aplicaciones de la derivada maximizar volumen (maximize volume)
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Máximos y mínimos relativosEjemplo 4.1. Proceso de solución iniciando con una aproximación sin cálculo, empleando primero aritmética y geometría, luego geometría analítica y finalmente la derivada.
4.1
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Enunciado del problema
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Enunciado del problema
• La figura muestra la forma en que se construirá la caja una vez recortados los cuadrados en las esquinas.
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Análisis del problema
• Observa el diagrama que representa el problema planteado.• ¿Crees que el tamaño del cuadrado que se
recorta haga que cambie el volumen de la caja?
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Procedimiento de solución
• Para ver si el volumen cambia, vamos a probar con diferentes medidas del cuadrado que se recorta.
1
Si se recortan cuadrados de 2 cm por lado, ¿cuáles serán las dimensiones de la caja resultante?
Geo
met
ría
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Procedimiento de solución
• Para ver si el volumen cambia, vamos a probar con diferentes medidas del cuadrado que se recorta.
1
En la figura podemos observar las dimensiones: longitud (36) y ancho (26) de la caja.
Geo
met
ría
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Procedimiento de solución
• La longitud y ancho de la caja ya los conocemos, ¿y la altura? ¿cuánto será?
1
Geo
met
ría
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Procedimiento de solución
• Una vez determinadas las dimensiones, calculamos el volumen.
1
Geo
met
ría
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Procedimiento de solución
• Si se recortan cuadrados de 3 cm por lado las dimensiones y el volumen cambian.
1
Geo
met
ría
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Procedimiento de solución
• Ya vimos que al aumentar el tamaño del cuadrado que se recorta, el volumen aumenta.• Vamos a probar con otros valores.• Para facilitar el proceso organizaremos la
información en una tabla con valores.
2
Tamaño del recorte
Longitud de la caja
Ancho de la caja
Altura de la caja
Volumen de la caja
2 36 26 2 18723 34 24 34 32 22
Tabu
laci
ón
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Procedimiento de solución
• Probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.
2
Tabu
laci
ón
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Procedimiento de solución
• Resultados al probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.
2
El volumen de la caja sigue
aumentando, pero cada vez
menos.
Tabu
laci
ón
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Procedimiento de solución
• Resultados al probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.
2
El volumen de la caja
disminuyó…
Tabu
laci
ón
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Procedimiento de solución
• Resultados al probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.
2
Tabu
laci
ón
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Procedimiento de solución
• Resultados al probar con otras medidas del cuadrado que se recorta.
2
Tabu
laci
ón
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Procedimiento de solución
• Podemos concluir que el volumen máximo se obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide 6 cm por lado.
2
Tabu
laci
ón
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Procedimiento de solución
• Las dimensiones de la caja son:• Longitud = 28 cm• Ancho = 18 cm• Altura = 6 cm• Volumen = 3024 cm3
2• Podemos concluir
que el volumen máximo se obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide 6 cm por lado.
Tabu
laci
ón
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Procedimiento de solución
• Las dimensiones de la caja son:• Longitud = 28 cm• Ancho = 18 cm• Altura = 6 cm• Volumen = 3024 cm3
2• Podemos concluir
que el volumen máximo se obtiene cuando el cuadrado que se recorta mide 6 cm por lado.
?Ta
bula
ción
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Procedimiento de solución• Las dimensiones de la caja son:• Longitud = 28 cm• Ancho = 18 cm• Altura = 6 cm• Volumen = 3024 cm3
• ¿Estamos seguros de este resultado?• Hemos tomado solamente valores enteros para
el tamaño del cuadrado que se recorta• ¿No puede ser un valor decimal?
3
?
Dec
imal
es
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Procedimiento de solución
• Encontramos un tamaño de recorte que aumenta le volumen.
3
Volumen máximo
Dec
imal
es
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Procedimiento de solución• Las dimensiones de la caja son:• Longitud = 29 cm• Ancho = 19 cm• Altura = 5.5 cm• Volumen = 3030.5 cm3
• ¿Estamos seguros de este resultado?• Hemos tomado algunos decimales, pero…• ¿No puede ser un valor con dos o tres
decimales?
3
?
Dec
imal
es
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Procedimiento de solución• Las dimensiones de la caja son:• Longitud = 29 cm• Ancho = 19 cm• Altura = 5.5 cm• Volumen = 3030.5 cm3
• Está claro que no podemos obtener la solución exacta.• Siempre habrá la posibilidad de que existan
medidas de cuadrados que mejoren más el volumen.• Tal vez debemos considerar otras herramientas.
3
?
Dec
imal
es
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Procedimiento de solución• Las dimensiones de la caja son:• Longitud = 29 cm• Ancho = 19 cm• Altura = 5.5 cm• Volumen = 3030.5 cm3
• La geometría y la búsqueda de mayor exactitud aumentando el número de decimales no es suficiente• Vamos a trazar la gráfica con los datos obtenidos
en la tabulación.
3
?
