análisis ii (temas 4, 5 y 6) matematicas
TRANSCRIPT
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
1/58
Matemticas 2 de Bachil lerato Ciencias y Tecnologa
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
2/58
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
3/58
Se llamaTasa de Var iacin M edia
de una funcin en un intervalo al cociente
entre los incrementos de la funcin y de la variable, es decir:
T.V.M. [a,b] =)()(
Grficamente:
Como podemos ver, si dicha tasa es positiva indica que la funcin es creciente en dicho
intervalo, mientras que si es negativa la funcin ser decreciente.Adems, cuanto mayor sea dicha T.V.M. indicar un crecimiento (o decrecimiento) ms
rpido de la funcin en el intervalo correspondiente.
Ejercicio:
Calcular la tasa de variacin media de la funcin 25)( en los
intervalos [1,2] y [4,5] e interpretar los resultados.
Si ahora consideramos un nmero (positivo o negativo), la T.V.M. en el intervalo
ser:)()(
Si el valor se va haciendo cada vez ms pequeo (se acerca a 0), dicha tasa nos dar lavariacin de la funcin en el punto .
Se llama y la designaremos por , al lmite de
la tasa de variacin media cuando el incremento de la variable tiende a cero, es decir:
)()(lim)('
0
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
4/58
Ejemplo: Calcular la derivada de la funcin 3)( 2 en el punto
3)3(lim)3(
lim0
03lim
2121lim53)1(1lim)1()1(lim)1('
00
2
0
2
0
2
00
Ejercicio: Calcular la derivada de la funcin ( ) en el punto y en el
punto
Si llamamos , la derivada puede expresarse como:
)()(lim)('
Expresin que resulta ms sencilla de utilizar en la prctica.
Ejercicio: Calcular la derivada de la funcin 4)(2
en el punto
Demostracin:
Sabemos que para que una funcin sea continua en , tiene que cumplir que
lim ( ) ( )
Calculamos entonces eselmite:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( ) lim lim( ) lim ( )
'( ) 0 ( ) ( )
Y por tanto la funcin ser continua en
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
5/58
Por tanto, antes de ver si una funcin es derivable en un punto, veremos si es continua
en dicho punto, ya que si no lo es, tampoco ser derivable y no habr que hacer nada
ms.
En las funciones a trozos, se hablar dederivadas laterales:
)()(lim)(' ;
)()(lim)('
Y la derivada tendr sentido si ambas derivadas laterales coinciden.
Ejemplo1: Calcular laderivada de la funcin12
11)(
2
en el 1
Primero vemos si es continua:
2)1( ; 2)(lim22lim)(lim
21lim)(lim
1
11
2
11
Luego la funcin es continua en 1
Calculamos las derivadas laterales:
2)1(lim1
11lim
0
0
1
1lim
1
21lim
1
)1()(lim)1('
11
2
1
2
11
21
12lim
0
0
1
22lim
1
)1()(lim)1('
111
Como ambas derivadas laterales coinciden podemos decir que la funcin es derivable en
el 1 y que adems su derivada vale 2:
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
6/58
Ejemplo2: Calcular la derivada de la funcin
2 0
( )0
1
en el 0
Primero vemos si es continua:
;
2
10
0
10
lim ( ) lim 1
lim ( )
lim ( ) lim 01
Luego la funcin no es continua en 0 y por tanto tampoco es derivable en 0.
Ejercicio:
Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
a)112
1 en b)
0
0
2
en
c) en y en
d) 2( ) 6 en y en
e)0 1
( )1 1
en
Ya hemos comentado que la derivadatiene que ver con la variacin de una funcin.
En fsica, por ejemplo, la derivada del espacio respecto al tiempo indica la velocidadinstantnea.
Pero nos vamos a centrar en la interpretacin de la derivada desde el punto de vista de la
geometra:
Consideremos la recta que une los puntos y :
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
7/58
La pendiente de esa recta se calcula como la segunda coordenada del vector director
entre la primera. Como dicho vector es ( ) ( ), , se obtiene que la
pendiente de esa recta ser:( ) ( )
Si hacemos que se acerque a , (que en matemticas es tomar lmite), dicha recta
terminar tocando a la funcin slo en el punto , y por tanto se convertir en la
recta tangente a la grfica de en dichopunto, y su pendiente ser:
( ) ( )lim
Que es justamente la definicin de derivada. Por tanto:
La ecuacin punto-pendiente de dicha rectatangente ser:
))((')(
Como adems sabemos que la pendiente de una recta es la tangente trigonomtrica del
ngulo que forma dicha recta con la parte positiva del eje X, podemos decir que:
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
8/58
As, si la derivada de una funcin en un punto vale 1, podemos decir que la recta
tangente a la grfica de dicha funcin en ese punto forma un ngulo de 45 con eje X, ya
que 45 1
La a la grfica de una funcin en un punto es la recta perpendicular a la
recta tangente en dicho punto. Como sabemos que las pendientes de dos rectas
perpendiculares son inverso-opuestas,
ser:
1( ) ( )
'( )
Ejemplo:
Calcular la ecuacin de la recta tangente y de la recta normal a la funcin
3)(2
en el 1
Calculamos
Como vimos en el ejemplo,
Luego sustituyendo en la ecuacin de la recta tangente tenemos:
O lo que es lo mismo:
Y sustituyendo en la ecuacin de la recta normal:1
5 ( 1)3
O lo que es lo mismo:1 16
3 3
Ejercicio:Calcular las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la funcin
432)(2 en el punto de abcisa 2
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
9/58
Una funcin es derivable en un intervalo si lo es en todos los puntos del intervalo.Para estudiar por tanto la derivabilidad de una funcin habr que tener en cuenta eldominio y los puntos donde puede no ser continua (donde cambia la funcin en las
funciones a trozos).
Ejemplo:
Estudiar la derivabilidad de la funcin2
3 1 1( )
1 1
Como su dominio es , el nico punto donde puede no ser continua o derivable es
en el 1.
Vemos si es continua:
11
2 111
lim ( ) lim3 1 2lim ( ) 2 (1)
lim ( ) lim 1 2
Luego la funcin es continua en 1.
Vemos si es derivable:
1 11
2 2
1 1 1 11
3 1( ) (1) 3 1 2'(1 ) lim lim lim 3
1 1 1
( ) (1) 1 2 1 ( 1)( 1)'(1 ) lim lim lim lim lim( 1) 2
1 1 1 1
Como las derivadas laterales no son iguales, esta funcin no es derivable en el 1.
Luego la funcin es derivable en menos en el 1.
Supongamos una funcin derivable en un determinado intervalo.
Se llama funcin derivada de f (o simplemente ) a una nueva funcinque asocia a cada valor de dicho intervalo laderivada de la funcin en ese punto, es
decir, .A la derivada de la llamaremos o bien :
)()(lim)(')(
0
Destacar que la derivada de una funcin en un punto daba un nmero, mientras que al
hacer la funcin derivada se obtiene una nueva funcin
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
10/58
Ejemplo:
Calcular la funcin derivada de 2)(
22lim2lim002lim
2limlim
)()(lim)('
00
2
0
222
0
22
00
Luego la funcin derivada de la funcin 2)( es la funcin 2)('
Esto permite calcular la derivada en cualquier punto simplemente sustituyendo, sinnecesidad de volver a hacer los lmites para cada punto.
