control de sistemas multivariables

8/10/2019 Control de Sistemas Multivariables

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Control de Sistemas MultivariablesNovember 25, 2002

1 IntroduccionHasta ahora hemos analizado problemas donde se desea controlar s olo una variable.Sin embargo, en muchos procesos industriales el objetivo consiste en mantener mas deuna variable en su set-point o valor deseado:

y

y

y

Proceso 1

2

n

en este tipo de casos se dice que el problema de control es multivariable (lo cual implicaque el numero de variables a controlar puede ser 2 o mayor de 2). Para ejemplificar elcontrol de sistemas multivariables considerese el siguiente reactor tanque agitado:

TC

AC

LC

donde supongamos que se desea controlar el nivel, la temperatura y la composicion delefluente del reactor. Como potenciales variables manipuladas podemos emplear el flujode la corriente de producto, la carga termica del medio de calentamiento y el flujo losreactivos:



Flujo de vapor

Flujo efluente

Fluijo reactivos Concentracion

Temperatura

Nivel

REACTOR

en este caso es mas o menos simple el proponer el siguiente ”apareamiento” de lazos decontrol (por ”apareamiento” entiendase la decision de que variable manipulada controlaa que variable controlada):

Flujo efluente Nivel

Flujo de vapor Temperatura

Fluijo reactivos Concentracion

Lazo 2

Lazo 3

Lazo 1

a dicho esquema de control de sistemas multivariables se le llama esquema de control delazos multiples. Observese que esta forma de resolver el problema de control de sistemasmultivariables se reduce a disenar cada lazo de control de manera independiente delresto de los lazos (es decir, sin tomar en cuenta la presencia del resto de los lazosde control). Cada lazo se disena usando los metodos vistos antes para el control desistemas univariables.

LC

TC

AC

2



sin embargo, la presencia del efecto de ”interaccion” hara que el desempeno de unlazo afecte al de los otros y visceversa. En otras palabras, la interaccion complica lasintonizacion de los lazos de manera independiente. Existe otro esquema para resolverel problema del control de sistemas multivariables y se basa en el uso de un solocontrolador que manipula simultaneamente todas las variables manipuladas cuando

algun o algunas variables controladas se alejan de su set-point. De esta forma seconsigue compensar por el efecto de interaccion. El grado de compensacion dependedel diseno del controlador.

LC

AC

TC

Controlador Multivariable

En sistemas multivariables la interaccion entre variables es el efecto mas importante enel diseno y sintonizacion de lazos de control. Se dice que un proceso presenta interaccioncuando una variable de entrada afecta a mas de una variable de salida. Afecta quieredecir que la variable contriolada se aleja de su set-point en virtud de cambios en lavariable de entrada.

3



u

u y

y

y

UNIVARIABLE

MULTIVARIABLE

u

u

1

2

2

1

2

y1

1

2

1.1 Midiendo la interaccion en sistemas multivariables

Supongamos que se desea analizar el problema de control a lazo cerrado de un sistemade 2 entradas y de 2 salidas:

u

u y2

1

2

y1

PLANTA

cuyas funciones de transferencia estan dadas por:

y1(s) = g11(s)u1(s) + g12u2(s) (1.1)

y2(s) = g21(s)u1(s) + g22u2(s) (1.2)

como podemos ver claramente cada una de las entradas (u1, u2) tiene influencia sobrelas salidas (y1, y2). La magnitud de tal influencia depende de las ganancias de lasfunciones de transferencia. En principio si uno disena los lazos de control de maneraindependiente (suponiendo los apareamientos u1 → y1, u2 → y2) tenemos:

4



y1

y2

2u

1u

yd1

yd2

Gc1

Gc2

g11

g22

sin embargo, si la interaccion entre las entradas/salidas esta presente el efecto sobre elsistema de control se representarıa de la siguiente forma:

Σ

d 2 y e

2

Gc 2

Σ Gc 1 Σ

g

G

G

Σ

Σ

y

d 1

e1

g

g12

22g

21

11

Σ

y

y2

1

I

I

1

2

v

v

u

u

1 1

2 2

-+

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

cuando el sistema multivariable presenta interaccion puede no ser tan claro que apareamiento

seleccionar. Para entender este problema supongamos que llevamos a cabo el siguienteexperimento:

(1) Con todos los lazos de control abiertos realizamos un cambio escalon en u1. Deacuerdo a lo dicho antes y1 cambiara (y tambien lo hara y2 pero por el momentoconcentremos en y1). Suponiendo que el sistema sea estable se alcanzara unarespuesta final en y1 denotada por ∆y1u y cuya magnitud esta dada por:

∆y1u = k11 (1.3)

5



(2) Con unicamente el lazo 2 (es decir, el lazo u2 → y2) cerrado realizamos el mismoexperimento sugerido en paso anterior. El controlador Gc2 tiene entonces lafuncion de corregir cualquier desviacion en y2 (manipulando u2) como resultadodel cambio escalon efectuado en u1. Notese claramente que u1 tiene tanto unefecto directo como indirecto sobre y1 (a traves de la accion de control u2).

