elaborada por: wilfredo saravia m. · elaborada por: wilfredo saravia m. – 2 – en donde se...

Elaborada por: Wilfredo Saravia M.

Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Económicas

Guía de Ejercicios No. 1 DET – 385, Métodos Cuantitativos III

PARTE 1: Propiedades de límites: No. Teorema Forma de reconocerlo 1 x a

C CLím→

= Límite de una constante

2 x ax aLím

→= Límite de la función identidad

3 ( )x a

mx b ma bLím→

+ = + Límite de una función lineal

4 ( )

( ) ( ) nn nx a

P x es un polinomioP x P a

en x de grado nLím→

= Límite de un polinomio

5 [ ( ) ( )] ( ) ( )x a x a x a

f x g x f x g xLím Lím Lím→ → →

+ = + Límite de la suma de dos funciones

6 [ ( ) ( )] ( ) ( )x a x a x a


− = − Límite de la resta de dos funciones

7 ( ) ( ) ( ) ( )x a x a x a


= Límite del producto de dos funciones

8 ( )( )

( ) ( )x a

x ax a

f xf xg x g x

LímLím Lím

→→

→

= Límite del cociente de dos funciones

9 [ ( )] ( )n

nx a x a

f x f xLím Lím→ →

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Límite de la n–ésima potencia de una función

10 ( )] ( )n nx a x af x f xLím Lím

→ →= Límite de la raíz n–ésima de una fun-

ción

Ejemplo ilustrativo 1: Evalúe 2

3 3 215 4 1

2 8 6 15xx x

x x xLím→−

− + ++ − +

( )

( )

2 23 33 2 3 21 1

21

3 3 21

23 3 2

3

5 4 1 5 4 12 8 6 15 2 8 6 15

5 4 1

2 8 6 15

5( 1) 4( 1) 12( 1) 8( 1) 6( 1) 15

8 2 227 3 3

x x

x

x

x x x xx x x x x x

x x

x x x

Lím Lím

Lím

Lím

→− → −

→ −

→ −

− + + − + +=

+ − + + − +

− + +=

+ − +

− − + − +=

− + − − − +

− −= = = −


– 2 –

En donde se aplicaron en forma sucesiva el límite de la raíz n–ésima de una función, el límite del cociente de dos funciones y el límite de un polinomio, para, posteriormente calcular y simplificar.

Ejemplo ilustrativo 2: Evalúe 2

393x

xx

Lím→ −

−+

2

3 3

( 3)93x x

xxx

Lím Lím→ − → −

+−=

+

( 3)3x

x−

+ 3( 3) 3 3 6

xxLím

→ −= − = − − = −

Debido a que al sustituir directamente se obtenía la forma indeterminada 0

0, fue necesario factorizar y

simplificar puesto que x + 3 ≠ 0 si x ≠ – 3. Luego se aplicó el límite de una función lineal.

Ejemplo ilustrativo 3: Evalúe0

4 2x

xx

Lím∆ →

+ ∆ −∆

( )

( )

0 0

2 2

0 0

4 2 4 2 4 24 2

4 2 4

4 2

x x

x x

x x xx x x

x

x x

Lím Lím

Lím Lím

∆ → ∆ →

∆ → ∆ →

+ ∆ − + ∆ − + ∆ += ⋅

∆ ∆ + ∆ +

+ ∆ −= =

∆ + ∆ +

( ) 4x+ ∆ −

( )

0

4 2

x

x x

xLím∆ →

∆ + ∆ +

∆=

x∆ ( ) 01

4 24 2

1 1 1 12 2 44 0 2 4 2

x xxLím∆ →

=+ ∆ ++ ∆ +

= = = =++ + +

También en este ejemplo, al sustituir directamente se obtenía la forma indeterminada 0

0 por lo que

fue necesario racionalizar el numerador y simplificar ya que ∆x ≠ 0. Luego se aplicó en forma suce-

siva: El límite del cociente de dos funciones, límite de la suma de dos funciones, el límite de la raíz

n–ésima y de una función lineal.

EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 17 halle el valor del límite, y según sea el caso indique los teoremas de límites que utilizó.

