UNIDAD IANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS

UNA ANUALIDAD es una serie de pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo. Ejemplos de anualidades son abonos semanales, pagos de renta mensuales, dividendos trimestrales sobre acciones, pagos semestrales de intereses sobre bonos, primas anuales en plizas de seguros de vida, etc.El tiempo transcurrido entre cada pago sucesivo de la anualidad se conoce como intervalo de pago. El tiempo contado desde el principio del primer intervalo de pago hasta el final del ltimo intervalo de pago se conoce como plazo de la anualidad. La suma de todos los pagos hechos en un ao reconoce como renta anual; en consecuencia, una renta anual de $2000 pagaderos trimestralmente significa el pago de $500 cada 3 meses.Una anualidad cierta es una anualidad en la cual los pagos principian y terminar en fechas fijas. Una anualidad contingente es aquella en la cual el plazo depende de algn suceso cuya realizacin no puede fijarse. Una serie predeterminada de pagos peridicos forman una anualidad cierta; ya que los pagos peridicos de primas en el seguro de vida terminan al ocurrir la muerte del asegurado, stos forman una anualidad contingente. Una anualidad cierta ordinaria es aquella en la cual los pagos son efectuados al final de cada intervalo de pago, es decir, que el primer pago se hace al final del primer intervalo de pago, el segundo al final del segundo intervalo de pago y, as sucesivamente. En este capitulo todas las anualidades sern anualidades ciertas ordinarias. Sin embargo, consideraremos nicamente el cano simple, esto es, anualidades en las cuales el intervalo de pago y el periodo de inters coinciden.

MONTO Y VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD. Consideremos una anualidad ordinaria de $ l000 anuales, durante 4 aos, al 5%. 1000 1000 1000 1000

0 1 2 3 4 periodos de inters A S

El monto (S) de la anualidad es la suma de los montos compuestos de los distintos pagos, cada uno acumulado hasta el trmino del plazo. Puesto que el primer pago gana intereses 3 aos, el segundo pago 2 aos, el tercero 1 ao y el cuanto coincide con el trmino del plazo, tenemos que:S = 1000(1,05) 3 + 1000(1,05) 2 + 1000(1,05) + 1000O, invirtiendo el orden,S = 1000 + 1000(1,05) + 1000(1,05) 2 + 1000(1,05) 3S = 1000(1 + 1,05 + 1,1025 + 1,157625)S = 1000(4,310125)S = $4310,12

El valor presente (A) de una anualidad es la suma de los valores presentes de los distintos pagos, cada uno descontado al principio del plazo, por tanto,A = 1000(1,05) -1 + 1000(1,05) -2 + 1000(1,05) -3 + 1000(1,05) -4A = $3545,95

Es conveniente que el estudiante represente cada anualidad en una lnea de tiempo tomando como unidad de medida periodo de inters. No es necesario marcar todos Los perodos de inters; sin embargo, el principio del plazo (representado por O en la escala), el trmino del plazo (n, en la escala) y algunos de los perodos de inters, deben mostrarse.

FORMULAS DE ANUALIDADES. SeanR = el pago peridico de una anualidad,i = la tata de inters por perodo de inters,n = el nmero de intervalos de pago = el nmero de perodos de inters,S = el mosto de la anualidad, A = el valor presente de La anualidad.

Formulas de Anualidades S= R [ (1 + i )n -1] =(MONTO) Valor futuro iA = R [1 (1+ i )-n ] =Valor presente i

Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias.

(a) $2.000 semestrales durante 8 aos al 8%, capitalizable semestralmente.S = 2.000[(1 + 0, 04)17 -1] = 47.395,07 valor futuro 0,04

A = 2.000[1 (1+ 0, 04)-17 ] = 24.331,34 valor presente 0,04

(b) $4.000 anuales durante 6 aos al 7,3%, capitalizable anualmente.S = 4.000[(1 + 0, 073)6 -1] = 28.830,35 valor futuro 0,073

A = 4.000[1 (1+ 0, 073)-6] = 18.890,85 valor presente 0,073

(c) $200 mensuales durante 3 aos 4 meses, al 8% con capitalizacin mensual.S = 200[(1 + 0, 0067)40 -1] =9.133,50 valor futuro 0,0067

A = 200[1 (1+ 0, 0067)-40 ] =7.001,81 valor presente 0,0067Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 aos y 6 meses y un ltimo pago de $2.500 un mes despus de pagada la ltima mensualidad. Para el clculo, utilizar el 9% con capitalizacin mensual.

i =0,09/12 =0,0075A = 1.000[1 (1+ 0, 0075)-30] =26.775,08 0,00752.500(1+0,0075)-31=1.983,0926.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 Respuesta.