Observaciones.

(a) y1 cambia (a traves de g11, pero tambien cambia y2 (a traves de g21).

(b) Bajo control feedback el lazo 2 ”siente” el efecto de la interaccion sobre y2, yentonces manipula u2 hasta que y2 regresa a su set-point.

(c) Sin embargo, los cambios efectuados en u2 afectan ahora a y1 (a traves de g12).

Los cambios observados sobre y1

son de dos clases:

(1) El efecto directo de u1 sobre y1 (denotado por ∆y1u).

(2) El efecto indirecto que surge cuando el controlador 2 trata de eliminar la ”per-turbacion” u1 afectando con esto a y1 (denotemos este efecto por ∆y1r).

despues de que se halla alcanzado el estado estacionario del proceso la respuesta en y1

(denotada por ∆y∗1) estara dada por:

∆y∗1 = ∆y1u + ∆y1r (1.4)

una medida adecuada del grado de interaccion del proceso (suponiendo que u1 contralaa y1) esta dada por el siguiente cociente:

λ11 = ∆y1u

∆y∗1(1.5)

o bien,

λ11 = ∆y1u

∆y1u + ∆y1r(1.6)

esta cantidad proporciona una medida del grado de interaccion que ocurre cuando u1

controla a y1, y cuando u2 controla a y2.

1.2 Aparemiento de lazos de control

Usando los valores del ındice λ11 resulta mas o menos claro como analizar el efecto de uncierto apareamiento sobre la interaccion y desempeno del lazo cerrado. Normalementeestaremos interesados en elegir el apareamiento con menor grado de interaccion.

6



• λ11 = 1

Esto implica que ∆y1r = 0 y por lo tanto cero interaccion en el sistema multi-variable. En consecuencia seleccionado el acoplamiento:

u1 → y1

u2 →

y2

el sistema no presenta interacciones. Esto puede indicar:

(1) u1 no tiene efecto sobre y2.

(2) u1 no tiene efecto sbore y2, pero y2 no tiene efecto sobre y1.

• λ11 = 0

En este caso esto significa que ∆y1u = 0; o sea que u1 no tiene ningun efectosobre y1. Por lo tanto el lazo u1 → y1 no srive para el proposisto de controlar y1.Posiblemente el lazo u1 → y2 sea mas apropiado ya que en este caso no existeinteraccion con y1.

• λ11 > 1

En este caso ∆y1r tiene signo contrario del que tiene ∆y1u (sin embargo, esmenor en valor absoluto). En casos con λ11 muy grande y positiva el efecto de lainteraccion practicamente cancela el efecto de u1 sobre y1. Por esta razon puedenrequerirse valores grandes de la accion de control para este proposito. En generalel apareamiento u1 → y1 no sera bueno.

• λ11 < 0

Esta situacion surge cuando ∆y1r tiene signo contrario del que presenta ∆y1u

(ademas ∆y1r es mayor en valor absoluto a ∆y1u). El apareamiento u1

→ y1 no

es recomendable ya que la direccion del efecto de u1 sobre y1 a lazo abierto es larespuesta a la correspondiente direccion con el lazo cerrado. No se recomiendausar apareamientos de este tipo.

• 0 < λ11 < 1

Este caso corresponde a ∆y1u y ∆y1r respondiendo en el mismo sentido. Paraλ11 > .5 notese que ∆y1u > ∆y1r (el efecto directo es mayor que el efecto deinteraccion). Si λ11 < .5 entonces ∆y1r > ∆y1u (la interaccion domina el efectodirecto). Cuando λ11 = .5 entonces ∆y1u > ∆y1r y ambos efectos son igualmenteimportantes.

1.3 Definicion de ganancia relativa

La ganancia relativa (λij) entre la salida yi y la entrada u j (o sea, el cocienteentre 2 ganancias en estado estacionario) se difine como:

λij =

∂yi∂uj

todos los lazos abiertos

∂yi

∂uj

todos los lazos abiertos,excepto i=j

(1.7)

7



normalmente el ındice λij se calcula para sistemas cuadrados de n entradas y n

salidas; al arreglo resultante de elementos λij se denomina el Arreglo de Ganancia Relativa (RGA) y se denota por Λ:

Λ =

λ11 λ12 ... λ1n

λ21 λ22 ... λ2n

. . ... .

