analisis vectorial y tensorial semestre ii/2018

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DEPARTAMENTO DE MATEMATICASCARRERA DE INGENIERIA CIVIL

ANALISIS VECTORIAL Y TENSORIALSEMESTRE II/2018

EJERCICIOS PROPUESTOS

Docente: G. Cupé

Cochabamba Agosto, 2018

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0.1. PRESENTACION

La matemática, como lenguaje simbólico, ha evolucionado a lo largo de muchos siglos.Se plantearon en un principio los problemas matemáticos utilizando el lenguaje cotidianodisponible ( 20 siglos antes de la era cristiana ) , pasando por el empleo de construccionesgeométricas ( 5 siglos antes de la era cristiana ) , volviendo al uso del lenguaje cotidianopero introduciendo abreviaturas ( 10 siglos después de la era cristiana ) y alcanzando lamadurez ( simbolismo propio ) hasta hace dos siglos.

Actualmente el lenguaje matemático es utilizado por la física, química , informáticay otras ciencias para expresar sus objetos de estudio y las relaciones entre ellos medianteexpresiones funcionales y ecuaciones fundamentales especí�cas, donde se ha integrado losobjetos denominados vectores .

Lo signi�cativo de tales expresiones ( funciones y ecuaciones básicas donde aparecenlos vectores ) es el de emplear números tanto para representar los objetos de estudiocomo también sus propiedades. Por ejemplo, tres números se emplean para representar unparalelepípedo y un número para representar su volumen; de igual manera, tres númerosse emplean para representar la ubicación de un punto en el espacio y un número pararepresentar el valor de la temperatura en ese punto. Sin embargo, tambien un número,dos o tres números representan otra clase de objetos denominados vectores que se utilizanpara de�nir nuevos objetos (físicos o geométricos) más complejos y también para "actúar"sobre los objetos para transformarlos o modi�carlos. Las relaciones funcionales adquierenuna "interpretación .o signi�cado en cada ciencia de acuerdo al signi�cado atribuído a losnúmeros y vectores involucrados.

La asignatura de Análisis Vectorial y tensorial, tiene cuatro componentes temáticos:i) Estudio de objetos geométricos denominados puntos y vectores en los "universos-

ecta, plano y espacio. Los puntos - a quienes se puede atribuir el signi�cado de elementosde un universo de estudio o como posibles posiciones de una partícula en movimientoen el espacio -, son representados como números, gracias al uso de un sistema de coor-denadas. Este estudio se facilita con el empleo del concepto de vector; lo que permitemover, transformar y/o estudiar propiedades de conjuntos de puntos o de partículas enmovimiento.

ii) Estudio de la dinámica de partículas, caracterizando propiedades fundamentales desu movimiento y propiedades geométricas con la ayuda de los vectores..

iii) Estudio de los "universos"(recta, plano, espacio) cuyas propiedades han sido mod-i�cadas por la presencia de magnitudes físicas escalares o vectoriales; siendo los conceptosde derivada e integral instrumentos esenciales en el mencionado estudio.

iv) Representación de los objetos de estudio: partículas o conjuntos de puntos y desus propiedades, empleando sistemas de referencia más generales; lo que hace posibleuna presentación de los resultados anteriores de manera independiente del sistema decoordenadas empleado. Y da a los resultados obtenidos un caracter objetivo y cientí�co.

Para la comprensión ( o apropiación conceptual ) por el estudiante de los temas men-cionados, es imprescindible la realización de varios y variados ejercicios que se re�eran alos conceptos que debe aprehenderse. Este documento tiene el propósito de promover esaejercitación.

0.1. PRESENTACION 3

Capítulo 1

VECTORES Y ESCALARES

PUNTO Y VECTOR :

Un objeto físico , consideramos a un punto como el objeto físico más simple , tienepropiedades : ubicación , masa , velocidad , temperatura , etc. La cantidad o magnitudde la propiedad que posee el objeto físico se mide en alguna unidad de�nida . Si dichamagnitud no tiene dirección, ni sentido y en general se puede representar solamente porun número , esa propiedad se dice que es un escalar ; y si dicha propiedad se representapor más de un número se denomina magnitud vectorial.

Dado el plano , cada punto de él se puede representar mediante un par de númerosreales ( gracias a un sistema de coordenadas ) . Un punto simplemente es una ubicacióno posición en el plano ( no tiene módulo , dirección o sentido )

Un vector desplazamiento es una magnitud física que permite trasladar un punto (inicial ) a otro punto ( �nal ) ( actúa sobre un punto y lo transforma en otro punto ) .El módulo de un vector desplazamiento nos indica la distancia entre la posición �nal y laposición inicial de la partícula. La dirección de un vector es la recta de�nida por la posicióninicial y la �nal de la partícula; o cualquier recta paralela. El sentido de un vector indicaen cuál de las dos posibilidades de desplazarse sobre la recta , se realiza el desplazamiento.

Las nociones fundamentales de este capítulo se re�eren a movimientos de puntos enun espacio y a las distancias de�nidas por dichos movimientos.

ALGEBRA VECTORIAL

La aplicación sucesiva de dos desplazamientos se traduce algebraicamente mediante

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6 CAPÍTULO 1. VECTORES Y ESCALARES

la suma de vectores, y la aplicación "sucesiva"de un mismo desplazamiento se traducealgebraicamente mediante la multiplicación de un escalar por un vector.

La operaciones de suma y multiplicación por un escalar tienen ciertas propiedades co-herentes o compatibles con lo que ellos representan en el contexto de movimiento. A dichaspropiedades, que son muy útiles para manejar algebraicamente conjuntos de desplazamien-tos de manera muy sencilla; se denomina álgebra de vectores.

La suma y la multiplicación por escalar se de�nen de la siguiente manera:

(x1; y1) + (x2; y2) = (x1 + x2; y1 + y2):

k(x1; y1) = (kx1; ky1)

Y de manera semejante para vectores o desplazamientos en el espacio (tridimensional)y también en una recta (unidimensional).

La relación o igualdad (x1; y1)+(x2; y2) = (x1+x2; y1+y2), indica que si una partícu-la inicialmente recorre x1 unidades horizontalemente ( y y1 unidades verticalmente); yseguidamente recorre x2 unidades horizontalemente ( y2 unidades verticalemente) es claroque horizontamente ha recorrido en total x1 + x2 (y verticalmente ha recorrido en totaly1+y2) unidades. Si la primera componente x1 es positiva, el recorrido es hacia la derecha;y si es negativa , el recorrido es hacia la izquierda).

La multiplicación por escalar k(x1; y1) = (kx1; ky1), indica en el caso de que k esentero positivo, que el vector desplazamiento k(x1; y1) al "actuar" k veces sobre unapartícula equivale a que actúa k veces tanto horizontamente como verticalmente, esto es:(kx1; ky1):Para los casos donde k no es entero o positivo la interpretación adecuada esnatural.

PARALELISMO DE VECTORESCuando dos vectores A y B se relacionan por la igualdad

A = kB

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se dice que son paralelos. Si k > 0 , se dice que tienen el mismo sentido y si k < 0, sedice que tienen sentidos opuestos.

Como (30; 12) = 3(10; 4) entonces los vectores (30; 12) y (10; 4) son paralelos y delmismo sentido.

La Dirección de un vector A , es la recta o cualquier recta paralela sobre la que 2ace.o

se apoya el vector. Su sentido es el lado de su recta dirección sobrela que desplaza a lapartícula.

VECTOR POSICIONEl vector posición de un punto es el vector que desplaza a una partícula ubicada en el

origen de coordenadas hasta el punto dado.La suma (x1; y1)+ (x2; y2) = (x1+ x2; y1+ y2) también es válida cuando (x1; y1) es un

punto o vector posición. En este caso, el resultado da el punto o vector posición �nal.

1. Dadas las 8 propiedades de las operaciones suma de vectores y multiplicación por unescalar o número real en R2 ( como también en Rn ); indicar en sus propias palabrasel signi�cado de dichas igualdades en términos de desplazamientos .

