proyecto analisis modal experimental (cec uchile)

Universidad de Chile

Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Departamento de Ingenierıa Mecanica

ME754 - Vibraciones de Sistemas Mecanicos

Analisis Modal Experimental de una

Estructura Aeronautica

Rafael Braun

Nicolas Madsen

Viviana Meruane

Julio de 2003

Vibraciones en Sistemas Mecanicos - ME754 i

Indice

1. Introduccion 1

2. Objetivos 1

3. Analisis Modal Experimental 3

3.1. Funcion Respuesta en Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2. Estimacion de Modos Propios y frecuencias naturales a partir de FRF . . . . 7

3.2.1. Polirefencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2.2. SDOF polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2.3. Ajuste de circulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3. Metodos de correlacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3.1. Sincronizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3.2. Matriz MAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4. Experimento 10

4.1. Excitacion del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5. Modos Propios Experimentales y Numericos 11

5.1. Resultados Toma de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6. Correlacion de ambos modelos 31

7. Comentarios y Conclusiones 42

8. Bibliografıa 43

Vibraciones en Sistemas Mecanicos - ME754 1

1. Introduccion

Este proyecto trata sobre el analisis modal experimental de una estructura aeronautica.

El analisis modal es una tecnica para investigar y estimar los parametros que describen el

comportamiento dinamico de un sistema, este analisis tiene un amplio rango de aplicaciones

entre las que se pueden encontrar:

Identificar frecuencias y modos propios del sistema.

Medir propiedades especıficas, como son la amortiguacion o la rigidez.

Verificar los resultados predecidos en teorıa con los resultados experimentales.

Para formular un modelo matematico de la estructura estudiada con el proposito de

realizar estudios posteriores.

El ultimo item es el que se ha planteado como objetivo final de este proyecto, es lo

que refiere a llegar a formular un modelo matematico que represente al modelo real. Si se

logra modelar la estructura en un modelo matematico se podrıa, sin necesidad de volver

a realizar procedimientos experimentales: predecir las respuestas del modelo para distintas

excitaciones, ademas de predecir los efectos de modificaciones en la estructura, y ası optimizar

su diseno.

Para llegar a este modelo, se realizara inicialmente el analisis modal experimental de

la estructura, simultaneamente se realiza una analisis modal teorico por medio de elementos

finitos con el sofware I-deas y, finalmente, por medio de este software se pueden correlacionar

ambos modelos de manera de obtener un modelo matematico que represente fielmente la

realidad.

2. Objetivos

Realizar analisis modal experimental de una estructura aeronautica.

Realizar analisis modal analıtico de esta estructura.

Comparar y correlacionar ambos modelos, el analıtico con el experimental.


Obtener a partir de la correlacion de ambos modelos un modelo matematico que rep-

resente completamente al modelo real.


3. Analisis Modal Experimental

Un analisis modal experimental consiste en cinco etapas. La primera etapa es la con-

struccion del set-up del experimento: suspendiendo la estructura, fijando transductores,

conectando el sistema de adquisicion de datos, calibrando, etc. La segunda etapa es la adquisi-

cion de datos y comunmente la estimacion de las funciones de respuesta en frecuencia. La

tercera etapa corresponde a la identificacion de fase del sistema, determinando las carac-

terısticas de vibracion del sistema a partir de los datos input y output. La cuarta etapa es

la validacion de los resultados obtenidos. Todas estas etapas en orden son necesarias para

llegar a la quinta etapa: usando la informacion obtenida para mejorar el sistema de una for-

ma sistematica. A continuacion se habla detalladamente de la teorıa necesaria para entender

este analisis.

3.1. Funcion Respuesta en Frecuencia

Para ilustrar la manera en que se deriva teoricamente el analisis modal de sistema, es

conveniente ilustrar este con un modelo estandar de un grado de libertad (ver figura 1).

