raices. 4 ¿qué es una raíz? una raíz es una expresión que consta de un indice, un símbolo de...
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RAICES
4
¿Qué es una Raíz?
Una Raíz es una expresión que consta de un INDICE, un símbolo de raíz y un SUBRADICAL.
¿Indice, raíz, cantidad subradical?
24
IndiceCantidad Subradical
(-5,3)8
5
4
Símbolo de Raíz
2
Elementos de una Raíz
m an
Exponente del SubradicalINDICE
SUBRADICALSímbolo de Raíz
_
_
¿Qué significa la Raíz?
(-5,3)3
5
4 =
Ojo: El Indice 2 no se escribe.
Una Raíz es una Potencia con Exponente Fracción.
425 =
5
2_4254
3
(-5,3)
_2
=3
(-5,3)
6
5
4 77
6
Raíz Potencia=3
(-0,6)2
= (-0,6)23
2
_
7
2=6
7
277
6
Transforma las siguientes Potencia a Raíces
Transforma las siguientes raíces a Potencia
4
2
1
6
37
5
3
3
7
4
3 5
3 47
3
2
3
5
5m
m nd
2
5
3,0
2
9
5
2
3
2
4
7
1
3
6
5
7
b
c
a
2
1
4
2
3
7
2
1
5
3
2
3
7
4
3
1
5
3
4
7
3
2
3
5
m
n
d
2
5
m
6
53,0
9
5
2
3 24
73
6
5
7
b ca
_
Importante:
Lectura de una Raíz.
-Indice 2, Raíz Cuadrada. Ej. -Indice 3, Raíz Cúbica. Ej. -Indice 4, Raíz Cuarta. Ej.
3 76
56
4 76
En General
anb =
b
nanba
0 = 0ba a 1 = 1b
a ≥ 2
Pero es solo una aproximación decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor forma de representar a es como .
Raíz Cuadrada
4 ya que2 22 4
9 ya que3 33 9
16 ya que4 44 16
25 ya que5 55 25
2 ...1688724273095048804142135623,1
2 2Esto sucede con muchas raíces que no entregan un
resultado exacto
Pero, al igual que el anterior es solo una aproximación decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor forma de representar a es como .
Raíz Cúbica
3 8 ya que2 222 8
3 27 ya que3 333 27
3 64 ya que4 444 64
3 125 ya que5 555 125
3 3 ...6163831077907408382324422495703,1
3 3 3 3
2
2
_
Propiedades: 1.- El Índice Igual al Exponente.
Sabiendo que:7
23 =3
2 737
¿Cuál será el resultado de?
525 =
5
2_555
=
_an =
a
nanaaEn General: = n
21
2=2
2
2 - Multiplicación de Raíces de Igual Índice.
¿Cuál será el resultado de?
9=
a n =nxaEn General:
57• 2 9 7•5
• mya a nx•my
Ejemplos: Resuelve usando la Propiedad
a)
b)
c) 33
16
9
4
3
33 366
28
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
5635 33
3333 9243
52,12,1
3
2
35
4
3
2
3
2
3 43 5 mm
57 nn
3 753 23 nnnn baba
6
4
4
3
15303
6
32,1
9
4
3m
6n
nnba 32
7
3 .- División de Raíces de Igual Indice.
¿Cuál será el resultado de?
5=
a n =nxEn General:
57÷ 75 75
mya a nx my
÷
÷ ÷
Resuelve:
a)
b)
d)
2
8 2
3
3
3
81
3 4
3 7
5
5c)
83
2813
3
e)
f)
h)
02,0
08,0
33
81
4
3
256
3 23 2
3 83 5
nm
nmg)
36
5
3
4
3 2 d
a
b
d
a
b
3
5
2
3
2
12
2mn
b
a
Obs: n
na an
bb
“El coeficiente se eleva al índice de la raíz y luego multiplica al radicando.
Ej.
n nna b a b
3 33 5 532 32 2 2 2
5.- Descomponer una Raíz
a a am n m n
Resolver lo siguiente:
750x6225 xx
25
732x
5
6216 xx
4
16
2 x 6x2 x 3x 2 x 3x
xx 25 3 xx 24 3Son términos semejantes
xx 29 3
2 x 6x
Otro ejemplo
45 20
Son términos semejantes
54
80 125
59 54
59
544 255
54 544 255
53 52 522 55
53 52 54 55
6.- Raíz de una Raíz.
7
¿Cuál será el resultado de?
5
a =En General:
=
mn b•a mn
754 75 = 7563
b
Resuelve usando la Propiedad Raíz de una Raíz:
a)
b)
c)
e)
d)
f)
16
3 7
3 4 5
48nm
3 3 18
3 24
x
x
36
12
y
x
2
6 7
12 5
42nm
y
x2
2x
3 4 124 3 73 42 8 2 2 2 g)
7.- Racionalización
Racionalizar es amplificar una fracción donde el denominador presenta una Raíz, con el fin de
que ésta no aparezca.
Ejemplos:
2
1
2
2 3a
a
3 23n
n
3
93 n
¿Qué es lo que hay que saber?