Por ejemplo, en este caso, ,...10)5(';4)2(';2)1(';0)0('
Ejercicio:
Calcular las funciones derivadas de: )(;2)(;13)( 2
Tambin se puede hablar de la funcin derivada de , que se llamade f y se representa por f (x)
De la misma manera se hablar de la tercera, cuarta, quinta derivada. En general se
habla de laderivada n-sima,
En el ltimo cuarto del siglo XVII, Newton y Leibniz, de manera independiente,
sintetizaron la maraa de mtodos infinitesimales (clculo de lmites) usados por sus
predecesores, y desarrollaron unas reglas para manipular la derivada -reglas dederivacin-, que nos permite calcular derivadas de manera mucho ms sencilla:
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
11/58
f(x)=k f(x)=0 f(x)=8 f(x)=0
)( 1)('
)(1
)('3
)(2
3)('
21
)(2
1
2
1)(' 2
1
1
)( 1
1)(' 3)(
3 23
1)('
)( )(' 2)( 22)('
)( )('
log)(1 1
`( ) 3log)(1 1
`( )3
)( 1)('
( ) '( ) cos
( ) cos '( )
( ) 2 22
1'( ) 1 sec
cos
( )2
1'( )
1
( ) arccos2
1'( )
1
( )2
1'( )
1
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
12/58
)( )(' 23)( 6)('
)()( )(')(' 325)(3
215)('2
)()( )(')()()(' 3)(1
3)('32
)(
)(2
)(
)(')()()('
1
2)(
3
2
23
223
1
)3(214)('
Ejercicios:
Calcular las derivadas de:
1
1)()
1)()
325
132)()
4)()log23)()
1)()5log)()2)()
35
2)()1)())()
33)()32)()563)()
2
23
4
2
3
23
32
332
Adems de todas estas reglas, hay otra regla fundamental que se usa para derivar
funciones que son a su vez funciones de otras, como por ejemplo 12 .
Dicha regla se llamaregla de la cadena:
)('))((')(
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
13/58
En el ejemplo anterior, la funcin sera la exponencial y la el polinomio, y siguiendo
esta regla su derivada sera: 212
Otros ejemplos:
2323)(';2)(
331
1)(';)31()(
1232
1)(';3)(
22333
2
2
Podemos crear, usando la regla de la cadena, unas reglas paralelas a las anteriores pero
para funciones compuestas:
)( 1)(' )( )(')(1
21
)(2
1
2
1)(' 2
1
)()(2
)('
1
)( 1
1)(' )( 1
)(
)('
)( )('
)(
)('
)(
)( )(' )( )(')(
log)( log1
)`( )(log log)(
)`(
)(1
)(' )()(
)('
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
14/58
( ) '( ) cos ( ) cos ( ) '( )
( ) cos '( ) cos ( ) ( ) '( )
( ) 2 22
1'( ) 1 sec
cos( )
2
2
2
1 ( ) '( )
sec ( ) '( )
1'( )
cos ( )
( )2
1'( )
1( )
2
1'( )
1 ( )
( ) arccos 2
1'( )
1arccos ( ) 2
1'( )
1 ( )
( )2
1'( )
1arc ( )
2
1'( )
1 ( )
Ejemplos:
2 25 2 5 2
2 2
1 1( ) ; '( ) ( ) 3 ; '( ) 3 3 10
2
3 1 2( ) log 3 5 ; '( ) ( ) ; '( )
3 5 10 2 2
Ejercicios:
Calcular las derivadas de:3
2 2 2
3 1
13 32
2
2
2 2
3
2) ( ) ) ( ) 1 ) ( ) 1 1
2 3 2) ( ) ) ( ) 3 ) ( )4 log 3 5
1 (2 )) ( ) 5 1 ) ( ) ) ( ) ( (3 1))
1 cos(2 )
) ( ) 1 cos 1 ) ( ) 3log (2 1)
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
15/58
Este tipo de derivacin se usa para derivar potencias en las que tanto la base como el
exponente son funciones, es decir:( )
( ) ( )
La tcnica de la derivacin logartmica sigue una serie de pasos:
- Tomar logaritmos en ambos miembros de la igualdad:( )
( ) ( )
( )( ) ( )
- Aplicar la propiedad de logaritmo de una potencia:
( ) ( ) ( )
- Derivar en ambos miembros de la igualdad:
'( ) '( )'( ) ( ) ( )( ) ( )
- Despejar '( )
'( )'( ) '( ) ( ) ( ) ( )
( )
Ejemplo: Calcular la derivada de3 2
2( ) 1
Siguiendo los pasos anteriores:
3 22
2
2
2
2
2
3 22 2
2
( ) 1
( ) 3 2 1
'( ) 23 1 3 2
( ) 1
2'( ) 3 1 3 2 ( )1
2'( ) 3 1 3 2 1
1
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
16/58
Ejercicio:
Calcular la derivada de:
2
) ( ) 2 1 ) ( )
La derivada de una funcin a trozos es otra funcin del mismo tipo cuyos trozos son las
derivadas de los trozos de la funcin original.
Ejemplo:
22
222
)('22
212
)( 2
2
Ntese que no hemos puesto el igual en el 2. Por qu?
La razn es muy sencilla: no sabemos si la funcin es derivable o no en dicho punto, y
hasta que no lo sepamos no podemos decidir si le ponemos el igual o no.
Luego para calcular la funcin derivada de una funcin a trozos lo primero es ver si es
continua (recordemos que si no lo es no es derivable) y luego ver si las derivadas
laterales coinciden. Para esto no hace falta acudir a la definicin original, sino derivarusando las reglas y ver si los lmites de las derivadas de cada trozo coinciden.
Hagamos el ejemplo completo:
Primero vemos si es continua en 2 (Su dominio es todo y en ningn otro punto
tendr problemas de continuidad):
1)2(
)1(1)(lim
12
lim)(lim
112lim)(lim
2
22
2
22
y por tanto es continua
Calculamos su posible funcin derivada (usando las reglas):
22
222
)('2
2212
)(2
2
Para saber si es derivable en 2 calculamos los lmites de las derivadas laterales:
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
17/58
2
12lim)('lim)2('
222lim)('lim)2('
222
22
La funcin no es derivable en 2
Y por tanto su funcin derivada es:2
2222
)('2
Obsrvese que ya no hace falta calcular las derivadas laterales usando la definicin de
derivada, sino directamente las reglas de derivacin.
:
Si hubiera salido derivable en 2, la funcin derivada hubiera sido
22
222
)('2
Ejercicio:
Calcular la funcin derivada de las funciones:
)
1
123)
22
)
1)1(3
0)
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
18/58
1.- Calcula la tasa de variacin media de la funcin 3 en los intervalos:
a) [-1,0]; b) [0,2]; c) [2,3].
