analisis experimental

5/10/2018 Analisis Experimental - slidepdf.com

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Jorge SIFUENTES SANCHO

2011



UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICAPOSGRADO FIMAPUNTES DE CLASE DEL CURSO: MECÁNICA DE FLUIDOSPREMAESTRIADOCENTE: JORGE SIFUENTES SANCHOFECHA: SETIEMBRE DEL 2011

Teléfono: 991-855-515

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mailto:[email protected]









CONTENIDO

Página

4.0. Introducción

4.1. Análisis Dimensional y números adimensionales4.1.1. El producto de Potencias. Método de Rayleigh4.1.2. Descripción de un flujo

4.1.3. Teorema de Buckingham –

Vaschy4.2. Análisis Fraccional

4.2.1. Relación de fuerzas4.2.2. Relación de energías4.2.3. Relación de propiedades4.2.4. Otros parámetros

4.3. Método de las ecuaciones diferenciales4.3.1. Flujo incompresible4.3.2. Parámetros de compresibilidad

4.4. Métodos de similitud y teoría de modelos4.4.1. Similitud de flujos4.4.2. Teoría de modelos

Aplicaciones

Bibliografía

Problemas resueltosProblemas propuestosProblemas variosEvaluaciones



4.0. INTRODUCCIÓN

Potter / wiggert

A menudo el Ingeniero tiene que hacer frente a la necesidad de llegar aresultados prácticos en situaciones que, por diversas razones, los fenómenosfísicos no poseen soluciones matemáticas que describan su comportamiento; ypor ello es necesario recurrir a un experimento para determinar incluso lascaracterísticas físicas principales del flujo. Al diseñar tales experimentos einterpretar sus resultados, el Análisis Dimensional puede resultar de granutilidad.

Hay muy pocos problemas de interés en el campo de la mecánica defluidos que se resuelven utilizando únicamente el método matemático (las

ecuaciones diferenciales e integrales). En casi todos los casos es necesariorecurrir a métodos experimentales para establecer relaciones entre lasvariables de interés.

Debido a que los estudios experimentales suelen ser muy costosos, esnecesario reducir al mínimo la experimentación requerida. Esto se haceempleando una técnica denominada análisis dimensional, que se basa en elconcepto de homogeneidad dimensional, que responde a lo siguiente: todos lostérminos de una ecuación deben tener las mismas dimensiones. Por ejemplo :la ecuación de Bernoulli en la forma de

222

111

22 z p

gV z p

gV Ecuación dimensional

se observa que la dimensión de cada término es longitud. Si dividimos toda laecuación entre z1 :

1

2

2

2

2

2

1

1

1

1 )12

(12 z

z

z

p

zg

V

z

p

zg

V Ecuación adimensional

En esta forma la ecuación de Bernoulli todos los términos son adimensionales.

El análisis dimensional es un procedimiento analítico que ayuda aorganizar información empírica sobre el flujo de un fluido. Con base en elprincipio de homogeneidad dimensional, es posible simplificar de alguna formala relación existente entre las cosas que se desea conocer sobre un flujo y lasrestricciones que a ésta se le imponen.

El principio de homogeneidad dimensional no es capaz de producirnueva información si no que permite apreciar como reordenar la informaciónque se dispone para proporcionar una idea clara de las relacionesfenomenológicas.



4. Método Experimental 2

Massey<Pocas veces se puede obtener la solución completa de los problemasde ingeniería por sólo los métodos analíticos, y por lo general se hacennecesarios los experimentos para determinar en su totalidad el modo en

el cual una variable depende de otras. Una técnica que ha probado sermuy útil para reducir al mínimo el número de experimentos requeridos,es la rama de las matemáticas aplicadas conocida como análisis dimensional . Aunque no produce soluciones analíticas a los problemas,proporciona información acerca de la forma de las relaciones queconectan entre sí las variables pertinentes, y sugiere el modo másefectivo de agrupar a estas variables entre sí.

En relación cercana al análisis dimensional, se encuentra el concepto dela similitud física , y el principal propósito de este capítulo, es el estudiode la aplicación de este concepto a la mecánica de los fluidos.>

Durante mas de 100 años, los ingenieros han utilizado modelos a pequeñaescala de las estructuras de la ingeniería a fin de obtener información que hagaque sus diseños resulten más eficaces : flujos sobre diques y presas,aliviaderos de presas; interacciones de olas con muelles y rompeolas; flujosalrededor de submarinos y barcos; flujos subsónicos y supersónicos alrededorde aviones; flujos alrededor de estadios y edificios; flujos a través de bombas yturbinas de gran tamaño y flujos alrededor de automóviles y camiones. Confrecuencia, el modelado físico de estos flujos realizados en un Laboratorio esun paso necesario del diseño de dispositivos en tamaño real.

El análisis dimensional proporciona al ingeniero una herramienta que lepermite diseñar, dirigir y analizar los resultados de las pruebas del modelo, asícomo predecir las importantes propiedades del flujo que se encontrarán en laestructura en el tamaño real.

El uso de modelos más pequeños que el prototipo o dispositivo real se justifica debido a que si se realizan experimentos con objetos de grandesdimensiones, resultaría un costo elevado

También hay flujos de interés en los que intervienen dimensiones más

bien pequeñas como el flujo alrededor de un álabe de turbina, el flujo en untubo capilar, el flujo alrededor de un microorganismo, el flujo a través de unaválvula de control pequeña, y el flujo alrededor y dentro de una gota de aguaque cae. Estos flujos requerirán un modelo más grande que el prototipo, a finde poder hacer observaciones con un grado de exactitud aceptable.

El análisis experimental o empírico busca que formular leyes delcomportamiento de un fenómeno físico en base a mediciones experimentalesen laboratorio. Por lo que el uso de los modelos ha de permitir simular elcomportamiento del fenómeno físico respetando márgenes de credibilidad yeconomía. El uso de modelos requiere definir la similitud de flujos y las leyes

que la gobiernan.



Método Experimental 4. 3

La similitud es el estudio de la predicción de las condiciones deprototipos a partir de observaciones en, modelos. La similitud implica el uso delos parámetros adimensionales que se obtienen del análisis dimensional. Estosparámetros adimensionales son los que van a permitir extrapolar los resultados

obtenidos en los ensayos, de los modelos, al prototipo

En este capítulo se muestra:

Como el análisis dimensional puede aplicarse a cualquierproblema en el que intervenga el flujo de un fluido y utilizarse parasimplificar la expresión de la dependencia entre las propiedadesimportantes del flujo mediante las variables del flujo.

El método de producto de potencias. En el estudio sobre laresistencia al avance sobre cuerpos sumergidos en un flujo.

El uso del teorema de Buckingham. Para obtener una función

adimensional a partir de partir de la ecuación dimensional. Como deducir información útil a partir de los experimentos con elmodelo.

