Análisis empírico de los precios spot deelectricidad en el Mercado de Electricidad

Español

Sandro Navarro* y Manuel Dominguez**Universidad Complutense de Madrid

28 de noviembre de 2012

Resumen

En este estudio se realizará un análisis empírico de cuatro enfoquesusados en la literatura para modelizar el proceso que sigue los preciosspot de electricidad. El primer enfoque, es un modelo de difusión consaltos, propuesto por Cartea y Figueroa (2005), donde a través de unsólo factor con difusión y saltos y reversión a la media, trata de ajus-tar las características más importantes de los precios spot. El segundoenfoque es un modelo de dos factores, propuesto por Hambly, Howinsony Kluge (2009) cuyas propiedades estocásticas estan dadas por un pro-ceso de Ornstein-Uhlenbeck y un proceso independiente de puro salto,con reversión a la media. El tercer enfoque es una extensión al modelo deKluge permitiendo volatilidad estocástica, propuesto por Mayer, Klaus, T.Schmid y F. Weber (2012). El cuarto enfoque es un modelo de multiplesfactores propuesto por Benth F.E., Meyer-Brandis T.y Kallsen J. (2007)representado por la suma de procesos de Ornstein Uhlenbeck. Nosotroscalibraremos los cuatro modelos y emplearemos técnicas similares a lasusadas en los trabajos antes mencionados. Asimismo, compararemos laspropiedades distribucionales y la estimación de los modelos.

Palabras clave: Mercados de electricidad, reversión a la media, saltos,volatilidad estocástica, procesos de Lévy

Clasi�cación JEL : G17

1. Introducción

El modelo de difusión con saltos, tal como lo describe Benth y otros (2011)puede ser visto como un modelo de un factor de difusión con saltos y reversión

0*Sandro Navarro, alumno del Programa de Doctorado en Economía.Universidad Com-plutense de Madrid. E-mail: sandronavarro@hotmail.com**Manuel Dominguez, profesor titular del Departamento de Economía Cuantitativa. Uni-

versidad Complutense de Madrid. E-mail: madt@ccee.ucm.es

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a la media muy cercano al proceso clásico exponencial de Ornstein-Uhlenbecksugerido por Schwartz (1997) y posteriormente aplicado al mercado de electrici-dad por Lucía y Schwartz (2002). Debido a que estos dos modelos no incorporansaltos, el modelo propuesto por Cartea y Figueroa (2005) hace una extensióntomando en cuenta los saltos.El modelo de dos factores con reversión a la media y volatilidad constante,

exhibiendo estacionalidad y picos de Hambly, Howinson y Kluge (2009) es unaextensión del modelo de Cartea y Figueroa (2005) permitiendo dos tasas de re-versión a la media, uno para la parte difusiva y el otro para el componente desalto. La introducción de un proceso de picos con reversión a la media permiteelegir una tasa de reversión adecuada, para que los saltos reviertan con muchamás rapidez y así ajustar el comportamiento de los picos. Esta estructura per-mite una mayor �exibilidad para capturar la mayor velocidad de reversión a lamedia del componente de picos y la menor velocidad observada en el componentedifusivo. Los autores asumen una volatilidad constante en el tiempo.El modelo de dos factores con reversión a la media y volatilidad estocástica,

exhibiendo estacionalidad y picos de Mayer, Klaus, T. Schmid y F. Weber (2012)es una extensión al trabajo de Kluge y otros (2007) donde además de incluirdistintas velocidades de reversión a la media del proceso difusivo y del procesode saltos, permite una volatilidad estocásticaEl modelo de multiple factores de procesos de Ornstein Uhlenbeck no gau-

sianos propuesto por Benth F.E., Meyer-Brandis T.y Kallsen J. (2007) y pre-sentado por Meyer-Brandis T. y Tankov P. (2008) es un modelo diseñado parareproducir las trayectorias y las características distribucionales de los preciosspot, entre ellos el comportamiento de los saltos.Es claro, que un buen entendimiento de los modelos de precios spot es im-

portante para propósitos de gestión del riesgo y para la determinación de losprecios de electricidad. Con este estudio queremos proveer una comparación dela habilidad de estos modelos para ajustarse a los datos españoles en su capaci-dad de �jación de precios. Estos tres modelos han sido aplicados en distintoscontextos con �nes de �jación de precios.En la siguiente sección introduciremos los modelos y discutiremos sus propiedades

teóricas, así como el tratamiento de la estacionalidad. Posteriormente mostraremoslos algoritmos y estimaremos los parámetros de los modelos usando datos diariospromedio de los precios del Mercado Español de Electricidad. Luego evaluaremosla calibración. Por último ofreceremos las conclusiones.

2. Hechos estilizados

En esta sección se discutirá las principales características de los precios spotcarga base1 . Las �guras 1 y 2 nos muestran la serie histórica de los precios spoty los retornos de los precios spot en logaritmos, para el periodo 01 de enerode 2004- y 31 de diciembre de 2011. En la �gura 3 se presenta una muestra deprecios horarios de electricidad observados entre el 01 de agosto de 2006 y 07

1Carga Base: media de precios horarios desde 1h a las 24h

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de agosto de 2006. La �gura 4 muestra los precios promedio semanal en eneroy agosto para los días laborables, sábados y domingos. Finalmente, la �gura 5muestra los precios promedio semanales para los años del 2004 al 2011.

Figura 1: Promedios de los precios spot diarios en el OMIE-Polo Español entreenero de 2004 y diciembre de 2011

2.1. Comportamiento estacional

Los precios spot presentan distintos comportamientos estacionales, oberván-dose patrones ciclicos durante el día, durante la semana y durante el año. Laestacionalidad se debe a que la demanda por electricidad es inelástica, sobretodo en el corto plazo, provocando patrones claros causados por las actividadeseconómicas y empresariales. Asimismo, otros factores que explican la estacional-idad son que la electricidad no es almacenable y los cambios temporales en lascondiciones de demanda y oferta de la electricidad.Los datos muestran que la demanda también sigue una estacionalidad se-

manal, la cual es función de la laboralidad (véase �gura 4). Los patrones decomportamiento del precio de los días laborables (lunes a viernes) discrepa delos �nes de semana. Asimismo, el comportamiento entre los distintos días de lasemana muestra obvias diferencias entre las estaciones, en función de la temper-atura. Los meses de verano, ocasiona un uso intensivo del aire acondicionado,que ocasiona que el precio sea mayor que el registrado en invierno.El comportamiento estacional en un año, mostrado en la �gura 5, no parece

tan obvia. Durante algunos años, los mayores precios promedio semanales ocur-ren en el invierno, mientras que en otros ocurren en el verano.