2.- Calcula la tasa de variacin media en el intervalo [0,2] para las funciones:
1
1)24)2)3) 22423
Calcula, aplicando la definicin, las derivadas de las siguientes funciones en lospuntos que se indican:
3
) ( ) 0
) ( ) 2 1 2
) ( ) 1
4.- Dada la funcin definida mediante , halla la ecuacin de las
rectas tangente y normal en el punto de abscisa 0
5.- Calcula la ecuacin de la recta tangente a la funcin en el punto (1,0)
6.- Halla la funcin derivada de estas funciones y calcula su valor en los puntos que
se indican:
1123)()2
012
1)()
11
2)()
22
2
3)()
7.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
4
53)32)32)
32
5)
3
3
2)334)
32
2345
8.- Calcular en que punto la derivada de la funcin 23)(2 vale 1
9.- Para que valor de x la tangente a la curva 8)(2
, ser paralela al eje
OX?
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
19/58
10.- Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a las siguientes funciones en los
puntos que se indican:
3 2 2
2 3 2
) ( ) 2 1 1 ) ( ) 5 8 1 2
2) ( ) 0 ) ( ) ( 1) 02
) ( ) 3 4 2 ) ( ) 6 9 (1,4)
11.- Halla un punto de la funcin en el que la tangente sea paralela a la
recta .
12.- Determina los puntos de la curva en los que la tangente tiene una
inclinacin de 45
13.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
9) 10) 11)
12) 13) 14)
15) 16) 17)
18) 19)2
20) log
21) 12 22) 23)2
24) 3 26 25)2
13 26)
331
27)
2 5
21
28) 3 29)4
2
3
30) 13
231)
3log
2
3 32)53
1
33)4
2 3 34) 22 5123 35)1
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
20/58
36)312 37)
2
38) 35 22
39)2
40) 3213
52
41)3
3 42)3cos
21 2 43) n
44) 2( 1) 45)3
cos
14.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones y calcular su
funcin derivada:
a)0
0b)
c)112
1d)
e) f)
221
23)(
g) ( ) h)
i) j)
02
1 cos2
k)11 cos 1
( ) 1
0 1
15.- Calcula a y para que las siguientes funciones sean derivables en todo
a) b)2
2
5 1( )
1
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
21/58
16.- Dada la funcin ( ) , calcular '( ) , ''( ) , '''( )
17.- Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a las siguientes funciones en los
puntos que se indican:
2
) 0, 2, 22
) 1 0,
18.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
a) ( ) sec b)
2
( )cos
c) 1 1( ) cos d)2
( ) cos
e)2 cos
( )cos2
f)
2 2 1
( )cos
g)2cos 1
2( ) 1 h)
3
( )
19.- Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva22
1 en el
punto
20.- Hallar el punto de la curva2
5 6 en el que la recta normal es
perpendicular a la recta 5 0
21.- Hallar los puntos de la funcin 21
( ) 4 44
en los que la recta tangente
pase por el punto (0,0)
22.- Halla la funcin derivada de la funcin ( ) 2 1
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
22/58
23.- Dada la funcin:
214
24
3
)(2
a) Estudiar su continuidad y derivabilidad y calcularsu funcin derivadab) Existe algn punto donde la derivada valga 0?
c) Calcular la ecuacin de la recta tangente en el punto de abcisa 3
24.- Existe algn punto en esta funcin en el que la derivada sea negativa?Razona
la respuesta
25.- a) Indica, en la grfica de la funcin, los puntos en los que la derivada es cero.
b) En x=2, la derivada es positiva o negativa?. c)Y en x=0?
26.- Una partcula se mueve a lo largo de la grfica de la curva2
2, 1
1
En el punto4
2,3
la abandona y sigue desplazndose a lo largo de la recta
tangente a dicha curva. Cul es sta?
27.- Hallar la ecuacin de la recta que corta perpendicularmente a la curva21 en el origen de coordenadas
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
23/58
28.- Calcula las derivadas de las siguientes funciones y simplifica el resultado lo
mximo posible:
a)2
( ) 1 b) 2( ) 2 1
c) ( ) 1 cos cot d) 1( )1
e)1
( )1
f)1
( )1
29.- Hallar todas las posibles rectas tangentes a la curva4 que pasan por el punto
(2,0)
30.- De todas las rectas tangentes a la funcin 1( ) , calcular la que pasa por el
origen de coordenadas
31.- Calcula el valor de sabiendo que la recta tangente a la funcin2
( ) en
el punto de abscisa es horizontal.
32.- Sea : la funcin definida por3
2
2( )
1, y sea P el punto de corte
de la grfica de con su asntota. Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica
de en el punto P.
33- Dada la funcin:
2
0( )
0
a) Calcular y para que sea derivable en todo y calcular su funcin
derivada
b) Representarla grficamente
c) Calcular la ecuacin de la recta tangente a la grfica de en el punto de
abscisa 0d) Existe algn punto donde la recta tangente sea horizontal?
34.- Igual que el ejercicio anterior para la funcin:
21 0
( )0
1
35.- Dada2
( ) , calcular '( ) , ''( ) , '''( )
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
24/58
36.- Calcula las ecuaciones de la recta tangente y normal en el punto de abscisa x = 0 a
la funcin:3
2
2( ) 2
4
37.- Dada la funcin2
2( )
1 2
Calcular los valores de , y para que sea continua y derivable en todo su
dominio y adems verifique que
38.- Dada la funcin:
2
4 8 2
( ) 4 2 2
4 8 2
a) Estudiar su derivabilidad y calcular su funcin derivada
b) Representar grficamente las funciones y
39.- Una funcin : viene dada por la grfica:
a) Estudiar su continuidad
b) Estudiar su derivabilidad
c) Halla '( 1) , '(1) , '(3)
d) Existe algn intervalo donde la derivada de sea negativa?
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
25/58
REGLA DE LHPITAL
Esta regla fue enunciada por , en1696 y su aplicacin resulta fundamental en el clculo de lmites:
Sean y dos funciones derivables en un entorno de un punto y tales que
lim ( ) lim ( ) 0 . Entonces:
Si'( ) ( ) '( )
lim lim lim'( ) ( ) '( )
Esta regla tambin es vlido si lim ( ) lim ( ) y si cambiamos el lmite en elpunto por un lmite en el infinito.
Esto significa que la Regla de LHpital sirve para resolver indeterminaciones del tipo
0
0, sin ms que derivar por separado las funciones del numerador y del
denominador.
Ejemplo: Calcular2
0
3 1lim
Como es del tipo0
0, podemos aplicar LHpital y derivar cada funcin del cociente:
2
0 0
3 1 0 6lim ' lim 1
0 cos
La gran ventaja de esta regla es, adems, que es recurrente, es decir, podemos aplicarla
tantas veces como queramos hasta resolver laindeterminacin correspondiente:
Ejemplo: Calcular20
(3 ) 2 3lim
Aplicando LHpital:
20 0 0
(3 ) 2 3 0 (3 ) 2 0 (3 ) 1lim ' lim ' lim
0 2 0 2 2
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
26/58
Si bien tericamente esta regla no sirve para resolver indeterminaciones del tipo
1 , en muchos casos stas se transforman en indeterminaciones del tipo
0
0, con lo que ya s podemos aplicar LHpital.
Como ejercicio, calcular1
lim cos
Aparecen adems nuevas indeterminaciones que, con un poco de habilidad, se pueden
transformar en indeterminaciones a las que s se les puede aplicar LHpital.
