análisis de sílabo (matemática discreta) upc - epe

DIPLOMADO EN DOCENCIA UNIVERSITARIA

MÓDULO I DISEÑO CURRICULAR

TRABAJO FINAL :

ANÁLISIS DEL SÍLABO DE MATEMÁTICA DISCRETA EPE (MA113)

ALBERTO MEJÍA MANRIQUE

JULIO DE 2008

ÍNDICE

1. CONTEXTO

1.1. SOBRE EL PERFIL PROFESIONAL DE LA CARRERA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y EL PERFIL POR

COMPETENCIAS DEL ÁREA DE CIENCIAS

1.2. SOBRE EL MODELO HARDEN

1.3. SOBRE LAS MODALIDADES (PRESENCIAL – SEMIPRESENCIAL)

2. OBJETIVOS

3. ARTICULACIÓN (SILABO POR COMPETENCIAS – PLAN CALENDARIO)

3.1. LÍNEA CURRICULAR: CIENCIAS MATEMÁTICAS (SEGÚN HARDEN)

3.2. MALLA CURRICULAR: INGENIERÍA DE SISTEMAS (ARTICULACIÓN)

3.3. MALLA CURRICULAR DE INGENIERÍA DE SISTEMAS

4. CONGRUENCIA CURRICULAR

4.1. COMPETENCIAS DEL PERFIL PROFESIONAL (DE LA CARRERA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS)

4.2. RELACIÓN DE LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICA DISCRETA EPE CON LAS COMPETENCIAS DEL PERFIL

GENERAL DE LA UPC.

5. SILABO POR COMPETENCIAS

5.1. SILABO POR COMPETENCIAS

5.2. MATRIZ DE HABILIDADES (TAXONOMIA COGNOSCITIVA DE BLOOM)

5.3. RED DE APRENDIZAJE

5.4. SISTEMA DE EVALUACIÓN

5.5. PLAN CALENDARIO

6. PORTAFOLIO DE ESTRATEGIAS

6.1. DISEÑOS INSTRUCCIONALES

6.2. EJERCICIOS DE CLASE

6.3. CLASES INTEGRALES

6.4. ESPACIOS DE AUTOEVALUACIÓN

6.5. TAREAS – FEEDBACK

6.6. AULA VIRTUAL

7. IMPACTO

7.1. ENCUESTA ACADÉMICA

7.2. RESULTADOS (PORCENTAJE DE APROBADOS)

8. CONCLUSIONES

ANÁLISIS DEL SÍLABO DE MATEMÁTICA DISCRETA EPE (MA113)

1. Contexto:

1.1. Sobre el perfil profesional de la Carrera de Ingeniería de Sistemas y el perfil por competencias del Área de Ciencias

Las competencias del perfil profesional de la Carrera de Ingeniería de Sistemas (EPE) redactadas en el 2004 siguen siendo vigentes 1 y han sido tomadas como base del análisis de esta asignatura.

El perfil por competencias de Ciencias es un perfil desarrollado pensando en alumnos de pregrado 2 y fue redactado en un momento en el cual la población de EPE era pequeña y minoritaria. En el presente año 2008 la población de EPE es muy grande y significativa, y aunque no existe un documento de perfil de competencias especialmente redactado para esta modalidad (EPE), consideramos que dado que el título que la UPC otorga a los estudiante de Ingeniería de Sistemas (EPE) es el de Ingeniero, no debería existir una diferencia sustancial.

1.2. Sobre el Modelo de Harden 3 Debido a que en el ítem articulación retomaremos los resultados obtenidos en el Trabajo Grupal: Estado de la Carrera de Ingeniería de Sistemas – EPE (según el modelo de Harden) mencionaremos un par de categorías que justamente son a las que a nuestro juicio la asignatura de Matemática Discreta EPE esta vinculada.

Currícula basada en asignaturas 4

Peldaño IV: Inclusión (anidamiento)

En este peldaño nos acercamos un poco a la integración curricular. En este peldaño el profesor apunta al desarrollo (inclusión) dentro de una determinada asignatura de habilidades (o destrezas) referidas a otras asignaturas. Los profesores analizan las metas de las asignaturas por separado e identifican caminos en los que ciertas habilidades (o destrezas) genéricas pueden ser completadas y mejoradas en el conjunto de las asignaturas existentes.

En este caso las asignaturas reconocen los resultados curriculares más ampliamente que los suyos propios y se adecuan a los mismos. La enseñanza sin embargo sigue basada en asignaturas y el seguimiento del curso y su evaluación siguen perteneciendo a cada una.

1 Entrevista realizada por Alberto Mejía el 27 de junio de 2008 al Ing. Rubén Yong actual Director de la Carrera de Ingeniería

de Sistemas (EPE), carrera para la cual se imparte la asignatura analizada (Matemática Discreta – EPE) 2 Entrevista realizada por Alberto Mejía el 27 de junio de 2008 al Ing. Manuel García-Naranjo Director del Área de Ciencias,

Área responsable de impartir la asignatura analizada (Matemática Discreta - EPE) 3 Harden RM. The integration ladder: a tool for curriculum planning and evaluation. Med Educ 2000; 34: 551-557 4 Fundación Educación Médica. ISSN 1575-1813 versión impresa (extraído de SCIELO España). Jesús F. Escanero Marcén.

Departamento de Farmacología y Fisiología. Facultad de Medicina. Universidad de Zaragoza.

Currícula basada en asignaturas con actividades integradas 5

Peldaño VII: Correlación (programa democrático)

El énfasis se pone en que los cursos que conforman la mayor parte del curriculum poseen una enseñanza basada en asignaturas, más que una enseñanza integradora. Sin embargo, se incorporan sesiones de integración con un peso relativo similar al de las sesiones temáticas.

1.3. Sobre las Modalidades (Presencial y Semipresencial) Esta asignatura la imparto desde el semestre 2006 – 01, y desde un principio me asignaron su coordinación. A partir de esa fecha puedo dividir el desarrollo de Matemática Discreta (EPE) en dos periodos:

Periodo 2006 – 01 al 2007 – 01 En el primero el equipo de profesores se concentro en desarrollar la primera parte del portafolio de la asignaturas, es decir los documentos relacionados con la: • Matriz de Habilidades • Indicadores de Logro • Diseños Instruccionales • Resúmenes teóricos en PowerPoint • Armado del Aula Virtual 6 • Generación de un Banco de Evaluaciones pasadas (incluyendo los criterios de calificación

correspondientes) Este periodo se inicia en el 2006 – 01 y termina el 2007 – 01, en esos 4 semestres se ordenan y diseñan los materiales de trabajo indicados, pensando en que en algún momento las demandas de crecimiento de la asignatura lo demandarían. Esta impartición se caracterizo por ser eminentemente presencial y normalmente se contaban con dos o máximo tres secciones. El número de horas por semana es de 5 horas lectivas desarrolladas en dos sesiones semanales, una de 3 horas y otra de 2 horas.

Periodo 2007 – 02 al 2008 – 01

En este segundo periodo se inicia la impartición de la asignatura en modalidad semipresencial. De toda la oferta de secciones abierta para los estudiantes existe una sección cuya impartición se desarrolla en modalidad semipresencial. Para ello se tuvo que rediseñar el plan calendario y las sesiones de clase con la idea de impartir el curso ahora en dos sesiones, la primera presencial de 3 horas en donde básicamente se desarrollan actividades de Motivación y Adquisición y una segunda sesión semipresencial en donde se desarrollan actividades de Transferencia y Evaluación. Para ello se tuvieron que desarrollar las siguientes actividades: • Matriz de Habilidades (se uso la base anterior porque el contenido del curso no había cambiado)

5 Fundación Educación Médica. ISSN 1575-1813 versión impresa (extraído de SCIELO España). Jesús F. Escanero Marcén.

Departamento de Farmacología y Fisiología. Facultad de Medicina. Universidad de Zaragoza. 6 Con el Aula Virtual de esta asignatura se gano el Concurso “Aula Virtual más conectada” en EPE organizado por TICE

• Indicadores de Logro (los mismos que se habían usado hasta ese momento, la diferencia era que algunas habilidades serian medidas con tareas académicas encargadas y otras a través de evaluaciones en línea)

• Diseños Instruccionales (fueron reorganizados para optimizar los tiempos e incluir actividades presenciales de Motivación y Adquisición)

• Resúmenes teóricos en PowerPoint (se agrego a estos materiales, los llamados apuntes de clase que contenían ejercicios resueltos)

• Armado del Aula Virtual 7 (en este caso se tuvo que abrir un AV Moodle paralela, es decir una era usada por la asignatura en modalidad presencial y la otra por la asignatura en modalidad semipresencial, además de hacer uso de otros recursos y herramientas disponibles en el AV Moodle)

• Generación de un Banco de Evaluaciones pasadas (incluyendo los criterios de calificación correspondientes)

• Generar un Banco de Preguntas con las cuales formular evaluaciones en línea que son parte de la nota sumativa.

• Desarrollo de guías instruccionales basadas en el libro de texto de la asignatura. Como se puede apreciar en las encuestas que se presentan en la sección de resultados el impacto del lanzamiento de esta asignatura en su modalidad semipresencial ha ido de menos a más. En la primera encuesta del semestre 2008 – 01 observamos que el puntaje en la sección E401 (bajo la modalidad semipresencial) es de 9,19, mientras que el puntaje ponderado de Ciencias EPE es de 8,52 y el puntaje ponderado UPC es de 8,60. Es decir el indicador de la sección esta por encima de los indicadores promedio de Ciencias EPE y de UPC. A pesar de ello pensamos que a partir de este trabajo hemos descubierto varias áreas de mejora que se deben seguir trabajando con la idea de alcanzar altos estándares bajo el modelo UPC.

2. Objetivos: Nos planteamos básicamente dos: • El primero es aplicar lo aprendido en el Módulo del Diplomado en un caso concreto en la UPC, en un

curso en particular que consideramos que todavía tiene muchas oportunidades de mejora. • En segundo lugar luego de identificadas esas áreas de mejora a través del análisis realizado, establecer

mejoras concretas que nos permitan agregar valor al curso seleccionado, elemento estratégico a partir del crecimiento de EPE.

7 Con el Aula Virtual de esta asignatura se gano el Concurso “Aula Virtual más conectada” en EPE organizado por TICE

3. Articulación:

3.1. Línea Curricular: Ciencias Matemáticas (según Harden) En el caso de matemática existe un coordinador de línea para EPE. Es el responsable de la articulación entre los distintos contenidos de las diferentes asignaturas.

