Cálculo diferencial (arq)

Aplicaciones en problemas de Optimización

Introducción

h

r V = 1000 cc

Algunas combinaciones

Radio (cm) Altura (cm)

3.18

79.62

10

4

6

8

19.9

8.86

4.97

Latas de un litro

r = 2

r = 4r = 6 r = 8 r = 10

Fabricación de la lata

r

2rh

r

Material requeridoS (cm2)

1025r (cm)

2h (cm)

79.60600 560 652 828

8.84 4.97 3.18

19.904 6 8

10S(r) = 2000/r + 2r2

Usando Derive para ver la gráficaUsando Derive para ver la gráfica

ProblemaProblema

Un campesino dispone de 200 metros de alambre para cercar un terreno rectangular. ¿Cuáles han de ser las dimensiones del terreno de modo que el área se la máxima ?

Planteamiento del problema

y

xArea = x.y

Pero como el perímetro del rectángulo es fijo igual a 200 se tiene:

200=2x+2y

Podemos expresar el área del rectángulo en términos de una sola variable, esto es

f(x)=x(100-x)

O sea una función de una variable que tiene por dominio el intervalo

[0, 100]

El problema reside ahora en la búsqueda del máximos de la función f en el intervalo [0, 100]

Los extremos de esa función se encuentran en los extremos del intervalo o en su interior.

El máximo tiene que estartiene que estar en el interior del intervalo.

f(0)=f(100)=0 Mínimo absoluto

Para su obtención derivamos e igualamos a cero

0x2100)x(f x=50

máximo absoluto buscado f(50) = 2500

El terreno es un cuadrado de lado 50 m50 m y el área máxima es 2,500 metros 2,500 metros cuadradoscuadrados

Una figura que ilustre las condiciones del problema

Encontrar el radio de la base del cilindro de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio R. ¿Cuál es el volumen máximo?

Problema

1

Plantear la función objetivo. 2

En este caso es el volumen del cilindro

V=hr2.

Ecuación de enlace. 3

222 r)2/h(R 22 rR2h

Función objetivo en una variable 4

222 rRr2)r(v

Intervalo de decisión5

]R,0[r

Análisis en los extremos del intervalo.

En 0 y en R hay un mínimo.

6

Análisis en el interior del intervalo7

22

22

rR

)r3R2(r2)r(v

Análisis de puntos críticos8

0r3R2 22 3/2Rr

Valor optimo.9

9R34

)3/2R(v3

Respuesta.

y el volumen máximo esvolumen máximo es :

9R34

V3

max

10

El radio que produce el cilindro de volumen máximo es :

3/2Rr

Ejemplo 1

Un hombre se encuentra en un bote a 2 millas de una costa rectilínea y quiere llegar a una choza ubicada en la costa que se encuentra a 6 millas del punto de la costa más próximo al bote. Se sabe que la mayor velocidad que este hombre puede alcanzar remando es de 3 mi/h, pero caminando puede ir a 5 mi/h. Se quiere determinar la trayectoria que le permite llegar al pueblo en el menor tiempo.

6 millas

2 m

illa

s

- -

Posibles trayectorias

6 millas

2 m

illa

s

Respuesta

El hombre debe remar hasta un punto de la costa a 4.5 millas del pueblo y continuar a pie por la costa. El tiempo empleado será de 1 hora y 44 minutos.

Ejercicio 1

La resistencia de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cuadrado de su espesor. Determine las dimensiones de la viga de mayor resistencia que pueda cortarse de un tronco con forma de cilindro circular recto de radio 72 cm.

72 cm

Ejercicio 2

Un trozo de alambre de 10 pies de longitud se corta en dos partes. Con una parte se hace una circunferencia y la otra se dobla en forma de cuadrado. ¿Cómo debe cortarse el alambre de modo que:

a) El área total de las dos figuras sea la mínima posible.

b) El área total sea la máxima posible.

Ejercicio 3

En una fábrica se elaboran dos productos A y B si el costo total de producción al día es C = 3x2 + 42y, donde x es el número de máquinas usadas en la producción de A, y es el número de máquinas usadas en la producción de B y el total de máquinas es 15. ¿Cuántas máquinas deben usarse en la elaboración de A y B para que el costo total sea mínimo?

Ejercicio 4

Dos aviones A y B vuelan a la misma altura horizontalmente tal como lo muestra la figura. Si la velocidad de A es 16 km/min y la de B es 20 km/min, determine en cuántos segundos los aviones estarán lo mas cerca posible y a qué distancia.

20 km

20 km

B

A

Ejercicio 5

Un generador de corriente directa tiene una fuerza

electromotriz de E voltios y una resistencia interna de r

ohms, donde E y r son constantes. Si R ohms es la

resistencia externa, entonces la resistencia total es

(R+r) ohms y la potencia P watts será:

Demuestre que el consumo máximo de potencia

ocurre cuando R = r.

2

2

)( Rr

REP

Ejercicio 6

En una comunidad particular, cierta epidemia se propaga de modo que x meses después del inicio de la epidemia, P es el porcentaje de la población infectada donde:

¿En cuántos meses se infectará el número máximo de personas y qué porcentaje de la población será este?

22

2

)1(

30

x

xP