cálculo diferencial- aplicaciones con voyage 200

Cálculo Diferencial

[Aplicaciones con Texas Instruments Voyage 200]

2010 En este manual encontrarás aplicaciones para diversos temas del Cálculo Diferencial, graficación, máximos y mínimos, solucionadores para derivadas paso a paso, derivadas implícitas y derivadas paso a paso en SMG.

Materia para: Todas las Ingenierías

EELLAABBOORRAADDOO PPOORR::

II..II.. ÁÁNNGGEELL GGAARRCCÍÍAAFFIIGGUUEERROOAA HHEERRNNÁÁNNDDEEZZ

[ CÁLCULO DIFERENCIAL ] Invierno 2009

Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200 Página 3

Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200

Función Forma de

escritura en HOME

Descripción simple Ejemplo.

Valor absoluto

abs(expr)

Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.

Logaritmo log(expr) ó log(expr,base)

Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro, seguido de una coma y la base del logaritmo, si se omite se toma como base 10.

Raíz de cualquier

orden

��

(expr)^(n/m)

Debes teclear primero la expresión que va a elevarse a la raíz dada, luego el símbolo de potencia y entre paréntesis la división correspondiente de la raíz que tengas.

Cosecante csc(expr) Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.

Secante sec(expr)

Cotangente cot(expr)

arc coseno cos-1(expr)

Para las primeras tres funciones simplemente teclea “2nd” + tecla seno coseno ó tangente correspondiente. Para las últimas 3 debes entrar al menú de funciones trigonométrica con “2nd” + número 5 de la parte numérica y entrar al submenú Trig. y dar ENTER sobre la opción deseada.

arc seno sen-1(expr)

arc tangente

tan-1(expr)

arc cosecante

csc-1(expr)

arc secante sec-1(expr)

arc cotangente

cot-1(expr)


Índice General Página 4

Índice General

I. Introducción…………………………………………………………………………….5

II. Detalle Técnico………………………………………………………………………..7

III. Detalle General de Teclas………………………………………………………..9

IV. Introduciendo datos y expresiones correctamente…………………11

V. Índice de Cálculo Diferencial.………………………………………………….21

VI. Contenido…………………………………………………………………………23-70

VII. Ejercicios propuestos……………………………………………………………..71

VIII. Bibliografía……………………………………………………………………………..71


Introducción Página 5

Introducción

Bienvenido al curso Texas Instruments Voyage200, éste curso tiene la finalidad de que aprendas

el manejo eficiente y práctico de esta calculadora graficadora muy poderosa, ya que posee un gran

campo de aplicación en todas las ingenierías y por ende en la mayoría de las materias que verás a

lo largo de tu carrera, para que estudies como ingeniero y trabajes como tal.

Esta calculadora si bien tiene mucha funcionalidad y gran ventaja, es importante dejar en claro

que no debe ser usada como un medio de hacer trampa o como un sustituto del aprendizaje

impartido por el maestro, sino de un apoyo claro y específico en cada materia para agilizar

cálculos y para entender mejor los temas vistos en clase. Las materias en las que te puede ayudar

grandemente de tronco común (1°, 2° y 3° semestre) son las siguientes:

1. Química General

2. Algebra Lineal

3. Calculo Diferencial

4. Calculo Integral

5. Ecuaciones Diferenciales

6. Probabilidad y Estadística 1

7. Probabilidad y Estadística 2

8. Física 1

9. Física 2

10. Física 3

11. Fisicoquímica

12. Termodinámica

Y de las demás materias disciplinarias

(Programa Académico de Ingeniería Industrial):

13. Diseño de Experimentos

14. Computación 2

15. Resistencia de Materiales 1

16. Circuitos Eléctricos 1

17. Investigación de Operaciones 1

18. Investigación de Operaciones 2

19. Tecnología de los Materiales

20. Ingeniería Económica 1

21. Ingeniería Económica 2

22. Control Estadístico del Proceso

23. Medición del Trabajo

24. Metrología

25. Administración Financiera

Las materias en Negritas son las

que recomiendo fuertemente para

el uso de esta calculadora porque

facilita mucho el trabajo y también

existen programas específicos y

didácticos para cada una.


Introducción Página 6

PRÉSTAMO

Existen 54 calculadoras TI-V200 disponibles para préstamo en el resguardo de ésta facultad, tú

puedes pedir que se te preste de forma inmediata una calculadora, se te presta gratuitamente por

espacio de 1 mes y puedes renovar el préstamo cuantas veces desees. Para esto debes acudir con

el encargado del material tecnológico y audiovisual, él se encuentra en el segundo piso de la

facultad casi enfrente del centro de cómputo junto a la jefatura de Ingeniería Industrial, se atiende

de 7:00 A.M. a 2:00 P.M., lo único que necesitas para que te presten la calculadora es lo siguiente:

• Copia de tu credencial de la Universidad

• Copia de tu toma de materias actual

• Copia de tu Inscripción/Reinscripción actual

Como verás es muy sencillo y en definitiva recibes a cambio una gran ayuda.


Detalle Técnico Página 7

Detalle Técnico

Cuando pidas prestada una calculadora debes fijarte que contenga:

� 1 Calculadora

� 1 Carcasa

� 4 Pilas AAA recargables ó alcalinas (en caso de estar disponibles)

� 1 Bolsita protectora

Este es el préstamo básico, sin embargo si tú deseas instalarle algún programa desde tu

computadora debes solicitar también:

� 1 Cable TI-USB Silver-Link

Para instalación de programas complementarios ó extras, consultar el MANUAL DE INSTALACIÓN

DE SOFTWARE PARA CALCULADORA TEXAS INSTRUMENTS VOYAGE 200.

Pasos al Iniciar sesión:

1. Coloca las 4 pilas AAA adecuadamente. Estas se encuentran dentro de la bolsa protectora de la

calculadora. La parte donde se colocan las pilas es en la parte posterior de la misma.

IMPORTANTE: No muevas la pila de botón.

2. Retira la carcasa de la calculadora:


Detalle Técnico Página 8

3. Colócala por atrás para protegerla mejor.


Detalle General de Teclas Página 9

Detalle General de Teclas

La tecla DIAMANTE (una tecla verde al lado de la tecla ON), al presionarla una vez activa todas las

teclas que tengan leyenda verde sobre las teclas normales. Su función es múltiple y generalmente

te permite desplazarte entre programas y configurar ciertas aplicaciones de la parte gráfica.

La tecla 2nd (tecla azul al lado de la tecla DIAMANTE), al presionarla una vez activa todas las teclas

que tengan leyenda azul. Su función principal es complementar las expresiones numéricas, y en

algunos casos entrar a menús avanzados.

Las teclas F1-F8, se pueden utilizar cuando en la pantalla aparezcan opciones variadas en la parte

superior, generalmente se usan sólo para abrir menús en los programas.

Las teclas del Cursor sirven para moverte en gráficas, sobre la línea de entrada y en el historial de

Home, así como en otros programas, te irás familiarizando con el poco a poco.

La tecla APPS, despliega el menú general de la calculadora, donde se encuentran todas las

aplicaciones y programas de la misma.

La tecla MODE, despliega la pantalla para modificar la configuración general de la calculadora.

La tecla Shift, tiene la misma funcionalidad que la tecla shift del teclado de una computadora, al

dejarlo presionado y desplazarte con el cursor de un lado a otro puedes seleccionar una serie de

Cursor

Parte Numérica

Teclado Extendido Teclas especiales Shift,

DIAMANTE, 2nd

Teclas F1-F8

Tecla APPS

Tecla CLEAR Tecla ESC


Detalle General de Teclas Página 10

datos o expresiones para después copiarlos con la combinación DIAMANTE + letra C, y pegarlos en

cualquier otra aplicación con la combinación DIAMANTE + letra V.

La tecla CLEAR sirve de forma general para borrar la línea de entrada de la calculadora y en

algunas otras aplicaciones borra gráficas y elementos marcados para graficar.

La tecla ESC se usa para cancelar opciones hechas o errores cometidos dentro de un programa.


Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 11

Introduciendo datos y

expresiones

correctamente

Se ha dedicado un capítulo completo a la

explicación de cómo introducir datos y

expresiones correctamente debido a que se

han identificado numerosos errores de

escritura en muchos estudiantes a la hora de

teclear los datos, lo cual es de vital

importancia ya que de teclear

incorrectamente la información nos puede

arrojar resultados incorrectos o muy

diferentes a lo que queremos en realidad,

independientemente del programa en el que

estemos éstas reglas son para cualquier

aplicación en la que se esté trabajando, es

conveniente tomarse un tiempo para

entender y practicar estos sencillos ejercicios

para que escribas correctamente la

información en cada tarea que resuelvas.

Signo Menos

Es importante que a la hora de teclear una

expresión en la calculadora se teclee el signo

menos adecuado en cada caso. Se debe

seguir la siguiente regla:

“Cuando se escriba una expresión en la que

se inicie con signo negativo debe usarse la

tecla con signo negativo entre paréntesis

”. Esto mismo se usa con las

calculadoras científicas habituales. Veremos

un par de ejemplos. Enciende tu calculadora,

tecla ON:

Muévete con el cursor a través de las

aplicaciones y posiciónate en HOME y da

ENTER:

Por ejemplo, si queremos escribir:

�7� 8

Damos ENTER :

Vemos que se despliega correctamente y se

reacomoda en la línea de entrada. Este error

del uso del signo menos es muy común y

debe usarse ya sea en el inicio de una

expresión o en la de un exponente que

queramos a una potencia negativa o después

de que se ha cerrado un paréntesis. Para

borrar la línea de entrada teclea CLEAR.



Si se hubiera puesto el otro signo menos

hubiera salido un resultado completamente

diferente e incorrecto. Otro ejemplo:

��

Vemos que se lee correctamente, si

hubiéramos puesto el signo contrario:

Vemos que nos indica que hay un error de

sintaxis en la línea de entrada.

“En cualquier otra posición de una

expresión que no sea el inicio, el signo

negativo que debe usarse es el de la tecla

blanca .”

Por ejemplo:

�� 8� � 13

Para el primer término como esta al inicio se

usa el signo menos de la tecla negra y para el

último término se usa el signo menos de la

tecla blanca:

Como tip podemos decir que en la línea de

entrada el signo menos de la tecla negra está

un poco más pequeño y más arriba que el de

la tecla blanca.

Paréntesis

El uso correcto de los paréntesis es muy

importante ya que de igual manera va a

definir nuestras expresiones. Los paréntesis

dividen expresiones completas en la línea de

entrada de la calculadora, hay algunas

funciones como la función exponencial,

logaritmo natural o las trigonométricas que

cuando lo tecleas inmediatamente te abre un

paréntesis y lo hace con la finalidad de que

definas correctamente lo que va dentro de

esa función. Es importante recordar que

“Todo paréntesis que se abre debe

cerrarse”. Por ejemplo supongamos que

deseamos escribir:

sin 7� 8�� ln �

Al teclear la función de seno se abre

automáticamente el paréntesis e

inmediatamente después debemos escribir



el argumento del seno para después cerrarlo

con el paréntesis de cierre:

Es importante también cerrar

ordenadamente cada paréntesis que se abra,

veamos otro ejemplo:

√cos � � sin 2�

Abrimos la raíz dando en 2nd + tecla de

signo de multiplicación y si te fijas se

abre el paréntesis inmediatamente después

del símbolo de la raíz y luego debemos

escribir la expresión de adentro y cerrar con

el paréntesis final para indicar que todo va

dentro de la raíz:

Fíjate en el orden de los paréntesis, el

primero es el que encierra a todos los demás,

damos ENTER:

Signo de División

Este es otro error algo común a la hora de

escribir las expresiones, y hay que seguir otra

regla muy simple cuando usamos el signo de

división:

“Cuando haya más de un término en el

numerador o denominador en una división,

estas expresiones deben encerrarse entre

paréntesis”

Por ejemplo si deseamos escribir:

3�9� 13

Como hay un solo término en la parte de

arriba no es necesario teclear el paréntesis,

pero como en la parte de abajo hay más de

uno, debemos teclear los paréntesis en la

parte de abajo, la forma de escritura se

podría resumir con este tip:

� �� !é�#$ %&/� �� !é�#$ %&

Vemos en la pantalla como se ve

correctamente la escritura de la expresión

que queremos. ¿Qué hubiera pasado si no

ponemos los paréntesis?. Observa:



Vemos que al dar ENTER la calculadora

entiende otra cosa completamente distinta.

