anualidades (monto y valor presente)

Matemáticas Financiera II / Enrique Centeno

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ANUALIDADES

1).- Hallar el monto y el valor presente de las siguientes anualidades ordinarias: a) $400 anuales durante 12 años al 2,5%.; b) $150 mensuales durante 6 años 3 meses al 6% convertible mensualmente.; c) $500 trimestrales durante 8 años 9 meses al 6% convertible trimestralmente. Datos del literal “a” R = 400 i = 2,5% 0.025 n = 12 años

𝑆 = 𝑅 ×(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖= 400 ×

(1 + 0.025)12 − 1

0.025= 400(13.79555) = 𝟓𝟓𝟏𝟖.𝟐𝟐

𝐴 = 𝑅 ×1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖= 400 ×

1 − (1 + 0.025)−12

0.025= 400(10.25776) = 𝟒𝟏𝟎𝟑.𝟏𝟏

Datos del literal “b” R = 150 i = 6% 0.06 como dice que es mensualmente lo dividimos para 12 0.06 ÷ 12 = 0.005 n = 6.25 años como dice que es mensualmente lo multiplicamos por 12 6.25 × 12 = 75 o podemos convertir todo a meses y tenemos que nos da 75 meses.

𝑆 = 𝑅 ×(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖= 150 ×

(1 + 0.005)75 − 1

0.005= 150(90.726505) = 𝟏𝟑𝟔𝟎𝟖.𝟗𝟖

𝐴 = 𝑅 ×1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖= 150 ×

1 − (1 + 0.025)−75

0.025= 150(62.413645) = 𝟗𝟑𝟔𝟐. 𝟎𝟓

Datos del literal “c” R = 500 i = 6% 0.06 como dice que es trimestralmente lo dividimos para 4 0.06 ÷ 4 = 0.015 n = 8.75 años como dice que es trimestralmente lo multiplicamos por 4 8.75 × 4 = 35 o podemos convertir todo a meses y tenemos que nos da 35 trimestres.

𝑆 = 𝑅 ×(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖= 500 ×

(1 + 0.015)35 − 1

0.015= 500(45.592087) = 𝟐𝟐𝟕𝟗𝟔.𝟎𝟒

𝐴 = 𝑅 ×1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖= 500 ×

1 − (1 + 0.015)−35

0.015= 500(27.075594) = 𝟏𝟑𝟓𝟑𝟕.𝟖𝟎

2).- Qué es más conveniente, comprar un automóvil en $2750 de contado o pagar $500 iniciales y $200 al final de cada mes por los próximos 12 meses, suponiendo intereses calculados al 6% convertible mensualmente. Datos R = 200 i = 6% 0.06 como dice que es mensualmente lo dividimos para 12 0.06 ÷ 12 = 0.005 n = 12 meses


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Necesitamos saber cuanto va a pagar por el automóvil incluida la entrada. Entonces primero debemos hallar el monto que pagará en los 12 meses.

𝑆 = 𝑅 ×(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖= 200 ×

(1 + 0.005)12 − 1

0.005= 200(12.335562) = 𝟐𝟒𝟔𝟕.𝟏𝟏

Entonces la persona termina pagando por el automóvil $2467.11 + $500 = $2967,11. Es preferible comprarlo de contado porque paga menos. 3).- Un contrato estipula pagos semestrales de $400 por los próximos 10 años y un pago adicional de $2500 al término de dicho periodo. Hallar el valor efectivo equivalente del contrato al 7% convertible semestralmente. Cuando nos pide hallar valor efectivo estamos hablando de valor presente es decir hallamos “A”.

