análisis de la solidificación en metales puros por el

Análisis de la solidificación en metales puros por el

Método de Campo de Fases

T E S I S Que para obtener el título de:

Ingeniero en Metalurgia y Materiales

P R E S E N T A Cristóbal Ricardo Escamilla Illescas

Director de tesis Dr. Víctor Manuel López Hirata

Ciudad de México Agosto de 2016

Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas

Departamento de Ingeniería en Metalurgia y Materiales

Dedicatoria

Dedicatoria

A mis padres y abuelos; que con su vida, hicieron posible la mía.

Agradecimientos

Agradecimientos

Llegar al final de una etapa no es simple, y es estando aquí, al mirar atrás, en donde me doy

cuenta de todo lo que necesité y se me fue dado para construir un camino que llevara hasta

este lugar. Quiero agradecer:

A Dios, por todas las fortuitas casualidades que nos permiten existir y dejar una

evidencia de nuestra presencia. Por la vida, el tiempo, el amor y por este fascinante mundo

en el que vivimos.

Al Instituto Politécnico Nacional, a la Escuela Superior de Ingeniería Química e

Industrias Extractivas y al Departamento de Ingeniería en Metalurgia y Materiales, por ser

el pilar de mi formación. Por darme una identidad como Politécnico y Metalúrgico, la cual

honrar y de la cual estar orgulloso.

A mis padres, María Victoria Illescas Faustino y Aurelio Escamilla Téllez, a quienes

debo más que el amor recibido, el techo bajo el que he vivido o todo lo que he aprendido.

Es por ustedes que me encuentro aquí, que soy este Ricardo. Han formado mi ser cada día

de mi vida. Lo bueno en mí se los debo a ustedes.

A mis hermanos, Juan Pablo, David y Esmeralda, que son la fuerza cohesiva de la

familia Escamilla Illescas, por mostrarme el camino con su ejemplo.

A mi asesor, el Dr. Víctor Manuel López Hirata, quien con su incansable guía hizo

posible este trabajo. Por llenar mis dudas con entendimiento y siempre encontrar tiempo

para escucharlas, por la interminable paciencia e interés, por compartir sus conocimientos

conmigo y por, incluso, sentarse conmigo a hacer cálculo vectorial.

A la Dra. Maribel Leticia Saucedo Muñoz, por hacer este trabajo cada vez más completo

con cada observación y por hacerme sentir parte de este fabuloso grupo de investigación.

A la Dra. Lucía Graciela Díaz Barriga Arceo, al Dr. Héctor Javier Dorantes Rosales y al

M. en C. Sergio Javier García Núñez, por tomarse el tiempo para leer y revisar este trabajo,

a fin de mejorarlo.

A Valeria Miranda López, quien ha caminado a mi lado cada día de estos últimos cinco

años, quien me ha visto y hecho crecer. Has iluminado mi vida con recuerdos rebosantes de

amor y felicidad. Eres verdaderamente la mejor compañera de viaje. Tengamos el viaje más

largo, ¿Sí?

Agradecimientos

Al Pbro. Felipe Galicia Reyes, quien me formó musical y humanamente, y me dio un

segundo hogar en Donceles número 49.

A la Ing. Tania Soriano Cruz, a Karen Ledezma Gutiérrez y Mauricio Trejo Cristerna,

que me brindaron su apoyo, amistad y compañía durante muchos días de trabajo.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, en particular a los proyectos 220929 y

220984, así como al programa de Becas de Estímulo Institucional de Formación de

Investigadores del Instituto Politécnico Nacional por el apoyo brindado para la realización

de este trabajo.

A todas las personas que han sido parte de mi formación personal y profesional, y que en

una clara muestra de ingratitud que sabrán perdonar, he olvidado mencionar.

Muchas gracias.

C. R. E. I.

Contenido

Contenido

Resumen ..................................................................................................................................I

Lista de figuras ..................................................................................................................... II

Lista de tablas ..................................................................................................................... VI

Introducción .......................................................................................................................... 1

1. Consideraciones teóricas ............................................................................................... 3

1.1 Solidificación en metales puros ............................................................................. 3

1.1.1 Nucleación en metales puros ............................................................................ 3

1.1.1.1 Nucleación homogénea ..................................................................................... 4

1.1.1.2 Nucleación heterogénea ................................................................................... 8

1.1.2 Crecimiento y microestructura dendrítica ...................................................... 12

1.1.2.1 Anisotropía en crecimiento dendrítico ........................................................... 17

1.2 Método de Campo de Fases ................................................................................. 19

1.3 Formulación de Kobayashi ................................................................................. 21

1.4 Método de Diferencias Finitas ............................................................................ 24

2. Metodología numérica ................................................................................................ 29

3. Resultados .................................................................................................................... 33

3.1 Simulaciones de simetría de anisotropía perfecta ............................................. 33

3.2 Simulaciones de magnitud de anisotropía ......................................................... 36

3.3 Simulaciones de calor latente adimensional ...................................................... 43

4. Discusión ....................................................................................................................... 48

4.1 Comparación de dendritas en metales puros con dendritas simuladas .......... 48

4.2 Efecto de la anisotropía en la solidificación ....................................................... 52

4.3 Efecto del calor latente adimensional en la solidificación ................................ 57

Conclusiones ........................................................................................................................ 62

Referencias .......................................................................................................................... 63

Apéndices ............................................................................................................................. 66

Apéndice I. Código usado para la simulación .............................................................. 66

Resumen

Resumen

Actualmente el método de campo de fases es una de las técnicas más efectivas para

modelar la evolución microestructural. La principal característica de los modelos de campo

de fases es el carácter difuso y finito de la intercara entre dos fases, que se describe por una

transición continua, en espacio x, de la variable de campo de fases ϕ(x,t) entre dos estados:

sólido y líquido en el caso estudiado.

En el presente trabajo se aplicó el método de campo de fases a la solidificación de

metales puros, haciendo énfasis en el crecimiento de cristales dendríticos usando la

formulación propuesta por Kobayashi para analizar los diferentes parámetros que afectan el

proceso de solidificación.

Para simular la evolución de la microestructura dendrítica, se usó un código en

FORTRAN, en el cual, las ecuaciones diferenciales parciales del modelo se resolvieron

numéricamente por el Método Explícito de Diferencias Finitas para generar archivos de

datos, que posteriormente se graficaron y se usaron para crear secuencias de video.

Los resultados de la simulación mostraron la evolución de cristales dendríticos en

metales con simetría cúbica y hexagonal, el efecto del calor latente de solidificación y la

magnitud de anisotropía sobre la formación de dendritas.

Al incrementar el valor de calor latente adimensional se observó una reducción en la

velocidad de crecimiento de los cristales. Además, a valores bajos de calor latente de

fusión, este mostró ser el mecanismo que determina la geometría de los cristales en

crecimiento, permitiendo la formación de geometrías simples. En contraste, a valores altos

de calor latente de fusión, la magnitud de anisotropía es el mecanismo determinante de la

geometría de los cristales, permitiendo la formación de geometrías complejas.

Por otra parte, en condiciones de isotropía cristalina o de baja anisotropía, se observó la

formación de cristales de puntas separadas. Además, al aumentar la magnitud de

anisotropía, se observó un aumento en la velocidad de crecimiento de los cristales, con la

presencia de un máximo, tras el cual la velocidad de crecimiento de los cristales disminuye.

I

Lista de figuras

Lista de figuras

Figura Descripción Página

1 Diferencia en energía libre entre líquido y sólido cerca del punto de fusión. (7) 3

2 Nucleación homogénea. (7) 5

3 Cambio de energía libre asociado con la nucleación homogénea de una esfera

de radio r. (7) 6

4 Nucleación heterogénea de una capa esférica en una pared de molde plana. (7) 8

5 Exceso de energía libre de embriones para nucleación homogénea y

heterogénea. (7) 10

6 Variación de ΔG* con respecto al sobreenfriamiento, ΔT, para nucleación

homogénea y heterogénea. (7) 11

7

(a) Distribución de temperatura para solidificación cuando el calor es extraído

a través del sólido. Isotermas (b) para una intercara plana S/L y (c) para una

protuberancia. (7)

12

8 Lo expuesto en la figura 7, con conducción de calor hacia el líquido (7). 13

9

Desarrollo de dendritas térmicas: (a) núcleo esférico; (b) comienzo de

inestabilidad en la intercara; (c) desarrollo de brazos primarios en direcciones

cristalográficas; (d) desarrollo de brazos secundarios y terciarios. (7)

14

10

Cambio secuencial de la morfología de la intercara a medida que la velocidad

de solidificación aumenta: (a) Célula creciendo en la dirección de la extracción

de calor; (b) Célula creciendo en la dirección <100> (c) Transición

célula/dendrita (d) Dendrita. (11)

15

11 Distribución de temperaturas en la punta de una dendrita térmica en

crecimiento. (7) 16

II

Lista de figuras

12 Patrón de evolución espacial para una secuencia de separación de puntas

obtenido en las simulaciones de Kessler, Koplik y Levine. (13) 17

13 Crecimiento de un cristal en el cual se observa separación de puntas obtenido

en las simulaciones de Brush y Sekerka. (14) 18

14 Patrón de separación de puntas formado en la experimentación de Ben-Jacob y

colaboradores. (15) 19

15

Representación gráfica del Método Explícito de Diferencias Finitas:

(a) Aproximación para una ecuación diferencial parcial de primer orden

(b) Aproximación para una ecuación diferencial parcial de segundo orden. (21)

28

16 Diagrama de flujo correspondiente a la simulación de la solidificación en

metales puros por el método de campo de fases. 30

17

Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de j = 0.0 y

κ = 1.0. (a) t = 0.08; (b) t = 0.2; (c) t = 0.32; con δ = 0.000. (d) t = 0.08;

(e) t = 0.2; (f) t = 0.32; con δ = 0.020.

34

18


κ = 1.8. (a) t = 0.2; (b) t = 0.4; (c) t = 0.6; con δ = 0.000. (d) t = 0.2;

(e) t = 0.4; (f) t = 0.6; con δ = 0.020.

35

19

Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de κ = 1.8 y

δ = 0.000. (a) t = 0.2; (b) t = 0.4; (c) t = 0.6; con j = 4.0. (d) t = 0.2;

(e) t = 0.4; (f) t = 0.6; con j = 6.0.

37

20


κ = 1.8. (a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con δ = 0.005. (d) t = 0.2;

(e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con δ = 0.010. (g) t = 0.2; (h) t = 0.32; (i) t = 0.4; con

δ = 0.020.

38

21


κ = 1.8. (a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con δ = 0.050. (d) t = 0.2;


δ = 0.120.

39

III

Lista de figuras

22


κ = 1.8. (a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con δ = 0.005. (d) t = 0.2;


δ = 0.020.

41

23


κ = 1.8. (a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con δ = 0.050. (d) t = 0.2;

(e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con δ = 0.080.

42

24

Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de κ = 1.0 y

δ = 0.020. (a) t = 0.08; (b) t = 0.2; (c) t = 0.32; con j = 4.0. (d) t = 0.08;

(e) t = 0.2; (f) t = 0.32; con j = 6.0.

44

25


δ = 0.020. (a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con κ = 1.5. (d) t = 0.2;

(e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con κ = 1.8. (g) t = 0.2; (h) t = 0.32; (i) t = 0.4; con

κ = 2.2.

45

26


δ = 0.020. (a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con κ = 1.5. (d) t = 0.2;

(e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con κ = 1.8. (g) t = 0.2; (h) t = 0.32; (i) t = 0.4; con

κ = 2.2.

46

27

Comparación entre (a) Imagen de Microscopio Electrónico de Barrido (MEB)

de una dendrita de austenita; (b) Cristal equiaxial calculado con un modelo de

Campo de Fases correspondiente a dicha dendrita; (22) (c) Simulación obtenida

con las condiciones de t = 0.2, j = 4.0, κ = 1.8 y δ = 0.020.

48

28

Comparación entre (a) Micrografía de una dendrita equiaxial de Succinonitrilo

(SCN); (b) Dendrita de Succinonitrilo con brazos secundarios casi

periódicos; (3) (c) Simulación obtenida con las condiciones de t = 0.2, j = 4.0,

κ = 1.5 y δ = 0.020.

49

IV

Lista de figuras

29

Comparación entre (a) Dendrita de hielo solidificada en agua pura

sobreenfriada a - 0.4 °C; (23) (b) Simulación obtenida con las condiciones de

t = 0.2, j = 6.0, κ = 1.5 y δ = 0.020; (c) Dendrita de hielo solidificada en una

solución de agua y 5% de etilenglicol sobreenfriada a -2.0 °C; (23)

(d) Simulación obtenida con las condiciones de t = 0.4, j = 6.0, κ = 1.8 y

δ = 0.005.

50

30

Comparación entre (a) Micrografía de cristales con puntas separadas en una

aleación Al-4%Cu; (25) (b) Micrografía de cristales con puntas separadas en una

aleación Al-4.5%Cu; (26) (c) Simulación obtenida con las condiciones de

t = 0.6, j = 4.0, κ = 1.8 y δ = 0.000.

51

31

Simulaciones obtenidas con las condiciones fijas de t = 0.4, j = 4.0, κ = 1.8 y

magnitud de anisotropía variable: (a) δ = 0.000; (b) δ = 0.005; (c) δ = 0.010;

(d) δ = 0.20; (e) δ = 0.050; (f) δ = 0.080; (g) δ = 0.120.

53

32

Simulaciones obtenidas con las condiciones fijas de t = 0.4, j = 6.0, κ = 1.8 y

magnitud de anisotropía variable: (a) δ = 0.000; (b) δ = 0.005; (c) δ = 0.010;

(d) δ = 0.20; (e) δ = 0.050; (f) δ = 0.080.