Las primeras asignaturas en ser creadas fueron Tópicos de Matemática 1 y Matemática Discreta, cada una de ellas consideran una sesión integradora previa a cada una de las evaluaciones. En estas sesiones se busca que el estudiante integre los conocimientos desarrollados en las sesiones previas y que luego forman parte de las evaluaciones. En ambos casos los coordinadores de asignatura realizan coordinaciones semanales con el equipo de profesores, para uniformizar la impartición, la evaluación y los materiales a utilizar en cada una de las secciones. La tabla muestra el peldaño en el que se encuentra la asignatura de Matemática Discreta (entre otros cursos) de acuerdo a su nivel de articulación según Harden 8

Línea curricular Cursos Nivel Peldaño

Matemática 1 1 IV

Matemática 2 2 IV

Tópicos de Matemática 1 3 IV y VII 9

Matemática Discreta 4 IV y VII 10

Ciencias Matemáticas

Estadística 5 III y IV

3.2. Malla Curricular: Ingeniería de Sistemas (Articulación) Luego de revisar la Malla Curricular hemos identificado que el silabo de la asignatura de Matemática Discreta (EPE) esta relacionado con los sílabos de las siguientes asignaturas en mayor o menor grado:

Asignaturas Contenido del Sílabo SI78 : Arquitectura de Computadores y Redes Árboles IS05 : Base de Datos Modelo Relacional – Relaciones

IS02 : Estructura de Datos Recursividad, Listas, Árboles, Grafos, Algoritmos

IS07 : Programación no Procedural Programación lógica, Recursividad, Listas, Árboles

IS14 : Sistemas Expertos Lógica-Matemática IS10 : Sistemas Operativos Algoritmos

8 Tomado de Estado de la Carrera de Ingeniería de Sistemas – EPE (según el modelo de Harden) E. Huaman, R. Villanueva, A.

Mejía 9 En esta asignatura se desarrollan sesiones integradoras que buscan integrar los contenidos impartidos durante las sesiones

teórico y/o prácticas. Estas sesiones se desarrollan en las semanas 3, 6, 7, 11, 13 y 14. 10 En esta asignatura se desarrollan sesiones integradoras que buscan integrar los contenidos impartidos durante las sesiones

teórico y/o prácticas. Estas sesiones se desarrollan en las semanas 3, 6, 7, 11, 13 y 14.

Unidad 01 Unidad 02 Unidad 03 Unidad 04 11 Unidad 06 Unidad 07 12

Matemática Discreta (EPE)

MA113

Conjuntos, Sucesiones,

División en los enteros y Matrices

Booleanas

Lógica e Inducción

Matemática (Algoritmos)

Relaciones y Manipulación de

Relaciones

Funciones Estructuras de Orden – Álgebras

de Boole

Árboles Dirigidos Árboles no Dirigidos

11 La Unidad 05 es una unidad de evaluación del aprendizaje (Modelo de Silabo Unificado UPC) 12 La asignatura esta compuesta por 08 unidades, la Unidad 08 también es una unidad de evaluación del aprendizaje (Modelo de Silabo Unificado UPC)

SI78 : Arquitectura de Computadores y Redes

IS05 : Base de Datos

IS02 : Estructura de Datos

IS07 : Programación no Procedural

IS14 : Sistemas Expertos

IS10 : Sistemas Operativos

3.3. Malla curricular de Ingeniería de Sistemas

Programaci

ón 1 Estructura de Datos y Algoritmos

Programación Orientada a Objetos

Base de Datos

Programación No

Procedural

Sistemas Expertos

Sistemas Distribuidos

Informática

Investigación Operacional

Simulación de Sistemas

Seguridad y Auditoria de

Sistemas

Seminario de

Ingeniería

Sistemas de Soporte Gerencial

Estrategia y Gestión de Sistemas

Diseño de Procesos

Análisis y Dis.

Orientado a Objetos

Ingeniería de

Software

Taller de Proyectos

1

Taller de Proyectos

2

Proyecto Informático

1

Proyecto Informático

2

Comunicación de Datos

Sistemas Operativos

Arquitectura Computadoras y Redes

Gestión 1

Gestión 2

Gestión 3

Matemática 1

Matemática 2

Tópicos de Matemática

1

Matemática Discreta

Estadística

Física 1

Física 2

Taller de Redacción

Cultura Peruana

Habilidades Comunicativ

as

Ética y Ciudadanía

Creatividad y

Liderazgo

Electivo Técnico

1

Electivo Técnico

2

CCiicclloo 11 CCiicclloo22 CCiicclloo33 CCiicclloo44 CCiicclloo55 CCiicclloo66 CCiicclloo77 CCiicclloo88 CCiicclloo99 CCiicclloo1100 CCiicclloo1111 CCiicclloo1122

Ciencias de la Computación

Sistemas de Información

Ingeniería de Software

Tecnologías de la Información

Ciencias Matemáticas

Ciencias Naturales

Humanidades

Ciencias Sociales

Administración

4. Congruencia curricular 4.1. Competencias del perfil profesional (de la carrera de ingeniería de sistemas y de Ciencias)

Logro de la asignatura de Matemática Discreta (MA113)

Analiza y explica los conceptos de matemática discreta y es riguroso en la aplicación de dichos conceptos en la solución de problemas de Ingeniería de Sistemas.

Carrera Competencia Detalle

Perfil por Competencias Ingeniería de Sistemas

(EPE)

Aplica los conocimientos y habilidades en matemáticas, ciencias e ingeniería para la solución de problemas propios de su actividad profesional.

Significa que desarrolla modelos matemáticos para analizar, simular y predecir el comportamiento de componentes, equipos y sistemas de su especialidad. Representa matemáticamente problemas de ingeniería para la búsqueda y planteamiento de soluciones óptimas.

Integra los principales conceptos matemáticos y estadísticos y sus aplicaciones, reconociendo la importancia que éstos tienen para cursar satisfactoriamente las demás asignaturas de su plan curricular y en general, en su formación profesional.

Integra los conceptos y es capaz de aplicarlos a lo largo de los cursos dentro de su carrera.

Aplica las propiedades y herramientas matemáticas o estadísticas que le permiten resolver diversas operaciones de cálculo, analizando la coherencia de sus resultados.

Desarrolla operaciones de cálculo, analizando la coherencia en sus resultados (por ejemplo los resultados obtenidos por la calculadora o computador)

Modela problemas sencillos relacionados con su especialidad, integrando diversos conceptos y propiedades de la matemática o de la estadística, que le permiten arribar soluciones óptimas y precisas.

La modelación en general es una habilidad más compleja y retadora, que sin embargo debe ser desarrollada dentro de la asignatura.

Utiliza diversas herramientas y software matemático y estadístico en la solución de problemas, reconociendo la utilidad que estos tienen para facilitar la realización de operaciones de cierta complejidad.

Se requiere el uso sistemático de un software matemático que apoye el calculo y la solución de problemas.

Identifica críticamente las fuentes de información (textos, libros, publicaciones periódicas, Internet, etc.) que le permite resolver diversos problemas prácticos que tiene sustento matemático o estadístico.

Se apoya en la bibliografía proporcionada en el sílabo y durante las clases.

Sustenta en forma oral o escrita el análisis de diversos casos prácticos, presentando en forma ordenada, clara y sintética los principios matemáticos o estadísticos que conducen a la solución

Justifica y/o sustenta sus análisis usando un lenguaje matemático claro.

Perfil por Competencias Área de Ciencias

Trabaja en forma sistemática, analítica y crítica, lo que le facilita abordar con éxito las demás asignaturas de sus plan curricular

4.2. Relación de la asignatura de Matemática Discreta EPE con las competencias del Perfil General de la UPC.

Logro de la asignatura de Matemática Discreta (MA113) Analiza y explica los conceptos de matemática discreta y es riguroso en la aplicación de dichos conceptos en la solución de problemas de Ingeniería de Sistemas.

Competencias del Perfil General de la UPC Detalle

Pensamiento Crítico

El pensador crítico es aquel que reflexiona y evalúa sus propios pensamientos y los de otros, así como conocimientos, hechos, o fenómenos del entorno, de manera constructiva y lógica para ofrecer un conjunto de razones o de pruebas en apoyo de una conclusión.

Significa que desarrolla modelos matemáticos para analizar, simular y predecir el comportamiento de componentes, equipos y sistemas de su especialidad. Representa matemáticamente problemas de ingeniería para la búsqueda y planteamiento de soluciones óptimas.

5. Silabo por Competencias

5.1. Silabo Por Competencias

Logro de la asignatura de Matemática Discreta (MA113) Analiza y explica los conceptos de matemática discreta y es riguroso en la aplicación de dichos conceptos en la solución de problemas de Ingeniería de Sistemas.

Unidad Nombre Unidad Logro – Competencia Perfil Profesional – Competencia Perfil General – Resultado Esperado (evaluación)

01 Conjuntos, Sucesiones, División en los

enteros y Matrices Booleanas

Logro: • Analiza y explica la teoría de conjuntos aplicando rigurosamente conceptos de

sucesiones, división en los enteros en la solución de problemas.

Competencia Perfil Profesional: • Representa matemáticamente problemas de ingeniería para la búsqueda y

planteamiento de soluciones óptimas. • Modela problemas sencillos relacionados con su especialidad, integrando diversos

conceptos y propiedades de la matemática o de la estadística, que le permiten arribar soluciones óptimas y precisas.

• Sustenta en forma oral o escrita el análisis de diversos casos prácticos, presentando en forma ordenada, clara y sintética los principios matemáticos o estadísticos que conducen a la solución

Competencia Perfil General:

• Pensamiento Crítico: El pensador crítico es aquel que reflexiona y evalúa sus propios pensamientos y los de otros, así como conocimientos, hechos, o fenómenos del entorno, de manera constructiva y lógica para ofrecer un conjunto de razones o de pruebas en apoyo de una conclusión.

¿Cómo se evalúa? • Prácticas en aula (conceptos, cálculo y modelación) – sólo modalidad presencial. • Tareas encargadas para casa, con entrega calificada – sólo modalidad

semipresencial. Se contrasta sus respuestas contra la solución correcta proporcionando un feedback para la evaluación sumativa.

• Exámenes en aula (conceptos, cálculo y modelación) – modalidad presencial y semipresencial.

• Evaluaciones en Línea – sólo modalidad semipresencial. • Espacios para autoevaluación – sólo modalidad semipresencial

02 Lógica e Inducción Matemática (Algoritmos)

Logro: • Evalúa algoritmos cuidadosamente usando definiciones y propiedades de los

conectivos lógicos y los cuantificadores.


planteamiento de soluciones óptimas. • Aplica las propiedades y herramientas matemáticas o estadísticas que le permiten

resolver diversas operaciones de cálculo, analizando la coherencia de sus resultados. • Sustenta en forma oral o escrita el análisis de diversos casos prácticos, presentando

en forma ordenada, clara y sintética los principios matemáticos o estadísticos que conducen a la solución

Competencia Perfil General: • Pensamiento Crítico: El pensador crítico es aquel que reflexiona y evalúa sus

propios pensamientos y los de otros, así como conocimientos, hechos, o fenómenos del entorno, de manera constructiva y lógica para ofrecer un conjunto de razones o de pruebas en apoyo de una conclusión.



• Exámenes en aula (conceptos, cálculo y modelación) – modalidad presencial y

semipresencial. • Evaluaciones en Línea – sólo modalidad semipresencial. • Espacios para autoevaluación – sólo modalidad semipresencial

03 Relaciones y Manipulación de Relaciones

Logro: • Analiza y representa cuidadosamente las relaciones en forma de conjunto, gráfica y

matricial.

Competencia Perfil Profesional: • Aplica las propiedades y herramientas matemáticas o estadísticas que le permiten

resolver diversas operaciones de cálculo, analizando la coherencia de sus resultados. • Sustenta en forma oral o escrita el análisis de diversos casos prácticos, presentando

en forma ordenada, clara y sintética los principios matemáticos o estadísticos que conducen a la solución







04 Funciones

Logro: • Analiza y explica cuidadosamente las funciones en forma grafica y analítica.

