aplicación de modelos matemáticos a la...

Universidad Nacional de La Matanza

Aplicación de Modelos Matemáticos a la Epidemiología Modelado con Ecuaciones Diferenciales

Autora: Figueroa, María Virginia Tutor: Lic. Quiroga, Hernán Docentes: Dr. Galardo, Osvaldo / Lic. Barreto, Jorge Carrera: Licenciatura en Matemática Aplicada Fecha de presentación: 19 de diciembre de 2014

Aplicación de Modelos Matemáticos a la Epidemiología

Figueroa, María Virginia

AGRADECIMIENTOS

A Vero, a Vicky y a Gise, por la ayuda, las ideas y el apoyo.

A Hernán, por su seguimiento y aliento.

INDICE

Resumen/Abstract

Capítulo 1: Introducción

Capítulo 2: Marco Teórico

¿Qué es un modelo matemático?

Objetivos de los modelos matemáticos

Clasificación de los modelos matemáticos

Modelos biométricos determinísticos

Modelos Matemáticos para enfermedades infecciosas

Simulaciones de modelos matemáticos

Definición

Tipos de simulaciones

Diagramas de dispersión

Capítulo 3: Principales modelos de transmisión de

enfermedades infecciosas

Modelos SI, SIS y SIR

Modelo SI

Modelo SIS

Modelo SIR

1

2

5

5

6

6

7

8

10

10

10

11

13

13

14

16

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Cuadro resumen de los modelos epidemiológicos

determinísticos

21

Capítulo 4: Simulación del modelo SIR

Variación de Susceptibles por unidad de tiempo

Variación de Infectados por unidad de tiempo

Variación de Removidos por unidad de tiempo

Capítulo 5: Resultados de la Simulación

Comportamiento general de )(SII

Capítulo 6: Conclusión

Bibliografía

Anexos

Anexo 1: Epidemia

Anexo 2: Conceptos estadísticos de medidas de

ocurrencia (Incidencia y prevalencia)

22

22

24

26

30

33

36

37

38

38

39


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Aplicación de Modelos Matemáticos a la Epidemiología Modelado con ecuaciones diferenciales

Resumen La epidemiología estudia y describe la salud y las enfermedades que se presentan en una

determinada población. Los epidemiólogos han intentado desarrollar modelos matemáticos de

epidemias potenciales de algunas enfermedades comunes e importantes, con el fin de mejorar la

capacidad para comprender y predecir el desarrollo de una epidemia. En la elaboración de un

modelo de epidemia, se tienen en cuenta los componentes y muchos de los subcomponentes de

una epidemia específica de la cual se tiene información, y que permite estudiarla

cuantitativamente, es decir, desarrollando un modelo matemático que describa la misma.

La elaboración y el análisis de los modelos matemáticos de las epidemias proporciona

abundante y valiosa información.

Gracias al modelado de sistemas y a la simulación de modelos se puede predecir la

evolución de una determinada enfermedad infecto contagiosa, y a partir de esto se pueden tomar

decisiones acerca de los pasos a seguir.

Palabras clave: Epidemiología, ecuaciones diferenciales, simulación de modelos matemáticos.

Abstract

Epidemiology studies and describes health and disease that occur in a given population.

Epidemiologists have tried to develop mathematical models of potential epidemics of some

common and important diseases, in order to improve the ability to understand and predict the

development of an epidemic. In developing an epidemic model it has to take into account many

of the components and subcomponents of an specific epidemic which information is available,

and allows to study quantitatively, in other words, developing a mathematical model that

describes it.

The development and analysis of mathematical models of epidemics provides a wealth of

valuable information.

Thanks to systems modeling and simulation models you can predict the evolution of a

particular contagious infectious disease, and from this you can make decisions about next steps.

Keywords: epidemiology, differential equations, mathematical simulation models.

Resumen / Abstract


Página 2

La epidemiología1 es la disciplina que estudia la distribución, la frecuencia, los

determinantes, las relaciones, las predicciones y el control de los factores relacionados con la

salud y con las distintas enfermedades existentes en poblaciones humanas específicas. En

epidemiología se estudian y describen la salud y las enfermedades que se presentan en una

determinada población, para lo cual se tienen en cuenta una serie de patrones de enfermedad, que

se reducen a tres aspectos: tiempo, lugar y persona: el tiempo que tarda en surgir, la temporada

del año en la que surge y los tiempos en los que es más frecuente; el lugar (la ciudad, la

población, el país, el tipo de zona) en donde se han presentado los casos, y las personas más

propensas a padecerla (niños, ancianos, etc., según el caso).

La aplicación de la matemática a la epidemiología puede trazarse al menos hasta el año de

1760 cuando Daniel Bernoulli publicó un pequeño tratado sobre la epidemia de peste que en ese

entonces se desarrollaba sobre Europa. En el siglo pasado el interés por la aplicación de métodos

cuantitativos a la biología como consecuencia del éxito de éstos en la física y en particular en

biofísica y bioquímica.

Una observación temprana que fue rápidamente puesta en términos cuantitativos, es la de

que las enfermedades infecciosas se transmiten por contacto entre un individuo susceptible y uno

enfermo infeccioso. Hamer en 1906 formuló la ley de acción de masas que establece que el

número de contactos infecciosos por unidad de tiempo es proporcional al número total de

1 La palabra epidemiología, que proviene de los términos griegos "epi" (encima), "demos" (pueblo) y "logos"

(estudio), etimológicamente significa el estudio de "lo que está sobre las poblaciones".