. . ... .

. . ... .

λn1 λn2 ... λnn

(1.8)

1.4 Calculando la RGA

Para mostrar la forma de evaluar la RGA usaremos el caso simple del siguiente sistemade 2x2:

y1 = g11u1 + g12u2 (1.9)

y2 = g21u1 + g22u2 (1.10)

como en analisis clasico de la RGA se realiza en estado estacionario esto significa que:

lim(s → 0) gij(s) = K ij (1.11)

por lo tanto el sistema original puede reescribirse como:

y1 = K 11u1 + K 12u2 (1.12)

y2 = K 21u1 + K 22u2 (1.13)

si evaluamos el elemento (1,1) de la RGA:

λ11 =

∂y1∂u1

o

∂y1∂u1

c

(1.14)

donde∂y1∂u1

o

denota la ganancia con todos los lazos abierttos mientras que∂y1∂u1

c

denota la misma ganancia pero con el lazo 2 cerrado. Entonces:∂y1

∂u1

o

= K 11 (1.15)

para evaluar el termino ∂y1

∂u1c

recordemos que en esta ocasion el lazo 2 permanece

cerrado. Por lo tanto, cuando se logre mantener a y2 en su set-point deseado, ocurriraque:

y2 = 0 (1.16)

la accion de control que se debe aplicar para lograr este proposito esta dada por:

u2 = −K 21

K 22u1 (1.17)

8



ahora bien, la accion de control u2 ejercera un efecto sobre la respuesta y1, la cualpuede obtenerse sustituyendo u2 en la ecuacion que define la respuesta para y1:

y1 = K 11u1 + K 12

−K 21

K 22

u1 (1.18)

esta ecuacion representa, por lo tanto, el efecto de u1 sobre y1 cuando el lazo 2 estacerrado: ∂y1

∂u1

c

= K 11 −K 12K 21

K 22= K 11

1 − K 12K 21

K 11K 22

(1.19)

denotando

ξ = K 12K 21

K 11K 22(1.20)

tenemos

∂y1

∂u1

c

= K 11(1 − ξ ) (1.21)

por lo tanto el elemento (1,1) del RGA esta dado por:

λ11 = K 11

K 11(1 − ξ ) (1.22)

o bien

λ11 = 1

1

−ξ

(1.23)

de manera semejante se pueden evaluar el resto de los elementos de la RGA:

λ12 = −ξ

1 − ξ (1.24)

λ21 = −ξ

1 − ξ (1.25)

λ22 = 1

1 − ξ (1.26)

entonces la matriz de RGA (Λ) estara dada por:

Λ =

11−ξ

−ξ1−ξ

−ξ

1−ξ1

1−ξ

(1.27)

notese claramente que la suma de los elementos individuales de la RGA (λij) siemprees igual a 1, ya sea que dichos elementos sean sumados horizontalmente:

n j=1

λij = 1 (1.28)

9



o verticalmente

ni=1

λij = 1 (1.29)

esto puede apreciarse mas claramente en el ejemplo examinado definiendo

λ = λ11 = 1

1 − ξ (1.30)

entonces la matriz de RGA estara dada por

Λ =

λ 1 − λ

1 − λ λ

(1.31)

en consecuencia para determinar la matriz de RGA para un sistema de 2x2, solo esnecesario determinar el termino λ.

Para calcualar la RGA en sistemas de orden superior se aconseja utilizar el siguientemetodo matricial. Sea K la matriz de ganancia en estado estacionario:

lim (s → 0) G(s) = K (1.32)

cuyos elementos son las ganancias individuales K ij . La matriz Λ puede obtenerseaplicando la siguiente ecuacion:

Λ = K · (K−1)T (1.33)

donde “·” representa el producto elemento por elemento. Es decir, la operacion anteriorno denota el clasico producto matricial.