Es un muy buen tip que observes lo que

escribiste al dar ENTER en la parte izquierda

de la pantalla y veas si esa expresión es la

que quieres.

Otro ejemplo:

�� 8��7�� 3� � 15

Como en el numerador y denominador hay

más de un término deben escribirse ambos

paréntesis al inicio y al final de cada

expresión, damos ENTER:

Nótese que en el denominador como la

expresión inicia con un término con signo

negativo se empieza usando el menos de la

tecla negra, y el siguiente es con la tecla

menos blanca. Recordemos que los

paréntesis dividen expresiones completas,

por eso aunque este en medio de la línea de

entrada se usa el signo negativo negro.

También notamos que la calculadora

factoriza la parte de arriba y cambia signos

por comodidad, siendo esto una igualdad

exacta.

Exponentes

Otro error relativamente común son los

exponentes. Por ejemplo si queremos

escribir:

��)

Como veras a simple vista en la calculadora

no existe una tecla con raíz cúbica, solo esta

la de raíz cuadrada, para escribir una raíz del

orden que sea se debe usar el exponente con

la sencilla regla:

√�� * �� +⁄

Cuando se escribe un exponente en

fracciones en la calculadora, de igual

manera debe ponerse entre paréntesis

después del símbolo de exponente:

Al dar ENTER vemos la expresión correcta de

la equis con su exponente. De igual manera

se recalca la importancia de poner entre

paréntesis esta expresión ya que de no

hacerlo la calculadora entenderá otra cosa,

observa:



Vemos que al no ponerlo la calculadora

entiende que se trata de una equis cuadrada

entre tres y no es la expresión adecuada. Por

eso es MUY IMPORTANTE el escribir

correctamente la información en la

calculadora ya que de no hacerlo nos dará

resultados incorrectos.

Listas ó Matrices

Cuando escribas en listas o matrices

(generalmente las usaras en materias como

Algebra Lineal, Investigación de Operaciones

1, Ingeniería Económica 1, Ingeniería

Económica 2) es importante que recuerdes

que las comas “,” también dividen

expresiones y por lo tanto si por ejemplo

escribes un dato con signo negativo es como

si iniciara una nueva expresión y debe

teclearse con el signo menos de la tecla

negra.

Por ejemplo al escribir la lista:

-5, �6,8, �2,10

Se abren y cierran las llaves tecleando “2nd”

+ paréntesis de apertura o cierre

:

Vemos que al dar ENTER la lista se crea con

los datos de signo correctos, de poner el otro

signo menos ocurriría un error de sintaxis.

Funciones solve, factor, expand

Si estás trabajando en materias como calculo

diferencial, cálculo integral, algebra lineal es

posible que te sean útiles éstas funciones. En

general se te explicarán en el curso de la

materia que tomes si es que te son de ayuda.

De todas maneras aquí se te explica un poco

de cómo usarlas. Todas estas funciones están

en el menú F2 Algebra, al dar ENTER sobre

cada una se copia a la línea de entrada para

usarse:

Función Solve

La función solve resuelve igualdades o

inecuaciones en la línea de entrada de HOME

lo único que necesitas es introducir la

ecuación en la línea de entrada, la respectiva

igualdad o inecuación, luego la respectiva

coma e inmediatamente después la variable

que deseas que la calculadora encuentre, de

esta forma:

1%23��4�54$ó , 35�$572�&

Por ejemplo nos piden encontrar los valores

de X que satisfacen la expresión:

�� 6�� 5� 30 * 75



En la línea de entrada de HOME se debe

introducir de esta forma:

1%23�� 6�� 5� 30 * 75, �&

Ahora simplemente damos ENTER:

Y se llega al resultado.

Función Factor

La función factor como su nombre lo indica

factoriza expresiones (de ser posible) y

devuelve la multiplicación adecuada que

daría como resultado esa expresión. Su

forma de escritura es:

954!%��1$% &

Como te puedes dar cuenta no tiene ni coma

ni variable a buscar ya que no necesita de

una variable para encontrar, sino que va a

factorizar con las variables que tengas dentro

de la expresión. Por ejemplo te piden

factorizar la siguiente expresión:

�� 9�� 7� � 63

Para introducirlo en la línea de entrada de

HOME sería así:

954!%�� 9�� 7� � 6&

Damos ENTER y vemos:

Nos devuelve la factorización adecuada de

binomios que daría como resultado ese

polinomio.

Función Expand

La función expand es la función inversa de

factor, cuando introduzcas una expresión

elevada a una potencia o una multiplicación

de expresiones lo que va a hacer es

desarrollar esa multiplicación para que la

visualices por completo. Su forma de

escritura es similar a la de factor:

��5 ��1$ó &

Por ejemplo supongamos que necesitas

desarrollar la expresión:

�2�� 9&�

En la línea de entrada de HOME se debe de

introducir así:

��5 ��2�� 9&�&




Operador With

El operador “with” es un comando

condicionante, en la calculadora se puede

combinar con varias funciones de la misma

para restringir la búsqueda de una respuesta

ó para sustituir un valor en una variable en

una expresión dada. Su símbolo es |. Tú

puedes combinarlo de la siguiente forma:

1. Pidiéndole que sustituya un valor en una

variable, esto es útil cuando quieres sustituir

un valor cualquiera en una expresión grande

y tendrías que hacer varias operaciones a

mano, por ejemplo:

5� 7��3�� 12�� 5�

Y quieres sustituir digamos 7 en donde haya

equis y evaluarlo. Primero debes teclear la

expresión completa en la línea de entrada y

luego teclear este operador, el operador

“with” sale tecleando “2nd” + letra K del

teclado extendido. En la línea de entrada

quedaría así:


Como puedes ver opera la expresión,

también antes de dar ENTER puedes

presionar DIAMANTE y te devolverá un valor

numérico aproximado.

2. También lo puedes usar para restringir la

búsqueda de respuestas. Por ejemplo buscas

sólo la solución positiva de X para:

�� 2� � 15 * 0

Para ésta igualdad como sabemos ocupamos

la función solve y al finalizar de escribir la

función restringimos la búsqueda a X>0:

1%23�� 2� � 15 * 0, �&|� ; 0

En la línea de entrada quedaría así:


El símbolo de “>” sale con “2nd”+ símbolo de

punto de la parte numérica.



Mensajes de Error Comunes

Los mensajes de error comunes suceden

cuando en la línea de entrada cometiste un

error de sintaxis o que falta una variable o

alguna expresión necesaria.

Uno de los más comunes es el mensaje de

“Missing )”:

Nos indica que falta un paréntesis ya sea de

cierre o apertura en la línea de entrada. Este

error hace referencia a la regla que dice

“Cada paréntesis que se abre debe cerrarse”

Otro error común es el de “Syntax”:

Este error nos indica que hemos escrito algo

mal en la línea de entrada, generalmente se

debe a los signos negativos, es decir que

hemos usado los inadecuados.

También tenemos éste otro error, el de “Too

few arguments”

El cual nos indica que hacen falta

argumentos para la función, esto se explicará

con el uso mismo de los programas y

software para que sepas como y donde

ponerlos.

Un último factor importante en el uso de la

calculadora es que después de que le des

una orden ya sea dando ENTER o con

cualquier otra tecla de resolución dejes que

la calculadora “piense” o resuelva lo que le

has pedido, cuando esta “ocupada” lo dice

en la esquina inferior derecha, aparece el

recuadro de BUSY, lo cual indica que esta

ocupada y no debes teclear nada hasta que

te devuelva una respuesta.

Borrando Variables

Es importante que de cuando en cuando

después de haber usado tu calculadora

elimines las variables con valores asignados

que se hayan podido guardar en la memoria,

esto ocurre algunas veces cuando ocupas la

función solve ó cuando usas el Numeric

Solver, para eliminar las variables estando en

HOME simplemente teclea F6 CleanUp y da

ENTER sobre la primera opción “Clear a-z”:

Al hacer esto borras automáticamente todos

los valores que podrían contener las

variables de la “A” a la “Z”. Es importante

que hagas esto cuando inicias un nuevo

problema.



Multiplicación Implícita de Variables

Otro error bastante común a la hora de

teclear los datos es que nosotros al escribir a

mano damos por hecho la multiplicación

implícita de variables en una expresión, por

ejemplo al escribir:

�< 3�� 2<=

Nosotros por intuición y por lo que nos han

enseñado sabemos sin problema que en la

primer y último termino hay una

multiplicación de variables X por Y y Y por Z.

En la Texas debemos especificar ésta división

de variables ya que si las tecleamos juntas la

Texas pensará que se trata de una variable

única llamada XY ó YZ:

La forma correcta es teclear el signo de

multiplicación entre ambas variables:

Podemos ver la diferencia, como tip puedes

observar el pequeño punto entre la X y la Y,

así como entre la Y y la Z indicando la

independencia de cada variable. Es

importante teclear esto correctamente, ya

que en el uso de alguna función podría no

reconocer la variable que quieres que

resuelva, por ejemplo:

Podemos ver que al resolver una igualación a

15 y pedirle encontrar Y, no existe ésta

variable ya que para la Texas solo hay

variables X, XY y YZ, lo correcto sería:

Cuando todo falla

Se ha llegado a ver situaciones en donde la

pantalla se “frizea” ó se queda trabada, esto

ocurre generalmente cuando no esperaste

una respuesta de la misma cuando estaba en

estado BUSY, siempre debes esperar

después de darle un comando de resolución

o respuesta (ya sea ENTER o cualquier otro) a

que te devuelva un valor o mensaje, NO LA

FUERCES, se paciente y siempre fíjate en el

estado de la misma, éste se encuentra

siempre activo en la esquina inferior derecha

de la pantalla, da siempre un teclazo a la vez

y ordenadamente. De todas maneras si se te

llegara a trabar presiona al mismo tiempo

estas 3 teclas “2nd” + ON + tecla de mano:

+ + . Esto reiniciará la

calculadora completamente y sin problemas.



Ephy

Pensando en el gran número de usos en el

área de Química y sus modalidades

combinadas (Fisicoquímica, Termodinámica,

Química Orgánica, etc.) instalé en todas las

calculadoras una práctica tabla periódica de

los elementos que puedes consultar. Para

entrar a ella estando en HOME teclea en la

línea de entrada la combinación “EPHY()” y

da ENTER:

Da ENTER nuevamente para continuar:

Y verás:

Y puedes desplazarte por cada elemento, y

para ver su información da ENTER sobre el

símbolo del elemento que deseas ver y verás

su ficha completa:

La desventaja es que está en francés, pero

los símbolos químicos no cambian, son

iguales para todos, además de que es

bastante entendible, la información es

explícita, la información de cada elemento es

la siguiente:

• Nombre

• Masa Atómica

• Electronegatividad

• Densidad (gr/cm3)

• Punto de Ebullición (°C)

• Punto de Fusión (°C)

• Valencia

• Configuración Electrónica

• Radio Atómico

• Por quién fue descubierto y en que

año.