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Figura 2: Retornos en logaritmos del precio spot diario observados en el OMIE-Polo Español entre enero de 2004 y diciembre de 2011

2.2. Reversión a la media

Además de la estacionalidad, los precios spot exhiben reversión a la media.En estos mercados la reversión a la media es fuerte, la que puede ser explicadapor los fundamentos del mercado. Cuando exista un aumento en la demanda,las empresas de generación con altos costes marginales entrarán al mercado porel lado de la oferta, empujando los precios hacia arriba. Cuando la demanda re-torne a sus niveles normales, estas empresas de generación con costes marginalesrelativamente altos se desactivarán y los precios volverán a caer. Por lo tanto,estos shocks no tendrán un efecto permanente sobre el nivel de precios en ellargo plazo debido al ajuste por el lado de la oferta. largo plazo. Así la dinámicade los precios presenta una oscilación respecto a un nivel medio a largo plazo,al que tienden a converger de una forma constante.

2.3. Saltos, picos y volatilidad

Además de la reversión a la media y la estacionalidad, los precios spot deelectricidad exhiben, infrecuentes, pero grandes saltos o picos. Los saltos tiendena ocurrir debido a repentinos cortes o fallas en la red eléctrica ocasionando unaumento repentino en los precios por un periodo de tiempo muy corto. Desde elpunto de vista del comportamiento del proceso de precios, los saltos son descon-tinuidades impredecibles. En cambio, los picos son normalmente interpretadoscomo el resultado de un incremento súbito en la demanda y cuando está alcanzael limite de capacidad disponible o instalada, los precios exhiben picos positivos.

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Figura 3: Promedio del precio spot horario observado en el OMIE-Polo Españolen los meses de enero y agosto (2004-2011). Los promedios son construidosseparadamente para días laborables, sábados y domingos.

Asimismo, en periodos de baja demanda. los precios de electricidad caen, por loque pueden ocurrir picos negativos, debido a que los costes de operación o lasrestricciones de los generadores, no pueden ajustarse al nuevo nivel de demanda.En la modelización, los picos son intervalos de tiempo corto donde el proceso deprecios exhibe un comportamiento no-Markoviano2 y donde continuamente losprecios suben y bajan de una manera signi�cativa.3

Aparte de los saltos, la incertidumbre en los precios de electricidad tieneotra particularidad. Los precios spot muestran una alta volatilidad. En la �gura1 se observa �uctuaciones en los precios con intensidad variante en el tiempo(clusters de volatilidad). En la mayoría de los casos, la volatilidad en los mer-cados de electricidad exhiben una combinación de un comportamiento aleatorioy determinista. Es decir, observamos una estructura temporal de la volatilidad.La volatilidad histórica de los retornos de los precios diarios en logaritmos, paralos días laborables, es de 5,7%. La �gura 6 muestra la volatilidad móvil de losúltimos 90 retornos en logaritmos de los precios diarios. La volatilidad móvil dela serie de los retornos de los precios en logartimos son menos volátiles que lasobservaciones originales.

2La tasa a la cual revierten los picos es determinada no sólo por el nivel presente de losprecios sino por la evolución previa de los mismos.

3En lo que viene, estaremos interesados en el estudio del comportamiento de los picosobservados en los precios de electricidad, por lo que usaremos la notación de "saltos"parareferirnos a dicho comportamiento.

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Figura 4: Promedio semanal de los precios spot observado en el OMIE-PoloEspañol para los años 2004 - 2011

3. El modelo de difusión con saltos

Sea�;P;F ; fFtgt�[o;T ]

�un espacio de probabilidad completo y �ltrado con

un horizonte de tiempo �nito T <1. Denotamos el precio spot de electricidaden el tiempo 0 � t � T como S(t) y se asume que tiene la forma

S(t) = ef(t)+Y (t) (1)

donde f(t) es una función determinista que modeliza la tendencia estacional,o las variaciones en media, de la evolución del precio y Y (t) es algún procesoestocástico cuya dinámica está dado por

dYt = ��Ytdt+ � (t) dZt + lnJdqt (2)

En 2 Yt es un proceso de difusión con saltos de reversión a la media a un nivelcero para el precio spot de electrcidad St; �(t) es la volatilidad dependiente deltiempo, J es el tamaño del salto aleatorio, dZt es el incremento del movimientoBrowniano estándar y dqt es un proceso de Poisson tal que

dqt =

�1 con probabilidad `dt0 con probabilidad 1� `dt (3)

donde ` es la intensidad o frecuencia del proceso. Además J; dqt y dZt sonindependientes.Respecto al tamaño de salto J , los siguientes supuestos son hechos:

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Figura 5: Volatilidad móvil con un rezago de 90 y 30 días en los retornos de losprecios spot diarios en logaritmos (días laborables) observados en el OMIE-PoloEspañol entre enero de 2004 y diciembre de 2012

J es log-normal, es decir lnJ � N��J ; �

2J

�E (J) = 1;

Con los supuestos hechos, las propiedades de J pueden ser resumidos como:

J = e�; � � N���

2J

2; �2J

�E [J ] = 1

E [lnJ ] = ��2J

2

V ar [lnJ ] = �2J

4. Modelo de dos factores con reversión a la me-dia y volatilidad constante, exhibiendo esta-cionalidad y picos

Hambly, Howinson y Kluge (2009)de�nen el modelo donde el proceso deprecios spot de electricidad S es de�nido como la suma exponencial de tres

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componentes

St = ef(t)+Xt+Yt (4)

dXt = �� (0 +Xt) dt+ �dWt (5)

dYt = �� (0 + Yt) dt+ J+t dN+t � J�t dN�

t (6)

donde f es una función determinista de estacionalidad, Xt es un procesoOrnstein Uhlenbeck Gausiano, con una velocidad de reversión a la media �y volatilidad constante � e Yt es otro proceso con reversión a la media � conun componente estocástico de saltos de Poisson, para incorporar los picos. Elproceso de Poisson N�

t , que indica los instantes de saltos positivos y negativos,es caracterizado por un parametro de intensidad de los saltos ��; y una variablealeatoria J� que representa el tamaño de los saltos positivos y negativos, condistribución log-normal. La velocidad de reversión a la media del proceso degrandes saltos es determinado por �: Finalmente, se supone que W;N�; y J�

son procesos i:i:d mutuamente independientes.Una de las ventajas de este modelo, es que permite separar la velocidad

de reversión a la media de la parte difusiva y de los grandes saltos. Este esun supuesto factible para los mercados de energía ya que las grandes discon-tinuidades observadas en los precios son el resultado de eventos extraordinarios,por lo que no pueden ser sostenibles en el tiempo. Como resultado, el preciodebería revertir mucho más rápido (�) que la tasa a la cual revertiese a su nivelmedio a largo plazo (�)