Amplificar:2
7
4
4
8
28
Multiplicar Raíces 82 41682
53 xx 4853 xxxx Potencias
Raíz como Potencia
Propiedad de Raíces: xxx nn
n n
a
a
i) Racionalizar Raíces Cuadradas Simples de la Forma aq
p
3
7
3
3
3
7 3337
23
37
3
37
xm
n
x
x
xm
n
xxm
xn
2xm
xn
mx
xn
7
52
7
7
7
52
77
752
27
7572
7
3572
aq
p a
a
aq
p
aaq
ap 2aq
ap
qa
apEn General
1)
2)
3)
5
7
n
14
7
nn
nn47
n
n
nn27
nn
n2
74)
3
7
n
n
Ejemplo: Racionaliza las siguientes Expresiones
11
7
11
7
a
ax
a
ax
52
15
52
15
a
ba
a
ba
10
40
10
40 22
33 a
aa
a
aa
49
7
49
7
ab
ab
2
28
xyxy
yxxy
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
ii) Racionalizar Raíces de la Forma n kaq
p
3 4
7
3 2
3 2
3 4
4
4
7
3 2
3
44
47
3 3
3
4
47
4
474
4 3xm
n
4
4
4 3 x
x
xm
n
4 3
4
xxm
xn
4 4
4
xm
xn
mx
xn4
3 2
3
a
aa
3
3
3 2
3
3 a
a
a
aa
3 2
33
3 aa
aaa
3 3
33 2
3 a
aaa
a
aaa
3
33
n kaq
p
n kn
n kn
n k a
a
aq
p
n knk
n kn
aaq
ap
n n
n kn
aq
apEn General
1)
2)
3)
aq
ap n kn
3 74
74)
3 6 44
7
33 6 44
7
32 44
7.....
4
4
44
73 2
3 2
32
Racionaliza las siguientes Expresiones
33 11
7
11
7
3 23 2 52
15
52
15
a
ax
a
ax
3 2
2
3 2
2
10
40
10
40
a
ba
a
ba
3 2
3
3 2
3
ba
aab
ba
aab
33 49
7
49
7
3 5ab
ab
4 3
4 74 11
2
22
7 69
7 623
yx
yxx
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
6
7 2
2 2
6 7 2 6 7 26 ( 7 2) 6( 7 2)2 7 2
7 4 3( 7 2)7 2 7 2
Ejemplo 1 7
5 2
2 2
7 5 2 7 5 27 ( 5 2) 7( 5 2)
5 2 3( 5 2)5 2 5 2
Ejemplo 2
En ambos ejemplos tuvimos que amplificar por uno ( ), para formar una “suma por diferencia“ :(a+b)(a-b)= a2 – b2
Resumiendo, podemos generalizar de la siguiente Manera:
a b ca
b cb c
a
b c
iv) Racionalización de expresiones con trinomios:
4
7 3 1
Ejemplo 1: 2 2
4( 7 3 1)
( 7 3) 1
2 2 2
4( 7 3 1)
( 7) 2 7 3 ( 3) 1
4( 7 3 1)
7 2 21 3 1
4( 7 3 1)
9 2 21
4( 7 3 1) (9 2 21)
(9 2 21) (9 2 21)
2 2
4( 7 3 1)(9 2 21)
9 (2 21)
4( 7 3 1)
( 7 3 1)( 7 3 1)
4( 7 3 1)(9 2 21)
81 4 21
4( 7 3 1)(9 2 21)
81 84
4( 7 3 1)(9 2 21)
3
4( 7 3 1)(2 21 9)
3
OBS. Resumiendo, podemos decir este caso es similar al anterior, OBS. Resumiendo, podemos decir este caso es similar al anterior, pero se debe repetir dos veces.pero se debe repetir dos veces.
A
B C D
3 3
a
b cv) Racionalización de expresiones con raíces cúbicas:
3 3
8
4 2
Ejemplo 1:
3 32 23
3 3 3 32 23
8 ( 4 4 2 2 )
( 4 2) ( 4 4 2 2 )
33 3
3 33 3
8( 16 8 4)
( 4) ( 2)
338( 8 2 2 4)
4 2
3 38(2 2 2 4)
2
3 34(2 2 2 4)
Obs. Para este caso, debemos recordar : 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b
Ecuaciones Irracionales.
Definición: Una Ecuación Irracional es aquella en que la incógnita se encuentra bajo raíces.
Ejemplo de Ecuaciones Irracionales:
73 x
xx 213
13743 xxx
1375123 xx
Para resolverlas hay que seguir dos pasos muy sencillos:
i) Si hay más de una raíz, se debe aislar en uno de los lados de la ecuación.
ii) Elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación.
Nota. En estricto rigor la solución de la ecuación debe estar en el siguiente conjunto:
Ejemplo 1) de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
642 x
,2
2/
Evitamos el paso i) ya que la raíz ya esta aislada en uno de los dos lados de la ecuación.
642 x Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos lados de la igualdad a 2.
22642 x El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y
el exponente se simplifiquen.
3642 x Se resuelve como una ecuación de primer grado con una incógnita.
20x
Ejemplo 2) de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
138 xx
2/
Paso i) Aislar una de las raíces en uno de los dos lados de la ecuación.
Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos lados de la igualdad a 2.
El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y el exponente se simplifiquen y en el otro
lado de la igualdad tengamos que realizar el cuadrado de un binomio.
xx 318
22318 xx
xxx 33218
x 324 Debemos volver al paso i), raíz aislada y elevamos al cuadrado ambos lados de la
igualdad.
2/ 22 324 x
x 3416
x41216
x1
Aquí en adelante la Ecuación Irracional se transforma en una Ecuación de Primer Grado
con una Incógnita
Curiosidades
...21
2
12
12
112
1)2) Algoritmo para determinar una raíz.
Links
http://www.euroresidentes.com/colegio/matematicas/races_cuadradas.htm
http://www.sectormatematica.cl/contenidos.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada
http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/raices-cuadradas.php
http://clic.xtec.es/db/act_es.jsp?id=1327
http://www.redmatematica.bligoo.cl
Prof. Isaías Correa M.2012