El ejemplo ms notorio son las indeterminaciones del tipo 0 . En este caso
conviene pasar uno de los dos factores como denominador y obtendremos
indeterminaciones del tipo0
0.
Ejemplo: Calcular0
lim
0 0 0 0
2
1
lim 0 lim ' lim lim 01 1
intrumento
Ejercicios:
1.- Calcular los siguientes lmites:
a) lim b)20
1 coslim c)
1
1 1lim
1
d)1
cos
2
lim e)0
lim1
2.- Calcula las asntotas de la funcin: ( )1
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
27/58
Sea : y :
Se dice que
Existe un entorno del punto , , tal que:, ( ) ( )
, ( ) ( )
De la misma manera:
Se dice que
Existe un entorno del punto , , tal que:
, ( ) ( )
, ( ) ( )
Una funcin es , si es creciente
(decreciente) en todos los puntos del intervalo, o tambin, si
, , , ( ) ( ) ( ) ( )
Es decir, si a valores mayores de la variable independiente le corresponden valores
mayores (menores) de la variable dependiente.
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
28/58
Consideremos la grfica de una funcin como la siguiente
En ella puede observarse que la funcin es:- Creciente en los intervalos y
- Decreciente en los intervalos y
Como podemos observar, la pendiente de la recta tangente es positiva donde la funcin
es creciente, y negativa donde sta es decreciente.
Recordemos que la pendiente de la recta tangente en un punto era precisamente el valor
de la derivada en dicho punto.
Adems, en aquellos puntos donde la funcin no es ni creciente ni decreciente, la recta
tangente es horizontal, y, por tanto, la derivada en dichos puntos valdr 0.
Teorema 1
Sea : , y derivable en (y por tanto continua). Entonces:
'( ) 0 '( ) 0
Teorema 2
Sea : , , continua en , y derivable en , . Entonces:
'( ) 0 , , ,
Teorema 3
Sea : , , continua en , y derivable en , . Entonces:
'( ) 0 '( ) 0 , ,
,
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
29/58
De todo esto podemos sacar conclusiones y obtener un mtodo para estudiar la
monotona de una funcin (intervalos donde es creciente y decreciente):
Calcular el dominio de la funcin
Calcular la funcin derivada e igualarla a 0. Esto nos dar los puntos donde la
recta tangente es horizontal, es decir, donde la funcin no es creciente ni
decreciente. A estos puntos se les llama puntos singul ares o puntos crticos.
Dividir el dominio de la funcin en intervalos teniendo en cuenta los puntos
crticos. En caso de que sea una funcin a trozos, tambin habr que tener en
cuenta los puntos donde no sea continua o donde no sea derivable.
Sustituir la primera derivada en un punto de cada uno de esos intervalos y tener
en cuenta que:
0)(' 0
0)(' 0
Ejemplo 1:
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin
296)(23
D =
9123)(' 2
Si igualamos a cero y resolvemos la ecuacin correspondiente:
3,1091232
que son los puntos crticos de la funcin
Teniendo en cuenta estos puntos, el dominio de la funcin queda dividido en tres
intervalos:
Cogemos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la derivada:
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
30/58
09)0(' es creciente en el intervalo 1,
03)2(' es decreciente en el intervalo 3,1
09)4(' es creciente en el intervalo ,1
Ejemplo 2:
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin
2)(
2
D = -{-2}
2
2
2
22
2
2
2
4
2
42
2
22)('
Si igualamos a cero y resolvemos la ecuacin correspondiente:
4,004042
que son los puntos crticos de la funcin
Teniendo en cuenta estos puntos, el dominio de la funcin queda dividido en
cuatro intervalos:
Cogemos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la derivada:
055)5('
4es creciente en el intervalo 4,
03
3)3('
4es decreciente en el intervalo 2,4
03)1(' es decreciente en el intervalo 0,2
05)1(' es creciente en el intervalo ,0
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
31/58
Ejercicio:
Calcular los intervalos de monotona de las funciones:
a)3
2( )
4
b) 2( ) 3 1 c)2
( ) ( 1)
d)2
01
( )
4 0
Sea : y :
Se dice que
Existe un entorno del punto , , tal que:
, ( ) ( )
De la misma manera
Se dice que
Existe un entorno del punto , , tal que:
, ( ) ( )
Teorema 4
Sea : , y derivable en (y por tanto continua). Entonces:
'( ) 0
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
32/58
Esto significa que, en los extremos relativos (mximos o mnimos) la recta
tangente es horizontal y por tanto la derivada vale 0.
Los posibles extremos relativos coinciden por tanto con los puntos que seobtienen al igualar la primera derivada a 0 y resolver la ecuacin correspondiente, esdecir, con los puntos crticos.
Para saber si un punto crtico es un mximo o un mnimo relativo basta confijarse en la monotona del intervalo anterior y del posterior. Esto es:
0
)(, 00
0
)(, 00
La segunda coordenada de un punto de la grfica de una funcin se calcula sustituyendo
la primera en dicha funcin.
Ejemplo1:
La funcin 296)(23 tiene dos puntos crticos: el 1 y el 3
Observando su monotona, dicha funcin alcanza un mximo relativo en el punto
Alcanza tambin un mnimo relativo en el punto
Ejemplo2:
La funcin2
)(2
tiene dos puntos crticos: el -4 y el 0 (el -2 no era un punto
crtico, sino que se ha tenido en cuenta en la monotona por no estar en el dominio de la
funcin)
Observando su monotona, dicha funcin alcanza un mximo relativo en el punto
Alcanza tambin un mnimo relativo en el punto
Criterio de la Segunda Derivada
Se puede saber tambin si un punto crtico es un mximo o un mnimo de una funcin
sin necesidad de calcular previamente toda la monotona.
Teorema 4
Sea : , 0 y dos veces derivable en 0 . Entonces:
0 0'( ) 0 ''( ) 0 )(, 00
0 0'( ) 0 ''( ) 0 )(, 00
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
33/58
Entonces, una vez calculados los puntos crticos, se calcula la segunda derivada (que es
la derivada de la primera derivada, ) y se sustituyen en ella:
Ejemplo1:
La funcin 296)(23 tiene dos puntos crticos: el 1 y el 3
Se han obtenido igualando la primera derivada a 0: 9123)('2
Calculamos la segunda derivada: 126)('' y sustituimos en los puntos crticos:
06)1('' alcanza un mximo relativo en el punto
06)3('' alcanza un mnimorelativo en el punto
Ejercicios:
1.- Comprobar, usando el criterio de la segunda derivada, los extremos relativos de
la funcin del ejemplo 2
2.- Estudiar los extremos relativos de las funciones:
a) 422)( b) 1)( 23
c)4
)(2
d) ( )
e)( 1) 0
( )1 0
Sea : , .
Para calcular los mximos y mnimos relativos de la funcin en dicho intervalo,
habr que buscar entre:
Puntos que anulen a la primera derivada (puntos crticos)
Puntos de discontinuidad de la funcin
Puntos de no derivabilidad de la funcin
Extremos, y , del intervalo
Una vez calculados todos estos puntos, sustituiremos la funcin en todos ellos. El punto
donde valga ms, corresponder al mximo absoluto, y el punto donde menos valga, al
mnimo absoluto.