A+B = B +A

A+ (B + C) = (A+B) + C

( 0 es el desplazamiento nulo ) A+ 0 = 0 +A

Para cada vector A existe un vector W , tal que : A+W =W +A = 0

k(A+B) = kA+ kB

(k + r)A = kA+ rA

k(rA) = (kr)A

1A = A


2. Dados los vectores A = (4;�2) , B = (�3;�1) , C = (2; 4) , D = (�1; 5) ; construirgrá�camente los vectores :

a) 3A� 2B � (C �D) :b) 12C +23(A�B + 2D):

3. Determinar algebraicamente el vector desplazamiento A ( y hacer el grá�co respec-tivo ) que desplaza : a) el punto (3; 4) al punto (8;�2) . b) el punto (0; 4) al punto(0;�4) . c) el punto (x1; y1) al punto (x2; y2)

4. Un automovil recorre 4 kilómetros al norte y luego 6 kilómetros hacia el noreste. Representar estos vectores como �echas y halle el desplazamiento total : a) grá-�camente . b) algebraicamente .Halle los módulos de los vectores empleados en elproblema y explique el signi�cado de esos valores .

5. Qué signi�cado se debe dar a la expresión

�kA

siendo k entero positivo y A un vector?


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qA

siendo q entero positivo y A un vector?. Y si q fuese negativo?.


rA

8. Se denomina vector posición de un punto ( en el plano o en el espacio ) al vectordesplazamiento necesario para trasladar una partícula ubicada en el origen hastadicho punto .

a) Si P1 y P2 son los vectores posición de los puntos M y N ; cuál es el signi�cadoque se puede dar a la suma de los vectores posición P1 + P2 ? . Realize el grá�corespectivo . Ilustre su a�rmación con un ejemplo concreto tanto en el plano como enel espacio .

siendo r un número irracional y A un vector?

9. El baricentro de un triángulo es la intersección de las medianas y se conoce quese encuentra ( sobre cada mediana ) a distancia de 1

3 de un lado y23 del vértice

respectivo . Empleando suma y multiplicación por escalar de�nidas sobre vectores ,determinar el baricentro del triángulo de vértices (10; 0; 0) , (0; 18; 0) y (0; 0; 24)

10. Dado el cuadrilátero de vértices (2;�4; 0) , (8; 0; 0) , (5; 10; 0) y (�6; 2; 0) , comprobarque los vectores que unen los puntos medios de sus lados son dos a dos iguales oinversos aditivos.

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11. Demostrar la igualdad vectorial

�!OA+

��!OB +

��!OC =

��!OP +

��!OQ+

��!OR

siendo O un punto cualquiera interior al triángulo ABC y P , Q , R los puntosmedios de los lados AB , BC y CA respectivamente .

Es cierta la igualdad, si O es un punto exterior al triágulo dado ? . Justi�que surespuesta .

12. Determinar geométricamente todos los puntos del plano que corresponden a la ex-presión algebraica

(1; 0) + t(1;�1) ; �1 < t <1

13. Qué conjunto de puntos representa : a) la expresión (1; 0) + k(0; 1) + r(1; 1) donde(1; 0) es punto y 0 � k; r � 1 b) P + kA + rB donde P es un punto del plano y0 � k; r � 1

MODULO DE UN VECTOR. VECTORES UNITARIOSCuando un vector actúa para desplazar una partícula desde un punto inicial hasta

un punto �nal, se tiene de�nida una distancia entre ambos puntos o posiciones. A dichadistancia se denomina módulo del vector

El módulo de un vector A = (x; y) se calcula según

jAj =px2 + y2

Y el de A = (x; y; z) se calcula según

jAj =px2 + y2 + z2


resultados que se obtienen por aplicación del Torema de Pitágoras.Un vector unitario es un vector que tiene módulo 1:Cuando un vector unitario desplaza

una partícula, la distancia entre la posición �nal y la inicial es unoPor ejemplo V = (35 ;

45) es un vector unitario . Para cualquier vector A , los vectores

� 1

jAjA son vectores unitarios con la misma dirección que el vector A , pero de sentidos

contrarios .Los vectores unitarios (1; 0) y (0; 1) se acostumbra denotarlos por

i = (1; 0) ; j = (0; 1)

entonces el vector A = (x; y) se puede escribir como A = xi+ yj

1. a)Los puntos (2; 6) , (11; 9) y (5;�3) son tres vértices de un cuadrado . Marcardichos puntos y mediante desplazamientos encontrar el cuarto vértice y el centrodel cuadrado .b) Mediante desplazamientos determinar los puntos que trisectan elsegmento de recta determinado por los puntos (3;�1) y (6; 2) . Realize el grá�corespectivo y controle sus resultados numéricos.

2. Empleando vectores desplazamientos , determinar los puntos del plano que se en-cuentran sobre la recta determinada por los puntos (0; 0) y (3; 4) y a una distanciade 100 unidades del (0; 0)

3. Mostrar que el vector unitario de dos vectores paralelos y del mismo sentido coinci-den.

4. Mostrar quejkAj = jkj jAj

Cuál es el signi�cado de este resultado en términos de desplazamientos y distancias?

5. Mostrar que en untriángulo rectángulo, el punto medio d ela hipotenusa equidistade los tres vértices-

6. Sean A ; B ; C ; D ; E ; F los vértices de un exágono regular inscrito en unacircunferencia de radio 1 . Si un punto se desplaza sucesivamente según los vectores

desplazamientos!AB ,

!AC ,

!AD ,

!AE y

!AF ; determine a qué distancia se

halla su posición �nal respecto de su posición inicial: a) grá�camente. b) expresandocada vector algebraicamente en términos de los vectores i , j. c) Vectorialmente, sinemplear sistema de coordenadas.

7. Si el vector (1; 2; 2) se aplica sucesivamente 9 veces sobre una partícula ubicada enel origen de coordenadas. Qué distancia ha recorrido en total la partícula ?.

8. Sean r1, r2, ......, rn los vectores posición , respecto de un origen O, de las masapuntuales m1, m2;......., mn respectivamente . Demostrar que el vector posición delcentro de masa viene dado por

r =m1r1 +m2r2 + ::::::+mnrnm1 +m2 + :::::::+mn

independientemente del origen elegido. Es decir, si elige otro punto O� como origende coordenadas, la posición del centro de masa es siempre la misma.

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9. Determinar el centro de masa de 4 masas puntuales ubicadas sobre un cuadrado delado 8 metros; donde las masas - recorriendo en sentido antihorario - son respectiva-mente 1 Kg: , 2 Kg: , 4 Kg: y 8 Kg: respectivamente

COMPONENTES DE UN VECTORCuando un vector se escribe como una suma de vectores "linealmente independientes",

se dice que tales vectores son las componentes (vectoriales) del vector en las direccionesde los vectores sumandos.

Un problema frecuente en el cálculo vectorial es el de expresar o decomponer un vectordado en términos de dos vectores ( en el plano) o tres vectores (en el espacio) que se dan.

Cuando se escribe el vector A = (3; 4) en la forma 3i+4j ,se dice que está escrito en

la base fi; jg . Escribir el vector A en basen�!a ; �!b o, con �!a = i+ j , �!b = j

A = u!a + v

!b

El par de números (u; v) se denomina coordenadas del vector A en base�!a ;

!b

�1. Representar geométricamente el vector A tanto en la forma 3i + 4j , como en la

forma u!a + v

!b .

2. Expresar el vector desplazamiento A = 6i� 8j como suma de dos vectores i) en lasdirecciones de a = �i+ j , b = 3i� j . ii) en las direcciones de a = �2i , b = i+ j. Realize los grá�cos correspondientes

3. Determinar empleando vectores la intersección de las diagonales del paralelogramode vértices (0; 6) , (11; 5) , (16;�2) y (�2;�8).


4. Una partícula ubicada en el origen de coordenadas se desplaza hasta el punto (10; 5)siguiendo por una parte direcciones dadas por los vectores (2;�1) y (�1; 1) ; y porotra parte direcciones según los vectores (1; 3) y (0;�2). En cuál de los movimientosrecorre mayor distancia ?

5. Una partícula inicialmente ubicada en el punto (0; 0; 8) se desplaza hasta el punto(10; 20; 30) siguiendo las direcciones dadas por los vectores (2;�1; 1) , (0; 3; 4) y(�1; 1; 2) determinar la distancia total recorrida por la partícula.

6. Dado el cubo de lado 4 . en el primer octante, con un vértice en el origen de coor-denadas y todas sus caras paralelas a los planos coordenados; expresar una de susdiagonales como suma o en términos de los vectores de�nidos por tres de sus lados.