Para salir de la tabla simplemente da ESC:


Índice de Cálculo Diferencial Página 21

Índice de Calculo Diferencial

C a p í t u l o 1 Gráfica de Funciones

1.1 Graficando funciones.……………………………………………………………………….23

i) (Ajustando, encontrando valores, intersección entre curvas, ceros, máximos y mínimos). Forma Gráfica

1.2 Tabulación………………………………..……………………………………………………….29

1.3 Resolución Analítica…………………………………………………………………………..30

i) Ceros………………………………………………………………………………………………………….....30

ii) Valores…………………………………………………………………………………………………………..31

iii) Intersecciones………………………………………………………………………………………………..32

1.4 Desigualdades …………………………………………………………………………………..34

C a p í t u l o 2 Límites y continuidad

2.1 Límites………………………………………………………….……………………………………36

2.2 Factorizar…………………………………………..………………………………………………38

C a p í t u l o 3 Derivadas

3.1 Derivadas con ∆h (aumentos).……………………………………………………………39

3.2 Derivadas……………………………………………………………………………………………45

3.3 Punto de Inflexión (gráfico)………………………………………………………………..48

3.4 Derivadas en SMG (paso a paso)………………………………………………………..50

3.5 Derivadas con Stepder (paso a paso)…….………………….……………………….61

3.6 De segunda hasta ∞ derivada…………………………………………………………….64

3.7 Derivadas Implícitas………….……………………………………………………………….66

3.8 Línea Tangente & Máximos y Mínimos & Punto de Inflexión…………….68


Índice de Cálculo Diferencial Página 22


Graficando Funciones Página 23

Graficando Funciones

En la TIV-200 se puede graficar y resolver

fácilmente una ecuación de cualquier grado.

Veamos el siguiente ejemplo:

�� 2� 1

Enciende tu calculadora ON

Muévete a través de las aplicaciones con las

flechas hasta el programa

“Y=Editor” y da ENTER :

Da ENTER de nuevo y escribe sobre la línea

de entrada la ecuación x^2+2x+1

ENTER de nuevo y verás como se palomeo la

ecuación, es importante señalar que en esta

sección de gráficas solo se puede usar la

variable “x” para graficar.

Luego para ver la gráfica de la ecuación

simplemente presiona F2 (el menú de

Zoom) y selecciona la sexta opción

“ZoomStd” y da ENTER, el cual generará una

vista rápida de la gráfica con límites en los 4

cuatro cuadrantes con ±10 unidades en los 2

sentidos.

Ya puedes ver la gráfica y la forma de la

función.

Ya sabes como graficar una función con tu

calculadora, ahora veremos como puedes

ajustar la pantalla y graficar funciones más

complejas, encontrar máximos y mínimos,

encontrar los ceros de una función y darle

valores.

Para regresar a la pantalla de “Y=Editor” lo

puedes hacer de 2 maneras, una

simplemente presiona “2nd” + la tecla

APPS o presiona DIAMANTE + la

letra “W” .

Escribiremos una nueva función más

compleja, desplázate un espacio hacia abajo

sobre “y2”.



Igual que con la función anterior da ENTER y

posiciónate sobre la línea de entrada y

escribe la ecuación 2x^2+6x-x^3 y da ENTER:

De igual manera verás ahora palomeada la

nueva ecuación. El que esté palomeada

significa que esa ecuación se está usando

para graficar, tú puedes deseleccionar la

ecuación que quieras y ver únicamente las

que desees simplemente posicionándote

sobre la función que quieras y presionando

F4 que se observa en la parte de arriba y

es una palomita, para hacer este ejemplo

dejaremos las 2 seleccionadas.

Igualmente presionamos F2 (el menú de

Zoom) y seleccionamos la sexta opción

“ZoomStd” y damos ENTER.

Observamos como se dibuja nuestra vieja

función y la nueva que se puede ver como la

cruza en algunos puntos desconocidos y una

parte que no logramos observar que se

encuentra más arriba.

Haremos diversas cosas con estas 2

funciones graficadas: primero ajustaremos la

gráfica para que se observen todas las

intersecciones de ambas funciones en la

calculadora, sabremos como darle valores a

las funciones para saber sus valores, luego

encontraremos los puntos de intersección,

después encontraremos máximos y mínimos,

y por último los ceros de las funciones.

Supongamos que un profe te pide todo

esto…

Ajustando

Para ajustar y ver correctamente la parte de

arriba que no se alcanza a ver primero

debemos ajustar la ventana, para esto se

presiona la tecla DIAMANTE + la letra “E”

del teclado extendido.

Aquí podemos observar que el ajuste

standard que ocupamos del “ZoomStd” es

como se mencionó de ±10 unidades en

ambas direcciones; podemos ver que xmin

tiene -10 esto quiere decir que en la pantalla

se ve solo hasta -10 en el eje de las equis (x)

negativas y que xmax esta como 10, que

también quiere decir que solo se ve en la

pantalla hasta el valor 10 positivo en el eje

de las equis (x) positivas, el que nos interesa

que se extienda es el ymax ya que es el que

da visión hacia arriba, entonces éste lo

ajustamos y nos desplazamos con las flechas



hasta sombrear la fila de “ymax” y

simplemente le daremos un valor mayor

para que nos de mas espacio de visión hacia

arriba, digamos 15, solo necesitamos

teclearlo y dar ENTER.

Ahora para ver la gráfica ya corregida solo

presionamos DIAMANTE + letra “R” .

Y podemos ver la nueva gráfica ya con un

espacio más grande en la parte de arriba y

con la curva completa de la función cubica

que antes no se veía.

Encontrando Valores

Ahora vamos a encontrar valores al azar de

cualquiera de las 2 funciones:

En esta misma pantalla presionamos la tecla

F3 que esta en la parte superior de la

calculadora y que en la pantalla dice

“TRACE”, al presionarla vemos como aparece

un puntero parpadeando y con el cual nos

podemos mover libremente a través de la

función con las flechas derecha e izquierda y

con las teclas arriba y abajo cambiamos de

función. Al desplazarnos sobre la función con

las teclas derecha e izquierda observamos en

la parte de abajo valores con la referencia

“xc” y “yc”, el cuál nos dice los valores de

esas coordenadas en esa función. Si quieres

desplazarte más rápido deja presionado

“2nd” y presiona la flecha izquierda o

derecha.

Para encontrar el valor de “Y” para cualquier

función simplemente tecleamos el valor de

equis y damos ENTER, digamos -4

en la primera función. Y podemos ver

que arroja inmediatamente el valor

correspondiente de Y para esta función, y lo

mismo para la otra, simplemente cambiamos

de función dando un teclazo hacia arriba o

hacia abajo. Es importante mencionar que

sólo se podrán encontrar valores que se

encuentren dentro de los límites de la

gráfica, de lo contrario nos saldrá error, es

por esto que es importante ajustar primero

la gráfica a evaluar.

Intersección

Ahora supongamos que nos piden encontrar

un punto de intersección entre ambas

funciones, esto analíticamente sería un poco

complicado, para esto hacemos lo siguiente:

En esta misma ventana presionamos F5

en la calculadora y que en pantalla dice

“MATH” se despliega un menú y

seleccionamos con las flechas la opción

número 5 que dice “Intersection” y damos

ENTER.



Luego aparece nuestro puntero parpadeando

y en la parte inferior que dice “1st Curve?”,

la cual nos está preguntando cual es la

primera curva que se va a tomar para la

intersección, no importa el orden así que

sobre la que se encuentre presionamos

ENTER .

Vemos como la calculadora marca la curva y

luego en la parte de abajo pregunta de

nuevo “2nd Curve?”, y nos pide la segunda,

de igual manera damos ENTER porque

automáticamente se cambio a la otra única

curva que hay en la gráfica. NOTA: Sin

embargo si existieran mas curvas dentro de

la gráfica, tu puedes cambiarte de curva o

función como ya habíamos dicho con las

flechas hacia arriba o hacia abajo, el número

que sale en la esquina superior derecha

marca el número de función que esta

seleccionada.

Ya que dimos ENTER en la segunda curva

ahora pregunta “Lower Bound?”, el cual

significa el “limite inferior?”. Como podemos

ver existen 3 Intersecciones en estas 2

curvas, primero encontraremos la de la

izquierda, para esto debemos mover el

puntero hasta algún punto detrás de la

intersección, no importa cual solo que se

observe que esta antes del punto de

intersección y damos ENTER.

Ahora pregunta el límite superior “Upper

Bound?” y de igual manera movemos el

puntero hasta un algún punto después de la

intersección y damos ENTER

Después de unos segundos vemos que

encuentra la intersección exacta entre ambas

funciones con las coordenadas dadas en la

parte de abajo.

Debemos tener cuidado únicamente de

encerrar una y solo una intersección con los

intervalos porque podrían arrojarnos error si

existen mas de una intersección entre ambos

intervalos. Como ejercicio se deja al

estudiante realice las otras 2 intersecciones.



Máximos y Mínimos

Ahora para sacar los máximos y mínimos de

cualquiera de las 2 funciones lo que se hace

es lo siguiente:

En esta misma pantalla donde se obtuvo la

intersección ahora presionamos de nuevo F5

(MATH) y elegimos la cuarta opción que

dice “Maximum” y damos ENTER.

Ahora vemos que de nuevo pregunta “Lower

Bound?”, en esta opción no pregunta cual

curva porque te puedes mover de una a otra

fácilmente con las flechas arriba y abajo, nos

movemos a la numero 2 que es la función

que como podemos observar tiene un punto

máximo en unas coordenadas desconocidas

y nos desplazamos a través de esta curva y

nos posicionamos en cualquier punto antes

de ese punto máximo, no importa cual solo

que se vea claramente que esta antes de ese

punto máximo y damos ENTER.

Luego nos pregunta el “Upper Bound?” y de

igual manera nos desplazamos con las

flechas a través de la curva hacia la derecha y

nos posicionamos en cualquier punto

después de ese punto máximo desconocido y

damos ENTER.

A los pocos segundos observamos que

encontró el punto máximo y que existe en

esas coordenadas “xc” y “yc” y que lo dice en

la parte de abajo.

Mínimos

De la misma manera se realizan los mínimos

solo que ahora buscamos el punto más bajo

donde cambia de dirección, así:

Seleccionamos “Minimum” y ENTER

Nos posicionamos en un punto detrás del

punto más bajo y damos ENTER.

Nos posicionamos en un punto después del

punto más bajo y damos ENTER



Copiamos resultado.

Ceros

Ahora para encontrar los ceros de la función,

es decir el valor para los que y(x) se hace

cero o resulta cero se hace de la siguiente

manera:

En esa misma pantalla presionamos

nuevamente F5 el menú de MATH y

seleccionamos la segunda opción “Zero” y

damos ENTER.

Igual que antes pregunta el intervalo menor

“Lower Bound?”, ahora lo que vamos a

encerrar es un intervalo en donde veamos

claramente que cruza la coordenada x. Nos

cambiamos a la ecuación 1 con las flechas de

arriba y abajo y nos posicionamos en

cualquier punto detrás del punto que toca la

línea de eje x y damos ENTER.

Ahora nos desplazamos hacia la derecha y

nos posicionamos en cualquier punto

después del punto que cruza el eje x y damos

ENTER.

Para este caso en particular podemos ver

que coincide también con su punto mínimo.