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
34/58
Es importante que no exista ningn punto dentro del intervalo donde la funcin se
acerque a infinito (que no tenga asntotas verticales dentro del intervalo), pues sino no
habra mximos absolutos (si se acerca a ) o mnimos absolutos (si se acerca a )
o incluso ambos.Si la funcin no est definida en un intervalo sino en , es importante analizar lo que
pasa con los lmites en y en pues pueden indicar la no existencia de extremos
absolutos.
Ejemplo: Calcular los extremos absolutos de la funcin2
03
( )
2 0
en el intervalo 1,3
En primer lugar, el dominio es 3 , que como no est en el intervalo, no lo
tendremos en cuenta.
El nico punto donde podra no ser contnua o derivable es en el x = 0.
00
02
00
lim ( ) lim 03 lim ( ) 0 (0)
lim ( ) lim 2 0
Luego es continua
Calculamos la derivada:
2
30
3'( )
2 2 0
Vemos las derivadas laterales:
200
00
3 1'(0) lim '( ) lim
33 '(0)
'(0) lim '( ) lim 2 2 2
No es derivable en x = 0
Luego la funcin derivada ser:2
30
3'( )
2 2 0
Si la igualamos a 0 obtendremos los puntos crticos:
2
30 ; 2 2 0 1
3
Luego, en total, los posibles extremos absolutos pueden ser: -1, 0, 1 y 3
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
35/58
Sustituimos la funcin en todos ellos:
1( 1) ; (0) 0 ; (1) 1 ; (3) 3
2
Luego la funcin tiene un mnimo absoluto en el punto 1, 1 y un mximo absoluto enel punto (3,3)
Ejercicio:
Calcular los extremos absolutos de la funcin 2 4 en el intervalo [-1,2]
Es frecuente encontrase con problemas fsicos, geomtricos, econmicos, biolgios,
en los que haya que encontrar el mximo o el mnimo de una determinada funcin:maximizar los beneficios de una empresa, el volumen de una caja, minimizar el coste
de produccin de un determinado producto, o el tiempo de fabricacin,
Este tipo de problemas se llaman problemas de optimizacin, y para resolverlos esconveniente seguir una serie de pasos:
1. Obtener la funcin cuyos mximos o mnimos hay que calcular, identificando
claramente la/s variable/s
2. Si es una funcin que depende de dos o ms variables, buscar datos en el
problema que nos permitan relacionarlas, de manera que podamos expresarla enfuncin
de una sola variable3. Calcular los mximos o mnimos absolutosde la funcin
4. Interpretar los resultados, rechazando los que no tengan sentido por la naturalezadel problema
Ejemplo:
Descomponer el nmero 36 en dos sumandos positivos, de modo que el productodel primero por el cuadrado del segundo sea mximo
En primer lugar llamamos e a los dos sumandos (ambos mayores que 0). La funcin
cuyo mximo hay que calcular es:2
( , )
Usamos el dato que nos dan para relacionar ambas variables:
36 36
Y por tanto nuestra funcin ser: 2 2 3( ) (36 ) 36
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
36/58
Calculamos los puntos crticos:2 2
'( ) 72 3 72 3 0 (72 3 ) 0
0 ; 24
El valor lo podemos eliminar pues debe ser mayor que 0, as que nuestro nico
punto crtico es
Comprobamos si es un mximo (usando por ejemplo el criterio de la segunda derivada):
''( ) 72 6 ''(24) 72 0
Luego la funcin alcanza un mximo cuando .
Como adems el dominio de la funcin es 0,36 y no tiene ni asntotas verticales
ni puntos donde no sea continua o derivable, podemos asegurar que para la
funcin alcanza un mximo absoluto.
Calculamos : 36 12
Luego los dos nmeros positivos que suman 36 y que hacen que el producto del primeropor el cuadrado del segundo sea mximo son y .
Adems podemos averiguar cunto vale ese mximo:2
(12,24) 12 24 6912
Ejercicios:
1.- De entre todos los rectngulos de rea 2100 , calcular las dimensiones del quetenga mnimo permetro.
2.- De todos los tringulos rectngulos cuyos catetos suman 10 cm., cul tiene
diagonal menor?
3.- Determina dos nmeros reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el
producto de sus cuadrados es mximo
4.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8 dm3.
Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie exterior sea mnima.
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
37/58
En la grfica, la funcin es cncavaen el intervalo y es convexa en el intervalo
Teorema 5
Sea : , al menos dos veces derivable en el intervalo . Entonces:
''( ) 0, ,''( ) 0, ,
.
Por tanto, para estudiar la curvatura de una funcin (intervalos donde es cncava y
convexa), hay que seguir el siguiente procedimiento:
Calcular el dominio de la funcin
Calcular la segunda derivada e igualarla a 0. Esto nos dar los puntos donde lafuncin cambia su curvatura (pasa de ser cncava a ser convexa o viceversa)
Dividir el dominio de la funcin en intervalos teniendo en cuenta los puntos
que han anulado a la segunda derivada. En caso de que sea una funcin a trozos,
tambin habr que tener en cuenta los puntos donde no sea continua o donde no
sea derivable
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
38/58
Sustituir la segunda derivada en un punto de cada uno de esos intervalos y tener
en cuenta que:
0)('' 0
0)('' 0
Ejemplo 1:
Estudiar la curvatura de la funcin:
296)(23
D =
126)(''9123)('2
Igualamos a 0: 20126
Teniendo en cuenta estos puntos, el dominio de la funcin queda dividido en dos
intervalos:
Cogemos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la segunda derivada:
012)0('' es convexa en el intervalo 2,
06)3('' es cncavaen el intervalo ,2
Ejemplo 2:
Calcular los intervalos de concavidad y convexidad de la funcin
2)(
2
D = -{-2}
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
39/58
2
2
2
22
2
2
2
4
2
42
2
22)('
33
22
3
2
4
22
2
8
2
828442
2
24242
2
)2(24242)(''
Si igualamos a 0 la segundo derivada: 08 y por tanto no hay puntos que la
anulen
Teniendo en cuenta esto y el dominio de la funcin, nos queda:
Cogemos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la segunda derivada:
08)3('' es convexa en el intervalo 2,
01)0('' es cncavaen el intervalo ,2
Ejercicio:
Estudiar la curvatura de las siguientes funciones:
a) 2( ) 1 b) ( ) c)2
3
2 0( )
4 0
Los puntos de inf lexin son los puntos donde cambia la curvatura (sin cambiar lamonotona), es decir, la funcin pasa de ser cncava a ser convexa o viceversa.
Por tanto, los posibles puntos de inflexin sern aquellos que se obtengan de igualar la
segunda derivada a 0 y resolver la ecuacin correspondiente.
Para saber si uno de estos candidatos, 0 , es o no un punto de inflexin, basta fijarse
en la curvatura estudiada anteriormente. Si sta cambia, la funcin tendr en el punto
)(, 00 un punto de inflexin.
En el ejemplo 1, la funcin 296)( 23 tiene un punto de inflexin en el
punto
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
40/58
En el ejemplo 2, la funcin no tiene puntos de inflexin puesto que no hay ningn valor
que anule a la segunda derivada.