EJERCICIOS VARIOSRepasar los Ejercicios Resueltos del texto base: 10, 11, 12, 13, 16, 19, 21Realizar los Ejercicios Propuestos del texto base: 58, 59, 64, 66, 69, 70, 71, 72, 73

Capítulo 2

CAMPOS , PRODUCTOESCALAR , PRODUCTOVECTORIAL

1. Un campo escalar ( distribución de temperatura en el plano ) está dada por la función

T (x; y) = x� y

i) representar grá�camente los puntos del plano donde la temperatura T vale : T = 0, T = 1 , T = 2 , T = 3 , T = �1 , T = �2 , T = �3 . ii) En base a la resolucióndel inciso anterior , determinar en qué punto del cuadrado de vértices ( �4;�4) setiene la mayor temperatura .

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14 CAPÍTULO 2. CAMPOS , PRODUCTO ESCALAR , PRODUCTO VECTORIAL

2. Lo mismo que el ejercicio anterior para el campo escalar ( distribución de temperaturaen el plano )

T (x; y) = xy

3. En relación al ejercicio anterior, en qué punto del círculo�(x; y) j x2 + y2 � 9

se

tiene la menor, la mayor temperatura ?.

4. Para el campo escalar de temperaturas T (x; y) = x2 + y2 , representar las curvas denivel para los valores c = 0 , 1 , 4 , 9:Si una partícula está ubicada en el punto (0; 2),en qué dirección y sentido debe desplazarse para aumentar lo más rápidamente sutemperatura por distancia recorrida?

5. Dados los campos de temperatura: T1(x; y) = x� y y T2(x; y) = x2+ y2, determinarlas curvas de nivel para c = 0 , 1 , 4 , 9, en el campo suma T1 + T2:

6. Empleando proyección mediante el producto escalar, determinar el punto de la rectaque pasa por (0; 6) y (�6; 0) que se halla más próximo al punto (0;�6)

7. Determinar el módulo del vector proyección cuando A = (2; 2; 1) se proyecta sobreel plano que pasa por los puntos (4; 0; 0) , (0; 8; 0) y (0; 0; 12):

8. Determinar la relación entre la altura y la base de un rectángulo, si cuando seproyecta la base sobre una diagonal, el módulo de la proyección es la cuarta partede la longitud de la diagonal.

9. Determinar un vector �!v tal que el módulo de su proyección sobre el vector (8;�6)sea 5:Mostrar grá�camente todos los vectores que tienen la propiedad indicada.

TRABAJO

De la segunda Ley de Newton para una partícula que se mueve en dirección del eje xreal y fuerza F constante

F = ma = md2x

dt2

se tienedx

dt= v = v0 +

F

mt (�)

donde v0 es la velocidad de la partícula para t = 0que se puede escribir

mv �mv0 = Ft

La magnitud Ft se denomina impulso de F entre los instantes 0 y t. La igualdad nosdice que la variación de la cantidad de movimiento es igual al impulso-

De (�) se tiene que si x0 es la posición de la partícula en t = 0, la posicion x en elinstante t es

x(t) = x0 + v0t+1

2

F

mt2 (��)

Despejando t de (�)t =

m

F(v � v0)

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y sustituyendo en (��) , se obtiene

x� x0 =m

F(vv0 � v20) +

1

2

m

F(v2 � 2vv0 + v20)

=1

2

m

F(v2 � v20)

Por tanto

F � (x� x0) =1

2mv2 � 1

2mv20 (� � �)

El segundo miembro de la igualdad es la variación de la energía cinética desde elinstante t = 0 hasta el instante t:Y dicha variaión está originada por la fuerza F que actúaa lo largo de la distancia x� x0.

A la magnitud F (x � x0) se de�ne como trabajo realizado por la fuerza aplicada a lapartícula.

La igualdad (� � �) expresa que el trabajo realizado por la fuerza F aplicada es igual ala variación de la energía cinética de la partícula.

1. Calcular el trabajo realizado por la fuerza F = 3i + 4j al desplazar una masapuntual desde el punto (0; 4) hasta (10;�8) : i) mediante la fórmula T = Fuerza endirección del desplazamiento � distancia desplazada ( no se emplea vectores ) .ii)Mediante la fórmula T = F � D ( producto escalar del vector fuerza dado por elvector desplazamiento ).

2. Sea F (x; y) = (3;�4) un campo vectorial constante de fuerzas. Una partícula recorretodo el perímetro del cuadrilátero de vértices (0;�6) , (12; 0) , (6; 12) y (0; 6) real-izando su movimiento a partir del vértice (0;�6) y en sentido antihorario- a) Calculeel trabajo realizado. b) Determine las partes de su trayectoria donde el trabajo espositivo, negativo y cero. Qué interpretación tienen estos últimos valores ?

3. Si F = 3i+4j y D = �6i+2j , cuál es el signi�cado ( en términos de trabajo ) delvalor F �D ( en particular del valor negativo y cero de dicho producto escalar ) ? .

4. Un campo vectorial ( distribución de vectores fuerzas en el plano ) está dado por lafunción

F (x; y) = (y;�x) �o F (x; y) = yi� xj

i) representar los vectores del campo en los puntos (1; 0) , (2; 0) , (1; 1) , (1; 2) , (0; 1), (0; 2) , (�1;�1) , (�1; 2) , (�1; 0) , (�2; 0) , (�1;�1) , (�1;�2) , (0;�1) , (0;�2), (1;�1) , (1;�2):ii) representar grá�camente los puntos donde las fuerzas correspondientes tienen lamisma dirección que el vector A = i+ j

iii) representar grá�camente los puntos donde las fuerzas correspondientes tienenmódulo 5 .

iv) si se ubicara una masa puntual de 1 kg en un punto del plano donde la fuerzaF tiene módulo 5; y la misma dirección y sentido que el vector A = i+ j: Describael movimiento inicial de dicha masa . ( las unidades de F en cada componente sonNewtons )


5. Lo mismo que el ejercicio anterior para el campo vectorial

F (x; y) = (x; 1)


F (x; y) = (x; x+ y)


8.F (x; y) = (�x;�y) �o F (x; y) = �xi� yj

9. Demostrar que en un campo vectorial de fuerzas constante , se desplaza una masapuntual alrededor de un polígono cerrado cualquiera , entonces el trabajo realizadoen dicho desplazamiento por las fuerzas del campo es cero .

10. Un campo vectorial de fuerzas central está de�nido en el plano. En cada punto P delplano, está de�nido un vector fuerza F , donde su dirección es la recta que pasa porel punto y el centro O; su sentido es el que va del punto al centro O y su móduloes igual al inverso de la distancia al cuadrado del punto P al centro.

O

P

F

a) Empleando el sistema de coordenadas cartesianas (y ubicando el centro O en elorigen de coordenadas), expresar vectorialmente dicho campo de fuerzas.

11. Una partícula ubicada en el punto (�10; 0) crea en cada punto (x; y) del plano, unafuerza de atracción de módulo 1, en dirección y sentido hacia el punto (�10; 0).Otra partícula ubicada en (10; 0) crea en cada punto (x; y) del plano, una fuerzade atracción de módulo 1; en dirección y sentido hacia el punto (10; 0):Bosquejar elcampo de fuerzas resultante a) sobre la recta x = 0 , b) sobre la recta y = 0:

12. Calcular el trabajo realizado para desplazar una partícula a lo largo de la poligonal(�4; 0) , (�2; 2) , (0; 4) , (2; 2) y (4; 0) por el campo vectorial de fuerzas constantea) F (x; y) = i+ j . b) F (x; y) = 2j .

CAUDAL

En un campo de velocidades de un líquido se trata de determinar el volumen de líquidoque atraviesa una determinada super�cie o área por unidad de tiempo

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Caudal Q=( v o n ) x área

v (velocidad)área

Q: volumen de líquido quepasa por el área en la unidadde tiempo (m3/seg)

n

1. En el espacio se tiene que el campo ( vectorial ) de velocidades originado por losvectores velocidad de un líquido en movimiento , es constante (en todo instante ) ;y está dado por

V (x; y; z) = (0; 3; 0) = 3j

calcular el caudal ( volumen de líquido que atraviesa un área por unidad de tiempo) que pasa por el área rectangular de vértices (0; 2; 0) , (3; 2; 0) , (0; 2; 5) y (3; 2; 5)

2. Lo mismo que el ejercicio anterior cuando V (x; y; z) = i + 2j + 2k : i) sin emplearvectores . ii) empleando vectores .

