Análisis Tensorial

Introducción y definición

Definición de tensor

Hay varias maneras de definir un tensor, que resultan en enfoques equivalentes:

la manera clásica, forma usual en física de definir los tensores, en términos de objetos cuyos componentes se transforman bajo cambios de coordenadas según ciertas reglas, introduciendo la idea de transformaciones covariantes o contravariantes. la manera usual de la matemática, que implica definir ciertos espacios vectoriales definidos a partir de un espacio vectorial dado, sin fijar cualesquiera conjuntos de coordenadas hasta que las bases se introduzcan por necesidad. Existen dos definiciones de este tipo: La de tensores como aplicaciones multilineales, que nos obliga a usar el dual de un espacio vectorial. La que usa una operación definida axiomáticamente llamada producto tensorial de espacios vectoriales.

Definición clásica

Los físicos e ingenieros, especialmente en tratamientos informales de los tensores, consideran que un tensor es simplemente una magnitud física multi-índice dada por un conjunto de números reales o "componentes" del tensor que se transforman de "manera adecuada". Es decir, si en un determinado sistema de referencia   una magnitud tensorial está dada por un conjunto de componentes  T α´1…α´m

β ´1 . .. β ´n al cambiar a un sistema de referencia diferente   tendrá componentes con

valores numéricos diferentes T α´1…α ´mβ ´1 . .. β ´n siendo la relación entre las componentes de la magnitud en

uno y otro sistema de referencia la siguiente:

T α´1…α ´mβ ´1 . .. β ´n=T α´1…α´m

β ´1 . .. β ´n AT β ´1β 1 … AT β´n

βn Aα 1α ´1… Aαm

α´m

donde en la última expresión se ha usado el convenio de sumación de Einstein y además:

 es la matriz del cambio de base de coordenadas

 es la matriz del cambio de base inverso, que es la matriz traspuesta de la anterior.

Las magnitudes escalares de la física en general son tensores de orden cero, y varios de los tensores físicos importantes (inercia, tensor, etc.) son tensores de segundo orden.

Como aplicación multilineal

Dado un espacio vectorial   de dimensión   sobre un cuerpo  , recordemos que su espacio

dual   es el conjunto de todas las aplicaciones lineales  . El espacio dual es un espacio vectorial de la misma dimensión que  . Nos referiremos normalmente a los elementos de   y de   como vectores y covectores, respectivamente.

Un tensor es una aplicación multilineal, es decir, una aplicación lineal en cada uno de sus argumentos, de la forma:

De este modo, un tensor   asocia cada   covectores   y  vectores  , un escalar

Llamamos tipo del tensor al par .

Usando producto tensorial de espacios vectoriales

En el enfoque más matemático del cálculo tensorial se considera un espacio vectorial V y se considera su espacio dual V*. Si   es una base del espacio vectorial V y   la correspondiente base dual de V*, se construye el espacio vectorial producto de r copias de V ys copias de V*, es decir,   o producto tensorial de espacios vectoriales. Un tensor es un elemento de dicho espacio vectorial:

Las propiedades de transformación de los tensores se siguen de las propiedades de transformación de los vectores de la base de manera trivial.

Los tensores son importantes en muchas áreas de la Física, incluyendo relatividad y electrodinámica. Escalares y vectores son casos especiales de tensores. Como ya vimos, una cantidad que no cambia bajo rotaciones del sistema de coordenadas en un espacio tridimensional, un invariante, fue etiquetado como un escalar. Un escalar es especificado por un número real y es un tensor de rango cero. Una cantidad cuyas componentes transforman bajo rotaciones como las de la distancia de un punto a un origen elegido, fue llamado un vector. La transformación de las componentes del vector bajo una rotación de las coordenadas preserva el vector como una entidad geométrica (tal como una flecha en el espacio), independiente de la orientación del sistema de referencia. En un espacio tridimensional, un vector es especificado por 3 = 31 números reales, por ejemplo, sus componentes, y es un tensor de rango uno. En un espacio N dimensional un tensor de rango n tiene Nn componentes, las cuales transforman de una manera definida.