CAPÍTULO 1: Introducción


Página 3

contactos entre individuos infecciosos y sanos. Más tarde Ronald Ross en el apéndice de su libro

The Prevention of Malaria en la edición de 1911, formuló un modelo matemático sencillo como

apoyo de su argumentación de que para erradicar el paludismo era suficiente con disminuir la

población de mosquitos a un nivel bajo, sin necesariamente extinguirla. Más tarde, en 1927

Kermack y McKendrick formularon un modelo matemático bastante general y complejo para

describir la epidemia de peste que sufrió la India en 1906.

La epidemiología es parte importante de la salud pública y contribuye a:

1. definir los problemas e inconvenientes de salud importantes de una comunidad;

2. describir la historia natural de una enfermedad;

3. descubrir los factores que aumentan el riesgo de contraer una enfermedad (su etiología2);

4. predecir las tendencias de una enfermedad;

5. determinar si la enfermedad o problema de salud es prevenible o controlable;

6. determinar la estrategia de intervención (prevención o control) más adecuada;

7. probar la eficacia de las estrategias de intervención;

8. cuantificar el beneficio conseguido al aplicar las estrategias de intervención sobre la

población;

9. evaluar los programas de intervención;

10. la medicina moderna, especialmente la mal llamada medicina basada en la evidencia

(medicina factual o medicina basada en estudios científicos), está basada en los métodos

de la epidemiología.

2 La etiología es la ciencia que estudia las causas de las cosas. En medicina (patogénesis) se refiere al origen de la

enfermedad.


Página 4

En los últimos años, los epidemiólogos han intentado desarrollar modelos matemáticos de

epidemias potenciales de algunas enfermedades comunes e importantes, con el fin de mejorar la

capacidad para comprender y predecir el desarrollo de una epidemia. Se sabe que los modelos

son representaciones simplificadas de la realidad (sin pretender ser una réplica) y se usan para

plantear hipótesis, identificar factores en investigaciones experimentales y para desarrollar

predicciones en general. Los modelos son “herramientas”, “mapas” o métodos de trabajo usados

para representar lo que sucede en una población bajo ciertas circunstancias y con la característica

de la jerarquización de las variables y de los factores. En muchas circunstancias, un fenómeno y

sus relaciones, se describen mejor, cuando se usan modelos.

En la elaboración de un modelo de epidemia, se tiene en cuenta los componentes y muchos

de los subcomponentes de una epidemia específica de la cual se tiene información, y que permite

estudiarla cuantitativamente, es decir, desarrollando un modelo matemático que describa la

epidemia. Esto se conoce como Epidemiología Cuantitativa.

La elaboración y el análisis de los modelos matemáticos de las epidemias, proporciona

abundante y valiosa información relacionada con la cantidad y eficiencia del inóculo inicial, los

efectos del ambiente, la resistencia del hospedero, el tiempo de interacción entre el hospedero y el

patógeno, los sistemas de predicción y la efectividad de las estrategias de manejo de la

enfermedad.

El objetivo del presente trabajo es estudiar los modelos matemáticos a fin de dar un panorama

de los mismos y poder ejemplificar de alguna manera su nivel de predicción.


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CAPÍTULO 2: Marco teórico

¿Qué es un modelo matemático?

Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la

vida real en términos matemáticos; dicho sistema puede ser físico, sociológico o hasta

económico. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo matemático

y se forma con ciertos objetivos en mente; por ejemplo, podríamos tratar de comprender los

mecanismo de ciertos ecosistemas estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales, o

podríamos tratar de fechar fósiles analizando la desintegración de una sustancia radioactiva, sea

en el fósil o en el estrato donde se encontraba.

En ningún caso se debe confundir modelo con realidad. Un modelo es sólo una

representación de la realidad, utilizado para estudiar y analizar dicha realidad.

Los modelos no reproducen la realidad, sino que pueden formular una planificación sobre

ella, y siempre una hipótesis resultante de una simplificación que resulta de prescindir de un

cierto número de variables, lo que supone inevitablemente la no consideración de una serie de

factores componentes de la realidad que entran en juego.


Página 6

Objetivos de los modelos matemáticos

La construcción de modelos matemáticos es una de las herramientas utilizadas hoy en día

para el estudio de problemas en medicina, biología, fisiología, bioquímica, epidemiología,

farmacocinética, entre otras áreas del conocimiento; sus objetivos primordiales son describir,

explicar y predecir fenómenos y procesos en dichas áreas. Sin embargo, su aplicación se ve

limitada con frecuencia por la falta de conocimientos e información acerca de los principios

básicos del modelamiento matemático.

Clasificación de los modelos matemáticos

Existen dos tipos de modelos matemáticos: determinísticos y estocásticos.

En un modelo determinístico se pueden controlar los factores que intervienen en el

estudio del proceso o fenómeno y por tanto se pueden predecir con exactitud sus resultados.

En un modelo estocástico no es posible controlar los factores que intervienen en el estudio


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del fenómeno y en consecuencia no produce simples resultados únicos. Cada uno de los

resultados posibles se genera con una función de probabilidad que le adjudica una probabilidad a

cada uno de éstos.

Por ejemplo, un modelo para predecir el tamaño de una epidemia en una población de N

individuos. Para el caso determinístico se proporciona un valor único, mientras que el modelo

estocástico permite la posibilidad de obtener desde cero hasta N individuos y se adjudica una

cierta probabilidad a cada uno de estos sucesos. La diferencia es más grande de lo que parece, ya

que en un modelo matemático determinístico en el contexto epidemiológico; un solo sujeto causa

una epidemia generalizada, mientras que bajo un modelo estocástico existe la posibilidad de que

la epidemia se extinga.