Dec
imal
es
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Procedimiento de solución 4
Grá
fica
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Procedimiento de solución 4
Grá
fica
![Page 27: Aplicaciones de la derivada Maximizar volumen (Maximize volume)](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042619/587c52bc1a28abc62c8b63c3/html5/thumbnails/27.jpg)
Procedimiento de solución 4
Grá
fica
Volumen m
áximo
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Procedimiento de solución 4
Grá
fica
En la gráfica se observa que la solución está entre 5 y 6,
pero no podemos
obtener un resultado más
exacto.Aparentemente se trata de una
parábola… Volum
en máxim
o
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Procedimiento de solución
• Si podemos determinar que se trata de una parábola, será sencillo encontrar la solución, ya que el volumen máximo se encontraría en el vértice de la parábola.• Vamos a determinar la ecuación que
describe el volumen en función del tamaño del cuadrado que se recorta para construir la caja.
5
Ecua
ción
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Procedimiento de solución
• Las dimensiones de la caja tomando la medida del cuadrado que se recorta como “x”.
5
Ecua
ción
![Page 31: Aplicaciones de la derivada Maximizar volumen (Maximize volume)](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042619/587c52bc1a28abc62c8b63c3/html5/thumbnails/31.jpg)
Procedimiento de solución
• El volumen se obtiene multiplicando longitud por ancho por altura.
5
Ecua
ción
![Page 32: Aplicaciones de la derivada Maximizar volumen (Maximize volume)](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042619/587c52bc1a28abc62c8b63c3/html5/thumbnails/32.jpg)
Procedimiento de solución
• No es una parábola, ya que la ecuación de esta curva es de segundo grado y se obtuvo una cúbica.• La estrategia de determinar el punto máximo
mediante el vértice no puede aplicarse en este problema.
5
Ecua
ción
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Procedimiento de solución 6
Func
ión
Trazando la curva sobre los
puntos que tenemos como datos podemos observar que, efectivamente no se trata de una parábola, ya que no es simétrica.
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Procedimiento de solución 6Quitando los
puntos se observa mejor que no se trata
de una parábola, sólo para verificar
seguimos graficando para valores mayores
de equis en la siguiente
diapositiva
Func
ión
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Procedimiento de solución 6Esta es la gráfica de una función cúbica con tres
soluciones reales distintas. Observa en qué
puntos la gráfica corta el
eje de las equis.x1 = ?x2 = ?x3 = ?
Func
ión
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Procedimiento de solución 6Esta es la gráfica de una función cúbica con tres
soluciones reales distintas. Observa en qué
puntos la gráfica corta el
eje de las equis.x1 = 0
x2 = 15x3 = 20
Func
ión
![Page 37: Aplicaciones de la derivada Maximizar volumen (Maximize volume)](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042619/587c52bc1a28abc62c8b63c3/html5/thumbnails/37.jpg)
Procedimiento de solución 6Soluciones de la función cúbica.
x1 = 0x2 = 15x3 = 20
¿Qué significan, en el problema de la caja, estos
valores?Recuerda que x es la medida del
cuadrado que se recorta.
Func
ión
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Procedimiento de solución 6x1 = 0
Significa no recortar nada, no se forma ninguna
caja
x2 = 15Significa recortar 15 cm, se termina
la hoja
x3 = 20Significa recortar 20 cm, se termina la hoja en el otro
lado…
Func
ión
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Procedimiento de solución 6
• El uso de la función cúbica nos ha permitido entender más el problema, pero no lo hemos resuelto.• Todavía tenemos solamente una solución
aproximada que, en ocasiones, pude ser útil, pero no es suficiente para nosotros.
• Las dimensiones de la caja son:• Longitud = 29 cm• Ancho = 19 cm• Altura = 5.5 cm• Volumen = 3030.5 cm3
Func
ión
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Procedimiento de solución
• Comenzamos planteando el problema con las herramientas básicas; aritmética y geometría.• Después tratamos de usar funciones y
gráficas y algo de geometría analítica, pero no se obtuvo una ecuación de segundo grado.• Necesitamos otra herramienta: El cálculo
diferencial.
7
Resu
men
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Procedimiento de solución
• El procedimiento para resolver este problema mediante derivadas recibe el nombre de máximos y mínimos relativos.• Es un proceso sencillo:
1. Obtener la función que describe el fenómeno en estudio
2. Determinar la primera derivada3. Igualar a cero la derivada4. Resolver la ecuación obtenida
8
La d
eriv
ada
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Procedimiento de solución 8
1. Obtener la función que describe el fenómeno en estudio.• Este paso ya lo realizamos, se trata de la
función que expresa el volumen en función de la medida del cuadrado que se va a recortar:
• y = 4x3 – 140x2 + 1200x
La d
eriv
ada
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Procedimiento de solución 8
2. Determinar la primera derivada.• Aplicando las fórmulas obtenemos:
• La derivada también puede representarse como y’ (ye prima).
