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Matemáticas Sesión #2. Polinomios y expresiones racionales.
Contextualización
Los polinomios son expresiones algebraicas que son las de mayor uso y
aplicación en cualquiera de las áreas de las matemáticas, tal es el caso del
cálculo diferencial e integral. En esta sesión aprenderemos a identificar y
clasificar los polinomios y sus tipos de factorizaciones, también
trabajaremos con las expresiones racionales las cuales representan a dos
polinomios que se están dividiendo para aprender a simplificarlas.
Una de las características principales de los polinomios y de toda expresión
algebraica es su grado exponencial, es por esta razón que aprenderemos a
identificar y trabajar expresiones algebraicas con Exponentes enteros y
calcularemos sus raíces reales.
Extraído de: http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/images/polynomial.gif solo para fines educativos
Introducción
En matemáticas existen muchas
expresiones algebraicas pero las
mayormente utilizadas son los
polinomios.
Los polinomios se forman de n
términos, donde cada termino se
compone de un coeficiente (número),
una variable (letra) y un exponente.
Con estas expresiones algebraicas
podemos realizar cualquier operación
aritmética que necesitemos, así como
también podemos factorizar o
simplificar con la ayuda de las leyes de
los exponentes.
Extraído de: http://2.bp.blogspot.com/-
F0wyVZrArRE/TZjBYo8LQmI/AAAAAAAAAAg/gXT5zQUUJZ8/s1600/POLINOMIOS%25286%2529+-
+operaciones.jpg solo para fines educativos.
Explicación
Polinomios y factorización
Un polinomio es una expresión que se forma con constantes, variables y exponentes, que están combinados a través de las operaciones aritméticas de sumas, restas y multiplicaciones,… pero no divisiones.
Los exponentes solo pueden ser números enteros positivos incluido el 0.
No puede tener un número infinito de términos.
Extraído de: http://laprofematematica.com/blog/wp-content/uploads/2010/02/elemento_polinomio-2.jpg solo para fines
educativos.
Explicación
Las operaciones que se pueden realizar con los polinomios son las mismas
operaciones aritméticas que conocemos tales como las suma, resta,
multiplicación y división y cada una de ellas se resuelven bajo ciertas
características.
Suma y resta de polinomios.
Realiza la suma de 3x3 – 2x2 + x -5 y 4x3+5x2+8x-12
Primeramente acomodamos nuestros polinomios en suma:
(3x3 – 2x2 + x -5) + (4x3+5x2+8x-12)
Explicación
Eliminando los paréntesis las expresiones nos quedan:
3x3 – 2x2 + x -5+4x3 + 5x2 + 8x - 12
Y ahora juntamos términos semejantes para realizar la operación que entre
ellos existe:
(3+4)x3 +(-2+5)x2 + (1+8)x +(-5-12)
7x3 + 3x2 + 9x -17 éste es el resultado de la suma de polinomios
Ahora sí utilizamos estos mismos polinomios para restar la solución será:
(3x3 – 2x2 + x -5) – (4x3+5x2+8x-12)
Explicación
El signo menos si afecta a todos los términos que están después de él, así
que se deberá de afectar este polinomio cambiando cada uno de sus signos
en cada término:
3x3 – 2x2 + x -5 - 4x3- 5x2 - 8x+12
Y ahora al juntar términos semejantes nos quedará:
(3-4)x3 +(– 2-5)x2 + (1-8)x +(-5+12)
-x3 -7x2 -8x+7 éste será nuestro resultado.
Explicación
Multiplicación de polinomios:
Realizaremos la multiplicación de los siguientes polinomios:
(x+4)(x2+4x+4) para resolver la multiplicación se deberá multiplicar el primer término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio:
x(x2) = x3 cuando tenemos términos semejantes multiplicándose se suman los exponentes.
x(4x)= 4x2
x(4)= 4x
Explicación
Y ahora el segundo término por cada termino del segundo polinomio
4(x2)= 4x2
4(4x)=16x
4(4)= 16
Ahora juntamos términos semejantes:
4x2 + 4x2 = 8x2
4x + 16x = 20x
Solamente acomodamos los términos con el mayor grado iniciando la expresión:
8x2 + 20x +16
Explicación
Para factorizar polinomios hay varios métodos:
1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la
multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:
Ejemplo: factoriza 3x2+x, se tiene de factor común “x” por lo tanto:
x(3x+1) es la factorización.
2. Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por
diferencia. Se basa en la siguiente fórmula:
Explicación
Ejemplo: factoriza 4x2 – 25, esta expresión nos muestra que sus dos
términos son cuadráticos y entre ellos hay una resta (diferencia), lo cual
caracteriza a este tipo de factorización por lo tanto:
(2x + 5)(2x – 5) son los factores de nuestra expresión.
3. Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un
binomio. Se basa en las siguientes fórmulas:
y
Explicación
Ejemplo: factorice x2 – 6x +9, para solucionar este trinomio primero
debemos de comprobar que su primer y tercer término tengas
raíces cuadradas.
y por lo tanto si es un trinomio
cuadrado perfecto ahora sólo se acomodan los términos como nos
muestra la fórmula: (x – 3)2
Explicación
Expresiones racionales.
Las expresiones racionales nos representan la división de dos
polinomios:
Con las expresiones racionales podemos simplificar a través de
factores los polinomios hasta reducir la expresión a su más mínima
forma.
Por ejemplo: Simplifica
Aquí como tenemos dos términos
iguales al de abajo se elimina uno con el de abajo así que ésta es la
expresión que nos queda de la simplificación.
Explicación
Exponentes enteros y raíces reales
Los exponentes enteros positivos representan la abreviatura del producto de
n factores (xn) a la letra n se le llama exponente y a la “x” se le llama base.
Si rn = x donde n es un entero positivo, entonces r es una raíz n-ésima de x.
Por ejemplo 32 = 9 y así 3 es la raíz segunda (por lo general llamada raíz
cuadrada) de 9.
Algunos números no tienen una raíz n-ésima que sea un número real, por
ejemplo los números negativos (-4,-9-16) no tienen raíces reales.
Explicación.
La raíz n-ésima principal de x
la denotamos como:
Existen algunas leyes de los
exponentes que nos ayudan a
dar solución a las operaciones
con polinomios.
Tabla de algunas leyes de los
exponentes:
Explicación.
Ejemplos del uso de las leyes de los exponentes:
Simplifique:
1. x6x9 = x6+9 = x15
2. w4w8 = w4+8=w12
3.
4.
Conclusión
Los polinomios son las expresiones algebraicas mayormente utilizadas, se manejan como ecuaciones y como funciones para el cálculo diferencial e integral, con estas expresiones podemos realizar cualquier operación aritmética que necesitemos y también podemos factorizarlas para reducir una forma de expresión de tipo polinomial.
Las leyes de los exponentes se trabajan siempre que se esté realizando algún proceso u operación con un polinomio.
En la siguiente sesión estudiaremos las Ecuaciones cuadráticas otra forma de manejar los polinomios.
Extraido de:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Ecua
ci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica.svg/250px-
Ecuaci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica.svg.png solo para fines
educativos.
Para aprender más…
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
Videos que ayudan a entender más claramente los polinomios y su factorización:
Math2me. Conceptos importantes de los polinomios. Recuperado el día 07 de abril del 2014:
https://www.youtube.com/watch?v=K7YOYztqaWY
Tareas plus. Suma y resta de polinomios. Recuperado el día 07 de abril del 2014:
https://www.youtube.com/watch?v=TiBL2zfO310
Video de simplificación de expresiones racionales y uso de la factorización:
Academia Vázquez. Simplificación de fracciones algebraicas (expresiones racionales).
Recuperado el día 07 de abril del 2014: https://www.youtube.com/watch?v=mLflDFKp_sY
Video de las leyes de los exponentes:
Math2me. Leyes de los exponentes. Recuperado el día 07 de abril del 2014:
https://www.youtube.com/watch?v=6jNWN-o0__Y
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con
más éxito.
Bibliografía
Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias
sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall
hispanoamericana, S.A.
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