Criterio de la Tercera Derivada
Se puede saber tambin si un punto es o no punto de inflexin de una funcin sin
necesidad de calcular previamente toda la curvatura.
Teorema 6
Sea : , 0 y tres veces derivable en 0 . Entonces:
0 0''( ) 0 '''( ) 0
)(, 00
Entonces, una vez calculados los puntos que anulan a la segunda derivada, se calcula latercera derivada y se sustituyen en ella
Ejemplo:
Calcular los puntos de inflexin de la funcin3 2
( ) 3
Vamos a hacerlo usando el criterio de la tercera derivada:
2'( ) 3 6 ''( ) 6 6
Igualamos a cero: 6 6 0 1
Luego hay un posible punto de inflexin en el -1. Calculamos la tercera derivada y en
ella sustituimos nuestro candidato:
'''( ) 6 '''( 1) 6 0
Y por tanto la funcin tiene un punto de inflexin en el punto 1, ( 1) 1,2
Ejercicios:
Estudiar la curvatura y calcular los puntos de inflexin de las funciones:
a) 1)(3 b) 133)(
23 c)312
)(34
d)1
1)( e)
1
1)(
2f) ( ) g)
3( ) 1
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
41/58
Hemos visto anteriormente que un punto crtico (punto que anula a la primera derivada)ser un mximo o un mnimo relativo segn el signo que se obtenga al sustituirlo en la
segunda derivada (si sale positivo es un mnimo, si sale negativo es un mximo).
Pero, qu pasa si al sustituir un punto crtico (posible extremo) en la segunda derivadasale 0? Qu es dicho punto?
Teorema 7
Sea : , y 0 un punto crtico de 0( '( ) 0) Entonces, si la primera
derivada que no se anula al sustituir 0 es la n-sima:
)
0 0 0
)
0 0 0
( ) 0 ,
( ) 0 ,
0 0,
Es decir, tenemos que seguir derivando hasta que encontremos una derivada que no de
cero al sustituir nuestro punto crtico, y luego aplicamos el teorema.
Ejemplo:
Estudiar la naturaleza de los puntos crticos de la funcin4
( ) 3
Calculamos los puntos crticos. 3 3'( ) 4 3 4 3 0 3
Veamos qu tipo de punto crtico es el x = 3.
2
) )
''( ) 12 3 ''(3) 0
'''( ) 24( 3) '''(3) 0
( ) 24 (3) 24 0
Luego la primera derivada que no se anula es de orden par (la cuarta) ser un mximo oun mnimo. Como 24 > 0, la funcin tendr un mnimo relativo en el punto
3, (3) (3,0)
Ejercicios:
Estudiar la naturaleza de los puntos crticos de las funciones:
a) 7( ) b)5
( ) 1 2
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
42/58
1.- Calcular los siguientes lmites:
a)0
lim
cos 1
b)0
2lim c)
2lim
1
d)2
20
cos 1lim
2e)
3
1
1lim 2 f)
0
cos 1lim
2.- Calcula la monotona y los extremos de la funcin1
)(2
3.- Calcular las asntotas de la funcin1
( )
4.- Estudiar la monotona de la funcin2
( ) 2
5.- Calcular los extremos relativos de la funcin2
( )
6.- Dada la funcin ( ) , calcular el siguiente lmite:2 3
20
( ) (0) '(0) ''(0) '''(0)2 6lim
7.- Dada la funcin2 0
( )0
a) Calcular los valores de y para los que la funcin es continua pero no
derivable en 0
b) Para 1 , estudiar su monotona
8.- Estudiar la monotona de las funciones:
a)2
4 3 4( ) b) ( ) 1 2
9.- Calcular los extremos relativos de la funcin 3 2( ) 4 7 6
10.- Halla el valor de para que la funcin 2( ) 2 tenga un mnimo en
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
43/58
11.- La curva 2 pasa por el punto P(1,8), y tiene un mnimo en
x=(0,5). Halla la ecuacin de la curva.
12.- Halla y para que la funcin3 2
( ) tenga un mximo en
el punto (0,1) y un mnimo en (1,2)
13.- Calcular los extremos absolutos de la funcin ( ) cos en el
intervalo3
0,4
14.- Estudiar la monotona y calcular los extremos relativos y absolutos de la funcin2
( ) 4
15.- Calcular los extremos absolutos de la funcin2
3
2 2 0( )
3 0 2
16.- Una compaade venta a domicilio ha determinado que sus beneficios anualesdependen del nmero de vendedores verificando la expresin:
dondeB(x)es el beneficio en miles de pesetas paraxvendedores.
Determinar, justificando las respuestas:
a) Qu nmero de vendedores ha de tener la empresa para que sus
beneficios sean mximos?
b) Cul ser el valor de dichos beneficios mximos?
17.- Estudia la monotona de las funciones a)1
1)(
2
2
b)4
)(
18.- Estudia la monotona y los extremos relativos de la funcin 1)(2
.Los extremos relativos, son tambin absolutos?
19.- Halla dos nmeros cuya suma sea 20 tales que su producto sea mximo
20.- Halla las dimensiones de un campo rectangular de2
3600 de superficie para
poderlo cercar mediante una valla de longitud mnima.
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
44/58
21.- La relacin entre los beneficios, en miles de euros, obtenidos por la venta de un
determinado producto y el tiempo, en aos, que ste est en el mercado viene
dada por la funcin:
0,81
100)(
2
a) Indica el nmero de aos que debe estar el producto en el mercado paraque el beneficio sea mximo y cul ser ste.
b) A largo plazo, hacia qu valor se acercan los beneficios?
22.- Durante el pasado invierno, el nmero de enfermos de gripe en una determinada
ciudad vino dado por la funcin 3230)( , donde representa el nmero
de das transcurridos desde el 1 de enero.
a) Cunto tiempo dur el virus de la gripe ese ao?
b) En qu periodos creci y decreci el nmero de enfermos?
c) Cuntos enfermos hubo el da que la gripe afect a ms personas? Quda fue?
23.- Estudiar la monotona y los extremos de la funcin:
82252
5
2044
)(
2
24.- Un banco lanza al mercado un plan de inversin cuya rentabilidad , en miles
de euros, viene dada en funcin de la cantidad que se invierte, en miles de
euros, por medio de la siguiente expresin:5'34'0001'0)(
2
a) Deducir y razonar qu cantidad de dinero convendr invertir en ese plan
b) Qu rentabilidad se obtendr?
25.- La cotizacin de las acciones de una determinada sociedad, suponiendo que la
Bolsa funciona todos los das de un mes de 30 das, responde a la siguiente ley:
3000024345)(23
, siendo x el da del mes.
a) Cul ha sido la cotizacin en Bolsa el da 2?
b) Determina los das en que alcanza las cotizaciones mxima y mnima ycules han sido stas.
26.- Se quiere construir una caja de cartn sin tapa de base cuadrada de forma que
tenga un volumen de 256 dm3. Cules deben ser sus dimensiones para que se
utilice la mnima cantidad posible de carton?
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
45/58
27.- El nmero de bacterias en un cultivo experimental en un instante viene dado
por la funcin:
20( ) 1000 25 ; 0 100
Cunto valen el mximo y el mnimo nmero de bacterias y en que instantes se
alcanzan, respectivamente, dichos valores extremos?