Modelos Biométricos Determinísticos

Los seres vivos realizan transformaciones de forma continua. Los alimentos se

transforman en energía y otras sustancias. Para el análisis de estos cambios se necesitan modelos,

cuyo objetivo es establecer relaciones entre las cantidades de las sustancias transformables y las

medidas de las sustancias transformadas. Estos modelos se suelen denominar causa-efecto o

hipersuperficies estímulo-respuesta. Las funciones relacionan la intensidad o cantidad de algunos

agentes causales o estímulos, con la cantidad o intensidad de algún efecto biológico.

Tradicionalmente las causas se denominan variables independientes, y se denotan por x, mientras

que los efectos se llaman variables dependientes y se denotan por y.

La respuesta de un sistema biológico se puede estudiar, experimentalmente, bajo

diferentes condiciones, utilizando los datos resultantes en la estimación de la función que


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caracteriza el modelo. Esquemas de esta clase de modelos son:

Causa Efecto

Entrada Salida

x y

Después de hallar una función tipo que imite la respuesta biológica, se deben utilizar

técnicas apropiadas para estimar los parámetros del modelo. Estos parámetros se pueden estimar

con pruebas ensayo-error o por procedimientos más formales, tales como ajustes de funciones.

Cuando los modelos son muy complejos, es probable que la única técnica disponible para la

estimación sea la de ensayo-error.

Los modelos biológicos, en general, se pueden plantear analíticamente mediante

ecuaciones diferenciales, que definen una razón de cambio de alguna variable dependiente,

respecto de alguna variable independiente. En muchos modelos biológicos, la variable

independiente mide usualmente tiempo, distancia o concentración.

Modelos matemáticos para enfermedades infecciosas

La relevancia de la construcción de los modelos matemáticos para enfermedades

infecciosas es evidente:

a) la construcción de modelos revela algunas veces relaciones que no son obvias a primera vista;

Componentes del sistema

Cuerpo negro

f(x)


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b) una vez construido el modelo matemático es posible extraer de él propiedades y características

de las relaciones entre los elementos que de otra forma permanecerían ocultas;

c) en la mayor parte de los problemas de enfermedades infecciosas del mundo real no es factible

experimentar con la realidad, ya que puede ser muy costoso, peligroso, inmoral o incluso

imposible. Por lo tanto, es natural intentar superar esta dificultad con la construcción de un

modelo que describa de manera adecuada las características básicas de la epidemia y entonces

usar el modelo para predecir las consecuencias de introducir cambios específicos;

d) la función principal de un modelo para una enfermedad infecciosa consiste en proveer un

medio que posibilita entender la dispersión de una enfermedad infecciosa a través de una

población bajo diferentes escenarios.

Es importante resaltar que un modelo está en verdad definido por las relaciones que

incorpora. Estas relaciones son independientes de los datos a introducir en el modelo, ya que un

modelo puede usarse para diferentes ocasiones y en distintos contextos. Cabe señalar que los

modelos matemáticos para enfermedades infecciosas se utilizan como herramienta para tomar

decisiones y que deben valorarse en su justa medida, ya que difícilmente es comprensible un

problema complejo sin una mínima modelación, aunque también hay que reconocer que no es

posible modelar la totalidad de las situaciones reales. En esencia, la función central de crear y

analizar modelos matemáticos es mejorar la comprensión de un sistema para prevenir futuras

situaciones de enfermedades, determinar la prevalencia e incidencia y coadyuvar a tomar

decisiones objetivas para controlar o erradicar las enfermedades.


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Simulaciones de modelos matemáticos

Una vez construido un modelo matemático, si éste es lo suficientemente sencillo, puede

ser posible trabajar con sus relaciones y cantidades para obtener una solución analítica exacta.

Si una solución analítica para un modelo matemático está disponible y es computacionalmente

eficiente, es mejor estudiar el modelo de esta manera y no por la vía de la simulación. Sin

embargo, muchos sistemas son altamente complejos. En este caso, el modelo debe ser estudiado

por medio de una simulación.

Definición

La simulación es la construcción de modelos informáticos que describen la parte esencial del

comportamiento de un sistema de interés, así como diseñar y realizar experimentos con el modelo

y extraer conclusiones de sus resultados para apoyar la toma de decisiones.

Tipos de Simulación

Existen distintos tipos de simulación de modelos:


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Simulación Discreta: tiene que ver con el modelado de un sistema en el cual las

variables de estado cambian solo en puntos discretos o contables en el tiempo. Un

ejemplo típico de simulación discreta ocurre en las colas donde estamos interesados

en la estimación de medidas como el tiempo de espera promedio o la longitud de la

línea de espera. Tales medidas solo cambian cuando un cliente entra o sale del

sistema; en todos los demás momentos, no ocurre nada en el sistema desde el punto de

vista de la inferencia estadística.

Simulación Continua: se aplica cuando las variables de estado cambian en forma

continua a través del tiempo. Un ejemplo típico de simulación continua es el estudio

de la dinámica de la población mundial; los modelos de simulación continua

normalmente se representan en términos de ecuaciones diferenciales en diferencias

que describen las interacciones entre los diferentes elementos del sistema.

Simulación estática: Un modelo estático de simulación es una representación de un

sistema en determinado punto en el tiempo.

Simulación dinámica: Una simulación dinámica es una representación de cómo

evoluciona un sistema a través del tiempo.

La simulación que se utilizará en el presente trabajo será del tipo continua y dinámica.

Diagramas de dispersión

Un diagrama de dispersión es un tipo de diagrama matemático que utiliza las coordenadas

cartesianas para mostrar los valores de dos variables para un conjunto de datos.


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Los datos se muestran como un conjunto de puntos, cada uno con el valor de una variable

que determina la posición en el eje horizontal y el valor de la otra variable determinado por la

posición en el eje vertical. Un diagrama de dispersión se llama también gráfico de dispersión.