Competencia Perfil Profesional: • Modela problemas sencillos relacionados con su especialidad, integrando diversos









06 Estructuras de Orden – Álgebras de Boole

Logro: • Analiza y explica los conjuntos parcialmente ordenados, incluyendo las látices y las

álgebras booleanas de manera cuidadosa. Valora estas estructuras pues son útiles en la teoría de conjuntos, el álgebra, la ordenación y la búsqueda, y, particularmente en el caso de las álgebras booleanas, en la construcción de representaciones lógicas para los circuitos computacionales.



resolver diversas operaciones de cálculo, analizando la coherencia de sus resultados. • Modela problemas sencillos relacionados con su especialidad, integrando diversos









07 Árboles Dirigidos – Árboles no Dirigidos

Logro: • Analiza e interpreta cuidadosamente las relaciones llamadas árboles, así como sus

propiedades y aplicaciones en los algoritmos computacionales.



resolver diversas operaciones de cálculo, analizando la coherencia de sus resultados. • Modela problemas sencillos relacionados con su especialidad, integrando diversos


• Sustenta en forma oral o escrita el análisis de diversos casos prácticos, presentando en forma ordenada, clara y sintética los principios matemáticos o estadísticos que conducen a la solución.






5.2. Matriz De Habilidades 13

Versión 2.0 Unidad 01 Unidad 02 Unidad 03 Unidad 04 Unidad 06 Unidad 07

Conocimiento

• Identifica y reconoce un conjunto y un subconjunto.

• Reconoce las diferencias entre la pertenencia y la inclusión.

• Identifica y reconoce una sucesión. • Define la función característica.

• Identifica y reconoce una proposición. • Reconoce los siguientes conectivos

lógicos: negación, conjunción y disyunción (inclusiva), construye proposiciones compuestas haciendo uso de ellas y determina los valores de la tabla de verdad correspondiente.

• Identifica y reconoce el concepto de predicado.

• Identifica los tipos de proposiciones (tautología, falacia y contingencia).

• Reconoce que la forma recursiva de una sucesión representa una relación de recurrencia.

• Define y calcula el producto cartesiano AxB. • Define y determina una partición o conjunto

cociente. • Define el concepto de relación binaria. • Identifica una relación, determinando que

elementos la componen. Define dominio y rango. • Define el concepto de trayectoria en relaciones

expresadas por extensión y por dígrafos. • Define la composición de dos trayectorias. • Define e identifica (por conjuntos -métodos

lógicos, algebraicos –matriciales y geométricos -dígrafos) si una relación R es:

• Reflexiva • Irreflexiva • Simétrica • Asimétrica • Antisimétrica • Transitiva • Equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva)

• Define una función, así como su dominio y rango.

• Identifica cuando una Relación es función.

• Define e identifica cuando una función es:

• Definida en todas su partes • Sobre • Uno a uno • Biyectiva (cuando es un biyección) • Es Invertible (cuando tiene inversa)

• Identifica si una grafica en R x R

representa o no una función. • Define lo que es una permutación. • Define lo que es un ciclo. • Identifica el período de una permutación.

• Identifica si una relación R en un conjunto A es un orden parcial (es decir si es reflexiva, antisimétrica y transitiva).

• Reconoce cuando un conjunto A es parcialmente ordenado o linealmente ordenado (verifica si los elementos de A son o no comparables).

• Reconoce los elementos de la relación R a partir del Diagrama de Hasse.

• Reconoce los elementos extremos (elemento maximal y minimal) de un conjunto parcialmente ordenado.

• Identifica el elemento máximo y mínimo de un conjunto A parcialmente ordenado .

• Identifica los elementos notables de un subconjunto de un C.P.O. (conjunto parcialmente ordenado)

• Define e identifica una retícula (látis) haciendo uso de las propiedades relacionadas.

• Identifica y reconoce retículas (látices) isomorfas.

• Identifica y reconoce los tipos de retículas (látices) : Acotada, Distributiva, Complementada.

• Identifica y Reconoce un Álgebra Booleana. • Reconoce las propiedades de un Algebra

Booleana.

• Reconoce e identifica las relaciones llamadas árboles.

• Interpreta la estructura de una relación de tipo árbol.

• Reconoce las diferencias entre un árbol dirigido y no dirigido.

Comprensión

• Expresa (recodifica) la sucesión en su forma recursiva o en su forma explícita a partir de los elementos que la conforman dado por extensión.

• Representa (recodifica) dentro del computador a conjuntos y subconjuntos haciendo uso de la función característica.

• Expresa (recodifica) el Máximo Común Divisor (MCD) de dos números enteros positivos a y b como una combinación lineal de ellos mismos, haciendo uso del Teorema 4 (página 24 del libro de texto).

• Dada una proposición compuesta (ya simbolizada) determina su tabla de verdad.

• Determina la forma explícita de una sucesión definida por su forma recursiva (una relación de recurrencia) haciendo uso del análisis hacia atrás (o análisis de regreso).

• Calcula (determina) la expresión que representa la Invariante de la parte “cíclica” de un algoritmo.

• Dada una proposición compuesta (redactadas) la recodifica haciendo uso de los símbolos p, q, r y de los conectivos lógicos (negación, conjunción, disyunción (inclusiva), si … entonces, si y sólo si).

• Expresa una relación por extensión, por comprensión, haciendo uso de la matriz de una relación y de dígrafos.

• Reescribe una permutación como producto de ciclos disjuntos

• Reescribe una permutación como producto de transposiciones e identifica la paridad de una permutación.

• Realiza un ordenamiento topológico de un conjunto A parcialmente ordenado a partir de un Diagrama de Hasse dado.

• Realiza un ordenamiento topológico de un conjunto A parcialmente ordenado a partir de un Diagrama de Hasse haciendo uso del algoritmo SORT.

• Representa una función Booleana en forma gráfica usando circuitos lógicos

• Determina un polinomio Booleano (que

determine la función Booleana : nf B B→

) formado a partir de las variables anteriores

( 1 2, , , ... nx x x) y los operadores ∨ y

∧ , dada la tabla de verdad de una Función

Booleana : nf B B→

y las variables

1 2, , , ... nx x x

• Realiza la impresión de los vértices del recorrido de un determinado árbol binario haciendo uso de los algoritmos de Preorden, Entreorden y Postorden.

• Emplea estructuras tales como arreglos y listas enlazadas para llevar información de una relación de tipo árbol a la computadora y viceversa dado el arreglo LEFT, DATA y RIGHT reconstruye el árbol.

Aplicación

• Realiza operaciones con conjuntos (unión, intersección, complemento, diferencia simétrica)

• Determina el término i-ésimo de la sucesión a partir de su forma recursiva o explícita.

• Calcula el Máximo Común Divisor (MCD) de dos números enteros positivos haciendo uso del Algoritmo de Euclides.

• Calcula el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos números enteros positivos haciendo uso del Teorema 6 (página 26 del libro de texto).

• Construye la proposición que representa la cuantificación universal de un predicado y determina su valor de verdad.

• Construye la proposición que representa la cuantificación existencial de un predicado y determina su valor de verdad.

• Construye proposiciones condicionales y bicondicionales y determina los valores de la tabla de verdad correspondientes.

• Realiza operaciones con relaciones (complemento, inversa, unión, intersección) representadas por extensión, por comprensión, por su matriz o su dígrafo).

• Determina la cerradura reflexiva, simétrica y transitiva de una relación.

• Realiza operaciones entre permutaciones (Producto, Inversa)

• Construye el Diagrama de Hasse del orden parcial de un conjunto parcialmente ordenado.

• Representa una función Booleana como la unión de minitérminos.

• Determina un polinomio Booleano usando los Mapas de Karnaugh para (bajo las mismas circunstancias del ítem anterior) pero más simplificado.

• Construye un árbol binario posicional a partir de un árbol en general, para poder aplicar la habilidad 26 en el árbol original.

• Utiliza el algoritmo de PRIM para determinar árboles de expansión dirigidos a partir de la gráfica de una relación simétrica conexa dada.

• Ejecuta los algoritmos de PRIM y KRUSKAL para determinar árboles de expansión mínima a partir de la gráfica con pesos de una relación simétrica dada.

Análisis

• Analiza los ciclos de un algoritmo (pseudocódigo) a partir de una “corrida en papel”.

• Define y determina la relación de conectividad

( R∞ ) y de accesibilidad (*R ) para una

relación R. • Dada una relación R (por extensión, por

comprensión, por su matriz o su dígrafo)

determina la relación nR (por extensión, por

comprensión, por su matriz o su dígrafo). • Defina y determina la clase de equivalencia de

los elementos de un conjunto dada una relación de equivalencia.

• Interpreta los árboles de expansión mínima para resolver problemas de conectividad.

Síntesis

• Resuelve problemas haciendo uso de la teoría de conjuntos y del principio de adición.

• Demuestra la validez de la Invariante (asociada a determinado algoritmo) para cualquier valor de n (ciclos de ejecución) haciendo uso de la Inducción Matemática.

• Demuestra una proposición haciendo uso de Inducción Matemática.

Evaluación

13 Basado en la Taxonomía Cognoscitiva de Bloom

5.3. Red de Aprendizaje

5.4. Sistema de Evaluación

Presencial

La impartición esta compuesta por dos (2) sesiones teórico-práctica. En cada una de ellas su contenido se desarrolla de manera expositiva, buscando la participación activa por parte de los estudiantes. Luego de impartido un cierto numero de unidades se aplica una práctica calificada (evaluación en aula), previa a esta práctica se tiene una clase integral, cuyo objetivo es integrar las habilidades desarrolladas por los estudiantes en la semana previa. Existen en el AV Moodle documentos importantes para el estudiante que sirven de orientación para su estudio: Indicadores de logro para cada evaluación, banco de prácticas y exámenes pasados, clases integrales, talleres resueltos, además de las diapositivas (resúmenes teóricos) usadas en las clases. Al igual que en las asignaturas convencionales existe un examen parcial y un examen final. La impartición se basa principalmente en la bibliografía básica y se apoya en la complementaria.

Sistema de Evaluación

PF = EA (25%) + EB (35%) + PC1 (10%) + PC2 (10%) + PC3 (10%) + PC4 (10%)

EA: Examen Parcial EB: Examen Final PC: Práctica Calificada

Semipresencial Esta compuesta por dos (2) sesiones teórico-práctica la primera de las cuales (3 horas) tiene carácter presencial y la segunda (2 horas) carácter no presencial.

Conjuntos División de enteros Sucesiones Matrices Booleanas

Lógica Inducción Matemática

Relaciones Manipulación de Relaciones

Funciones Funciones de Permutación

Estructuras de Orden Álgebra de Boole

Árboles

Primera Sesión (3 horas) Presencial Su contenido se desarrolla de manera expositiva, buscando la participación activa por parte de los estudiantes. Tiene tres partes: • En la primera se retroalimenta sobre la evaluación anterior, resaltando los logros alcanzados y los que

no han sido alcanzados • En la segunda parte se desarrolla propiamente la clase teórico-práctica • En la tercera se explica la actividad siguiente, buscando en todo momento orientar al estudiante y que

anticipe el trabajo que debe realizar en la sesión no presencial

Segunda Sesión (2 horas) No Presencial Esta sesión busca un aprendizaje autónomo apoyado intensamente en el cuaderno de trabajo. Estimamos que esta sesión (que puede ser desarrollada en los momentos que el estudiante prefiera le debe tomar unas 4 horas). Tiene las siguientes partes: • En la primera se desarrolla el trabajo autónomo del estudiante guiado y pauteado (con tiempos)

basado en el cuaderno de trabajo. • Al final se le pide desarrollar una tarea para que exista una evidencia de que el proceso personal se

llevo a cabo. Durante el desarrollo de esta tarea se abre un foro en el cual puede expresar sus dudas y recibe las respuestas de parte del profesor.