3. Para el campo vectorial de velocidades V (x; y; z) = i+ 2j + 2k y el paralelepípedode vértices (0; 0; 0) , (4; 0; 0) , (4; 4; 0) , (0; 4; 0) , (0; 0; 8) , (4; 8; 0) , (4; 4; 8) y (0; 4; 8)y el recinto ; determinar las partes de la super�cie de dicho recinto donde está : i)ingresando líquido . ii) saliendo líquido . iii) no ingresa , ni sale líquido .

4. Dados los vectores A = 3i+ 4j , B = i+ 2j + 2k ; determinar A�B y veri�car que

A ? A�B ; B ? A�B ; jA�Bj = jAj jBj sin �

y que jA�Bj representa el área del paralelogramo determinado por los vectores Ay B.

5. Determinar el área del paralelogramo generado por los vectores A = (6; 2; 0) y B =(2; 4; 0)

6. Repasar Ejercicios Resueltos 35, 37, 40, 41, 44; 47, 53 , 54

7. Resolver los Ejercicios Propuestos 66, 71, 72, 73, 95, 96, 97, 102; 103; 104

Capítulo 3

DIFERENCIACIONVECTORIAL

CURVAS EN R3

1. Si dos partículas se mueven según las funciones r(t) = (t; t2; 1) y p(t) = (t; t; 1) ,determinar los instantes donde dichas partículas se encuentran . (realize los grá�coscorrespondientes )

2. Si una partícula se mueven según las r(t) = (cos t; sin t; 0) a) determinar los vectorestangentes en los puntos (1; 0; 0) , (0; 1; 0) , (�1; 0; 0) , (0;�1; 0) , (

p22 ;

p22 ; 0) , ( realize

los grá�cos correspondientes ) .b) mostrar que el ángulo entre dos vectores tangentescualesquiera es igual al ángulo formado por los vectores posición de los puntos dondese calculan los vectores tangentes .

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20 CAPÍTULO 3. DIFERENCIACION VECTORIAL

3. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva r(t) = (t2; t; 0) en el punto :i) (1; 1; 0) , ii) (4;�2; 0)

4. En qué punto se intersectan las rectas tangentes anteriores ?

5. Si r(t) = (t; t2; 0) da la posición de una partícula que se mueve en el plano , deter-minar la ecuación del plano osculador de la curva en el punto (2; 4; 0) . ( NOTA : elplano osculador pasa por el punto dado con vector normal que es perpendicular a

�r

y��r , calculados en dicho punto.

6. Si r(t) = (t; t2; t3) da la posición de una partícula que se mueve en el plano , deter-minar la ecuación del plano osculador de la curva en el punto (1; 1; 1):Mostrar que sise toma el plano que pasa por los tres puntos próximos de la curva correspondientesa t = 1 , t = 1 + " , 1 + 2", y si "! 0 , el plano determinado es el plano osculador.Por ese motivo se dice también que el plano osculador es el plano que pasa por trespuntos "consecutivos"de la curva :

7. Para la curva r(t) = (cos t; sin t; t) , determinar la ecuación del plano osculador de

la curva en el punto : a) (1; 0;�

2) , b) (0;�1; 3�

2)

8. La curvatura de una curva en un punto se calcula según la fórmula

{ =

��r x ��r ��r��3( mide la variación del ángulo de tangencia por unidad de longitud de arco , cuandodicha longitud tiende a cero . Cuanto mayor es la curvatura en un punto , mayorcurveamiento de la curva se da en dicho punto ) .

Empleando propiedades geométricas , mostrar que la curvatura de una circunferencia

es igual a � =1

R, siendo R el radio de la circunferencia .

9. Empleando el concepto de curvatura , determinar aproximadamente la curvatura dela grá�ca de y = x2 en el punto (0; 0) . Calcule la longitud de arco desde (0; 0) hasta(0;01; 0;012) y la variación �� del ángulo de tangencia entre dichos puntos .

10. Gra�car la curva r(t) = (t; t2; 0) y determinar su curvatura para cada t e indicar elcomportamiento de dicho valor a medida que t aumenta. Representar la grá�ca de�(t) en función de t

11. En el ejercicio anterior , determinar la ecuación del círculo osculador en el punto demayor curvatura .

12. Dada curva r(t) = (R cos t; R sin t; 0) y determinar su curvatura para cada t eindicar el comportamiento de dicho valor a medida que t aumenta .

13. Gra�car la curva r(t) = (t cos t; t sin t; 0) , t � 0 ( espiral ) y determinar su curvaturapara cada t; indicar el comportamiento de dicho valor a medida que t aumenta.Representar la grá�ca de �(t) en función de t

21

14. La torsión de una curva en un punto se calcula según la fórmula

� =

��r � ��r � ��

r��r � ��

r��2

( mide la variación del ángulo de la binormal - perpendicular al planoosculador - porunidad de longitud de arco , cuando dicha longitud tiende a cero . Cuanto mayores la torsión en un punto , se tiene mayor variación del plano osculador , planoque localmente contiene a la curva ; y por tanto mayor torcimiento de la curva ) .Mostrar que la torsión del la hélice circular: r(t) = (R cos t; R sin t; bt) es constante.A medida que varía el valor de b, cómo varía la torsión?. A medida que varía el valorde a, cómo varía la torsión?.

15. Hallar a) vector tangente unitario T , b) normal principal N , c) binormal B, d)curvatura , e) torsión de la curva

x = t� t3

3; y = t2 ; z = t+

t3

3

16. Lo mismo que en el ejercicio anterior, para la curva r(t) = (t; t2; t3)

17. En los dos ejercicios anteriores, determinar las ecuaciones de los planos osculador ,normal y recti�cante en el punto (�3; 9; 12)

18. Veri�car que se cumple

!a =

dv

dt

!T +

v2

�

!N ; � =

1

�

para la curva r(t) = (t; t3; 0) en t = 1

19. En relación al ejercicio anterior, para qué clase de curvas se tiene a) componentetangencial nula ? . b) componente normal nula ? .

20. Mostrar que la torsión de cualquier curva plana y = y(x) ; z = 0 vale 0. Cuál es elsigni�cado de este resultado ?

21. Repasar Ejercicios Resueltos 9 , 22 , 23 , 27:

22. Resolver los Ejercicios Propuestos 47; 49; 51, 52 (determinar en qué puntos setiene la máxima y mínima curvatura) , 58 , 66 , 67.

22 CAPÍTULO 3. DIFERENCIACION VECTORIAL

Capítulo 4

GRADIENTE, DIVERGENCIA YROTACIONAL

Dado un campo (vectorial o escalar) es posible - mediante aplicaciones de derivadas- en transformarlo en otro campo; que razonablemente tiene una relación con el campoinicial. Se conocen como operadores diferenciales a aquellas expresiones en derivadas quetransforman campos en otros campos, de manera que los problemas de�nidos en ciertocampo es posible resolverlo de otra manera en su campo asociado.

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE

Dado un campo escalar, interesa analizar su variación (aumenta, disminuye, per-manece constante) según o a lo largo de una dirección elegida. El concepto que permitedeterminar tal variación se denomina derivada direccional. El cálculo de la derivada di-reccional se basa en el cálculo del vector gradiente, que está conformado por las derivadasparciales del campo. Calculado en cada punto el vector gradiente, se convierte en un op-erador.

El operador gradiente transforma un campo escalar en un campo vectorial. Básicamentese trata, por ejemplo, de un campo de distribución de temperaturas; y el gradiente de dichocampo es un campo vectorial que indica en cada punto la dirección y sentido de mayoraumento - por distancia recorrida- del valor de la magnitud asociada con el campo inicial,es decir; cual debe ser"localmente.el movimiento de una partícula para que su temperaturaaumente lo más rápidamente.

23

24 CAPÍTULO 4. GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

Se conoce que para un campo escalar � = �(x; y)

�� t@�

@x�x+

@�

@y�y

De donde

�� t (@�

@x;@�

@y) � (�x;�y)

t (@�

@x;@�

@y) � ( �xp

(�x)2 + (�x)2;

�yp(�x)2 + (�x)2

)p(�x)2 + (�x)2

t�(@�

@x;@�

@y) � �v

��s

Este resultado indica que la variación��, que corresponde a dos variaciones�x , �y (muy"pequeñas") se puede ver que corresponde también a la variación debida a un desplaza-

miento �s (t 0) en la dirección del vector unitario �v. Por ese hecho al valor (@�

@x;@�

@y) � �v

se conoce como derivada direccional del campo �, en el punto (x; y), en la dirección delvector v. Se observa que si la derivada direccional espositiva, la función � es creciente enesa dirección y sentido.