1) 23

( 5 9)x

x xLím→

− + 2) 3 22

(3 7 5 4)w

w w wLím→−

+ − − 3) 2

2144z

zz

Lím→

−+

4) 2

12 9

2 4xx x

xLím→ −

+ −−

5) 1

86 2ttt

Lím→

+−

6) 3

221

3 6xx

x xLím→

++ +

7) 2

3 242 3 7

4rr rr r

Lím→

− +− −

8) 3

4644s

ss

Lím→

−−

9) 2

111s

ss

Lím→−

−+


– 3 –

10) 2

2312

5 6xx xx x

Lím→ −

− −+ +

11) 2

252 13 153 14 5xx xx x

Lím→

− +− −

12) 2

224

3 2xx

x xLím→ −

−+ +

13) 3 2

222 2

6xx x x

x xLím→

− + −+ −

14) 2

3 212

2 3 12 5 2x

x xx x x

Lím→−

+ +− + +

15)

0 1 1t

tt

Lím→ + −

AYUDA: Racionalice el deno-minador.

16) 1

2 31x

xx

Lím→

− +−

AYUDA: Racionalice el nume-rador.

17) 3 3

0

8 8x

xx

Lím∆ →

+ ∆ −∆

AYUDA: Recuerde que (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3. Tome 3 38 , 8 2a x b= + ∆ = = y racionalice el nume-rador.

18) ( )

3

9729

3xx

x xLím→

−

− AYUDA: Racionalice denominador. Luego factorice numerador y simplifique.

PARTE 2: Límites unilaterales:

Ejemplo ilustrativo 1: Determine los límites unilaterales y bilaterales en x = -1 y x = 2 de la

función 2

1 2 1

( ) 1 2,

2 1 2

x si x

f x x si x

x si x

⎧ − − < −⎪⎪= − ≤ ≤⎨⎪ + >⎪⎩

1 12 2

1 1

12 2

2 2

2 2

2

) ( ) ( 1 2 ) 1 2( 1) 1 2 1

) ( ) ( 1) 1

) , ( ) 1

) ( ) (2) 4

) ( ) (2 1) 2(2) 1 5

) , ( )

x x

x x

x

x x

x x

x

a f x x

b f x x

c Por tanto f x

d f x x

e f x x

f Por tanto f x no existe po

Lím Lím

Lím Lím

Lím

Lím Lím

Lím Lím

Lím

− −→ − → −

+ +→ − → −

→ −

− −→ →

+ +→ →

→

= − − = − − − = − + =

= = − =

=

= = =

= + = + =

rque los límites unilaterales son diferentes

EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 6 halle los límites laterales indicados:

1) Si1 1

( ) 1 1 1,2 1

si xf x si x

si x

− < −⎧⎪= − ≤ ≤⎨⎪ ≤⎩

halle:

a) 1

( )x

f xLím−→ −

b)1

( )x

f xLím+→ −

c) 1

( )x

f xLím→ −

d) 1

( )x

f xLím−→

e)1

( )x

f xLím+→

f) 1

( )x

f xLím→

2) Si 2 2

( ) ,1 2

t si tg t

t si t+ < −⎧

= ⎨ − ≥ −⎩halle

a)

2( )

tg tLím

−→ −

b)2

( )t

g tLím+→ −

c) 2

( )t

g tLím→ −


– 4 –

3) Si 2 3 4

( ) ,19 2 4

x si xH x

x si x+ ≤⎧

= ⎨ − >⎩halle

a) 4

( )x

H xLím−→

b) 4

( )x

H xLím+→

c) 4

( )x

H xLím→

4) Si 2

9 2 2( ) ,

1 2

x si xG x

x si x

⎧ − ≤⎪= ⎨+ >⎪⎩

halle

a) 2

( )x

G xLím−→

b) 2

( )x

G xLím+→

c) 2

( )x

G xLím→

5) Si 3 1 2

( ) 1 2 ,9 2

w si wg w si w

w si w

+ <⎧⎪= − =⎨⎪ − >⎩

halle

a) 2

( )w

g wLím−→

b)2

( )w

g wLím+→

c) 2

( )w

g wLím→

6) Si 2( ) 9 ,f x x= − halle:

a) 3

( )x

f xLím−→ −

b)3

( )x

f xLím+→ −

c) 3

( )x

f xLím→ −

d) 3

( )x

f xLím−→

e)3

( )x

f xLím+→

f) 3

( )x

f xLím→

PARTE 3: Propiedades de límites infinitos: Sean a, c ∈ R, c ≠ 0. Suponga además que ( )