• Luego de cerrado el foro, se hace entrega en la sesión siguiente de una tarea académica, que nos permite medir el nivel de logro alcanzado por el estudiante durante el trabajo con esta sesión.

• Al final de cada clase se toma una evaluación de control (CT TA ó CT EV) con la idea de “validar” la tarea académica

Luego de impartido un cierto numero de unidades se aplica una práctica calificada (evaluación en línea). Previamente como un cierre se desarrolla una clase integral, cuyo objetivo es integrar las habilidades desarrolladas por los estudiantes en la semanas previas. Al igual que en la modalidad presencial se mantienen las evaluaciones tipo examen, también se realizan a mitad y al final del semestre: examen parcial y examen final.

Sistema de Evaluación

PF = EA (25%) + EB (35%) + PC1 (10%) + PC2 (10%) + PC3 (10%) + PC4 (10%) donde:

PC1 = (EV01 * CT EV 01) (50%) + (TA01 * CT TA 01) (50%) PC2 = (EV02 * CT EV 02) (50%) + (TA02 * CT TA 02) (25%) + (TA03 * CT TA 03) (25%) PC3 = (EV03 * CT EV 03) (50%) + (TA04 * CT TA 04) (25%) + (TA05 * CT TA 05) (25%) PC4 = (EV04 * CT EV 04) (50%) + (TA06 * CT TA 05) (50%)

EA: Examen Parcial EB: Examen Final PC: Práctica Calificada EV: Evaluación en Línea - TA: Tarea Académica

Nota: Cada Tarea y Evaluación en Línea será “validada” con un control corto (CT: 0 - 1) que el estudiante debe rendir en la sesión siguiente, que certifica o anula la nota obtenida en la Tarea o Evaluación en Línea.

5.5. Plan Calendario

Presencial

Sem Sesión (horas)

Teórico-Práctica Práctica

1.1 (3) Teoría de Conjuntos. Sucesiones: Forma Recursiva y Forma Explícita. 01

1.2 (2) División en los enteros: MCD, Algoritmo de Euclides. Matrices Booleanas: Operaciones

2.1 (3) Lógica: Proposición, Conectivos Lógicos, Cuantificadores, Función Proposicional, Proposiciones Condicionales.

02 2.2 (2)

Inducción Matemática. Invariante de un Algoritmo. Demostración de la Invariante de un Algoritmo usando Inducción Matemática

3.1 (1+2) Clase Integral 3.1 03

3.2 (2) Práctica 01

4.1 (3) Relaciones: Producto Cartesiano, Partición. Uso de los tres lenguajes (conjuntos, matriz y gráfico) para expresar una Relación. Trayectorias.

04 4.2 (2)

Propiedades de las Relaciones: Reflexiva, Irreflexiva, Simétrica, Asimétrica, Antisimétrica, Transitiva. Relación de Equivalencia, Clases de Equivalencia, Conjunto Cociente.

5.1 (3) Manipulación de Relaciones: Intersección, Unión, Complementaria, Inversa, Composición.

05 5.2 (2)

Manipulación de Relaciones: Cerradura Reflexiva, Cerradura Simétrica, Cerradura Transitiva (Algoritmo de Warshall). Funciones: Diferencias entre una Relación y una Función. Tipos de Funciones: Definida en todas partes, Sobre, Bisección, Uno a Uno e Invertible. Gráfica de una Función.

6.1 (1+2) Clase Integral 6.1 06


7.1 (3) Funciones de Permutación: Composición, Permutación Inversa. Ciclo. Ciclos Disjuntos. Transposición. Permutación Par o Impar.

07

7.2 (2) Clase Integral 7.2 08 Examen Parcial

9.1 (3) Estructuras de Orden: Conjuntos Parcialmente Ordenados. Diagrama de Hasse. Isomorfismo.

09 9.2 (2)

Estructuras de Orden: Elementos extremos y extremales. Ordenamiento Topológico. Elemento máximo y mínimo.

10.1 (3) Estructuras de Orden: Cotas superiores e inferiores. Mínima cota superior y Máxima cota inferior. Retículas. Propiedades. Subretícula. Orden Parcial Producto.

10 10.2 (2)

Tipos de Retículas: Acotada, Distributiva, No Distributiva, Complementada. Álgebra de Boole: Identificación y Definición de un Álgebra Booleana.

11.1 (1+2) Clase Integral 11.1 11


12.1 (3) Diagramas Lógicos. Funciones de Álgebras Boolenas (Polinomios Booleanos). .Mapas de Karnaugh. Árboles Dirigidos: Árbol. Subárbol. Árboles Etiquetados. Árbol n-ario posicional. Árbol binario posicional. Arreglo LEFT, DATA, RIGHT.

12

12.2 (2) Árboles Dirigidos: Búsqueda en Árboles: Preorden, Entreorden y Postorden. Búsqueda en Árboles Generales.

13.1 (1+2) Clase Integral 13.1 13


14.1 (3) Árboles No Dirigidos : Trayectoria simple. Ciclo. Árbol de expansión (Algoritmos). Árboles de expansión mínima (Algoritmo de Prim y Kruskal).

14

14.2 (2) Clase Integral 14.2 15 Examen Final

Semipresencial

Sem Sesión (horas)

Teórico-Práctica Tareas Académicas

Práctica

1.1 (3) Teoría de Conjuntos. Sucesiones: Forma Recursiva y Forma Explícita. División en los enteros: MCD, Algoritmo de Euclides. Matrices Booleanas: Operaciones

01 1.2 (2) Consultas y asesoría por medio del Foro TA 00 – Ejercicios Resueltos – Apuntes de Clase TA 00 14

2.1 (3) Lógica: Proposición, Conectivos Lógicos, Cuantificadores, Función Proposicional, Proposiciones Condicionales. Inducción Matemática. Invariante de un Algoritmo. Demostración de la Invariante de un Algoritmo usando Inducción Matemática

CT TA 00

02

2.2 (2) Consultas y asesoría por medio del Foro TA 01 – Ejercicios Resueltos – Apuntes de Clase TA 01 3.1 (1+2) Demostración de la Invariante de un Algoritmo (Inducción) - Clase Integral 3.1 CT TA 01

03 3.2 (2) EV 01

4.1 (3) Relaciones: Producto Cartesiano, Partición. Uso de los tres lenguajes (conjuntos, matriz y gráfico) para expresar una Relación. Trayectorias. Propiedades de las Relaciones: Reflexiva, Irreflexiva, Simétrica, Asimétrica, Antisimétrica,

CT EV 01

04

4.2 (2) Consultas y asesoría por medio del Foro TA 02 – Ejercicios Resueltos – Apuntes de Clase TA 02

5.1 (3)

Propiedades de las Relaciones: Transitiva. Relación de Equivalencia, Clases de Equivalencia, Conjunto Cociente.. Manipulación de Relaciones: Intersección, Unión, Complementaria, Inversa, Composición. Manipulación de Relaciones: Cerradura Reflexiva, Cerradura Simétrica.

CT TA 02

05

5.2 (2) Consultas y asesoría por medio del Foro TA 03 – Ejercicios Resueltos – Apuntes de Clase TA 03 6.1 (1+2) Cerradura Transitiva (Algoritmo de Warshall) - Clase Integral 6.1 CT TA 03

06 6.2 (2) EV 02

7.1 (3)

Funciones: Diferencias entre una Relación y una Función. Tipos de Funciones: Definida en todas partes, Sobre, Bisección, Uno a Uno e Invertible. Gráfica de una Función. Funciones de Permutación: Composición, Permutación Inversa. Ciclo. Ciclos Disjuntos. Transposición. Permutación Par o Impar.

CT EV 02 07

7.2 (2) Clase Integral 7.2 (Presencial) 08 Examen Parcial

9.1 (3) Estructuras de Orden: Conjuntos Parcialmente Ordenados. Diagrama de Hasse. Isomorfismo. Estructuras de Orden: Elementos extremos y extremales. Ordenamiento Topológico. Elemento máximo y mínimo.

09

9.2 (2) Consultas y asesoría por medio del Foro TA 04 – Ejercicios Resueltos – Apuntes de Clase TA 04

10.1 (3) Estructuras de Orden: Cotas superiores e inferiores. Mínima cota superior y Máxima cota inferior. Estructuras de Orden: Retículas. Propiedades. Subretícula. Orden Parcial Producto. Tipos de Retículas: Acotada, Distributiva, No Distributiva, Complementada.

CT TA 04

10

10.2 (2) Consultas y asesoría por medio del Foro TA 05 – Ejercicios Resueltos – Apuntes de Clase TA 05 11.1 (1+2) Álgebra de Boole: Identificación y Definición de un Á. Booleana.- Clase Integral 11.1 CT TA 05

11 11.2 (2) EV 03

12.1 (3) Álgebra de Boole: Funciones de Álgebras Boolenas (Polinomios Booleanos). Diagramas Lógicos. Mapas de Karnaugh. Árboles Dirigidos: Árbol. Subárbol. Árboles Etiquetados. Árbol n-ario posicional. Árbol binario posicional. Arreglo LEFT, DATA, RIGHT

CT EV 03

12

12.2 (2) Consultas y asesoría por medio del Foro TA 06 – Ejercicios Resueltos – Apuntes de Clase TA 06 13.1 (1+2) Búsqueda en Árboles: Preorden, Entreorden y Postorden. Búsqueda en Árboles Generales.

Clase Integral 13.1 CT TA 06

13

13.2 (2) EV 04

14.1 (3) Árboles No Dirigidos: Trayectoria simple. Ciclo. Árbol de expansión (Algoritmos). Árboles de expansión mínima (Algoritmo de Prim y Kruskal). Máquina de Estado Finito. CT EV 04

14 14.2 (2) Clase Integral 14.2 (Presencial)

15 Examen Final

14 Actividad de inducción (no es calificado).

6. Portafolio de Estrategias

6.1. Diseños Instruccionales

Unidad 01: Conjuntos y División de los Enteros Semana 01 Habilidades a trabajar • Identifica y reconoce un conjunto (y un subconjunto) y lo representa en tres formas: extensión, comprensión y usando los diagramas de Venn. • Identifica y reconoce la relación de pertenencia y la relación de inclusión. • Define el conjunto potencia y determine el conjunto potencia P(A) de un conjunto cualquiera A. • Realiza operaciones entre conjuntos: unión, intersección, diferencia (complemento de uno respecto de otro), diferencia simétrica, complemento. • Calcula la cardinalidad de un conjunto, de la unión de dos conjuntos no disjuntos o de la unión de tres conjuntos no disjuntos haciendo uso del

principio de adición. • Resuelve problemas aplicando la teoría de conjuntos y el principio de adición.

