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Comportamiento pComportamiento p--vv--T T Comportamiento pComportamiento p--vv--T T
en gasesen gases
Profesor:Joaquín Zueco JordánÁrea de Máquinas y Motores Térmicos
Ecuación de estado en gases ideales_v lim
P→→→→0
P J−−−−−−−− = R=8,3143 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−T mol k
_v
P−−−−−−−−T
P
R
_v
PV = PV = PV = PV = nnnnRTRTRTRT
P−−−−−−−− = R T
V= −−−−−−−−−−−−
n
_v
mn = −−−−−−−−−−−−
M PPPPvvvv = = = = R TR TR TR TPV = PV = PV = PV = mmmmRRRR TTTT
. .. .. .. .PPPP V = V = V = V = mmmmRRRR TTTT
V v = −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−
m .
m
. V R
R = −−−−−−−−−−−−M
P
mPV = −−−−−−−−−−−− RΤΤΤΤ
M
Ecuaciones de estado en gases reales
Factor de compresibilidad ZPV = PV = PV = PV = Z n Z n Z n Z n RTRTRTRT
PPPPvvvv = = = = Z R TZ R TZ R TZ R T
PV = PV = PV = PV = Z mZ mZ mZ mRRRR TTTT
. .. .. .. .
P P vZ = −−−−−−−−−−−− = −−−−−−−−−−−− ≠≠≠≠1
RT R T
_v lim
P→→→→0 ΖΖΖΖ = 1
Z = 1 + B(T) P + C(T) P2 + D(T) P3 + ...
Coeficientes del Virial
aP + −−−−−−−−−−−− – b = RT
2 a , b => constantes
Ecuación de Van der Waals
_v
_v
. .. .. .. .PV =PV =PV =PV = Z mZ mZ mZ mRRRR TTTTZ = 1 + B(T) P + C(T) P2 + D(T) P3 + ...
1.21.11.00.90.8 1.6
1.8
2.0
2.53.5
3.05.0
PPr = −−−−−−−−
Pc
vvr = −−−−−−−−
vc
TTr = −−−−−−−−
Tc
Conocidas dos variables reducidas
está determinada la tercera.
f (Pr , vr , Tr ) = 0
Variables reducidasF
act
or
de
com
pre
sib
ilid
ad
Z
Ley de los estados correspondientes
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10
0.90.80.70.60.50.40.30.20.1
0.8
0.90.95
Tr=1.0
1.1
1.2
1.3
1.41.6
1.8
Fa
cto
r d
e co
mp
resi
bil
ida
d
Presión reducida Pr
Tr
Diagrama de :elson-Obert
1.21.11.00.90.80.7 0.8 1.3
1.41.6
1.8
2.0
2.53.5
3.05.0
Fa
cto
r d
e co
mp
resi
bil
ida
d Z
Ley de los estados correspondientes
Inexactitud en la cercanía del punto crítico
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10
0.70.60.50.40.30.20.1
0.8
0.90.95
Tr=1.0
1.1
1.2
1.3
Gráfica no muy exacta
Zcrítico= 0,27
En realidad (0,23 - 0,33)
Fa
cto
r d
e co
mp
resi
bil
ida
d
Presión reducida Pr
Propiedades críticas
Fuente: Termodinámica Técnica, Moran & Shapiro, 1993
Constantes de van der Waals de algunos gases
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/qui/vanderwaals_esp.pdf
Modelo de gas ideal
aguaaguaaguaagua
termómetro
A B
vaciogas ideal
VV
Estado inicial (P,V,T)
aguaaguaaguaagua
termómetro
A B
VV
gas ideal
Estado final (P/2 , 2V ,T)
Experimento de Joule (1843)
Aplicando el
h = u + P v
u(T) + RT = h(T)
dh cP (T)= −−−−−−−−
dTh2 - h1 = ∫∫∫∫ cp(T) dT
Q12 = ∆∆∆∆U12 + W12
∆∆∆∆U12=0 U1= U2
Aplicando el primer principio: du
cv(T) = −−−−−−−−−−−−dT
u =u(T)
U =U(T)u2 - u1 = ∫∫∫∫ cv(T) dT
Modelo de gas ideal - Ecs. Virial
P V = P V = P V = P V = n R n R n R n R TTTT
P P P P vvvv = = = = R TR TR TR T
P V = P V = P V = P V = m m m m RRRR TTTT
. .. .. .. .P V =P V =P V =P V = m m m m RRRR TTTT
P v Z = −−−−−−−−−−−− = 1= 1= 1= 1
RΤΤΤΤ
Cuando P 0 o V ∞ las fuerzas de interacción entre las moléculas de un gas se debilitan y Z=1 en el límite
Z = 1 + B(T) P + C(T) P2 + D(T) P3 + ...