Se observa que la mayor variación por distancia recorrida se da en la dirección de

v = (@�

@x;@�

@y); y además en tal dirección y sentido

�� t�(@�

@x;@�

@y) � �v

��s

t

24(@�@x;@�

@y) �

(@�@x ;@�@y )��(@�@x ; @�@y )��

35�st

��(@�@x ; @�@y )��2��(@�@x ; @�@y )�� st

��(@�@x; @�@y )��s

Es decir que la derivada direccional (que es la máxima derivada direccional) se da en

la dirección y sentido del vector gradiente y su valor es

��(@�@x; @�@y )�� :

Por la importancia de este resultado, al vector (@�

@x;@�

@y) se lo conoce como Gradiente

de � en el punto (x; y)

25

1. Calcular la derivada direccional de �(x; y) = x2+y2 en el punto (1; 1) en la direccióni) v = (3; 4) , ii) v = (0; 2) , iii) v = (�3; 0) . En cuál de las direcciones es mayordicha derivada direccional ? .

2. Siendo � = x2 + y2 , hallar r� , jr�j . Explicar el signi�cado de los dos resultadosencontrados , sabiendo que �(x; y) representa la temperatura en el punto (x; y) .Comprobar el signi�cado de jr�j en el punto (3; 4)

3. Si bien r�(x; y) da "localmente"la dirección y sentido de mayor aumento de �, engeneral luego de un pequeño desplazamiento en dirección y sentido de la gradiente;se tendrá que el gradiente ya no es el mismo; es decir, que hay una nueva dirección demayor aumento. Si embargo, sin cambiar la dirección del vector gradiente � puedeseguir aumentando ( aunque no como máximo aumento ). Para el campo escalar�(x; y) = x2 � y determinar el vector gradiente en a) (x; y) = (2; 4); y encontrarhasta qué punto va aumentando � si una partícula se mueve de manera permanenteen dirección del vector gradiente en (2; 4) . b) Lo mismo que el inciso anterior, perocomenzando en (x; y) = (�1; 1)

4. Siendo � = 2xz4�x3y , hallar r� , jr�j . Explicar el signi�cado de los dos resultadosencontrados , sabiendo que �(x; y; z) representa la temperatura en el punto (x; y; z). Comprobar el signi�cado de jr�j en el punto (1; 1; 2)

5. Estudiar los ejercicios resueltos 8 , 9 (página 62, 63)

6. Sea � la función que da la distancia desde un punto cualquiera (x; y; z) a otro punto

�jo (a; b; c) . Mostrar que r� es un vector unitario en la dirección y sentido de!AP .

7. Hallar r jrj3 , siendo r = (x2 + y2 + z2)12 . Explicar el signi�cado del resultado

encontrado y comprobarlo para el punto (1; 2; 2) .

8. Demostrar que rf(r) = f0(r)r r

9. Siendo r�(r) = 2r4r , hallar �(r) .

10. Si �(x; y) = 0 representa una curva plana , entonces r�(x0; y0) es un vector perpen-dicular a dicha curva en el punto (x0; y0) que le pertenece . Veri�car este resultadopara las siguientes curvas ( de�nidas implícitamente )

a) y � x = 0 b) y � x2 . c) xy � 9 = 0 .d) x2 � y2 = 25 :e) x216 +y2

4 = 1

11. Sea P un punto cualquiera de la elipse cuyoo focos son los puntos A y B. Mostrarque los segmentos AP y BP forman ángulos iguales con la recta tangente a la elipseen el punto P . Nota : La elipse es el conjunto de puntos del plano cuya suma dedistancias a los dos focos �jos A y B es constante . ( Ver ejercicio 14 , página 63 )

12. Si �(x; y; z) = 0 representa una super�cie en el espacio , entonces r�(x0; y0; z0) esun vector perpendicular a dicha super�cie en el punto (x0; y0; z0) que le pertenece. Los anterior quiere decir que es perpendicular a todos los vectores tangentes delas curvas ubicadas en dicha super�cie y que pasan por el punto P . veri�car esteresultado para la super�cie esférica x2 + y2 + z2 = 1 , P = (0; 1; 0) y la curva x = 0, y = cos t , z = sin t


13. Determinar la ecuación del plano tangente al paraboloide z = x2 + y2 en el punto(1; 2; 5). Dicho plano tangente corta en algún otro punto a la super�cie ?

14. Para � = 2xz4 � x3y , hallar r� � _v , siendo _v un vector unitario . Tome (x; y; z) =(1; 2; 2) y v = (3; 4; 0) . Explique el signi�cado del valor encontrado . Compruebe (aproximadamente ) su a�rmación .

15. Resolver los Ejercicios Propuestos 62, 63, 64 , 65 (página 78 - 79)

16. Para el � = 2xz4 � x3 determine la dirección v tal que la variación por unidad delongitud recorrida ( longitud muy pequeña ) a partir de (1; 2; 2) valga 2

17. Se sabe que el gradiente de un campo escalar � = �(x; y) ( distribución de temper-atura ) está dado por r� = (2x;�y) y que la temperatura en el punto (2; 4) vale 6. Hallar el valor del campo escalar ( o la temperatura ) en el punto (6;�2)

18. Sea � = �(x; y) ( distribución de temperatura ) está de�nido en una lámina rectan-gular . Mostrar que :

a) si en un punto interior de la lámina se tiene localmente máxima o mínima tem-peratura , entonces se tiene que cumplir que r� en dicho punto debe valer 0 = (0; 0)

b) si en un punto de la frontera de la lámina se tiene localmente máxima temperatura, entonces r� debe formar un ángulo mayor o igual a 90� con la frontera ( en dichopunto ) de la lámina rectangular

19. Dado � = y � x2 (distribución de temperatura ) , determinar los puntos a mayortemperatura y/o menor temperatura ( localmente ) en a) la lámina rectangular devértices (4;�8) y (12;�8) .

b) en el segmento parabólico y � x2 + 4 , y � 20

c) en el circulo de centro (0; 4) y radio 4.

DIVERGENCIA

La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar. Por ejemplo, si el campo

27

inicial es un campo de velocidades de un líquido que se desplaza en el espacio; se tiene quesu campo divergencia, expresa "localmenteçómo varía el �ujo en cada punto del espacio

1. Dado el campo de velocidades de un líquido en el plano : i) bosquejar el campodibujando el vector velocidad en algunos puntos del plano . ii) calcular la divergenciadel campo de velocidades e indicar en su grá�co anterior dos curvas respectivamentedonde la divergencia sea constante .

a) V (x; y) = xi+ yj

b) V (x; y) = 3i

c) V (x; y) = yj

d) V (x; y) = rnr , para n = 3 , 2 , 1 , �1 . r =px2 + y2) , r =(x; y) :

2. En base al signi�cado de la divergencia , para cada uno de los casos del ejercicio 1;determinar los puntos del plano donde se tiene fuente , sumidero o ninguno de ellos.

3. Dado el campo de velocidades en el espacio V (x; y; z) = x2i+y2j+ z2k , determinarlos puntos del espacio donde se tiene fuente , sumidero o ninguno de ellos .

4. Dado el campo de velocidades en el espacio V (x; y; z) = xi + yj + zk , cuál es elsigni�cado físico del valor de su divergencia en cada uno de los puntos del espacio ?

5. Dado el campo de velocidades V (x; y; z) = 3k , calcular la cantidad de �uído queestá ingresando y la que está saliendo por unidad de tiempo en el paralelepípedodeterminado por los puntos (4; 0; 0) , (4; 6; 0) , (0; 6; 0) , (0; 0; 0) , (4; 0; 10) , (4; 6; 10), (0; 6; 10) , (0; 0; 10) .

6. Estudiar el ejercicio resuelto 21

7. Dado el campo de velocidades V (x; y; z) = (z2 � 10z)k , a) calcular la cantidadde �uído que se está creando en el interior del paralelepípedo del ejercicio anterior.Cuál es la cantidad que se está perdiendo?. b) Qué relación existe entre los anterioresvalores y la integral Z Z Z

V oldiv V dv

expresión que signi�ca la integral de la divergencia de V sobre el volumen vol encer-rado por el paralelepípedo.