Un estudio de las fuerzas ascensionales o de sustentación queobran sobre los cuerpos sumergidos en un flujo

4.1 ANÁLISIS DIMENSIONAL Y NÚMEROS ADIMENSIONALESLa generación y uso de los números adimensionales proporciona una

herramienta útil y poderosa para:

Convertir datos de un sistema de unidades a otroEstablecer y desarrollar ecuacionesReducir el número de variables requerido para un programa deexperimentación.

Otra útil herramienta de la mecánica de fluidos moderna, que estácercanamente relacionada con el principio de similitud, es el campo de lasmatemáticas conocido como análisis dimensional - las matemáticas de lasdimensiones de las cantidades. Aunque se puede argumentar con éxito que lasimilitud y el análisis dimensional son de hecho idénticos, ya que implican las mismascosas y con frecuencia conducen a los mismos resultados, sus métodos son losuficientemente diferentes para justificar el tratamiento de los mismos como tópicos

diferentes. Después de desarrollar cierta facilidad con ambos, el estudiante llegará afamiliarizarse con la interrelación de los mismos, y aprenderá a pensar en términos deambos tópicos al atacar nuevos problemas.

Los métodos del análisis dimensional se basan sobre el principio de la homogeneidad dimensional de Fourier (1822), el cual establece que una ecuación queexpresa una relación física entre cantidades debe- ser dimensionalmente homogénea;esto es, las dimensiones de cada lado de la ecuación deben ser las mismas. Esteprincipio se utilizó en el Capítulo 1 para obtener las dimensiones de la densidad y dela viscosidad cinemática. y se recomendó como un medio valioso para comprobar loscálculos de ingeniería.

Aunque no se puede esperar que las manipulaciones dimensionales produzcansoluciones analíticas de los problemas de física, el análisis dimensional provee unapoderosa herramienta en la formulación de problemas que desafían la solución




analítica y que deben ser resueltos experimentalmente. En este caso, el análisisdimensional entra en su propiedad señalando el camino hacia un máximo deinformación, a partir de un mínimo de experimentación. Logra lo anterior por medio dela formación de grupos adimensionalas, algunos de los cuales son idénticos con las

relaciones de fuerzas desarrolladas con el principio de similitud.Antes de examinar los métodos del análisis dimensional, recuérdese que

existen dos diferentes sistemas por medio de los cuales se pueden expresar lasdimensiones de las cantidades físicas. Estos sistemas son el de fuerza-longitud-tiempo-temperatura (FLT ), y el de masa-longitud-tiempo-temperatura (MLT ). Elsistema fuerza-longitud-tiempo-temperatura, generalmente preferido por losingenieros, llega a ser el sistema newton-metro-segundo-grado kelvin cuando seexpresa en unidades principales; el sistema masa-longitud-tiempo-temperatura llega aser el sistema kilogramo-metro-segundo-grado kelvin.

En el cuadro Nº 4.1 se da un resumen de las cantidades fundamentales de la

mecánica de fluidos y de sus dimensiones y unidades en los varios sistemas,siguiéndose el sistema convencional de letras mayúsculas para indicar lasdimensiones de las cantidades.

De los problemas anteriores, tomando en cuenta que la temperatura semantiene constante, parece que en el análisis dimensional (de problemas demecánica) sólo se pueden escribir tres ecuaciones, ya que sólo existen tresdimensiones fundamentales independientes: M, L y T. Este hecho limita la plenitud conla que se puede resolver un problema de más de tres incógnitas, pero no limita lautilidad del análisis dimensional para obtener la forma de los términos de la ecuación.

4.1.1 PRODUCTO DE POTENCIAS

UNA APLICACIÓN DE GRAN UTILIDAD: CUERPOS SUMERGIDOS

El análisis de la resistencia de cuerpos sumergidos es una de las áreas másdébiles de la teoría moderna de la Mecánica de Fluidos. Si se exceptúan algunoscálculos aislados mediante calculador, no existe ninguna teoría para la determinaciónde la resistencia de un cilindro o de una esfera salvo en el caso de movimientos lentos,donde Re < 1,0.

Son casos de interés cuerpos sumergidos en aire: aterrizaje y despegue de aviones,

automóviles, trenes, camiones, cohetes, paracaidistas, edificios, tanques de agua.Cuerpos sumergidos en agua: submarinos, torpedos, boyas

Cuando una corriente fluida actúa sobre un cuerpo aparecen una fuerza que trata demover al cuerpo en la dirección de la corriente fluida, ésta fuerza se denomina fuerzade arrastre (FA); una fuerza de sustentación (FS) perpendicular a la corriente fluida yhacia arriba; y un momento de volteo (M). El cálculo de estas cargas se requiere paraestimar la potencia para mover al cuerpo a determinada velocidad.

V

FA

FSM




4.1.2 PRODUCTO DE POTENCIAS

EJEMPLO 4.01: La fuerza de arrastre sobre un cuerpo sumergido en una

corriente de un fluido depende de: una longitud característica L, velocidad de lacorriente fluida V, densidad del fluido , y viscosidad absoluta del fluido .

Usando el método de producto de potencias, establecer una relación para lafuerza de arrastre del cuerpo sumergido.

SOLUCIÓNFA = f ( L, V , )

El segundo miembro de esta ecuación se sustituye por una serie infinita.

F A = k 1 L a1 V b1 c1 d1 + k 2 L a2 V b2 c2 d2 + ...............

donde k 1 , k 2 ,.......... son coeficientes adimensionales y a1, b1, ....a2, b2, .......son los exponentes que requiere la serie.

Como la ecuación es dimensionalmente homogénea, en la representacióndimensional basta con incluir el primer término.

FA = k 1 L a1 V b1 c1 d1

M L T –2 = La ( L T –1 ) b (M L –3 ) c ( M L –1 T –1 ) d

M : 1 = c + dL : 1 = a + b - 3 c - dT : - 2 = - b - d

Resolviendo el sistema de ecuaciones en función del exponente “d”:

a = 2 - d; b = 2 - d; c = 1 - d, con lo cual :

FA = k 1 L 2 - d V 2 - d 1 - d d

= k 1 L 2 V 2 ( / V L ) d

luego: )(Re)(22

f LV

f

LV

AF [ a ]

Si se escoge como exponente independiente “ c ”, se obtiene:

)(Re f V L

F A [ b ]

Si se escoge como exponente independiente “b”, se obtiene:




2

2)Re( f F A [ c ]

El coeficiente de fuerza es variado y depende de la elección de la variable

independiente que se elija: a, b, c, d.

La forma [a] es la que se utiliza mayormente; la forma [b] se utiliza mucho enmovimientos lentos o movimientos muy viscosos, donde es una constante; en la forma[c], se observa que la fuerza de arrastre se hace adimensional usando únicamente laspropiedades del fluido.