54

33

Simulaciones obtenidas con las condiciones fijas de t = 0.32, j = 4.0, δ = 0.020

y calor latente adimensional variable: (a) κ = 1.0; (b) κ = 1.5; (c) κ = 1.8;

(d) κ = 2.2.

58

34

Simulaciones obtenidas con las condiciones fijas de t = 0.32, j = 6.0, δ = 0.020

y calor latente adimensional variable: (a) κ = 1.0; (b) κ = 1.5; (c) κ = 1.8;

(d) κ = 2.2.

59

35

Simulaciones obtenidas con las condiciones fijas de t = 0.2, j = 0.0 con

condiciones de calor latente adimensional y magnitud de anisotropía variable:

(a) κ = 1.0, δ = 0.000; (b) κ = 1.0, δ = 0.020; (c) κ = 1.8, δ = 0.000;

(d) κ = 1.8, δ = 0.020.

60

V

Lista de tablas

Lista de tablas

Tabla Descripción Página

1 Parámetros de la formulación de Kobayashi usados durante las simulaciones 29

2 Condiciones usadas para las simulaciones de simetría de anisotropía perfecta 33

3 Condiciones usadas para las simulaciones de anisotropía 36

4 Condiciones usadas para las simulaciones de calor latente adimensional 43

VI

Introducción

Introducción

Se estima que las piezas fundidas se usan en el 90% de los productos fabricados, tales como

motores de vehículos, maquinaria para construcción y agricultura, válvulas, bombas,

compresores, electrodomésticos, computadoras, herramientas y en toda la maquinaria

empleada en la manufactura de dichos productos.

Las principales razones para utilizar la fundición son el amplio rango de propiedades

físicas y mecánicas cubierto por aleaciones fundidas, la obtención de un producto con poca

necesidad de acabado superficial, la versatilidad del proceso con respecto al peso y la forma

del componente, que puede ser desde gramos hasta toneladas y formas elaboradas que no

pueden ser obtenidas por otros procesos, así como un costo competitivo de los productos

obtenidos.

El proceso de solidificación es una parte inherente de los procesos de fundición, y

durante esta se genera la estructura de colada de la pieza fundida. Puesto que diversas

piezas se usan sin tratamientos térmicos o conformado posterior, las propiedades mecánicas

de estas, que son consecuencia directa de su microestructura, deben ser controladas durante

el proceso de solidificación. (1) (2)

Los cristales dendríticos o dendritas son estructuras de no-equilibrio que persisten a lo

largo del proceso de solidificación y que están presentes en todas las piezas fundidas. Estas

consisten en cristales individuales ramificados, que presentan morfologías con

direccionalidad cristalográfica, como brazos o ramas primarias, secundarias o terciarias que

guardan relaciones angulares especiales entre ellas: los brazos primarios de una dendrita en

un sistema cúbico se desarrollan en la dirección < 100 >, con los brazos secundarios y

terciarios desarrollándose en dirección ortogonal al brazo anterior.

Las dendritas son de gran importancia en materiales fundidos debido a que establecen la

textura de solidificación y tamaño de grano en la pieza fundida, factores de influencia en las

propiedades mecánicas y procesamiento posteriores al vaciado. (3) Por ello es de gran

importancia modelar la formación y evolución de esta microestructura.

Actualmente el Método de Campo de Fases es una de las técnicas más efectivas para

modelar la evolución microestructural. La principal característica de los modelos de campo

de fases es el carácter difuso de la intercara entre dos fases, razón por la cual se llaman

1

Introducción

también ‘modelos de intercara difusa’. La intercara se describe por una transición continua,

en espacio x, de la variable de campo de fases ϕ(x,t) entre dos estados. (4)

El presente trabajo tiene el propósito de aplicar el Método de Campo de Fases al

crecimiento de cristales dendríticos en un metal puro, usando la formulación propuesta por

Kobayashi (5) para analizar los diferentes parámetros que afectan el proceso de

solidificación.

2

Consideraciones teóricas

1. Consideraciones teóricas

La forma y el tamaño de los granos en un metal puro policristalino se determinan

inicialmente por la nucleación y crecimiento que tiene lugar durante la solidificación, (6) por

lo que es necesario comprender los mecanismos de estos fenómenos.

1.1 Solidificación en metales puros La solidificación y la fusión son transformaciones entre estados cristalográficos y no-

cristalográficos de un metal o aleación. Estas trasformaciones son básicas para aplicaciones

tecnológicas como vaciado de lingotes y piezas, colada continua, crecimiento de

monocristales para semiconductores, solidificación direccionada de aleaciones compuestas,

solidificación rápida de aleaciones y vidrios, así como soldadura por fusión.

Al entenderse el mecanismo de solidificación y cómo lo afectan parámetros tales como la

distribución de temperaturas o la velocidad de enfriamiento, se puede tener control en las

propiedades mecánicas de metales vaciados y uniones soldadas. (7)

1.1.1 Nucleación en metales puros

Si un líquido se enfría debajo de su temperatura de fusión en equilibrio, Tm, existe una

fuerza motriz para la solidificación (Gl – Gs) ilustrada en la figura 1:

Figura 1. Diferencia en energía libre entre líquido y sólido cerca del punto de fusión. (7)

3


Por su presencia se esperaría que la fase líquida solidifique espontáneamente, sin

embargo este no es siempre el caso.

Por ejemplo, bajo condiciones apropiadas, el níquel puede ser sobreenfriado 250 K

debajo de Tm, 1453°C para Ni, y mantenido indefinidamente sin que ocurra transformación

alguna. La razón de este comportamiento es que la transformación comienza con la

formación de pequeñas partículas sólidas o núcleos.

Normalmente no se observan sobreenfriamientos tan grandes como 250 K, ya que en la

práctica las paredes del recipiente que contiene al líquido o las partículas sólidas de

impurezas en el líquido catalizan la nucleación del sólido a sobreenfriamientos tan bajos

como 1 K. Esto se conoce como nucleación heterogénea.

Los sobreenfriamientos grandes, mencionados antes, se obtienen cuando no hay sitios

disponibles para nucleación heterogénea, es decir, cuando los núcleos sólidos deben

formarse de forma homogénea a partir del líquido. (7)

1.1.1.1 Nucleación homogénea

La figura 2(a) muestra un volumen de líquido determinado a una temperatura ΔT debajo de

Tm, con una energía libre G1. Si algunos átomos del líquido se agrupan para formar una

pequeña esfera de sólido, figura 2 (b), la energía libre del sistema cambiará a G2, expresado

por:

𝐺𝐺2 = 𝑉𝑉𝑆𝑆𝐺𝐺𝑣𝑣𝑆𝑆 + 𝑉𝑉𝐿𝐿𝐺𝐺𝑣𝑣𝐿𝐿 + 𝐴𝐴𝑆𝑆𝐿𝐿𝛾𝛾𝑆𝑆𝐿𝐿 ( 1 )

donde VS es el volumen de la esfera sólida, VL el volumen del líquido, ASL es el área

interfacial sólido/líquido, GvS y Gv

L con las energías libres por unidad de volumen de sólido

y líquido, respectivamente, y γSL la energía libre interfacial sólido/líquido. La energía libre

del sistema sin sólido presente se describe por:

𝐺𝐺1 = (𝑉𝑉𝑆𝑆 + 𝑉𝑉𝐿𝐿) 𝐺𝐺𝑣𝑣𝐿𝐿 ( 2 )

4


Figura 2. Nucleación homogénea. (7)

La formación de sólido consiste en un cambio de energía libre ΔG = G2 – G1, donde:

𝛥𝛥𝐺𝐺 = − 𝑉𝑉𝑆𝑆 𝛥𝛥𝐺𝐺𝑣𝑣 + 𝐴𝐴𝑆𝑆𝐿𝐿𝛾𝛾𝑆𝑆𝐿𝐿 ( 3 )

𝛥𝛥𝐺𝐺𝑣𝑣 = 𝐺𝐺𝑣𝑣𝐿𝐿 − 𝐺𝐺𝑣𝑣𝑆𝑆 ( 4 )

Para un sobreenfriamiento ΔT, ΔGv se expresa como:

𝛥𝛥𝐺𝐺𝑣𝑣 =𝐿𝐿𝑣𝑣∆𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚

( 5 )

donde Lv es el calor latente de fusión por unidad de volumen.

Debajo de Tm, ΔGv es positivo. El cambio de energía asociado con la formación de un

pequeño volumen de sólido tiene una contribución negativa debida a la transformación del

sistema de un estado de líquido, con mayor energía libre, a un estado sólido, con menor

energía libre; así como una contribución positiva debida a la creación de una intercara

sólido/líquido.

5


El exceso de energía libre puede minimizarse con la elección correcta de la forma de

partícula. Si γSL es isotrópica, ésta es una esfera de radio r y la Ecuación (3) se reescribe

como: (7) (8)

𝛥𝛥𝐺𝐺𝑟𝑟 = −43𝜋𝜋𝑟𝑟3∆𝐺𝐺𝑣𝑣 + 4𝜋𝜋𝑟𝑟2𝛾𝛾𝑆𝑆𝐿𝐿 ( 6 )

Que se ilustra en la figura 3. Ya que γSL aumenta proporcionalmente a r2 y ΔGv

disminuye proporcionalmente a r3, la creación de pequeñas partículas de sólido siempre

conduce a un aumento de la energía libre, lo que hace poco probable que los núcleos se

formen y crezcan. (7) (9)

Figura 3. Cambio de energía libre asociado con la nucleación homogénea de una esfera de radio r. (7)

Es este incremento el que permite mantener la fase líquida en estado metaestable casi

indefinidamente a temperaturas debajo de Tm.

6


Dado que la contribución debida a la trasformación de un volumen, proporcional a r3,

difiere de la contribución correspondiente a la formación de la intercara, proporcional a r2,

la función ΔGr presenta un máximo en ΔG*: para un sobreenfriamiento dado hay un cierto

radio, r*, asociado al máximo exceso de energía libre que forma una barrera de energía de

activación que se opone a la cristalización, por lo que es crucial para el comportamiento de

sobreenfriamiento del metal fundido.

Si r < r* el sistema puede disminuir su energía libre con la disolución del sólido,

mientras que cuando r > r* la energía libre del sistema disminuye si el sólido crece.

Las partículas sólidas inestables con r < r* reciben el nombre de embriones, mientras que

las partículas estables con r > r* se llaman núcleos. r* es el tamaño crítico de núcleo, ya que

dG = 0 cuando r = r*, por lo que el núcleo se encuentra en equilibrio con el líquido que lo

rodea. (7) (8)

La Ecuación (6) puede diferenciarse para obtener:

𝑟𝑟∗ =2𝛾𝛾𝑆𝑆𝐿𝐿∆𝐺𝐺𝑣𝑣

( 7 )

Al sustituir la Ecuación (7) en la Ecuación (6) se obtiene:

∆𝐺𝐺ℎ𝑜𝑜𝑚𝑚∗ =16𝜋𝜋𝛾𝛾𝑆𝑆𝐿𝐿3

3∆𝐺𝐺𝑣𝑣2 ( 8 )

Al sustituir ΔGv de la Ecuación (7) en la Ecuación (5) se obtiene:

𝑟𝑟∗ = �2𝛾𝛾𝑆𝑆𝐿𝐿𝑇𝑇𝑚𝑚𝐿𝐿𝑣𝑣

�1𝛥𝛥𝑇𝑇

( 9 )

Y al sustituir la Ecuación (5) en la Ecuación (8) se obtiene:

7


∆𝐺𝐺ℎ𝑜𝑜𝑚𝑚∗ = �16𝜋𝜋𝛾𝛾𝑆𝑆𝐿𝐿3 𝑇𝑇𝑚𝑚2

3𝐿𝐿𝑣𝑣2�

1𝛥𝛥𝑇𝑇2

( 10 )

Así, r* y ΔGhom* disminuyen al aumentar el sobreenfriamiento, ΔT. (7) (9)

1.1.1.2 Nucleación heterogénea

De acuerdo a la Ecuación (9), para facilitar la nucleación a sobreenfriamientos bajos el

término de energía interfacial, γSL, debe reducirse. Dos maneras simples de lograr esto es

que el núcleo se forme en contacto con la pared del molde o con la superficie de partículas

inoculantes externas.

La figura 4 muestra un embrión sólido formándose en contacto con una pared de molde

perfectamente plana:

Figura 4. Nucleación heterogénea de una capa esférica en una pared de molde plana. (7)

Asumiendo que γSL es isotrópica se puede mostrar que para un volumen de sólido

determinado, la energía interfacial total del sistema se minimiza si el embrión tiene la

forma de una capa esférica con un ángulo de mojado θ, expresado por el balance de

tensiones interfaciales γML, γSM y γSL en la pared del molde: (7) (9)

𝛾𝛾𝑀𝑀𝐿𝐿 = 𝛾𝛾𝑆𝑆𝑀𝑀 + 𝛾𝛾𝑆𝑆𝐿𝐿𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ( 11 )

8


Reescribiendo:

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 =𝛾𝛾𝑀𝑀𝐿𝐿 + 𝛾𝛾𝑆𝑆𝑀𝑀

𝛾𝛾𝑆𝑆𝐿𝐿 ( 12 )

Debe notarse que la componente vertical de γSL permanece sin balancear. Tras un tiempo,

esta fuerza tiraría de la superficie del molde hasta que las fuerzas de tensión superficial se

balancearan en todas las direcciones. Por ello, la Ecuación (12) sólo muestra la forma

óptima del embrión.

