apendice elipse
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Competencia: aplicación y definición de la elipse como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.
Ejercicios resueltos:
1.) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0, 3) y F’(0, –3), y cada uno de
sus lados rectos igual a 9.
Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal es el eje y. El centro
se encuentra en el punto medio entre ellos: C(0, 0).
La distancia c es: c 0 3 3
b2 a2 c2 ,
b 2 a 2 9
El lado recto es: LR 2b
9a
2 2
Sustituyendo: 2a 2 9 9a
2a 2 9a 18 0
9 a
92 42 1822
a 9 81
1444
9 15
4
a 24
61 4
a 6
32 4 2
El valor negativo de a no se considera puesto que a es una longitud. Por tanto a = 6.
b 2 a 2 9
b 2 36 9 27
La ecuación de la elipse es
x
y 1
27 36
2.) Los focos de una elipse son los puntos F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su
eje menor es 8. Encuentra la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices
y su excentricidad.
El eje focal es paralelo al eje y.
El centro tiene la misma abscisa que los focos: h = 3.
La distancia entre los focos es: c 8 2
3
2
k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5)
2b = 8
b = 4
a 2 b 2 c 2
a 2 16 9 25
Ecuación de la elipse:
x 32
16 y 52
125
Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10); V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)
Excentricidad: e c
= 3
a 5
3.) Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto
(4, 0) es igual a la mitad de su distancia a la recta x – 16 = 0 e interpreta
el resultado.
Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0): d1 x 4 y 02
Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16 = 0:
d2 x 16
d 1
d1 2 2
12
x 42 y2 =
1 x 162
x 42 y2
1 x
162
4
x 2 8x 16 y 2 1 x 2 32x 256
1 x2 8x
644 4
2 2
2
2 2
3 x2 y2 48
4
3x2
4 48y2
1
48
x
y 1
64 48
El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal con centro en el origen, eje
mayor igual a 2(8) = 16 y eje menor igual a 2
48 .
4.) Un arco con forma de semielipse tiene una altura máxima de 45m y un claro de
150m. Encuentra la longitud de dos soportes verticales situados de manera
que dividan en claro en tres espacios iguales.
Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la elipse) y el origen es su punto medio,
la ecuación es del tipo x y 2
a 2 b 2 1 , con el semieje mayor, a = 75 y el
semieje
menor, b = 45. Para que el claro se divida en tres partes iguales, la distancia de
los soportes a cada vértice y entre ellos debe ser de 50m.
La ecuación es:
x
y 1
5625 2025
2
2
2 2
Para determinar la altura de los soportes, se hace x = 25 en la ecuación y se
despeja el valor de y:
252y2
15625 2025
625
y 1
5625 2025
1
y 1
9 20252 8y
2025 9
y 2 16200
18009
y 30 2
Puesto que y es una longitud (la altura de los postes), se toma sólo la raíz positiva.
Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la hipérbola como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica.
Ejercicios resueltos:
1.) Encuentra los elementos de la hipérbola
y
x 1
9 16
a 2 9 ; b 2 16
→ a = 3; b = 4
c 2 a 2 b 2
c 2 9 16 25
c 5 (la raíz negativa se descarta)
Centro C(0, 0)
Eje focal El eje y
2
2
2 2
Longitud del eje transverso 6
Longitud del eje conjugado 8
Longitud de cada lado recto 2b 2 32=a 3
Excentricidade
c =
5a 3
Asíntotasy
3 x ; y
3 x
4 4
2.) Encuentra la ecuación de la hipérbola horizontal que tiene su centro en (0, 0), su
lado recto mide 6 unidades y su excentricidad es 7 2
LR 2b
6a
→ b 2 3a
e c
aa 2 b 2 7
a 2a 2 b 2 7→
a 2 44a 2 3a
7a 2
7a 2 4a 2 12a 0
3a 12 0
a 12
4 ;3
a 2 16
b 2 3(4) 12
Hipérbola horizontal: x y 2
1a 2 b 2
La ecuación que se pide es:
x
y 1
16 12
2
2
2
3.) Determina la ecuación de la hipérbola con C(0, 0), eje focal sobre el eje y, y que
pasa por los puntos (4, 6) y (1, –3)
Hipérbola vertical: y x 2
1a 2 b 2
Se sustituyen las coordenadas de los puntos por los que pasa:
(6) 2
(4) 1 →
36 16 1
a 2 b 2 a 2 b 2
36b 2 16a 2 a 2
b 2
y:
(3) 2
(1) 1 →
9 1 1
a 2 b 2 a 2 b 2
9b 2 a 2 a 2 b 2
Se despeja a2 en la segunda ecuación:
a 2 b 2 a 2 9b 2
a 2 b 2 1 9b 2
9b 2
y se sustituye en la primera:
a 2
b 2 1
2 2 36b 2 16
9b 9b b 2
b 2 1 b 2 1
2 2
39b 2 b 2 1 144b 2
b 2 1
9b 4
b 2 1
36b 4 36b 2 144b 2 9b 4
27b 4 108b 2 0
Se resuelve para b y se sustituye para calcular a:
27b 2 108
b 2 108
427
a 2 9(4)
36
La ecuación de la hipérbola es:
4 1 5
y x 136 45
4.) Los vértices de una hipérbola son los puntos (–3, 2) y (–3, –2) y la longitud de
su eje conjugado es 6. Encuentra la ecuación de la hipérbola, las coordenadas de
sus
focos y su excentricidad.