8. De�nir un campo de velocidades en el espacio donde el valor máximo ( mínimo ) dela divergencia se de en el punto (4; 4; 0)

9. Dado el campo de velocidades V (x; y; z) = xi + yj + zk , y dado el recinto cúbicocon centro en el origen y lado 2h (h t 0 ), calcular la cantidad de líquido que estásaliendo del recinto manos el que está ingresando por unidad de tiempo ( �ujo total) y comparar con el valor de la divergencia del campo en el origen .

10. Dado un campo escalar , su gradiente es un campo vectorial ; y de dicho campovectorial se puede obtener su divergencia . Así también : dado un campo vectorial sepuede obtener su divergencia que es un campo escalar ; y de dicho campo se puedeobtener su gradiente .


a) Calcular div(grad �(x; y; z) ) , siendo �(x; y; z) = x2 + y2 + z2

b) Calcular grad( div V) si V (x; y; z) = x2i+ y2j + z2k

11. Qué signi�cado se puede asignar al valor encontrado en el inciso b) del ejercicioanterior si V es un campo de velocidades ? .

ROTACIONALEl rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial. Si por ejemplo, se tiene

un campo de fuerzas de�nido en el espacio; en cada punto la fuerza produce en cualquierlámina (objeto plano pequeño) dos efectos: una traslación y una rotación. Y aún más, el"nivel"de rotación de la lámina depende de la "inclinación"que la lámina tiene en el espa-cio. El campo rotacional del campo de fuerzas permite justamente calcular ese "nivel"derotación de la lámina en función de su "inclinación".

1. Dado el campo de fuerzas el plano : i) bosquejar el campo dibujando el vectorcorrespondiente en algunos puntos del plano . ii) calcular el rotacional del campo eindicar los puntos donde el rotacional es el vector nulo .

a) F (x; y) = xi+ yj

b) F (x; y) = �yi+ xj

c) F (x; y) = yj

d) F (x; y) = rnr , para n = 2 , �1 . r =px2 + y2) , r =(x; y) :

2. En base al signi�cado del rotacional, para cada uno de los casos del ejercicio 1;determinar los puntos donde una partícula estará sometida a una rotación , señalarel sentido de la rotación .

29

3. Calcular la circulación laminar del campo vectorial F (x; y) = �yi + xj sobre elcuadrado de vértices (�h;�h) ;siendo h un valor muy pequeño ( h t 0 ) :Comoel campo es variable , considere que es constante sobre cada lado del cuadradocon un valor igual al que toma en el punto medio de cada lado respectivamente;calcule el límite del cociente de dicha circulación sobre el área del cuadrado cuandoh t 0 :Compare ese valor con el valor del rotacional en el centro del cuadrado .

4. Dado el campo vectorial F (x; y; z) = (xz3;�2x2yz; 2yz4), calcular el rotacional deF en el punto (1;�1; 1). Si se coloca una partícula plana circular en el punto indicado, cuál es el comportamiento de dicha partícula ? .

5. En relación al ejercicio anterior , cuál es el signi�cado de los vectores componentesdel rotacional encontrado ; es decir , de (rot(F ) � i)i , (rotF � j)j , (rotF � k)k :? .

6. Siendo �!v = �!! ��!r ; donde �!! es un vector constante , demostrar que �!! = 12rot(�!v ) . Explicar el signi�cado del resultado encontrado en un contexto físico : �!v es

el evctor velocidad tangencial , �!! es el vector velocidad angular , y �!r es elvector posición de la partícula respecto de un origen ubicado en la recta direccionalo dirección de �!! .

Capítulo 5

INTEGRACION VECTORIAL YTEOREMAS INTEGRALES

INTEGRAL CURVILINEA, DE SUPERFICIE Y DE VOLUMEN

SOBRE EL CONCEPTO DE INTEGRAL

Para de�nir una integral se requieren de tres elementos: un dominio de integración(curva, super�cie o región sólida), una función de�nida en dicho dominio (integrando) yuna "medida" (longitud, área o volumen) de subconjuntos del dominio de integración.

La integral se calcula "desintegrando"en pedazos (o elementos) el dominio. Sobre cadapedazo se elige un punto. Se evalua la suma ponderada de los valores de la función enlos puntos elegidos donde los pesos son las "medidas"de cada pedazo o elemento. Esteproceso se repite haciendo que cada pedazo o elemento sea cada vez más pequeño (sumedida tienda a 0). Por ejemplo, para el caso de una función y = f(x), de�nida en unintervalo [a; b], la expresión básica para el cálculo de la integral, es

Z b

af(x)dx t f(x1)�x1 + f(x2)�x2 + f(x3)�x3 + ::::f(xn)�xn

y la generalización a otras funciones con diferentes dominios es "natural".

31

32 CAPÍTULO 5. INTEGRACION VECTORIAL Y TEOREMAS INTEGRALES

1. Calcular La integral de lineaZ B

AC

f(x; y)dx+ g(x; y)dy

óZ B

AC

(f(x; y); g(x; y) � (dx; dy)

óZ B

AC

F (x; y) � (dx; dy)

óZ B

AC

�!F � d�!r

donde A = (�1; 1) y B = (2; 4) , F (x; y) = (x� y; x+ y) ; y C es la curva de�nidapor y = x2:

2. Calcular la integral doble Z Zf(x; y)dA

donde la región A está limitada por y = x2 , y = 16 , f(x; y) = x� y

3. Calcular la integral de super�cie Z ZSf(x; y; z)ds

donde el dominio S es la super�cie triangular de vértices (4; 0; 0) , (0; 8; 0) y (0; 0; 12); f(x; y; z) = 4x� yz

33

4. Calcular la integral de triple o de volumen

Z Z ZVf(x; y; z)dv

donde el dominio V es el sólido limitado por el paraboloide z = x2 + y2 y el planoz = 16 ; f(x; y; z) = 4x� yz


TRABAJO Y TEOREMA DEL GRADIENTE

1. Dado el campo de fuerzas F (x; y) = (�y; x) , calcularHc F �dr ;a lo largo de la curva

que es el perímetro del cuadrado de vèrtices (0; 0) , (3; 0) , (3; 3) , (0; 3) ; en sentidoantihorario .Cuál es el signi�cado del valor encontrado ? .

2. Siendo F (x; y) = (2x+ y; 3y � x) , hallarRc F � dr , a lo largo de la línea quebrada

C del plano que une los puntos (0; 0) , (2; 0) y (2; 4) . Cuál es el signi�cado del valorencontrado ? .

3. Resolver los dos ejercicios anteriores realizando una aproximación a la integral delinea respectiva mediante una partición de la curva de integración en 12 y 6 pedazosrespectivamente .

4. Dado el campo vectorial F (x; y) = (�x;�y) calcular el trabajo realizado al moveruna partícula desde (1; 1) hasta (5; 5) a lo largo de la recta que los une : a) medianteuna integral , b) dividiendo el desplazameinto en cuatro partes y considerar que elcampo es aproximadamente constante en cada pedazo e igual al valor en el puntomedio del pedazo .

5. Veri�car el Teorema del Gradiente para el campo vectorial F = (x2 + 2y)i + (2x �y2 + 1)j y la curva por donde se desplaza la partícula está dada por y = x2 , desde(1; 1) hasta (�3; 9).

6. En el campo de fuerzas F = (x2 +2y)i+ (2x� y2 +1)j una partícula de masa m semueve según una trayectoria que pasa por los puntos (�2; 0) y (0; 4):a) Si su energíapotencial en el primer punto vale �10; y su velocidad 6ms

seg:Cuál es el valor de la

rapidez (o módulo de la velocidad) en el segundo punto?.

35

FLUJO Y TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

1. Dado el campo de velocidades V (x; y; z), calcular el �ujo o caudal por la làminatriangular de vértices (4; 0; 0) , (0; 4; 0) y (0; 0; 4) ; si a) F (x; y; z) = (x; 4; 4) , b)F (x; y; z) = (x; y; z)

2. Resolver el ejercicio anterior , siendo la lámina por donde para el líquido la super�ciecilíndrica de�nida por x2 + y2 = 4 , x � 0 , 0 � z � 8 .

3. Mediante una integral de volumen , calcular a) el volumen limitado superior e infe-riormente por la super�cie esférica x2 + y2 + z2 = 16 y lateralmente por el cilindrox2 + y2 = 1

4. La densidad ( variable ) en un punto cualquiera (x; y; z) del cubo de vèrtices (0; 0; 0), (2; 0; 0) , (2; 2; 0) , (0; 2; 0) , (0; 0; 2) , (2; 0; 2) , (2; 2; 2) , (0; 2; 2) está dada por�(x; y; z) = xy + z determinar la masa de dicho cubo .

