

d) 0,098

e) 0 065,�

154. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos compues-tos.

a) 0,05

b) 0,1

c) 0,05

d) 0,05

e) 0


61






•Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.).

142. Calcula la probabilidad de un evento simple usando la regla de Laplace.

143. Conoce y aplica las propiedades de la probabilidad.

144. Halla la probabilidad de la intersección de sucesos.

145. Halla la probabilidad de la unión de eventos independientes.

146. Halla la probabilidad de sucesos en experimentos compuestos.



148. Reconoce conceptos de estadística descriptiva.

149. Representa datos agrupados.

150. Representa gráficamente datos agrupados.


151. Calcula la probabilidad de eventos simples.

•Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.).


153. Calcula la probabilidad de la unión de sucesos.

154. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos compuestos.







Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Pensamiento espacial y sistemas geométricos

Pensamiento métrico y sistemas de medidas

Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

• Utilizo números reales en sus diferen-tes representaciones en diversos con-textos.

• Conjeturo y verifico propiedades de con-gruencia y semejanza entre figuras bi-dimensionales y entre objetos tridimen-sionales en la solución de problemas.

• Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y volumen de sólidos.



• Resuelvo problemas y simplifico cálcu-los usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.


• Selecciono y uso técnicas e instru-mentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

• Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revis-tas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expre-sión algebraica dada.

• Utilizo la notación científica para re-presentar medidas de cantidades de diferentes magnitudes.

• Aplico y justifico criterios de congruen-cias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.

• Justifico la pertinencia de utilizar uni-dades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas cien-cias.

• Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dis-persión y asimetría.

• Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

• Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para re-presentar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver pro-blemas.

• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en la matemática y en otras disciplinas.

• Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados al tipo de problema, de información y al nivel de la escala en la que se representa (nominal, ordinal, de intervalo o de razón).

• Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

• Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático proba-bilístico.

• Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

• Resuelvo y formulo problemas seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

• Analizo los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales.

• Reconozco tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas.

• Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación.

• Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo).

• Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que la representan.

• Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.).

• Analizo en representaciones gráficas cartesianas los compor-tamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

Tabla de esTándares para los grados 8 y 9


Pensamiento numérico y sistemas numéricos

Pensamiento espacial y sistemas geométricos

Pensamiento métrico y sistemas de medidas

Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

• Utilizo números reales en sus diferen-tes representaciones en diversos con-textos.

• Conjeturo y verifico propiedades de con-gruencia y semejanza entre figuras bi-dimensionales y entre objetos tridimen-sionales en la solución de problemas.

• Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y volumen de sólidos.



• Resuelvo problemas y simplifico cálcu-los usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.


• Selecciono y uso técnicas e instru-mentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

• Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revis-tas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expre-sión algebraica dada.

• Utilizo la notación científica para re-presentar medidas de cantidades de diferentes magnitudes.

• Aplico y justifico criterios de congruen-cias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.

• Justifico la pertinencia de utilizar uni-dades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas cien-cias.

• Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dis-persión y asimetría.

• Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

• Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para re-presentar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver pro-blemas.

• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en la matemática y en otras disciplinas.

• Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados al tipo de problema, de información y al nivel de la escala en la que se representa (nominal, ordinal, de intervalo o de razón).

• Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

• Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático proba-bilístico.

• Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.

• Resuelvo y formulo problemas seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

• Analizo los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales.

• Reconozco tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas.

• Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación.

• Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo).

• Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que la representan.

• Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.).

• Analizo en representaciones gráficas cartesianas los compor-tamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

Esta obra forma parte de un Proyecto global concebido por el equipo editorial de Edicio-nes SM. El Proyecto editorial comprende la creación, diseño y desarrollo, por iniciativa y bajo la coordinación de Ediciones SM, de los libros de texto, materiales didácticos com-plementarios y otros documentos o conteni-dos que sirvan de ayuda didáctica, editados para la aplicación de los currículos conforme a los sistemas educativos oficiales de ense-ñanza básica. Para la elaboración de la presente obra Edi-ciones SM ha procurado ser especialmente respetuoso con los derechos morales y patri-moniales de terceros, quedando salvaguar-dados los derechos de autor reconocidos a sus titulares por cualquier legislación, acuer-do o convenio internacional de aplicación. No obstante, para cualquier consulta, acla-ración o reclamación por la explotación o actividad que pudieran contravenir los dere-chos de terceros, podrá ponerse en contacto con Ediciones SM en la siguiente dirección: [email protected]

dirección editorial César Camilo Ramírez S.

edición ejecutiva Luz Stella Alfonso Orozco

autoría Equipo Ediciones SM, José Luis Urquiza Simbaqueba

corrección de estilo

Leonard Múnera Villamil

gerencia de arte y diseño de la serie Rocío Duque S.

coordinación de diseño

Elkin Vargas Bohórquez

diagramación y gráficas

Sandra Inés Dueñas S.

fotografía Archivo SM

retoque digital Ángel Camacho L.

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