𝐴 = 𝑅 ×1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖

Datos: R = 400 i = 7% 0.07 como dice que es semestralmente lo dividimos para 2 0.07 ÷ 2 = 0.035 n = 10 años como dice que es semestral lo multiplicamos por 2 10 × 2 = 20 Entonces reemplazamos la fórmula y tenemos:

𝐴 = 𝑅 ×1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖

𝐴 = 400 ×1 − (1 + 0.035)−20

0.035= 400 ×

1 − (1.035)−20

0.035= 400 ×

1 − 0.502565

0.035

𝐴 = 400 ×0.497434

0.035= 400 × 14.2124033 = 𝟓𝟔𝟖𝟒. 𝟗𝟔

Pero en el ejercicio tenemos un pago adicional de $2500 el cual también debemos hallar el valor presente para este caso lo hacemos con la siguiente fórmula:

𝐶 = 𝑆(1 + 𝑖)−𝑛 = 2500(1 + 0.035)−20 = 2500(1.035)−20 = 2500(0.502565) = 𝟏𝟐𝟓𝟔. 𝟒𝟏 Entonces para hallar el valor presente del contrato se suman “A” y “C” y tenemos: Vpresente = A + C = 5684.96 + 1256.41 = 6941.37 4).- Con el objeto de reunir una cantidad que le será entregada a su hijo al cumplir 21 años, un padre deposita $200 cada seis meses en una cuenta de ahorro que paga el 3% convertible semestralmente. Hallar el monto de la entrega si el primer deposito se hizo el día del nacimiento del hijo y el último cuando tenía 201/2 años. Cuando nos pide hallar monto estamos hablando de “S”.

𝑆 = 𝑅 ×(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖


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Datos: R = 200 i = 3% 0.03 como dice que es semestralmente lo dividimos para 2 0.03 ÷ 2 = 0.015 n = 21 años como dice que es semestral lo multiplicamos por 2 21 × 2 = 42

𝑆 = 𝑅 ×(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖= 200 ×

(1 + 0.015)42 − 1

0.015= 200 ×

0.868847

0.015= 𝟏𝟏𝟓𝟖𝟒.𝟔𝟑

Pero como nosotros retiramos el dinero a los 21 años y no a los 20½ años, este valor $11584.63 se convierte en capital y debemos hallar el monto por el medio año que falta para retirar el dinero y tenemos: S = C (1+ i)n = 11584.63(1 + 0.015) = 11584.63(1.015) = 11758.40 Ahora vamos a deducir la fórmula directa para hallar este monto:

Si tenemos 𝑆 = 𝑅 ×(1+𝑖)𝑛−1

𝑖 y este resultado lo tenemos que multiplicar por (1 + i) tenemos:

𝑆 = 𝑅 ×(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖× (1 + 𝑖) = 𝑅 ×

(1 + 𝑖)𝑛(1 + 𝑖) − 1(1 + 𝑖)

𝑖= 𝑅 ×

(1 + 𝑖) 𝑛+1 − 1 − 𝑖

𝑖

𝑆 = 𝑅 × [(1 + 𝑖)𝑛+1

𝑖−

1

𝑖−

𝑖

𝑖] = 𝑅 [

(1 + 𝑖)𝑛+1

𝑖−

1

𝑖− 1] = 𝑅 [(

(1 + 𝑖)𝑛+1

𝑖−

1

𝑖) − 1]

𝑆 = 𝑅 [((1 + 𝑖)𝑛+1

𝑖−

1

𝑖) − 1] = 𝑅 [(

(1 + 𝑖)𝑛+1 − 1

𝑖)− 1] = 𝑹 ×

(𝟏 + 𝒊)𝒏+𝟏 − 𝟏

𝒊− 𝑹

Ahora si reemplazamos la nueva fórmula tenemos:

𝑺 = 𝑹 ×(𝟏 + 𝒊)𝒏+𝟏 − 𝟏

𝒊− 𝑹 = 200 ×

(1 + 0.015)42+1 − 1

0.015− 200

𝑆 = 200 ×(1 + 0.015)43 − 1

0.015− 200 = 200 ×

0.89687

0.015− 200 = 200(59.79198) − 200

𝑆 = 11958.40 − 200 = 𝟏𝟏𝟕𝟓𝟖.𝟒𝟎 5).- Al comprar María un coche nuevo de $37500, la reciben su coche usado en $12500. ¿Cuánto tendrá que pagar en efectivo si el saldo restante lo liquidará mediante el pago de $1250 al final de cada mes durante 18 meses, cargándole intereses al 6% convertible mensualmente? . Primero hallamos el saldo debido “B” y tenemos: B = Valor de contado – Cuota inicial B = $37500 - $12500 = $25000 Ahora nos dice que los $25000 lo vamos a pagar una parte en efectivo y el saldo mediante pagos; entonces debemos hallar cuanto es el valor efectivo por los pagos de $1250 a 18 meses con interés del 6% convertible mensualmente. Aplicamos la fórmula para hallar “A” y tenemos: Datos: R = 1250


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i = 6% 0.06 como dice que es mensualmente lo dividimos para 12 0.06 ÷ 12 = 0.005 n = 18 meses

𝐴 = 𝑅 ×1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖= 1250 ×

1 − (1 + 0.005)−18

0.005= 1250 ×

1 − (1.005)−18

0.005

𝐴 = 1250 ×1 − 0.914136

0.005= 1250 ×

0.085863

0.005= 1250 × 17.172768 = 𝟐𝟏𝟒𝟔𝟓. 𝟗𝟔

Es decir que de los $25000 de saldo inicial al realizar pagos de $1250 solo pagamos el valor de $21465.96; y como dijimos anteriormente que el saldo sería igual a un pago en efectivo + valor efectivo de los pagos en cuota y tenemos la siguiente ecuación: B = pago en efectivo + valor efectivo(A) 25000 = Pefectivo + 21465.96 Pefectivo = 25000 – 21465.96 Pefectivo = 3534.04 6).- Joaquín invierte $800 cada medio año en una cuenta que le paga el 5% convertible semestralmente. Cuanto retirará Don Joaquín después de 15 años de estar depositando. Nos pide hallar cuanto retirará es decir “capital + intereses” entonces hallamos “S” Datos: R = 800 i = 5% 0.05 como dice que es semestralmente lo dividimos para 2 0.05 ÷ 2 = 0.025 n = 15 años como dice que es semestral lo multiplicamos por 2 15 × 2 = 30

𝑆 = 𝑅 ×(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖= 800 ×

(1 + 0.025)30 − 1

0.025= 800 ×

1.09756

0.025= 𝟑𝟓𝟏𝟐𝟐.𝟏𝟔

7).- Hallar el valor efectivo equivalente a una anualidad de $100 al final de cada 3 meses durante 15 años, suponiendo un interés del 5% convertible trimestralmente. Cuando hablamos de valor efectivo hallamos el valor presente o sea “A”. Datos: R = 100 i = 5% 0.05 como dice que es trimestralmente lo dividimos para 4 0.05 ÷ 4 = 0.0125 n = 15 años como dice que es trimestral lo multiplicamos por 4 15 × 4 = 60

𝐴 = 𝑅 ×1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖= 100 ×

1 − (1 + 0.0125)−18

0.0125= 100 ×

0.52543

0.0125= 𝟒𝟐𝟎𝟑.𝟒𝟔

8).- Se estima que un terreno boscoso producirá $15000 anuales por su explotación en los próximos 10 años y entonces la tierra podrá venderse en $10000. Encontrar su valor actual suponiendo intereses al 5%. Cuando habla de valor actual hallamos el valor presente o sea “A”


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Datos: R = 15000 i = 5% 0.05 como dice que es anual queda igual n = 10 años

𝐴 = 𝑅 ×1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖= 15000 ×

1 − (1 + 0.05)−10

0.05= 15000 ×

0.38608

0.05= 𝟏𝟏𝟓𝟖𝟐𝟔.𝟎𝟐

Este valor corresponde al valor actual del bosque, ahora hallaremos el valor actual del terreno ($10000) C = S(1 + i)n = 10000(1 + 0.05)-10 = 10000(0.613913) = 6139.13 Valor terreno = valor actual del bosque + valor actual del terreno Valor terreno = 115826.02 + 6139.13 = 121965.15 9).- M acuerda liquidar una deuda mediante 12 pagos trimestrales de $300 cada uno. Si omite los tres primeros pagos, ¿qué pago tendrá que hacer en el vencimiento del siguiente para, (a) quedar al corriente en sus pagos? (b) saldar su deuda? Tomar intereses al 8% convertible trimestralmente. Datos para resolver (a): R = 300 i = 8% 0.08 como dice que es trimestralmente lo dividimos para 4 0.08 ÷ 4 = 0.02 n = 4