• Define e identifica una sucesión • Calcula el término general de una sucesión a partir de los elementos de la misma. • Calcula los elementos de una sucesión a partir del término general. • Define una función característica para un conjunto. • Representa un conjunto en el computador usando sucesiones haciendo uso de la función característica. • Aplica el concepto de sucesión en la formación de lenguajes. • Aplica el Algoritmo de Euclides para determinar el MCD (Máximo Común Divisor) de dos números enteros positivos. • Aplica la Identidad de Bézout para expresar el MCD de dos números enteros como una combinación lineal de los mismos. • Define e Identifica una matriz Booleana. • Realiza operaciones con matrices booleanas.

Recursos disponibles en el Aula Virtual UPC

Tema: Presentación del curso. Conjuntos. (2h) Sesión: 1.1

Habilidad Fase Metodología (Descripción y Materiales) Tiempo Observaciones y Recomendaciones

Entrega de Materiales (Silabo y Plan Calendario) Presentación del curso (utilizar PPT) (pendiente) • Se tomaran 4 PC´s. La PC 01 se realizará la tercera semana de clases en la sesión de 2

horas, cualquiera que esta sea. Resaltar que en la segunda parte del curso existe menos tiempo entre la PC 03 y la PC 04, además existe aproximadamente una semana entre la PC 04 y el EB. Explicar el Sistema de Evaluación.

• Mencionar el Trabajo Final, los detalles se indicarán en la semana 09 después de los exámenes parciales.

• Los indicadores de logro, el banco de evaluaciones anteriores, los criterios de calificación, talleres presenciales digitalizados con su respectivo solucionario así como las diapositivas usadas en clase.

http://aulavirtual.upc.edu.pe/ o http://intranet.upc.edu.pe/

Insistir sobre el uso constante del Aula Virtual del curso donde encontrarán una serie de recursos educativos digitales (RED) que integralmente los orientaran y apoyaran en su proceso de aprendizaje.

Identifica y reconoce un conjunto (y un subconjunto) y lo representa en tres formas: extensión, comprensión y usando los diagramas de Venn.

• Definición de conjunto (página 76): Un conjunto es simplemente una colección de

objetos, a los que se les conoce como elementos o miembros. • Definición de subconjunto (página 77): Suponga que X e Y son conjuntos. Si todo

elemento de X es un elemento de Y, se dice que X es un subconjunto de Y, se escribe X Y⊆ .

• Definir un conjunto A por extensión: {2,3,4,5}A =

• Definir A por comprensión { / 2 5}A x x x= ∈ ∧ ≤ ≤� • Definir A usando Diagramas de Venn tomando a los números enteros como el conjunto

universal. Desarrollar el Ejemplo 2.1.1 (página 77)

Refuerce las tres formas de representación de un conjunto, dado que en las unidades subsiguientes deberán hacer uso de la forma por comprensión.


Identifica y reconoce la relación de pertenencia y la relación de inclusión.

Sea A un conjunto y sea { ,{ }}B A A=

Entonces como A y {A} son elementos de B, se tiene que A B∈ y que { }A B∈ .

También { }A B⊆ y que {{ }}A B⊆ .

Sin embargo A B⊄ (es decir, no es cierto que A este incluido en B)

Se puede verificar el aprendizaje pidiendo que se determine la verdad o falsedad de una serie de proposiciones (véanse las preguntas teóricas de las PC01 de semestres anteriores)

Define la cardinalidad de un conjunto. Define el conjunto potencia y determine el conjunto potencia P(A) de un conjunto cualquiera A.

Se dice que un conjunto A es finito si tiene n elementos distintos, donde n∈� .

En este caso a n se le llama cardinalidad de A y se denota como A . (página 77) A un

conjunto que no es finito se le denomina infinito . El conjunto sin elementos se denomina conjunto vacío (o nulo) y se denota por φ ó { } . Si A es un conjunto, el conjunto de todos los subconjuntos de A se denomina conjunto

potencia de A y se denota con P(A). Se demuestra que si A n= entonces ( ) 2nP A =

Podemos primero tener un conjunto A de cardinalidad 2 y encontrar el conjunto formado por todos sus subconjuntos, listando los subconjuntos de 0, 1 y 2 elementos. Luego repetir la operación con otro conjunto B de cardinalidad 3, para finalmente formalizar la definición.

Realiza operaciones entre conjuntos: unión, intersección, diferencia (complemento de uno respecto de otro), diferencia simétrica, complemento.

Se define la unión de dos conjuntos A y B: { / }A B x x A o x B= ∈ ∈U

Se define la intersección de dos conjuntos A y B: { / }A B x x A y x B= ∈ ∈I Se define la diferencia (o complemento relativo) de dos conjuntos A y B:

{ / }A B x x A y x B− = ∈ ∉ o también { / }A B x x A y x B= ∈ ∉

Se define la diferencia simétrica de dos conjuntos A y B: { / } { / }A B x x A y x B o x x B y x A⊕ = ∈ ∉ ∈ ∉

Se define el complemento de un conjunto A: ' { / }A x x A U A= ∉ = − o también

{ / }A x x A U A= ∉ = − . Ejemplo: Determine ; ; ; 'A B A B A B A B y A− ⊕U I si se tiene que {1,3,5}A = ,

{4,5,6}B = y {1,2,3,4,5,6,7}U =

Además para todos los casos dichas definiciones se complementan con un Diagrama de Venn que lo represente. Ejercicios de mayor dificultad aparecen en los ejercicios complementarios MD 2007 00 publicados en el Aula Virtual.


Calcula la cardinalidad de la unión de dos conjuntos no disjuntos o de la unión de tres conjuntos no disjuntos haciendo uso del principio de adición. Resuelve problemas aplicando la teoría de conjuntos y el principio de adición.

Ejercicio 01: Una compañía de computadoras tiene que contratar 25 programadores para manejar trabajos de programación de sistemas y 40 programadores para programas de aplicación. De los que se contrate, se espera que diez realicen trabajos de ambos tipos. ¿Cuántos programadores deberán contratarse? Ejercicio 02: Se ha emprendido un estudio sobre los métodos de viaje con transbordo. A cada participante en la encuesta se le pidió que marcará AUTOBUS, TREN o AUTOMOVIL según fuera el medio principal de transporte empleado para ir al trabajo. Se permitió aceptar mas de una respuesta. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: AUTOBUS, 30 personas; TREN, 35 personas; AUTOMOVIL, 100 personas; AUTOBUS y TREN, 15 personas; AUTOBUS y AUTOMOVIL, 15 personas; TREN y AUTOMOVIL, 20 personas; y los tres medios, 5 personas. ¿Cuántas personas llenaron el cuestionario de la encuesta? Ejercicios 03: En un grupo de 165 estudiantes, 8 toman cálculo, psicología y computación; 33 toman cálculo y computación; 20 toman cálculo y psicología; 24 toman psicología y computación; 79 están en cálculo; 83 en psicología y 63 toman computación. ¿Cuántos estudiantes no toman ninguna de las tres asignaturas? Ejercicios (durante clase) : 01, 02 y 03 mencionados anteriormente 2.1 Ejercicios (tarea) - página 86 : 25 al 31 15

Para resolver los problemas se puede hacer uso del principio de adición o trazar los diagramas de Venn y determinar la cardinalidad de cada una de los subconjuntos (regiones)

15 Johnsonbaugh: Matemáticas Discretas, 6ta Edición. Pearson – Prentice Hall. página 31

Tema: Sucesiones, División de los Enteros y Matrices Booleanas (3h) Sesión: 1.2


Define e identifica los tipos de sucesiones.

Una sucesión es una lista de objetos dispuestos en orden: un primer elemento, un segundo elemento, tercer elemento, y así sucesivamente. La lista pude finalizar después de n pasos, n∈� , o puede continuar indefinidamente. En el primer caso se dice que la sucesión es finita , y en el segundo caso la sucesión es infinita . Los elementos (a diferencia de los conjuntos) pueden ser todos diferentes, o puede haber algunos repetidos. Ejemplos:

1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1 3, 8, 13, 18, 23, … 1, 4, 9, 16, 25, … Observe el tercer ejemplo se tiene una sucesión infinita en la cual se muestran los 5 primeros términos. Si el nombre de la sucesión es c, podemos decir que c1 = 1, c2 = 4, c3 = 9, c4 = 16, c5 = 25, en consecuencia podemos llegar a una expresión que relacione

el valor del termino con su posición: 2nc n= , luego debemos indicar que el valor de n

debe ser mayor o igual a 1 ( 1n ≥ ).

Luego la sucesión se puede representar como: 2nc n= , 1n ≥ . Esta es una sucesión

explicita, porque la expresión que permite calcular el valor de cualquier término de la sucesión, solo depende de su posición. Observe el segundo ejemplo se tiene una sucesión infinita en la cual se muestran los 5 primeros términos. Si el nombre de la sucesión es b, podemos decir que b1 = 3, b2 = 8, b3 = 13, b4 = 18, b5 = 23. En este caso podemos afirmar: b2 = b1 + 5 b3 = b2 + 5 b4 = b3 + 5, etc. Es decir: b n = b n - 1 + 5, luego debemos indicar un valor de partida b1 = 3, además de indicar que el valor de n debe ser mayor o igual a 2. ( 2n ≥ ) Luego la sucesión se puede representar como: b1 = 3, b n = b n - 1 + 5, 2n ≥ . Esta es una sucesión recursiva o recurrente, porque la expresión que permite calcular el valor de cualquier término de la sucesión, depende del término anterior.

Una palabra como “estado” puede considerarse una sucesión finita: e, s, t, a, d, o. Las sucesiones de letras u otros símbolos escritas sin comas, son también llamadas cadenas.


Calcula los elementos de una sucesión a partir del término general.

Determine los primeros 3 términos de las sucesiones definidas por:

a) 1 5c = , 12n nc c −= , 2 6n≤ ≤ (sucesión recursiva)

b) ( 4)nns = − , 1 n≤ (sucesión explícita)

c) 5nna = , 1 n≤ d) 23 2 6nb n n= + − , 1 n≤

e) 1 2.5c = , 1 1.5n nc c −= + , 2 n≤ f) 1 3d = − , 12 1n nd d −= − + , 2 n≤

Calcula el término general de una sucesión a partir de los elementos de la misma.

Determine el término general de una sucesión a partir de sus elementos: a) 3, 7, 11, 15, 19, 23, … b) 87, 82, 77, 72, 67 Ejercicios (durante clase) – página 105 : Ejemplo 2.3.6

Encuentre una fórmula explícita para la sucesión definida por la siguiente expresión recursiva: 1 2a = , 1 3n na a −= + , 2 n≤ aplicando el análisis hacia atrás.

Respuestas: a) 1 3d = , 1 4n nd d −= + , 2 n≤

b) 92 5nt n= − , 1 5n≤ ≤

Define una función característica para un conjunto.

