teoría de funciones ii

TEORÍA Y PROBLEMAS

SEDE SUPERIORSEDE SUPERIORSEDE SUPERIORSEDE SUPERIOR JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁNJOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Definición

Sea “f” una función real, la gráfica de “f” es el conjunto “G”, de todos los puntos (x, y) en el plano, tal que “x” está en el dominio de “f” e “y” es la imagen de “x” por “f”, es decir:

G = {(x, y) ∈∈∈∈ R2 / y = f(x); x ∈∈∈∈ D

✹ Una gráfica cualquiera será función; si y sólo si, al azar una paralela al eje “y” corta a la gráfica en un solo punto.

Ejemplo

a. F(x) es función entonces “L1” la recta paralela al eje “y” corta a la gráfica en un solo punto.

b. G(x) no es función entonces “L2” la recta paralela al eje “y” corta a la gráfica en más de un punto.

FUNCIONES ESPECIALES

1 Función Constante

Regla de correspondencia: f(x) = k

Df = R ∧∧∧∧ Rf = k Significa que:

f = {… (0; k), (1; k), (2; k)…}

∴ f = {(x; k) / f(x) = k}

JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN

y L1

F(x)

y L2

G(x)

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Sea “f” una función real, la gráfica de “f” es el conjunto “G”, de todos los puntos (x, y) en el plano, tal que “x” está en el dominio de “f” e “y” es

Df}

función; si y sólo si, al azar una paralela al eje “y” corta a la gráfica

” la recta paralela al eje “y” corta a la gráfica en un solo punto.

” la recta paralela al eje “y” corta a la gráfica en más de un punto.

{… (0; k), (1; k), (2; k)…}

Gráfica:

2 Función Identidad

Regla de correspondencia: f

Df = R ∧∧∧∧

Significa que:

f = {… (1; 1), (2; 2), (3; 3),…}

∴ f(x) = {(x; y) / f(x)

Gráfica:

3 Función Valor Absoluto

Regla de correspondencia: f

−−−−====

x

x|x|

Df = R ∧∧∧∧ R

Significa que:

f = {…(-2; 2), (-1; 1), (0; 0), (1; 1),…}

f(x) = |x|

y = |x| → x = 1; y = 1

x = -1; y = 1

JOHN CARLOS VÁSQUEZ HUAMÁN

x

(x)

x

y

0 2

y

1111

Función Identidad

Regla de correspondencia: f(x) = x

∧∧∧∧ Rf = R

f = {… (1; 1), (2; 2), (3; 3),…}

(x) = x →→→→ x = y}

Función Valor Absoluto

Regla de correspondencia: f(x) = |x|

<<<<≥≥≥≥0x:si;

0x:si;

Rf = R+ ∪∪∪∪ {0}

1; 1), (0; 0), (1; 1),…}

= |x|

x = 1; y = 1

x

F(x) = k

3 6

x

F(x) = x

TEORÍA Y PROBLEMAS

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Gráfica:

4 Función Raíz Cuadrada

Regla de correspondencia: f(x) =

Df = R+ ∪∪∪∪ {0} ∧∧∧∧ Rf = R+ ∪∪∪∪

Significa que:

f = { (0; 0), (1; 1), (2; 2 ), (3; 3

Gráfica:

5 Función Lineal

Es una función con dominio en todos los reales y como regla de correspondencia: fb, donde “a” y “b” son constantes cualesquiera. (a ≠≠≠≠ 0)

Su gráfica es una recta; con pendiente “a” e intercepto “b”.

Gráfica:

y

y = |x|

y y = x

y

x

b

α

y

b

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x

∪∪∪∪ {0}

3 ),…}

Es una función con dominio en todos los reales y como regla de correspondencia: f(x) = ax + b, donde “a” y “b” son constantes cualesquiera. (a

Su gráfica es una recta; con pendiente “a” e

y = mx + b m > 0

m: pendiente de la rectam = tg

Ejemplo

Calcular la función lineal que tenga: fademás; f(2) = 2f(3)

Solución:

f(x) = mx + b

f(1) = m + b = 3 ………….(

Además:

2m + b = 2(3m + b) 2m + b = 6m + 2b b = -4m ………….(

De (α) y (β):

m = -1 ∧∧∧∧∴f(x) =

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Ejemplo

Halle el dominio de la función:

)x(f ====

Solución:

Cuando se pide el dominio, nos preguntamos para que valores de “x” (variable) esta definida lla función f(x).

∴ f(x) esta definida en R; si x ⇒⇒⇒⇒ x

∴ Domf = R

RANGO DE UNA FUNCIÓN

Ejemplo

Hallar el rango de la función:f(x) = 2x + 5. Si: x

Solución:-1 < x ≤≤≤≤ 2

multiplicando x 2: - sumamos 5: 3 < 2x + 5

3 < f(x)

∴ Rang(f) = <3, 9]

x

y = |x|

x

y

x

α

2222

y = mx + b m < 0

m: pendiente de la recta m = tgα

Calcular la función lineal que tenga: f(1) = 3 y

………….(α)

2m + b = 2(3m + b) 2m + b = 6m + 2b

………….(β)

∧∧∧∧ b = 4 = -x + 4

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Halle el dominio de la función:

4x

5x

−−−−++++

Cuando se pide el dominio, nos preguntamos para que valores de “x” (variable) esta definida lla

esta definida en R; si x – 4 ≠≠≠≠ 0 x ≠≠≠≠ 4

Domf = R – {4}

RANGO DE UNA FUNCIÓN

Hallar el rango de la función: f(x) = 2x + 5. Si: x ∈∈∈∈ <-1; 2]

-2 < 2x ≤≤≤≤ 4 3 < 2x + 5 ≤≤≤≤ 9

3 < f(x) ≤≤≤≤ 9

Rang(f) = <3, 9]