5. Modelo de dos factores con reversión a la me-dia y volatilidad estocástica, exhibiendo esta-cionalidad y picos

Mayer, Klaus, T. Schmid y F. Weber (2012) denotan el precio spot de elec-tricidad en el momento t, como

St = e(ft+Xt+Yt) (7)

donde f (t) denota el valor de la función de estacionalidad en el momentot. Asumen que X e Y son procesos de Lévy donde X es un movimiento Brow-niano e Y es un proceso de Poisson Compuesto. Además, X e Y con procesosestocásticos que revierten en media al cero donde

dXt = ��XXtdt+ �tdBt (8)

dYt = ��Y Ytdt+ dIt (9)

donde �X y �Y son parámetros constantes de reversión a la media, � (t) esla volatilidad del proceso de difusión, la que se asume del tipo GARCH, dB (t)son los incrementos del movimiento Browniano, y dI (t) son los incrementosdel proceso de Poisson Compuesto. El proceso I es modelizado mediante dos

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procesos de Poisson Compuestos independientes, uno para los saltos positivos yotro para los negativos.

It = I+t � I�t

I� =

N�(t)Xi=1

J�i

N�0 = 0

E�N�t

�= �� � t

V ar�N�t

�= �� � t

lnJ�i � N���; ��

�Los procesos N+ y N� son procesos de Poisson que representan el número

de saltos positivos y negativos obtenidos hasta tiempo t:�� son las intensidadesde salto para el proceso de Poisson . J�i es el tamaño de salto i ; la cual sedistribuye log-normal.

6. Modelo de multiples factores

. Meyer-Brandis T. y Tankov P. (2008), de�nen S (t) como el precio spot en elmomento t: Entonces S (�) es descrito como una suma de procesos no gausianosde Orstein-Uhlenbeck

S (t) = ft

nXi=1

Yit; t � 0 (10)

donde cada proceso Yi es la solución de la ecuación O-U

dYit = ���1i Yitdt+ dLit; Yi (0) = yi (11)

La función f denota una función estacional determinista y los procesosLi (t) son independientes, posiblemente procesos de Levy no homogéneos conE�L2i (1)

�<1:

La principal idea de un modelo de multiples factores es descomponer elprecio spot en una señal base y una señal de picos. Esta �exibilidad nos permitecapturar la reversión a la media en distintas escalas, pero con un coste alto enel procedimiento de la estimación.En una estructura aditiva de n procesos Ornstein-Uhlenbeck uno tiene n

parámetros de reversión a la media �1; �2; :::; �n. El mayor �i es, el procesoYi (t) más rápido que retorna a su nivel medio. La función de autocorrelación� (h) para h rezagos de X (t) esta dado por

�h =nXi=1

wie�h�i ; wi =

varYi (1)Pnj=1 varYj (1)

; i = 1; 2; :::n (12)

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donde wi son ponderaciones positivas que suman 1. Una comparación con lafunción de autocorrelación empírica nos permite encontrar el número de factoresrequeridos y estimar la reversión a la media de cada factor. Una rápida reversióna la media de los picos será observado como una fuerte caida de la pendientede � (k) ; mientras que una reversión más suave de la señal base será obervadacomo lenta caida exponencial.Los autores se centran en estimar la siguiente especi�cación de dos factores

para los precios spot desestacionalizados (eventualmente el logaritmo de losprecios) X (t)

X (t) = Y1t + Y2t (13)

dYit = ���1i Yitdt+ dLit; i = 1; 2 (14)

donde Y2 (t) ; componente Ornstein-Uhlenbeck responsable de los picos, estágobernado por un proceso de Lévy L2 (t) con una posible intensidad de saltovariable en el tiempo. En nuestro caso, vamos a tener dos procesos de PoissonCompuestos independientes, uno para los saltos positivos y otro para los nega-tivos, donde asumimos que la variable aleatoria que representa el tamaño de lossaltos sigue una distribución Gamma. El componente Ornstein-Uhlenbeck Y1 (t),responsable de las restantes variaciones del precio, se asume que es Gausiano,es decir está gobernado por un movimiento Browniano L1 (t).

7. Tratamiento de la estacionalidad

En los mercados de electricidad podrían presentarse distintos tipos de esta-cionalidad: diaria, semanal, mensual, anual o una combinación de estos. Carteay Figueroa (2005) estudian los datos históricos de los precios spot de Inglaterray Gales y sugieren un tipo de estacionalidad intrasemanal, ya que los retornos delos precios muestran una correlación cada 7 días. Para explicar esto, los autoresargumentan que la electricidad es comercializada durante los 7 días de la semanay que la información contenida en los precios del día viernes, tiene un impactoen los precios del sábado, domingo y lunes por la mañana. Asimismo, eligen unafunción estacional determinista la que ajusta los promedios mensuales de losdatos históricos a través de una serie de fourier de orden 5. Hambly, Howinsony Kluge (2009) determinan el componente estacional de los precios diarios en elmercado Nord Pool, a través de una función de senos y cosenos para capturarla estacionalidad semanal y anual en los precios. Mayer, Klaus, T. Schmid y F.Weber (2012) ajustan la estacionalidad de los precios primedio de mercado deelectricidad alemán (European Energy Exchange). Para tratar la estacionalidadsemanal, primero suavizan los datos usando un �ltro de media móvil de tamaño7, para luego sacar un desvío promedio diario con respesto a esa media móvil, laque es normalizada de tal manera que sume cero en una semana. Para modelizarla estacionalidad anual, utilizan una función logaritmica donde se incluye unacosntante y una tendencia. Meyer-Brandis T. y Tankov P. (2008) estudian laserie de precios spot del mercado Nord Pool, utilizando observaciones de días

