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“Preview”

“Preview2”

Efecto del ruido en la modulación analógica

Luca Mar:no [email protected]

Introducción

•  Vamos a estudiar el efecto del ruido adi$vo en las diferentes modulaciones ( ). Vamos a ver que las modulaciones angulares son más “resistentes” al ruido adi:vo.

•  Empezaremos estudiando un sistema sin modulación (ruido en sistema en banda base), así que no tendremos ningún demodulador en el receptor. Vamos a tener solo un filtro paso bajo con ancho de banda exactamente W (para intentar eliminar el ruido y recuperar la señal).

€

r(t) = s(t) + n(t)

Introducción •  Esquema prac:co general ( es ruido

Gaussiano blanco):

•  Con “filtro Bc” entendemos un filtro con ancho de banda exactamente el ancho de banda de la señal s(t) (Bc=W o Bc=2W); es decir, s(t) no varia al pasar por el filtro, solo filtramos el ruido.

•  El ruido se llama de banda estrecha o paso-‐ banda.

€

r(t) = s(t) + nw (t)Modulador

€

m(t)

€

s(t)

€

nw (t)

demodulador Filtro Bc

€

r(t) = s(t) + n(t)

€

y(t)

Queremos que esto sea lo más posible parecido a m(t).

€

nw (t)Filtro paso-‐bajo *cos(2pifc t)

€

n(t)

receptor

Sistema en banda base

•  Sistema sin modulación:

•  Supongamos que el ruido tenga potencia , y la potencia de la señal (no ruido) recibida a la entrada del receptor sea :

€

s(t) = m(t)

€

nw (t)€

r(t) Filtro paso bajo (W)

€

y(t)

€

N0

2

€

PR

receptor

€

Pno = N02 df−W

+W∫ =

N0

22W = N0W

€

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ b

=PRN0W

Vamos a estudia la SNR de esta señal (en general, es lo que haremos en toda la presentación) .

La “o” está por “output” (salida).

Tipo de Ruido

•  Vamos a considerar ruido de banda estrecha (porque de todas formas, en la prac:ca, se u:lizan filtros selec:vos que eliminan todo lo que no sean las frecuencias de interés).

•  La forma canónica del ruido paso-‐banda (de banda estrecha) es (ruido blanco filtrado en sean las frecuencias de interés):

•  donde es la componente en fase y es la componente en cuadratura:

€

n(t) = nc (t)cos(2πfct) − ns(t)sin(2πfct)

€

nc (t)

€

ns(t)

€

nc (t) = n(t)cos(2πfct) + ˆ n (t)sin(2πfct)ns(t) = ˆ n (t)cos(2πfct) − n(t)sin(2πfct)

€

N0 /2

€

Nw ( f )

€

nw(t)

Tipo de Ruido

•  donde es la trasformada de Hilbert de .

•  Se puede demostrar que , : ①  son ruidos en bajas frecuencias (banda base). ②  :enen misma densidad espectral de potencia. ③  Las potencias son iguales (e igual a la potencia de ): €

ˆ n (t)

€

n(t)

€

nc (t)

€

ns(t)

€

Pnc = Pns = Pn

€

n(t)

Efecto del Ruido en BLD

•  Ya sabemos que para BLD, la señal modulada es:

•  Y la señal recibida va a hacer:

•  Hemos visto que para demodular se mul:plicaba por un coseno (con fase dis:nta … “por error”), y filtrando paso bajo:

€

s(t) = Acm(t)cos(2πfct + φc )

€

r( t) = s(t) + n( t) = Acm(t)cos(2πfct + φc ) + n(t) =

€

r(t) = Acm(t)cos(2πfct + φc ) + nc (t)cos(2πfct) − ns(t)sin(2πfct)

€

r(t)cos(2πfct + φ)


•  Ya sabemos que para BLD, la señal modulada es:

€

r(t)cos(2πfct + φ) = Acm(t)cos(2πfct + φc )cos(2πfct + φ) + n(t)cos(2πfct + φ)

Ya este calculo lo hicimos en la primera presentación…

€

12Acm(t)cos(φc −φ) +

12Acm(t)cos(4πfct + φc + φ)

€

n(t)cos(2πfct + φ) = nc (t)cos(2πfct)cos(2πfct + φ) − ns(t)sin(2πfct)cos(2πfct + φ)

€

n(t)cos(2πfct + φ) =12nc (t)cos(φ) + ns(t)sin(φ)[ ] +

12nc (t)cos(4πfct + φ) − ns(t)sin(4πfct + φ)[ ]

€

cos(A)cos(B) =12cos(A − B) + cos(A + B)( )

€

sin(A)cos(B) =12sin(A − B) − sin(A + B)( )


•  Filtrando paso bajo:

•  así que la señal demodulada es: €

n(t)cos(2πfct + φ) =12nc (t)cos(φ) + ns(t)sin(φ)[ ] +

12nc (t)cos(4πfct + φ) − ns(t)sin(4πfct + φ)[ ]

Se van filtrando paso bajo.

€

y(t) =12Acm(t)cos(φc −φ) +

12nc (t)cos(φ) + ns(t)sin(φ)[ ]

€

12Acm(t)cos(φc −φ) +

12Acm(t)cos(4πfct + φc + φ)


•  Si sincronizamos a las fases ( ), y además podemos asumir :

•  Así que las potencias a la salida (output) del receptor:

€

y(t) =12Acm(t) + nc (t)[ ]

€

φc = φ

€

φc = φ = 0

€

Po =Ac2

4Pm

€

Pno =14Pnc =

14Pn

Se puede ver fácilmente, pensando que las constantes mul:plica:vas hay que elevar al cuadrado (suponiendo conocida la potencia de la señal m(t)).

Las potencias de y son iguales.

€

nc

€

n


•  Vamos a calcular ( es un ruido blanco filtrado):

€

Pn

€

Pn =N0

24W = 2N0W

€

n(t)

€

N0 /2

€

Nw ( f )

€

2W

€

2W

€

Po =Ac2

4Pm

€

Pno =14Pn =

142N0W

€

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ o

=PoPno

=Ac2

4 Pm14 2N0W

=Ac2Pm

2N0W


•  Ahora la potencia recibida antes de demodular:

•  es decir no ganamos nada modulando con banda lateral doble (en termino de inmunidad al ruido).

€

PR =Ac2

2Pm

€

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ o

=SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ BLD

=AC2Pm

2N0W=

PRN0W

=SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ b

El calculo lo hicimos en la primera presentación

Efecto del Ruido en BLU

•  Ya sabemos que para BLU, la señal modulada es:

•  Y la señal recibida va a hacer:

•  repi:endo los mismos cálculos anteriores…

€

s(t) = Acm(t)cos(2πfct) ± Ac ˆ m (t)sin(2πfct)

€

r(t) = s(t) + n(t) =

€

r(t) = Acm(t) + nc (t)[ ]cos(2πfct) + ±Acm(t) − ns(t)[ ]sin(2πfct)


•  llegamos otra vez (estas formulas son iguales):

•  Hemos dicho que el ruido es ruido blanco filtrado en la banda de interés (en este caso siendo BLU queremos mitad banda):

€

y(t) =12Acm(t) + nc (t)[ ]

€

Po =Ac2

4Pm

€

Pno =14Pn

€

n(t)

€

N0 /2

€

Nw ( f )

€

W

€

W


•  Entonces:

€

N0 /2

€

Nw ( f )

€

W

€

W

€

Pn =N0

22W = N0W

€

Po =Ac2

4Pm

€

Pno =14Pn =

14N0W

€

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ o

=PoPno

=Ac2

4 Pm14 N0W

=Ac2Pm

N0W


•  Pero en este caso la potencia recibida antes de demodular:

•  es decir, tampoco ahora ganamos nada modulando con banda lateral doble (en termino de inmunidad al ruido).