Si A es un subconjunto de un conjunto universal U, la función característica Af de A se

define como sigue:1

( )0A

si x Af x

si x A

∈= ∉

Representa un conjunto en el computador usando sucesiones haciendo uso de la función característica

El conjunto correspondiente a una sucesión es simplemente el conjunto de todos los elementos distintos de la sucesión. Sea {1,2,3,4,5,6}U = , {1,2}A = , {2,4,6}B = y {4,5,6}C =

Af le corresponde la sucesión 1, 1, 0, 0, 0, 0

Bf le corresponde la sucesión 0, 1, 0, 1, 0, 1

Cf le corresponde la sucesión 0, 0, 0, 1, 1, 1

Recuerde que una característica esencial de una sucesión es el orden que ocupan en la lista de elementos. Sin embargo, el orden en que se enliste los elementos de un conjunto carece de significado.


Cualquier conjunto con n elementos puede ordenarse en una sucesión de longitud n, de manera que cada uno de los subconjuntos corresponda a una sucesión de ceros y unos de longitud n, para representar la función característica de ese subconjunto. Este hecho permite representar una conjunto universal en una computadora como un arreglo A de longitud n. La asignación de un cero o un uno a cada posición A[k] del arreglo especifica un subconjunto único de U.16 Ejemplo: 17 Sea { , , , , , , , }U a b e g h r s w= . La ordenación de longitud 8 que aparece en la figura

mostrada representa a U ya que A[k] = 1 para 1 8k≤ ≤ :

1 1 1 1 1 1 1 1

Si { , , , }S a e r w= , entonces 1 1,3,6,8

( )0 2,4,5,7S

si x esf x

si x es

=

y se representa con el

siguiente arreglo:

1 0 1 0 0 1 0 1 2.2 Ejercicios (tarea) - página 101 : 62 y 63 18 Pruebe que ( ) ( ) ( )A B A Bf x f x f x=

I para toda x U∈

Prueba que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A Bf x f x f x f x f x= + −U

para toda x U∈

16 Kolman: Estructuras de Matemáticas Discretas para la Computación. 3ra. Edición. Pearson – Prentice Hall. página 17 17 Kolman: Estructuras de Matemáticas Discretas para la Computación. 3ra. Edición. Pearson – Prentice Hall. página 18 18 Johnsonbaugh: Matemáticas Discretas, 6ta Edición. Pearson – Prentice Hall. página 101


Aplica el concepto de sucesión en la formación de lenguajes.

Cadenas 19 Dado un conjunto A, se puede construir el conjunto A* formado por todas las sucesiones finitas de los elementos de A. Con frecuencia, el conjunto A no es un conjunto de números, sino algún conjunto de símbolos. En este caso, al conjunto A se le llama alfabeto, y a las sucesiones finitas que forman A* se les llama palabras procedentes de A, o en ocasiones cadenas de A. Para este caso en particular, al escribir las sucesiones que hay en A* no se usan comas. Se supone que A* contiene la sucesión vacía o cadena vacía, que no contiene símbolos, y se designa a esta cadena por ∆ . También se define la concatenación de dos cadenas. Ejemplos: (1) Sea { , , ,..., }A a b c z= el alfabeto inglés usual. Entonces A* está formado por todas las palabras, tales como ape, sequence (que tienen “significado”) pero también por “palabras” tales como yxaloble, cya y pqrst (que no tienen “significado” alguno). (2) Sea { , , , , , , , }A John Sam Jane swims runs well quickly slowly= . Entonces A* contiene oraciones como “Jane swims quickly” (que tienen “significado”) pero también de oraciones como “Well swims Jane slowly John”. (que no tienen “significado”). Aquí se separa los elementos de cada sucesión con espacios.

19 Kolman: Estructuras de Matemáticas Discretas para la Computación. 3ra. Edición. Pearson – Prentice Hall. página 19


Define y reconoce un número primo Define los operadores div y mod Reconoce que cualquier entero mayor que 1 se puede expresar como un producto de primos.

Se presenta el Teorema: Si 0n ≠ y m son enteros no negativos, puede escribirse m qn r= + para algunos enteros

no negativos q y r con 0 r n≤ < . Además sólo una manera de hacer esto. Ejemplo 5.1.2 (página 184) Se presenta el Teorema: (página 184 : Teorema 5.1.3) Sean m, n y d números enteros, se cumple:

(a) Si d m y d n, entonces ( )d m n+

(b) Si d m y d n, en donde m > n, entonces ( )d m n−

(c) Si d m o d n, entonces d mn

(d) Si d m y m n, entonces d n

Se define que es un número primo: Un entero mayor que 1 cuyos únicos divisores positivos son 1 y él mismo se denomina primo . Define los operadores div y mod: Sean a y b dos números enteros

moda b r= , si se cumple a qb r= +

da iv b q= , si se cumple a qb r= + 29 mod 5 = 4 29 div 5 = 5 172 mod 11 = 7 172 div 11 = 15 3 mod 3 = 0 3 div 3 = 1 0 mod 4 = 4 0 div 4 = 0 Se presenta el Teorema : (página 189 : Teorema 5.1.17)

Ilustrar ambos teoremas con ejemplos sencillos: Para el primer Teorema: 20 = 1*14 + 6 ; 14 = 2*7 + 0 ; 14 = 0*20 + 14


Todo entero positivo n > 1 puede escribirse en forma única como 1 21 2 ... nkk k

nn p p p= , en

donde 1 2 ... np p p< < < , son primos distintos que dividen a n, y las k son enteros

positivos que dan el número de veces que ocurre cada primo como factor de n. (a) 1274 = 2 . 72 . 13 (b) 82320 = 24 . 3 . 5 . 73 . 11

Define el MCD de dos números. Aplica el Algoritmo de Euclides para determinar el MCD (Máximo Común Divisor) de dos números enteros positivos.

Máximo Común Divisor (MCD) 20 Sean m y n enteros positivos diferentes de cero. Un divisor común de m y n es un entero que divide tanto a m como a n. El máximo común divisor, que se denota MCD (m, n) es el divisor común de m y n más grande. (página 188 – Definición 5.1.14) Máximo Común Divisor (MCD) 21

Si a, b y k están en +� , y k a, k b, se dice que k es un divisor común de a y b. Si de

es el mayor de estos k, a d se le llama máximo común divisor, o MCD de a y b y se denota como MCD (a,b). Algoritmo de Euclides 22 Si a es un entero no negativo, b es un entero positivo y r = a mod b, entonces MCD (a, b) = MCD (b, r). (página 205 – Definición 5.3.1) Algoritmo de Euclides 23 Sean 0a b> > , entonces:

1 1a k b r= + donde 10 r b≤ <

2 1 2b k r r= + , 2 10 r r≤ <

1 3 2 3r k r r= + , 3 20 r r≤ <

…………………………. continúa

20 Johnsonbaugh: Matemáticas Discretas, 6ta Edición. Pearson – Prentice Hall. página 188 21 Kolman: Estructuras de Matemáticas Discretas para la Computación. 3ª. Edición. Pearson – Prentice Hall. página 24 22 Johnsonbaugh: Matemáticas Discretas, 6ta Edición. Pearson – Prentice Hall. página 205 23 Kolman: Estructuras de Matemáticas Discretas para la Computación. 3ª. Edición. Pearson – Prentice Hall. página 25


viene de la página anterior

2 1n n n nr k r r− −= + , 10 n nr r −≤ <

1 1 1n n n nr k r r− + += + , 10 n nr r+≤ < .

Finalmente cuando 1 0nr + = , MCD (a, b) = nr

Ejemplo: 24 Determine el MCD ( 190, 34 ) Aplicando el Algoritmo de Euclides, se obtiene que el MCD ( 190, 34 ) = 2. Observe que la condición de parada es que el último resto es igual a cero.

Aplica la Identidad de Bézout para expresar el MCD de dos números enteros como una combinación lineal de los mismos.

Identidad de Bézout Si a y b son enteros no negativos, ambos diferentes de cero, existen enteros s y t tales que ( , )MCD a b sa tb= + . (página 210 – Teorema 5.3.7) Identidad de Bézout Si d es el MCD (a,b), entonces: (1) d sa tb= + para algunos enteros s y t (éstos no son ambos positivos).

(2) Si c es cualquier otro divisor común de a y b, entonces c d

Ejemplo: Determine s y t si (190,34) 2 190 34MCD s t= = +

24 Kolman: Estructuras de Matemáticas Discretas para la Computación. 3ª. Edición. Pearson – Prentice Hall. página 25

Despejar de (d) el valor 2: 2 = 14 – 2 (6) Despejar de (c) el valor 6: 6 = 20 – 1 (14) Reemplazar dicho valor en la ecuación anterior, así: 2 = 14 – 2 [20 – 1 (14)] 2 = 3(14) – 2 (20) Despejar de (b) el valor 14: 14 = 34 – 1 (20) Reemplazar dicho valor en la ecuación anterior, así: 2 = 3[34 – 1 (20)] – 2 (20) 2 = 3(34) –5(20) Despejar de (a) el valor 20: 20 = 190 – 5 (34) Reemplazar dicho valor en la ecuación anterior, así: 2 = 3(34) –5[190 – 5 (34)] 2 = 28(34) –5(190)

(a) 190 5 . 34 20= +

(b) 34 1 . 20 14= +

(c) 20 1 . 14 6= +

(d) 14 2 . 6 2= +

(e) 6 3 . 2 0= +

6.2. Ejercicios de Clase Los ejercicios de clase tienen como objetivo apoyar el desarrollo del diseño instruccional proporcionando dinámica al trabajo con el estudiante. (modalidad semipresencial)

Matemática Discreta (EPE) MA113

Ejercicios Clase 01 2008-01

Alberto Mejía Manrique (Sección E401)

1. Sea el conjunto { };{4;5};{4};{5};{ };5A φ φ= . Indique si es verdadera o falsa cada una de las

siguientes proposiciones, justificando su respuesta.

(a) Aφ ∈

(b) {5} A⊂

(c) {4;5} A∈

(d) { } Aφ ⊂

(e) {{ }} Aφ ⊂

(f) Aφ ⊂ 2. Para cada una de las proposiciones siguientes indicar si es verdadera o falsa, justificando su

afirmación.

a. }{φφ ⊆ b. }{φφ ∈ C. }},{,{},{ baaba ∈ 3. Una compañía de computadoras tiene que contratar 25 programadores para manejar trabajos de

programación de sistemas y 40 programadores para programas de aplicación. De los que se contrate, se espera que diez realicen trabajos de ambos tipos. ¿Cuántos programadores deberán contratarse?

4. En un grupo de 165 estudiantes, 8 toman cálculo, psicología y computación; 33 toman cálculo y

computación; 20 toman cálculo y psicología; 24 toman psicología y computación; 79 están en cálculo; 83 están en psicología y 63 toman computación. ¿Cuantos estudiantes no toman ninguna de las tres asignaturas?

5. Se ha emprendido un estudio sobre los métodos de viaje con transbordo. A cada participante en la

encuesta de le pidió que marcara AUTOBUS, TREN o AUTOMOVIL según fuera el medio principal de transporte empleado para ir al trabajo. Se permitió aceptar más de una respuesta. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: AUTOBUS, 30 personas; TREN, 35 personas; AUTOMOVIL, 100 personas; AUTOBUS y TREN, 15 personas; AUTOBUS y AUTOMOVIL, 15 personas, TREN y AUTOMOVIL, 20 personas; y los tres medios, 5 personas. ¿Cuántas personas llenaron el cuestionario de la encuesta?