La formación de dicho embrión se asocia a un exceso de energía libre expresado por:

∆𝐺𝐺ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 = −𝑉𝑉𝑠𝑠∆𝐺𝐺𝑣𝑣 + 𝐴𝐴𝑆𝑆𝐿𝐿𝛾𝛾𝑆𝑆𝐿𝐿 + 𝐴𝐴𝑆𝑆𝑀𝑀𝛾𝛾𝑆𝑆𝑀𝑀 − 𝐴𝐴𝑆𝑆𝑀𝑀𝛾𝛾𝑀𝑀𝐿𝐿 ( 13 )

donde Vs es el volumen de la capa esférica, ASL y ASM son las áreas de las intercaras

sólido/líquido y sólido/molde, y γSL, γSM y γML son las energías libres de las intercaras

sólido/líquido, sólido/molde y molde/líquido.

De esta manera existen tres contribuciones de energía interfacial. Las primeras dos son

positivas ya que surgen de intercaras creadas durante el proceso de nucleación. La tercera,

sin embargo, se debe a la destrucción de la intercara molde/líquido bajo la capa esférica y

resulta en una contribución negativa a la energía.

La Ecuación (13) puede escribirse en términos del ángulo de mojado, θ, y del radio de la

capa esférica, r.

∆𝐺𝐺ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒 = �−43𝜋𝜋𝑟𝑟3∆𝐺𝐺𝑣𝑣 + 4𝜋𝜋𝑟𝑟2𝛾𝛾𝑆𝑆𝐿𝐿� �

(2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)2

4� ( 14 )

Debe hacerse énfasis en que la Ecuación (14) sólo es distinta de la Ecuación (6), que

describe el cambio de energía libre necesario para que ocurra nucleación homogénea, en la

9


existencia del segundo término. Este tiene un valor numérico ≤ 1, dependiente sólo del

ángulo de mojado θ, esto es, la forma del núcleo. Por ello se denomina factor de forma.

La comparación entre ΔGhet y ΔGhom se muestra en la figura 5. Puede observarse que r* es

independiente del sitio de nucleación: (7)

Figura 5. Exceso de energía libre de embriones para nucleación homogénea y heterogénea. (7)

Al diferenciar la Ecuación (14) se puede mostrar que:

𝑟𝑟∗ =2𝛾𝛾𝑆𝑆𝐿𝐿∆𝐺𝐺𝑣𝑣

( 15 )

Al sustituir la Ecuación (15) en la Ecuación (14) se obtiene:

∆𝐺𝐺ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒∗ =16𝜋𝜋𝛾𝛾𝑆𝑆𝐿𝐿3

3∆𝐺𝐺𝑣𝑣2∙

(2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)2

4 ( 16 )

10


Por lo que la barrera de energía de activación opuesta a la nucleación heterogénea ΔG*het

es menor que aquella para nucleación homogénea, ΔG*hom, debido al factor de forma. El

radio crítico de núcleo, r*, no se afecta por la pared del molde y sólo depende del

sobreenfriamiento. Un núcleo que crece se vuelve estable cuando alcanza un radio r0 =

1.5r*. Una vez que este ha crecido más allá de r0, la cristalización comienza.

Al combinar las Ecuaciones (16) y (8), se obtiene: (7) (8) (9)

∆𝐺𝐺ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒∗ = �(2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)(1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐)2

4� ∆𝐺𝐺ℎ𝑜𝑜𝑚𝑚∗ ( 17 )

El efecto del sobreenfriamiento en ΔG*het y ΔG*

hom se ilustra en la Figura 6:

Figura 6. Variación de ΔG* con respecto al sobreenfriamiento, ΔT, para

nucleación homogénea y heterogénea. (7)

Como se puede ver en la figura 6, la nucleación heterogénea es posible a

sobreenfriamientos mucho más bajos que los necesarios para que ocurra nucleación

homogénea. (7)

11


1.1.2 Crecimiento y microestructura dendrítica

La solidificación de metales es un proceso controlado por difusión. En metales puros, la

velocidad de solidificación y la distribución de temperaturas en la zona circundante al

núcleo están controladas por la velocidad a la cual el calor latente de solidificación puede

conducirse lejos de la intercara sólido/líquido. (7) (9)

La conducción se puede dar ya sea a través del sólido o del líquido, dependiendo de los

gradientes de temperatura en la intercara.

La figura 7 muestra un sólido con una intercara plana creciendo a una velocidad v hacia

un líquido sobrecalentado. El flujo de calor hacia el exterior de la intercara a través del

sólido debe balancear el flujo desde el líquido además del calor latente generado en la

intercara:

𝐾𝐾𝑆𝑆𝑇𝑇𝑆𝑆′ = 𝐾𝐾𝐿𝐿𝑇𝑇𝐿𝐿′ + 𝑣𝑣𝐿𝐿𝑣𝑣 ( 18 )

donde K es la conductividad térmica, T’ es el gradiente de temperatura, dT/dx, los

subíndices S y L significan sólido y líquido, v es la velocidad de crecimiento del sólido y Lv

es el calor latente de fusión por unidad de volumen.

Cuando un sólido crece hacia un líquido sobrecalentado, una intercara plana

sólido/líquido es estable, como se muestra en la figura 7:

Figura 7. (a) Distribución de temperatura para solidificación cuando el calor se extrae a través del

sólido. Isotermas (b) para una intercara plana S/L y (c) para una protuberancia. (7) 12


Si como resultado de un incremento local en v, se forma una pequeña protuberancia en la

intercara, figura 7 (c), y la intercara de ésta se mantiene a Tm, el gradiente de temperatura en

el líquido frente al nódulo incrementará, mientras que el gradiente del sólido disminuye.

Como consecuencia, se conducirá más calor hacia la protuberancia y menos hacia el

exterior de ésta, por lo que la velocidad de crecimiento de la protuberancia será menor que

la velocidad en las zonas planas, y la protuberancia desaparecerá.

El resultado es distinto para un sólido creciendo hacia un líquido sobreenfriado debajo de

Tm, figura 8. Si se forma una protuberancia en el sólido, el gradiente de temperatura

negativo en el líquido se vuelve aún más negativo. Por ello, el calor se extrae con mayor

eficiencia desde la punta de la protuberancia que desde las regiones circundantes,

permitiendo que ésta crezca preferentemente. Una intercara sólido/líquido avanzando

dentro de un líquido sobreenfriado es inherentemente inestable.

Figura 8. Lo expuesto en la figura 7, con conducción de calor hacia el líquido. (7)

Esta situación se puede presentar al comienzo de la solidificación si ocurre nucleación en

las partículas de impurezas en el seno del líquido y se forma una protuberancia: ya que se

necesita un determinado sobreenfriamiento antes de que la nucleación pueda ocurrir en el

resto del líquido, las primeras partículas sólidas crecerán hacia el líquido sobreenfriado y el

calor latente de solidificación será conducido hacia el líquido. (7)

El líquido, al conducir el calor latente de las protuberancias, elevará su temperatura, con

lo que se formará una estructura de protuberancias y líquido entre ellas. Este último sólo

13


podrá solidificarse por medio de la conducción de calor a través del sólido, como se

muestra en la figura 7, cuando las paredes del molde y las protuberancias sólidas tengan

menor temperatura que el líquido.

Si la nucleación ocurre en las paredes del molde y el líquido no está subenfriado, se

presentará una zona pequeña de estructuras de protuberancias cerca de la pared, donde el

líquido está sobreenfriado. (6) (7)

Cuando r alcanza el radio crítico necesario para que suceda la nucleación, r*, cualquier

inestabilidad morfológica provoca que la intercara esférica se vuelva inestable a

alteraciones espaciales continuas, favoreciendo el crecimiento de protuberancias en la

intercara. Debido a que el crecimiento de protuberancias se favorece si el calor latente se

conduce hacia el líquido, una partícula originalmente esférica desarrollará brazos en varias

direcciones como se muestra en la figura 9: (7) (10)

Figura 9. Desarrollo de dendritas térmicas: (a) núcleo esférico; (b) comienzo de inestabilidad en la

intercara; (c) desarrollo de brazos primarios en direcciones cristalográficas;

(d) desarrollo de brazos secundarios y terciarios. (7) 14


El crecimiento tras la nucleación se favorece en la dirección de la extracción de calor,

perpendicular a la intercara sólido/líquido, formando una estructura de brazos primarios,

también llamada estructura celular. Posteriormente se da una transición de estructura

celular a estructura dendrítica, figura 10, acompañada de un cambio en la dirección de

crecimiento a las direcciones preferenciales de cada sistema cristalino, debido a que al

incrementarse la velocidad de solidificación, el requerimiento para el transporte atómico es

más alto y este es alcanzado con mayor facilidad en las direcciones preferenciales de cada

estructura, por ejemplo: < 100 > en metales cúbicos y < 11�00 > en metales hexagonales

compactos. (2) (7)

A la vez que los brazos primarios se alargan, su sección transversal cambia de forma

circular a la de una cruz. Posteriormente sus superficies se vuelven inestables y se

descomponen en brazos secundarios e incluso terciarios. Esta estructura se conoce como

dendrita, que se deriva de la palabra griega para árbol, δενδρων. (2) (3) (7)

Figura 10. Cambio secuencial de la morfología de la intercara a medida que la velocidad de

solidificación aumenta: (a) Célula creciendo en la dirección de la extracción de calor;

(b) Célula creciendo en la dirección <100> (c) Transición célula/dendrita

(d) Dendrita. (11)

15


En la punta de una dendrita en crecimiento la situación es distinta de aquella presentada

para una intercara plana, ya que el calor puede disiparse de la punta de la dendrita en tres

dimensiones. Si se asume que el sólido es isotérmico, T’S = 0, y que el gradiente negativo

de temperatura T’L es aproximadamente igual a ΔTc / r, donde es la diferencia entre la

temperatura de la intercara, Ti, y la temperatura del líquido sobreenfriado lejano a la

dendrita, T∞, como se muestra en la figura 11, y se sustituyen ambas condiciones en la

Ecuación (18) se obtiene:

𝑣𝑣 =−𝐾𝐾𝐿𝐿𝑇𝑇𝐿𝐿′

𝐿𝐿𝑣𝑣≈𝐾𝐾𝐿𝐿𝐿𝐿𝑣𝑣

∙∆𝑇𝑇𝑟𝑟

( 19 )

Por lo que, para un determinado sobreenfriamiento, el crecimiento será rápido para

valores pequeños de r debido a la mejora de la conductividad térmica a medida que r

disminuye. (7)

Figura 11. Distribución de temperaturas en la punta de una dendrita térmica en crecimiento. (7)

16


La microestructura dendrítica es posiblemente la microestructura más común, estando

presente en todas las piezas fundidas macroscópicas así como en las transformaciones de

estado sólido. De hecho, sólo se puede evitar si se usan limitantes de velocidad o

sobreenfriamiento.

Si un material que presenta una microestructura dendrítica gruesa es re-procesado, se

agrietará o presentará defectos. Por ello es deseable obtener una microestructura lo

suficientemente fina para permitir re-procesamiento sin defectos. En cualquier caso, habrá

remanentes de la estructura dendrítica en las piezas re-procesadas. (10) (12)

1.1.2.1 Anisotropía en crecimiento dendrítico

La anisotropía de la cinética de crecimiento de cristales se origina en la tensión superficial,

en el transporte de calor y en los procesos microscópicos en la intercara, y puede causar que

la morfología de un cristal en crecimiento cambie.

Diversos experimentos y cálculos en sistemas con elementos puros y propiedades

superficiales isotrópicas muestran que en una orientación correspondiente a la punta de una

perturbación en la forma inicial del cristal, un punto de máxima curvatura en la forma

inicial, la curvatura de la intercara puede disminuir e incluso volverse negativa a medida

que la intercara crece, como se muestra en la figura 12:

Figura 12. Patrón de evolución espacial para una secuencia de separación de puntas

obtenido en las simulaciones de Kessler, Koplik y Levine. (13) 17


Este fenómeno se conoce como separación de puntas, y se presenta a valores mínimos de

anisotropía. Se requiere un valor crítico de anisotropía cristalina para que las puntas de los

cristales dendríticos sean estables y no se presente separación de las mismas.

La figura 12 muestra una de las simulaciones de crecimiento dendrítico obtenidas por

Kessler, Koplik y Levine con un modelo geométrico, considerando condiciones isotrópicas.

Cada contorno representa una etapa de tiempo, y se puede observar que a medida que el

tiempo transcurre, las puntas de la dendrita tienden a hacerse cóncavas y a formar dos

puntas redondeadas, es decir, a separarse.

Al aumentar el valor de la anisotropía, aumenta el número de brazos emitidos antes de

que ocurra la separación de puntas. Si el valor de anisotropía es igual al valor crítico, la

formación de brazos se estabiliza y el sistema es capaz de formar brazos secundarios. Así,

el valor crítico de tensión superficial anisotrópica puede evitar que la punta del cristal

dendrítico se vuelva negativa o cóncava en la orientación donde se presenta la separación

de puntas. (14) (13)

La figura 13 muestra una de las simulaciones obtenidas por Brush y Sekerka (14) con un

modelo de crecimiento de cristales, considerando tensión superficial isotrópica. Es evidente

la similitud entre esta figura y la presentada por Kessler, Koplik y Levine. (13)

Figura 13. Crecimiento de un cristal en el cual se observa separación de puntas

obtenido en las simulaciones de Brush y Sekerka. (14)

18


El fenómeno de separación de puntas se demostró experimentalmente por Ben-Jacob y

colaboradores (15) mediante un experimento en el cual se observa la formación de patrones

en la intercara entre dos líquidos inmiscibles, y donde el efecto de la anisotropía se incluye

en el experimento al llevarse a cabo sobre una superficie ranurada que forma una retícula.