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laborables. Los autores tratan la estacionalidad anual representándola a travésde una combinación lineal de senos con periodos de 12 y 6 meses.En este trabajo vamos a considerar que el componente estacional de los

precios f (t) esta formado por una parte periodica semanal (st) y una parteestacional con tendencia de largo plazo (Tt). De este modo, seguiremos el enfoquede De Jong (2006) quien analizó seis mercados de electricidad de Europa y dosde Estados Unidos proponiendo un modelo que re�ejase el patrón estacionaly de tendencia a través de función sinusoidal caracterizada con un parámetrode localización y tamaño. Debido a que las funciones sinusoidales son bastanteregulares en su peridiocidad para describir la evolución de largo plazo de losprecios, estas pueden ser complementadas con una media móvil con ponderaciónexponencial (EWMA) para re�ejar ciertos comportamientos tendenciales.Por lo tanto elegiremos la siguiente función tendencial para Tt

Tt = at sin

�2�

�t

365+ a2

��+ a3 + a4EWMA

0;975t (15)

Según De Jong (2006), la media móvil ponderada exponencialmente usa unfactor de ponderación � = 0;975; es decir EWMA�t = (1� �)Pt+�EWMA�t�1:Los parámetros a1; a2; a3 y a4 serán estimados usando mínimos cuadrados nolineales.Asimismo, la peridiocidad semanal st será removida sustrayendo el promedio

semanal, calculado como el promedio de los precios sin el componente de Tt , decada día de la semana. Los días feriados son tratados como el día 8 de la semana.Finalmente los precios desestacionalizados Xt estará dado por: Xt = Pt�Tt�st

8. Algoritmos aplicados y estimación de resul-tados

Para nuestro análisis empírico usaremos los datos de los precios promediosdiarios del Mercado de Electricidad Español. La serie de datos va desde enerode 2004 a diciembre de 2011. En total tenemos 2897 precios promedio diarios,los que constituyen la base de nuestra estimación.

8.1. Estimación de los parámetros estacionales

Como mencionamos anteriormente utilizaremos el enfoque de De Jong (2006)para realizar el procedimiento de la desestacionalización en los cuatro mode-los. Con el �n de ajustar la in�uencia de la presencia de .outliers.en la fun-ción de estacionalidad, Benth y otros (2008) ordenan los retornos (cambios enlos precios en logaritmos) de menor a mayor y encuentran el cuartil inferiorQ1 y el cuartil superior Q3; luego de�nen una rango intercuartil (IQR) comoQ3�Q1: Un .outlier.es de�nido como cualquier valor que cae dentro del intervalo[Q1 � 3� IQR;Q3 + 3xIQR] : El outlier extraido es reemplazado por el prome-dio de los precios en logaritmos vecinos. Con los datos �ltrados estimamos los

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Cuadro 1: Estimación de la función de estacionalidad

Parametro Estimador Desv. Estandar Valor t Pr(>|t|)a -0.021894 0.005352 -4.091 4.42e-05b 110.086.736 0.039179 2.809.866 <2e-16c 0.246971 0.046168 5.349 9.52e-08d 0.938057 0.012328 76.093 <2e-16

parámetros del componente de largo plazo de la función de estacionalidad aju-stando Tt a los precios en logaritmos según 18 usando mínimos cuadrados nolineales. Los resultados son reportados en el cuadro 1. Podemos observar quetodos los estimadores son estadisticamente signi�cativos.En la �gura 6 se muestra el componente estacional de largo plazo estima-

do para los precios en logaritmos. Podemos ver que para el periodo de estu-dio la senda de precios y la tendencia estacional de largo plazo (Tt) se ajustabastante bien. Posteriormente,tomando en cuenta el componente estacional decorto plazo, se observa que los precios desestacionalizados en logaritmos pare-cen presentar un quiebre estructural en el año 2008, ya que la amplitud de lasenda de los precios es distinta a la de los años anteriores. Se podría capturareste comportamiento separando la muestra en dos periodos y estimar la funciónde estacionalidad para cada periodo. La �gura 7 muestra la serie de preciosdesestacionalizada.

Figura 6: Estimación del componente estacional de largo plazo para el Mercadode Electricidad en Espala

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Las estimaciones de todos los modelos excepto del modelo de multiple fac-tores se realizará usando estos datos de precios en logaritmos desestacionaliza-dos, es decir Xt = P�� Tt � st: Para el modelo de multiple factores los preciosdesestacionalizados esta dado por Xt = exp

�Pt

Tt+st

�

Figura 7: Precios spot en logaritmos desestacionalizados para el Mercado deElectricidad en Espala

8.2. Calibración del modelo de difusión con saltos

De los datos históricos, estimamos la volatilidad anualizada móvil para 30días � (t) y su valor promedio, la tasa de reversión a la media �; la frecuenciade saltos ` y su desviación estándar de los mismos �j

8.2.1. Volatilidad

Cartea y Figueroa (2005) sugieren que la volatilidad en los mercados deelectricidad no es constante en el tiempo. Sin embargo, los autores calculanuna volatilidad histórica móvil para 30 días, sugerida por Eydeland y Wolyniec(2003), el cual es un resultado determinista dado una senda de precios. En la�gura 3, observamos algún patrón estocástico, que necesitaría ser incorporadoen el modelo.

8.2.2. Tasa de reversión a la media

Para calcular la tasa de reversión ala media �; Cartea y Figueroa (2005)sugieren usar una regresión lineal. Es decir, expresando 2 en formulación integral

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Cuadro 2: Parámetros estimados del modelo de difusión con saltos

Parámetro Estimador� 0.2664

[0.2416,0.2912][�t] 0.1178�j 0.5423` 15.2503

y realizando una discretización de Euler, obtenemos que4

Yj+1 = Yj � �Yj�t+ �(Ztj+�t � Ztj ) +�Itj+�t � Itj

�Yj+1 � Yj = ��Yj�t+ "j

�Yj = ��Yj�t+ "j (16)

donde "j es la integral del movimiento Browniano y del componente de saltoentre tj y tj +�t

8.2.3. Parametros del componente de salto

Para estimar el componente de salto, primero necesitamos identi�car lossaltos en nuestra serie de precios5 . Usamos una técnica simple basada en eldesvío estandar de los retornos de los precios (ver Cartea y Figueroa, 2005).Se trata de un algoritmo iterativo que �ltra los retornos cuyo valor absolutosea mayor que tres veces el desvío estándar de los retornos de la serie de cadaiteración6 . Después de que los saltos hayan sido identi�cados, ellos son removidosy luego reemplazados por el promedio de sus vecinos que no fueron marcadoscomo saltos. El procedimiento es repetido hasta que ningún otro salto hayasido identi�cado. Como resultado obtenemos el desvío estándar de los saltos,�j y la frecuencia acumulativa de los los mismos, el cual es de�nido como elnúmero de saltos �ltrados dividido por el número anualizado de observaciones.Los resultados se muestran en el cuadro 2.Cuando se incopora el componente de salto en el proceso de precios, parte

de la �uctuación de precios y especialmente grandes cambios en los precios

4Dado que nuestra serie de precios es diaria, en adelante asumiremos para todos los modelosque una discretización de �t = 1 es bastante razonable.