x af x cLím

→= y ( ) 0,

x ag xLím

→= Entonces

a) Si c > 0 y ( ) 0g x → a través de valores positivos de g(x), entonces ( )( )x a

f xg x

Lím→

= +∞

b) Si c > 0 y ( ) 0g x → a través de valores negativos de g(x), entonces ( )( )x a

f xg x

Lím→

= −∞

c) Si c < 0 y ( ) 0g x → a través de valores positivos de g(x), entonces ( )( )x a

f xg x

Lím→

= −∞

d) Si c < 0 y ( ) 0g x → a través de valores negativos de g(x), entonces ( )( )x a

f xg x

Lím→

= +∞

Esta propiedad sigue siendo válida si se sustituye «x → a» por «x → a+» o «x → a–».

Ejemplo ilustrativo 1: Si 2 1( ) ,2

xh xx+

=−

evalúe:

a) 2

( )x

h xLím−→

b) 2

( )x

h xLím+→

c) 2

( )x

h xLím→

a) Si x toma valores cercanos a 2 pero menores que 2; por ejemplo, x = 1.9, el denominador

g(x) = x – 2 toma el valor g(1.9) = 1.9 – 2 = – 0.1. Es decir, ( ) 0g x → a través de valores negativos de g(x). Además,

2 22 1 5( ) ( ) .

x xc f x xLím Lím

− −→ →= = + = Por tanto, según b),

2( )

xh xLím

−→= − ∞


– 5 –

b) Si x toma valores cercanos a 2 pero mayores que 2; por ejemplo, x = 2.1, el denominador

g(x) = x – 2 toma el valor g(2.1) = 2.1 – 2 = 0.1. Es decir, ( ) 0g x → a través de valores positivos de g(x). Además,

2 22 1 5( ) ( ) .

x xc f x xLím Lím

+ +→ →= = + = Por tanto, según a),

2( ) .

xh xLím

+→= + ∞

c) Como 2

( )x

h xLím−→

= − ∞ y 2

( ) ,x

h xLím+→

= + ∞ suele escribirse 2

( ) .x

h xLím→

= ∞ Siempre que los

límites laterales, conforme x se aproxima a a, conduzcan a límites infinitos de distintos signos, el límite bilateral se escribirá como infinito sin signo. Esta convención es únicamente una forma de notación. Los resultados pueden visualizarse en la gráfica siguiente:

Ejemplo ilustrativo 2: Si 2

21 2( ) ,(1 )

xh xx

−=

+evalúe:

a) 1

( )x

h xLím−→ −

b) 1

( )x

h xLím+→ −

c) 1

( )x

h xLím→−

21 1

1 2( ) ( - ) 1.x x

xc f xLím Lím→− → −

= = = − El denominador g(x) = (1 + x)2 es siempre positivo para cualquier

valor de x ≠ 0. Es decir, ( ) 0g x → a través de valores positivos de g(x). Por tanto, según c) se cumple:

a) 1

( )x

h xLím−→ −

= − ∞ b) 1

( )x

h xLím+→ −

= − ∞ c) 1

( )x

h xLím→−

= − ∞

Los resultados pueden visualizarse en la gráfica siguiente:


– 6 –

EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 12, evalúe los límites infinitos indicados: 1)

12

1xx

xLím→ −

2) 2

223

4xx

xLím→ −

3) 2

3

19w

ww

Lím−→

+−

4) 2

3

19w

ww

Lím+→

+−

5) 23

19w

ww

Lím→

+−

6) 2

0

1 3x

xx

Lím−→

−

7) 2

0

1 3x

xx

Lím+→

− 8) 2

0

1 3x

xx

Lím→

− 9) 2

201 3

xx

xLím→

−

10) 21

2 3( 1)x

xx

Lím→

−−

11) 20

1 1x xxLím→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

12) 21

1 41 1x x x

Lím→

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠

PARTE 4: Propiedades de límites al infinito:

Si n es cualquier entero positivo, entonces: 1) 0

1) 0

nx

nx

ax

bx

Lím

Lím

→+ ∞

→ − ∞

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

Ejemplo ilustrativo 1: Evalúe los límites a) 2

22 3

2 1xx

x xLím→+ ∞

−− +

, b) 2

22 3

2 1xx

x xLím→−∞

−− +

22 22

2 2

22

32 3 22 3 2 0a) 22 1 1 0 02 1 2 1 1

x x x

xx xx

x x x xx xx

Lím Lím Lím→+ ∞ →+ ∞ → + ∞

− −− −

= = = =− −− + − + − +

22 22

2 2

22

32 3 22 3 2 0b) 22 1 1 0 02 1 2 1 1

x x x

xx xx

x x x xx xx

Lím Lím Lím→−∞ → − ∞ → − ∞

− −− −

= = = =− −− + − + − +


– 7 –

Ejemplo ilustrativo 2: Evalúe los límites a) 2

3 1

4 1xx

xLím→+ ∞

+

−, b)

2

3 1

4 1xx

xLím→−∞

+

−

Se debe tener en cuenta que 2 0.

0x si x

x xx si x

≥⎧= = ⎨ − <⎩

Es decir, 2

2

0

0

x si xx

x si x

⎧ ≥⎪= ⎨⎪ − <⎩

2 2 2 2

22

2

3 1 3 1 3 13 1a)4 1 4 1 4 1 4 1

13 3 0 3 3 1.521 4 0 44

x x x x

x

x x xx x x xx x x x

x xx

x

x

Lím Lím Lím Lím

Lím

→ + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞

→ + ∞

+ + ++

= = =− − − −

+ += = = = =

−−

2 2 2 2

22

2

3 1 3 1 3 13 1b)4 1 4 1 4 1 4 1

13 3 0 3 3 3 1.52 21 4 0 44

x x x x

x

x x xx x x xx x x x

x xx

x

x

Lím Lím Lím Lím

Lím

→ − ∞ → − ∞ → − ∞ → − ∞

→ − ∞

+ + ++

= = =− − − −

−−

+ += = = = = − −

−− − −− −

EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 15, evalúe los límites al infinito indicados: 1) 2 3

1xxx

Lím→+ ∞

+−

2) 2

23

4xx

xLím→−∞ −

3) 2

19z

zz

Lím→−∞

+−

4) 2

19z

zz

Lím→+ ∞

+−

5) 2

1

4 9ww

wLím→+ ∞

+

− 6)

2

1

4 9ww

wLím→−∞

+

−

7) 21 3

xx

xLím→+ ∞

− 8) 21 3

xx

xLím→−∞

− 9) 2

1 1x xxLím→−∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

10) 2

1 1x xxLím→+ ∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

11) ( )2 1x

x xLím→−∞

+ − 12) ( )2 1x

x xLím→+ ∞

+ −

13) 3 2

3 28 1

4 2 3xx x

x xLím→+ ∞

+ −+ −

14) 2

24 9xx

xLím→− ∞ −

15) 2 5

2xxx

Lím→− ∞

−−

PARTE 5: Asíntotas horizontales y verticales: Ejemplo ilustrativo 1: Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de 3 1( )

2xg x

x+

=−

y dibuje la

gráfica de la función g.


– 8 –

2 2

2 2

( ) ( ) 3

, 3

3 1( )2

3 1( )2

, 2

x x

x x

x x

g x g x

Por tanto y es una asíntota horizontal

xg xxxg x

x

Por tanto x es una asíntota vertical

Lím Lím

Lím Lím

Lím Lím

→+ ∞ → − ∞

− −→ →

+ +→ →

= =

=

+= = − ∞

−

+= = + ∞

−

=

Ejemplo ilustrativo 2: Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de

2

3 1( )4 1

xf xx

+=

− y

dibuje la gráfica de la función f.