Considerando el resultado [ a ], como la función f ( Re ) no está definida, sepuede formar el término de la energía cinética ½

V 2 y se tendría una nuevafunción f „ (Re).

)(Re´21)Re( 2222 f LV f LV F A

Al utilizar este resultado a cilindros (corriente perpendicular al eje del cilindrocon longitud / diámetro ∞ ) y esferas lisas, se define un coeficiente dearrastre de la manera siguiente :

cilindro f

D LV

F C A

A )(Re´

2

1 2

esfera f

d V

F C A

A )(Re´

42

122

donde la longitud característica L2 , se ha reemplazado por el área proyectadaperpendicular a la velocidad; L

D para el cilindro y d 2 /4 para la esfera.

C A 5 Cilindro: efecto de la longitud

104

< Re < 105

4L / D CA

3 8 1,20

40 0,98

220 0,91

Cilindro bidimensional 10 0,82

15 0,74

Esfera 3 0,72

0 2 0,68

10 102

103

104

105

106

107

1 0,64

Re V D /

Figura. E4.06




El coeficiente de arrastre CA es determinado experimentalmente, mediante losensayos en el laboratorio. En la figura E4.06, los cilindros son lisos y largos.

Si se incluyen la rugosidad y la longitud del cilindro como variables del

análisis dimensional, se obtiene una función más complicada con tresparámetros.

),Re,(d

L

d f C D

Para describir adecuadamente esta función se requerirá más de 100experimentos. Si embargo, es costumbre explorar los efectos de la longitud yrugosidad por separado para establecer tendencias.

La tabla que se añade a la figura E4.06, muestra el efecto de lalongitud del cilindro con rugosidad de la pared nula. Cuando la longitud

decrece, la resistencia decrece más del 50%. Esto se debe a que la sobrepresión cae en los extremos, ya que allí la corriente puede rodearlos en lugarde deflectarse hacia arriba y hacia abajo del cuerpo.

La figura E4.06 (continuación), muestra el efecto de la rugosidad en uncilindro infinito. La caída brusca de la resistencia ocurre Re, mas bajo cuando larugosidad aumenta a causa de que la capa límite se hace antes turbulenta. Larugosidad produce el mismo efecto en la resistencia de una esfera, un hechoque se explota en deportes como el golf, donde los hoyuelos de las pelotas lesproporciona una menor resistencia en su movimiento Re 10 5

Figura E4.06 (continuación)

Las dos figuras anteriores corresponden a un análisis experimental

típico, con ayuda del análisis, de un problema de mecánica de fluidos. Cuandoel tiempo, dinero y demanda lo permiten, la relación tri-paramétrica podríaampliarse con más experimentos.




EJEMPLO 4.02: Una esfera lisa de 7 cm de diámetro ( e = 7839 kg / m3 )se deja caer en un depósito lleno de agua ( = 1000 kg / m3 , = 0,001 N – s / m2 ). Determinar la velocidad límite de caída o velocidad de caída sinaceleración.

SOLUCIÓN

El peso de la esfera (que es constante) hace quela velocidad de la esfera aumente. Se oponen al

peso de la esfera (W), la fuerza de empuje (FE), FA FE la fuerza de arrastre (FA). W

FE es constante.FA es variable con el cuadrado de la velocidad de caída de la esfera.

La velocidad máxima de caída o velocidad límite de la esfera se alcanzacuando el peso es equilibrado por la acción de la fuerza de arrastre yempuje. La condición matemática está dado por: W = FA + FE

)()2 / ()( 3ee d gegF A π

3

4...........(0)

De la definición de coeficiente de arrastre:

22

42

1d V C F A A

Igualando ambas ecuaciones, se obtiene: ) 1(DRe d g C

3 / 4 V

A

2

Reemplazando valores: V = 2,502 / CA ..........................................( 1 )

El coeficiente de arrastre se obtiene de la figura E4.06, para lo cual se requierecalcular el número de Reynolds, que a su vez contiene la variable velocidad.

V4105μ

dVρ

Re ..........................................( 2 )

Una manera de resolver esta situación, es asumir un valor de velocidad( Va = 2,157 m / s ); se reemplaza éste valor en la ecuación (2) para obtener elnúmero de Reynolds ( Re = 1,08 x 10 5 ); del gráfico se obtiene el coeficientede arrastre ( C A = 1,16 ), se reemplaza este valor de coeficiente de arrastreen la ecuación (1) y se tiene el valor de la velocidad ( Vc = 2,16 m / s ); luegose verifica si Vc es igual al valor de la velocidad asumida Va. De no ser así, hayque continuar iterando hasta lograr la aproximación deseada.

Es evidente que hay que realizar una serie de iteraciones hasta llegar ala solución V = 2,16 m / s. Para simplificar el cálculo puede prepararse unahoja de cálculo o un nuevo gráfico, haciendo uso de los resultadosexperimentales anteriores.




De los resultados del ejemplo anterior :

A A C f

d V

F )(Re

42

1 22

[ a ]

A A C f

F ´)(Re 2

2 [ c ]

Estableciendo una igualdad entre la forma [ a ] y la forma [ c ] :

2Re8

AC2

μ

ρAF π

8

2

422

12

d V

d V

AF ........( 3

)

Se construye un gráfico : Re vs 2Re8

AC2

μ

ρAF π.

Para un valor de Re = 10 :

De la figura E4.06 se obtiene el valor de CA = 3,5

De la ecuación ( 3 ), se obtiene el valor de FA / = 3,5 (

/ 8) ( 10 )2

=137. se lleva al gráfico éste par ( 10, 137). Se continua así para otros valores.Obteniéndose el gráfico siguiente.




Con el nuevo gráfico, de la ecuación ( o ) :

)()2 / (

3

4)( 3

ee d gegF A

se obtiene :

N gF A 049,12)10007839()035,0(3

4 3

De la ecuación ( 3 ), se obtiene :

10

6310205,1

1010

049,12 AF

Con este valor se ingresa al gráfico y se obtiene Re = 1,51 x 105

;

Luego

3

5

10

07,010001051,1

Re

V

d V

V 2,16 m / s

Esta técnica usada (originada por Lord Rayleigh) se conoce también como elmétodo del análisis dimensional de Rayleigh.

El método del análisis dimensional de Rayleigh fue mejorado por Buckinghamcon una amplia generalización que se conoce como el Teorema-

. Buckíngham




CUERPOS COMPLETAMENTE SUMERGIDOS

4.01 : La fuerza de arrastre FD sobre una esfera depende de la velocidad V, laviscosidad , la densidad , la altura de las asperezas superficiales e, laintensidad de fluctuación de corriente libre I, ( una cantidad adimensional ) y eldiámetro D. Obtenga una expresión para FD.

4.02 : La fuerza de arrastre FD sobre una esfera lisa que cae en un líquidodepende de la velocidad de la esfera V, la densidad del sólido S, la densidaddel fluido , y su viscosidad , el diámetro de la esfera D y la gravedad g.Obtenga una expresión para FD.