Se emplea cuando una variable está bajo el control del experimentador. Si existe un

parámetro que se incrementa o disminuye de forma sistemática por el experimentador, se le

denomina parámetro de control o variable independiente y habitualmente se representa a lo largo

del eje horizontal (eje de las abscisas). La variable medida o dependiente usualmente se

representa a lo largo del eje vertical (eje de las ordenadas). Si no existe una variable dependiente,

cualquier variable se puede representar en cada eje y el diagrama de dispersión mostrará el grado

de correlación (no causalidad) entre las dos variables.


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CAPÍTULO 3: Principales modelos de transmisión de enfermedades

infecciosas

Modelos SI, SIS y SIR

Supongamos una población de tamaño S inicialmente sana, en la cual se introduce un

cierto número I de infectados. El objeto de estudio de la mayor parte de estos modelos lo

constituyen individuos, en un sentido figurado y matemáticamente tratable, vinculados con su

entorno generalmente constituido por los vecinos más cercanos. La interacción con sus vecinos es

modelada matemáticamente en forma abstracta y despojada de todo aspecto psicológico o social,

y está asociada al hecho de que es la proximidad espacial entre dos individuos lo que hace más

probable la transmisión de la enfermedad entre ellos, en caso de ser contagiosa. Así, la

distribución espacial determinará cuál es el grupo de individuos a los cuales un sujeto podrá

transmitir o de los cuales podrá contagiarse la enfermedad. Existen modelos que contemplan

individuos inmóviles, otros sujetos que migran desplazando la infección.

En los modelos epidemiológicos estándar se parte del supuesto de que los individuos se

encuentran en uno de varios estados posibles. En función de dichos estados, la población puede

incluirse en algunas categorías: individuos susceptibles (S), infectados (I) o removidos (R), etc.

Los modelos más importantes son: SI, SIS y SIR, que pueden modelarse en forma

determinista o estocástica y en todos ellos se asume que la interacción entre los individuos es

aleatoria. La mejor manera de modelar las enfermedades infantiles consiste en emplear un

modelo SIR puesto que la infección lleva a una inmunidad vitalicia. Para la mayor parte de las


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enfermedades de transmisión sexual (ETS) resulta más útil el modelo SIS, toda vez que tan sólo

un número reducido de ETS confiere inmunidad tras la infección. El VIH es una excepción clara

y todavía puede describirse de forma adecuada, al menos en el mundo occidental, mediante el

modelo SI.

A continuación se describen de modo sinóptico los modelos SI, SIS y SIR bajo su versión

determinística y estocástica.

Teniendo en cuenta previamente la siguiente nomenclatura trabajada:

S(t) representa a los individuos susceptibles, es decir, aquellos que no han enfermado

anteriormente y por lo tanto pueden resultar infectados al entrar en contacto con la

enfermedad.

I(t) representa a los individuos infectados y por lo tanto en condiciones de transmitir la

enfermedad a los del grupo S.

R(t) representa a los individuos recobrados de la enfermedad, y que ya no están en

condiciones ni de enfermar nuevamente ni de transmitir la enfermedad a otros.

Modelo SI: Susceptible-Infectado (S-I) que no considera la remoción de casos mediante

aislamiento o cuarentena.

Comencemos viendo el SI en su versión determínistica, es decir, como un modelo continuo

en su forma más simple. Este modelo consistente en un sistema de dos ecuaciones diferenciales:

[11]


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En la ecuación 11 aparecen dos variables dependientes: el número de personas

susceptibles (S) y el número de personas infectadas (I). En este modelo, bajo su versión

estocástica, cada individuo infeccioso tiene contacto con otro, escogido al azar, a una tasa l

(contactos por unidad de tiempo). Por lo tanto, la variable aleatoria tk, tiempo transcurrido entre la

infección del individuo k-1 y el individuo k, para k=1,2,3,…, tiene una distribución exponencial

con parámetro l, una constante que no cambia con el tiempo. Esto significa que la variable

aleatoria X(t), que se refiere al número de susceptibles e infectados al tiempo t, es un proceso

Poisson homogéneo3. Los estados del proceso al tiempo t se identifican por X(t)={S(t),I(t)}, esto

es, el número de susceptibles e infectados al tiempo t. Por consiguiente, cuando hay I infectados y

S susceptibles, las probabilidades de transición son:

[12]

3 En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que

expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de

eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de

sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".


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donde o(d) es una cantidad que tiende a cero

cuando d tiende a cero. Para cada valor de

tiempo bajo ambos modelos N=S(t)+I(t), donde

N es el tamaño de la población. Además, el

significado de un contacto es cualquier

actividad que resulta en la infección de un

susceptible por un individuo infeccioso.

También este modelo en ambas versiones es

homogéneo para las personas, ya que se

presupone que cada individuo tiene el mismo

número esperado de contactos, de tal forma que es posible afirmar que el modelo presupone una

interacción aleatoria. La solución a este modelo en ambas versiones traza una trayectoria en

forma de S, según se muestra en la figura 1, debido a que el número de individuos infectados que

puede transmitir la infección es bajo en las primeras etapas del proceso, mientras que el número

de individuos susceptibles es bajo en las últimas etapas. Como resultado, el número de infectados

experimenta el mayor crecimiento durante la etapa intermedia del proceso.

Modelo SIS: Susceptible-infectado-susceptible; se usa en casos en que la enfermedad no

confiere inmunidad y el individuo pasa de estar infectado a susceptible nuevamente, saltando la

etapa R.