Z = 1 + B´(T)/V + C´(T)/V2 + D´(T)/V3 + ...
. .. .. .. .P V =P V =P V =P V = m m m m RRRR TTTT
¿Es el vapor de agua un gas ideal?
T
50 bar
100 barGAS
IDEAL
0
0
0
0
0
7,6
25,7
49,5
17,6
5,0
Error <1%
Error = (vtabla-videal)/vtabla
0,2
0,1
0,1
00,5
7,4
2,4
0,8
2,2
v
10 bar
1 bar
0,1 bar
Adecuado: Acondicionamiento de aire, presión es muy baja
:o adecuado: Centrales térmicas
0,10
0
1,6
7,6
h
Vapor sobrecalentado: T=cte, p hGas ideal: T=cte, h=cte
s
Signo de los calores específicos
Proceso adiabático:
Proceso isotermo:
1 δQ δq c = −−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−
m dT dT
c = 0
c = ±∞
Proceso 1-2: -/+ = -
Calores específicos negativos
P Proceso 1-2: -/+ = -
Proceso 1-3: +/- = -
Proceso 1-4: +/+ = +
Proceso 1-5: -/- = +
Calores específicos positivos
v
P
isoterma
adiabática
1
2
3
4
5
Calor específico cp para algunos gases según la Tªcp cv γγγγ cp cv γγγγ cp cv γγγγ
Fuente: Termodinámica Técnica, Moran & Shapiro, 1993
cp = R [αααα + ββββ T + γγγγ T2 + δδδδ T3 + εεεε T4]
Ecuación polinómica para obtener el calor específico cppara algunos gases según la Tª
GAS αααα ββββ 103γγγγ 106 δδδδ 109 εεεε 1012
O2
:2
Aire H2
CO
3,626
3,675
3,653
3,057
3,710
-1,878
-1,208
-1,337
2,677
-1,619
7,055
2,324
3,294
-5,810
3,692
-6,764
-0,632
-1,913
5,521
-2,032
2,156
-0,226
0,276
-1,812
0,240
T h Pr u vr so
Tabla de gases ideales
h(T) = ∫ cp(T) dT0
T
u(T) = h(T) –R T
h(T) = href + ∫ cp(T) dTT
Tref
Estado de referencia: 0K, h=0
T(K)
h Pr u vr so
0200300400500600700800900
1000
0199,97300,19400,98503,02607,02713,27821,95932,93
1046,04
0142,56214,07286,16359,49434,78512,33592,30674,58758,94
Modelo de un gas perfecto
cpcp(T)
cp,m
Es un gas ideal con
calores específicos
constantes (valores
medios)1
2
c = (c +c )/2
T1 T2 T
u2 – u1= cv,m (T2 – T1)
h2 – h1 = cP,m (T2 – T1)
cp,m= (cp,1+cp,2)/2
Ley de Mayer
du = cv(T) dT diferenciando
dh du−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−− + + + + RdT dΤ Τ Τ Τ
dh = cp(T) dT cp(Τ) = (Τ) = (Τ) = (Τ) = cv(Τ)(Τ)(Τ)(Τ) + R(gases ideales)
γγγγ(Τ)Τ)Τ)Τ) ⇒⇒⇒⇒ exponente adiabáticocp (Τ)(Τ)(Τ)(Τ)
γγγγ(Τ)(Τ)(Τ)(Τ) = −−−−−−−−−−−−−−−−cv (Τ)(Τ)(Τ)(Τ)
En general varía con la Tª,
P v = R T
h = u + P v
R = cp - cv
R = cp - cv
J−−−−−−−−−−−−−−−−mol k
J−−−−−−−−−−−−−−−−kg k
Para gases perfectos
Rcv = −−−−−−−−−−−−
γ γ γ γ −−−− 1 1 1 1
cpγ γ γ γ = −−−−−−−−−−−−cv
R = cp - cv
γ γ γ γ Rcp = −−−−−−−−−−−−
γ γ γ γ −−−− 1 1 1 1
cv (Τ)(Τ)(Τ)(Τ)En general varía con la Tª,
disminuyendo al aumentar ésta
T (K) cp (kJ/kgK) cv (kJ/kgK) γγγγ
Valores de los calores específicos y de γγγγ para el aire
cp > cv ya que a p=cte el gas se dilata realizando cierto trabajo para