1.5 Reglas basicas de apareamiento

Al seleccionar apareamientos entre variables manipuladas y controladas notese que elcaso ideal (es decir, no interaccion entre los lazos) esta dado por una RGA con lasiguiente estructura tipo matriz identidad:

Λ =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

... . . . 0

0 · 1 00 · 0 1

(1.34)

existen, sin embargo, casos que pudieran llevarnos a concluir, erroneamente, que noexiste interaccion entre lazos cuando dicha interaccion esta presente. Para ilustrar estepunto considerese la siguiente planta:

G(s) =

1s+1

03

3s+14

4s+1

(1.35)

10



cuya RGA esta dada por:

Λ =

1 00 1

(1.36)

examinando los elementos de Λ uno podrıa concluir erroneamente que los lazos nointeractuan. Sin embargo, examinando la estructura de G(s), notamos que m1 afecta ay2; pero y2 no afecta a y1. Por lo tanto, en realidad si existe interaccion entre los lazos.Este tipo de interaccion en el que una variable manipulada afecta la operacion de unlazo, pero la variable manipulada de este ultimo lazo no afecta la operacion del primerlazo, se llama interaccion en un sentido. Dicha interaccion se presenta en presenta enplantas con estructura triangular superior

G(s) =

x 0 0 0x x 0 0x x x 0

x x x x

(1.37)

o inferior

G(s) =

x x x x

0 x x x

0 0 x x

0 0 0 x

(1.38)

donde x representa elementos diferentes de cero.

• Regla No. 1

Aparear variables de entrada/salida que tengan elementos positivos de la RGAtan cercanos a 1 como sea posible.

Ejemplo 1 Seleccionar los apareamientos entrada/salida que minimizan la inter-accion entre lazos para las siguientes RGA (entradas: u1, u2, salidas: y1, y2):

a) Λ =

.8 .2.2 .8

, b) Λ =

.3 .7.7 .3

, c) Λ =

1.5 −.5−.5 1.5

a) En este caso el mejor apareamiento esta dado por: u1 → y1, u2 → y2.

b) En este caso el mejor apareamiento esta dado por: u1 → y2, u2 → y1.

c) En este caso resulta preferible aparear sobre elementos de Λ “grandes” (peropositivos) que sobre elementos de Λ negativos. Por lo tanto el mejor apareamientoestarıa dado por: u1 → y1, u2 → y2.

11



Ejemplo 2 Seleccionar un esquema de control, con interaccion mınima, de la columnade Wood-Berry.

Antes obtuvimos que la matriz de RGA esta dada por:

Λ = 2

−1

−1 2

siendo u = [∆L ∆V ]T , y = [∆X d ∆X b]T , por lo cual el apareamiento sugerido es:∆L → ∆X d y ∆V → ∆X b.

Cuando se seleccionan apareamientos tambien resulta indispensable tomar en cuentaconsideraciones de estabilidad entre los lazos (especialmente para sistemas de mas de 2entradas y 2 salidas). Dicha consideracion se plantea en terminos del siguiente teoremade estabilidad de Niederlinski.

Teorema 1 Teorema de Niederlinski

Considerese el siguiente modelo a lazo abierto

y(s) = G(s)u(s) (1.39)

donde supongamos que se han seleccionado los siguientes apareamientos: u1 → y1, u2 →y2, . . . , un → yn. Adem´ as cada elemento ( gij) de la matriz de ganancias debe cumplir con ser: a) racional y b) estable. Supongamos adem´ as que se dise˜ nan “n” lazos de control feedback (cada uno con acci´ on integral) de tal forma que cada uno de los n lazos de control permanece estable cuando se abren el resto de los n − 1 lazos de control.

Si todos los n lazos estan cerrados, el sistema de control de lazos m´ ultiples ser´ a in-estable (para todos los posibles valores de los par´ ametros del controlador) si el ındice de Niderlinski ( N ) definido como:

N = det[G(0)]n

i=1 gii(0) (1.40)

es negativo.

Observaciones.

a) El teorema de Niederlinski representa condiciones necesarias y suficientes unicamentepara sistemas de 2x2.

b) Para sistemas de orden mayor unicamente representa condiciones suficientes. Esdecir, si el teorema se cumple, entonces el sistema de multiples lazos sera defini-tivamente inestable. Pero si el teorema no se cumple, el sistema de multipleslazos puede ser o no inestable (en este caso, la estabilidad depende de los valoresasignados a los parametros del controlador).

12



c) En sistemas de 2x2

N = 1 − ξ (1.41)

por lo tanto, si apareamos cuando λ es negativa (es decir ξ > 0) el teorema secumple y el sistema de multiples lazos 2x2 sera inestable. Esto demuestra porque

no es conveniente aparear con RGA negativos en sistemas de 2x2.

• Regla No. 2

Aparear lazos de control de tal forma que N > 0.

• Resumen de la estrategia basica de apareamiento

i) Dada la matriz de ganancias G(s) evaluar la matriz de RGA.

ii) Emplear la regla de apareamiento No. 1, apareando sobre elementos positivoslo mas cercanos a 1.

iii) Verifique que el sistema de lazos multiples seleccionado conduce a obtener unındice de Niederlinski N > 0. En caso de que esta condicion no se cumplaregresar al paso anterior.