El modelo SIS puede formularse como un sistema de dos ecuaciones diferenciales, como

se ilustra a continuación:

http://www.scielosp.org/scielo.php?pid=S0036-36342007000300007&script=sci_arttext#fig1


Página 17

[13]

La ecuación para el modelo SIS difiere de la del modelo SI porque se agrega el término

µI(t) en la ecuación 13, que describe el ritmo al que los individuos se recuperan de la enfermedad

o se convierten en susceptibles, por lo que se aplica en ambas ecuaciones. En el modelo SIS

estocástico la tasa de contacto es también l (contactos por unidad de tiempo). De nueva cuenta, la

variable aleatoria tiempo transcurrido entre la infección del individuo k-1 y el individuo k, para

k=1,2,3,…, tiene una distribución exponencial con parámetro l. Del mismo modo, la variable

aleatoria tiempo transcurrido entre la recuperación (el individuo se vuelve otra vez susceptible)

del individuo k-1 y el individuo k, para k=1,2,3,…, tiene una distribución exponencial con

parámetro µ. Ambas, l y µ, son constantes que no cambian con el tiempo. Por lo tanto, la variable

aleatoria X(t), que alude al número de susceptibles e infectados al tiempo t, es un proceso Poisson

homogéneo y también N=S(t)+I(t), de manera que los estados del proceso al tiempo t se

identifican por X(t)={S(t),I(t)}, es decir, el número de susceptibles e infectados al tiempo t. Aquí,

cuando hay I infectados y S susceptibles, las probabilidades de transición son:

[14]

De igual manera, o(d) es una cantidad que tiende a cero cuando también lo hace d. La

solución al modelo SIS en ambas versiones también muestra que se debería esperar una

trayectoria en forma de S en la cifra de infectados. No obstante, la trayectoria SIS difiere de la SI


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en que el número de personas infectadas al mismo tiempo nunca alcanza el total de la población

(lo que no excluye la posibilidad de que cada uno de los individuos pueda infectarse en algún otro

momento). Por el contrario, el proceso alcanza un equilibrio cuando exactamente el mismo

número de individuos infecciosos se convierte en susceptible o viceversa.

Modelo SIR: Susceptible-Infectado-Removido. Este modelo relaciona los tres estadios.

Esto no quiere decir que todos los individuos de una población deban pasar por estos,

algunos no serán infectados y permanecerán sanos, o sea siempre en estado S, otros serán

inmunizados artificialmente por vacunación, o algún otro método y pasarán a ser R sin haber

estado infectados. Es justamente el interés del modelo tener en cuenta todas estas posibilidades y

tratar de predecir el comportamiento de una epidemia.

El modelo SIR, que en su forma más simple puede formularse como un conjunto de

ecuaciones diferenciales, tal y como se muestra a continuación:

[15]

Por último, en el modelo SIR estocástico cada individuo infeccioso tiene también contacto

con otro, escogido al azar, a una tasa l (contactos por unidad de tiempo). A diferencia del modelo

SIS, un individuo infectado se recupera y en lugar de susceptible se vuelve inmune a una tasa µ.


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De nueva cuenta, la variable aleatoria tiempo transcurrido entre la infección del individuo K-1 y

el individuo k, para k=1,2,3,…, muestra una distribución exponencial con parámetro l. Del

mismo modo, la variable aleatoria tiempo transcurrido entre la recuperación (el sujeto se vuelve

inmune) de los individuos k-1 y k, para k=1,2,3,…, tiene una distribución exponencial con

parámetro µ. Ambas, l y µ, son constantes que no cambian con el tiempo. Por consiguiente, la

variable aleatoria X(t), que denota el número de susceptibles e infectados al tiempo t, es un

proceso Poisson homogéneo y aquí N=S(t)+I(t)+R(t); en consecuencia, los estados del proceso al

tiempo t pueden identificarse con X(t)={S(t),I(t)}, esto es, el número de susceptibles e infectados

al tiempo t. Aquí, las probabilidades de transición son:

[16]

También en este caso o(d) es una cantidad que tiende a cero cuando d también lo hace.

El modelo SIR describe el proceso en las tres distintas etapas. La solución al modelo SIR

muestra asimismo una trayectoria en forma de S en las primeras fases de la epidemia. Este

modelo difiere tanto del modelo SI como del SIS porque muestra una propensión a acabar en cero

infectados a largo plazo.

Para muchas enfermedades, como el sarampión o la gripe, que se transmiten a través de

pequeñas gotas de respiración a partir de una persona infectada, la interacción aleatoria resulta

una presunción razonable y probablemente una buena aproximación. En otras palabras, la

presunción de interacción aleatoria ofrece una importante ventaja porque puede modelarse con

facilidad mediante ecuaciones diferenciales y dichos modelos pueden estudiarse en términos


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analíticos.

Estos tres modelos básicos en sus dos versiones pueden adaptarse a las características de

las enfermedades específicas. Por ejemplo, resulta posible mostrar a individuos como inmunes

durante un determinado intervalo de tiempo, nuevos sujetos que entran en la población mediante

nacimientos o emigraciones y personas que la abandonan mediante procesos de migración o

muerte. De igual forma, pueden generarse tipos de trayectorias más complejos, como

comportamientos cíclicos e incluso dinámicas caóticas, que caracterizan a algunas afecciones

infecciosas.


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Cuadro resumen de los modelos epidemiológicos determinísticos

Modelo SI SIS SIR

Características del

modelo

Susceptible-Infectado

(S-I). No se considera

la remoción de casos

mediante aislamiento o

cuarentena.

Una vez que el

individuo está

infectado no hay

posibilidad de

remoción de la

enfermedad.

Susceptible – infectado –

susceptible. Una vez

recuperado el individuo, queda

nuevamente susceptible a la

enfermedad

Susceptible – infectado –

Removido.

Una vez recuperado el

individuo queda inmune a la

enfermedad.