6. Determine una expresión que representa la siguiente sucesión:

a. 3, 8, 13, 18, 23, … b. 1, 4, 9, 16, 25, …

7. Determine los primeros tres términos de las sucesiones definidas por las siguientes expresiones:

a. 23 2 6nb n n= + − , 1 n≤

b. 1 3d = − , 12 1n nd d −= − + , 2 n≤ 8. Determine una fórmula explicita para la siguiente sucesión definida por la fórmula recursiva

siguiente:

a. 31 += −nn aa , 21 =a , 2 n≤

b. 21 −= −nn ee , 01 =e , 2 n≤

9. Sea { , , , , , , , }U a b e g h r s w= y { , , , }S a e r w= . Encuentre las sucesiones de longitud 8 que

corresponde a Sf .

10. Responda las siguientes preguntas:

a. Determine el MCD (190, 34) usando el Algoritmo de Euclides. b. Exprese el MCD (190, 34) en la forma s 190+ t 34, con s y t enteros usando la Identidad de

Bézout. c. Determine el MCM (190, 34) haciendo uso del teorema visto en clase.

11. Sean las matrices

=

0101

1100

1010

1001

A ,

=

0011

1011

1010

1101

B y

=

0111

0001

1110

0101

C

Calcule [(A∨ A)∧B]�C Los ejercicios de clase tienen como objetivo apoyar el desarrollo del diseño instruccional proporcionando dinámica al trabajo con el estudiante. (modalidad semipresencial)

6.3. Clases Integrales Las Clases Integrales tienen como objetivo cerrar los temas que serán evaluados en la práctica correspondiente, brinda un espacio para la discusión y supervisión del trabajo de los estudiantes por parte del profesor. (modalidad presencial - semipresencial)

Matemática Discreta (MA113)

Clase Integral 3.1 Ciclo 2008-01

Alberto Mejía Manrique – Raúl Acosta (E - 401, E - 402, E - 404) 1. Se ha comprado un lote de banderas monocolores, bicolores y tricolores. En todas ellas figura, al

menos, uno de los tres colores siguientes: blanco, rojo y negro. Además, en 8 de ellas no figura el blanco, en 4 no figura el negro y en 10 no figura el rojo. En 5 figura el rojo y el blanco, en 7 figura el blanco y el negro, en 6 el rojo y el negro y, por último, en 4 figuran los tres colores. Se pide: (a) ¿Cuántas banderas hay en total? (b) ¿Cuántas son las banderas monocolores rojas?

2. Sobre un grupo de 45 alumnos se sabe que: 16 alumnos leen novelas, 18 alumnos leen ciencia

ficción, 17 alumnos leen cuentos, 3 alumnos leen novelas, ciencia ficción y cuentos, 1 alumno lee sólo cuentos y ciencia ficción, 8 alumnos leen sólo cuentos y 4 alumnos leen sólo novelas y ciencia ficción.

(a) ¿Cuántos alumnos leen sólo ciencia ficción? (b) ¿Cuántos alumnos no leen ni novelas, ni cuentos ni ciencia ficción? 3. La secretaría de educación municipal requiere la provisión de veintinueve cargos docentes en las

siguientes áreas: 13 profesores de matemáticas, 13 profesores de física, y 15 profesores de Sistemas. Para el cubrimiento de los cargos se requiere que: 6 profesores dicten matemáticas y física, 4 profesores dicten física y sistemas y 5 profesores dicten matemáticas y sistemas. Determinar:

(a) Cuántos profesores se requiere que dicten las tres áreas? (b) Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas únicamente? (c) Cuántos profesores se requiere para dictar matemáticas y sistemas pero no física?

4. Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos

A, B y C : 5 personas consumían sólo A, 25 personas consumían sólo B, 10 personas consumían sólo C, 15 personas consumían A y B, pero no C, 80 personas consumían B y C, pero no A, 8 personas consumían C y A, pero no B, 17 personas no consumían ninguno de los tres productos.

(a) ¿Cuántas personas consumían A, B y C? (b) ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos? (c) ¿Cuántas personas no consumían C?

5. Sea { }}4{;3};{};3{};4;3{;A φφ= . Para cada una de las proposiciones siguientes indicar si es

verdadera o falsa, justificando su afirmación. (a) φ ∈ A (b) {3}⊂ A (c) {3; 4}∈ A

(d) {φ} ⊂ A (e) {{ φ}} ∉ A (f) φ ⊂ A 6. Para cada una de las proposiciones siguientes indicar si es verdadera o falsa, justificando su

afirmación. (a) φ ⊆ { φ} (b) {φ} ⊆ φ (c) {φ} ∈ { φ}

(d) φ ∈ { φ} (e) {a, b}∈{a, {a, b}} (f) {a, b}⊂{a, {a, b}}

7. Sea el conjunto { };{4;5};{4};{5};{ };5A φ φ= . Indique si es verdadera o falsa cada una de las

siguientes proposiciones, justificando su respuesta. (a) φ ∈ A (b) {5} ⊂ A (c) {4; 5} ∈ A

(d) {φ} ⊂ A (e) {{ φ} } ⊂ A (f) φ ⊂ A 8. Encontrar la fórmula explícita de la siguiente sucesión dada por:

(a) a1 = 2.5; an = an-1 + 1.5 ; si n ≥ 2 (b) a1 = 4; an =2.5 an-1; si n ≥ 2 (c) a1 = 2; an =5 an-1 +3 ; si n ≥ 2

9. Responda lo siguiente:

(a) Encontrar la fórmula explícita de la sucesión dada por: (i) a1 = 3; a2 = 5; an =3 an-1 – 2 an-2 ; si n ≥ 3.

(ii) a0 = 5; a1 = 12; an =5 an-1 – 6 an-2 ; si n ≥ 2. (iii) a0 = 1; a1 = 2; an = 4 an-1 – 4 an-2 ; si n ≥ 2. (b) (i) Escriba una fórmula explícita para la siguiente sucesión: 2, 5, 8, 11, 14, 17, ... (ii) Escriba una fórmula recursiva para la siguiente sucesión: 2, 5, 7, 12, 19, 31, ... 10. Responda lo siguiente:

(a) Hallar el MCD{2947, 3997} y expresarlo en la forma 2947 s + 3997 t con s y t enteros. Hallar también MCM{2947, 3997}.

(b) Determine el MCD (4001, 2689) usando el Algoritmo de Euclides. Exprese el MCD (4001, 2689) en la forma s 4001 + t 2689 con s y t enteros. Determine el MCM (4001, 2689) haciendo uso del teorema visto en clase.

(c) Usando el algoritmo de Euclides hallar el MCD {1297, 154} y MCM {1297, 154}. Exprese el MCD{1297, 1541} como una combinación lineal de los mismos .

11. Responda lo siguiente:

(a) Indique cuáles de las siguientes oraciones son proposiciones. (i) Los triángulos son figuras de 3 lados. (ii) Hoy es un día lluvioso. (iii) ¿Qué comiste ayer?

(iv) 98 + 23 = 121 (v) 2 – 2 = 7

(b) De las proposiciones del ejercicio anterior indique su valor de verdad. (c) Determine el valor de verdad de la siguiente proposición e indique el que tipo de proposición es:

12. Responda lo siguiente: (a) Sean las siguientes proposiciones: p: " Hoy es lunes" y q: "Está lloviendo".

Traducir al lenguaje coloquial las siguientes proposiciones: (i) p � q (ii) p �q (iii) q ↔ p (iv) ~ q → p (v) p ↔ q (vi) ~ p � ~ q (vii)~ q ↔ p (viii)~ (~ p)

(b) Supongamos ahora que ambas proposiciones del ejercicio anterior son verdaderas. ¿Cuáles de las ocho proposiciones compuestas del ejercicio anterior son verdaderas?

13. Indique cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones y cuáles no. Para los casos

afirmativos determine si son simples o compuestas

(a) 54x2 =− (b) 541 ≥+ (c) Todo triangulo rectángulo verifica el teorema de Pitágoras (d) Pitágoras y Sócrates fueron griegos.

14. Acerca de los elementos del conjunto

−−= 2;1;

2

1;0;1;2A se definen las proposiciones:

( ) ( )( )00121: ≠∨=−+∀ xxxxp

( )( )42: 2 =→=∃ xxxq

( )( )10: 2 =↔=∀ xxxr

( )1123: −<+≤−∃ xxs

<−∀ 212

:x

xt

≤−∧<∃ xx

xu 122

:

(a) Determine el valor de verdad de las proposiciones dadas. (b) Presente el valor de verdad que le corresponde a

[ ( →p ~ t ) ∨ ( ~ sr ∨ ) ] [↔ ~ ( →t ~ q ) ∨ ( ~ su ∨ ) ] 15. Determine el valor de verdad de la proposición (∂ )

[ ( p → q ) ↔ r ] → [ p → ( q ↔ r ) ] (∂ )

Sabiendo que:

[ ( p → q ) ↔ r ] ↔ [ p → ( q ↔ r ) ] es falsa.

[ ] [ ]( ) ( ) p q r p q r∧ ∧ → ∧ ∨ ¬

16. Dadas las matrices A y C de órdenes 3×3, definidas por: 2

11)(a

ji

ij+−=

+,

≥

=caso otroen 0,

1 j-i si ,1 ijc .

Calcular si es posible las siguientes operaciones:

(a) (A ∧ C) � A (b) (A � C) ∨ CT

17. Demostrar por inducción matemática que:

(a) ( ) 2

3333

2

1321

+⋅=++++ nnnK

(b) 11n -6 es divisible entre 5, para toda n ≥ 1

(c) 11n – 4n es divisible por 7

(d) 1,3

)12)(12()12(531 2222 ≥−+=−++++ n

nnnnL

(e) 1,8

)12(321

2

≥+<++++ nn

nL

Las Clases Integrales tienen como objetivo cerrar los temas que serán evaluados en la práctica correspondiente, brinda un espacio para la discusión y supervisión del trabajo de los estudiantes por parte del profesor. (modalidad presencial - semipresencial)

6.4. Espacios de Autoevaluación

Este espacio contiene evaluaciones en línea que se usan como un simulacro de preguntas similares a la práctica. El primer objetivo es que se familiaricen con la herramienta que les permite responder estos cuestionarios de preguntas y la segunda como pueden ser desarrollados varias veces, brinda un espacio privado y efectivo de autoevaluación para cada estudiante. Por ahora es mucho más usado en la modalidad semipresencial.

6.5. Tareas – Feedback Las Tareas buscan que semana a semana los estudiantes desarrollen ejercicios que permitan la transferencia de conocimientos, desarrollando y reforzando las habilidades trabajadas en clase. El trabajo es personal y además es calificado. Son descargadas del AV Moodle y presentadas en clase bajo un formato preestablecido (modalidad semipresencial)

Matemática Discreta (EPE) MA113 Tarea 01 2007-02

Alberto Mejía Manrique (Sección E401) 2. (i) Indique cuáles de las siguientes oraciones son proposiciones.

a. Los triángulos son figuras de 3 lados. b. Hoy es un día lluvioso. c. ¿Qué comiste ayer? d. 98 + 23 = 121 e. 2 – 2 = 7

(ii) Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones e indique que tipo de proposición es cada una de ellas:

3. Usando de los elementos del conjunto

−−= 2;1;

2

1;0;1;2A se definen las proposiciones:

( ) ( )( )00121: ≠∨=−+∀ xxxxp

( )( )42: 2 =→=∃ xxxq

( )( )10: 2 =↔=∀ xxxr

( )1123: −<+≤−∃ xxs Determine el valor de verdad de las proposiciones dadas.

