simulacion
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SimulaciónAndrés Adolfo Navarro Newball
Simulación autónoma realista requiere modelos matemáticos exactos
MetaCombinar.
Matemáticas Física Ingeniería Análisis numérico
Para modelar el comportamiento de objetos que interactúan
Considerar interacciones internas y externas
Modelado basado en físicaModelado que incorpora
características físicas en el modelado de objetos permitiendo la simulación numérica de su comportamiento
Ronen Barzel
AplicacionesPartículas
Fuegos pirotécnicos Cascadas Fuego
Sistemas de cuerpo rígido Bolos Articulaciones humanas
Objetos deformables Piel Ropa
Proceso de modeladoCiclo de simulación:
Inicializar objetost = 0
Calcular fuerzasdifícil
Integrar para
obtener velocidadIntegrar
para obtener posiciónMover
objetos, increment
ar t
∆t, una iteraciónDiscretiza el tiempo
Introducción a la dinámicaMatemáticas del movimientoConsidere un a fuerza F aplicada
a una partícula de masa mSe produce una aceleración a tal
que
F = ma (Newton)
Cuando la aceleración es constante, la velocidad v de la partícula con velocidad inicial u después de un tiempo t es:atuv
Si s es la distancia que se mueve el objeto, entonces
También
25.0 atuts
asuv 222
Ecuaciones vectorialesSea una partícula en el punto
x = (x1, x2, x3) con velocidad v = (v1, v2, v3)
y aceleración a = (a1, a2, a3)La posición de la partícula
después de un tiempo t está dada por:
Y la velocidad por
20 5.0 atvtxxt
atvvt 0
Integración numéricaUtilizada con el fin de obtener la
nueva posiciónSi la aceleración no es constante,
se requiere integrar la velocidad
Método de EulerDado un breve intervalo de
tiempo dt, la posición de una partícula está dada por:
dtvvxx
adtvx
O
adtvdtxx
dttttdtt
tdtt
tdtt
)(5.0
5.0 2
Si dt es muy pequeño
Esta ecuación es mejor para programar
dtvxx dtttdtt
La aceleración de una partícula se obtiene de F=ma
Encuentre la fuerza que se aplica a la partícula y divídala por la masa
Si múltiples fuerzas actúan en la partícula, adiciónelas para obtener una única fuerza
ProblemasDe integración de Euler
◦Requiere valores de dt muy pequeños
◦Es inexacto◦Puede acumular energía
AlternativasExisten varias
◦Runge-Kutta◦Lagrange◦Libros de análisis numérico
Colisión de partículasUna partícula viaja hacia un
planoNecesita encontrar el tiempo
exacto y la posición de la colisiónProblema:
◦La colisión puede ocurrir en el medio de in intervalo de tiempo
Tiempo: t Tiempo: t + dt
Solución 1 El tiempo en que ocurre la
colisión dentro de algún margen (threshold)
Reducir localmente el tamaño del intervalo hasta que la partícula esta a una distancia (threshold) del plano
Siempre funciona si se aplica recursivamente
Puede ser lenta
Tiempo: t Tiempo: t + dtTiempo: t + dt/2
Solución 2Si la aceleración es constanteCalcula el tiempo exacto del
impacto Aquí, la partícula esta a un distancia del
plano que es igual a su radio
Si s es el tiempo para colisión. La colisión ocurre en t+s
Aplicamos la ecuación a la altura de la partícula
20 5.0 atvtxxt
25.0 gssvzz zttst
S el plano está a una altura 0, entonces en la colisión
25.0 gssvzr ztt
g
rzgvvs ztzt )(22
Reacción de la partículaAsumiendo superficies perfectasNo fricciónCoeficiente de elasticidad 1El ángulo de incidencia de la
partícula es el mismo que el ángulo de reflexión
Asuma que: N: normal en el punto de colisión Vi: velocidad de impacto Vr: velocidad después de impacto
ViN
Vr
Suponga que el impacto ocurre en t+s
t< t+s < t+dtPrimero, calcular el movimiento
de la partícula hasta el punto de colisión y calcular la velocidad en t+s y el punto de colisión
st
tsti
x
asvvv
)(2 NvNvv iir
El nuevo valor de la velocidad de la partícula se utiliza para encontrar su posición final después de dt
Cuidado al calcular la distancia de la partícula al plano
25.0 sgdtsdtvxx ststdtt
O reversar la componente de velocidad adecuada
Vi (Vx,-Vy,Vz)N
Vr (Vx, -Vy)
Casos especiales
Colisión de dos partículasDos o más partículas se mueven
en la misma regiónSe necesita encontrar si algún
par de esferas colisionan en dt
Solución Considerar un par de partículasCalcular la velocidad para cada partícula
Partícula 1:◦Posición x1, calcular velocidad u1
Partícula 2:◦Posición x2, calcular velocidad u2
Se calcula si las partículas colisionan en el intervalo dt
Situaciones posibles
No
Si
?
Colisión de dos partículasAsumir que las partículas no
están colisionando inicialmenteCalcular la velocidad relativa (u)
de la partícula 1, respecto a la partícula 2
1 2
u1u2
1 2
u1-u2
u
Utilizando el intervalo dt calcular la ruta de la partícula 1 relativa a la partícula 2
Encuentre la distancia mas corta de la partícula 2 a esta distancia.
Si es menos que la suma del radio de la partícula 1 mas el de la partícula 2, entonces hay una colisión.
Indica si hay colisión, no cuando
12
1
d < r1+r2?
dt
Velocidad después de colisiónConservación del momentoCoeficiente de restitución
(elasticidad) e.Si e=1 perfectamente elástica.
No hay pérdida de energíaSi e=0 colisión plástica o
inelástica. Las partículas se pegan
Impacto central
m1u
1
m2u
2Antes de impacto
m1v1 m2v2 Después de impacto
Coeficiente de restitución
)(
)(
12
12
uu
vve
Conservación del momento
22112211 vmvmumum
Impacto oblicuo
x
y
v1 v2
u1u2
a1
a2
b1
b2
larprependicuMomento
vmum
vmum
impactolineadElasticidauu
vve
impactodelineaMomentovmvmumum
larPerpendicuvu
impactodelineaVelocidadvu
Angulosbbaa
yy
yy
xx
xx
xxxx
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ixix
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1111
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