€

PR = Ac2Pm

€

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ o

=SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ BLu

=AC2Pm

N0W=

PRN0W

=SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ b

No lo hemos demostrado …lo siento !

Efecto del ruido en AM convencional

•  Asumiendo , tenemos:

•  la señal recibida queda: €

s(t) = Ac 1+ amn (t)[ ]cos(2πfct)

€

r(t) = s(t) + n(t) =

€

r(t) = Ac 1+ amn (t)[ ] + nc (t)[ ]cos(2πfct) − ns(t)sin(2πfct)

€

φc = 0


•  Para comparar con los otros casos, vamos a suponer el mismo :po de demodulación (mul:plicando por un coseno y filtrando paso bajo, y sin u:lizar un detector de envolvente como dijimos); desarrollando los cálculos, se lograría:

•  El demodulador podría fácilmente quitar la componente en con:nua (la constante) :

€

y(t) =12Ac 1+ amn (t)[ ] +

12nc (t)

€

y(t) =12Acamn (t) +

12nc (t)


•  En este caso, la banda lateral también es doble:

€

Pn =N0

24W = 2N0W

€

Po =Ac2

4a2Pmn

€

Pno =14Pn =

142N0W

€

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ o

=PoPno

=Ac2a 2

4 Pmn

14 2N0W

=Ac2a2Pmn

2N0W


•  Ahora, asumiendo que la señal de mensaje :ene media cero, hemos ya visto que:

€

PR =Ac2

21+ a2Pm[ ]

€

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ o

=Ac2a2Pmn2N0W

=Ac2

2 a2Pmn

N0W=1+ a2Pmn

1+ a2Pmn

Ac2

2 a2Pmn

N0W=

a2Pmn

1+ a2Pmn

Ac2

2 1+ a2Pmn[ ]N0W

€

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ o

=a2Pmn

1+ a2Pmn

PRN0W

=a2Pmn

1+ a2Pmn

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ b

€

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ o

=SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ AM

=a2Pmn

1+ a2Pmn

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ b

=ηSN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ b


•  Hemos llegado a:

•  Donde

•  Es siempre menor de 1; es decir, siempre el SNR para AM es menor que para el caso de banda base (no solo no ganamos …perdemos). La razón de esta perdida es porque gran parte de la potencia trasmi:da es u:lizada para enviar la portadora y no la señal que lleva la información (moduladora).

€

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ o

=SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ AM

=ηSN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ b

€

η =a2Pmn

1+ a2Pmn

≤1

Efecto del ruido en PM y FM

•  En las modulaciones angulares los cálculos se hacen mucho más complejos.

•  Pero si repe:mos, otra vez, que las modulaciones angulares :enen una inmunidad al ruido más alta. Se puede ver muy bien gráficamente.


En ambos casos, se puede ver que una frecuencia dominante en la señal está bien definida.

SNR baja

SNR alta


•  Desarrollando los cálculos se llega a:

①  Vemos que en ambos casos, la SNR a la salida es proporcional al cuadrado del índice de modulación. Es decir aumentando aumento la SNR (imposible con AM).

€

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ o

=

βp2Pm

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ b

PM

3βf2Pm

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ b

FM

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

€

β


②  El incremento de la SNR (aumentando el índice de modulación) se logra aumentando el ancho de banda al mismo :empo; de hecho, por la regla de Carson el ancho de banda efec:vo era:

Así que se puede jugar entre ancho de banda y potencia trasmi:da para lograr una SNR establecida.

€

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ o

=

βp2Pm

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ b

PM

3βf2Pm

SN⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ b

FM

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

€

BC = 2(β+1)W


③  En FM, el efecto de ruido es más alto a más altas frecuencias. Está claro pensado en la figura abajo:

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