28.- Dividir un segmento de 60 cm. en dos partes con la propiedad de que la suma de
las reas de los tringulos equilteros construidos sobre ellas sea mnima.
29.- En una circunferencia de radio 4 cm. se inscribe un rectngulo. Cules son las
dimensiones del que tiene mayor rea?
30.- El alcalde de un pueblo quiere cercar un recinto rectangular cerrado para
celebrar las fiestas. Para ello aprovecha una tapia ya existente como uno de los
lados y dispone de 300 m. de tela metlica para hacer los otros tres.
a) Podras indicar las dimensiones del recinto acotado de esta forma cuya rea
es la mayor posible?
b) La comisin de fiestas ha calculado que para montar las atracciones, pista de
baile, necesitan 8.000 m2. Teniendo en cuenta los clculos del apartado
anterior, ser suficientemente grande el recinto que quiere preparar el
alcalde?
31.- Se desea construir una lata de conservas cilndrica con un rea total de 150 cm2y
volumen mximo. Calcula su altura y el radio de la base.
32.- Una pista de atletismo est formada por una regin rectangular con un
semicrculo en cada extremo. Si el permetro es de 200 m., hallar lasdimensiones de la pista para que la regin rectangular tenga rea mxima.
33.- Hallar los puntos de la curva de ecuacin2
4 cuya distancia al punto (4,0)
sea mnima.
34.- Con una chapa de hojalata cuadrada de 60 cm. de lado es preciso hacer un cajnsin tapa que tenga volumen mximo. Se recortan cuadrados iguales en las
esquinas de la chapa y se dobla sta para formar el cajn. Cul debe ser la
longitud del lado de los cuadrados cortados?
35,. Determinar la distancia mnima del origen a la curva
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
46/58
36.- Cmo hay que doblar un alambre de 4m. de longitud para que forme un
rectngulo cuya rea sea lo ms grande posible?
37.- Desde una casa situada en el punto P(7,0) se quiere hacer un camino recto para
conectarla con una carretera cuyo trazado viene dado por la curva de ecuacin2
1 2 2 .
Con qu punto de la carretera conecta el camino ms corto posible?
38.- Dada una circunferencia de radio , se divide uno de sus dimetros en dos partes
que se toman como dimetros de dos circunferencias tangentes interiores a la
circunferencia dada, tal como indica la figura:
Qu longitud debe tener cada uno de estos
dimetros para que el rea de la regin
rayada sea mxima?
39.- Un almacn tiene forma de prisma recto de base cuadrada y un volumen de
768m3. Se sabe que la prdida de calor a travs de las paredes laterales es de 100
unidades por metro cuadrado, mientras que a travs del techo es de 300 unidadespor metro cuadrado. La prdida por el suelo se puede considerar prcticamente
nula.Calcula las dimensiones del almacn para que la prdida de calor total sea
mnima.
40.- Desde la Tierra, que suponemos situada en el origen del coordenadas del plano,
se observa un objeto que sigue una trayectoria de ecuacin 16 (distancias
medidas en aos-luz). Cules son las coordenadas del punto de la trayectoria
cuya distancia a la Tierra es mnima y cunto vale dicha distancia?
41.- a) Dibuja una funcin que tenga un mximo en pero que no sea
derivable en dicho punto
b) Da un ejemplo de una funcin con infinitos mximos y mnimos
42.- Estudia la monotona y calcula los extremos absolutos de la funcin:
1
( ) 1 2
4 2
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
47/58
43.- La grfica de la funcin derivada de , , es la que aparece en la figura:
Indica razonadamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de y
determina en qu puntos se alcanzan sus extremos relativos
44.- Hallar la ecuacin de la recta tangente a la grfica de la funcin3 2( ) 6 2 en su punto de inflexin
45.- Halla , y para que la funcin tenga un extremo en
(2,0) y un punto de inflexin en x=1
46.- Dada la funcin : definida por3
( ) , calcular los
valores de y sabiendo que tiene un punto de inflexin en Q(-1,3) y
que la recta tangente a la grfica de en el punto M(0,1) es horizontal.
47.- Estudia la curvatura de la funcin f(x) = (x+1)3
48.- Estudia la curvatura y calcula los puntos de inflexin de
a) 2( ) ( 1) b) 2( ) c) ( ) 1
49.- Dada la funcin : definida por3 2
( ) 2 12 , calcular los
valores de y sabiendo que la recta tangente a la grfica de en su punto deinflexin es la recta
50.- Estudia la naturaleza de los puntos crticos de las funciones
a) 3 2( ) 3 b) 6( ) 3 ( 1)
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
48/58
51.- Dada la funcin2
1 1( )
( 1) ( 1) 1
a) Calcular el valor de para que sea continua en 1
b) Para el valor de calculado anteriormente, estudiar su monotona
52.- Considera la curva de ecuacin , 0
a) Cul es el punto de la curva ms cercano al punto1
,02
?
b) Deduce si existe o no un punto de la curva que sea el que est ms lejos
del punto anterior
53.- a) Calcula el valor de para que se cumpla:
1
40lim
b) Calcula razonadamente el valor de y para que se cumpla:2
20
1 coslim 1
54.- Las siguientes grficas corresponden a las funciones derivadas de dos funciones
y .
A partir de dichas grficas calcular, para y :
a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
b) Extremos relativos
c) Intervalos de concavidad y convexidad
d) Puntos de inflexin
55.- Dada la funcin : 1, definida por1
( ) , determina cul de
las rectas tangentes a la grfica de tiene la mxima pendiente.
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
49/58
56.- Halla el valor de de modo que la funcin2
( ) tenga un nico punto
crtico.
57.- Si , cul de estas proposiciones es cierta?a) tiene un extremo relativo en
b) tiene un punto de inflexin en
c) tiene en tangente paralela al eje OX
58.- Calcula los extremos absolutos de la funcin 2( ) 2 3
59.- Halla y para que la funcin3 2
( ) 5 tenga en un
punto de inflexin con tangente horizontal
60.- Una va de ferrocarril transcurre por un terreno llano de manera que su trazado
coincide con el de la recta para 0 . A partir del punto su trazado
coincide con el de la curva .
Sabiendo que el trazado de la va admite recta tangente en todos sus puntos,
cunto valen y ?
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
50/58
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
51/58
Para representar grficamente una funcin, salvo las funciones elementales ya
conocidas, conviene seguir una serie de pasos que veremos a continuacin, si bien no
todos son imprescindibles en todos los casos.