La figura 14 muestra el patrón de separación de puntas obtenido por Ben-Jacob y

colaboradores (15) con bajos valores de anisotropía.

Figura 14. Patrón de separación de puntas formado en la experimentación

de Ben-Jacob y colaboradores. (15)

1.2 Método de Campo de Fases La solidificación de un metal puro se modela tradicionalmente usando una serie de

ecuaciones que describen el avance del frente de solidificación, que se limita por la difusión

de calor latente al exterior de la intercara sólido/líquido y por la habilidad de la intercara de

mantener dos condiciones límite:

• El flujo de calor hacia un lado de la intercara se balancea con un flujo de calor

equivalente lejos del lado contrario.

• La temperatura en la intercara experimenta una corrección debida a la curvatura,

conocida como condición de Gibbs-Thomson.

19


Estas condiciones se expresan matemáticamente por el modelo de intercara definida

conocido como Problema de Stefan:

𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝜕𝜕

= ∇ ∙ �𝐾𝐾𝜌𝜌𝑐𝑐𝜌𝜌

∇𝑇𝑇� ≡ ∇ ∙ (𝐷𝐷∇𝑇𝑇) ( 20 )

𝜌𝜌𝐿𝐿𝑓𝑓𝑉𝑉𝑛𝑛 = 𝐾𝐾𝑆𝑆∇𝑇𝑇 ∙ 𝑛𝑛�⃑ |𝑖𝑖𝑛𝑛𝑒𝑒𝑆𝑆 − 𝐾𝐾𝐿𝐿∇𝑇𝑇 ∙ 𝑛𝑛�⃑ |𝑖𝑖𝑛𝑛𝑒𝑒𝐿𝐿 ( 21 )

𝑇𝑇𝑖𝑖𝑛𝑛𝑒𝑒 = 𝑇𝑇𝑚𝑚 − �𝛶𝛶𝑇𝑇𝑀𝑀𝜌𝜌𝐿𝐿𝑓𝑓

� 𝜅𝜅𝑆𝑆𝑆𝑆 −𝑉𝑉𝑛𝑛𝜇𝜇

( 22 )

donde T ≡ T(x,t) denota la temperatura, K la conductividad térmica, con subíndices S y L

para el sólido y el líquido, respectivamente, ρ la densidad del sólido y del líquido, cp el

calor específico a presión constante, D el coeficiente de difusión térmica, Lf el calor latente

de fusión por masa de solidificación, ϒ la energía de la superficie sólido/líquido, Tm la

temperatura de fusión, κSL la curvatura local de la intercara sólido/líquido, Vn la velocidad

normal local de la intercara y μ la movilidad atómica local de la intercara. El subíndice int

se refiere a la intercara y los superíndices S y L se refieren a la evaluación en la intercara en

el lado del sólido y del líquido, respectivamente. (12)

El Problema de Stefan es un problema de frontera libre, en el cual se busca una solución

u a una ecuación diferencial parcial en un dominio, con una parte desconocida Γ de su

frontera. Así, se deben determinar u y Γ. Adicionalmente a las condiciones frontera de un

dominio desconocido, se debe indicar una condición en la frontera libre. Si se considera la

fusión de hielo, la temperatura satisface la ecuación de calor en la región de líquido, y sin

embargo esta región, o la intercara sólido/líquido, se desconoce y debe determinarse a la

vez que la temperatura dentro de la región del líquido. (16)

La manera clásica de resolver un problema de frontera libre es por medio de un modelo

con una intercara de espesor igual a cero, es decir, una intercara definida. En él, una

discontinuidad clara en propiedades o una variación en los flujos y funciones

termodinámicas ocurre a través de la intercara. Las propiedades interfaciales de la

transformación de solidificación (como de otras transformaciones limitadas por difusión)

20


pueden describirse por ecuaciones de intercara definida análogas al Problema de Stefan, sin

embargo, existen varias limitantes al modelar problemas de frontera libre mediante modelos

de intercara definida:

• El modelo de intercara definida apropiado no se conoce para muchos fenómenos.

• La simulación numérica es de extrema dificultad debido a las interacciones

complejas entre intercaras complicadas, que se someten a unión y constricción

durante una transformación de fase.

• Los códigos numéricos son largos y complejos, especialmente en tres dimensiones.

Como alternativa, surgió el método de campo de fases, una técnica relativamente nueva

de modelado de evolución microestructural caracterizada por considerar un espesor de

intercara finito, cuyo uso ha ido en incremento debido a sus orígenes fundamentales y a que

evita algunos de los problemas asociados con los modelos de intercara definida. (4) (8)

El método de campo de fases incluye además del campo de temperaturas usual, un

campo continuo denominado campo de fases o parámetro de orden. Este campo asume

valores constantes en el interior de cada fase, interpolando continuamente entre sus valores

en cada fase a través de una capa límite delgada, usada para describir la intercara entre

fases; es decir, permite bosquejar la intercara en una región difusa. Por ello, a los modelos

usados en el método de campo de fases se les conoce también como modelos de intercara

difusa. (4) (12)

Un parámetro de orden es una cantidad que parametriza el cambio de simetría de una

fase madre, desordenada en el caso del líquido a solidificar, a una fase hija, ordenada en el

caso del sólido formado, que aparece tras la transformación. Por ello, el campo de fases

puede verse como un parámetro que describe el grado de cristalinidad u orden o desorden

atómico dentro de una fase. Puede ser visto también como un parámetro que proporciona

una descripción fundamental de una intercara atómica difusa. (12)

1.3 Formulación de Kobayashi La formulación propuesta por Kobayashi (4) (5) (17) consiste en un modelo de campo de fases

para simular la formación de estructuras dendríticas en metales puros, formadas según el

balance de la tensión superficial y la fuerza motriz termodinámica, sobreenfriamiento,

21


tomando en cuenta la anisotropía de energía interfacial, que afecta drásticamente la forma

de los cristales. (5) (17)

Al simular la solidificación de metales puros, se considera que la velocidad de

crecimiento de los cristales está limitada sólo por el proceso de extracción de calor de la

intercara, que mantiene la temperatura interfacial debajo de la temperatura de equilibrio.

El modelo incluye dos variables: un campo de fases ϕ(x,t) y un campo de temperaturas

T(x,t). La variable de campo de fases ϕ(x,t) es un parámetro de orden. En la posición x y el

tiempo t, ϕ = 0 indica la existencia de fase líquida y ϕ = 1 indica la existencia de fase

sólida. La intercara sólido/líquido se expresa por una transición suave de los valores entre 0

y 1. (4) (5)

Se considera que la energía libre es del tipo Ginzburg-Landau:

𝐺𝐺(𝜙𝜙,𝑚𝑚) = �12𝜀𝜀2|∇𝜙𝜙|2 + 𝐹𝐹(𝜙𝜙,𝑚𝑚)𝑑𝑑𝒙𝒙 ( 23 )

donde ε es un parámetro que determina el espesor de la capa y la movilidad de la intercara.

La anisotropía se incluye en el modelo al asumir que ε depende de la dirección del vector

normal externo en la intercara (representado por -∇ϕ). Así, la Ecuación (23) se modifica:

𝐺𝐺(𝜙𝜙,𝑚𝑚) = � 12𝜀𝜀(−∇𝜙𝜙)2|∇𝜙𝜙|2 + 𝐹𝐹(𝜙𝜙,𝑚𝑚)𝑑𝑑𝒙𝒙 ( 24 )

El valor de ε se puede determinar mediante la relación:

𝜀𝜀 = 𝜀𝜀�̅�𝜎(𝑐𝑐) ( 25 )

donde 𝜀𝜀 ̅representa el valor promedio de ε y σ(θ) la anisotropía, que a su vez se expresa por:

𝜎𝜎(𝑐𝑐) = 1 + 𝛿𝛿𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛿𝛿(𝑐𝑐 − 𝑐𝑐𝑜𝑜) ( 26 )

22


donde el parámetro δ se refiere a la magnitud de anisotropía, j al número de simetría de

anisotropía y θ es un ángulo entre el vector normal externo en la intercara y una dirección

determinada. El valor de (θ – θ0) se asigna a cada valor de ∇ϕ.

Se considera que la energía libre F(ϕ,m) reproduce una función potencial de doble pozo,

donde un pozo representa la fase líquida y otro la fase sólida, que se expresa

matemáticamente como:

𝐹𝐹(𝜙𝜙,𝑚𝑚) =14𝜙𝜙4 − �

12−

13𝑚𝑚�𝜙𝜙3 + �

14−

12𝑚𝑚�𝜙𝜙2 ( 27 )

donde m representa la fuerza motriz para la solidificación y su valor absoluto es menor a

0.5. (5)

La ecuación diferencial parcial de Allen-Cahn (18) a resolver es:

𝜏𝜏𝜕𝜕𝜙𝜙𝜕𝜕𝜕𝜕

= −𝜕𝜕𝐺𝐺𝜕𝜕𝜙𝜙

( 28 )

donde τ es una constante positiva que fija la escala temporal. Al sustituir la Ecuación (27)

en la Ecuación (24) y el resultado en la Ecuación (28), se obtiene la siguiente ecuación

diferencial, que representa la evolución de la intercara y es una de las ecuaciones a resolver

en el modelo:


= −𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

�𝜀𝜀𝜀𝜀′𝜕𝜕𝜙𝜙𝜕𝜕𝜕𝜕� +

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

�𝜀𝜀𝜀𝜀′𝜕𝜕𝜙𝜙𝜕𝜕𝜕𝜕� + ∇ ∙ (𝜀𝜀2∇𝜙𝜙)

+ 𝜙𝜙(1 − 𝜙𝜙) �𝜙𝜙 −12

+ 𝑚𝑚� ( 29 )

donde ε’ es la primera derivada de ε con respecto a θ. La fuerza motriz m se define como:

23


𝑚𝑚(𝑇𝑇) = �𝛼𝛼𝜋𝜋� atan{𝛾𝛾(𝑇𝑇𝑒𝑒 − 𝑇𝑇)} ( 30 )

donde α es una constante positiva menor a 1, requisito para que se cumpla la condición

previamente mencionada de |m| < 0.5 en todos los valores de T, γ es un parámetro

adimensional y Te y T son las temperaturas de equilibrio y enfriamiento, respectivamente.

La ecuación para la temperatura adimensional T como una función del tiempo

adimensional t, que es la segunda ecuación a resolver en el modelo, se deriva de la ley de la

conservación de la energía y se expresa como:

𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝜕𝜕

= ∇2𝑇𝑇 + 𝜅𝜅𝜕𝜕𝜙𝜙𝜕𝜕𝜕𝜕

( 31 )

donde κ es el calor latente adimensional. La temperatura T varía entre 0 y 1, que

corresponden a las temperaturas de enfriamiento y equilibrio, respectivamente. Las

soluciones a las Ecuaciones (29) y (31) producen resultados equivalentes. (4) (5)

1.4 Método de Diferencias Finitas El primer paso de toda simulación es proponer el problema física, química o

termodinámicamente en la forma de un formalismo matemático, que incluye

frecuentemente una serie de ecuaciones diferenciales parciales.

En la mayoría de los casos el problema es no lineal y no existe una solución analítica, por

lo que la resolución de dichas ecuaciones es complicada. Por ello, se recurre a un método

numérico para obtener la solución.

Entre los métodos numéricos desarrollados hasta ahora, el Método de Diferencias Finitas

es el más simple y de más fácil implementación en un lenguaje de programación. (19)

El principio que emplea el Método de Diferencias Finitas para resolver ecuaciones es la

sustitución de las derivadas en las ecuaciones diferenciales parciales, ya sean derivadas

temporales o espaciales, por una expresión de diferencia apropiada, encargada de

aproximarlas. (20)

Dicha expresión es calculada mediante diferencias entre los valores de una función en

puntos determinados, llamados nodos, de una malla. 24


Si se considera una serie de nodos en una malla regular, el espaciado puede ser

expresado por:

ℎ =𝐿𝐿

𝑁𝑁 + 1 ( 32 )

donde (N + 1) es el número de intervalos en que está dividida la longitud L. En ella se

pretende calcular los valores de una función, c(xk), en los N puntos internos del dominio. La

función c(x) puede ser expandida en una serie de Taylor alrededor de los puntos xk de la

malla:

𝑐𝑐(𝜕𝜕) = 𝑐𝑐(𝜕𝜕𝑘𝑘) + �𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝜕𝜕�𝑥𝑥𝑘𝑘

(𝜕𝜕 − 𝜕𝜕𝑘𝑘) + �𝑑𝑑2𝑐𝑐𝑑𝑑𝜕𝜕2

�𝑥𝑥𝑘𝑘

(𝜕𝜕 − 𝜕𝜕𝑘𝑘)2

2!