vencer la presión exterior, y entonces se necesita absorber una
cantidad de energía equivalente a ese trabajo
Procesos politrópicos
P vn = K n => (−−−− ∞∞∞∞ ,+ ∞∞∞∞)
P vn = K P1 vn
1 = P2 vn
2
n = exponente politrópico
(cualquier sustancia)
2
∫∫∫∫ dvww1212 = Pdv = ΚΚΚΚ−−−−−−−−−−−−
vn∫∫∫∫v2
v
1w12= −−−−−−−−−−−− ( P2v2 – P1v1 )1–n
1∫∫∫∫1212 vn∫∫∫∫
v1
1–n
Pvn = K P1 vn
1 = P2 vn
2
P1v1 P2v2−−−−−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−−−−−T1 T2
P v−−−−−−−−−−−− ==== RT
T2 P2 v1 −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−T1 P1 v2
n-1−−−−−−−−−−−−n
n-1(GAS IDEAL)
Rw12= −−−−−−−−−−−− ( T2 – T1 )1–n
Procesos isócoros e isobáricos
P
v
Si n =±±±± ∞∞∞∞→ P v±±±± ∞∞∞∞ = K
→ P0 v = K
→→→→ v = K
2
1
Isócoros
P
v
w12
Si n =0
→ P v0000= K
→ P= K
21
Isóbaros
w12 = 0
2
1∫∫∫∫ww1212 = Pdv = 0
v v
P1 P2−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−T1 T2
P1v1 P2v2−−−−−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−−−−−T1 T2
v = K
GAS IDEAL v1 v2−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−T1 T2
w12 = P (v2 –v1) = R ( T2 – T1 )
P = K
P1v1 P2v2−−−−−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−−−−−T1 T2
GAS IDEAL
w12 = P (v2 –v1)
Procesos adiabáticos En un proceso cuasiestático:
cp dT vdP −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−−−−−cv dT -Pdv
Dividiendo (2) por (1)
dP dv −−−−−−−−−−−− + + + + γγγγ −−−−−−−−−−−− = = = = 0P v
ln P + γγγγ ln v = C
Pvγγγγ = K n = γγγγdh = du + Pdv + vdP
δq = 0
δq = du + Pdv
δq = 0 Adiabático cv dT =-Pdv (1)
cp dT = vdP (2)dh = cp dT
du = cv dTGas perfecto
GAS IDEAL
Pvγγγγ = K n = γγγγ
T2 P2 v1 −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−T1 P1 v2
γγγγ-1−−−−−−−−−−−−γγγγγγγγ-1
Rw12= −−−−−−−−−−−− ( T2 – T1 )1-γγγγ
Si n = γ γ γ γ →→→→
P
v
w12
Pvγγγγ = K
1
2
δq = 0
Procesos isotérmicos
P
v
w12
P v = K
P1 v1 = P2 v2
P1v1 P2v2−−−−−−−−−−−−−−−− = = = = −−−−−−−−−−−−−−−−T T
Si n = 1
T1 = T2
2
1
isotérmico
GAS IDEAL
P1v1 = P2v2
vT1 T2
2
1∫∫∫∫
dv v2 v2 P1
ww1212 ==== Pdv = Κ= Κ= Κ= Κ−−−−−−−−−−−− = Κ = Κ = Κ = Κ ln −−−−−−−− = = = = R Τ Τ Τ Τ ln −−−−−−−− = = = = R Τ Τ Τ Τ ln −−−−−−−−v v1 v1 P2
∫∫∫∫v2
v1
isotérmico
Procesos politrópicos, resumen
P
n=0
n=∞∞∞∞
n=-∞∞∞∞
n=1
n= γγγγv
n=-∞∞∞∞ n= γγγγ
Procesos
politrópicos
Isóbaros n = 0 P = cte
Isócoros n =±±±± ∞∞∞∞ V = cte
Isotérmicos n = 1 T = cte
Isoentrópicos n = γγγγ
Comparación: Trabajo de expansión y compresión
Procesos politrópicos ⇒⇒⇒⇒1
w12= −−−−−−−−−−−− ( P2v2 – P1v1 )1–n
P
n=1
Trabajo
extra
P
n=1
Ahorro en
consumo
v
n= γγγγ
v2v1Expansión
Interesa que ambos procesos se hagan sin variación de T
v
n= γγγγ
v2v1
Compresión
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