5Weron (2006) menciona que las discontinuidades inherentes en el proceso de difusión consaltos causa problemas. Así la función de verosimilitud, que incluye una suma in�nita sobretodos los números posibles de ocurrencia de salto en un intervalo de tiempo dado, ha sidoaproximada (por ejemplo, por una mezcla de distribuciones normales como en Ball Torous(1983)) o truncada (como en Huisman y Mahieu (2001)) para permitir el cálculo numérico delos estimadores de máxima verosmilitud. Sin embargo, este tipo de calibración produce unapropiedad empírica no deseable, ya que tienden a converger hacia componentes de salto máspequeña y más frecuente en los datos, y no a los componentes que deseamos capturar: saltosmás grandes y menos frecuentes. Por lo tanto, los estimadores de ML no serían adecuados.

6Cartea y Figueroa (2005) justi�can dicho criterio, debido a que la probabilidad en unadistribución Normal de tener retornos más grandes que tres desvíos estándares es 0.0027

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deberían ser capturado por este componente. Por lo que esperamos una menorvolatilidad en el componente difusivo. Encontramos que la intensidad de salto enel Mercado Español de Electricidad es alto como en otros mercados europeos7 .Con un tamaño de promedio de salto de -0.27 y una desviación estándar de 0.54,podemos esperar más saltos negativos que positivos. Aunque 15 saltos por añopareciera grande, hay que mencionar que quizas muchos saltos pequeños hansido incluidos dado el supuesto de la distribución de los saltos.

8.3. Calibración del modelo de dos factores con reversióna la media y volatilidad constante, exhibiendo esta-cionalidad y saltos

Kluge y otros (2009) proponen un procedimiento para separar los dos pro-cesos Xt e Yy

8.3.1. Separación del componente difusivo (Xt) y del componente desaltos (Yt)

Para separar los dos procesos se asume el hecho de que el proceso de saltos(Yt) es principalmente crecano a cero y ocasionalmente toma valores grandes yasea positivos o negativos y por un corto periodo de tiempo. Inicialmente, con-sideremos a nuestra serie de precios como la realización de Xt ocasionalmenteperturbado por grandes saltos. Ahora, el primer paso sería estimar la tasa dereversión a la media � y la volatilidad � a través de los precios en logartimosdesestacionalizados (véase Apendice A1), sabiendo que el resultado esté prob-ablemente perturbado por saltos en la serie de precios. Luego sabiendo que ladistribución condicional de los retornos de los precios esta dado por

Xt+�t �Xte���t � N�0;�2

2�

�1� e�2��t

��eliminamos todos aquellas observaciones que exceden tres veces el desvío están-dar de los retornos de la serie de cada iteración. Luego de remover los saltos(es decir las observaciones donde Yt no es cercana a cero) y reemplazarlos porel promedio de sus vecinos que no fueron marcados como saltos, volvemos aestimar nuevamente los parámetros del proceso de Ornstein�Uhlenbeck , por loque ahora es más probable que re�eje el verdadero valor de los parámetros deXt: Este proceso se repite iterativamente hasta que ningún otro salto haya sidoencontrado, encontrando �nalmente el proceso de Xt libre de saltos.Para calibrar el proceso de saltos Yt; los autores toman como dato la tasa de

reversión a la media (�) ; asumiendo un valor empírico basado en opiniones deexpertos8 . Posteriormente, dado que asumimos log-normalidad en los tamaños

7Seifert J. y M. Uhrig-Homburg (2007) encontraron en el Mercado Alemán un promediode 32 saltos por año.

8En vista de los resultados de la calibración de los modelos que estudiaremos mas adelante,asumiremos un � = 0;36

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Cuadro 3: Parámetros estimados del modelo de dos factores con volatilidadconstante

Parámetros del proceso difusivo Estimador� 0.2590� 0.1249

Parametros del proceso de salto Estimador�+ -0.7602�� -0.5684�+ 0.2901�� 0.5009�+ 3.1250�� 3.8750

de saltos, calculamos las medias �� y los desvíos estándares de los saltos, ��.Asimismo encontramos las intensidades de los saltos ��, el cual es de�nidocomo el número de saltos �ltrados dividido por el número de observaciones. Losresultados se muestran en el cuadro 3Usando dos tipos de saltos con tamaño de salto con distribución log-normal,

intentamos diferenciar los saltos positivos de los negativos. Los parámetros es-timados revelan intensidades anuales de �+ = 3;125 para saltos positivos y�� = 3;875 para saltos negativos, cuya intensidad agregado de 7 saltos por añoes mucho menor que la intensidad del modelo de difusión con saltos. A pesarde que la intensidad salto total es mas o menos la mitad de la intensidad delos saltos del modelo anterio. los saltos pueden seguir tomando en cuenta las�uctuaciones de los precios, permitiendo una volatilidad a corto plazo de 0;1249.Junto con una mayor intensidad salto para saltos negativos, el tamaño promediode estos saltos 0;6421 es mayor en comparación con el tamaño promedio de lossaltos positivos (0;4876).