+ �𝑑𝑑3𝑐𝑐𝑑𝑑𝜕𝜕3

�𝑥𝑥𝑘𝑘

(𝜕𝜕 − 𝜕𝜕𝑘𝑘)3

3!+ ⋯

( 33 )

Si se adopta la siguiente nomenclatura:

𝑐𝑐𝑘𝑘 = 𝑐𝑐(𝜕𝜕𝑘𝑘) ( 34 )

𝑐𝑐𝑘𝑘±1 = 𝑐𝑐(𝜕𝜕𝑘𝑘±1) ( 35 )

𝑐𝑐𝑘𝑘′ = �𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝜕𝜕�𝑥𝑥𝑘𝑘

( 36 )

𝑐𝑐𝑘𝑘′′ = �𝑑𝑑2𝑐𝑐𝑑𝑑𝜕𝜕2

�𝑥𝑥𝑘𝑘

( 37 )

𝑐𝑐𝑘𝑘′′′ = �𝑑𝑑3𝑐𝑐𝑑𝑑𝜕𝜕3

�𝑥𝑥𝑘𝑘

( 38 )

los valores de c(x) en los nodos a la derecha e izquierda del nodo k están dados por: 25


𝑐𝑐𝑘𝑘+1 = 𝑐𝑐𝑘𝑘 + 𝑐𝑐𝑘𝑘′ ℎ + 𝑐𝑐𝑘𝑘′′ℎ2

2+ 𝑐𝑐𝑘𝑘′′′

ℎ3

6+ 𝑂𝑂(ℎ4) ( 39 )

𝑐𝑐𝑘𝑘−1 = 𝑐𝑐𝑘𝑘 − 𝑐𝑐𝑘𝑘′ ℎ + 𝑐𝑐𝑘𝑘′′ℎ2

2− 𝑐𝑐𝑘𝑘′′′

ℎ3

6+ 𝑂𝑂(ℎ4) ( 40 )

Al combinar linealmente estas dos ecuaciones, se obtienen las aproximaciones de la

primera y segunda derivada para todos los puntos k de la malla:

𝑐𝑐𝑘𝑘+′ =𝑐𝑐𝑘𝑘+1 − 𝑐𝑐𝑘𝑘

ℎ+ 𝑂𝑂(ℎ) ( 41 )

𝑐𝑐𝑘𝑘−′ =𝑐𝑐𝑘𝑘 − 𝑐𝑐𝑘𝑘−1

ℎ+ 𝑂𝑂(ℎ) ( 42 )

𝑐𝑐𝑘𝑘′ =𝑐𝑐𝑘𝑘+1 − 𝑐𝑐𝑘𝑘−1

2ℎ+ 𝑂𝑂(ℎ2) ( 43 )

𝑐𝑐𝑘𝑘′′ =𝑐𝑐𝑘𝑘+1 − 2𝑐𝑐𝑘𝑘 + 𝑐𝑐𝑘𝑘−1

ℎ2+ 𝑂𝑂(ℎ2) ( 44 )

Los subíndices + y – se usan para distinguir la derivada central de la derivada de la

derecha y de la derivada de la izquierda, respectivamente.

Las Ecuaciones (41) y (42) tienen precisión de orden h, es decir, al sustituir las derivadas

por alguna de las expresiones de diferencia, el error cometido al truncar la serie de Taylor

tiende a cero de forma proporcional a h cuando el número de nodos tiende al infinito. Así,

si el espaciamiento entre nodos h se divide entre dos, el error de truncamiento también se

divide entre dos, y se gana precisión en los cálculos.

En el caso de las Ecuaciones (43) y (44), que tienen precisión de orden h2, al dividir el

espaciamiento de nodos entre dos, el error de truncamiento se divide entre cuatro.

La primera derivada de una función con respecto al tiempo puede aproximarse al

modificar la Ecuación (41):

26


𝑐𝑐𝑒𝑒+′ =𝑐𝑐𝑘𝑘𝑒𝑒+1 − 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑒𝑒

∆𝜕𝜕+ 𝑂𝑂(∆𝜕𝜕) ( 45 )

No es posible aproximarla con la Ecuación (42), debido a que la condición previa a la

condición inicial de la función es desconocida.

La Ecuación (45), con precisión de orden Δt, permite calcular valores en las etapas de

tiempo t + 1, y es llamada una aproximación hacia adelante.

Si como ejemplo se pretende encontrar una solución numérica a una ecuación general de

flujo conservativo:

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= −𝑉𝑉𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

( 46 )

donde V es una constante, usando las aproximaciones correspondientes a las Ecuaciones

(43) y (45), la Ecuación (46) puede expresarse como:

𝑐𝑐𝑘𝑘𝑒𝑒+1 − 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑒𝑒

∆𝜕𝜕= −𝑉𝑉 �

𝑐𝑐𝑘𝑘+1𝑒𝑒 − 𝑐𝑐𝑘𝑘−1𝑒𝑒

2ℎ� ( 47 )

que puede ser reescrita como:

𝑐𝑐𝑘𝑘𝑒𝑒+1 = 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑒𝑒 −𝑉𝑉∆𝜕𝜕2ℎ

(𝑐𝑐𝑘𝑘+1𝑒𝑒 − 𝑐𝑐𝑘𝑘−1𝑒𝑒 ) ( 48 )

Si se pretende resolver numéricamente una ecuación de difusión:

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

= −𝐷𝐷𝜕𝜕2𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕2

( 49 )

la aproximación puede expresarse como:

27


𝑐𝑐𝑘𝑘𝑒𝑒+1 = 𝑐𝑐𝑘𝑘𝑒𝑒 −𝐷𝐷∆𝜕𝜕ℎ2

(𝑐𝑐𝑘𝑘+1𝑒𝑒 − 2𝑐𝑐𝑘𝑘𝑒𝑒 + 𝑐𝑐𝑘𝑘−1𝑒𝑒 ) ( 50 )

A las Ecuaciones (48) y (50), representadas gráficamente en la figura 15, se les conoce

como el Método Explícito de Diferencias Finitas. (19) (20) (21)

Figura 15. Representación gráfica del Método Explícito de Diferencias Finitas: (a) Aproximación

para una ecuación diferencial parcial de primer orden (b) Aproximación para

una ecuación diferencial parcial de segundo orden. (21)

28

Metodología numérica

2. Metodología numérica

Para simular la evolución de la microestructura dendrítica, se usó un código en

FORTRAN llamado “Dendrite.f95”, en el cual, las Ecuaciones (29) y (31) se resolvieron

simultáneamente en dos dimensiones usando el Método Explícito de Diferencias Finitas

utilizando una malla de 301 x 301 nodos.

Las etapas de distancia Δx y de tiempo Δt elegidas fueron 0.03 unidades de distancia y

2x10-4 unidades de tiempo, respectivamente. Los valores seleccionados para los parámetros

restantes en las distintas simulaciones se resumen en la tabla 1.

Tabla 1. Parámetros de la formulación de Kobayashi usados durante las simulaciones

Parámetro Valor

𝜺𝜺� 0.01

δ 0.00, 0.02, 0.05, 0.08

j 0.0, 4.0, 6.0

m 1.0

α 0.9

γ 10.0

τ 0.0003

κ 1.0, 1.5, 1.8, 2.2

Los archivos de datos generados por el programa Dendrite.f95 posteriormente se

graficaron y se usaron para crear secuencias de video.

En cada nueva simulación se modificaron las condiciones iniciales de magnitud de

anisotropía, δ, número de simetría de anisotropía, j, y calor latente adimensional, κ, a fin de

simular las condiciones indicadas en la tabla 1.

Se modificaron las condiciones de un parámetro a la vez, δ constante y κ variable o lo

opuesto, usando condiciones de δ = 0.02 y κ = 1.8 cuando éstos son el parámetro constante;

y se simularon dichas condiciones para dos estructuras cristalinas, cúbica y hexagonal, para

lo cual se usó un valor de j = 4.0 y j = 6.0, respectivamente. 29


La figura 16 muestra la metodología seguida para obtener imágenes y secuencias de

video para cada simulación.

Metodología Numérica

Escritura del programa Dendrite.f95

Compilación en Lahey ED Developer

Ejecución del programa (creación de archivos .DAT)

¿Condiciones actualizadas?

Sí

No

Importación de archivos .DAT como hojas de matriz en OriginPro 9.1

¿Existen errores?

No

Ejecución de rutina personalizada para generación de gráficas

Exportación de gráficas como archivos de imagen

Importación de archivos de imagen en Adobe Premier Pro CC 2015

Ajuste de duración de todas las imágenes a 00:00:00:01

Creación de una secuencia con las imágenes

Interpretación de resultados

Sí

Figura 16. Diagrama de flujo correspondiente a la simulación de la solidificación en

metales puros por el método de campo de fases. 30


Para crear el código del programa Dendrite.f95 se usó FORTRAN 95 como lenguaje de

programación y el software Lahey ED Developer versión 3.80 como compilador. El código

se incluye como apéndice en este trabajo.

El programa consiste de los siguientes elementos:

• Un módulo “mdata” para almacenar la información sobre las variables a usar, a fin

de poder ser usada en las distintas subrutinas del programa.

• Una subrutina “initial” donde se indican las condiciones iniciales de la simulación:

valores de variables y posición de núcleos.

• Una subrutina “gradandlaplace” cuya función es calcular las variables y operadores

necesarios para la resolución de las ecuaciones.

• Una subrutina “evolution” usada para la resolución de las ecuaciones.

• Una subrutina “printdata” encargada de la generación de archivos de datos (con

formato .DAT) donde se almacena la información de la evolución cada vez que se

cumplen 20 ciclos del programa.

Tras cada ejecución del programa se obtuvieron 500 archivos de datos para cada campo,

ϕ y T, debido a que el programa ejecuta 10000 ciclos y se crea un archivo de datos

únicamente de los ciclos múltiplos de 20.

A fin de poder analizar la evolución microestructural, los archivos de datos generados

por el programa deben transformarse en gráficas y posteriormente en secuencias de video.

Para estos fines se usaron los softwares OriginPro 9.1 y Adobe Premiere Pro CC 2015,

respectivamente.

Para graficar la información guardada en los archivos de datos se empleó la siguiente

serie de pasos en OriginPro 9.1:

i. Abrir un nuevo libro de matrices dando clic el ícono “New Matrix” en la barra de

herramientas.

ii. Abrir el menú de importación de archivos ASCII dando clic en el ícono “Import

Multiple ASCII” en la barra de herramientas. Una vez abierto este menú,

seleccionar los archivos a importar y dar clic en “Add Files” y posteriormente en

“OK”.

iii. En el cuadro de diálogo que se abre al ejecutar la orden anterior, seleccionar la

opción “Start New Sheets” en el menú “Import Mode” y dar clic en “OK”, lo que 31


comenzará la traducción de los archivos ASCII a matrices, almacenando los datos

en hojas consecutivas de un mismo libro.

iv. Iniciar la rutina personalizada, que se encargará de graficar cada hoja de matriz en

el proyecto, dando clic en el ícono “Custom Routine” en la barra de herramientas.

La rutina programada consiste en el siguiente código, escrito en el lenguaje

LabTalk, desarrollado para crear rutinas en Origin:

doc -e LB {plotm im:=<active> plot:=PlotTypeID ogl:=<new

template:=TemplateName>;}

en ella, debe reemplazarse el texto “PlotTypeID” por un número de tres cifras

característico de cada tipo de gráfica en Origin, “226” para las gráficas usadas en

este trabajo, y el texto “Template Name” por el nombre de una plantilla creada

previamente, que contiene el formato de las gráficas a generar, “Dendrite” en este

trabajo.

Este código debe haber sido designado previamente como la rutina personalizada,

seleccionando la opción “Script Window” en el menú “Window”, y seleccionando

la opción “Open” en el menú “File(Text)” para posteriormente seleccionar el

archivo Custom.ogs y reemplazar el contenido de este por el código de la rutina

creada.

v. Seleccionar la opción “Export Graphs” en el menú “File”. En el cuadro de diálogo

que se abre, seleccionar el formato de salida y la resolución de la imagen: en este

trabajo se eligieron imágenes .png con 300 DPI. Al dar clic en “OK”, se exportan

los archivos de imagen.

32

Resultados

3. Resultados

Los resultados que se presentan a continuación representan el crecimiento simulado de

cristales individuales, cuya nucleación fue heterogénea sobre la superficie de una partícula

de impureza localizada en el centro de la malla. Se considera que el metal solidifica a partir

de líquido estático, es decir, en ausencia de convección.

En las simulaciones se presenta el efecto del cambio en tres variables: magnitud de

anisotropía cristalina, δ, que representa la simulación de metales solidificándose bajo

distintas condiciones de tensión superficial, transporte de calor y de interacción entre su

intercara y el entorno; calor latente adimensional, κ, que representa la simulación de

metales con distintos calores latentes de fusión; y número de simetría de anisotropía, j, que

representa la simulación de metales con diferentes simetrías de crecimiento, es decir,

distintas estructuras cristalinas.

3.1 Simulaciones de simetría de anisotropía perfecta En esta sección se incluyen las simulaciones que corresponden a los casos ideales de

cristales que se solidifican con simetría de anisotropía perfecta, es decir, sin direcciones

preferenciales de crecimiento características de alguna estructura cristalina. Las

condiciones usadas en las simulaciones correspondientes a esta sección se resumen en la

tabla 2.

Tabla 2. Condiciones usadas para las simulaciones de simetría de anisotropía perfecta

Número de Figura

Magnitud de

Anisotropía

Cristalina ( δ )

Calor Latente

Adimensional ( κ )

Número de

Simetría de

Anisotropía ( j )

17 0.000 1.0 0.0

17 0.020 1.0 0.0

18 0.000 1.8 0.0

18 0.020 1.8 0.0

La figura 17 muestra las simulaciones donde el calor latente adimensional, κ, es unitario. 33

Resultados

Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 17 muestran la evolución de un cristal poligonal

simulado bajo condiciones de simetría de anisotropía perfecta e isotropía cristalina, que

presenta geometría casi circular.

Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 17 muestran la evolución de un cristal poligonal

simulado bajo condiciones de simetría de anisotropía perfecta y baja anisotropía cristalina,

δ = 0.020. A pesar del valor de anisotropía distinto a cero con el que se simuló, no se

aprecian cambios en la geometría del cristal.

Es evidente que ambos cristales presentan altas velocidades de crecimiento, ya que a un

tiempo de 0.32, casi todo el líquido disponible ha solidificado.

Figura 17. Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de j = 0.0 y κ = 1.0.

(a) t = 0.08; (b) t = 0.2; (c) t = 0.32; con δ = 0.000. (d) t = 0.08; (e) t = 0.2; (f) t = 0.32; con δ = 0.020.