Tabulación Página 29

Tabulación

Otra función muy útil en la TiV200 es la

tabulación, tú puedes ver diferentes valores

de la función que acabamos de graficar en

una tabla standard con un aumento lineal

igual que se crea automáticamente solo

introduciendo un poco de información sobre

como se desea la tabla, se hace de la

siguiente forma:

Presionamos DIAMANTE + tecla “T”, y nos

despliega la siguiente pantalla:

En esta tabla podemos observar 4 opciones,

en la primera que es “tblStart” pregunta o te

da la opción de definir en que valor deseas

que empiece a tabular la calculadora,

daremos el valor de -5, nos movemos entre

opción y opción con las flechas de

movimiento y escribiendo sobre la opción ya

sombreada para cambiar la información. En

la segunda opción dice “∆tbl” el cual

pregunta como deseas que sea el aumento

entre cada valor, es decir de 1 en 1 o de 2 en

2, o hasta en aumentos decimales de 0.001

en 0.001, pero siempre igual, dejaremos

como esta ese valor por default de 1. Las

demás opciones las dejamos así y damos

ENTER.

Luego simplemente para ver la grafica

presionamos DIAMANTE + tecla “Y” del

teclado extendido y veremos:

Como podemos observar aparecen las 3

tablas, una de equis (x) que es el valor que se

le va dando la ecuación “y1” y su valor

correspondiente al igual que de la segunda

ecuación “y2” y su respectivo valor, y nos

podemos desplazar a través de la tabla con

las flechas y copiando lo necesario. Esta

función es muy útil cuando se trata de

ecuaciones complejas. Claro está que debes

tener ya alguna función seleccionada en el

graficado de funciones.



Resolución Analítica

Todo lo anterior lo hemos resuelto de

manera gráfica en la calculadora, sin

embargo se puede resolver de forma

analítica aún más fácilmente en la pantalla

de HOME, para dirigirnos a esta pantalla

presionamos DIAMANTE + tecla “Q” del

teclado extendido:

Este es el corazón de la calculadora y es en

donde se realizan la mayoría de las

operaciones complejas, por favor no la

ocupes para hacer cálculos aritméticos

simples, no la insultes, úsala para algo

realmente difícil, puede hacer derivadas,

integrales, ecuaciones diferenciales e

infinidad de aplicaciones para algebra,

análisis numérico, probabilidad y estadística,

física, fluidos y calor, resistencia de

materiales, hasta de traductor la hace.

Ahora haremos todo lo que hicimos con las 2

ecuaciones (intersección, valores, máximos,

mínimos, ceros) pero mucho más fácil y

rápido, empecemos con los ceros de la

función:

Podemos ver un menú en la parte superior

correspondiente a las funciones F1, F2, F3,

F4, F5, F6. Presionamos F2 y que

corresponde al menú de “Algebra”:

Ceros

Seleccionamos la cuarta opción que dice

“zeros(” y damos ENTER.

Podemos ver que se copió la expresión a la

línea de entrada:

Ahora simplemente escribimos la primera

ecuación y al finalizar de escribirla escribir

coma “,” y luego una equis “x” , con

esto le estamos especificando a la

calculadora respecto a que variable

deseamos que encuentre los ceros y después

de esto no olvidarnos de cerrar el paréntesis

:

Damos ENTER y vemos que el resultado

concuerda con el resultado de la gráfica que

esta en -1:

Hacemos lo mismo para la otra ecuación.

Con las flechas de desplazamiento nos

movemos a la izquierda y borramos con la

tecla “←” de la coma para atrás antes del



inicio de la función para luego escribir la

segunda ecuación:

Damos ENTER y después de unos segundos

encontramos los 3 puntos donde la función

se hace cero en forma de lista:

Aquí la calculadora lo muestra de una forma

automática donde lo deja expresado en

forma más precisa con raíces cuadradas, sin

embargo si tú deseas el número aproximado

aunque sea con decimales simplemente

presiona DIAMATE + tecla ENTER:

Y podemos ver que concuerda exactamente

con los valores encontrados de forma

gráfica.

Valores

Tú puedes pedirle a la calculadora que opere

valores específicos en una ecuación, esto si

no deseas verlo en una tabla, o simplemente

te interesan ciertos valores, y se hace de

manera muy sencilla:

Seguiremos ocupando la segunda ecuación

para ejemplificar y lo evaluaremos con 3.

Borramos de la línea de entrada la última

operación que se hizo y simplemente

escribimos sobre la línea de entrada la

ecuación que ya conocemos 2x^2+6x-x^3 y

escribimos inmediatamente después de

terminada la operación la tecla “2nd” +

letra “K” en el teclado extendido y

vemos que aparece una barra larga, esta

barra es el operador “with” que significa

“con” luego escribimos “x=3”

inmediatamente después, con esto le

estamos diciendo a la calculadora que

queremos que opere esa ecuación

sustituyendo un 3 en donde haya equis.

Damos ENTER y obtenemos el resultado

numérico inmediatamente



Intersecciones

Ahora bien, para encontrar las intersecciones

entre ambas ecuaciones lo primero que

debemos hacer es borrar la línea de entrada

y luego se realizan los pasos siguientes:

Se presiona la función F2 y se selecciona la

primera opción que dice “solve(“ y damos

ENTER.

Se copia la función automáticamente en la

línea de entrada. Ahora bien sabemos que

son 2 ecuaciones con 2 incógnitas, aunque

no sean lineales no importa y entonces

escribimos la primera ecuación como

“y=x^2+2x+1”

Luego se deja un espacio con la barra

espaciadora en la parte de abajo y se escribe

el operador “and”, que se escribe así

simplemente la combinación “and” del

teclado extendido, se deja otro espacio y se

escribe la segunda ecuación y=2x^2+6x-x^3:

Para finalizar tenemos que especificarle a la

calculadora cuales son las variables que

deseamos que encuentre y para esto al

finalizar de escribir la segunda ecuación

ponemos una coma “,” inmediatamente

después una llave presionando “2nd” + tecla

de paréntesis “(“de apertura luego

tecleamos la letra equis (x) escribimos una

coma “,”, escribimos la letra “y”, cerramos la

llave de nuevo con “2nd” + tecla de

paréntesis “)” y para finalizar cerramos todo

con un paréntesis normal. Es decir, siempre

que haya más de una variable a encontrar se

debe poner entre “llaves” todas las variables

que deseamos que la Texas encuentre.

Damos ENTER y después de unos segundos

vemos las 3 intersecciones con las 3

respectivas coordenadas

Para leer el resultado completo presionamos

una vez la flecha de desplazamiento hacia

arriba y vemos que se sombrea la primera

línea y vemos que da la opción con una

flechita del lado derecho diciéndonos que se

puede mover hacia la derecha, presionamos

ahora la flecha de cursor a la derecha

cuantas veces sea necesario y observamos

que nos da las 3 coordenadas la primera con

“x= -1.699 and y=0.488948”, el and significa

que en esas coordenadas (X y Y) esas 2

ecuaciones se cruzan, después dice “or” y

nos da la segunda coordenada en “x=0.239

and y=1.5354” y así nos desplazamos a la



derecha hasta ver bien las 3 coordenadas

separadas por el “or”.


Desigualdades Página 34

Desigualdades

Tú puedes resolver desigualdades en tu

TIV200 rápidamente, pero primero

regresemos a la línea de entrada bajando

con las flechas de desplazamiento y

borremos la última operación hecha. Para

ejemplificar veremos 3 ejercicios:

1. �� 9� 20 > 0

Sobre la línea de entrada presionamos F2 de

nuevo, seleccionamos la primera opción, el

solucionador “solve(“, y damos ENTER, ahora

simplemente introducimos la ecuación y al

terminar escribimos “2nd” + tecla numero

“0”, podemos ver que aparece el “menor

que” y escribimos cero, inmediatamente

después escribimos coma “,” luego la

variable equis, y cerramos con paréntesis.

Damos ENTER y vemos el resultado del lado

derecho, nos da automáticamente el

intervalo de equis.

2. |3� 2| > 5

Para este ejemplo debemos utilizar el valor

absoluto, en la calculadora como tal no

existe el símbolo para absoluto, debemos

usar la función “abs(“, para ello

simplemente, volvemos a poner el

solucionador primero y antes de empezar a

escribir la ecuación escribimos antes “abs(“,

luego escribimos la parte que tiene el valor

absoluto, cerramos paréntesis ponemos

“2nd”+ numero “0”, aparece el operador

“menor que” tecleamos el 5, luego coma “,”

luego la variable equis y cerramos paréntesis

general, y damos ENTER

3. �3 > 5� � 3 > ?

Este ejercicio es con doble intervalo, pero no

debemos asustarnos, se resuelve igual solo

que ponemos 2 “menor ques” en la línea de

entrada. Es importante señalar que cuando

se escribe un número negativo al inicio de

una ecuación se debe escribir con el símbolo

menos que esta en la parte numérica del

lado derecho inferior y cuando se resta se

usa el símbolo de menos que esta en la parte

media del lado numérico así:


Desigualdades Página 35

Damos ENTER y nos encuentra el intervalo

inmediatamente

4. �@��

A B � @C�

Para esta última desigualdad primero

tenemos que de nuevo llamar el

solucionador “solve(“, luego escribir la

primera parte de la ecuación y luego llamar

el operador “menor que o igual”, el cual se

encuentra presionando “2nd” + tecla “+” el

cual nos despliega el siguiente menú:

Ahí seleccionamos el segundo submenú que

dice “Math” moviéndonos con las flechas, le

damos hacia la derecha, despliega el menú

de ese apartado y bajamos con las flechas

hasta la opción con letra “C” y podemos ver

el signo de menor que o igual lo sombreamos

y damos

ENTER.

Vemos como se copia automáticamente el

símbolo y simplemente terminamos de

escribir la segunda parte de la inecuación, al

terminar de hacer esto tecleamos su

respectivo “,” y equis que es la variable a

encontrar y para terminar se cierra con

paréntesis la función.

Damos ENTER y copiamos resultados.

Para borrar el historial de lo que hemos

hecho presionamos F1 y seleccionamos la

opción 8 que dice “Clear Home” y damos

ENTER y vemos que se borra

automáticamente lo que hayamos hecho.


Límites y continuidad Página 36

Límites y Continuidad

Límites

La TIV200 puede resolver límites de

funciones rápidamente y así comprobar tus

resultados obtenidos sin temor a fallo

alguno, veremos un par de ejemplos para

mostrar como se hace; Nos piden encontrar

el límite de esta función cuando x tiende a

infinito:

lim@EF G3�� 17� 204�� 25� 36I

En la pantalla de Home presionamos F3 que

dice “Calc”, se despliega un menú y

seleccionamos la tercera opción que dice

“limit(“, la sombreamos y damos ENTER.

Vemos como copia automáticamente la

función a la línea de entrada y escribimos

primeramente la ecuación completa

cuidando los paréntesis como ya se ha dicho.

Inmediatamente después de haber

terminado de escribir la ecuación, se pone

coma “,” luego una equis “x”, con la cual se

especifica que es respecto a ésta variable con

la que se desea encontrar el límite, y ahora

para especificarle el infinito primero

volvemos a poner otra coma “,” y luego

“2nd”+ letra “J” del teclado extendido,

cerramos todo al final con el paréntesis de

cierre y damos ENTER.

Vemos el resultado inmediatamente, y

borramos la línea de entrada con la tecla

CLEAR que se encuentra en la parte superior

derecha.



lim@E�F JK@L

La diferencia con éste ejemplo es el signo del

infinito, el cual simplemente se pone antes

del símbolo infinito con el signo menos de

tecla negra:

Damos ENTER y vemos el resultado:

Haremos un tercer ejercicio para mostrar un

límite con una dirección especificada:

lim@E�M N 1�� 2&�� 3&O

Para hacer este ejercicio todo se hace igual

simplemente tenemos que agregar una coma

más antes de cerrar el paréntesis y agregar

un número 1 ó 0, el 1 significa que viene con

dirección positiva y el 0 con dirección

negativa, así:

Damos ENTER y encontramos el resultado:



Factorizar

Ahora bien, si a la hora de hacer

manualmente el límite tienes problemas

factorizando cada una de las expresiones del

numerador o denominador la TI te puede

ayudar a hacerlo muy fácilmente:

Presiona F2 el menú de “Algebra”, se

despliega el submenú y nos posicionamos

sobre la segunda opción que dice “factor(“ y

damos ENTER.