Figura 1: Sistema clasico de un grado de libertad

La ecuacion general para este movimiento es :

mx+ cx+ kx = f (1)


en donde: x = dxdt, x = d2x

d2t

Si se aborda este problema por medio del algebra compleja, definiendo:

f = f exp (iwt) = |f | exp i(wt+ φf ) (2)

x = x exp (iwt) = |x| exp i(wt+ φx) (3)

Y sustituyendo para f y x en la ecuacion (1), se obtiene:

(−mw2 + iwc+ k)x exp (iwt) = f exp(iwt) (4)

ox

f= H(w) =

1

(k − w2m+ iwc)(5)

Esta cantidad compleja define completamente la relacion entre la respuesta armonica

y la fuerza armonica, y se denomina Funcion de respuesta en frecuencia (FRF). Tanto la

relacion entre las amplitudes y el desface entre la respuesta y la fuerza estan contenidas en

esta cantidad compleja:

H(w) = (x

f) = (

|x||f |

)exp(i(φx))

exp(i(φf ))= (

|x||f |

) exp(i(φx − φf )) = |H(w)| exp(iφH)

ası: |H| = |x||f | , y φH = (φx − φf )

Para presentar graficamente los resultados obtenidos en un analisis modal se consideran

basicamente tres variables: modulo |H| , Fase (φH) y la frecuencia. Se utilizan dos formas

de presentar estos datos: (i) en graficos modulo v/s frecuencia y Fase v/s frecuencia, y (ii)

un grafico polar de modulo v/s Fase. Estos graficos son llamados diagramas de Bode.

El grafico de FRF para un grado de libertad es como se muestra a continuacion:


Figura 2: Grafico FRF v/s Frecuencia para un sistema de un grado de libertad

Usualmente los diagramas de Bode utilizan escalas logarıtmicas para las ordenadas.

Ello facilita la visualizacion pues las FRF usualmente incluyen varios ordenes de magnitud.

Una forma estandar de escala logarıtmica usa los decibeles (dB). Un dB se define como:

dB = 20logX

Xref

En donde Xref es un valor de referencia, en la figura 3 se muestra un grafico logarıtmico

para la FRF versus frecuencia.

Las FRF son facilmente obtenible experimentalmente, y contienen toda la informa-

cion sobre los modos propios y frecuencias naturales del sistema. En los graficos obtenidos

anteriormente se ven peaks, Estos peaks corresponden a la resonancia. Las frecuencias nat-

urales del sistema se pueden aproximar por las frecuencias de resonancia. Para el caso de

sistemas de mas grados de libertad tambien existen frecuencias a las cuales hay efectos de

antiresonancia, como se puede ver en la figura 4.


Figura 3: Grafico Logarıtmico FRF v/s Frecuencia para un sistema de un grado de libertad

Figura 4: Grafico FRF v/s Frecuencia para un sistema de dos grados de libertad


3.2. Estimacion de Modos Propios y frecuencias naturales a partir

de FRF

Una vez que se han medido experimentalmente las funciones respuesta en frecuencia

del sistema, se deben estimar los modos propios, frecuencias naturales, factores de amor-

tiguamiento, etc, a partir de estas. como ya se vio en la seccion anterior la funcion respuesta

en frecuencia contiene todo la informacion necesaria. Los metodos con que cuenta I-deas

para realizar el analisis modal son:

SDOF Polynomial

Circle Fit

Complex Exponencial

Direct Parameter

Polireference

Orthogonal Polyreference

Los Parametros que se utilizan son:

Qr: factor modal

ψr: Vector modal r.

λr: Polo = σr + jwr

σr: factor de amortiguacion.

wr: Frecuencia natural

[V ] : [ψ1, ..., ψN , ψ∗1, ..., ψ

∗N ]

[Λ]: Matriz diagonal con los polos.

[L] = [Q][V ]: matriz de participacion modal.

A continuacion se detallaran los metodos mas utilizados:


3.2.1. Polirefencias

H(n4t) = [V ] · [exp(Λn∆t)] · [L]

Si consideramos o-esima fila de la matriz de respueta en frecuencia (respuesta en el grado de

libertad o),

hT0 (n∆t) =

∑r

φor exp(λrn∆t)lTr + φ∗or exp(λ∗rn∆t)l∗Tr

o equivalentemente

hT0 (n∆t) =

∑r

φorznlTr + φ∗orz

∗nl∗Tr

donde: z=exp(λr∆t)

La combinacion de la exponecial compleja y los factores de participacion modal, zr〈L〉r, o

z∗r 〈L〉∗r, son solucion de la siguiente ecuacion matricial en diferencias finitas, de orden p:

znr 〈L〉r[I] + zn−1

r 〈L〉r[W ]1 + ...+ zn−pr 〈L〉r[W ]p = 〈0〉

La dimesion de las matrices [W ]1...[W ]p es nixni, mientras que el orden del polinomio

debe cumplir:

p ≥ 2Nm

Ni

de modo de encontrar 2nm polos. se tiene ademas que:

hT0 (n∆t)I + hT

0 ((n− 1)∆t)W1 + ...+ hT0 ((n− p)∆t)Wp = 0T

Tomando esta ecuacion simultaneamente para todos los grados de libertad medidos, permite

calcular las estimaciones para las matrices Wi. Ellas generan un problema de valores propios

a partir del cual se pueden conocer los polos λi y los vectores de participacion modal Ir.