Aplicación - ejemplo VIH Enfermedades de transimición

sexual, exceptuando VIH.

Enfermedades infantiles:

varicela, paperas, etc.

Nomenclatura

utilizada

S(t): representa a los individuos susceptibles, es decir, aquellos que no han enfermado

anteriormente y por lo tanto pueden resultar infectados al entrar en contacto con la

enfermedad.

I(t): representa a los individuos infectados y por lo tanto en condiciones de transmitir la

enfermedad a los del grupo S.

R(t): representa a los individuos recobrados de la enfermedad, y que ya no están en

condiciones ni de enfermar nuevamente ni de transmitir la enfermedad a otros.

N: el tamaño de la población. N=S(t)+I(t)

: ritmo de infección

: ritmo a que los individuos se recuperan de la enfermedad o se convierten en

susceptibles

Fórmula

determinística

S tdSI t

dt N

S tdII t

dt N

S tdSI t I t

dt N

S tdII t I t

dt N

S tdSI t

dt N

S tdII t I t

dt N

dRI t

dt


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CAPÍTULO 4: Simulación del Modelo SIR

Consideremos los siguientes datos para una determinada enfermedad infecciosa:

Cantidad inicial de población susceptible: 000.100 S

Cantidad inicial de infectados: 2500 I

Cantidad inicial de recuperados: 00 R

Tasa de infección: 0001,0

N

Tasa de recuperación: 5,0

N

En primera instancia se realiza una simulación con 20 iteraciones, a los efectos de conocer que

ocurre con las cantidades de sanos, infectados y recuperados a medida que transcurre el tiempo.

El algoritmo utilizado en cada caso será el siguiente:

1. Variación de Susceptibles por unidad de tiempo:

Para expresar la variación de susceptibles en una unidad de tiempo debemos considerar la

diferencia entre la cantidad de susceptibles en el período anterior y la cantidad de nuevos

infectados de acuerdo a la tasa de infección predeterminada, en donde, matemáticamente la

cantidad de infectados y la cantidad de susceptibles resultan variables inversamente

proporcionales, cuya constante de proporcionalidad es el coeficiente . En términos

matemáticos obtenemos la siguiente fórmula de variación:

S t t S t I t S t t


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Es decir, teniendo datos del tiempo inicial podemos ir calculando cada iteración del siguiente

modo:

0 y 1 1 0 0 0 1 10000 0,0001 250 10000 9750

1 y 1 2 1 1 1 1

S t t S t I t S t t

Si t t S S I S

Si t t S S I S

Ahora bien, hasta acá se calculó la variación de susceptibles en cada unidad de tiempo, pero

mediante el uso de concepto de diferenciales se puede calcular la variación instantánea de

susceptibles. Para ello, debemos recordar el concepto de diferencial de una función en un punto y

de este modo llevarlo a nuestra situación de estudio:

0

limx

df x f x x f x

dx x

.

En el caso de la variación de susceptibles en el tiempo t se obtiene:

0

limt

dS t S t t S t

dt t

Utilizando la variación anteriormente indicada obtenemos:

0

0

lim

lim

t

t

dS t S t t S t

dt t

S tdS t

dt

I t S t t S t

0

limt

t

dS t I t S t t

dt

t

0lim

t

dS tI t S t

dt

dS tI t S t

dt


Página 24

Si observamos la fórmula de variación instantánea obtenida, la misma concuerda con la fórmula

incluida en la teoría del modelo SIR. Ahora sabiendo que la variación por unidad de tiempo

respeta el modelo SIR estamos en condiciones de realizar la simulación:

2. Variación de Infectados por unidad de tiempo:

Del mismo modo que el análisis anterior podemos expresar la variación de infectados en una

unidad de tiempo considerando los infectados del período anterior, más los infectados de este

nuevo período (de acuerdo a la tasa de infección predeterminada) menos los removidos durante el

período (de acuerdo a la tasa de recuperación establecida).


Página 25

Matemáticamente obtenemos la siguiente fórmula de variación:

I t t I t I t S t t I t t .


modo:

0 y 1 1 0 0 0 1 0 1

1 y 1 2 1 1 1 1 1 1

I t t I t I t S t t I t t

Si t t I I I S I

Si t t I I I S I

Aquí también mediante el uso de concepto de diferenciales se puede calcular la variación

instantánea de infectados del siguiente modo:

0

0

lim

lim

t

t

dI t I t t I t

dt t

I tdI t

dt

I t S t t I t t I t

0

limt

t

I t S t I t tdI t

dt

t

0lim

t

dI tI t S t I t

dt

dI tI t S t I t

dt

Si observamos la fórmula de variación instantánea obtenida, la misma concuerda con la fórmula

incluida en la teoría del modelo SIR. Por lo cual, al respetar el modelo establecido en la teoría

estamos en condiciones de continuar con la simulación para la cantidad de infectados en cada

iteración, como se muestra a continuación:


Página 26

3. Variación de Removidos por unidad de tiempo:

Continuando con la misma lógica de modelado y análisis podemos expresar matemáticamente la

siguiente fórmula de variación de removidos por unidad de tiempo:

R t t R t I t t (Los recuperados del período anterior más los recuperados de este

período).


modo:


Página 27

0 y 1 1 0 0 1

1 y 1 2 1 1 1

R t t R t I t t

Si t t R R I

Si t t R R I

Aquí también mediante el uso de concepto de diferenciales se puede calcular la variación

instantánea de infectados del siguiente modo:

0

0

lim

lim

t

t

dR t R t t R t

dt t

R tdR t

dt

I t t R t

0

limt

t

dR t I t t

dt

t

0lim

t

dR tI t

dt

dR tI t

dt

Al igual que en las situaciones anteriores la fórmula de variación instantánea obtenida,

concuerda con la fórmula incluida en la teoría del modelo SIR, lo cual nos habilita a continuar

con la simulación para la cantidad de recuperados en cada iteración, como se muestra a

continuación:


Página 28

De este modo obtenemos la tabla de iteraciones:

t S I R

0 10000 250 0

1 9750 375 125

2 9384 553 313

3 8865 796 589

4 8160 1103 987

5 7260 1452 1538

6 6206 1780 2264

7 5101 1994 3154


Página 29

8 4084 2015 4151

9 3261 1830 5159

10 2664 1512 6074

11 2261 1159 6830

12 1999 841 7409

13 1831 589 7830

14 1723 402 8124

15 1654 270 8325

16 1609 180 8461

17 1580 119 8551

18 1562 78 8610

19 1549 51 8649

20 1541 34 8675


Página 30

Con la tabla de interacciones realizaremos los siguientes gráficos, a fin de analizar las curvas

obtenidas:

Número de Susceptibles según tiempo (20 iteraciones)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

tiempo

Su

scep

tib

les

Se observa que la curva de sanos respecto al tiempo es siempre decreciente, esto se debe a la tasa

de infección negativa, pudiendo ocurrir esto a distinta intensidad y estabilizarse en un cierto valor

o bien anularse, es decir, todos se infectan en algún momento.

CAPÍTULO 5: Resultados de la simulación


Página 31

Número de infectados según tiempo (20 iteraciones)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000

2100

2200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

tiempo

Infe

cta

do

s

La gráfica alcanza un máximo que es el tiempo de máxima incidencia, este es el punto donde se

anula la ecuación diferencial de infectados respecto al tiempo.


Página 32

Número de recuperados según tiempo (20 iteraciones)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

6500

7000

7500

8000

8500

9000

9500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

tiempo

Recu

pe

rad

os

La cantidad de recuperados siempre es creciente, aunque no necesariamente todos los integrantes

de la población deben terminar recuperados.

A todo esto, un solo gráfico permite un análisis más sustancial, y éste es el que expresa la

cantidad de infectados en términos de la cantidad de sanos, es decir, tenemos:

)(SII


Página 33

Número de infectados respecto al número de susceptibles

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 9000 9500 10000

Susceptibles

Infe

cta

do

s

Comportamiento general de )(SII

Con respecto a esta grafica podemos plantearnos los siguientes interrogantes:

Forma General de la Curva: Cuando es creciente y cuando es decreciente. Relación con la

existencia de epidemia, o bien si se extingue y cuando.

En caso de ser creciente, la interpretación del alcance máximo de la curva. Predice esto, la

peor etapa de la epidemia, y nos permite dar pautas de prevención, acciones urgentes, etc.

Todos los sanos enfermarán o puede extinguirse la epidemia antes de alcanzar a toda la

población susceptible.

Cual es el efecto de los parámetros y , y de ellos cuál afecta más.


Página 34

Para ello, haremos variar un parámetro por vez, es decir que en la gráfica anterior se varía la tasa

de recuperación en los valores 0,3; 0,5 y 0,8. Algunas de estas conclusiones son:

Infectados en función de sanos para las tres tasas de recuperación

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

Susceptibles

Infe

cta

do

s

r=0,5 r=0,3 r=0,8

Ante igual número de sanos iniciales, y tasa de contagio, a menor número de tasa de

recuperación, menor será la cantidad de susceptibles que permanezcan sin enfermarse.

Esto se observa en la gráfica, diciendo que su máximo no alcanza un valor grande, o sea tiene

poco crecimiento.

Ante igual número de tasas, y con recuperación alta, cuando menor es el número inicial de

susceptibles, la gráfica toma la forma decreciente, y no parabólica.


Página 35

Finalmente debemos reconocer que los datos, valores y conclusiones obtenidos sirven para ver

todo lo que es posible rescatar de un modelo como éste, lo cual lejos está de significar que en

todas las epidemias, se presenten estos comportamientos.


Página 36

El empleo de modelos matemáticos para enfermedades infecciosas ha crecido en grado

significativo en los últimos años debido a que proporcionan información útil para tomar

decisiones, e instituir medidas operativas en el control o erradicación de una enfermedad

infecciosa. Estos modelos son muy útiles porque capturan propiedades esenciales de la dispersión

de una enfermedad de una forma simplificada. Además, al modificar los parámetros del modelo

se pueden representar o descubrir situaciones que difícilmente se pueden obtener mediante

experimentación. Por lo tanto, contribuyen a prevenir futuras situaciones patológicas, determinar

la prevalencia e incidencia y ayudar a tomar decisiones objetivas para el control o supresión de

las enfermedades infecciosas.

En general, un modelo no es tan sencillo como se planteó en este trabajo. Dado que

existen enfermedades más complejas que causan muerte o que se propagan a lo largo de diversos

lugares del mundo. Pero el aporte realizado es un paso importante y esencial, para luego afinar un

modelo más real. Esto se debe a que se cumplieron con los requisitos propios de un modelo:

partir de un modelo, tomar datos iniciales que asuman realidad, y comparar lo que el modelo

predice con los datos experimentales existentes. De ésta manera, si resulta necesario se corrige el

modelo, y una vez que se observe coincidencia entre los valores se dice que el modelo propuesto

tiene validez.

CAPÍTULO 6: Conclusión


Página 37

Bibliografía

http://www.scielosp.org/pdf/spm/v49n3/07.pdf

http://www.scielosp.org/scielo.php?pid=S0124-00642007000100012&script=sci_arttext

http://escuela.med.puc.cl/Recursos/recepidem/introductorios3.htm

Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. DennisG. Zill.