5. Estudiar el ejercicio resuelto 36 de la página 131 del texto base . Comprobarlo parael campo de velocidades V (x; y; z) = x2i+ y2j + zk y el recinto cúbico de centro enel origen de coordenadas y lado h

6. Veri�car el Teorema de la divergencia para : a) V = 3k , recinto : super�cieesfèrica : x2 + y2 + z2 � 9. b) V = i + yj + zk , recinto : cubo de lado 2 ubicadoen el primer octante y con un vértices en (0; 0; 0)

7. Veri�car el teorema de la divergencia para V = xi + yj + z2k , y el recinto estálimitado por el cilindro y los planos : x2 + y2 � 4 , z � 8 , z � 0


8. Dado el campo de velocidades�!V = i + (y2 � 3y)j + 2zk , enuncie y veri�que el

Teorema de la Divergencia; siendo el recinto el cubo de lado 4 , con un vértice en elorigen de coordenadas y tres caras apoyadas en los planos coordenados del primeroctante.

9. Dado el campo de velocidades�!V = i+(y2�2y)j�4zk, a) Calcule div �!V , e indique

en qué región del espacio se está "creando"líquido . b) Determine cuáto de líquidoen la unidad de tienpo se está "creando"líquido en el recinto cúbico de lado 4, quetiene un vértice en el origen de coordenadas y tres caras apoyadas en los planoscoordenados del primer octante.

10. a) Se conoce que la divergencia de un campo de velocidades es r � V (x; y; z) =2(x+ y + z). Determinar la cantidad de lìquido que està saliendo menos lo que estàentrando por unidad de tiempo ( �ujo total ) en el cubo de lado 2 ubicado en elprimer octante y con un vértices en (0; 0; 0). b) determinar , si existe , un campode velocidades cuya divergencia sea justamente 2(x + y + z) ; en tal caso el incisoanterior empleando el campo de velocidades ( Teorema de la Divergencia )

EL TEOREMA DEL ROTACIONAL

1. Comprobar el Teorema del Rotacional cuando F (x; y; z) = (x2; y2; z2) y S es elcuadrado de vértices (0; 0; 0), (1; 0; 0) , (1; 1; 0) , (0; 1; 0). Indicar el signi�cado físicode cada miembro de la igualdad encontrada

2. Comprobar el Teorema del Rotacional cuando F (x; y; z) = (2x� y;�yz2;�yz2) y Ses la super�cie o hemisferio norte de la super�cie esférica x2 + y2 + z2 = 1

37

3. Realizar el ejercicio 65 de la página 134 del texto base y comprobarlo cuandoF (x; y; z) = �yi + xj + 3k , y la super�cie es el cuadrado ubicado en el planoz = 0 , de centro el origen y de lado h .

4. Realizar el ejercicio 73 de la página 134 del texto base . Qué es lo que expresa�sicamente el Teorema de Gauss ?.

5. Estudiar el ejercicio resuelto 36 de la página 131del texto base.

Capítulo 6

COORDENADAS CURVILINEAS

En un conjunto üniversoçomo una recta, una curva, un plano, una super�cie, el espa-cio es posible ubicar sus puntos mediante números. Esta manera de hacerlo se denominasistema de coordenadas. El procedimiento general es el de "llenar.el universo mediantefamilias de "puntos, curvas o super�cies", de manera que cada punto quede determinadopor la intersección de un elemento por cada familia. Cada elemento de una familia esdesignado por un número; lo que permite que cada punto sea determinado o ubicado por elconjunto de números que corresponden a los elementos que en su intersección determinanal punto.

(1; 1)

0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

x

y

r = sin �

1. Para los siguientes sistemas de coordenadas , calcular

a) los vectores tangentes unitarios en los puntos indicados

b) los vectores normales unitarios en los puntos indicados

Coordenadas Cartesianas : (3; 4) , (�5; 0)

Coordenadas Polares : (4;�

3) , (2;

�

2)

Coordenadas Oblícuas : (3; 4) , (�5; 0) . Con ecuaciones de transformación

u = x ; v = x� y

39

40 CAPÍTULO 6. COORDENADAS CURVILINEAS

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas : (2; 1) , (�2; 0) . Las ecuaciones de trans-formación ver en página 138 del texto base .

2. Considerando las bases B = f(1; 0); (0; 1)g y B = f(1; 1); (0;�2)g, determinar lasecuaciones de transformación

u = u(x; y) ; v = v(x; y)

que hacen que las bases dadas sean exactamente los vectores tangentes a las curvascoordenadas

3. Lo mismo que en el ejercicio anterior para las bases B = f(1; 0); (0; 1)g y B =f(�2; 1); (2; 4)g

4. Dado el sistema de coordenadas (u; v) cuyas ecuaciones de transformación a coorde-nadas cartesianas están dadas por

u = x� y ; v = 2y

dibujar las curvas coordenadas para u = 0 , �1 , �2 ,�3 ; v= 0 , �1 , �2 ,�3.Determinar los vectores tangentes y vectores normales a las curvas coordenadas enu = 1 , v = 2.

5. En relación al ejercicio anterior , determinar las componentes del vector (4; 8) re-specto de la base formada por los vectores tangentes y las componentes respecto dela base formada por los vectores normales o gradientes a las curvas coordenadas

6. Dado el campo vectorial F = xyi + 2yj , expresarlo en: a) coordenadas polares .

Comprobar su respuesta para el punto (�; �) = (2;�

2). b) coordenadas oblícuas del

ejercicio 1. Comprobar su respuesta para el punto (u; v) = (3; 4)

41

7. Para los siguientes sistemas , y en los puntos indicados , determinar :

a) ecuaciones de las curvas coordenadas

b) ecuaciones de las super�cies coordenadas

c) vectores tangentes unitarios y vectores normales unitarios

Coordenadas Cartesianas (2; 4; 0) , (0; 0; 1)

Coordenadas Cilíndricas (1;�

4; 2) , (2;

�

2; 4)

Coordenadas Esfèricas (1;�

2;�

2) , (2; 0;

�

2)

Coordenadas Oblícuas (2; 4; 6) , con ecuaciones de transformación

u = x ; v = x+ y ; w = x+ y + z

8. Dado el campo de velocidades V = (x+y)i�yj , expresarlo en coordenadas cilíndricasparabólicas . Comprobar su respuesta para el punto (3;�1)cp.

9. Expresar el vector posición de un punto r = xi+ yj, dado en el sistema cartesiano ,en los diferentes sistemas del ejercicio 1.

10. Expresar el vector posición de un punto r = xi+yj+zk, dado en el sistema cartesiano; en los diferentes sistemas del ejercicio 4.

11. Mostrar qued

dte� = �e� ;

d

dte� = ��e�

ver ejercicio 5, página 142 del texto base .

12. Expresar la velocidad v y la aceleración a del movimiento de una partícula en coor-dendas : a) polares , b) oblícuas ( del ejercicio 1 ) , c) esféricas .

ver ejercicio 6 , página 143 del texto base .

13. Hallar el elemento de línea para los diferentes sistemas del ejercicio 1, e indicar losfactores de escala correspondientes .

14. Plantear la integral para calcular , en los diferentes sistemas del ejercicio 1, la longitudde arco de la curva :

a) r(t) = (3t; 4t) , 0 � t � 2 : b) r(t) = (R cos t; R sin t) , 0 � t � � : c) r(t) = (t; t2), 0 � t � 3

15. Plantear la integral para calcular el volumen de los recintos que se detallan , en elsistema : a) cartesiano , b) cilíndrico , c) esférico :

El recinto limitado por x2 + y2 = 4 , z = 0 , z = 8

El recinto limitado por x2 + y2 + z2 = 9 , z2 = x2 + y2

16. Determinar los elementos de super�cie de las super�cies : a) r(x; y) = xi+yj+0k (plano z = 0 ) . b) r(u; v) = ui + vj + (u2 + v2)k ( paraboloide z = x2 + y2) . c)r(u; v) = (3 cosu sin v; 3 sinu sin v; 3 cosu) ( super�cie esférica x2 + y2 + z2 = 9 ) .