La d
eriv
ada
3 2
2
4 140 1200
12 280 1200
y x x xdy x xdx
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Procedimiento de solución 8
3. Igualar a cero la derivada• Al igualar a cero la derivada estamos
tratando de encontrar los puntos críticos de las función.
La d
eriv
ada
2
0
12 280 1200 0
dydxx x
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Procedimiento de solución 8
4. Resolver la ecuación obtenida• La ecuación obtenida es una ecuación de
segundo grado que podemos resolver mediante la fórmula general.
La d
eriv
ada
2
2
12 280 1200 0
42
x x
b b acxa
2 0122801200
ax bx cabc
![Page 46: Aplicaciones de la derivada Maximizar volumen (Maximize volume)](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042619/587c52bc1a28abc62c8b63c3/html5/thumbnails/46.jpg)
Procedimiento de solución 8
4. Resolver la ecuación obtenida• Sustituyendo en la fórmula general
La d
eriv
ada
2
2
12 280 1200 0
( 280) ( 280) 4(12)(1200)2(12)
x x
x
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Procedimiento de solución 8
4. Resolver la ecuación obtenida• Efectuando operaciones
La d
eriv
ada
2( 280) ( 280) 4(12)(1200)2(12)
280 78400 5760024
280 2080024
280 144.2220524
x
x
x
x
![Page 48: Aplicaciones de la derivada Maximizar volumen (Maximize volume)](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042619/587c52bc1a28abc62c8b63c3/html5/thumbnails/48.jpg)
Procedimiento de solución 8
4. Resolver la ecuación obtenida• Dos soluciones.
La d
eriv
ada
1
2
2
1 17.675918792439
280 144.222052
5.6574145408933
4280 144.22205
24
280 144.2220524
x
x
x
x
x
Este resultado necesita ser interpretado.
¿Por qué hay dos soluciones?¿Cuál solución es la correcta?
¿Ambas son correctas?Si solo una solución es
correcta: ¿Por qué aparecen dos?
¿Qué significa la que no es correcta?
![Page 49: Aplicaciones de la derivada Maximizar volumen (Maximize volume)](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042619/587c52bc1a28abc62c8b63c3/html5/thumbnails/49.jpg)
Procedimiento de solución 9
• Hemos resuelto la ecuación y obtuvimos dos resultados, para entender por qué es necesario observar la gráfica.• Específicamente debemos observar,
¿dónde se encuentran las soluciones encontradas en la gráfica? La
sol
ució
n
1 217.675918792439 5.6574145408933x x
![Page 50: Aplicaciones de la derivada Maximizar volumen (Maximize volume)](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042619/587c52bc1a28abc62c8b63c3/html5/thumbnails/50.jpg)
Procedimiento de solución 9
La s
oluc
ión
1 17.6759x
2 5.6574x
![Page 51: Aplicaciones de la derivada Maximizar volumen (Maximize volume)](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042619/587c52bc1a28abc62c8b63c3/html5/thumbnails/51.jpg)
Procedimiento de solución 9
La s
oluc
iónPara entender mejor el
resultado que nos da la derivada debemos
recordar que aplicamos una herramienta que se
llama:“Máximos y mínimo
relativos”Nosotros buscábamos el volumen máximo, pero
el método nos da también el mínimo.
![Page 52: Aplicaciones de la derivada Maximizar volumen (Maximize volume)](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042619/587c52bc1a28abc62c8b63c3/html5/thumbnails/52.jpg)
Procedimiento de solución 9
La s
oluc
iónPara entender mejor el
resultado que nos da la derivada debemos
recordar que aplicamos una herramienta que se
llama:“Máximos y mínimos
relativos”Nosotros buscábamos el volumen máximo, pero
el método nos da también el mínimo.
La solución a nuestro problema es el valor que maximiza el volumen: x2
![Page 53: Aplicaciones de la derivada Maximizar volumen (Maximize volume)](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042619/587c52bc1a28abc62c8b63c3/html5/thumbnails/53.jpg)
Respuesta al problema 10
• Lo que nos preguntan es:• ¿Cuánto deben medir los cuadrados que
se recorten?• ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la
caja?• ¿Cuánto es el volumen máximo?• El valor de x2 responde solamente a la
primera pregunta.
Resp
uest
a
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Respuesta al problema 10
• Se deben recortar cuadrados que midan 5.65741454 cm por lado.• Las dimensiones de la caja serán:• Longitud = 28.6851709• Ancho = 18.6851709• Altura = 5.65741454• Para un volumen máximo de:• 3032.3024606
Resp
uest
a
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GRACIAS POR SU ATENCIÓN
PBL – Problem Based LearningEs una técnica consistente en iniciar el tema de interés con un problema que conduzca al alumno a la necesidad de aprender dicho tema.
El objetivo del presente material es abordar el tema de derivadas a partir de un problema.Dicho problema es irresoluble por métodos analíticos previos al cálculo.Se muestran soluciones aproximadas logradas mediante estas herramientas y finalmente se plantea la solución mediante máximos y mínimos relativos.