La figura 18 muestra las simulaciones donde el calor latente adimensional tiene un valor

alto, κ = 1.8. 34

Resultados

Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 18 muestran la evolución de un cristal simulado

bajo condiciones de simetría de anisotropía perfecta e isotropía cristalina, que presenta

separación de puntas.

Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 18 muestran la evolución de un cristal simulado

bajo condiciones de simetría de anisotropía perfecta y baja anisotropía cristalina, δ = 0.020.

Este cristal presenta separación de puntas y una velocidad de crecimiento mayor que la del

cristal correspondiente a las imágenes (a), (b) y (c).

Ambos cristales presentan bajas velocidades de crecimiento, ya que a un tiempo de 0.6,

aún falta por solidificar una importante porción de líquido.


(a) t = 0.2; (b) t = 0.4; (c) t = 0.6; con δ = 0.000. (d) t = 0.2; (e) t = 0.4; (f) t = 0.6; con δ = 0.020.

35

Resultados

3.2 Simulaciones de magnitud de anisotropía En esta sección se presentan las evoluciones de cristales con distintos valores de anisotropía

cristalina. En todas las simulaciones presentadas en esta sección se usó un valor fijo de κ =

1.8. Los valores de anisotropía cristalina y número de simetría de anisotropía usados en esta

sección se resumen en la tabla 3.

Tabla 3. Condiciones usadas para las simulaciones de anisotropía

Número de Figura Magnitud de Anisotropía

Cristalina ( δ )

Número de Simetría de

Anisotropía ( j )

19 0.000 4.0

19 0.000 6.0

20 0.005 4.0

20 0.010 4.0

20 0.020 4.0

20 0.050 4.0

20 0.080 4.0

20 0.120 4.0

21 0.005 6.0

21 0.010 6.0

21 0.020 6.0

21 0.050 6.0

21 0.080 6.0

La figura 19 muestra las simulaciones en condiciones de isotropía cristalina, δ = 0.000,

para la estructura cúbica, imágenes (a), (b) y (c); y la estructura hexagonal, imágenes (d),

(e) y (f).

Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 19 muestran la evolución de un cristal de

estructura cúbica simulado bajo condiciones de isotropía cristalina, δ = 0.000, que aunque

inicialmente presenta una forma poligonal, con el tiempo desarrolla separación de puntas.

36

Resultados

Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 19 muestran la evolución de un cristal de

estructura hexagonal simulado bajo condiciones de isotropía cristalina, δ = 0.000. No se

aprecian rasgos característicos de dicha estructura. Este cristal presenta separación de

puntas y una velocidad de crecimiento menor que la del cristal correspondiente a las

imágenes (a), (b) y (c).

Ambos cristales presentan bajas velocidades de crecimiento.

Figura 19. Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de κ = 1.8 y δ = 0.000.

(a) t = 0.2; (b) t = 0.4; (c) t = 0.6; con j = 4.0. (d) t = 0.2; (e) t = 0.4; (f) t = 0.6; con j = 6.0.

La figuras 20 y 21 muestran cristales con estructura cúbica, simulados con diferentes

condiciones de magnitud de anisotropía cristalina, usando valores de δ = 0.005, 0.01, 0.020

y δ = 0.050, 0.080, 0.120, respectivamente.

37

Resultados


(a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con δ = 0.005.

(d) t = 0.2; (e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con δ = 0.010.

(g) t = 0.2; (h) t = 0.32; (i) t = 0.4; con δ = 0.020.

38

Resultados


(a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con δ = 0.050.

(d) t = 0.2; (e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con δ = 0.080.

(g) t = 0.2; (h) t = 0.32; (i) t = 0.4; con δ = 0.120.

39

Resultados

Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 20 muestran la evolución de un cristal cuya

geometría es parcialmente dendrítica. Aunque se presentan brazos primarios y secundarios,

se observan remanentes de la estructura no dendrítica: puntas adicionales en direcciones

que no corresponden a las de crecimiento de acuerdo a la estructura cristalina simulada e

inestabilidades de la intercara en la zona central.

Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 20 muestran la evolución de un cristal cuya

geometría es casi totalmente dendrítica. Aunque aún existen remanentes de la estructura de

puntas separadas, la geometría del cristal es casi completamente dendrítica.

Las imágenes (g), (h) e (i) de la figura 20 muestran la evolución de un cristal dendrítico

típico de la estructura cúbica simulada, que presenta brazos primarios y brazos secundarios

pequeños creciendo con dirección ortogonal a estos.

Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 21 muestran la evolución de un cristal dendrítico

cúbico con brazos primarios gruesos y crecimiento diferente en cada brazo secundario,

obtenida al simular la solidificación del cristal con un valor moderadamente alto de

anisotropía cristalina.

Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 21 muestran la evolución de un cristal dendrítico

cúbico con brazos primarios gruesos y un crecimiento notable en los brazos secundarios.

Puede observarse la interferencia de los brazos secundarios con crecimiento rápido en el

desarrollo de los brazos secundarios con crecimiento lento.


cúbico simulado bajo condiciones de alta anisotropía cristalina, δ = 0.120, que presenta

brazos secundarios asimétricos y que crece con una velocidad menor a la de los cristales

presentados en las imágenes (a), (b), (c) y (d), (e), (f).

Puede observarse un aumento gradual en la velocidad de crecimiento de los cristales de

las figuras 20 y 21, que no continúa en la evolución expuesta en las imágenes (g), (h) e (i)

de la figura 21.

La figuras 22 y 23 muestran cristales con estructura hexagonal, simulados con diferentes

condiciones de magnitud de anisotropía cristalina, usando valores de δ = 0.005, 0.01, 0.020

y δ = 0.050, 0.080, respectivamente.

40

Resultados


(a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con δ = 0.005.

(d) t = 0.2; (e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con δ = 0.010.

(g) t = 0.2; (h) t = 0.32; (i) t = 0.4; con δ = 0.020.

41

Resultados


(a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con δ = 0.050.

(d) t = 0.2; (e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con δ = 0.080.


típico de la estructura hexagonal simulada, que presenta brazos primarios y brazos

secundarios.


hexagonal similar al presentado en las imágenes (a), (b) y (c), distinto de este en el

crecimiento ligeramente más rápido del cristal y en la geometría de los brazos secundarios.


similar a los presentados en las imágenes (a), (b), (c) y (d), (e), (f), distinto de estos en el

menor número de brazos secundarios y la ligeramente mayor velocidad de crecimiento.

42

Resultados


hexagonal con menor velocidad de crecimiento en comparación a las evoluciones expuestas

en la figura 22, con menor cantidad de brazos secundarios, obtenida al simular la

solidificación del cristal bajo condiciones de alta magnitud de anisotropía cristalina.


hexagonal que presenta una velocidad de crecimiento menor a la del cristal expuesto en las

imágenes (a), (b) y (c), con brazos secundarios pequeños, obtenida al simular la

solidificación del cristal bajo condiciones de alta magnitud de anisotropía cristalina.

3.3 Simulaciones de calor latente adimensional En esta sección se presentan las evoluciones de cristales con distintos valores de calor

latente adimensional. En todas las simulaciones presentadas en esta sección se usó un valor

fijo de δ = 0.020. Los valores de calor latente adimensional y número de simetría de

anisotropía usados en esta sección se resumen en la tabla 4.

Tabla 4. Condiciones usadas para las simulaciones de calor latente adimensional

Número de Figura Calor Latente

Adimensional ( κ )

Número de Simetría de

Anisotropía ( j )

24 1.0 4.0

24 1.0 6.0

25 1.5 4.0

25 1.8 4.0

25 2.2 4.0

26 1.5 6.0

26 1.8 6.0

26 2.2 6.0

La figura 24 muestra las simulaciones donde el calor latente adimensional, κ, es unitario,

para la estructura cúbica, imágenes (a), (b) y (c); y la estructura hexagonal, imágenes (d),

(e) y (f).

43

Resultados

Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 24 muestran la evolución de un cristal poligonal,

con forma similar a un cuadrado, que se vuelve convexa con el tiempo hasta ser similar a

un círculo.

Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 24 muestran la evolución de un cristal poligonal,

con forma similar a un hexágono, que se vuelve cóncava con el tiempo.

Ambos cristales presentan altas velocidades de crecimiento.

Figura 24. Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de κ = 1.0 y δ = 0.020.

(a) t = 0.08; (b) t = 0.2; (c) t = 0.32; con j = 4.0. (d) t = 0.08; (e) t = 0.2; (f) t = 0.32; con j = 6.0.

Las figuras 25 y 26 muestran cristales simulados con diferentes condiciones de calor

latente adimensional, usando valores de κ = 1.5, 1.8 y 2.2, con estructura cúbica y

hexagonal, respectivamente.

44

Resultados

Figura 25. Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de j = 4.0 y δ = 0.020.

(a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con κ = 1.5.

(d) t = 0.2; (e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con κ = 1.8.

(g) t = 0.2; (h) t = 0.32; (i) t = 0.4; con κ = 2.2.

45

Resultados

Figura 26. Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de j = 6.0 y δ = 0.020.

(a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con κ = 1.5.

(d) t = 0.2; (e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con κ = 1.8.

(g) t = 0.2; (h) t = 0.32; (i) t = 0.4; con κ = 2.2.

46

Resultados


cúbico, que presenta brazos primarios gruesos y brazos secundarios pequeños.


cúbico similar al presentado en las imágenes (a), (b) y (c), distinto de este en el crecimiento

más lento del cristal.


similar a los presentados en las imágenes (a), (b), (c) y (d), (e), (f), distinto de estos en la

menor velocidad de crecimiento.


hexagonal, que presenta brazos primarios gruesos y brazos secundarios poco desarrollados.

Puede observarse la interferencia de los brazos secundarios con crecimiento rápido en el

desarrollo de los brazos con crecimiento lento, lo que ocasiona una geometría asimétrica.


hexagonal con brazos secundarios claramente desarrollados, con una velocidad de

crecimiento menor a la del cristal presentado en las imágenes (a), (b) y (c).


hexagonal con una velocidad de crecimiento menor a la de los cristales expuestos en las

imágenes (a), (b), (c) y (d), (e), (f), que presenta brazos primarios delgados y brazos

secundarios poco desarrollados, con una geometría carente de simetría.

Puede observarse una disminución gradual en la velocidad de crecimiento de los cristales

de las figuras 25 y 26.

47

Discusión

4. Discusión

4.1 Comparación de dendritas en metales puros con dendritas simuladas Los cristales y estructuras dendríticas han sido observados de manera experimental en gran

cantidad de trabajos. A continuación se presentan fotografías de cristales dendríticos y se

comparan con las simulaciones obtenidas en este trabajo.

La figura 27 muestra (a) una dendrita de austenita, (b) el cristal correspondiente a dicha

dendrita modelado en tres dimensiones por medio del Método de Campo de Fases y (c) una

simulación obtenida en este trabajo.

Figura 27. Comparación entre (a) Imagen de Microscopio Electrónico de Barrido (MEB) de una

dendrita de austenita; (b) Cristal equiaxial calculado con un modelo de Campo de

Fases correspondiente a dicha dendrita; (22) (c) Simulación obtenida con

las condiciones de t = 0.2, j = 4.0, κ = 1.8 y δ = 0.020.

48

Discusión

Aunque en la figura 27 la dendrita de austenita, imagen (a), puede parecer distinta a la

obtenida en dos dimensiones en este trabajo, imagen (c), la imagen muestra un brazo

primario sobre el cual se desarrollan brazos secundarios, al igual que en la simulación de

este trabajo, que muestra una vista total del cristal, con cuatro brazos primarios y brazos

secundarios pequeños creciendo desde estos. Esto puede comprobarse con el cristal

modelado correspondiente a la dendrita de austenita, imagen (b), cuya vista superior

mostraría una geometría igual a la de la simulación del presente trabajo.

Las imágenes (a) y (b) de la figura 28 muestran dendritas de Succinonitrilo (SCN), un

compuesto orgánico usado como alternativa a los metales durante estudios experimentales

debido a que solidifica a temperatura ambiente en una estructura cúbica centrada en el

cuerpo (BCC) y es transparente, lo que permite un análisis a fondo de las estructuras

formadas. Al solidificar en una estructura BCC, los brazos primarios de la dendrita se

desarrollan en las seis direcciones < 100 >, manteniendo un ángulo ortogonal entre cada

brazo. (3) (12)

Figura 28. Comparación entre (a) Micrografía de una dendrita equiaxial de Succinonitrilo (SCN);

(b) Dendrita de Succinonitrilo con brazos secundarios casi periódicos; (3) (c) Simulación

obtenida con las condiciones de t = 0.2, j = 4.0, κ = 1.5 y δ = 0.020.

La imagen (a) de la figura 28 muestra la vista superior de un cristal equiaxial similar al

simulado en la imagen (b) de la figura 27. Al comparar la imagen (a) con la imagen (c) se

49

Discusión

prueba la similitud entre las dendritas observadas experimentalmente y las simuladas en

este trabajo, como se afirma anteriormente.

La figura 29 muestra la comparación entre dos dendritas de hielo, imágenes (a) y (c) y

dos simulaciones obtenidas en este trabajo, imágenes (b) y (d).

Figura 29. Comparación entre (a) Dendrita de hielo solidificada en agua pura sobreenfriada a

- 0.4 °C; (23) (b) Simulación obtenida con las condiciones de t = 0.2, j = 6.0, κ = 1.5 y δ = 0.020;

(c) Dendrita de hielo solidificada en una solución de agua y 5% de etilenglicol

sobreenfriada a -2.0 °C; (23) (d) Simulación obtenida con las

condiciones de t = 0.4, j = 6.0, κ = 1.8 y δ = 0.005.