Ejemplo 3 Suponiendo que la siguiente planta en estado estacionario tiene como en-tradas: u = [u1 u2 u3] y como salidas y = [y1 y2 y3]:

G(0) =

53

1 11 1

3 11 1 1

3

(1.42)

determinar el apareamiento que conduce a obtener menor interaccion siendo ademas N > 0.

Calculando la RGA1:

Λ =

10 −4.5 −4.5−4.5 1 4.5−4.5 4.5 1

(1.43)

de acuerdo con la regla de apareamiento No.1:

u1 → y1

u2 → y2

u3 → y3

checando ahora el ındice de Niederlinski:

det(G(0)) = −.14813

i=1

gii(0) = .1852

1Λ puede calcularse facilmente en Matlab usando la instruccion: >lambda = g.*(inv(g))’;

13



entonces:

N = −.1481

.1852 = −.8

por lo tanto el esquema seleccionado tendra problemas de estabilidad (para cualquier valor

de los parametros de los controladores). Por lo tanto, el teorema de Niederlinski rechazael apareamiento sugerido por la RGA. Seleccionemos otro apareamiento y examinemos, denueva cuenta, el teorema de Niederlinski.

Del resultado anterior podemos notar que el siguiente apareamiento podrıa tal vez serfactible:

u1 → y1

u3 → y2

u2 → y3

antes de evaluar Λ necesitamos rearreglar la matriz G(0) para reflejar este nuevo apareamiento:

y1

y3

y2

=

53

1 11 1 1

3

1 13

1

u1

u2

u3

entonces

Λ =

10 −4.5 −4.5−4.5 4.5 1

−4.5 1 4.5

(1.44)

checando nuevamente el ındice de Niederlinski:

det(G(0)) = .14813

i=1

gii(0) = 1.6667

por lo tanto:

N = .1481

1.6667 = .088

en consecuencia este apareamiento no presentara problemas de estabilidad.

Existen algunas ocasiones en las que es posible aparear sobre elementos negativosde la RGA (esto solo es posible en sistemas de orden superior al segundo, y nuncaes valido en sistemas de 2x2). Sin embargo, si se abre el lazo que se apareo con unelemento negativo de la RGA, el resto del esquema de control de lazos m ultiples sevolvera inestable.

14



Ejemplo 4 Consideremos la siguiente planta en estado estacionario:

G(0) =

1 1 −.1

.1 2 −1−2 −3 1

(1.45)

con entradas: u = [u1 u2 u3]T

salidas y = [y1 y2 y3]T

, cuya RGA esta dada por:

Λ =

−1.89 3.6 −.7−.13 3.02 −1.893.02 −5.61 3.6

(1.46)

el unico apareamiento factible esta dado por:

u1 → y1

u2 → y2

u3 → y3

ya que para el el lazo 1 aparear sobre el elemento positivo conduce a un ındice de NiederlinskiN < 0. En este caso:

det(G(0)) = .533

i=1

gii(0) = 2

N = .265

sin embargo, aun cuando este apareamiento no tiene problemas de estabilidad, si se abreel lazo u1 → y1 el esquema de control restante tendra problemas de estabilidad como se

muestra a continuacion.Abrir el lazo u1 → y1 significa eliminar a estas variables de la funcion de transferencia alazo abierto:

G(0) =

2 −1−3 1

(1.47)

cuya RGA estara dada por:

Λ =

−2 3

3 −2

(1.48)

notese que el esquema resultante aparea sobre elementos negativos de la RGA:

det(G(0)) = −12

i=1

gii(0) = 2

N = −.5

por lo tanto el esquema resultante sera inestable.

15



1.6 Apareamiento de sistemas con integradores

Los sistemas dinamicos con integradores se caracterizan por poseer funciones de trans-ferencia del tipo:

G(s) = 1

s

(1.49)

y en este caso resulta obvia la dificultad de calcular la ganancia en estado estacionariocuando s → 0. El siguiente ejemplo muestra como proceder en casos como este.