3.2.2. SDOF polinomial

Este metodo consiste en aproximar la funcion respuesta en frecuencia como:

Hij(w) =∑ ψirψjr

−Mrw2 + jCrw +Kr

(6)


3.2.3. Ajuste de circulo

Este metodo permite obtener estimaciones para las frecuencias naturales, los modos

propios y los factores de amortiguamiento. Se trata de un metodo SDOF. Se basa en el

hecho de que la FRF de un sistema bajo la hipotesis SDOF describe un circulo el diagrama

de Nyquist (parte real vs parte imaginaria de la FRF). la formula basica para la FRF cerca

de la resonancia wr, es:

Hij(jw) =U + jV

−σr + j(w − wr)+ r + jI (7)

3.3. Metodos de correlacion

Los metodos de correlacion nos permiten medir las diferencias que existen entre la re-

spuesta del modelo experimental versus la respuesta numerica obtenida por elementos finitos.

Los resultados de la prueba y del modelo analıtico son comparados para determinar la cor-

relacion de formas modales. Las formas modales resultantes del analisis de elementos finitos

son almacenados en formatos de informacion junto al archivo del modelo en coordenadas

globales. Las formas modales resultantes de la prueba de analisis modal son almacenados en

el formato ADF como coordenadas de desplazamiento. Esta transformacion de coordenada

se resuelve por medio de varios calculos de correlacion. En resumen se siguen los siguientes

pasos:

Se selecciona la tarea de correlacion.

Se lee el modelo analıtico (elementos finitos).

Se lee el modelo de prueba (union de nodos).

Se sincroniza los modelos de prueba y analisis.

Se construye una matriz MAC.

Se construye una tabla comparativa de los tipos de modos.

3.3.1. Sincronizacion

Los modelos se sincronizan cuando la geometrıa de los dos modelos en comparacion no

cuadran. En este caso, la traslacion, rotacion y factor de escala son determinados para hacer


la sincronıa entre la geometrıa de la prueba con la geometrıa analıtica. Para sincronizar los

modelos, se selecciona el modelo de prueba para transformarlo y el modelo de referencia. La

geometrıa del modelo de prueba, la fuente de las formas modales, fuentes de funcion y otros

parametros tabulados son transformados al modelo de referencia.

3.3.2. Matriz MAC

La tecnica mas usada para ver la correlacion entre ambos modelos es el Modal Assur-

ance Criterin (MAC). Esta da una buena idea de la cercanıa global entre dos familias de

modos propios, Φ y V:

MAC(φi, vj) =

(φT

(i)v(j)

‖φ(i)‖‖v(j)‖

)2

en donde i,j corresponden a los ındices de dos modos propios que pueden provenir del mismo

origen (experimental o analıtico) para ası chequear la independencia lineal, o de dos bases

distintas para medir la correlacion entre las dos bases modales.

Evaluando la ecuacion anterior se obtiene la matriz de correlacion MAC. los valores de esta

oscilan entre 0 y 1. El valor unitario significa correlacion perfecta. En general esta situacion

no sucede, y valores en el rango de 0.8-0.9 son aceptables para establecer la correspondencia

entre ambas bases modales.

4. Experimento

La experimentacion se desarrollara en el Laboratorio de Solidos - Mecesup, donde ya

se encuentra construido el modelo y sus soportes.

Caracterısticas del modelo:

Material: acero 1020.

Dimensiones principales: largo(1,5 [m]) x envergadura(2 [m]) x alto(0.1 [m]).

Peso estimado: 30 [kg].

4.1. Excitacion del sistema

Para excitar el sistema con un nivel de energıa,periodo de frecuencia y amplitud cono-

cidos y que el excitador no afecte la dinamica del sistema se utilizara un martillo cuyas


Figura 5: Vista general del modelo

caracterısticas tecnicas cuadran en este concepto.

Figura 6: Martillo de excitacion controlada

5. Modos Propios Experimentales y Numericos

5.1. Resultados Toma de datos

Para conocer detalladamente los modos de vibracion del ala del avion se tomaron 14

nodos de medicion en esta . Se conecto un acelerometro al nodo 13 y por medio del martillo

modal se exitaron los distintos nodos.