Vemos que se copia automáticamente como

ya sabemos y ahora simplemente

introducimos sólo la parte del numerador de

la ecuación, cerramos el paréntesis

correspondiente y damos ENTER:

Observamos que nos factoriza

inmediatamente la multiplicación de

binomios correspondiente que nos daría

como resultado esa expresión:

Esta es una gran herramienta cuando nos

piden factorizar expresiones complejas a

potencias elevadas.


Derivadas con ∆h (aumentos) Página 39

Derivadas con ∆h (aumentos)

En ocasiones los profesores antes de entrar

de lleno a resolver derivadas con fórmulas

empiezan resolviendo las derivadas con

aumentos para que entiendan mejor las

derivadas. En el programa SMG puedes

resolver éste y otros problemas paso a paso

(como verás más adelante), puedes resolver

éstos problemas únicamente indicando el

paso correcto para llegar a la solución. Por

ejemplo tenemos que nos piden encontrar

con aumentos la derivada de la siguiente

expresión:

< * 2��

Primero debemos entrar al programa SMG,

para entrar en él presionamos tecla APPS y

accedemos al menú general de la

calculadora:

Nos movemos con el cursor y nos

posicionamos sobre el Ícono de las letras

SMG, y damos ENTER:

Vemos que nos aparecen 3 opciones, le

damos en la tercera opción “New” y damos

ENTER:

Aquí nos va a pedir que nombremos de

alguna forma este set de problemas, tú

puedes ponerle el nombre que quieras que

lo recuerdes, lo bueno de esto es que los

problemas los puedes guardar para después

leerlos y ver el procedimiento que hiciste

para resolverlos. Ok en esta ocasión lo

nombraremos “prob1”, los tecleamos y

damos ENTER:

Aquí esta la pantalla inicial del programa,

ahora debemos teclear F2 y desplegar el

menú de problemas y posicionarnos sobre

“New Problem” y damos ENTER:

Ahora bien en este programa tu puedes

resolver éste tipo de problemas, también

derivadas por medio de fórmulas, e

integrales, para acceder a la función que

necesitamos para resolver este ejercicio

presionamos F1 y se despliega el menú de

“simplify” y nos posicionamos sobre la

opción número 7 “Difference Quotient” y

damos ENTER:



Ahora en la parte de en medio te explica

como usar esta función, debes teclear

primero la expresión, luego “,” coma y la

variable, y luego coma y la variable de

aumento, entonces escribimos:

Y damos ENTER:

Aquí podemos ver que ya transformo lo

adecuado para resolverlo con los aumentos

indicados con “h”. Ahora de aquí en adelante

es presionar F4 y F3. Con F4 se accede al

menú de transformaciones posibles y con F3

se selecciona una parte de la expresión para

que la transformes, con la práctica te irás

familiarizando con ello. Presionamos F4 y

vemos:

La calculadora evaluó la expresión y te

presenta las posibles transformaciones a la

expresión para simplificarla. La opción

adecuada es la número 5 “expandir y

desarrollar el numerador”, nos posicionamos

sobre esta opción y damos ENTER:

Vemos que lo simplifica adecuadamente y te

escribe lo que se hizo y la expresión

resultante. Es una excelente forma de

estudiar por ti mismo. Ahora presionamos de

nuevo F4 para ver que otras opciones hay

para seguir resolviendo la expresión:

Vemos que la opción adecuada es factorizar

el numerador que es la número 2, ya que

debemos eliminar la indeterminación de h,

damos ENTER en esta opción:

Vemos que ya factorizó la expresión y ahora

simplemente resta dividir la expresión

adecuadamente, presionamos F4 de nuevo:



La opción adecuada es la número 1 “Dividir

los factores” y damos ENTER:

Y listo hemos llegado al resultado, con esto

ya sabemos que después de haber eliminado

la indeterminación de “h” se debe sustituir

las “h’s” que te queden por cero, es por esto

que el resultado final queda 4x-1. Recuerda

que objetivo de hacer las derivadas con

aumentos de h, es SIEMPRE eliminar una

indeterminación de h, por esto también

siempre tendrás en algún punto de la

resolución tener la opción de “Divide like

factors” ó dividir los factores

correspondientes.

Veamos otro ejemplo:

√�

Otro ejemplo típico es este, presionamos

aquí mismo F2 y desplegamos el menú de

problemas, y el damos en New Problem:

Y ahora en la línea de entrada llamamos la

función de raíz con 2nd + signo de

multiplicación y tecleamos lo restante:

Y damos ENTER:

Y ahora como ya sabemos presionamos F4

para observar las transformaciones posibles:

Como puedes observar este programa es

didáctico, no te hace todo, debes elegir el

paso correcto para transformar la expresión

en algo más simple, te da tiempo de pensar y

analizar la expresión para elegir lo adecuado.

La opción adecuada es la 3, “racionalizar el

numerador”:

Nos despliega la multiplicación adecuada que

racionaliza el numerador. Ahora bien,

sabemos que la parte de arriba de la

expresión es la que debemos multiplicar para

eliminar las raíces, primero debemos

seleccionar solamente el numerador, para

esto presionamos F3:

Vemos que se enmarca con una línea

punteada el numerador, es importante que

aprendas como usar estas líneas punteadas,

cada vez que presionas con el cursor hacia



abajo seleccionas expresiones más pequeñas

dentro de tu expresión general, y cuando

presionas con el cursor hacia arriba,

seleccionas cada vez expresiones más

grandes y generales, y cuando presionas a la

derecha o izquierda te mueves dentro de ese

mismo nivel de expresiones. Por ejemplo si

quisiéramos seleccionar el denominador,

solo presionamos una vez a la derecha y se

pasa al denominador. Regresamos al

numerador y presionamos ahora F4 para ver

las transformaciones posibles al numerador:

Vemos las opciones y nos damos cuenta que

se trata de un binomio conjugado

correspondiente a la opción número 3,

seleccionamos esta opción y damos ENTER

Vemos que ya aplico la regla matemática.

Como puedes ver este programa va haciendo

todo paso a paso ya que no ha resuelto las

expresiones al cuadrado, lo hace con la

finalidad de que entiendas lo que se va

haciendo y porque. SI te has equivocado en

algún paso, simplemente borra el paso con la

tecla . Ahora debemos volver a

seleccionar el numerador, presionamos F3 y

luego F4 para ver las transformaciones

posibles:

Vemos que la primera opción es la adecuada

que hace referencia a una raíz elevada al

cuadrado la cual se cancela quedando

únicamente el contenido de la raíz:

Lo que sigue ya es muy simple, presionamos

nuevamente F3 para seleccionar el

numerador y luego F4 para ver las

transformaciones:

Como puedes ver se observa en la parte de

arriba la parte de la expresión que

seleccionaste para transformar y la lista de

opciones en la parte inferior. Seleccionamos

la primera opción que es la que reduce la

expresión de arriba que corresponder a

simplificar el polinomio:



Ahora para terminar debemos eliminar los

términos de “h”. Presionamos F4 para ver las

opciones:

La segunda opción es la correcta, ya que

dividir los factores elimina los términos de

“h”:

Y listo hemos llegado al resultado, como en

ejercicio anterior, una vez que se han

eliminado los términos de “h”, las “h’s”

restantes se sustituyen por cero y se

simplifica a:

12√�

Lo genial del SMG es que tu puedes ver como

resolviste el problema desplazándote con el

cursor hacia arriba y ver como lo resolviste y

el paso que utilizaste, así como lo la ley

matemática utilizada por escrito. Además tú

puedes guardar tu propio set de problemas

para después consultarlos, puedes guardar

hasta 100 problemas en un solo set. Para ver

de nuevo por ejemplo el primer problema

que resolvimos desplázate con el cursor

hasta arriba de la página sobre el indicador

de “P2: SImplify…” y una vez que estés ahí

teclea con el cursor a la izquierda o derecha

para ver los problemas anteriores:

Podemos ver el problema anterior y de igual

manera te puedes desplazar hacia abajo para

consultarlo y ver como lo resolviste.

Ahora bien si tú quieres guardar este set de

problemas en la memoria de la calculadora y

aunque después que le quites las pilas no se

borre debes hacer lo siguiente; regresa a

HOME presionando DIAMANTE + letra Q:

Ahora tienes que ir al CPU de la calculadora,

en donde se encuentran todos los archivos y

variables que se crean cuando trabajas en

ella, para esto presiona “2nd” + Signo menos



de tecla blanca , arriba de la tecla

blanca está en azul la palabra “Var-Link” el

cual hace referencia a las variables de la

calculadora:

Aquí se despliega el menú general de

archivos de la calculadora. En mi calculadora

hay 3 carpetas “Calcapp, Ephy y Main”, tú

deberías de tener solo dos, una que es Main

y la otra Ephy, posiciónate sobre la carpeta

Main y despliega su contenido dando a la

derecha con el cursor:

En ésta carpeta hay muchas variables que se

crean cuando trabajas en programas

externos o funciones, posiciónate sobre el

nombre del set de problemas que creamos,

recuerda que yo lo nombre con la variable

“prob1”, márcala con la tecla F4:

Ahora presiona F1 para desplegar el menú de

administración de variables y selecciona la

opción número 8 que es “Archivar variable”:

Y damos ENTER, si lo hiciste correctamente,

aparecerá al lado de tu archivo un como

asterisco indicando que ha quedado

archivada:

Y ya esta guardado tu set de problemas para

siempre. Ahora para regresar a HOME

presionamos DIAMANTE + letra Q.

NOT A IMPORTANTE: Recuerda que si

quieres agregar más problemas a este set de

problemas debes desarchivarlo, para esto el

procedimiento es el mismo que archivar solo

que en lugar de seleccionar la opción

número 8 de archivar, seleccionas la opción

número 9 que es “Unarchive variable”

(desarchivar variable).


Derivadas Página 45

Derivadas

Algunos esperaban esta parte. La TIV200

puede resolver derivadas e integrales

definidas e indefinidas así como evaluarlas

en algún intervalo deseado. Para este curso

se verán las derivadas, las integrales se verán

en el curso correspondiente de cálculo

integral. La TIV200 puede resolver cualquier

tipo de derivada dándonos el resultado

inmediatamente, esto es muy útil para

comprobar tus resultados a la hora de un

examen; sin embargo también existe un

programa dentro de la misma TIV200 que se

llama SMG (Symbolic Math Guide) y que

resuelve las derivadas e integrales paso a

paso pero le tienes que ir ayudando a elegir

el paso correcto, es útil porque muestra las

fórmulas y opciones posibles para manipular

dicha derivada o integral para transformarla

en una mas simple y por ende resolverla,

pero primero utilizaremos el de resolución

instantánea, para ejemplificar veremos estos

ejercicios:

9��& * �� 4��&� · �� 1&�K

Este es un ejercicio tomado de la libreta de

uno de sus compañeros.

Nos dirigimos a HOME y para marcar la

función de derivada podemos hacerlo de 2

formas; 1) dando en el menú F3 que dice

“CALC” y seleccionar la primera opción que

dice “d( differentiate“ y damos ENTER ó 2)

damos en la tecla “2nd” + número “7” en la

parte numérica de la calculadora, vemos

como se copia la función a la línea de

entrada.