Ejemplo 5 Evaluar el RGA, y sugerir un esquema de apareamiento, de la siguiente planta:

G(s) =

1.318e−2.5s

20s+1−e−4s

3s

.038(182s+1)(27s+1)(10s+1)(6.5s+1)

.36s

(1.50)

reemplazando el integrador por I :

I = 1

s

tenemos

lim(s → 0) G(s) =

1.318 −I

3

.038 .36I

(1.51)

entonces de la definicion del RGA para sistemas de 2x2:

λ = 1

1

− k12k21k11k22

= 1

1 + (.038)(.333I )(1.318)(.36I )

= .974

de donde el arreglo completo de RGAs estara dado por:

Λ =

.974 .026.026 .974

(1.52)

y el apareamiento recomendado es:

u1 → y1

u2 → y2

2 Apareamiento de sistemas no cuadradoshasta ahora hemos supuesto que la decision de aparear variables de entrada/salidainvolucraba unicamente a sistemas cuadrados (es decir, sistemas donde el numero devariables manipuladas y controladas es identico. En esta seccion discutiremos comoseleccionar apareamientos cuando el numero de variables manipuladas no es igual alnumero de variables controladas. En este caso distinguiremos las 2 siguientes situa-ciones.

16



2.1 Sistemas subdefinidos

En este caso el numero de variables manipuladas (m) es menor que el numero devariables a controlar (n). Dado que el esquema de control sera de tipo multiple lazo(es decir, una variable manipulada apareada con una variable controlada) resulta quelas variables a controlar estan en exceso por: (n

− m). Esto implica que, basados

en consideraciones de cierto tipo (por ejemplo, economicas), se decide mantener fijo ocontante el valor de n −m de las potenciales variables controladas. Con esta desicisionel sistema restante sera cuadrado, y en adelante el analisis de interaccion sera semejanteal visto antes.

Ejemplo 6 Considere la decision de aparear la siguientes variables controladas: com-posicion del destilado (y1), composicion de los fondos (y2) y composicion de los fondos(y3) usando el siguiente conjunto de variables manipuldas: flujo del reflujo (u1), presiondel rehervidor (u2). El flujo de la corriente lateral esta fijo (es decir, no puede usarse comovariable manipulada):

como puede notarse, en un esquema de lazos multiples, resulta imposible controlar las 3salidas con tan solo 2 entradas. Sin embargo, supongamos que, por razones economicas,resulta menos conveniente controlar la composicion de la corriente lateral. Por este motivotal variable deja de considerarse como variable controlada, y nos resta entonces la decisionde como aparear el resto de las variables. Si la planta original esta dada por:

y1

y2

y3

=

.66e−2.6s

6.7s+1−.0049e−s

9.06s+1

1.11e−6.5s

3.25s+1−.012e−1.2s

7.09s+1

−33.68e−9.2s8.15s+1

.87(11.61s+1)e−

s

(3.89s+1)(18.8s+1)

u1

u2

(2.53)

con la decision de no controlar la composicion de la corriente lateral, la planta estara dadapor:

y1

y3

=

.66e−2.6s

6.7s+1−.0049e−s

9.06s+1

−33.68e−9.2s

8.15s+1.87(11.61s+1)e−s

(3.89s+1)(18.8s+1)

u1

u2

(2.54)

de donde,

Λ =

1.4 −.4−.4 1.4

(2.55)

el apareamiento natural para este sistema sera: u1 → y1 (el reflujo controla la composiciondel destilado) y u2 → y2 (la presion del rehervidor controla la composicion de los fondos).

17



3 Diseno de controladores multiples

El procedimiento para disenar sistemas de control de lazos multiples involucra lossiguientes pasos:

1) Seleccion del esquema de apareamiento.

2) Sintonizacion de los controladores de los lazos individuales.

en sistemas que presentan poca interaccion (es decir, sistemas cuya RGA esta cercanaa la ideal) esperariamos que los metodos de sintonizacion de controladores vistos antes(Ziegler-Nichols, Cohen-Coon, IMC etc) bastaran para tener un buen desempeno delesquema de control de lazos multiples. Sin embargo, dichas reglas de sintonizacionpodrıan resultar inapropiadas de los parametros de los controladores cuando se apareousando valores grandes o negativos de la RGA. El control podrıa ser practicamenteimposible de obtener en presencia de interacciones fuertes.

Bajo condiciones de fuerte interaccion se recomienda el siguiente procedimiento desintonizacion de los lazos.

1) Sintonizar cada lazo de control de manera independiente (manteniendo en modomanual al resto de los lazos).

2) Meter todos los lazos a modo automatico, reajustando los parametros de los con-troladores hasta obtener un buen desempeno de los lazos de control.