8.4. Calibración del modelo de dos factores con reversióna la media y volatilidad estocástica, exhibiendo esta-cionalidad y saltos

Mayer, K. y otros (2012) proponen un procedimiento de calibración medianteun �ltro en dos etapas. Primero remueven el efecto de la reversión a la mediadel proceso de precios desestacionalizados en logaritmos y luego con el proceso�ltrado realizan un segundo �ltro para obtener los procesos Xt e Yt

8.4.1. Tasa de reversión a la media

Despues de remover la estacionalidad a nuestra serie de precios en logaritmos,de�nimos a los precios desestacionalizados como

Zt = Xt + Yt (17)

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por lo quedZt = dXt + dYt (18)

Usando las ecuaciones 10 y 11 y la versión discreta de 20 obtenemos que

�Zt = � (�XXt + �Y Yt)�t+ ��Bt +�It (19)

�Zt � ��ZZt�t+ (��Bt +�It) (20)

= Zt�t+ "t (21)

donde = ��Z es el coe�ciente de la regresión y "t describe los cambiosdiarios en los precios desestacionalizados no causados por el efecto de la reversióna la media.A partir de (22) Mayer, K. y otros (2012) obtienen la tasas de reversión de

los procesos Xt e Yt mediante dos pasos. En una primera etapa, obtienen la tasade reversión a la media del proceso Z a través de un análisis de regresión de (22)y luego recuperan el proceso "t: Con este proceso realizan un primer y único�ltro iterativo, similar al usado en Cartea y Figueroa (2005) para encontrar elvector de saltos �:En una segunda etapa, con la tasa de reversión a la media �Zy con el vector � obtienen las tasas de reversión �X y �Y : Los autores proponenel siguiente procedimiento:

1. Suponga unos valores iniciales para �0X ,�0Y ,X0 = Z0 e Y0 = 0

2. Divida el componente estocástico "t en dos procesos �dB y dI: Para elloconstruya recursivamente los procesos �dBt y dIt tomando como marcadorde saltos a � y utilizando (22), la in�uencia estocástica de �dBt y dIt seráajustada por el efecto de la reversión a la media. Si no hubo un salto en�, entonces dI0 = 0; y como �dB0 = dZ obtenemos

�dBt = �dB0t � (�XXt + �Y Yt)dt�dBt = dZt � (�XXt + �Y Yt)dt

Si hubo un salto en � entonces �dB0 = 0 y como dI0 = dZ obtenemos

dIt = dI0t � (�XXt + �Y Yt)dtdIt = dZt � (�XXt + �Y Yt)dt

3. Con estos valores se construya iterativamente Xt e Yt

Xt+1 = (1� �X)Xt + �dBtYt+1 = (1� �Y )Yt + dIt

4. Una vez obtenido los procesos Xt e Yt;calcule las tasas de reversión a lamedia �X y �Y a través de análisis de regresión

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Cuadro 4: Parámetros estimados de la tasa de reversión a la media del modelode dos factores con volatilidad estocástica

Parámetro Estimador�X 0.2325�Y 0.3635

5. Construya el proceso ' = �dB + dI y detecte nuevamente un vector desaltos � en este proceso. Para ello se realice un segundo �ltro no recursi-vo, donde marque aquellas observaciones que excedan tres veces el desvíoestándar del proceso �dB;tomando en cuenta una volatilidad estocásticadel tipo GARCH(1,1)

6. Con este nuevo marcador de saltos �; repita los pasos (1)� (5)

7. El proceso de �ltrado continua hasta que los valores de �X y �Y convergan.

Las tasas de reversión a la media del proceso Xt e Yt se muestran en elcuadro 4Con la incorporación de un proceso de salto, se espera encontrar una menor

tasa de reversión a la media a la observada en los dos modelos anteriores. Efec-tivamente, observamos que la tasa de reversión a la media del proceso Xt hadisminuido con respecto al modelo de difusión con saltos normalmente distribui-dos. El estimador de 0;2325 implica una vida media de aproximadamente 3 días9

para el proceso Xt. Asimismo, esperamos que el proceso de saltos Yt tenga unavelocidad de reversión a la media mucho mas alta. Los resultados muestran quela estimación de �Y es alta. La vida media implícita por el estimador es aprox-imadamente de 1,9 días, lo que signi�ca que los saltos en el proceso tienden adesvanecerse rápidamente.

8.4.2. Proceso difusivo

Cuando se analizó la distribución de �dB asumimos en los modelos de volatil-idad estocástica del tipo GARCH la existencia de un proceso normalizado B;con media 0 y desvío estándar de 1. A partir de esto se estimarón los parámetrosde la volatilidad estocástica10 . Los resultados se muestran en el cuadro 5

8.4.3. Proceso de saltos

Nuevamente, tal como hicimos en el modelo anterior, asumimos log-normalidaden los tamaños de saltos y calculamos las medias �� y los desvíos estándares

9La vida media es de�nida como el tiempo que demora una perturbación en el procesopara regresar a la mitad de su nivel de desviación de largo plazo. Esta es calculada comot1=2 = ln (2) =� donde � denota la velocidad de reversión a la media.10El desvío estándar � pasa a formar parte de la volatilidad estocástica que se estimó bajo

el modelo

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Cuadro 5: Parámetros estimados de la volatilidad estocástica

Parámetro Estimadork 0.00007ARCH 0.9266GARCH 0.0648

Cuadro 6: Parámetros estimados del proceso de salto

Parametros del proceso de salto Estimador�+ -1.0623�� -0.8265�+ 0.4248�� 0.6244�+ 2.5207�� 4.7894

de los saltos, ��. Asimismo encontramos las intensidades de los saltos ��, elcual es de�nido como el número de saltos �ltrados dividido por el número deobservaciones. Los resultados se muestran en el cuadro 6Los parámetros estimados del proceso de salto revelan intensidades anuales

de �+ = 2;5207 para saltos positivos y �� = 4;7894 para saltos negativos,cuya intensidad agregada de 7 saltos por año es similar a la intensidad delmodelo anterior. Esta estimación parece razonable con respecto al proceso Ytestimado. Si grá�camos la evolución de Yt y contamos el número de saltos poraño, los resultados se aproximan al estimador de �: Nuevamente, similar a loque ocurre con el modelo anterior, el tamaño promedio de estos saltos negativos0;5317 es mayor en comparación con el tamaño promedio de los saltos positivos0;3782. Asimismo, los saltos negativos tienen una mayor dispersión (una mayorvolatilidad del tamaño del salto) que los saltos positivos.

8.5. Calibración del modelo de multiples factores

Meyer-Brandis T. y P. Tankov (2008), lo primero que hacen para calibrar elmodelo, es asignar el número de factores requeridos. El número n de factoresnecesarios para modelar la serie de precios11 y las tasas de reversióna a lamedia �i fueron determinados analizando la función de autocorrelación empírica(FAC) con la funciones teóricas dadas en la ecuación 14 para diferente número defactores. Obtuvimos un n = 2 como número óptimo de factores. Las velocidadesde reversión a la media y los ponderadores son reportados en el cuadro 7 y lasfunciones de autocorrelación empírica y estimada se muestran en la �gura 8.El ajuste de estas funciones ser realizó por mínimos cuadrados no lineales y los

11Se eligió estimar el modelo sobre los niveles de precios desestacionalizados en lugar delogaritmos para evitar la introducción de saltos negativos arti�cales.