𝑆 = 𝑅 ×(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖= 300 ×

(1 + 0.02)4 − 1

0.02= 300 ×

0.08243

0.02= 𝟏𝟐𝟑𝟔. 𝟒𝟖

Datos para resolver (b): R = 300 i = 8% 0.08 como dice que es trimestralmente lo dividimos para 4 0.08 ÷ 4 = 0.02 n = 8

𝐴 = 𝑅 ×1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖= 300 ×

1 − (1 + 0.02)−8

0.02= 300 ×

0.146509

0.02= 2197.64

𝑃 = 𝑆 + 𝐴 = 1236.48 + 2197.64 = 𝟑𝟒𝟑𝟒.𝟏𝟐 10).- M está pagando $22,50 al final de cada semestre por concepto de la prima de una póliza total, la cual le pagará $1000 al término de 20 años. ¿Qué cantidad tendría si en su lugar depositara cada pago en una cuenta de ahorro que le produjera el 3% convertible semestralmente?. R = 22.50 n = 20 años × 2 = 40 i = 0.03 ÷ 2 = 0.015

𝑆 = 𝑅 ×(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖= 22.50 ×

(1 + 0.015)40 − 1

0.015= 22.50 ×

0.814018

0.015= 𝟏𝟐𝟐𝟏. 𝟎𝟑


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11).- ¿Qué cantidad debió ser depositada el 1º. de junio de 1950 en un fondo que produjo el 5% convertible semestralmente con el fin de poderse hacer retiros semestrales de $600 cada uno a partir del 1º. de diciembre de 1950 y terminado el 1º. de diciembre de 1967? R = 600 i = 0.05 ÷ 2 = 0.025 n = 17,5 años × 2 = 35

𝐴 = 𝑅 ×1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖= 600 ×

1 − (1 + 0.025)−35

0.025= 600 ×

0.578628933

0.025= 𝟏𝟑𝟖𝟖𝟕.𝟎𝟗

12).- Suponiendo intereses al 5,2% convertible trimestralmente, ¿Qué pago único inmediato es equivalente a 15 pagos trimestrales de $100 cada uno, haciéndose el primero al final de tres meses? i = 0.052 ÷ 4 = 0.013 n = 15 R = 100

𝐴 = 𝑅 ×1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖= 100 ×

1 − (1 + 0.013)−15

0.013= 100 ×

0.1761307

0.013= 𝟏𝟑𝟓𝟒.𝟖𝟓

13).- M invierte $250 al final de cada 6 meses en un fondo que paga el 3,75% convertible semestralmente. ¿Cuál será el importe del fondo, (a) precisamente después del 12º. depósito?, (b) antes del 12º. depósito?, (c) precisamente antes del 15º. depósito?. R = 250 i = 0.0375 ÷ 2 = 0.01875 n = 12 a)

𝑆 = 𝑅 ×(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖= 250 ×

(1 + 0.01875)12 − 1

0.01875= 250 ×

0.2497

0.01875= 𝟑𝟑𝟐𝟗.𝟑𝟑

b)

𝑆 = 𝑅 ×(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖− 𝑅 = 3329.33 − 250 = 𝟑𝟎𝟕𝟗. 𝟑𝟑

c)

𝑆 = 𝑅 ×(1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖− 𝑅 = 250 ×

(1 + 0.01875)15 − 1

0.01875− 250 = 𝟒𝟎𝟑𝟒.𝟎𝟎

anualidades (monto y valor presente)

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