Estadística y matemática aplicadas. Miguel Sanchez, Gloria Frutos y Pedro L. Cuesta.

Estadística para Investigadores. Box, Hunter & Hunter.

http://www.scielosp.org/pdf/spm/v49n3/07.pdf


Página 38

Una epidemia es una enfermedad que se propaga durante un cierto periodo de tiempo en

una zona geográfica determinada y que afecta simultáneamente a muchas personas. Se trata

de una noción utilizada por la salud comunitaria para hacer referencia al hecho de que la

enfermedad llega a una cantidad de gente superior a la esperada.

Esto implica la existencia de niveles de incidencia que son considerados normales para una

enfermedad. Un cierto número de afectados, por lo tanto, es esperado por los especialistas

para un momento dado. Cuando el número de enfermos supera esa media, se habla de

epidemia (hay una mayor cantidad de casos en comparación a los casos previstos).

La disciplina científica que se encarga del análisis de las epidemias se conoce como

epidemiología. Los epidemiólogos se dedican a estudiar la distribución, frecuencia y

determinantes de los factores vinculados a las enfermedades en una comunidad humana. La

epidemiología, por lo tanto, combina nociones de las medicina con principios de las

ciencias sociales para ayudar al control de las enfermedades y a predecir posibles brotes

epidemiológicos.

Cuando la epidemia se expande por varios países, se transforma en una pandemia. El origen

etimológico de esta palabra significa “enfermedad de todo el pueblo”. La pandemia suele

producirse ante la aparición de un nuevo virus (para el cual no existe ningún tipo de

inmunidad).

Por otra parte, cuando la epidemia se mantiene en una misma zona durante un periodo de

tiempo prolongado se convierte en una endemia. Este es el caso de la malaria en varios

países africanos.

Pandemias a lo largo de la historia

A lo largo de la historia han tenido lugar muchas tragedias como consecuencia de la mala

organización de las sociedades. Sin ir más lejos, en los últimos 200 años, han muerto

millones de persona a causa de diferentes plagas que no han podido controlarse a tiempo.

Entre las cinco epidemias más importantes de estos años se encuentran:

La peste de la Guerra del Peloponeso: tuvo lugar en Atenas en el año 430 a.C. y se

cobró la vida de alrededor de 30 mil pobladores. Fue la primera pandemia de la que

se tuvo registro.

Anexo 1: Epidemia


Página 39

La plaga Antonina: fue expandida a través de un grupo de soldados romanos en este

pueblo en el año 165 d.C. Murieron alrededor de 5 mil personas, entre los que se

encontraba el emperador Marco Aurelio. Posteriormente, el número aumentó a 5

millones, al transformarse en la gran Pandemia de Viruela que azotó este país.

La Plaga de Justiniano: fue la primera gran expansión de peste bubónica y tuvo

lugar entre los años 541 y 542 d.C. entre los habitantes de Constantinopla. Se cobró

la vida de más de 10 mil personas. Hoy en día se estima que la peste bubónica a lo

largo de los años ha matado un total de 200 millones de personas.

La Peste Negra: se cree que fue transmitida por mercaderes nómadas provenientes

de la India a muchos países. Tuvo lugar en el siglo XIV y mató a 25 millones de

personas (un cuarto de la población mundial).

La Gripe Española: consistió en una rara versión del virus Influenza. Se conoció

como “La Cucaracha”, tuvo lugar en 1918 (al finalizar la Primera Guerra Mundial)

y fue padecido por 1000 millones de personas a lo largo de todo el globo.

Es importante señalar para finalizar que los gobiernos de los diferentes países temen dar la

señal de alerta ante estas catástrofes por temor a alarmar a la población. Sin embargo, esta

medida solamente colabora con que estas situaciones se vuelvan más riesgosas, puesto que

la gente (por hallarse desinformada) no actúa en forma preventiva.

La incidencia y la prevalencia son dos medidas de frecuencia de la enfermedad, es decir,

miden la frecuencia (el número de casos) con que una enfermedad aparece en un grupo de

población.

Para ello hay que sentar primero las bases; consideramos que una persona puede

únicamente estar sana o enferma de una enfermedad definida, entonces:

La prevalencia describe la proporción de la población que padece la enfermedad, que

queremos estudiar, en un momento determinado, es decir es como una foto fija.

La incidencia va a contabilizar el número de casos nuevos, de la enfermedad que

estudiamos, que aparecen en un período de tiempo previamente determinado; podemos

Anexo 2: Conceptos estadísticos de mediciones de ocurrencia ( incidencia y

prevalencia)


Página 40

equipararla a una película que refleja el flujo del estado de salud al de enfermedad en la

población que estudiamos.

La prevalencia depende de la incidencia y de la duración de la enfermedad, esto quiere

decir que las variaciones de la prevalencia pueden ser debidas a las modificaciones en la

incidencia o a cambios en la duración de la enfermedad y la duración de la enfermedad

depende, a su vez, de cambios en el período de recuperación o en la esperanza de vida de

los pacientes.

Estas medidas de frecuencia son complementarias y suelen utilizarse para objetivos

diferentes.

Las medidas de prevalencia son de mayor utilidad en enfermedades de evolución lenta o

enfermedades crónicas como la diabetes, la artritis reumatoide; para planificar servicios

sanitarios o para estimar necesidades asistenciales. También son utilizadas para medir la

frecuencia de determinadas características de la población que se quiere estudiar.

Las medidas de incidencia se utilizan cuando nos interesa la medición del flujo, es decir,

los casos nuevos que van apareciendo, por ello son más útiles en enfermedades con un

período de inducción corto como pueden ser las enfermedades infecciosas, el infarto.

aplicación de modelos matemáticos a la...

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