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Cuadro 7: Función de autocorrelación ajustada a una suma de dos exponenciales

�i !i23.12 0.562.00 0.44

resultados nos indican que podemos expresar 12 como12

St = eft (Y1t + Y2t) (22)

dY1t = ��11 (�� Y1t) dt+ �dWt (23)

dY2t = ���12 Y2tdt+ dLt (24)

Figura 8: Función de autocorrelación empírica y teórica de la serie de preciosde OMEL

Asociamos �2 = 2 a la tasa de reversión a la media de los saltos. El com-ponente difusivo es asociado al factor Y1 con una tasa de reversión a la media�1 = 23;12: Así, encontramos que la vida media del proceso difusivo Y1 es 16días y para el proceso de saltos es de aproximadamente 1 día.Después de �ltrar los saltos, reestimaremos la tasa de reversión a la media

del componente difusivo.

12Note que a diferencia de los modelos anteriores, en el modelo de multiples factores con-sideramos un coe�ciente de estacionalidad multiplicativa en lugar de un coe�ciente aditivo, yaque sospechamos que esta forma funcional provee un mejor ajuste de los efectos estacionalesen los precios de electricidad.

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Figura 9: Saltos detectados y componente difusivo

8.5.1. El �ltrado de los saltos

Para �ltrar los saltos Meyer-Brandis y Tankov (2008) muestran un proced-imiento llamado "Hard-thresholding"tomado de la teoría de valores extremos, elcual es una técnica �able bajo el contexto de distribución no gausiana de los re-tornos de los precios. Este método �ltra el proceso de saltos usando métodos no-paramétricos y provee como producto el componente difusivo y el componentede salto. Para una explicación mas detallada del enfoque, véase Meyer-Brandisy Tankov (2008)13 .En la �gura 9 se observa los resultados del procedimiento de "Hard-tresholding",

donde el componente difusivo y el de saltos están en niveles. Como mencionanMeyer-Brandis (2008) el método, para nuestro caso de estudio, es insensible paralos valores de �1 en el rango de 10-100 y para �2 en el rango de 1-20. Nuestrosestimadores de �i se encuentran en el rango deseado.

8.5.2. El componente difusivo

En el caso del mercado español de electricidad, los incrementos del com-ponente difusivo tienen una asimetría de �0;0246 y un exceso de curtosis de0;8990. Concluimos que este componente es cercano a una distribución gausiana

13Para remover los salos los autores usan un "nivel objetivo de perturbación". En nuestrocaso, usamos el criterio de remover el 2 % de los retornos de los precios con mayor valorabsoluto.

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Figura 10: Frecuencia histórica de la ocurrencia de saltos en el modelo de mul-tifactores.

por lo que lo modelaremos como un proceso AR (1) con incrementos gausianos.Los parámetros de este proceso serán estimados por maxima verosimilitud, en-contrando los valores de �1 = 3;84, � = 1;0171; y � = 0;1303:La diferencia deeste valor y el valor de �1 estimado de la función de la autocorrelación puede serexplicada por la presencia de tres componentes exponenciales en la función deautocorrelación. Pero por simplicidad nos concentraremos sólo en dos factores.

8.5.3. El componente de salto

Dado que los saltos son escasos en comparación con la cantidad total delconjunto de datos existen pocos datos disponibles para la estimación de la inten-sidad y la distribución de tamaño de salto. Para hacer frente a este problema,escojeremos una intensidad constante basada directamente en la distribuciónobservada de saltos durante el año. Cabe mencionar, que la elección de una fun-ción de intensidad dependiente del tiempo se justi�ca cuando observamos unapronunciada estacionalidad en los saltos. Como se observa en la �gura 9, estaestacionalidad en los saltos no es tan evidente, lo cual justi�ca nuestra elecciónde una función de intensidad constante.Ahora debemos estimar una distribución para el tamaño de los saltos.

Meyer-Brandis y Tankov sugieren para el mercado EEX una distribución dePareto. En nuestro estudio, usaremos una distribución distinta, ya que la dis-tribución Pareto tiene colas muy pesadas y puede proporcionar valores grandesirreales de los precios spot. Los tamaños de saltos fueron ajustadas a una dis-tribición Gamma. En la �gura 11 y 12 mostramos la densidad empírica deltamaño de salto. Los estimadores de máxima verosimilitud para los parámet-

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Figura 11: Histograma para el tamaño de saltos positivos en el modelo de mul-tifactores

ros de la distribución Gamma tanto para los saltos positivos y negativos son:�+ = 15;6056; �+ = 0;0243; �� = 17;9974; �� = 0;0225:

9. Comparación de los modelos

Ahora evaluaremos nuestros modelos estimados y discutiremos sus propiedadesdistribucionales. En la �gura 13 mostramos las trayectorias simuladas de losprecios en niveles de los cuatro modelos, junto con la serie de precios deses-tacionalizada en niveles. Observamos una mejor ajuste de los modelos de dosfactores y el de multiple factores. Un aparente diferencia es que el modelo de dosfactores con volatilidad estocástica parece ser el que presenta una menor per-turbación entre los periodos de saltos, acercándose mas al comportamiento delos precios desestacionalizados, sin embargo, los otros modelos parecen mostraruna mayor perturbación que los datos de precios. Asimismo, el patrón de saltosparece ajustarse mejor en el modelo de dos factores con volatilidad estocástica.Ahora vamos a comparar los momentos estadísticos de los modelos prop-

uestos con sus valores empíricos. En el cuadro 8 se reportan los cuatro primerosmomentos de los precios para el modelo de difusión con saltos, para el modelode dos factores con volatilidad constante, para el modelo de dos factores convolatilidad estocástica y para el modelo de multiples factores junto con los mo-mentos empríricos de los datos del Mercado Eléctrico Español. Los estadísticosdescriptivos fueron calculados para la serie de precios simulados y empíricos.Las simulaciones fueron repetidas hasta que el cambio en el valor del momentopromediado sea menor que el 0.01%. Los valores del cuadro 8 nos muestran queel modelo de multiples factores tiene el mejor ajuste en todos los momentos. Sinembargo, el modelo de volatilidad estocástica, el de volatilidad constante y el