Figura 7: Esquema de nodos

Como resultado se obtuvieron la funcion de respuesta en frecuencia para cada nodo. A

continuacion se muestra un grafico en donde se muestran conjuntamente las FRF de cada

nodo.

Figura 8: Funcion de respuesta en frecuencia


Se calculo el MIF (Mode Indicator funcion), para ver se encuentran los modos en las

frecuencias naturales obtenidas.

Figura 9: MIF

Se puede ver que los datos correlacionan bien en el rango de 20 a 180 Hz, fuera de este

rango el MIF disminuye mucho. Ademas se observa que en los peaks el MIF tiende a valores

muy cercanos a 1.


A continuacion se presentan los 19 modos de vibracion obtenidos experimentalmente

en un rango de 0 [Hz] a 200 [Hz].

Figura 10: 0.5 [Hz]

Figura 11: 3.95 [Hz]


Figura 20: 109 [Hz]

Figura 21: 128 [Hz]


Figura 22: 136 [Hz]

Figura 23: 156 [Hz]


Figura 24: 162 [Hz]

Figura 25: 175 [Hz]


Figura 26: 185 [Hz]

Figura 27: 191 [Hz]


Figura 28: 200 [Hz]

A continuacion se presentan los 15 modos de vibracion obtenidos por el metodo de

elementos finitos en un rango de 0 [Hz] a 200 [Hz].




Figura 33: 30 [Hz]



Figura 39: 86 [Hz]


Figura 40: 113 [Hz]

Figura 41: 130 [Hz]


Figura 42: 146 [Hz]

Figura 43: 163 [Hz]


6. Correlacion de ambos modelos

Se realializo una correlacion para ambas bases modales (analıtica y experimental), para

ello primero se debieron correlacionar los nodos de cada modelo, asignando ası a cada nodo

del modelo experimental un nodo del modelo realizado en elementos finitos. Posteriormente se

correlacionaron las bases de modos normales obtenidas experimentalmente y analıticamente,

la correlacion se realizo por medio la matriz MAC, los resultados obtenidos se muestran en

la figura a continuacion:

Figura 44: Matriz de correlacion MAC para las bases de modos normales obtenidas experi-

mentalmente y por medio de elementos finitos


Figura 45: Matriz de correlacion MAC para las bases de modos normales obtenidas experi-

mentalmente y por medio de elementos finitos, vista superior

Considerando los modos con una correlacion mayor a 0.8 los resultados son los sigu-

ientes:Frecuencia Frecuencia MAC Diferencia Coeficiente

elementos finitos experimental de frecuencias de amortiguacion

[Hz] [Hz] [Hz]

17.669 14.715 0.853 2.954 1.546

17.669 26.242 0.849 8.573 0.206

29.952 14.715 0.853 15.237 1.546

29.952 26.242 0.935 3.710 0.206

36.468 27.471 0.818 8.997 0.018

46.550 38.929 0.972 7.621 0.736

86.041 74.931 0.951 11.110 0.509

86.041 79.639 0.952 6.402 0.361

86.041 80.158 0.946 5.883 0.154

129.612 108.504 0.880 21.108 0.143

A continuacion se muestran una comparacion entre los modos experimentales y los

teoricos, para las frecuencias de la tabla:


Figura 46: (a) Modo Elementos finitos a una frecuencia de 17.669[Hz], (b) Modo Experimental

a una frecuencia de 14.715[Hz],(c)Modo Experimental a una frecuencia de 26.242



a una frecuencia de 14.715[Hz],(c)Modo Experimental a una frecuencia de 26.242



a una frecuencia de 27.471[Hz]



a una frecuencia de 74.931[Hz],(c)Modo Experimental a una frecuencia de 79.639,(c)Modo

Experimental a una frecuencia de 80.158


Figura 51: (a) Modo Elementos finitos a una frecuencia de 129.612[Hz], (b) Modo Experi-

mental a una frecuencia de 108.504[Hz]


Existe un par de modos el cual el MAC fue menor que 8, pero la forma de estos es muy

similar (los modos con frecuencia 6.63 y 3.95, el hecho de que el valor del MAC no haya sido

bueno se debe a las bajas frecuencias, y por lo tanto en las mediciones experimentales los

resultados estuvieron muy afectados por el ruido, se muestra a continuacion una comparacion

de estos modos:



Se puede Observar que en los modos obtenidos experimentalmente, hay varios de los


cuales son el mismo modo con diferencias de frecuencias naturales bajas, estos son el caso

de los modos con frecuencias: (a) 74.931 (b) 79.639 (c) 80.158. Para efectos de asociar un

modo experimental con un modo analıtico se tomo el par de modos con mayor correlacion,

que en este caso serıan el modo experimental de frecuencia 79.639 con el modo analıtico de

frecuencia 86.041.