Pseudotensor

En la física y las matemáticas , un pseudotensor suele ser una cantidad que se transforma como un tensor bajo una orientación de preservación de la transformación de coordenadas ( por ejemplo , una rotación adecuada ), pero, además, cambia de signo bajo una orientación revertir la transformación de coordenadas ( por ejemplo , un giro incorrecto , lo que es una transformación que puede ser expresado como una rotación adecuada seguido por reflexión ).

Hay un segundo significado para pseudotensor , restringido a la relatividad general ; tensores obedecen las leyes de transformación estrictas, mientras pseudotensors no están tan limitados. En consecuencia, la forma de una pseudotensor será, en general, como cambiar el marco de referencia se altera. Una ecuación que tiene en un marco que contiene pseudotensors no dará necesariamente en un marco diferente; esto hace pseudotensors de relevancia limitada debido a las ecuaciones en las que aparecen no son invariantes en forma.

Definición

Dos objetos matemáticos muy diferentes se llaman un pseudotensor en diferentes contextos.

El primer contexto es esencialmente un tensor multiplicado por un factor de señal extra, de tal manera que los cambios pseudotensor signo bajo reflexiones cuando un tensor normal, no lo hace. Según una definición, un pseudotensor P del tipo ( p , q ) es un objeto geométrico cuya componentes en forma arbitraria se enumeran por ( p + q ) los índices y obedecer la regla de transformación

en virtud de un cambio de base.

Aquí  son los componentes de la pseudotensor en las nuevas y viejas bases,

respectivamente,  es la matriz de transición para los contravariantes índices,  es la matriz

de transición para loscovariantes índices, y  . Esta regla de transformación difiere de la regla para un tensor ordinario en eltratamiento intermedio sólo por la presencia del factor (-1)A .

El segundo contexto en el que se utiliza la palabra "pseudotensor" es la relatividad general . En esa teoría, no se puede describir la energía y el impulso del campo gravitatorio por un tensor de energía-momento. En lugar de ello, se introduce objetos que se comportan como tensores sólo con respecto a restringido transformaciones de coordenadas.Estrictamente hablando, estos objetos no son tensores en absoluto. Un ejemplo famoso de una pseudotensor tal es la de Landau-Lifshitz pseudotensor .

Pseudo tensores

Ahora consideramos el efecto de reflexiones o inversiones. Si tenemos coeficientes de

Transformaciones α ij=−δ i , entonces por la ecuación

x i=−x ´i

la cual es una inversión o transformación de paridad. Notemos que esta transformación cambia

nuestro sistema de coordenadas inicialmente diestro a un sistema de coordenadas siniestro.

Nuestro vector prototipo r⃗ con componentes (x1 , x2 , x3) se transforma en el vector r⃗ ´=(x ´ 1 , x ´ 2 , x ´ 3 )=(−x1 ,−x2 ,−x3). Este nuevo vector r⃗ ´ tiene componentes negativas, relativas al

nuevo conjunto de ejes transformados. Como se muestra en la figura siguiente, invirtiendo las direcciones de los ejes de coordenadas y cambiando los signos de las componentes da r⃗ ´=r⃗ . El vector (una flecha en el espacio) permanece exactamente como estaba antes de que la transformación se llevara a cabo. El vector posición r⃗ y todos los otros vectores cuyas componentes se comporten de esta manera (cambiando el signo con una inversión de los ejes de coordenadas) son llamados vectores polares y tienen paridad impar.

Inversión de coordenadas cartesianas, vector polar.

Una diferencia fundamental aparece cuando encontramos un vector definido como el producto

cruz de dos vectores polares. Sea C⃗= A⃗× B⃗, donde A⃗ como B⃗ son vectores polares. Las componentes de C⃗ están dadas por:

C1=A2B3−A3B2

así sucesivamente. Ahora cuando los ejes de coordenadas son invertidos, ,

de su definición esto es, nuestro producto cruz