4.03 : La fuerza de arrastre FD sobre una pelota de golf depende de lavelocidad de la pelota V, la densidad de la pelota S, la densidad del fluido , ysu viscosidad , el diámetro de la pelota D, la profundidad de los hoyuelos, elradio y la concentración C de los mismos, medida en número de hoyuelos porunidad de área. ¿Qué expresión relaciona FD con las demás variables?.

4.04 : La potencia requerida para mover una hélice depende de las variablessiguientes:

D = diámetro de la hélice= densidad del fluidoc = velocidad del sonido en el fluidoω = velocidad angular de la héliceV = velocidad de corriente libre μ = viscosidad del fluido

De acuerdo con el teorema de π de Buckingham, ¿cuántos gruposadimensionales caracterizan este problema?

4.05 : Considere un cuerpo en caída libre cerca de la superficie de la Tierra.Se cree que el tiempo t de descenso depende de la altura h de la caída, delpeso w y de la aceleración g de la gravedad. ¿Cuál es la experimentaciónmínima necesaria para encontrar el tiempo t? Suponga que g es una constante.

4.06 : La ley de Stokes (veáse la ecuación (A.I.29) del apéndice) estableceque para una esfera pequeña de radio R el arrastre F causado por un flujo lentopermanente alrededor de la esfera está dado por

F = 6 π μ V R

¿Cómo se llegaría a esta ecuación con el mínimo de experimentación,conociendo las variables involucradas?




4.07 : El empuje producido por la hélice de un avión es función de las variablessiguientes:

V o = velocidad del avión

D = diámetro de la hélice ρ = densidad del aire μ = viscosidad del airec = velocidad del sonidoω = velocidad angular de la hélice

por consiguiente,

T = f(Vo, D, ρ, μ, c, ω)

Encuentre los grupos adimensionales que caracterizan el proceso. Trabájelos

para obtener:

4.08 : El arrastre D sobre una campana sumergible depende de las variablessiguientes:

V , volumen del vehículo ρ, densidad del agua μ , viscosidad del aguas , velocidad del vehículoe , rugosidad de las superficies

Deduzca un conjunto de grupos adimensionales independientes. Utilice elsistema MLT de dimensiones básicas. Se desea que ρ, s y e estén en el mismogrupo.

4.09 : En la sección A.I.7 del apéndice se calcula la viscosidad de un fluidoobservando la velocidad terminal VT de una esfera pequeña de radio R ydensidad ρs en un fluido viscoso cuya densidad es ρL. Se obtiene el siguienteresultado:

4.10 : considere el flujo alrededor de un cilindro teniendo en cuentatransferencia de calor. Se sabe que en ciertas condiciones el coeficiente h detransferencia de calor depende de las siguientes variables:

V, velocidad de corriente libre




ρ, densidad del fluido μ, viscosidad del fluidok , coeficiente de conductividad térmicaD , diámetro del cilindro

c p , calor específico

¿Cuál es un conjunto de grupos adimensionales para este proceso?. Lasdimensiones de h y k son

Donde θ es la representación dimensional de la temperatura. Note que seobtiene un número de Reynolds y un número de Prandtl, c p μ / k.




4.1.2 TEOREMA DE BUCKINGHAM - VASCHY

Sea el conjunto de n variables fundamentales




EJEMPLO 4.03: Se está entregando agua a 10ºC hacia un tanque sobre eltecho de un edificio, como se muestra en la figura. ¿Qué presión indica unmanómetro en el punto A para que se entreguen 200 L / min de agua?.Sugerencia: use la información adicional adjunta.

Tabla i : Dimensiones de tubos de acero. Calibre 40

TAMAÑO NOMINAL DELA TUBERÍAPULGADAS

DIÁMETROEXTERIOR

(mm )

GROSOR DELA PARED

( mm )

DIÁMETROINTERIOR

( mm )

ÁREA DEFLUJO (m2 )

1 33,4 3,38 26,6 5,574

10 - 4 1 1/2 48,3 3,68 40,9 1,314 10 - 3

2 60,3 3,91 52,5 2,168 10 - 3 2 1/2 73,0 5,16 62,5 3,090 10 - 3

Tabla ii : Rugosidad de conducto. Valores de diseño.

MATERIALRugosidad absoluta, e

( m)

Vidrio plástico SuavidadCobre , latón, plomo, (tubería) 1,5 10 - 6 Hierro fundido sin revestir 2,4 10 - 4 Hierro fundido: revestido de asfalto 1,2 10 – 4 Acero comercial o acero soldado 4,6 10 - 5 Hierro forjado 4,6

10 - 5 Acero remachado 1,8 10 – 3

B




Tabla iii : Resistencia en válvulas y junturas expresada como longitud equivalente endiámetros de conducto

TIPO LONGITUD EQUIVALENTEL / D

Válvula de globo----- Completamente abierta 340Válvula de ángulo---- Completamente abierta 150Válvula de compuerta ----Completamente abierta 8

---- ¾ abierta 35---- ½ abierta 160----- ¼ abierta 900

Válvula de verificación-----tipo giratorio 100Válvula de verificación-----tipo de bola 150Válvula de mariposa-----completamente abierta 45Codo estándar de 90º 30Codo de radio largo de 90º 20

Codo de calle de 90º 50Codo estándar de 45º 16Codo de calle de 45º 26Codo de devolución cerrada 50Te estándar-----con flujo a través de un tramo 20Te estándar-----con flujo a través de una rama 60

Tabla iv : Propiedades del agua. Unidades SI.

TEMPERATURA( ºC )

Pesoespecífico

( N / m3 )

Densidad

( kg / m3 )

Viscosidaddinámica

( Pa –s )

Viscosidadcinemática

( m2

/ s )

0 9810 1000 1,75 10 -3 1,75 10 - 6 5 9810 1000 1,52

10 -3 1,52 10 - 6 10 9810 1000 1,30

10 -3 1,30 10 - 6 15 9810 1000 1,15

10 -3 1,15 10 – 6 20 9790 998 1,02

10 -3 1,02 10 – 7 25 9780 997 8,91

10 -4 8,94 10 – 7 30 9770 996 8,00

10 -4 8,03 10 – 7 35 9750 994 7,18

10 -4 7,22 10 – 7

40 9730 992 6,51

10 -4 6,56 10 – 7 45 9710 990 5,94 10 -4 6,00 10 – 7 50 9690 988 5,41 10 -4 5,48 10 – 7 55 9670 986 4,98 10 -4 5,05 10 – 7 60 9650 984 4,60 10 -4 4,67 10 – 7 65 9620 981 4,31 10 -4 4,39 10 – 7 70 9590 978 4,02 10 -4 4,11 10 – 7 75 9560 975 3,73 10 -4 3,83 10 – 7 80 9530 971 3,50 10 -4 3,60 10 – 7 85 9500 968 3,30 10 -4 3,41 10 – 7

90 9470 965 3,11

10 -4 3,22 10 – 7 95 9440 962 2,92

10 -4 3,04 10 – 7 100 9400 958 2,82

10 -4 2,94 10 – 7




SOLUCION

Fluido: Agua a 10ºC Tubería : Acero NR40De la tabla iv: De la tabla i, ii :

= 1000 kg / m3 Di = 0,0409 m= 1,30 10 – 3 Pa - s A = 1,314 10 – 3 m –2

= 1,30 10 – 6 m 2 / s t = 3,68 mm.e = 4,6 10 – 5 m.