Ahora simplemente copiamos la función

teniendo mucho cuidado con los paréntesis y

exponentes, esto es de vital importancia

para obtener el resultado correcto:

Para finalizar como toda función después d

haber introducido la ecuación completa

ponemos una ”,” y escribimos una “x” con la

cual indicamos a la calculadora que es

respecto a equis la derivación, cerramos

todo con un paréntesis y damos ENTER.

Vemos y comprobamos el resultado

completo:

Como mencioné el ejercicio es tomado de un

ejercicio de una compañera de semestres

anteriores y ella obtuvo éste resultado

manualmente:

�2�� 4��&�� 1&�� 1&�K�4�� 64�� &



NOTA IMPORTANTE:

Este resultado comparado con el de la TI

V200 puede parecer diferente, pero en

realidad ambos son correctos, sólo que la

calculadora SIEMPRE te va a dar el resultado

simplificado y factorizado de ser posible. Tú

puedes comprobar ambos resultados de 2

formas: 1) simplemente introduciendo en la

calculadora tu resultado manual sobre la

línea de entrada, dando ENTER (la

calculadora te simplificara tu expresión) y

viendo que ambos resultados sean iguales, el

de la calculadora y el tuyo simplificado ó 2)

simplemente evaluando ambos resultados

con un valor cualquiera, digamos sustituir la

incógnita equis por un 2, y ambos resultados

numéricos deben ser iguales.

Veamos el segundo ejemplo:

9��& * sec��&

Esta como podemos ver es una función

trigonométrica, a simple vista no la vemos en

ninguna tecla rápida de la calculadora como

el típico seno, coseno y tangente, debemos

llamarla del directorio de funciones

matemáticas. Primero volvemos a introducir

la función de “d(“ derivación, y para llamar a

esta función de secante damos en “2nd” y el

número “5” de la parte numérica:

Vemos como se despliega un menú, este es

el directorio de funciones matemáticas

ordenado de por categorías, nos movemos

con las flechas de desplazamiento hasta el

apartado que dice “Trig” damos un teclazo a

la flecha de la derecha y vemos que se

despliega un submenú, nos volvemos a

mover hacia abajo para seleccionar la opción

número “5” que dice “sec(”y damos ENTER:

Vemos como se copia automáticamente la

función a la línea de entrada y ahora

simplemente completamos la ecuación

cerrando el paréntesis del argumento de la

función trigonométrica para después como

ya sabemos escribir “,” y equis “x” y cerrando

todo con el paréntesis final y damos ENTER:

Vemos el resultado de inmediato.



OTRA NOTA IMPORTANTE:

La TIV200 cuando da resultados con

funciones trigonométricas siempre las dejará

expresadas en términos de funciones

primarias es decir, seno, coseno y tangente.

Otro Ejemplo:

9��& * sin��&� �� 1&�

Introducimos igualmente la ecuación y al

final de escribir la función trigonométrica de

seno con su argumento ponemos el signo de

exponente y a la tercera potencia, cuidando

como hemos insistido los paréntesis

correctamente:


9��& * tan √1 � �

Igualmente introducimos la ecuación y ahora

se cierran 2 paréntesis después de la

tangente, el de la función de la tangente y

otro de la raíz:

Damos ENTER y vemos el resultado, este es

un buen ejemplo de cómo la TIV200 deja

todo en términos de las funciones primarias:

En clase la verían simplificada al término de

la secante así:

� sec�√1 � �&�2√1 � �

Pero como podemos comprobar es

enteramente lo mismo.


Punto de Inflexión (gráfico) Página 48

Punto de Inflexión (gráfico)

Por último vamos a graficar una función

trigonométrica y a encontrar sus puntos de

inflexión, usaremos esta función:

9��& * �cos �&� sin �

¿Recuerdan nuestras viejas funciones que

graficamos al principio?, pues regresemos a

“Y Editor”, presionando DIMANTE + tecla W

del teclado extendido:

Demarcamos las 2 funciones y1 y y2

posicionándonos sobre cada una y

presionando F4, (quitando la palomita de

cada una), luego nos ponemos sobre y3 y

damos ENTER para entrar a línea de entrada:

Ahora simplemente escribimos la función y

damos ENTER:

Ahora en lugar de dar ZoomStd como

hacíamos antes, para ver mejor las funciones

trigonométricas damos en F2 y

seleccionamos la séptima opción que es

”ZoomTrig” y damos ENTER.

Esta opción de “ZoomTrig” configura la

ventana de manera que se vea las funciones

trigonométricas principales y observamos:

Presionamos F5 y seleccionamos la opción

número “8” que dice “Inflection” y damos

ENTER:

Nos aparece un puntero donde nos podemos

mover fácilmente de derecha a izquierda a

través de la grafica como en los ejercicios

anteriores y observamos a simple vista que

un punto de inflexión se encuentra entre el

primer punto bajo de lado izquierdo del eje

equis, recuerda que los puntos de inflexión

se encuentran siempre entre un máximo y un

mínimo, nos posicionamos en algún punto

cualquiera detrás de este punto y damos

ENTER:


Punto de Inflexión (gráfico) Página 49

Ahora nos movemos hacia la derecha con las

flechas después del punto de inflexión y

damos ENTER.

Observamos las coordenadas del punto de

inflexión de dicha gráfica en la parte de

abajo:

Por la naturaleza misma de la gráfica nos

podemos dar cuenta de que ésta función

tiene un número infinito de puntos de

inflexión.


Derivadas en SMG (paso a paso) Página 50

Derivadas en SMG (paso a paso)

Muy bien, hasta aquí hemos visto todo lo de

calculo diferencial utilizando el software de

que la calculadora trae, solo falta ver el otro

programa que había mencionado al principio

y que resuelve las derivadas por pasos pero

que necesita la ayuda de ustedes para elegir

el paso correcto y la calculadora lo opera,

este programa por su misma esencia

también es didacta, sin embargo para no

cometer errores te recomiendo que primero

encuentres la solución directa con el

solucionador instantáneo y luego verificar los

pasos con este programa. Para entrar en él

presionamos la tecla APPS que se encuentra

en la parte superior del lado derecho por

donde se encuentran las flechas de

desplazamiento:

Es la pantalla donde iniciamos ¿recuerdan?,

bien, ahí nos desplazamos con las flechas

hasta encontrar el programa SMG, nos

posicionamos sobre el y damos ENTER.

Nos aparece una pantalla donde nos da 3

opciones; 1) “Current” que significa

continuar con el problema anterior, (no

había, por lo tanto no se puede entrar), 2)

“Open…” que es abrir un problema anterior y

3)”New…” que es nuestra opción nos

posicionamos sobre ella y damos ENTER

Bien ahora nos aparece una pantalla donde

nos pregunta con que nombre va a guardar

el problema y en que folder, esta es una

ventaja ya que después lo podemos volver a

cargar y visualizar que pasos usamos para

solucionarlo; nos posicionamos sobre la

ventana de abajo dando un teclazo a la

flecha de abajo y escribimos un nombre

cualquiera para este ejemplo pondremos

“pro1”. Lo dejaremos guardado en la carpeta

“MAIN” que es el folder principal de la

calculadora y damos ENTER 2 veces.

Nos sale la pantalla principal, ahora

presionamos F2 y seleccionamos la primera

opción “New Problem…” para introducir un

nuevo problema y damos ENTER.

Para ejemplificar resolveremos los mismos

problemas anteriores haciéndolos por pasos

con este programa, vemos que nos sale un

menú de opciones para las teclas

“F1,F2,F3…etc”, presionamos “F4” que dice



en pantalla “Compute” y seleccionamos la

primera opción que dice “Derivative” y

damos ENTER.

Ahora nos sale una pantalla donde vemos ya

la función de derivación en una minilinea de

entrada, aquí simplemente escribimos la

función a derivar igual que lo hacíamos en

“HOME” con su respectiva coma “,” y su

equis “x”, empezaremos con la de los

polinomios:

9��& * �� 4��&� · �� 1&�K

Después de escribirla correctamente damos

ENTER.

Nos sale la pantalla donde haremos todos los

pasos para resolver la derivada, vemos que

se encuentra sombreada por completo,

ahora de aquí en adelante es presionar F4 y

F3. Con F4 se accede al menú de

transformaciones posibles de la parte

seleccionada y con F3 se selecciona una

parte de la expresión para que la

transformes, con la práctica te irás

familiarizando con ello. Tecleamos F4:

Vemos que nos despliega un menú de

posibles opciones para transformar la

derivada y aplicar las fórmulas, en general

SMG no te dejara que utilices el paso

incorrecto para la resolución de la derivada,

por decir en este ejemplo vemos que se trata

de una derivada de un producto, deberíamos

seleccionar la opción número 2 ”derivative of

product”, sin embargo si alguien que no sabe

hacer derivadas intentara dar en la primera

opción que dice “derivative of sum or diff”

(derivada de sumas o diferencias) y diéramos

ENTER observamos:

Vemos inmediatamente nos regaña la

calculadora diciendo que esta regla no es útil

para resolver la derivada. Presionamos

ENTER para salirnos de ahí y volvemos a dar

F4 para seleccionar la opción adecuada que

es la numero 2, nos posicionamos sobre ella

y damos ENTER.



Nos despliega una pantalla donde en la parte

superior está la formula de derivación que ya

vieron en clase, la derivada a resolver y nos

pide que le marques cual es f(x) y g(x), aquí

se encuentra otro elemento didacta, ustedes

pueden intentar indagar cual es cada una o si

después de un rato no pudieron presionan F1

que en pantalla dice “HELP” y

automáticamente da la solución de cuál es

cada función. Después de esto damos ENTER

2 veces:

Vemos como primero representa la derivada

mediante la fórmula sin operarla, todo esto

la calculadora lo hace con fines didactas,

para que el alumno vea lo que se hace paso a

paso, llega a ser hasta cierto punto obvio, sin

embargo es para el correcto entendimiento

del tema. Ahora debemos ir seleccionando lo

que se va a simplificar primero, en este caso

son las derivadas, para esto presionamos F3

una vez y vemos que aparece un recuadro

enmarcando la primera parte de la expresión

así:

Vemos que se enmarca con una línea

punteada la primera parte de la expresión, es

importante que aprendas como usar estas

líneas punteadas, cada vez que presionas con

el cursor hacia abajo seleccionas expresiones

más pequeñas dentro de tu expresión

general, y cuando presionas con el cursor

hacia arriba, seleccionas cada vez

expresiones más grandes y generales, y

cuando presionas a la derecha o izquierda te

mueves dentro de ese mismo nivel de

expresiones. Por ejemplo si quisiéramos

seleccionar la expresión de la derecha damos

a la derecha con el cursor una vez y

regresamos dando a la izquierda. Nos

posicionamos entonces sobre la que tiene la

función de derivada del lado izquierdo (en

orden se dio un teclazo hacia abajo y luego

uno a la derecha) y ya que el recuadro está

sobre la derivada presionamos F4:

Y nuevamente nos despliega un menú sobre

lo que se puede hacer a esa derivada y

observamos que se trata de una derivada

con regla de la cadena, en inglés ésta es la

cuarta opción “4: derivative of composition”,

nos posicionamos sobre ella, damos ENTER.



De nuevo nos sale la opción de seleccionar la

opción de escribir cual es la función correcta,

para agilizar presionamos F1 para que la

saque rápidamente y damos ENTER 2 veces.