2

2

20.5 2

20.5 2

3 1( ) 1.54 13 1( ) 1.54 1

1.5, 1.5

3 1( )4 1

3 1( )4 1

0.5, 0.5

x x

x x

x x

x x

xf xxxf xx

y y son asíntotas horizontales

xf xx

xf xx

x x son asíntotas vertic

Lím Lím

Lím Lím

Lím Lím

Lím Lím

→+ ∞ → + ∞

→ − ∞ → − ∞

+ −→ →

− +→ − →

+= =

−

+= = −

−

= = −

+= = + ∞

−

+= = − ∞

−

= = −

∴

∴ ales

EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 14, encuentre las asíntotas horizontales y verticales de la

gráfica de la función definida por la ecuación dada y trace la gráfica. 1) 2( )

1f x

x=

− 2) 1( )

2f x

x−

=+

3) 2

2( )( 2)

f xx−

=−

4) 2

1( )3 2

f xx x

=+ +

5) 2

1( )3 2

f xx x

=− +

6) 2

2( )4

xf xx

=−

7) 2

2( )4

xf xx

=−

8) 2

2( )1

f xx

=−

9) 2

( )1

xf xx

−=

−

10) 2

( )1

xf xx

−=

+ 11)

2

2( )

1

xf xx

=−

12) 2

( )1

xf xx

=−


– 9 –

13) 2

( )1

xf xx

=+

14) 2

2( )

1

xf xx

−=

−

PARTE 6: Continuidad de una función en un número: Se dice que la función f es continua en el número a si y sólo si se satisfacen las condiciones siguientes:

a) f(a) está definida o existe, b) ( )

x af xLím

→ existe,

c) ( ) ( )x a

f x f aLím→

=

Si ( )x a

f xLím→

existe y no se cumplen las condiciones a) o c), se dice que f tiene una discontinuidad

removible (o evitable) y se puede redefinir f para obtener una función continua en el número a. En el

caso de que ( )x a

f xLím→

no existe se habla de una discontinuidad esencial(o inevitable).

Ejemplo ilustrativo 1: Determine si 2 9( )

3xf xx−

=−

es continua en x = 3.

23 9 9 9 0(3)3 3 3 3 0

f − −= = =

− − no está definida.

Por tanto, f no es continua en x = 3. Observe que

2

3 3

3

3

9( )3

( 3) ( 3)3

( 3) 6

x x

x

x

xf xxx x

xx

Lím Lím

Lím

Lím

→ →

→

→

−=

−− +

=−

= + =

Por tanto, f tiene una discontinuidad removible y se puede redefinir f, que la llamaremos g, de tal

manera que g es una función continua en x = 3. Es decir,

2 9 33

( ) .6 3

x si xx

g xsi x

⎧ −≠⎪ −⎪= ⎨

⎪ =⎪⎩

Observe que

g(3) = 6 y 3

( ) 6 (3).x

g x gLím→

= = Como g satisface las tres condiciones de continuidad, g es una función

continua en x = 3. En g se ha tapado el orificio que existía en f cuando x = 3.


– 10 –

Ejemplo ilustrativo 2: Determine si 2

2 1( )

1

x si xf x

x si x

⎧ + ≤ −⎪= ⎨> −⎪⎩

es continua en x = – 1.

Se observa que la gráfica de f no tiene ni saltos ni orificios, por lo que intuitivamente se puede concluir que f es una función continua en todos sus puntos. Utilizando la definición podemos comprobar, que en efecto, f es continua en x = – 1.

a) f(– 1) = 2 + (–1) = 1

112 2 1

11

b) ( ) (2 ) 2 ( 1) 1

( ) 1( ) ( 1) 1

xx

xxx

f x x

f xf x x

Lím LímLím

Lím Lím→−−→ −

→ −→ −+→ −

⎫= + = + − =⎪

=⎬= = − = ⎪

⎭

⇒

c) 1

( ) 1 ( 1).x

f x fLím→−

= = −

Ejemplo ilustrativo 3: Determine si 1 1

( )4 1

x si xf x

x si x+ <⎧

= ⎨ − ≥⎩ es continua en x = – 1.

La gráfica de f presenta la forma siguiente:


– 11 –

Podemos ver que la gráfica de f tiene un salto en x = 1. Por tanto, f es discontinua en ese número. Ahora lo comprobaremos, f(2) = 3 por lo que se cumple la condición a) de continuidad. Los límites laterales, como puede comprobarse viendo la gráfica de la función f, son diferentes:

1 1

1 1

( ) (1 ) 1 1 2,

( ) (4 ) 4 1 3.x x

x x

f x x

f x x

Lím Lím

Lím Lím− −→ →

+ −→ →

= + = + =

= − = − =

Luego, al ser los límites unilaterales diferentes, 1

( )x

f xLím→

no existe. Por tanto, f es discontinua en

x = 1 y además, se trata de una discontinuidad esencial. EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 12, determine si la función es continua en el punto

especificado. En caso de ser discontinua clasifíquela como removible o esencial. Si la discontinuidad es removible, redefina la función de tal forma que la nueva función sea continua en el punto dado.