1. Método Matemático:

- Ecuación de conservación de masa: VA A = VB A- Ecuación de conservación de cantidad de movimiento:

BpB . AB m V

W∑ Fx = pB . AB + m V

∑ Fy = pA . AA + m V - W

pA . AA m V

- Ecuación de energía: E A = E B + h A-B

accesoriostuberia B

B B A

A A hh

g

V Z

p

g

V Z

p

22

22

accesorios primaria A hhm

p25

9810 [ 1 ]

¿? ¿?2. Método Experimental:

Cálculo de la pérdida primariap2

∆ h L

p1




DESCRIPCIÓN DEL FLUJO

Variables geométricas : L, D, e

Variables físicas del fluido : T, , , , , EVariables técnicas : g, V, , ∆ h

F (L, D, e, T, , , , , E, g, V, , ∆ h ) = 0

Ecuación dimensional que caracteriza el problema. Contiene 13 variables.

Se pueden volver a agrupar en dos categorías:

Variables superfluas:o Temperatura.- su efecto ya está en la densidad y en la viscosidad .o Viscosidad cinemática .- está representada por y .o Tensión superficial - esta fuerza tiene poco efecto en la pérdida.o Módulo de compresibilidad E.- los líquidos se consideran incompresibleso El flujo volumétrico .- está representada por V y D.

Variables fundamentales, que caracterizan el problema fluido dinámico:

F ( V, , D, , e, g, ∆ h, L ) = 0 n = 8 variables

Si se considera la pérdida de energía por unidad de longitud ∆h / L, el

número de variables dimensionales se reduce a 7.

F ( V, , D, , e, g, ∆ h / L ) = 0 n = 7 variables.

Ecuación dimensional fundamental

TEOREMA DE BUCKINGHAM

1. La matriz dimensional:

v D e g ∆ h / L M 1 0 0 1 0 0 0L -3 1 1 -1 1 .1 0T 0 -1 0 -1 0 -2 0

0 0 0 0 0 0 0

[ V ] = [ m / s ] = L T -1 [ ] = [ kg / m3 ] = M L -3 [ D ] = [ m ] = L[ ] = [ N – s / m2 ] = M L T -2 . T / L 2 = M L -1 T -1

[ e ] = [ m ] = L[ g ] = [ m / s2 ] = L / T 2 = L T -2 [ ∆ h / L ] = Mº Lº Tº =




2. El rango de la matriz: k = 3

0 1 0 1 11 -3 1 = -1 = -1 0 k = 3

-1 0 0 -1 0

3. Número de parámetros adimensionales: m = n - k = 7 - 3 = 44. Grupo de variables independientes: V D5. Los cuatro parámetros adimensionales:

1 =a1 V b1 D c1 .

2 =a2 V b2 D c2 . g

3 =a3 V b3 D c3 . e

4=

a4 V b4 D c4 . ∆ h / L

1 = (M L - 3 ) a1 (L T -1 )b1 ( L ) c1 . (M L –1 T –1 ) = M 0 L 0 T 0

M : a1 + 1 = 0 a1 = -1

L : -3a1 + b1 + c1 -1 = 0 b1 = -1 1 = / V DT : -b1 - 1 = 0 c1 = -1

: 0 = 0

2 = (M L

- 3

)

a2

(L T

-1

)

b2

( L )

c2

. L T

- 2

= M0

L0

T0

M : a 2 = 0 a 2 = 0

L : -3a 2 + b 2 + c 2 + 1 = 0 b 2 = - 2 2 = g D / V 2 T : -b 2 - 2 = 0 c 2 = 1

: 0 = 0

3 = (M L - 3 ) a3 (L T-1 )b3 ( L ) c3 . L = M 0 L 0 T 0

M : a 3 = 0 a 3 = 0 3 = e / DL : -3a 3 + b 3 + c 3 +1 = 0 b 3 = 0T : -b 3 = 0 c 3 = -1

: 0 = 0

4 = (M L - 3 ) a 4 (L T-1 )b4 ( L ) c4 . ∆ h / L = M 0 L 0 T 0

M : a 4 = 0 a 4 = 0 4 = ∆ h / L

L : -3a 4 + b 4 + c 4 = 0 b 4 = -2

T : -b 4 - 2 = 0 c 4 = 1 : 0 = 0




6. La función adimensional :

F ( 1; 2; 3; 4 ) = 0

0)h;D

;V

Dg;V

(F2 L

e

D

7. Redefiniendo los parámetros pi :

´1 = 1 / 1 = V D / = Re

´2 = 1 / 2 = V 2 / g D

´3 = 3 = e / D = = Rugosidad relativa

´4 = 4 = ∆ h / L

0)L

;D

;Dg

V;Vρ(F

2he D

8. Como la función no está definida:

)D

;μ

Vρ(´F

Dg

h2

e DV

L

2

F ´́ ( Re ; ) 02 g

L V h

D

Ecuación cualitativa

ENSAYOS EN EL LABORATORIO

Para obtener una ecuación que permita calcular la pérdida de energía ∆h , esnecesario realizar ensayos para determinar la función adimensional F´. Elensayo puede realizarse con agua, se colocan manómetros en las secciones 1y 2, un cronómetro y un recipiente cuyo volumen se conoce. Se prepara ungráfico: F´ vs ( Re,

).

p2

∆ h L

p1

, t




Se hace circular el flujo de agua:

Se anotan los valores de: L, D, e. Se anota el tiempo ( t ) que demora en llenarse un volumen

determinado ( ).- Se calcula el flujo volumétrico. = / t

Se toma lectura de los manómetros p1 y p2.- Se registra la caída de presión. ( p1 - p2.) / = ∆h

Se evalúa la velocidad media y el número de Reynolds.- V = / A Re = V D /

Se evalúa la rugosidad relativa : . = e / D En la ecuación:

0);Re(´Fg2

2V

D

Lh

∆ h, L, D, V son conocidos; por lo que la función F´ ya se puede determinar :

F´ ( Re; ) = f.

Se coloca en el gráfico los valores de: Re1 y f 1 hallados.