En la mayorıa de sistemas altamente interactivos el segundo paso equivale a ”desin-tonizar” los lazos de control. Se dice que la operacion de los lazos se vuelve mas”conservadora” (lo cual equivale a reducir ka ganancia y a aumentar el tiempo inte-gral). Es decir, se sacrifica desempeno por estabilidad. A continuacion se presenta unprocedimiento de ”desintonizacion” para sistemas de 2x2.

a) Sintonizar cada lazo de manera independiente. Esto proporciona valores inicialesde los parametros de los controladores. Sea la ganancia del controlador denotadapor k∗

ci.

b) Cuando todos los lazos operen de manera automatica, la ganancia de cada lazo de

control (k∗ci) se debera reducir de acuerdo a la siguiente ecuacion:

kci =

(λ −

√ λ2 − λ)k∗

ci , λ > 1λ +√

λ2 − λ k∗

ci , λ < 1

tal vez sea aun necesario modificar aun mas el valor de k∗ci, pero las ecuaciones anteriores

proporcionan un buen valor inicial para determinar los valores de kci.

19



4 Metodo BLT

Uno de los problemas centrales en el diseno de esquemas de control decentralizado(p.e. controladores PID) consiste en la interaccion que puede ocurrir entre lazos decontrol. En esta seccion supondremos que deseamos sintonizar un esquema de N lazos

de control donde cada lazo es del tipo SISO, donde la interacci on entre ellos tiendea ser lo suficientemente fuerte como para afectar la operaci on de algun o de algunoslazos.

Normalmente las tecnicas empleadas para sintonizar lazos SISO individuales, no puedenusarse para obtener los parametros de sintonizacion cuando varios de dichos lazos indi-viduales operan simultaneamente. Debido a la interaccion entre los lazos, la operacionde un lazo tendera a afectar la operacion de otro u otros lazos. Ante este tipo de situa-ciones, las constantes de sintonizacion, obtenidas de aplicar tecnicas standard (p.e.Ziegler-Nichols), deben modificarse. En muchos casos la ganancia de cada lazo de con-trol debe aumentarse, en alguna proporcion, para permitir que el sistema de N lazos

opere de manera estable. Por supuesto, esta accion (aumento de ganancia) cauza queel desempeno de cada lazo sea peor (en relacion al desempeno observado cuando cadalazo operaba aislado del resto de los lazos).

Aun cuando uno podrıa modificar interactivamente los parametros de cada controlador,para obtener la respuesta deseada en cada lazo, es mejor emplear un esquema semi-heurıstico para tal proposito. Uno de dichos metodos es el ası llamado metodo BLTpropuesto por Luyben. Notese que, en algunos casos, si la respuesta obtenida en cadalazo no es la apropiada, los parametros de sintonizacion BLT podrıan requerir algunamodificacion adicional.

Suponiendo que deseamos utilizar control PI en cada lazo, el metodo consta de los

siguiente pasos.

1. Empleando el metodo de Ziegler-Nichols, calcular los parametros de sintonizacion(ganancia K ZN i y tiempo integral τ ZN i) de cada lazo i de manera independiente(es decir, como si fueran lazos SISO) del resto de los lazos.

2. Suponer el valor de un parametro de desintonizacion2 (denotado por F ). Debidoa la interaccion entre los lazos, las ganancias de todos los controladores feedbackK ci se modifican de la siguiente manera:

K ci = K ZN i

F (4.61)

mientras que los tiempos de integracion τ Ii de todos los lazos se calculan de lasiguiente ecuacion:

τ Ii = τ ZN iF (4.62)

2puede tomarse un valor ligerante mayor de 1 como primer estimado de F .

20



3. Empleando el valor de F , junto con los parametros de sintonizacion de cadacontrolador, construir el diagrama de Nyquist de la siguiente funcion3:

W (iw) = −1 + Det[I + G p(iw)Gc(iw)] (4.63)

sobre bases semiheurısticas definimos la siguiente magnitud a lazo cerrado:

Lcm = 20log10

W

1 + W

(4.64)

si graficamos el valor de Lcm contra la frecuencia ω normalmente obtendremosuna funcion que muestra un pico, a una cierta frecuencia, que corresponde al valormaximo de Lcm. A dicho valor lo denominamos el maximo valor logaritmico (the biggest log modulus BLT) y lo denotamos por Lmax

cm .

4. Reestimar el parametro de desintonizacion F hasta que el valor de Lmaxcm sea

aproximadamente igual a 2N.

Ejemplo 8 Para mostrar la forma de sintonizar lazos de control en sistemas multivariablesconsidere el modelo lineal de la siguiente columna de destilacion sugerida por Wood y Berry:

∆xd

∆xb

=

12.8e−s

16.7s+1−18.9e−3s

21s+1

6.6e−7s

10.9s+1−19.4e−3s

14.4s+1

∆L

∆V

(4.65)

donde supongamos que se ha seleccionado el siguiente apareamiento:

∆L → ∆xd

∆V → ∆

xb

para cada lazo el metodo de sintonizacion de Ziegler-Nichols produce los parametros desintonizacion que se muestran en la siguiente tabla.