Si bien a estas alturas los dominios de los distintos tipos de funciones deben serconocidos, resumimos los ms habituales:
( )
( )/ ( ) 0
( )
log / ( ) 0
( ) ( ) / ( ) 0
Ver tema correspondiente
Ejemplos:
1.- Calcular los puntos de corte con los ejes de la funcin 3( ) 3 2
Con OY:
2)0(23)(3
tiene un punto de corte en (0,2)
Con OX:
2,1023)(3
(Por Ruffini)
Luego tiene dos puntos de corte con OX que son (1,0) y (-2,0)
2.- Calcular los puntos de corte con los ejes de la funcin ( ) ( 1)
Con OY:
Como 1, , no se puede sustituir la por 0 y por tanto no tiene
puntos de corte con OY
Con OX:
( ) ( 1) 0 1 1 2
Luego tiene un punto de corte con OX en (2,0)
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
52/58
0 ( ) ( ) ,
Las funciones peridicas ms habituales son las trigonomtricas. As:
2( ),cos( ) ; ( )
Hay otras funciones no trigonomtricas y peridicas, como la funcin Dec(x)
con P = 1
( ) ( ) ,
Por ejemplo4
( ) es par ya que4 4
( ) ( )
( ) ( ) ,
Por ejemplo3
( ) es impar ya que3 3
( ) ( )
Ejercicio: Estudiar las simetras de las funciones3 3
2
4 2
2 1( ) ; ( ) 1 ; ( )
1 1
Ver tema correspondiente
Ver tema correspondiente
Ver tema correspondiente
Con todos los datos anteriores, representamos grficamente la funcin. En
general, la mayor informacin para la representacin grfica la obtendremos del
Dominio, los puntos de corte con los ejes, las asntotas y los extremos, si bien el resto
de informacin nos sirve para precisar la grfica.
Hacemos algunos ejemplos completos:
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
53/58
Ejemplo 1: Representar grficamente la funcin 23)(3
. Adems no tiene puntos de discontinuidad (es una funcin polinmica)
:
Ya vimos que tena un punto de corte con OY, el (0,2), y dos puntos de corte conOX, el (1,0) y el (-2,0).
Como3 3( ) 3 2 3 2 ( ) , no es par
Como 3 3( ) 3 2 3 2 ( ) , no es impar
Luego esta funcin no es simtrica
Esta funcin, al ser polinmica, no tiene asntotas
1,103333)`( 22 (Puntos crticos)
Como , los intervalos de monotona sern:
09)2(' es creciente en el intervalo 1,
03)0(' es decreciente en el intervalo 1,1
09)2(' es creciente en el intervalo ,1
De paso vemos que la funcin alcanza un mximo relativo en el punto yun mnimo relativo en el punto
Los extremos podamos haberlos visto tambin con la segunda derivada, pero yaque estaba hecha la monotona
0066)(''
Como , los intervalos de concavidad y convexidad sern:
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
54/58
06)1('' es convexa en el intervalo 0,
06)1('' es cncavaen el intervalo ,0
De paso la funcin tendr un punto de inflexin en el punto
Podamos haber usado tambin la tercera derivada:'''( ) 6 '''(0) 6 0 . . 0,2
Con todos los datos anteriores, el dibujo de la funcin 23)(3
ser:
Ejemplo 2: Representar grficamente la funcin
2
1( )
0 . Adems se es el nico punto de discontinuidad
:
Con OY: No puede tener pues el 0 no est en el dominio
Con OX:2
2 21( ) 0 1 0 1, lo que no puede ser y por
tanto no tiene puntos de corte
Como
2 21 1( ) ( ) , no es par
Como2 2
1 1( ) ( ) , es una funcin impar
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
55/58
Asntotas Verticales:2
0 0
2
0 0
1lim ( ) lim
1lim ( ) lim
Tiene una Asntota Vertical hacia arriba (derecha) y hacia abajo (izquierda) que
es la recta
Asntotas Horizontales:2
2
1lim ( ) lim
1lim ( ) lim
No tiene Asntota Horizontal
Asntotas Oblicuas: 2
2
2
( ) 1lim lim 1
1 1lim ( ) lim lim 0
Es fcil ver que los lmites correspondientes en son los mismos, luego tiene
una Asntota Oblicua por la Derecha y por la Izquierda que es la recta
Vemos la posicin:
2
1
0, 01 1( )1
0, 0
Adems como1
0 , la funcin no corta a su asntota
2 2
2 2
22
2
2 1 1'( )
1
0 1 0 1 , 1
Tenemos por tanto dos puntos crticos. Veamos qu tipo de extremos son:2 2
4 3
2 2 1 2''( )
''(1) 2 0 alcanza un mnimo relativo en el punto 1, (1) (1,2)
''( 1) 2 0 alcanza un mximo relativo en el punto
1, ( 1) ( 1, 2)
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
56/58
Estudiamos ahora la monotona. Teniendo en cuenta el Dominio y los puntos
crticos:
3'( 2) 0
4es creciente en el intervalo 1,
1'( ) 3 0
2es decreciente en el intervalo 1,0
1'( ) 3 0
2es decreciente en el intervalo 0,1
3'(2) 0
4es creciente en el intervalo ,1
De paso vemos que la monotona concuerda con los extremos relativos que
habamos obtenido.
3
2''( ) 0 Esta funcin no tiene puntos de inflexin
Los intervalos para la curvatura sern, por tanto:
''( 1) 2 0 es convexa en el intervalo 0,
''(1) 2 0 es cncava en el intervalo ,0
Con todos los datos anteriores, el dibujo de la funcin2
1( ) ser:
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
57/58
1.- Estudiar el dominio, las simetras y los puntos de corte con los ejes de las
funciones:
a) 22
( ) 4 b)2
( ) 1 c) ( ) 2
2.- Calcula los puntos de corte con los ejes y las asntotas de las funciones:
a)2
( )2
b)2
1( )
3.- Dada la funcin ( )1
a) Estudia su periodicidad
b) Calcula los puntos de corte con los ejes
c) Estudia su monotona
4.- Representa las siguientes funciones:
a) 3 2( ) 3 4 b)4 2
( ) 2 2
c)1
1)(
2d)
2( )
4
5.- Calcula el dominio, puntos de corte con los ejes, asntotas, monotona y
extremos de lafuncin ( ) y represntala grficamente
6.- Representa grficamente la funcin2
2 3( )
1
7.- Demuestra que la funcin2
( ) 4 8 no tiene puntos de inflexin.
Tiene algn extremo?
8.- Representa grficamente las funciones:
a) ( ) b)2
( )
9.- Calcula el valor de para que la funcin2
( ) tenga un extremo
relativo en . Para dicho valor de , calcula sus asntotas y su monotona y
haz un esbozo de su grfica.
-
7/23/2019 Anlisis II (Temas 4, 5 y 6) MATEMATICAS
58/58
10.- Construye la grfica de una funcin que cumpla todos y cada uno de los
siguientes requisitos:
I. 1
II.1 1
lim ( ) ; lim ( )
III. lim ( ) lim ( ) 0
IV. Tiene un mximo relativo en (0,0) y un mnimo relativo en (-1,-1)
V. Es creciente en el intervalo (-1,0) y decreciente en los intervalos
, 1 0,1 1,
11.- Representa grficamente la funcin 2( ) 2
12.- Representar, dando todos los pasos necesarios, la funcin2
2 2 2 0( )2 2 0
13.- Calcula los mximos y mnimos relativos de la funcin ( ) 3 . Tiene
asntotas?
14.- Calcula los puntos de corte con los ejes, monotona y extremos de la funcin
( ) cos y haz un esbozo de su grfica
15.- Representa grficamente la funcin ( ) 1
16.- Indica razonadamente cul de las siguientes grficas corresponde a la de la
funcin1
( )