Se repite el procedimiento para otros valores de flujo volumétrico y losresultados pueden presentarse mediante gráficos, uno de ellos es el Diagramade Moody.

De esta manera se ha determinado la función F´( Re;

), la cual viene aser el denominado coeficiente de fricción f . La ecuación anterior se puedeescribir en la forma:

g

V

D

L f h

2

2 Ecuación de Darcy - Weisbach

Ecuación cuantitativa

Re1

= e / D

F ( Re, ) =

1

Re2

2




Para nuestro problema:3

3 2

(200/ 60000) / V 2,537 /

A 1,314 10

m sm s

m

6 2

2,537 / 0,0409Re 79 818

1,3 10 /

VD m s m

m s

54,6 10

0,001124694D 0,0409

e m

m

Del Diagrama de Moody, se obtiene: f = 0,023.

Luego:

fluidodemg

h 99392,42

537,2

0409,0

27023,0

2.

Rugosidad promedio de tubos comerciales

Material nuevo e (mm)Vidrio 0,0003

Tubería estirada 0,0015

Acero, hierro forjado 0,046

Hierro fundido asfaltado 0,12

Hierro galvanizado 0,15Hierro fundido 0,26

Madera cepillada 0,18 - 0,9

Concreto 0,3 – 3,0

0,023




Cálculo de la pérdida secundaria

De manera análoga al cálculo de la perdida primaria se puede establecerun procedimiento para el cálculo de las pérdidas secundarias.

g

V h s

2

2

donde

es un coeficiente particular obtenido experimentalmente.

Puede construirse un gráfico vs Re, para un determinado diámetro deaccesorio y luego del gráfico considerar un determinado rango de valores deRe que usualmente se encuentran el la industria, y tomar un valor promedio de

para dicho rango de Re. luego ensayar con otros diámetros repitiendo el

procedimiento. Finalmente presentar los resultados en un gráfico vs D.

Para nuestro problema : Válvula de globo : = 7Codo estándar : = 1,1

2

7 1,1)2,537

( 2,886852

h m de fluidog

Reemplazando valores en la ecuación [ 1 ] :

mmmm p A 8769,3288685,299392,425

9810

pA = 322 522 Pa




El cuadro siguiente muestra las dimensiones de algunas variables que seutilizan en la mecánica de fluidos. Esta información ayuda en la construcción dela matriz dimensional.

VARIABLE SÍMBOLOUNIDADES

SIDIMENSIONES

M L TAceleración a m / s 2 L T - 2




CUERPOS PARCIALMENTE SUMERGIDOS EN LIQUIDOS

EJEMPLO 4.04: Demostrar mediante elTeorema de Buckingham – Vaschy que una

fórmula racional para la resistencia ( R ) decuerpos que se mueven con velocidadconstante ( V ), parcialmente sumergidos enlíquido (

, ), está dada por :

R = L2 V 2 { Re, Fr }

donde Re : Número de Reynolds = V L / Fr : Número de Froude = V 2 / L g

SOLUCION

0. La función dimensional : n = 7 variables


R L V D g

M 1 1 0 0 0 1 0L 1 -3 1 1 1 -1 1T -2 0 0 -1 0 -1 -2

0 0 0 0 0 0 0

[ R ] = [ N ] = [ m . a ] = [ kg ] . [m / s2 ] = M L T –2 [ ] = [ kg / m3 ] = M L-3 [ L ] = [ m ] = L[ V ] = [ m / s ] = L T-1 [ D ] = [ m ] = L[ ] = [ n – s / m2 ] = M L T-2 . T / L2 = M L-1 T-1 [ g ] = [ m / s2 ] = L / T2 = L T-2


1 0 0 1 1-3 1 1 = 1 = -1 0 k = 30 0 -1 0 -1

3. Número de parámetros adimensionales : m = n - k = 7 - 3 = 44. Grupo de variables independientes : V D5. Los cuatro parámetros adimensionales :

1 =a1 V b1 D c1 . R

2 =

a2

V

b2

D

c2

. L 3 = a3 V b3 D c3 .4 =

a4 V b4 D c4 . g




1 = (M L T-3 ) a1 (L T-1 )b1 ( L ) c1 . (M L T –2 ) = M 0 L 0 T 0

M : a1 + 1 = 0 a1 = -1 1 = -1 V -2 D -2 . R

L : -3a1 + b1 + c1 + 1 = 0 b1 = -2 1 = R / V 2 D 2 T : -b1 - 2 = 0 c1 = -2

: 0 = 0

2 = (M L T-3 ) a2 (L T-1 )b2 ( L ) c2 . L = M 0 L 0 T 0

M : a 2 + 1 = 0 a 2 = 0

L : -3a 2 + b 2 + c 2 + 1 = 0 b 2 = 0 2 = L / DT : -b 2 - 2 = 0 c 2 = -1

: 0 = 0

3 = (M L T-3 ) a3 (L T-1 )b3 ( L ) c3 . M L -1 T -1 = M 0 L 0 T 0

M : a 3 + 1 = 0 a 3 = -1 3 = -1 V -1 D -1 .

L : -3a 3 + b 3 + c 3 - 1 = 0 b 3 = -1 3 = / V DT : -b 3 - 1 = 0 c 3 = -1

: 0 = 0

4 = (M L T -3 ) a 4 (L T-1 )b4 ( L ) c4 . L 1 T -2 = M 0 L 0 T 0

M : a 4 = 0 a 4 = 0 4 = V -2 D . g L : -3a 4 + b 4 + c 4 + 1 = 0 b 4 = -2 4 = g D / V 2 T : -b 4 - 2 = 0 c 4 = 1

: 0 = 0

8. La función adimensional:

F ( 1; 2; 3; 4 ) = 0

0)

V

Dg;

DVρ

μ;

D

L;

V

R(F

222 D

9. Redefiniendo los parámetros pi:

´1 = 1 = R / V 2 D 2

´2 = ( 2 ) 2= L 2 / D 2

´3 = 2 / 3 = V L /

´4 = 1 / ( 2 . 4 ) = V 2 / g L




0)gL

V;

μ

LVρ;

D

L;

Vρ

R(F

2

2

2

22 D

8. Como la función no está definida:

0)gL

V;

μ

LVρ(´F

D

L

Vρ

R 2

2

2

22 D

0)Fr;Re(LVρR φ22

Tabla i : Obtención de los números

Grupo de variablesindependientes

a V b D c

( M L –3) a ( L T –1) b ( L ) c

1 2 3 4

R L g

M : 0 = a + 1 0 1 0L : 0 = -3a + b +c + 1 1 - 1 - 2

T : 0 = - b + - 2 0 - 1 - 2: 0 = 0 + 0 0 0 0a = - 1 a = 0 a = -1 a = 0b = - 2 b = 0 b = - 1 b = - 2c = -2 c = - 1 c = - 1 c = 1

1 =- 1 V - 2 D - 2 . R

2 =0 V 0 D -1 . L

3 =- 1

V - 1

D - 1

.4 =

0 V - 2 D 1 . g

Luego: 0)gL

V;

μ

LVρ;

D

L;

Vρ

R(F

2

2

2

22 D




MODELADO DE BOMBAS CENTRIFUGAS

Los parámetros característicos de una bomba son la altura total H y el

flujo volumétrico . Estos parámetros pueden modificarse variando lavelocidad de rotación n y reduciendo el diámetro del impulsor o rodete. Lacarcasa y rodete de una bomba centrífuga se obtienen por fundición, lo cualinvolucra un gasto en modelos, cajas, material, maquinado, acabado, etc..