4. Sea P(n) el predicado “n divide a 77”. Escriba cada proposición en palabras y determine su valor de

verdad justificando sus respuestas. Considere que el número n pertenece al conjunto de los números enteros positivos.

a. P(11) ∨ P(3) b. P(1) ∧ P(7)

c. P(11) → P(5) d. P(7) ↔ P(11)

e. ∀n P(n) f. ∃n P(n)

[ ] [ ]( ) ( ) p q r p q r∧ ∧ → ∧ ∨ ¬

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) p t r s t q u s→ ¬ ∨ ¬ ∨ ↔ ¬ → ¬ ∨ ¬ ∨

5. Dadas las matrices A y C de órdenes 3×3, definidas por: 2

11)(a

ji

ij+−=

+,

≥

=caso otroen 0,

1 j-i si ,1 ijc .

Realizar (si es posible) las siguientes operaciones:

a. (A ∧ C) � A b. (A � C) ∨ CT

6. Demostrar por inducción matemática que: ( ) 2

3333

2

1321

+⋅=++++ nnnK

Fecha de entrega: Martes 11 de setiembre (las preguntas 6 y 7 son opcionales) Consultas: vía foro AV Moodle : http://moodle.upc.edu.pe/moodle_upc

Las Tareas buscan que semana a semana los estudiantes desarrollen ejercicios que permitan la transferencia de conocimientos, desarrollando y reforzando las habilidades trabajadas en clase. El trabajo es personal y además es calificado. Son descargadas del AV Moodle y presentadas en clase bajo un formato preestablecido (modalidad semipresencial)

Luego de la presentación de cada Tarea, el profesor brinda información sobre los errores más frecuentes encontrados y proporciona una hoja Excel con la nota de la tarea de cada alumno y un detalle de la nota para cada pregunta, con la idea de que cada estudiante pueda reforzar sus puntos débiles y reconocer aquellas habilidades ya logradas.

Luego de la presentación de cada Tarea, el profesor brinda información sobre los errores más frecuentes encontrados y proporciona una hoja excel con la nota de la tarea de cada alumno y un detalle de la nota para cada pregunta, con la idea de que cada estudiante pueda reforzar sus puntos débiles y reconocer aquellas habilidades ya logradas.

6.6. Aula Virtual Pantalla 01: Ingreso al AV Moodle de MA105. Recuerde que en esta AV Moodle en realidad conviven dos AV una para las secciones bajo la modalidad presencial (E-402 y E-404) y la otra para la sección bajo la modalidad semipresencial (E-401)

Pantalla 02: Los recursos disponibles para la sección en la modalidad semipresencial están bajo el subtitulo E401 – A. Mejia, por otro lado los recursos disponibles para las secciones en la modalidad presencial están bajo el subtítulo E402 – E404 – R. Acosta. De esta forma es fácil reconocer que material le corresponde a cada sección. Sin embargo al final todos los estudiantes matriculados en cualquiera de las secciones tiene acceso al material de cualquiera de las modalidades, es decir todos tienen acceso a todo el material.

Pantalla 03: En el caso de la sección E401 (modalidad semipresencial) observe las actividades programadas dentro de la sesión 1.2 (sesión no presencial). Se tiene una tarea inductiva (que no es parte de la sumativa, pero si calificada), un foro de consultas para las dudas que se puedan presentar durante el desarrollo de la tarea, y un enlace a los resultados (feedback) que el profesor proporciona luego de revisar todas las tareas. Este circuito se repite todas las semanas.

Pantalla 04: En este caso se muestra el detalle de uno de los foros que acompaña el desarrollo de la Tarea 00 (tarea inductiva). Como se puede apreciar los estudiantes están en la libertad de hacer o no preguntas sobre los temas que son parte de la tarea. Cuando se envía una consulta al foro inmediatamente entre un mensaje al correo del profesor para que pueda responderla y todos reciben una copia de la respuesta.

Pantalla 05: Este es el texto introductoria previo al ingreso a una Evaluación en Línea. En este caso corresponde al simulacro desarrollado previamente al lanzamiento de la Evaluación en Línea 01 para la sección en modalidad semipresencial. En este caso se permitían a lo más cuatro ingresos a la prueba.

Pantalla 06: En esta pantalla se muestra como aparecen las preguntas que forman parte del cuestionario una por vez. En este caso el estudiante puede mirar todas las preguntas antes de contestarlas, pero no puede salir de la Evaluación en Línea porque el sistema le contaría como que rindió la prueba una vez (de un máximo de dos oportunidades). Al final la nota que entra en la sumativa es la mayor de las dos.

Pantalla 07: En este caso se muestran los resultados de los intentos de los estudiantes. Observe como se registra el tiempo en el cual rindieron la Evaluación en Línea, así como la nota obtenida. Si es necesario es posible ingresar y revisar cuales fueron exactamente las respuestas en cada pregunta para cada alumno.

Pantalla 08: En este caso se muestra una estructura parecida en la Unidad 06: Estructuras de Orden y Álgebra de Boole. Observe como están publicados los indicadores de Logro de la PC03, como existe un acceso a una Base de Datos de evaluaciones anteriores con su respectivo solucionario y criterios de calificación que ayuda a focalizar el trabajo del estudiante. (modalidad semipresencial)

Pantalla 09: En este caso se muestra una estructura parecida en la Unidad 06: Estructuras de Orden y Álgebra de Boole. Observe como están publicados los indicadores de Logro de la PC03, como existe un acceso a una Base de Datos de evaluaciones anteriores con su respectivo solucionario y criterios de calificación que ayuda a focalizar el trabajo del estudiante. (modalidad presencial)

7. Impacto

7.1. Encuesta Académica Periodo 2006 – 0 al 2007 – 1 (sólo impartición modalidad presencial)

Encuestas Académicas (MA113)

6

6,5

7

7,5

8

8,5

9

2006 - 00 2006 - 01 2006 - 02 2007 - 00 2007 - 01

Semestres

Res

ulta

do

Prof 1raProf 2da

Periodo 2007 – 2 al 2008 – 2 (impartición modalidad presencial - semipresencial)

Encuestas Académicas (MA113)

0

2

4

6

8

10

2007 - 02 2008 - 00 2008 - 01 2008 - 02

Semestre

Res

ulta

do Prof 1raProf 2daCurso 2da

7.2. Resultados (Porcentaje de Aprobados) Periodo 2006 – 00 al 2008 – 2

Porcentaje de Aprobados (MA113)

70%

75%

80%

85%

90%

95%

100%

2006 -00

2006 -01

2006 -02

2007 -00

2007 -01

2007 -02

2008 -00

2008 -01

2008 -02

Semestre

Por

cent

aje

8. Conclusiones

Luego de desarrollar el presenta análisis del sílabo de la asignatura Matemática Discreta – EPE (MA113) tomando en cuenta la lista de chequeo del Trabajo Final del Módulo I: Diseño Curricular, consideramos: Lecciones Aprendidas • Los indicadores evaluados (encuestas y porcentaje de aprobados) han sido positivamente impactados a

partir de la sistematización de los documentos de trabajo en dicha asignatura iniciada en el semestre 2006 – 01.

• Existe un alineamiento claro entre la matriz de habilidades, los diseños instruccionales, los indicadores de logro y las evaluaciones. Sin embargo es necesario reforzar el MATE dentro de los Diseños de Clase.

• A partir del semestre 2007 – 02 en el cual se incorporo la impartición semipresencial de la asignatura los indicadores evaluados (encuestas y porcentaje de aprobados) muestran un impacto positivo.

• Los indicadores (encuestas) utilizados estuvieron relacionados con el profesor que impartió la asignatura y con el curso. En ambos casos en el periodo 2007 – 02 al 2008 – 01 se muestran impactos positivos, a pesar de que la información del 2008 – 01 esta incompleta.

• Los materiales que forman parte del portafolio de la asignatura analizada en modalidad presencial, sirvieron de base para desarrollar los materiales del portafolio de la asignatura en modalidad presencial.

• El AV Moodle pudo mantener en paralelo dos “vistas” una para la modalidad presencial y otro para la modalidad semipresencial que “conviven” de manera apropiada.

• Aparentemente los alumnos que se matriculan en la modalidad semipresencial son los que tienen mejor ponderado, pues el cupo es limitado.

Áreas de Mejora • El silabo de Matemática Discreta desde el 2006 – 02 no ha recibido un feedback de los cursos con los

cuales consideramos que debe existir mas articulación, esta es una buena oportunidad para listar las competencias que se trabajan en conjunto para alinearlas mejor.

• El silabo de Matemática Discreta solo esta vinculado con la competencia general del pensamiento crítico, seria posible analizar si deben ser incluidas otras competencias, en caso contrario deben existir un mayor acercamiento en los DI a dicha competencia general.

• Dentro de los DI se encuentra siempre el recurso de la conferencia, pero es necesario incorporar otros recursos adicionales.

• Si bien es cierto que los diseños instruccionales permiten una sistematización de los procesos desarrollados en el aula, los diseños muestran ciertas inconsistencias de acuerdo a los perfiles declarados en el Área de Ciencias, por ejemplo: el uso de un software matemático de apoyo, el uso más intenso de la bibliografía, entre otros casos.

• Es necesario incluir dentro de los DI actividades que caractericen más los elementos que conforman el MATE. Sobre todo en la educación para adultos siempre es necesario indicar a modo de motivación la utilidad de lo que se esta estudiando.

• En el 2007 – 02 se elimino el trabajo final que se desarrollaba al final del curso, debido a las limitaciones del AV Moodle y al cambio a la modalidad semipresencial. Dado que ahora la versión del AV Moodle es más potente, seria necesario evaluar la reincorporación de dicha actividad en el marco del ABP.

• Dentro de los comentarios de las encuestas, los estudiantes señalan:

“Debería haber un manual para el alumno con ejercicios, no solo ejemplos sino también los conceptos, explicaciones, etc. Las diapositivas no pasan de ser diapositivas las cuales son vistazos que no te ayudan a repasar.” “La bibliografía debería estar mas relacionada al silabus del curso” “Deberían haber talleres de este curso” “Decepcionado con la organización del curso, a pesar de que el profesor ha tenido las mejores intenciones los objetivos no se han alcanzado. No hemos podido culminar el silabus. El sistema de evaluación Moodle tiene fallas. Por lo tanto la clase semipresencial para esta curso difícilmente ha tenido buenos resultados pues estos no sólo se miden por cantidad de alumnos aprobados, ya que las notas de las PC’s no son 100% mérito del alumno.” “Tuvimos muchos inconvenientes con el curso semipresencial, el sistema casi nunca estaba disponible para la fecha de los exámenes en línea, creo que deberían evaluar un buen sistema e infraestructura para este tipo de cursos” “Deberían entregar las diapositivas impresas de las clases para agregar algunos apuntes personales” “Deberían haber talleres aparte del curso, pero es buen profesor y me pareció excelente la opción que utilizó del Moodle, poniendo la información del curso al alcance de todos”

análisis de sílabo (matemática discreta) upc - epe

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