Vemos como hace la derivada con sus

términos expresados sin operar aún para que

puedas entender lo que se hace,

nuevamente presionamos F3 para

seleccionar las otras derivadas pendientes,

nuevamente nos desplazamos a la derecha

para seleccionar la derivada de la derecha y

damos F4 para transformarla de igual

manera:

Vemos el menú de opciones y vemos que es

una derivada simple polinomial, así que

damos ENTER en la primera opción:

Vemos que de igual manera ya opero el

término y damos F3 y nos desplazamos a las

derivadas pendientes del extremo derecho,

nos posicionamos sobre ella y damos F4 para

transformarla:

Vemos que la derivada se trata de una regla

de la cadena y seleccionamos la opción

número 4 y damos ENTER, presionamos F1

para que encuentre los términos f(u) y g(x) y

damos ENTER 2 veces:

Nos desplazamos a la derecha y vemos que

ya opero la derivada y que nos queda una

última derivada pendiente del lado derecho,

hacemos lo mismo que los pasos anteriores,

y en esta ocasión vemos que se trata de una

derivada de polinomio y damos ENTER en

esa opción:



Vemos que ya no quedan derivadas

pendientes para operar y ahora simplemente

simplificamos, así sombreada toda la

expresión damos en F4, vemos nuestro

conocido menú pero ahora con opciones

para simplificar, seleccionamos la segunda

opción que es “arithmetic” que es para

operar los exponentes y damos ENTER:

Para simplificarla un poco más damos

nuevamente en F4 y seleccionamos la

primera opción de “delete nonessential” que

sirve para eliminar los paréntesis

innecesarios:

Por ultimo ordenamos factores:

Y vemos que este resultado se parece mucho

a la expresión que vimos en el cuaderno de

mi compañera, cualquier profesor en su sano

juicio y con buen criterio consideraría hasta

aquí el resultado correcto, pero si somos

perfeccionistas y buscamos el valor

exactamente igual que el de la calculadora

necesitaríamos factorizar esta expresión que

también lo hace SMG presionamos F5 y nos

despliega un menú, nos posicionamos sobre

la segunda opción que dice “Apply” y damos

un teclazo a la derecha y nos sale un

submenú donde seleccionamos la primera

opción de “common denom & simplify”, y

damos ENTER, esta opción encuentra el

común denominador de la expresión y lo

simplifica:



Vemos que reduce el término a una

expresión con fracción más simple, vemos la

subfracción de la parte de arriba,

presionamos F3 para seleccionarla y damos

en F4, seleccionamos la cuarta opción que es

de reducir el término a una sola fracción y

Damos ENTER:

Observamos que ya dejo todo en una sola

fracción y ahora se presiona F4 de nuevo y se

selecciona la ley del sándwich que es la

primera opción y damos ENTER:

Ahora para simplificar solo presionamos F5 y

damos en la segunda opción “Apply”,

entramos al submenú y seleccionamos la

cuarta opción “simplify” y damos ENTER:

Hemos solucionado el ejercicio, ha parecido

largo, pero una vez que tomas práctica se

hace sencilla y es mejor para comprobar tus

resultados y ver paso a paso lo que hiciste y

como lo hiciste, y ver que concuerde con lo

obtenido en el solucionador instantáneo de

HOME, para poner la cereza en el pastel, ya

que tenemos sombreada esta expresión

presionamos DIAMANTE + tecla C,

automáticamente hemos copiado esta

expresión, ahora presionamos DIAMANTE +

tecla “Q” del teclado extendido y vemos que

nos trasladamos a HOME, ahí sobre la línea

de entrada pegamos la expresión copiada

con DIAMANTE + tecla “V” del teclado

extendido y damos ENTER:

Vemos que los resultados concuerdan con el de la calculadora y por ende esta correcto.

Ahora para regresar al problema hecho

damos en “2nd” + tecla APPS y nos regresa

directamente al programa SMG, para ir



viendo los pasos que hiciste para resolver la

derivada solo muévete hacia arriba con las

flechas de desplazamiento. Para iniciar un

nuevo problema en este mismo set damos F2

y damos ENTER en la primera opción “New

Problem”:

Haremos el segundo ejercicio de:

9��& * sec ��&

En la línea de entrada escribimos la función

secante ya vimos que para esto damos en

“2nd” + tecla “5” de la parte numérica y

damos en el apartado de “Trig” y

seleccionamos la función secante que es la

quinta opción y damos ENTER:

Y ahora simplemente completamos la

ecuación con su respectivo “,” y equis al final

y damos ENTER:

Presionamos F4 para ver las opciones que

tenemos para manipularla y vemos que en el

formulario del SMG aparece esta formula

donde dice que la secante de equis es igual a

la secante por la tangente, esta resolución es

directa, así que la seleccionamos y damos

ENTER en esta primera opción:

Esta es otra parte didáctica de la calculadora,

aquí se puede ver que también contiene

formulario e identidades trigonométricas, tú

lo puedes ver presionando de nuevo F4 y

puedes ver que la puedes transformar para

dejarla en los términos de funciones

primarias si así lo deseas. Pasemos al tercer

ejercicio:

sin��&�� 1&�

De igual manera damos F2 New Problem y

tecleamos la función:



Presionamos F4 y sabemos que se trata de

una derivada de un producto de funciones,

por lo tanto seleccionamos la segunda

opción y damos ENTER:

Damos en F1 para que encuentre cual es

cada función y damos ENTER 2 veces:

Vemos que dejó expresado lo que se hará en

cada una, ahora se hace lo mismo que en el

problema 1, damos en F3 para seleccionar

las partes que tienen las derivadas sin hacer

aún (en orden es F3 + cursor hacia abajo +

cursor a la derecha), ya que está en el

recuadro damos F4 y seleccionamos la cuarta

opción ya que vemos que se trata de una

regla de la cadena y damos ENTER:

Nuevamente presionamos F1 para que nos

ayude y damos ENTER 2 veces:

Y como ya sabemos seleccionamos las

derivadas pendientes por resolver:



Vamos con la expresión de seno al cubo:

Después de esto debemos dar un paso extra

que es quitar los paréntesis innecesarios,

como tip podemos decir que cuando veamos

que están de forma excesiva debemos

eliminarlos para que la calculadora pueda

seguir operando los términos faltantes:

Por último seleccionamos y resolvemos la derivada de hasta la derecha:

Y ahora simplemente simplificamos dando en

F5, segunda opción “Apply”, y luego en el

submenú la opción 4 “simplify” y damos

ENTER:

Y obtenemos el resultado inmediato:

Veamos el último ejercicio:

9��& * tan √1 � �

Damos F2 “New Problem” e introducimos el

nuevo problema:

Damos en F4 y nos damos cuenta que es una

derivada de cadena, por lo tanto

seleccionamos la cuarta opción y damos



ENTER, luego presionamos F1 para que nos

ayude y damos ENTER 2 veces:

Ahora damos en F3 y seleccionamos la

derivada pendiente del lado derecho y

presionamos F4 para ver como la podemos

transformar:

Vemos que nuevamente esta pequeña

derivada es una simle derivada de la cadena

por lo mismo seleccionamos la cuarta opción

damos ENTER y como ya sabemos damos en

F1 y luego 2 veces ENTER:

Seleccionamos con F3 la ultima derivada

pendiente del lado derecho y damos en F4

para ver las posibles transformaciones y

vemos que esta se trata de una derivada

simple de polinomio y seleccionamos la

primera opción y damos ENTER:

Por último damos en F5 y luego en el

submenu de “Apply” y seleccionamos la

cuarta opción “Simplify” y damos ENTER

Hemos llegado al resultado.

Lo genial del SMG es que tu puedes ver como

resolviste el problema desplazándote con el

cursor hacia arriba y ver como lo resolviste y

el paso que utilizaste, así como lo la ley

matemática utilizada por escrito.

Tu puedes volver a cargar los problemas que

ya hayas hecho, simplemente desplázate con

el cursor hasta arriba de la página sobre el



indicador de “P4: Compute…” y una vez que

estés ahí teclea con el cursor a la izquierda o

derecha para ver los problemas anteriores:

Podemos ver el problema anterior y de igual

manera te puedes desplazar hacia abajo para

consultarlo y ver como lo resolviste.


Derivadas con Stepder (paso a paso) Página 61

Derivadas con Stepder (paso a paso)

Éste último programa que se mostrará para

resolver derivadas debes usarlo como último

recurso, ya que es un programa que resuelve

las derivadas paso a paso y simplemente

debes ir dando ENTER, es muy útil para

estudiar pero no para aprender, no debes

usarlo solo para copiar las respuestas en tu

cuaderno ni para hacer trampa en exámenes,

sino de un buen apoyo para el estudio. Éste

programa es externo y ya se encuentra

instalado en todas las calculadoras de la

FCQeI, si compraste una Texas por tu cuenta

y deseas instalarlo puedes bajarlo de la

página www.texasfcqei.com

Veamos un ejemplo que se hizo

anteriormente:

9��& * sec ��&

Estando en HOME para llamar al programa

Stepder damos en “2nD” + signo menos

blanco:

Luego desplegamos con el cursor el folder de

Stepder y damos ENTER sobre el programa

principal que se llama “stepder”:

Verás que se copia a la línea de entrada y

ahora sólo cerramos paréntesis y damos

ENTER para que el programa inicie:

Damos ENTER varias veces hasta llegar a la

línea de entrada de la función:

Ésta pequeña línea de entrada sigue las

mismas reglas que la línea de entrada normal

de HOME, tecleamos la función de nuestro

problema, con la respectiva variable y cierre

de paréntesis:

Damos ENTER 2 veces y vemos:

De aquí en adelante el programa se irá

pausando, puedes ver que en la línea inferior

derecha de la pantalla dice “PAUSE”, para

avanzar simplemente debes ir dando ENTER,

como recomendación se aconseja que

siempre que empieces a resolver una

derivada compleja tengas un cuaderno cerca



para ir anotando el procedimiento y

entendiendo lógicamente los pasos que se

van haciendo, vemos que en primera

instancia Stepder transforma con la

identidad trigonométrica a uno sobre coseno

de equis, damos ENTER nuevamente:

Vemos que deja expresada de forma más

simple la función como 1 sobre d(x), damos

ENTER:

Sabiendo de antemano que d(x) será coseno

de equis, damos ENTER:

Luego nos indica que como fórmula la

derivada de d(x) ó del coseno de equis es

menos seno de equis, damos ENTER:

Luego aplica otra fórmula de derivación la

cual está ahí expresada que dice que la

derivada de una constante “k” sobre la

función “d” es igual a “–k” por la derivada de

“d” entre la función “d al cuadrado”,

entonces el resultado es seno de equis entre

coseno de equis al cuadrado:

NT�OU * �T · �U

��

Por lo tanto:

�1 · � sin �cos� � * sin �

cos� �

Recuerda que aunque sólo hay un 1 en la

parte de arriba de la fracción cuenta como

constante ó número “k”, es por esto que la

parte de arriba se vuelve positiva, damos

ENTER:

Y con el último mensaje de “End step by step

computation” llegamos al final del

procedimiento. Al dar ENTER nuevamente

tenemos la opción de seguir resolviendo más

ejercicios:

Y para salir simplemente damos ESC:

El último resultado hecho se guardará en la

variable “res”, puedes teclearla en la línea de

entrada de HOME y dar ENTER para verla y

usarla en alguna otra aplicación o problema:



Es importante que tengas siempre una hoja y

lápiz cerca cuando estés resolviendo

derivadas complejas, ya que en ocasiones si

la derivada es muy compleja el programa

llega a dividir la derivada en varias partes

para luego juntarlas y llegar al resultado y a

veces suele ser confuso, es por esto que

debes ser cuidadoso e ir anotando y

entendiendo cada regla y paso hecho.

También en ocasiones se ha visto que el

programa no llega a la solución o se traba,

generalmente esto se debe a que alguna

variable no se borro correctamente de la

calculadora, esto se soluciona fácilmente

dando en F6 en HOME y borrando las

variables existentes, si el problema persiste

simplemente resetea la calculadora

presionando al mismo tiempo las teclas

“2nd”+ tecla “ON” + tecla de mano, hasta

donde yo he visto éste programa ha podido

resolver todas las derivadas que se le han

pedido, es muy útil y no falla.