Para una bomba en particular sus parámetros son H y ; funcionandocon un motor que gira a n rpm, siendo el diámetro de su rotor D y su eficiencia

.Si se utilizan 5 velocidades de rotación manteniendo constante el diámetrodel rodete, se obtienen 5 juegos de valores H . Ahora, si se reduce el rodeteobteniéndose 5 valores, da como resultado total 20 juegos posibles de H y ;

de los cuales los que posean una eficiencia aceptable tendrán un valorpráctico. Esto constituye una familia de bombas.

EJEMPLO 4.05: La energía especifica intercambiada entre el rodete y elfluido H g de una bomba, puede considerarse que depende de las siguientesvariables :Flujo volumétrico ( ), revoluciones por minuto ( n ), Diámetro del rodete de labomba ( D ), densidad del fluido ( ), módulo de compresibilidad elástica ( E ),viscosidad absoluta del fluido ( ), rugosidad superficial de los álabes ( e ).

SOLUCION1. La función dimensional: n = 8 variables.

F ( ; n; D; ; E; , e; H g ) = 0


n D E e H g

M 0 0 0 1 1 1 0 0

L 3 0 1 -3 -1 -1 1 2T -1 -1 0 0 -2 -1 0 -20 0 0 0 0 0 0 0

[ ] = [ m3 / s ] = L3 T –1 [ n ] = [ rpm ] = T –1 [ D ] = [ m ] = L

[ ] = [ kg / m3 ] = M L- 3

[ E ] = [ N / m2 ] = M L T-2 / L2 = M L-1 T –2

[ ] = [ N – s / m2

] = M L T-2

. T / L2

= M L-1

T-1

[ e ] = [ m ] = L[ H g ] = [ m . m / s2 ] = L L / T2 = L2 T –2





0 0 1 0 10 0 -3 = 1 = -1 0 k = 3

-1 0 0 -1 0

3. Número de parámetros adimensionales: m = n - k = 8 - 3 = 54. Grupo de variables independientes: n D5. Los cinco parámetros adimensionales:

1 = n a1 D b1 c1 . Hg

2 = n a2 D b2 c2 .

3 = n a3 D b3 c3 . E4 = n a4 D b4 c4 .5 = n a5 D b5 c5 . e

Tabla i : Obtención de los números

Grupo de variablesindependientes

n a D b c

(T –1 ) a ( L ) b ( M L –3 ) c

Parámetros adimensionales

1 2 3 4 5

H g E e

M : 0 = c + 0 0 1 1 0L : 0 = b - 3 c + 2 3 - 1 - 1 1T : 0 = - a + - 2 - 1 - 2 - 1 0

: 0 = 0 + 0 0 0 0 0

a = - 2 a = - 1 a = -2 a = - 1 a = 0b = - 2 b = - 3 b =- 2 b = - 2 b = - 1c = 0 c = 0 c = - 1 c = - 1 c = 0

6. La función adimensional:

0);;;;(222322 D

e

Dn Dn

E

Dn Dn

HgF




EJEMPLO : 4.06: Las variables que pueden intervenir en un problemacualquiera de Mecánica de fluidos se pueden reducir a ocho variablesfundamentales: La presión p, la velocidad V, la densidad , la viscosidad

absoluta , la aceleración de la gravedad g, la velocidad del sonido C, latensión superficial , y una longitud característica L. Determinar los númerosadimensionales que caracterizan a éste flujo.

SOLUCIÓN

1. La función dimensional: F ( p, V, , , g, C, , L ) = 0 n = 8

Presión p N / m2

M L – 1

T – 2

Velocidad V m / s L T – 1

Densidad kg / m3

M L – 3

Viscosida dinámica Pa - s M L – 1

T – 1

Aceleración gravitatoria g m / s2

L T – 2

Velocidad del sonido C m / s L T – 1

Tensión superficial N / m M T – 2

Longitud L m L


p L V g C

M 1 0 0 1 1 0 0 1

L -1 1 1 -3 -1 1 1 0

T -2 0 -1 0 -1 -2 -1 -2

0 0 0 0 0 0 0 0

3. Rango de la matriz: k = 3

0 0 1 1 1

1 1 -3 .= 1 .= -1 .= 0

0 -1 0 0 -1

4. Número de parámetros

: m = n – k = 8 – 3 = 55. Grupo de variables independientes: L v6. Parámetros adimensionales:

1 = L a1 V b1 c1 p

2 = L a2 V b2 c2

3 = L a3 V b3 c3 g4 = L a4 V b4 c4 C




5 = L a5 V b5 c5

Parámetros adimensionales

L a V b c

1 2 3 4 5g C p

M : 0 = 0 a 0 b 1 c .+ 0 0 1 1 1

L : 0 = 1 a 1 b -3 c .+ 1 1 0 -1 -1

T : 0 = 0 a -1 b 0 c .+ -2 -1 -2 -1 -2

0 = 0 a 0 b 0 c .+ 0 0 0 0 0

a = 1 0 -1 -1 0

b = -2 -1 -2 -1 -2

c = 0 0 -1 -1 -1

Grupo de variables independientes :

1 = L 1 V -2 0 g ' 1 = V / L g

2 = L 0V

-1 0 C ' 2 = V / C

3 = L -1V

-2 -1 ' 3 = L V

4 = L -1V

-1 -1 ' 4 = L V

5 = L 0V

-2 -1 p ' 5 = p / V L

0);V

p

VL;;V;V

gL

(F 222 V L

C

ó

0)

V

p;;;

V;

V(F'

2

22 LV V LC

g L

Los números adimensionales obtenidos tienen nombre propio y son: Númerode Froude, Mach, Weber, Reynolds y Euler respectivamente. La EcuaciónAdimensional que caracteriza al flujo es:

0)Re;;;;( EuWe M Fr F




EJEMPLO : 4.07: Demostrar mediante la aplicación del análisis dimensionalla siguiente relación :

Fs = Cs . p din . ADonde :

Fs : Fuerza de sustentación de un perfil aerodinámico.Cs : Coeficiente de sustentación = f ( Re ).p din : Presión dinámica = V 2 / 2.V : velocidad del perfil aerodinámico.A = L 2; L = longitud característica.