50

Discusión

Aunque la geometría de las imágenes en la figura 29 es similar a la de un copo de nieve,

las dendritas mostradas no equivalen a estos, debido a que los copos de nieve se forman por

la transformación de vapor de agua en hielo.

Aunque tanto los copos de nieve, como el hielo solidificado en líquido sobreenfriado

presentan estructuras hexagonales, las dendritas expuestas se forman tras la nucleación y

crecimiento de un sólido en un líquido sobreenfriado. (5) (24)

La figura 30 muestra la comparación entre dos microestructuras donde se muestra el

fenómeno de separación de puntas, imágenes (a) y (b), y una simulación obtenida en este

trabajo, imagen (c).

Figura 30. Comparación entre (a) Micrografía de cristales con puntas separadas en una aleación

Al-4%Cu; (25) (b) Micrografía de cristales con puntas separadas en una aleación

Al-4.5%Cu; (26) (c) Simulación obtenida con las condiciones de

t = 0.6, j = 4.0, κ = 1.8 y δ = 0.000.

Además de haber similitud entre las imágenes presentadas en la figura 30, las imágenes

son comparables con las simulaciones de Kessler, Koplik y Levine (13) y de Brush y

Sekerka (14), presentadas en las figuras 12 y 13, respectivamente, y con las fotografías

obtenidas por Ben-Jacob y colaboradores (15) en su trabajo experimental, expuestas en la

figura 14.

Al comparar la geometría de las dendritas observadas experimentalmente de las figuras

27 y 28, con estructura FCC y BCC, respectivamente, con la geometría de las simulaciones 51

Discusión

presentadas en las respectivas figuras, se observa que las dendritas simuladas son

representativas de un metal con estructura cúbica.

Así mismo, al comparar la geometría de las dendritas hexagonales observadas

experimentalmente, de la figura 29, con las simulaciones expuestas en las mismas figuras,

se observa que las dendritas simuladas ofrecen una predicción realista de las dendritas en

metales con estructura hexagonal.

Lo anterior, en conjunto con la similitud entre las geometrías no dendríticas

experimentales, como los cristales con puntas separadas, y las simuladas, mostrada en la

figura 30, demuestra la capacidad del modelo usado para simular con precisión el

crecimiento de cristales dendríticos y de puntas separadas, y además, de simularlos en

diferentes estructuras cristalinas al variar el valor del número simetría de anisotropía, j.

4.2 Efecto de la anisotropía en la solidificación En la figura 31 se comparan las simulaciones de estructura cúbica obtenidas cuando la

magnitud de anisotropía se incrementa gradualmente desde cero y el resto de los

parámetros son constantes, mostrando el estado de los cristales en t = 0.4, a fin de exponer

el efecto de este parámetro sobre la geometría de los cristales formados.

La figura 31 (a), donde se simula una condición de isotropía, muestra un cristal con gran

número de protuberancias creciendo a partir de una zona con forma cuadrada de gran

tamaño y sin brazos característicos de un cristal dendrítico. Debido a la forma redondeada

de las protuberancias y a la evolución que presentan estas con el tiempo, como se presenta

en la figura 19 (c), se puede afirmar que se trata de un cristal que presenta separación de

puntas.

La imagen (b) de la figura 31, donde se muestra la simulación en condiciones de baja

magnitud de anisotropía, δ = 0.005, muestra un cristal con apariencia intermedia entre un

cristal dendrítico y uno con puntas separadas. En las cuatro direcciones principales para la

simetría cúbica se aprecian brazos primarios y secundarios, pero en las direcciones a 45° de

estas se presentan pares de protuberancias redondeadas. En la imagen (c) se observa un

caso similar, con un remanente de la estructura de puntas separadas y brazos primarios que

se desarrollan más a la vez que los brazos secundarios se vuelven menos notorios. En las

imágenes (d), (e) y (f) se muestran cristales completamente dendríticos, con brazos

52

Discusión

secundarios más notorios a mayores valores de anisotropía. Finalmente, la imagen (g)

muestra un cristal dendrítico con crecimiento limitado aún a valores mayores de

anisotropía.

Figura 31. Simulaciones obtenidas con las condiciones fijas de t = 0.4, j = 4.0, κ = 1.8 y magnitud de

anisotropía variable: (a) δ = 0.000; (b) δ = 0.005; (c) δ = 0.010; (d) δ = 0.20; (e) δ = 0.050;

(f) δ = 0.080; (g) δ = 0.120.

53

Discusión

En la figura 32 se comparan las simulaciones de la estructura hexagonal obtenidas

cuando la magnitud de anisotropía se incrementa gradualmente desde cero y el resto de los

parámetros son constantes, mostrando el estado de los cristales en t = 0.4.

Figura 32. Simulaciones obtenidas con las condiciones fijas de t = 0.4, j = 6.0, κ = 1.8 y magnitud de

anisotropía variable: (a) δ = 0.000; (b) δ = 0.005; (c) δ = 0.010; (d) δ = 0.20;

(e) δ = 0.050; (f) δ = 0.080.

La imagen (a) de la figura 32 muestra un cristal de puntas separadas carente de la

simetría hexagonal simulada. En las imágenes (b), (c) y (d), correspondientes a

simulaciones de baja anisotropía, se presentan cristales dendríticos altamente simétricos,

con brazos secundarios que crecen en la dirección de extracción de calor.

54

Discusión

Las imágenes (e) y (f) de la figura 32 muestran cristales dendríticos con crecimiento más

limitado a mayores valores de anisotropía, tanto en los brazos primarios como en los

secundarios.

En las simulaciones presentadas en las figuras 31 y 32, se pueden notar dos efectos:

a) La velocidad de crecimiento del cristal aumenta al aumentar la magnitud de

anisotropía, pero se presenta un máximo a valores altos de anisotropía, tras el cual,

la velocidad disminuye al aumentar δ.

Este efecto puede explicarse usando la Ecuación (26) en la Sección 1.3:

𝜎𝜎(𝑐𝑐) = 1 + 𝛿𝛿𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛿𝛿(𝑐𝑐 − 𝑐𝑐𝑜𝑜) ( 26 )

Debe recordarse que el valor de (θ – θ0) se asigna a cada valor de ∇ϕ. Cuando δ tiene

valor de 0.000, el segundo término se vuelve cero, con lo que σ(θ) tiene el mismo valor

para todos los valores de ∇ϕ, causando a su vez que ε tenga el mismo valor en todos los

puntos.

Así, la Ecuación (29) de la Sección 1.3,


= −𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

�𝜀𝜀𝜀𝜀′𝜕𝜕𝜙𝜙𝜕𝜕𝜕𝜕� +

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕

�𝜀𝜀𝜀𝜀′𝜕𝜕𝜙𝜙𝜕𝜕𝜕𝜕� + ∇ ∙ (𝜀𝜀2∇𝜙𝜙)

+ 𝜙𝜙(1 − 𝜙𝜙) �𝜙𝜙 −12

+ 𝑚𝑚� ( 29 )

sólo dependerá del valor de ϕ, que al ser determinado por el Método de Diferencias Finitas,

estará determinado por los valores de ϕ en las posiciones anteriores y posteriores a un nodo.

Como consecuencia, todas las direcciones en que puede crecer el núcleo presentan la

misma facilidad de crecimiento, en contraste a cuando existe un valor de δ, donde el

segundo término de la Ecuación (26) es de importancia, y junto con este término, el valor

asignado a (θ – θ0), que determina las direcciones preferenciales de crecimiento.

Considerando esto, en el escenario en el que δ tiene valor de 0.000, el crecimiento ideal

de acuerdo a la Ecuación (26) es aquel en el que la intercara crece siempre en todas las

55

Discusión

direcciones, formando una figura casi circular. Sin embargo, deben considerarse las

fluctuaciones debidas a la Ecuación (30) de la Sección 1.3:

𝑚𝑚(𝑇𝑇) = �𝛼𝛼𝜋𝜋� atan{𝛾𝛾(𝑇𝑇𝑒𝑒 − 𝑇𝑇)} ( 30 )

que contiene una función trigonométrica, y que causan la inestabilidad de la intercara, lo

que a su vez permite la formación de protuberancias, cuyo crecimiento, como se explicó en

la Sección 1.1.2, es termodinámicamente estable en un líquido sobreenfriado, como es el

caso de las simulaciones de este trabajo.

Al aumentar δ, la influencia del segundo término de la Ecuación (26) es mayor, con lo

que el crecimiento del cristal se limita cada vez más a las direcciones preferenciales de cada

estructura.

Esto explica que la disminución en la cantidad de brazos secundarios que se presentan a

mayores magnitudes de anisotropía sea más marcada en la estructura hexagonal, donde las

direcciones preferenciales se presentan cada 60°, por lo que la dirección de crecimiento de

un brazo secundario no es preferencial, resultando en que el crecimiento del brazo

secundario se suprima o este crezca con dificultad en la dirección de extracción de calor, ya

que los brazos primarios siguen creciendo con preferencia.

En contraste, en la estructura cúbica, donde las direcciones preferenciales se presentan

cada 90°, la dirección de crecimiento de los brazos primarios y secundarios coincide, por lo

que los brazos pueden crecer con mayor facilidad que en la estructura hexagonal.

El máximo en la velocidad de crecimiento presente a altos valores de anisotropía

cristalina se puede explicar al considerarse que las direcciones de extracción de calor están

siendo restringidas a aquellas en las que se desarrollan los brazos primarios a medida que se

aumenta la magnitud de anisotropía. Así, los brazos primarios y los pocos brazos

secundarios presentes son los únicos capaces de disipar calor, al crecer o volverse gruesos,

limitando el crecimiento del cristal completo.

b) La separación de puntas se suprime a medida que la magnitud de anisotropía

aumenta, y en las etapas previas a la supresión completa de esta estructura, se forma

un cristal con geometría intermedia, con brazos primarios que se forman antes de 56

Discusión

que ocurra la separación de puntas, como se describe en el trabajo de Kessler,

Koplik y Levine (13). Además, la supresión de la estructura de puntas separadas

ocurre a valores más bajos de δ cuando la simetría de anisotropía es mayor.

La presencia de remanentes de una estructura de puntas separadas en las estructuras

intermedias una vez más se debe a la Ecuación (26). Un valor cercano a cero de δ se

traduce en que el término (θ – θ0) tiene menos impacto en el valor de σ(θ). Con ello, la

influencia de (θ – θ0) que como ya se mencionó, determina las direcciones preferenciales de

crecimiento, se ve reducida, y aunque el cristal se desarrolla preferentemente en las cuatro

direcciones preferenciales de la estructura, existen remanentes de la separación de puntas.

A valores mayores de magnitud de anisotropía la influencia de (θ – θ0) se ve

magnificada, lo que causa que el cristal se desarrolle solo en las direcciones preferenciales

y la estructura de puntas separadas no esté presente.

La separación de puntas a bajos valores de δ en la estructura cristalina se debe a que el

número de direcciones preferenciales de la estructura hexagonal es mayor que el de la

estructura cúbica. Los brazos primarios, al desarrollarse de forma estable y en gran número

antes que la estructura de separación de puntas, impiden el posible crecimiento de

protuberancias entre ellos.

4.3 Efecto del calor latente adimensional en la solidificación En la figura 33 se comparan las simulaciones de estructura cúbica obtenidas cuando el calor

latente adimensional se incrementa gradualmente desde uno y el resto de los parámetros

son constantes, mostrando el estado de los cristales en t = 0.32, a fin de hacer evidente el

efecto de este parámetro sobre la geometría de los cristales formados.

La imagen (a) de la figura 33, donde se simula una condición de κ = 1.0, muestra un

cristal regular de forma redondeada, que como se puede ver en su evolución, en las

imágenes (a), (b) y (c) de la figura 24, crece a partir de un cristal con forma casi cuadrada.

La imagen (b) de la figura 45 muestra un cristal dendrítico con remanentes de una

estructura de separación de puntas, mientras que las imágenes (c) y (d) muestran cristales

dendríticos con brazos secundarios pequeños.

57

Discusión

Figura 33. Simulaciones obtenidas con las condiciones fijas de t = 0.32, j = 4.0, δ = 0.020 y calor

latente adimensional variable: (a) κ = 1.0; (b) κ = 1.5; (c) κ = 1.8; (d) κ = 2.2.

En la figura 34 se comparan las simulaciones de estructura hexagonal obtenidas cuando

el calor latente adimensional se incrementa gradualmente desde uno y el resto de los

parámetros son constantes, mostrando el estado de los cristales en t = 0.32.

La imagen (a) de la figura 34, donde se simula una condición de κ = 1.0, muestra el

equivalente a la figura 34 (a): un cristal regular hexagonal que crece a partir de un cristal

hexagonal convexo, cuya evolución se presenta en las imágenes (d), (e) y (f) de la figura

24. Las imágenes (b), (c) y (d) muestran cristales dendríticos con brazos secundarios de

tamaño variable según el caso.

58

Discusión

Figura 34. Simulaciones obtenidas con las condiciones fijas de t = 0.32, j = 6.0, δ = 0.020 y calor

latente adimensional variable: (a) κ = 1.0; (b) κ = 1.5; (c) κ = 1.8; (d) κ = 2.2.

En las simulaciones presentadas en las figuras 33 y 34, se pueden notar dos efectos:

c) Cuando el calor latente adimensional tiene valor de 1.0, el cristal no presenta

estructura de separación de puntas o dendrítica, sino que se forma un cristal con

forma poligonal.

Ya que se debe extraer el calor latente de fusión desde el sólido para que la solidificación

ocurra, éste se vuelve una limitante al crecimiento: si el valor es alto, debe retirarse más

calor, lo que ralentiza el crecimiento del cristal. Esto último está relacionado con la

observación d).