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Figura 12: Histograma para el tamaño de saltos negativos en el modelo demultifactores

de difusión con saltos tienen a sobreestimar la asimetría y la curtósis, lo cualpuede ser explicado por el uso de la distribución normal y log-normal para eltamaño de los saltos. En efecto, el modelo de multiples factores, basado en unadistribcuión Gamma para el tamaño de los saltos, tiende a subestimar la curtósisempírica. La razón se debe a que la distribución gamma a pesar de que permitetamaños de saltos no acotados, está más concentrada en tamaños de saltos pe-queños, por lo que tendrá una curtosis pequeña. Sin embargo, las distribucionesde tamaño de salto simetricas son más extendidas y dan una probabilidad mayora saltos de mayor tamaño, por lo que tendrán a sobreestimar la curtósis.El modelo de volatilidad estocástica, tiene un desvío estandar similar a la

empírica, observandose una menor perturbación en los periodos entre saltos.Esto puede explicarse debido a la menor tasa de reversión a la media que pre-senta el componente difusivo, ya que al revertir mas lentamente, no es necesariocompensar el proceso con una mayor volatilidad. Sin embargo, en los otros mod-elos, con mayor tasa de reversión a la media. se observa que el desvío estandarsimulado del componente difusivo tiende a sobreestimar el valor empírico, yaque al revertir más rápidamente es necesario compensar el proceso con unamayor volatilidad. Cabe mencionar que en el modelo de multiples factores, sepuede manipular el desvío estándar para ajustarlo a un nivel deseado. Es decir,en el procedimiento de �ltrado de saltos (Hard-thresholding), Meyer-Brandisy Tankov (2008) sugieren elegir un valor de umbral para los retornos desesta-cionalizados tal que el porcentaje de los retornos más grandes que el valor delumbral elegido no exceda el 2% del total de los retornos. Por lo tanto, el desvíoestándar del 98% restante es calculado y tomado como valor referencial objetivopara separar el componente difusivo y el componente de salto. Así, el númerode saltos �ltrados, depende de�nitivamente del valor del umbral.

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Figura 13: Precios desestacionalizados en niveles del Mercado Eléctrico Español.

Cuadro 8: Comparativo de los momentos empíricos en los modelos estudiados

Momentos Media Desvío E. Curtósis AsimetríaOMEL 1,017 0,178 5,833 0,287M. de difusión con saltos 0,989 0,240 14,387 1,082M. de dos factores con volatilidad constante 1,014 0,216 6,913 0,852M. de dos factores con volatilidad estocástica 1,006 0,178 11,281 0,898M. de multiples factores 1,017 0,202 3,913 0,167

10. Conclusiones

En este estudio analizamos y discutimos la performancia empírica de cuatromodelos de precios spot de electricidad, de uno y dos factores, incorporando lossaltos y la volatilidad estocástica. Hemos estimado los modelos usando preciospromedios diarios del Mercado de Electricidad Español a través de un métodohíbrido o de dos etapas, en el cual separamos mediante técnicas de �ltrado, elcomponente difusivo y el de salto. En todos los modelos, los parámetros de re-versión a la media estimados han sido capaces de distinguir entre el componentedifusivo y el componente de salto, otorgándole una menor tasa al proceso difusi-vo y una mayor tasa de reversión al proceso de saltos. Sin embargo, el modelo dedos factores con volatilidad estocástica simula mejor la variabilidad de la trayec-toria de los precios empíricos, ya que captura bastante bien una lenta reversióna la media del proceso difusivo y una rápida reversión a la media del proceso desaltos. Por otro lado, el modelo de multiples factores, a pesar de que sobreesti-

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Figura 14: Precios en niveles simulados bajo el modelo de difusión con saltos

ma ligeramente el volatilidad, realiza un buen ajuste del comportamiento de latrayectoria del nivel promedio de los precios.

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Figura 15: Precios en niveles simulados bajo el modelo de dos factores convolatilidad constante

Referencias

[1] D. Applebaum. Lévy processes and stochastic calculus. Cambridge Univer-sity Press, 2004.

[2] Benth, F., Kallsen, J., Meyer-Brandis, T., 2007. A non-GaussianOrnstein�Uhlenbeck process for electricity spot pricemodeling and derivatives pricing.Applied Mathematical. Finance, 14 (2007) 14 (2), 153�169.

[3] Benth, F., Benth, J., Koekebakker, S., 2008. StochasticModelling of Elec-tricity and Related Markets.World Scienti�c Pub Co Inc.

[4] A. Cartea and G. Figueroa. Pricing in electricity markets: a mean revert-ing jump di¤usion model with seasonality. Applied Mathematical Fiance,12(4):313-335, 2005.

[5] L. Clewlow and C. Strickland. Energy Derivatives: Pricing and Risk Man-agement. Lacima Group, 2000.

[6] C. de Jong (2006) The nature of power spikes: A regime-switch ap-proach.Studies in. Nonlinear Dynamics and Econometrics 10(3), Article3.

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Figura 16: Precios en niveles simulados bajo el modelo de dos factores convolatilidad estocástica

[7] Eydeland, A., Wolyniec, K., 2002. Energy and Power Risk Management:New Developments in Modeling, Pricing, and Hedging. John Wiley & SonsInc.

[8] B.M. Hambly, S. Howison and T. Kluge. Modelling spikes and pricing swingoptions in electricity markets, Quantitative Finance. 9, 937�949, 2009.

[9] Glasserman, P., 2004. Monte Carlo Methods in Financial Engineering.Springer Verlag.

[10] Meyer-Brandis, T., Tankov, P., 2008. Multi-factor jump-di¤usion models ofelectricity prices. International Journal of Theoretical and Applied Finance(IJTAF) 11 (05), 503�528.

[11] Mayer, Klaus, Schmid, Thomas and Weber, Florian, Modeling ElectricitySpot Prices - Combining Mean-Reversion, Spikes and Stochastic Volatility(Septermber 10, 2012). European Journal of Finance, Forthcoming

[12] R. Weron, 2006. Modeling and Forecasting Electricity Loads and Prices: AStatistical Approach, HSC Books, Hugo Steinhaus Center

[13] P. Villaplana. Pricing power derivatives: a two-factor jump-di¤usion ap-proach. Business Economics Series (Working Paper), 2003.

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Figura 17: Precios en niveles simulados bajo el modelo de multiples factores

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