Tambien se observa que los modos experimentales con frecuencia 14.715 y 26.242, tienen

buena correlacion con los modos analıticos de frecuencia 17.669 y 29.952. Esto se debe a

que ambos modos son muy parecidos en el sector del ala, pero de los resultados del MAC

se puede ver que correlacionan de mejor manera el modo analıtico de frecuencia 29.952 con

el modo experimental de frecuencia 0.935, y el modo analıtico de frecuencia 17.669 con el

modo experimental de frecuencia 14.715.

Con el analisis realizado anteriormente se obtienen en total 6 modos propios que correlacionan

bien, mas un modo que no da buena correlacion, pero se acepta debido a que su frecuencia

natural es baja y los datos experimentales estan sometidos a errores debido al ruido. Todos

estos modos se resumen en los siguientes:

Modo No Frecuencia Frecuencia MAC Diferencia Coeficiente

elementos finitos experimental de frecuencias de amortiguacion

[Hz] [Hz] %

1 6.63 3.95 0.514 40.422 4.459

2 17.669 14.715 0.853 16.718 1.546

3 29.952 26.242 0.935 12.386 0.206

4 36.468 27.471 0.818 24.671 0.018

5 46.550 38.929 0.972 16.372 0.736

6 86.041 79.639 0.952 7.441 0.361

7 129.612 108.504 0.880 16.286 0.143


Figura 53: Modos Propios


7. Comentarios y Conclusiones

Las vibraciones en sistemas mecanicos son un fenomeno muy usual, en donde se en-

cuentren sistemas en movimiento existen respuestas vibracionales. Estas vibraciones si

no se controlan pueden provocar el desgaste de las maquinas, producir esfuerzos muy

grandes para los materiales, lo que puede provocar rupturas y fatiga del material. Es

por esto que el estudio de las vibraciones es muy importante, ya que si se conocen

estas, se puede aislar la estructura de vibraciones externas o cambiar el diseno de la

estructura de manera de minimizar estas, ademas de poder prevenir efectos como la

resonancia.

Gracias al analisis modal experimental y teorico se puede llegar a formular modelos

matematicos que describen completamente la estructura, ademas de poder modelar

el sistema de una manera mas real, tomando en cuenta los efectos de las estructuras

adyacentes al sistema como puede ser la fundacion por ejemplo. Gracias a esto se

puede optimizar el diseno de las estructuras, predecir las respuestas del sistema a

varias excitaciones, o determinar que fuerzas estan causando la vibracion.

Se puede observar que la correlacion de los modos propios de modelo en elementos

finitos y los obtenidos experimentalmente correlacionaron muy bien dentro del rango

de frecuencias de 18Hz a 130 Hz. Para frecuencias menores la correlacion no fue muy

buena debido al efectos de ruidos que pueden existir a este rango de frecuencias. Lo

mismo sucede con frecuencias mayores de 130Hz que se ven afectadas a las condiciones

de medicion.

Se ve que las frecuencias naturales obtenidas experimentalmente son en general menores

a las frecuencias obtenidas analıticamente, esto se debe a que hay varios factores que

no se consideraron en cuenta, como son las uniones de las piezas, el material ya que

en elementos finitos se utilizo un acero isotropico generico, etc. Esto hace que exista

una diferencia entre las matrices de masa y rigidez, analıticas y experimentales, y por

lo tanto existe una diferencia entre las frecuencias. Las frecuencias analıticas fueron

menores debido a que la riguidez del modelo analıtico es mayor a la del modelo experi-

mental, ya que se dibujo el avion en una sola pieza, sin tomar en cuenta la flexibilidad

de las uniones.


Los coeficientes de amortiguacion se encontraron en los rangos de 0.02 a 5%, lo que es

de esperarse en el acero.

8. Bibliografıa

Modal Analysis Theory and Testing, w.Heylen, S.Lammens, P.Sas - KU Leuven, Bel-

gica. Exploring I-deas Test, version 9, MTS.

Apuntes de Vibraciones en Sistemas Mecanicos ME-754, Rodrigo Pascual J.

proyecto analisis modal experimental (cec uchile)

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