SOLUCIÓN

1. La función dimensional : F ( Fs, V, , , L ) = 0 n = 52. La matriz dimensional

Fs V L

M 1 0 1 1 0

L 1 1 -3 -1 1

T -2 -1 0 -1 0

0 0 0 0 0

3. Rango de la matriz: k = 3

0 1 0 1 1

1 -1 1 .= -1 .= -1 .= 0

-1 -1 0 -1 0

4. Número de parámetros

: m = n – k = 5 – 3 = 25. Grupo de variables independientes: L v6. Parámetros adimensionales:

1 = L a1 V b1 c1 Fs

2 = L a2 V b2 c2

Resolviendo:

1 = L -2 V -2 -1 Fs

2 = L -1V

-1 -1

La función adimensional:

0)VL

;

V

Fs(F

22 L

2

2

22

2)Re(''

)Re('

LV

F Fs

F LV Fs

Finalmente : Fs = Cs . p din . A




El análisis dimensional (AD) permite que se reúnan las magnitudes de lascantidades apropiadas a un problema físico, en grupos adimensionales, decada uno de los cuales se hace referencia como de una .

La relación que conecta las magnitudes de las cantidades individuales llegaentonces a ser una relación algebraica que relaciona los númerosadimensionales s. Una relación como ésta se puede representar siempre en laforma: ( 1, 2 , 3 ,…. r ) = 0 en donde significa “cierta función de”.

Si estos son independientes ( en el sentido de que, por ejemplo, una nosea simplemente el cuadrado o el recíproco de otra ) entonces el número de

s es igual al número de variables individuales menos el número total demagnitudes fundamentales distintas ( tales como MLT ) necesarias para

expresar las fórmulas dimensionales de todas las variables ( variable sólosignifica la magnitud de una cantidad física pertinente; no se implica que varíe,ésta podría ser aún una “constante universal como es la velocidad de la luz”).

El teorema de Buckingham ofrece considerable ventaja sobre el estudiode Rayleigh en que, muestra antes del análisis cuántos grupos puedenesperarse y permite al ingeniero mayor flexibilidad en la formulación de losmismos (en particular si ya se sabe que ciertos grupos, por ejemplo, lasrelaciones entre fuerzas, son pertinentes).

J. SifuentesEn el estudio de un fenómeno fluido-dinámico se sugiere el siguiente

procedimiento:Hacer un listado de las variables que intervienen en el problemafluidodinámico.Identificar las variables superfluas de las fundamentales.Establecer la ecuación dimensional.Utilizar el Teorema de los números de Buckingham-Vaschy, el quea partir de la ecuación dimensional se obtiene la ecuaciónadimensional que caracteriza al problema.La variable que nos interesa, se separa de la función adimensional yse establece la ecuación cualitativa. La cual establece la relación dela variable de estudio con el resto de variables y con una función aúnno definida.Se procede a organizar el ensayo que permita definir la función nodefinida en la ecuación cualitativa; y así obtener la ecuacióncuantitativa de la variable de estudio.Se aplican las ecuaciones o expresiones obtenidas en la solucióndel problema fluidodinámico; si los resultados no concuerdan con larealidad o no son obtenidos con la exactitud requerida, se arbitra a fin

de revisar el estudio, utilizar el prototipo como modelo, recabarinformación experimental y de allí con un tratamiento matemáticoobtener factores de corrección pertinentes.




PROBLEMAS RESUELTOS

1. Se sabe que la potencia necesaria W para mover una hélice de avión

depende de los siguientes factores: diámetro de la hélice, D; velocidaddel sonido en el fluido, c; velocidad angular de la hélice, w; velocidad delavión V,- densidad y viscosidad del fluido, p y , respectivamente.

a. De acuerdo con el teorema de Vaschy-Buckingham, ¿cuántosparámetros adimensionales caracterizan el problema?.

b. Tomando D, U, p como magnitudes de base, determinar dichospará metros e indicar qué tipo de relación funcional existe entreellos.

c. Explique cómo se representaría gráficamente la ley experimentalbuscada, en términos de los parámetros hallados.

Respuesta: W / p D 2 U 3 = f (M, w DIU, Re)

2. El par motor de una turbina depende del caudal Q, de la carga deentrada H (altura), del peso específico , la velocidad angular w y laeficiencia , Determínese el par motor T como una relación funcionalentre parámetros adimensionales. Como magnitudes de base, setomarán , H, Q.

Respuesta: Tl H 3 = f (w H 3 Q, )

3. El caudal que fluye por un pequeño orificio depende de la carga deentrada H, de la gravedad g, del diámetro del orificio D, de la densidad,la viscosidad y la tensión superficial, , , respectivamente y de larugosidad e. Encontrar de qué grupos adimensionales depende elcoeficiente de descarga Cd.

Respuesta : D (g H / )½

; D / H; / g H½

; e / H

4. Determinar los factores adimensionales de que depende el caudal de unvertedero triangular en V, donde Q es el caudal. h de altura sobre elvértice, , , y la densidad, viscosidad cinemática y tensión superficial,respectivamente, el ángulo y g la gravedad.

Respuesta: Q = g 1/2 h 5/2 ( g½

h 3/2 / , g h 2 / , )




PROBLEMAS PROPUESTOS

MASSEY página 352




1.2.3. Un disco de diámetro D sumergido en un fluido de densidad y viscosidad

tiene una velocidad constante de rotación N. La potencia requerida para impulsar eldisco es P. demuestre que:P = N 3 D 5 ( N D 2 / )

Un disco de 225 mm de diámetro, que gira a 23 rev/seg, en agua, requiere un par detorsión impulsor de 1,1 N-m. Calcúlense la velocidad correspondiente y el par detorsión requeridos para impulsar un disco similar de 675 mm de diámetro que gira enel aire. (Viscosidades: aire 1,86 x 10 -5 Pa-s; agua 1,01 x 10 -3 Pa-s. Densidades:airea 1,20 kg / m 3; agua 1000 kg / m 3 ). [39,22 rev/s, 0,933 N-m]

4.5.6. Demuéstrese que, para un flujo dominado solo por las fuerzas de gravedad,

inercia y presión, la relación entre los regímenes de flujo volumétrico de dos sistemasdinámicamente semejantes es igual a la potencia 5/2 de la relación de longitudes.

7.8.9. Un aeroplano va a volar a una altura de 9 km (en la que la temperatura y lapresión son: de - 45 ºC y 30,2 kPa respectivamente) con velocidad de 400 m/s. Seprueba un modelo a escala 1/20 en un túnel de viento presurizado en el cual el aire seencuentra a 15 ºC. ¿Qué presión y que velocidad deberán usarse en el túnel de vientopara una similitud dinámica completa?.Para el aire a T K, T 3/2 / (T + 117). [821 kPa ; 450 m/s]

analisis experimental

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