V(–3, 2) y V’(–3, –2) → la hipérbola es vertical:y k 2
a 2x h2
1
Semieje transverso: a = 0 2 2
Eje conjugado 2b = 6 → semieje conjugado: b = 3
Ecuación de la hipérbola:y 02
4x 32
19
c a 2 b 2 = 4 9 13
Focos: 3, 13 , 3, 13
Excentricidad: e 132
Objetivo 3. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una elipse o
de una hipérbola y las características de los coeficientes de una ecuación
de
segundo grado que representa a una elipse o a una hipérbola.
Ejercicios resueltos:
1.) Comprueba que el lugar geométrico de la ecuación
2x 2 4 y 2 3x 12 y 6 0 es
una elipse y encuentra las coordenadas del centro, de los vértices y focos.
A = 2, C = 4, 2 ≠ 4, ambos son positivos.
D = 3, E = –12, F = 6;
CD 2 AE 2 4 ACF = 432 2 122 4246= 36 + 288 – 192 = 132 > 0
la ecuación sí representa una elipse. Por los valores de A y de C, tiene su eje
focal paralelo al eje x.
A b 2
; Por lo tanto:C a 2
;D 2b 2 h ;
E 2a 2 k ;
F b 2 h 2 a 2 k 2 a 2 b 2
a2 = 4; a = 2; b2 = 2; b = 2 ;
c 2 a 2 b 2
h
→
D2b 2
c 2 4 2 2
= 34
k E
= 12
32a 2
C
8 2
3 3 , ;4 2
3 3 5 3 11 3 V 2, = , , V’ , ; 4 2 4 2 4 2
3 3 3 3 F 2 , , F’ 2, 4 2 2 2
2.) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que el producto de
las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos (–2, 1) y (4, 5) es igual
a 3
Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (–2, 1):
y 1m1 = x 2Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (4, 5):
y 5m2 = x 4
y 1 y 5 m1m2 = 3
x 2 x 4
y 2 5 y y 5 3
x 2 2x 4x 8y 2 6 y 5 3x 2 2x 83x 2 y 2 6x 6 y 29 0
El lugar geométrico es una hipérbola.
m m 6
2
2 2
3.) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tal que el producto de
las pendientes de las rectas que unen el punto P con los puntos fijos (3, –2) y (–2,
1) es
igual a 6 .
Pendiente de la recta que une a P con (3, –2):
Pendiente de la recta que une a P con (–2, 1):
m1
m2
y 2x 3
y 1x 2
y 2 y 1 1 2
x 3
x 2
y y 2 6
Es una elipse.
x 2 x 6y 2 y 2 6x 2 x 66x 2 y 2 6x y 38 0
4.) Encuentra todos los elemento de la elipse
2x 2 9 y 2 18 0
A = 2, C = 9, D = 0, E = 0, F = -18; 2 ≠ 9, ambos son positivos y C > A. La
ecuación no tiene términos en x ni en y por lo que el centro está en el origen.
2x 2 9 y 2 18 0
2x 2 9 y 2 18
x
y 1
9 2
c 2 9 2 7
C(0, 0), V(3, 0), V’(-3, 0); F( 7 , 0), F’(- 7 , 0);
LR 4
;3 e
7 ; 2a = 6; 2b = 2 2
3