17. Expresar el gradiente de �(x; y) = x2+ y2 en los diferentes sistemas de coordenadasdel ejercicio 1 .En particular comprobar la equivalencia de sus resultados para elpunto de coordenadas cartesianas (3; 4).

18. Expresar el gradiente de �(x; y; z) = x2 + y2 + z2 en los diferentes sistemas decoordenadas del ejercicio 4 .En particular comprobar la equivalencia de sus resultadospara el punto de coordenadas cartesianas (2; 2; 1).

19. Expresar la divergencia del campo de velocidades v(x; y; z) = x2i+ y2j+ z2k en losdiferentes sistemas del ejercicio 4 . En particular comprobar la equivalencia de susresultados para el punto de coordenadas cartesianas (2; 2; 1).

20. Expresar el rotacional del campo de fuerzas F (x; y; z) = �yi + x2j + z2k en losdiferentes sistemas del ejercicio 4 . En particular comprobar la equivalencia de susresultados para el punto de coordenadas cartesianas (2; 2; 1).

21. Dado el campo vectorial F = xyi+ 2yj , expresarlo en coordenadas polares . Com-probar su respuesta para el punto (�; �) = (2;

�

2).

22. Dado el sistema de coordenadas (u; v) cuyas ecuaciones de transformación a coorde-nadas cartesianas están dadas por

u = x� y ; v = 2y

dibujar las curvas coordenadas para u = 0 , �1 , �2 ,�3 ; v= 0 , �1 , �2 ,�3.Determinar los vectores tangentes a las curvas coordenadas en u = 1 , v = 2.

23. Dado el campo de velocidades V = (x + y)i � yj , expresarlo en coordenadas u,v.Comprobar su respuesta para el punto (u; v) = (3;�1)COMPONENTES CO Y CONTRAVARIANTES

24. Aceptando que el vector posición , que en coordenadas cartesianas es r = xi + yj, es un Tensor Contravariente ; esto es , si las ecuaciones de transformación de unsistema X a otro sistema

___X están dadas como

_Ap=@xp

@xqAq

a partir del vector posición en coordenadas cartesianas determinar dicho vector encoordenadas :

a) Polares . b) En el sistema oblìcuo : x = u , y = u� vVeri�car grà�camente sus respuestas.

25. Aceptando que el vector velocidad , que en coordenadas cartesianas es r =dx

dti+dy

dtj

, es un Tensor Contravariente ; esto es , si las ecuaciones de transformación de unsistema X a otro sistema


_Ap=@xp

@xqAq

determinar dicho vector en coordenadas :

43

a) Polares . b) En el sistema oblìcuo : x = u , y = u� vc) Determinar , en los tres sistemas , el vector velocidad de la curva cuya posición -en cartesianas - está dada por

x = t2 ; y = 4t

Veri�car grà�camente sus respuestas.

26. Dado el campo de fuerzas del ejercicio 4, pàgina 142 del texto base ; resolver elejercicio considerando que dicho campo de fuerzas es un tensor contravariante .

27. Si consideramos un sistema de coordenadas u1 ; u2 , cuyas ecuaciones de transfor-mación a coordenadas cartesianas están dadas por : u1 = u1(x; y) , u2 = u2(x; y) ;los vectores perpendiculares a las curvas coordenadas o curvas de nivel u1(x; y) =c1 , u2(x; y) = c2 ; vectores que se determinan hallando ru1 y ru2; forman una basedenominada COVARIANTE . Por ejemplo :

En polares � =px2 + y2 = c1 y � = tan�1(

y

x) = c2 ( circunferencias y semirrectas

) son curvas de nivel ; y

r� =xp

x2 + y2i+

ypx2 + y2

j

r� =�y

x2 + y2i+

x

x2 + y2j

constituyen la base covariante del sistema . Si (x; y) = (1; 1) ;entonces la base co-varainte es :

r� = 1p2i+

1p2j ; r� = �1

2i+

1

2j

Si las ecuaciones de transformación - de un objeto físico , de un sistema X a otrosistema


_Ap =

@xq

@xpAq

dicho objeto se denomina Tensor covariante de orden 1 . En cada caso , los A sonlas coordenadas del objeto fìsico en la base covariante .

Se sabe que la gradiente de un campo escalar � es un tensor covariante ; encontrarla gradiente del campo escalar

� = �(x; y) = xy

en los sistemas

a) Polares . b) En el sistema oblìcuo : x = u , y = u� vVeri�que grà�camente sus respuestas.

28. Lo mismo que el ejercicio anterior , peor para el campo escalar : � = �(x; y; z) =x2 + y2 + z2 en los sistemas

a) Esfèricas . b) En el sistema oblícuo : u = x , v = y , w = x+ y + z

Realize una representación grá�ca de sus resultados.

Capítulo 7

INTRODUCCION AL CALCULOTENSORIAL

Esta última práctica se completará de acuerdo al avance programático , de manera quese pueda completar al menos una introducción al cálculo tensorial .

1. Dadas las bases B = fe1; e2; ::::; eng y B = fe1; e2; ::::; eng, donde se tiene las rela-ciones

x = xpep = xqeq

eq = Apqep ; ep = Aqpeq

se cumple quexp = Apqx

q ; xq = Aqpxp

las xp y las xq se denominan componentes contravariantes del vector x respecto delas bases B y B respectivamente . Veri�car dichas relaciones para

a) x = (8; 4) , B = f(1; 1); (0; 2)g y B = f(�1; 1); (1; 0)gb) x = (�4; 0) , B = f(1;�1); (0;�1)g y B = f(1; 2); (2;�1)g

2. Dados los vectoresx = xpep ; y = y

qeq

su producto escalar x � y está dado por

x � y = xpyqep � eqx � y = gpqx

pyq ; con gpq = ep � eq

determinar gpq para la baseB = f(1; 1); (0; 2)g y grs para la baseB = f(�1; 1); (1; 0)g ,en ambos casos realizar el producto escalar de los vectores x = (3; 4) y y = (1;�2)

3. Dado el vector x = xpep , se dice que los xp son las componentes contravariantes delvector x respecto de la base B. Por otro lado los valores

xq = x � eq

se denominan las componentes covariantes del vector x respecto de la base B.

Determinar las componentes contravariantes y covariantes del vector x = (3; 4) re-specto de la base B = f(1;�1); (2; 2)g

45

46 CAPÍTULO 7. INTRODUCCION AL CALCULO TENSORIAL

4. Las componentes contravariantes y covariantes de un vector x, se trasforman segúnlas ecuaciones

xp = Apqxq ; xq = A

qpxp

xp = Aqpxq ; xq = A

pqxp

Veri�car las anteriores ecuaciones de transformación para el vector x = (3; 4) respec-tos de las bases B = f(1; 0); (2; 2)g y B = f(�1; 1); (1; 1)g

5. Comprobar que las componentes covariantes de un vector x respecto de una baseB , son iguales a sus componentes respecto de los vectores normales a las curvascoordenadas de�nidas por las ecuaciones de transformación u = u(x; y) , v = v(x; y).Tome como caso concreto x = (4;�2) y la base B = f(�1; 1); (1; 1)g

6. Existen dos maneras de realizar transformación de componentes contravariantes ycovariantes : a) usando los coe�cientes Apq y A

qp de�nidas por los cambios de base .

b) usando las ecuaciones de transformación de coordenadas x1 = x1(x1; x2) , x2 =x2(x1; x2)

Veri�que las a�rmaciones anteriores para x = (2;�2) , siendo B = f(1; 0); (0; 1)g yB = f(�1; 1); (1; 1)gNota : en el análisis tensorial se emplea la segunda forma debido a que , por la formadel espacio estudiado , las base van cambiando de punto a punto ; y en este caso esmás simple manejar las ecuaciones de transformación .

7. Realizar la suma, diferencia, producto externo, producto interno de los vectores a)Ap y Bqs en un espacio de 2 dimensiones. b) Ap y Bq

Repasar los Ejercicios Resueltos

8. Ejer 1 (pag:175)

9. Ejer 3 (pag:176)

10. Ejer 7 (pag:177)

11. Ejer 9 (pag:179)

12. Ejer 28 (pag:186)

13. Ejer 30 (pag:187)

14. Ejer 35 (pag:189)

15. Ejer 41 (pag:191)

Ejercicios sobre símbolos de Christo¤elEjercicios sobre derivada covarianteEjercicios sobre gradiente, divergencia y rotacional

analisis vectorial y tensorial semestre ii/2018

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