No. Lazo K ZN τ ZN

(1) ∆L → ∆xd .96 3.25(2) ∆V → ∆xb -.19 9.2

• Primera suposicion: F = 1.

De acuerdo a lo mencionado anteriormente, desintonizamos los dos lazos de con-

trol usando las ecuaciones 4.61 y 4.62. En este caso, debido al valor supuesto delparametro de desintonizacion, los nuevos valores de los parametros de los contro-ladores seran iguales a los mostrados anteriormente.

A continuacion, usando la ecuacion 4.63 calculamos el termino W (iw). Notese que estetermino depende de la frecuencia w. Esto significa que, para calcular W (iw), primero

3recuerde que a medida que la grafica de esta funcion este mas cerca al punto (-1,0) el sistema decontrol sera mas suceptible a desestabilizarse. Notese que la ecuacion dada por W/(1 +W ) es similara la funcion de transferencia servo para un sistema SISO dada por G pGc/(1 + G pGc).

21



este proceso para calcular Lcm se repite para varios valores de w ∈ [wmin, wmax]. Enla figura 1 se muestra la forma como Lcm depende de la frecuencia w cuando el factorde desintonizacion F es igual a la unidad. La altura maxima del pico resonante Lcm

es igual a 31.1317 a una frequencia w =0.467 lo cual significa que el valor supuestode F no proporciona la altura deseada de 4 db.

10−1

100

101

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

w

L c m

Figura 1: Dependencia de Lcm con respecto a la frecuencia w cuando F = 1.

• Segunda suposicion: F = 2

Los calculos mostrados anteriormente se repiten ahora F =2. En la figura 2 se mues-tra la grafica de Lcm contra la frecuencia w para este valor del parametro de desin-tonizacion. La altura del pico resonante ocurre a Lcm=6.4106 a una frecuenciaw =0.3714. Este valor supuesto de F esta mas cerca del requisito de diseno de 4 dben Lcm pero aun no lo cumple.

10−1

100

101

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

w

L c m

Figura 2: Usando un valor F =2 se obtiene Lcm= 6.4 db.

• Tercera suposicion: F = 2.53

Como podemos observar de la figura 3cuando F = 2.53 se obtiene 4 db como alturamaxima del pico resonante a una frecuencia w =0.321 por lo que este valor de

23



F cumple con el requisito de diseno. Aplicando este factor de desintonizacion, losparametros de sintonizacion para cada lazo quedan como se muestra en la siguientetabla.

10−1

100

101

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

w

L c m

Figura 3: Usando un valor F =2.53 se obtiene Lcm= 4 db.

No. Lazo K ZN τ ZN

(1) ∆L → ∆xd 0.378 8.255(2) ∆V → ∆xb -.0748 23.5712

Para probar la eficacia del metodo de sintonizacion multivariable se usaron las siguientesdos pruebas a lazo cerrado.

• Control servo: El set-point de la composicion del destilado se cambio de 0 a 1. En la

figura 4 se muestran las respuestas de las composiciones tanto del destilado como delos fondos para cada tipo de sintonizacion; tambien se incluye la conducta dinamicade las variables manipuladas.

• Control regulatorio: Se simulo el efecto de la perturbacion dada por:

Gd = 1

10s + 1

la cual se supuso que ingresa al sistema afectando a la composicion del destilado. Enla figura 5 se muestra la respuesta del sistema a lazo cerrado. Como puede apreciarseel esquema de sintonizacion tomando en cuenta la interaccion multivariable es superioral esquema de ZN que no toma en cuenta el efecto de interacci on entre los lazos.

24



0 20 40 60 80 1000

0.5

1

1.5

2

Tiempo

x d

0 20 40 60 80 100−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo

x b

0 20 40 60 80 100−0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo

L

0 20 40 60 80 100−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Tiempo

V

Figura 4: Respuesta del sistema de control servo a lazo cerrado. (–) Sintonizacionusando el metodo de ZN, (-) sintonizacion usando la tecnica de desacoplamiento mul-tivariable.

0 20 40 60 80 100−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Tiempo

x d

0 20 40 60 80 100−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Tiempo

x b

0 20 40 60 80 100−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Tiempo

L

0 20 40 60 80 100−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Tiempo

V

Figura 5: Respuesta del sistema de control regulatorio a lazo cerrado. (–) Sintonizaci onusando el metodo de ZN, (-) sintonizacion usando la tecnica de desacoplamiento mul-tivariable.

control de sistemas multivariables

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