Cuando el calor latente a extraer es menor, el efecto de la anisotropía, que dicta las

direcciones preferenciales de crecimiento del cristal, se ignora en favor de la necesidad de

extraer el calor para que el cristal crezca. Esto se demuestra en la figura 35:

59

Discusión

Figura 35. Simulaciones obtenidas con las condiciones fijas de t = 0.2, j = 0.0 con condiciones de

calor latente adimensional y magnitud de anisotropía variable: (a) κ = 1.0, δ = 0.000;

(b) κ = 1.0, δ = 0.020; (c) κ = 1.8, δ = 0.000; (d) κ = 1.8, δ = 0.020.

La figura 35 muestra la comparación de las simulaciones de simetría de anisotropía (j)

perfecta. Las imágenes (a) y (b) muestran el crecimiento de cristales con bajo calor latente,

κ = 1.0, bajo condiciones de isotropía, imagen (a), y δ = 0.020, imagen (b). El efecto

mencionado anteriormente se comprueba, ya que ambas simulaciones muestran el mismo

resultado.

Por otra parte, las imágenes (c) y (d) de la figura 35 muestran el crecimiento de cristales

con mayor calor latente, κ = 1.8, bajo condiciones de isotropía, imagen (c), y δ = 0.020,

imagen (d), de forma análoga al caso anterior. Se observa que en estos cristales, la

magnitud de anisotropía se vuelve el mecanismo dominante y determina la estructura del

cristal, que presenta separación de puntas.

60

Discusión

d) Al aumentar el calor latente adimensional, la velocidad de crecimiento del cristal

disminuye, lo que causa que los brazos secundarios no se desarrollen a valores altos

de κ.

Este efecto es explicado por la Ecuación (19), que describe la velocidad de crecimiento

de la punta de una dendrita según la teoría de nucleación y crecimiento:

𝑣𝑣 =−𝐾𝐾𝐿𝐿𝑇𝑇𝐿𝐿′

𝐿𝐿𝑣𝑣≈𝐾𝐾𝐿𝐿𝐿𝐿𝑣𝑣

∙∆𝑇𝑇𝑟𝑟

( 19 )

La Ecuación (19) indica que la velocidad de crecimiento de la punta de la dendrita, v, es

inversamente proporcional al calor latente de fusión por unidad de volumen Lv, debido a

que una menor cantidad de calor latente por extraer se traduce en una mayor velocidad de

solidificación, mientras que una gran cantidad de calor latente por extraer limita la

velocidad de solidificación.

61

Conclusiones

Conclusiones

En este trabajo se utilizó el Método de Campo de Fases para simular la solidificación de

metales puros, considerando las variables de la formulación de Kobayashi, llegándose a las

siguientes conclusiones:

1. El modelo de Campo de Fases usado en este trabajo permite simular de forma

realista la solidificación de cristales dendríticos y no dendríticos, cristales con

puntas separadas y poligonales, en metales puros con diferentes estructuras

cristalinas.

2. La velocidad de solidificación de un cristal aumenta al incrementar la magnitud de

anisotropía, δ, y se presenta un máximo a altos valores de δ, tras el cual, la

velocidad disminuye al aumentar δ.

3. A medida que la magnitud de anisotropía, δ, aumenta, la estructura de puntas

separadas, existente a bajos valores de δ, se suprime para dar paso a una estructura

dendrítica, y en las etapas previas a la supresión completa de dicha estructura, se

forma un cristal con geometría intermedia.

4. A bajos valores de calor latente de fusión, la extracción de calor es el mecanismo de

crecimiento dominante durante la solidificación, impidiendo el desarrollo de

geometrías complejas. En contraste, a altos valores de calor latente de fusión, la

magnitud de anisotropía es el mecanismo de crecimiento dominante, provocando la

formación de geometrías complejas.

5. Al aumentar el calor latente de fusión, la velocidad de solidificación de un cristal

disminuye, por lo que un metal con calor latente de fusión bajo solidificará más

rápidamente.

62

Referencias

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Simulation in Materials Science and Engineering, Vol. 17, pp. 1-31.

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Stefanescu, Doru M. 2005, Materials Science and Engineering A, Vol. 413-414, p. 327.

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high magnetic field. Li, Xi, Fautrelle, Yves and Ren, Zhongming. 2008, Acta Materialia,

Vol. 56, p. 3148.

65

Apéndices

Apéndices

Apéndice I. Código usado para la simulación A continuación se presenta el código usado durante la simulación de las estructuras

dendríticas presentadas:

!El siguiente código permite la simulación de la solidificación en metales puros con base en

!la formulación de Kobayashi.

module mdata

!Creación del módulo “mdata” para guardar información sobre las variables a fin de ser

!usada en otras partes del programa (con el comando use mdata).

integer, parameter :: nx=300, ny=300

!Definición de dos constantes: "nx" y "ny", que corresponden al número de nodos a usar en

!x y y, respectivamente.

real, dimension(nx,ny) :: t,phi,lap_phi

real, dimension(nx,ny) :: partial_phi_x, partial_phi_y,lap_t,epsilon,epsilon_derivative

!Definición de variables reales dimensionadas, con dos columnas de nx y ny valores

!respectivamente.

real, save :: kappa, dx, dy, dt, pi

real, save :: anisotropy, tau, epsilonbar, delta, alpha, gamma, teq, angle

real, save :: phiold, m, term1, term2, term3

real, save:: partial_epsilon2_x, partial_epsilon2_y

!Definición de variables reales y orden para ser guardadas tras la ejecución del programa,

!evitando que queden indefinidas tras la ejecución.

end module mdata

!================================================================

program main

!Principio el programa principal.

use mdata

implicit none

integer :: itimes

!Definición de la variable “itimes”, que indica el número de ciclos a realizar. 66

Apéndices

print *, 'start'

call initial

!Uso de la subrutina "initial", encargada de establecer las condiciones iniciales.

do itimes=1,10000

!Recorrido de la variable itimes.

call gradandlaplace

call evolution

!Uso de las subrutinas "gradandlaplace" y "evolution", encargadas de los cálculos de

!gradientes y laplacianos y de los métodos numéricos usados para resolver las ecuaciones.

if ( mod(itimes,20).EQ.0 ) then

call printdata(itimes)

!Uso de la subrutina “printdata”, encargada de crear archivos de resultados, cada que se

!terminan 20 ciclos.

endif

end do

print *, 'stop'

stop

end program main

!================================================================

subroutine initial

use mdata

implicit none

integer :: i, j

!Definición de las variables “i” e “j”, que corresponden a los nodos en x y y,

!respectivamente.

!Valores de las constantes a usar en la simulación:

dx=0.03 !Distancia entre nodos en la dirección x.

dy=0.03 !Distancia entre nodos en la dirección y.

dt=2.e-4 !Etapa de tiempo entre cada ciclo.

tau=0.0003 !Constante positiva que fija la escala temporal.

epsilonbar= 0.01 !Valor promedio de épsilon.

67

Apéndices

kappa=1.8 !Calor latente adimensional.

delta=0.01 !Parámetro de magnitud de anisotropía.

anisotropy= 4.0 !Número de simetría de anisotropía (j).

alpha= 0.9 !Constante positiva menor a 1.

gamma= 10.0 !Parámetro adimensional.

t=0.0 !Temperatura de enfriamiento.

teq=1.0 !Temperatura de equilibrio.

pi=3.14

do i=1,nx

do j=1,ny

!Recorrido de las variables i e j.

phi(i,j)=0

!Primera condición inicial: en toda la malla existe líquido.

if ((i-nx/2)*(i-nx/2)+(j-ny/2)*(j-ny/2)<10) then

phi(i,j) = 1

endif

!Segunda condición inicial: en el centro de la malla existe un núcleo.

end do

end do

end subroutine initial

!================================================================

subroutine gradandlaplace

use mdata

implicit none

integer :: i, j, ip, im, jp, jm

!Definición de las posiciones de nodos a usar en los cálculos de gradientes, laplacianos y en

!las rutinas del método de diferencias finitas. La letra p indica el nodo inmediato superior y

!la letra m indica el nodo inmediato inferior.

do i=1,nx

do j=1,ny

jp = j+1

68

Apéndices

jm = j-1

ip = i+1

im = i-1

if (im.eq.(0)) im=nx

if (ip.eq.(nx+1)) ip=1

if (jm.eq.(0)) jm=ny

if (jp.eq.(ny+1)) jp=1

!Condición adicional para los nodos en los extremos de la malla: si el nodo inmediato

!inferior es 0, el nodo es sustituido por el que ocupa el borde opuesto (nx o ny); si el nodo

!inmediato superior es mayor a nx o ny, el nodo es sustituido por el nodo 1, en el extremo

!opuesto.

partial_phi_x(i,j) = (phi(ip,j) - phi(im,j))/dx

partial_phi_y(i,j) = (phi(i,jp) - phi(i,jm))/dy

!Cálculo del gradiente de phi.

lap_phi(i,j) = (2.0*(phi(ip,j)+phi(im,j)+phi(i,jp)+ phi(i,jm)) +

phi(ip,jp)+phi(im,jm)+phi(im,jp)+ phi(ip,jm) - 12.0*phi(i,j))/(3.0*dx*dx)

lap_t(i,j) = (2.0*(t(ip,j)+t(im,j)+t(i,jp)+t(i,jm)) + t(ip,jp)+t(im,jm)+t(im,jp)+t(ip,jm) -

12.0*t(i,j))/(3.0*dx*dx)

!Cálculo de los laplacianos de phi y t.

if (partial_phi_x(i,j).eq.0.0) then

if (partial_phi_y(i,j).le.0.0 ) angle =-0.5*pi

if (partial_phi_y(i,j).gt.0.0 ) angle = 0.5*pi

endif

if (partial_phi_x(i,j).gt.0.0) then

if (partial_phi_y(i,j).le.0.0) angle= 2.0*pi + atan(partial_phi_y(i,j)/partial_phi_x(i,j))

if (partial_phi_y(i,j).gt.0.0) angle= atan(partial_phi_y(i,j)/partial_phi_x(i,j))

end if

if (partial_phi_x(i,j).lt.0.0) angle = pi + atan(partial_phi_y(i,j)/partial_phi_x(i,j))

!Asignación de valores al ángulo (diferencia entre theta y theta0).

epsilon(i,j) = epsilonbar*(1.0 + delta*cos(anisotropy*(angle)))

!Cálculo de épsilon.

69

Apéndices

epsilon_derivative(i,j) = -epsilonbar*anisotropy*delta*sin(anisotropy*(angle))

!Derivada de la ecuación anterior.

end do

end do

end subroutine gradandlaplace

!================================================================

subroutine evolution

use mdata

implicit none

integer :: i, j, ip, im, jp, jm

do i=1,nx

do j=1,ny

jp = j+1

jm = j-1

ip = i+1

im = i-1

if (im.eq.(0)) im=nx

if (ip.eq.(nx+1)) ip=1

if (jm.eq.(0)) jm=ny

if (jp.eq.(ny+1)) jp=1

term1= (epsilon(i,jp)*epsilon_derivative(i,jp)*partial_phi_x(i,jp) -

epsilon(i,jm)*epsilon_derivative(i,jm)*partial_phi_x(i,jm))/dy

term2= -(epsilon(ip,j)*epsilon_derivative(ip,j)*partial_phi_y(ip,j) -

epsilon(im,j)*epsilon_derivative(im,j)*partial_phi_y(im,j))/dx

!Términos 1 y 2 de la Ecuación (29).

partial_epsilon2_x = (epsilon(ip,j)**2 - epsilon(im,j)**2)/dx

partial_epsilon2_y = (epsilon(i,jp)**2 - epsilon(i,jm)**2)/dy

!Cálculo del gradiente de épsilon al cuadrado.

term3= partial_epsilon2_x*partial_phi_x(i,j)+ partial_epsilon2_y*partial_phi_y(i,j)

!Parte del término 3 de la Ecuación (29).

phiold = phi(i,j)

70

Apéndices

!Uso de la variable phiold para almacenar información de pasos anteriores durante la

evolución.

m = alpha/pi * atan(gamma*(teq-t(i,j)))

!Cálculo de m.

phi(i,j) = phi(i,j) + (term1 + term2 + (epsilon(i,j)*epsilon(i,j)*lap_phi(i,j)) + term3 +

phiold*(1.0-phiold)*(phiold-0.5+m))*(dt/tau)

t(i,j) =t(i,j) + lap_t(i,j)*dt + kappa*(phi(i,j) - phiold)

!Cálculo de phi y t.

end do

end do

end subroutine evolution

!================================================================

subroutine printdata(p)

use mdata

implicit none

integer :: p,i,j

character(len=14) :: FileName1, FileName2

!Subrutina que se encarga de crear dos archivos .dat en los cuales se escriben los datos de

!phi y t calculados.

write(FileName1,FMT='(A4,I6.6,A4)') "phi_",p,".dat"

FileName1 = trim(FileName1)

open(unit=52,file=FileName1)

do j=1,ny

do i=1,nx

write(52,FMT='(F10.6)',ADVANCE='no') phi(i,j)

end do

write(52,FMT='(F10.6)',ADVANCE='yes')

end do

close(52)

write(FileName2,FMT='(A4,I6.6,A4)') "temp_",p,".dat"

FileName2 = trim(FileName2)

71

Apéndices

open(unit=53,file=FileName2)

do j=1,ny

do i=1,nx

write(53,FMT='(F10.6)',ADVANCE='no') t(i,j)

end do

write(53,FMT='(F10.6)',ADVANCE='yes')

end do

close(53)

print*,p

return

end subroutine printdata

!================================================================

72

análisis de la solidificación en metales puros por el

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