ECUACIONES DIFERENCIALES

LUIS EDUARDO ROSERO MUÑOZ

CODIGO: 1059911301

GRUPO: 100412_145

Tutor

Joseph Vladimir Gutiérrez Rojas 

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

2015

Aporte individual

Temática: Ecuaciones diferenciales de orden superior. Punto 1. Inciso A. Javier Antonio Gómez.

1. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.

e . y ' '+2 y '− y=0

La ecuación planteada es una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes

porque son de la forma a0 ( x ) y(n)+a1 ( x ) y(n−1)+…+an−1 (x ) y '+an ( x ) ( y )=b(x )

y ' '−4 y'+4 y=0

Solucionamos

m2−4m+4=0

factorisamoscomoun tr inomio cuadrado perfeccto

(m−2)2

m1=m2=2

Solución

y (x )=C1e2x+C2 x e

2x

6. Resolver la siguiente ecuación diferencial:

x2 y ’’+ x y ’+ y=0

Para resolver la ecuación diferencial se transforma a una ecuación diferencial homogénea

de coeficientes constantes, mediante la sustitución. 

x=e t−−→ t=Lnx

Ademas

dy /dx=e−tdy /dt ; d ² y /dt ²=e(−2 t )(d ² y /dt ²−dy /dt )

Reemplazando en la ecuación diferencial.

e(2 t ). e(−2 t )(d ² y /dt ²−dy /dt)+(et)(e−t)dy /dt+ y=0 

d ² y /dt ²−dy /dt+dy /dt+ y=0d ² y /dt ²+ y=0

Ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes El polinomio característico es 

P(r )=r ²+1=0=¿ r 1=i ; r 2=−icost, sent, y la solución general es: 

y=c1 cos t+c2 sent

Donde

t=ln x

y=c1 cos(Lnx)+c 2 sen( ln x )