Te recomiendo que practiques varios

ejercicios empezando desde el más simple

hasta el más complejo para adquirir

habilidad y aprender por ti mismo.


De segunda hasta ∞ Derivada Página 64

De segunda hasta ∞ Derivada

Ahora bien, para encontrar la derivada del

orden que sea que te pidan en alguna tarea o

examen debemos primero movernos a

HOME. Para esto tecleamos DIAMANTE +

tecla Q del teclado extendido:

Supongamos que te piden encontrar la

cuarta derivada de la función:

3�V 7� 8�

Esto se puede hacer muy fácilmente en la TI-

V200 mediante la misma función de

derivación, solo que ahora pondremos una

expresión extra para indicarle que debe

hacerla 4 veces para encontrar la cuarta

derivada, se hace así:

Se inicia de igual forma llamando la función

de derivación y escribiendo la función que

deseamos que encuentre:

Ahora tecleamos la coma que ya sabemos e

inmediatamente después la equis para

indicarle que es respecto a equis la

derivación, ahora antes de terminar

tecleamos una coma extra y el número 4

para indicarle que es la cuarta derivada y

cerramos todo con un paréntesis:

Y damos ENTER:

Vemos que nos despliega el resultado

inmediatamente de la cuarta derivada. Así de

sencillo puedes comprobar tu respuesta a

mano. Borramos la línea de entrada con la

tecla CLEAR.

Es importante recordar que el resultado de la

calculadora siempre te lo dará de la forma

más simplificada y factorizada posible. Para

comprobar tu resultado a mano como hemos

dicho tú puedes asignarle un valor cualquiera

a ambos resultados y el valor numérico

resultante debe ser el mismo.

Otro ejemplo:

2�W � 3� �? 7�V

Nos piden encontrar la tercera derivada de

esta función. Todo se introduce igual, sólo

que es importante escribir correctamente los

paréntesis:


De segunda hasta ∞ Derivada Página 65

Damos ENTER y después de unos instantes vemos:

Vemos el resultado en forma de división y

factorizado, es importante que consideres

esto cuando encuentres tus resultados a

mano ya que podría parecer diferente, pero

no debe de serlo.


Derivadas Implícitas Página 66

Derivadas Implícitas

Otra función muy útil para este curso de

cálculo diferencial es la de la función

implícita, la cual resuelve de forma

instantánea una derivada implícita, y hasta

del orden que se deseé, por ejemplo, nos

piden encontrar la derivada implícita de la

función:

�� 6�< <� * 8

Esto se resuelve de igual manera en HOME,

damos en F3 y seleccionamos la última

opción “impDiff” (diferenciación implícita) y

damos ENTER:

Vemos que se copia a la línea de entrada la función y ahora simplemente tecleamos la ecuación tal cual nos la escriben:

NOTA IMPORTANTE: En el segundo término

es importante que haya un signo de

multiplicación entre la equis y la ye, (6xy) , si

no se escribiera la calculadora pensaría que

se trata de una sola variable llamada “xy” y

no es cierto, son 2 variables separadas, por

esto es importantísimo teclear un signo de

multiplicación entre ambas.

Ahora simplemente debemos teclear “,”

coma e inmediatamente después la variable

independiente y luego “,” + variable

dependiente, es decir “,x,y” y cerramos el

paréntesis de la función:


Vemos el resultado inmediatamente, es

importante que recuerdes que la calculadora

siempre lo va a simplificar y factorizar de ser

posible, esto debes considerarlo a la hora de

comparar tus resultados. Borramos la línea

de entrada con la tecla CLEAR.

Veamos otro ejemplo:

1�4�� 414�< * 0

Para este ejemplo de igual manera debe

llamarse la función de “impDiff” y teclearse

las funciones trigonométricas, nótese la

importancia de escribir correctamente las

funciones. Para las potencias de las

funciones trigonométricas de secante y

cosecante debe escribirse al final del

argumento elevado a la potencia, de la

siguiente manera:


Derivadas Implícitas Página 67

Observa que las potencias van después de

haber expresado la función trigonométrica

con su argumento correspondiente, ahora lo

siguiente es simplemente teclear como en el

ejercicio anterior la variable independiente y

luego la dependiente:


NOTA IMPORTANTE: Recuerda que cuando

trabajes con funciones trigonométricas la

Texas siempre te devolverá los resultados en

términos de las funciones trigonométricas

elementales (seno, coseno y tangente)


Línea Tangente & Máximos y Mínimos & Punto de Inflexión Página 68

Línea Tangente & Máximos y Mínimos & Punto de Inflexión

Hay ejercicios en los que te piden encontrar

la ecuación de la recta tangente en algún

punto de cierta función. Tú puedes hacer

esto fácilmente en la Texas para comprobar

tus resultados. Consideremos el siguiente

ejercicio:

Encontrar el punto de la recta tangente que

haga paralela al eje equis de la función:

< * �A � 2�� 2

Primero lo que debemos hacer es graficar la

función. Presionamos DIAMANTE + letra W

del teclado extendido para ir a la parte

gráfica:

Ahora como vimos al inicio tecleamos ENTER para pasar a la línea de entrada y escribir la función que queremos:

Vemos que esta palomeada y lista para

graficar, ahora solo damos como ya sabemos

en F2 y damos en la sexta opción “ZoomStd”:

Ahora bien, ya que esta graficada la función

desplegamos el menú matemático con la

tecla F5 y nos posicionamos en la opción “A”

que dice “Tangent” y damos ENTER:

Vemos que en la esquina inferior izquierda

nos pregunta “Tangent at?” es decir nos

pregunta en que punto nos va a graficar la

recta tangente. Aquí tú puedes tratar de

indagar o probar cual punto será el bueno

simplemente probando, por ejemplo

digamos 2, presionamos 2 y damos ENTER:

Aquí vemos que nos dibuja la recta tangente

en ese punto y nos escribe la ecuación de

dicha recta en la esquina inferior izquierda

de la pantalla, a simple vista vemos que 2 no

es al valor adecuado ya que la recta no es

paralela al eje equis. Como tip para estos

ejercicios sabemos que siempre los puntos



adecuados serán en los máximos y mínimos

de la función. De nuevo accedemos al menú

matemático y elegimos la opción tangente y

tecleamos 1 y damos ENTER:

Vemos que 1 es un punto adecuado ya que

dibuja una paralela exacta al eje equis.

¿Habrá otro punto?, hemos tocado los

puntos mínimos, falta el máximo que se ve a

simple vista y se encuentra en cero. Ahora le

pedimos que lo encuentre en cero y vemos:

Entonces vemos que los puntos adecuados

son -1, 0 y 1, debido a que la gráfica es

simétrica por lógica sabemos que -1 también

dibuja una recta tangente paralela al eje

equis.

La forma analítica de resolver estos

problemas como sabemos sucede en HOME

y es derivando e igualando a cero y

encontrar los valores máximos y mínimos.

Veamos como se resolverían en HOME.

Presionamos DIAMANTE + letra Q del teclado

extendido. Ahora primero derivamos la

función:

Habiendo derivado la función ahora

simplemente llamamos a la función solve

que se encuentra en el menú F2 de “Algebra”

que resuelve igualdades o desigualdades e

igualamos a cero y pedimos que encuentre

los valores de equis que satisfacen la

igualdad:

Y vemos que encuentra inmediatamente la

respuesta.

Y por último, como tu profesor ya te debió

haber explicado, los puntos de inflexión

suceden en la segunda derivada de la

función, simplemente derivamos doble la

función e igualamos a cero:



Llamamos la función Solve del menú F2 de

Algebra, damos una vez arriba con el cursor

para que sombree el resultado apenas

obtenido y damos ENTER para que se copie a

la línea de entrada:

Igualamos a cero y hallamos equis:

Y obtenemos los 2 puntos de inflexión de la

función, para ver un valor aproximado

puedes presiona DIAMANTE antes de dar

ENTER:

Con esto concluimos el curso para Cálculo

Diferencial apoyado con la Texas Instruments

Voyage 200, espero que te haya sido de

ayuda y le des un buen uso. Te recomiendo

que resuelvas los ejercicios que se dejan en

las páginas siguientes para que adquieras

habilidad a la hora de resolverlos, ya que te

puede ser de ayuda si te permiten usarla en

algún examen.


Ejercicios Propuestos Página 71

Ejercicios Propuestos

Graficando Funciones

Dadas las siguientes curvas:

<1��& * �� 5� 3<2��& * 2�� 5� 4<3��& * �� 3

Encuentra de cada una de forma gráfica y analítica lo siguiente:

a) Raíces (Ceros)

b) Puntos de Intersección de cada curva

c) Tabula cada curva con aumentos de 3.5 en 3.5 e iniciando la tabla en cero

d) Puntos Máximos y Mínimos de cada curva.

Desigualdades

Resuelve cada una de las siguientes desigualdades con la función “solve(“ de HOME:

5& 3� � 1 B � 5

7& �� 3 ; 2

�� 3

4& �� 1 X 2

� � 1

�& |3� 1| X 2|� � 6| �& � � 2

� � 1 > � 2� 1

9& � � 2|� � 1| > |� 2|

� 1



Límites y continuidad

Resuelve los siguientes límites en HOME:

5& lim@E��A � 16�� 8

7& lim@EF�W � �� 1

2�W �� 300

4& lim@EF�� 1�� 1

�& lim@EF�� 1&�� 2&�� 3&�� 4&

�& lim@EY/�cos �

1 sin �

9& lim@EFlog �? � 5

��

[& lim@EF3@ � 1

√�W �

\& lim@EF�W � ��

J12L@

$& lim@EF√4�A �� 1

�� 1

]& lim@EF N1 � 23�O@

La función log sale simplemente tecleando esta combinación de letras en la línea de entrada con

su respectivo paréntesis indicando su argumento. Ej. log(x^3), para cambiar la base del logaritmo

simplemente después de teclear la expresión deseada aumenta una coma y el número de la base

del logaritmo. Ejemplo: log2(3x^2) � log(3x^2,2)



Derivadas

Encuentra en el programa SMG las derivadas con incrementos de las siguientes expresiones:

5& √�� 6� 3 7& �@C @C^ 4& @)C�

�

Encuentra las derivadas en el solucionador de HOME:

5& ln J_`CK_`�KL 7& log��A � 3�& 4& ln �@��&)

√�@CK �& sin� 3�

�& 5�4 1$ �1 � 2��&

Encuentra la el número de derivada solicitada:

5& 9V��& * 5�W 2�A � 3� 7& 9��& * sinV � 4&9A�!& * ! 2!�

�& 9?��& * 9�Ka � 2�^ < · �K�<

Resuelve las siguientes derivadas implícitas:

5& �� <� * 16 7& �� <� * 8� · < 4& √�) ��<) * 4<�

�& sec� � csc� < * 4 �& sec� < cot�� <& * tan� �

Por último encuentra dadas las siguientes funciones:

5& 3�� 10� 7& 2� � 3�A � 9� � 8 4& � �W 2�A 4� 7

a) El ó los puntos de la recta tangente que haga paralela al eje equis de la función

b) Máximos y Mínimos

c) Puntos de Inflexión.


Bibliografía Página 74

Bibliografía

Sitio Web:

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/1.4.1.html

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/ejercicios_de_limites.htm

http://www.vitutor.com/fun/3/a_a.html

http://www.vitutor.com/fun/4/d_e.html

http://www.monografias.com/trabajos62/derivada-funcion/derivada-funcion2.shtml

http://ed21.webcindario.com/id314.htm

cálculo diferencial- aplicaciones con voyage 200

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