Cul es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 aos 6 meses con un ltimo pago de $2.500, si se carga el 12% con capitalizacin mensual?

i =0,12/12=0,01A = 1.600[1 (1+ 0, 01)-30] =41.292,33 0,012.500(1+0,01)-31=1.836,4441.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 Respuesta

Una mina en explotacin tiene una produccin anual de $8000.000 y se estima que se agotar en 10 aos. Hallar el valor presente de la produccin, si el rendimiento del dinero es del 8%.

A = 8.000.000[1 (1+ 0, 08)-10] =53.680.651,19 respuesta. 0,08

En el ejercicio anterior Se estima que al agotarse la mina habr activos recuperables por el valor de $1500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 25% de la produccin.

1.500.000(1 + 0,08)-10 = 694.790, 2353.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8694.790,23 + 13420.162,80 = 14.114.953,03 Respuesta

En el momento de nacer su hija, un seor deposit $1.500 en una cuenta que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaos. Al cumplir 12 aos, aumento sus consignaciones a $3.000. Calcular la suma que tendr a disposicin de ella a los 18 aos.

S = 1.500 [(1 + 0, 08)11 -1] =24.968,23 0,0824.968,23(1 + 0,08)7 =42.791,16

S = 3.000[(1 + 0, 08)7 -1] =26.768,41 0,081.500(1 + 0,08)18= 5994,0242.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 = 75.553,60 Respuesta

Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de inters, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 aos.

0,06 /12 =0,005 tasa mensualS = 100[(1 + 0, 005)240 -1] =46.204,09 Respuesta. 0,005

Problemas propuestos1. Hallar el monto y el valor presente de las siguientes anualidades ordinarias.(a) $400 anuales durante 12 aos al 2 %(b) $150 mensuales durante 6 aos 3 meses al 6% convertible mensualmente.(c) $500 trimestrales durante 8 aos 9 meses al 6% convertible trimestralmente.Resp. (a) $5518,22; $4103.10 (b) $130608,98; $9362.05 (c) $22.796,04; $13.537,80

2. B ahorra $600 cada ao y los invierte al 3% c0nvertible semestralmente. Hallar el importe de sus ahorros despus de 10 aos.Resp. $13.874,20

3. Hallar el valor efectivo equivalente a una anualidad de $100 al final de cada 3 meses durante 15 aos, suponiendo un inters de 5% convertible trimestralmente. Resp. $4203.46

4. M esta pagando $22,50 al final de cada semestre por concepto de la prima de una pliza dotal, la cual le pagara $1,000 al trmino de 20 aos. Qu cantidad tendra si en lugar depositara cada pago en una cuenta de ahorros que le produjera el 3% convertible semestralmente?Resp. $1221,03

5. Que es mas conveniente, comprar un automvil en $2750 de contado o pagar $500 iniciales y $200 al final de cada mes por los prximos 12 meses. Suponiendo inters calculados al 6% convertible mensualmente?

6. Qu cantidad debi ser depositada el 1 de junio de 1950 en un fondo que produjo el 5% convertible semestralmente con el fin de poderse hacer retiros semestrales de $600 cada uno, a partir del 1 de diciembre de 1950 y terminando el 1 de diciembre de 1967?Resp. $13.887,10

7. se estima que un terreno boscoso producir $15.000 anuales por su explotacin en los prximos 10 aos y entonces la tierra podr venderse en $10.000. Encontrar s valor actual suponiendo intereses al 5%Resp. $121.965,15

8. suponiendo intereses al 5.2% convertible trimestralmente, Qu pago nico inmediato es equivalente a 15 pagos trimestrales de $100 cada uno, hacindose el primero al final de tres meses?Resp. $1354,85

9. M invierte $250 al final de cada 6 meses, en un fondo que paga el 3 %, convertible semestralmente. Cul ser el importe del fondo, (a) precisamente despus del 12 deposito? (b) antes del 12 deposito? (c) Precisamente antes del 15 deposito?Resp. (a) $3.329,33, (b) $3079,33, (c) $4034,00

10. al comprar M un coche nuevo de $3750, le reciben su coche usado en $1250. Cunto tendr que pagar en efectivo si el saldo restante lo liquidara mediante el pago de $125 al final de cada mes durante 18 meses, cargndole intereses al 6% convertible mensualmente? Resp. $353,40