1) 3 2

2( ) , 2

3 2

si xx

f x asi x

⎧ ≠⎪ −⎪= =⎨⎪ =⎪⎩

2) 4( ) , 42

xf x ax−

= =−

3) 4

281( ) , 39

xf x ax−

= =−

4) 2

2 0 1( ) , 1

1

x si xf x a

x si x

⎧ − ≤ ≤⎪= =⎨>⎪⎩

5) ( ) , 01 1

xf x ax

= =+ −

6)

11

1( ) , 1

0 1

xsi x

xf x a

si x

⎧ +≠ −⎪ +⎪= = −⎨

⎪ = −⎪⎩

7) 1 1( ) , 1

2 1x si x

f x asi x

⎧ − ≠⎪= =⎨ =⎪⎩ 8)

2 2 11

( ) , 13 2

x x si xx

f x asi x

⎧ + −≠⎪ −⎪= =⎨

⎪ =⎪⎩

9) ( ) 2 4 , 2f x x a= + = −

10) 2

2

1 1

( ) 0 1, 1

1 1

t si t

f t si t a

t si t

⎧ − <⎪⎪= = =⎨⎪ − >⎪⎩

11) 2 3 1

( ) , 15 3 1

x si xf x a

x si x+ ≤ −⎧

= = −⎨ − > −⎩

12) 2( ) , 1

2xf x a

x x= =

+ −

PARTE 7: Tasa de cambio promedio y derivada:

Si y = f(x) es una función de x. las variables x e y reciben, respectivamente, los nombres de variable independiente y variable dependiente. Es decir, a cada valor que le damos a x (variable independiente) obtenemos un valor correspondiente de la variable y (variable dependiente). Por ejemplo, si y = C(x) = 100 + 2x es la función del costo total de una empresa, donde y representa el costo en lempiras y x las unidades producidas. Si se producen 10 unidades, entonces y = 100 + 2(10) = 100 + 20 = 120 lempiras. Luego,


– 12 –

producir 10 unidades le cuesta a la empresa 120 lempiras. Haciendo el mismo cálculo, producir a la empresa 100 unidades le cuesta 300 lempiras y producir 1,000 unidades le cuesta 2,100 lempiras, etc. El incremento en la variable independiente x se simboliza ∆x y se define por:

2 1 1 2, donde y son dos valores dados.x x x x x∆ = −

En tanto que el incremento en la variable dependiente y se simboliza por ∆y y se define por:

2 1 1 1 2 2, donde ( ) y ( )y y y y f x y f x∆ = − = =

Como 2 1 ,x x x= + ∆ entonces otras fórmulas para ∆y son:

2 1 1 1( ) ( ) ( + ) ( )y f x f x y y f x x f x∆ = − ∆ = ∆ −

La tasa de cambio promedio (TCP) que significa la razón de cambio de la variable dependiente y, al efectuar cambios en la variable independiente x. se define por:

2 1 2 1 1 1( ) ( ) ( + ) ( )y y f x f x f x x f xyTCPx x x x

− − ∆ −∆= = = =∆ ∆ ∆ ∆

Gráficamente se interpreta como la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q, donde 1 1 2 2( , ( )) y ( , ( )).P x f x Q x f x= =

La derivada de la función f en x, simbolizada por '( ),f x se define por:

0( ) ( )'( )

xf x x f xf x

xLím∆ →

+ ∆ −=

∆


– 13 –

1

1

'( )

( ). 0 (

)

f x se interpreta como la de la recta tangente

a la gráfica de la función y f x en el punto cuyaabscisa es x Cuando x El incremento de xse hace cada vez más pequeño la

se convierte en la

=∆ →

pendiente

tasa de cambiopromedio tasa de cambi

1.en el punto cuya abscisa es x−o instan

tánea

Ejemplo ilustrativo 1: La función de demanda de un producto está dada por 96

1p

x=

−lempiras.

Si la producción se incrementa de 9 a 49 unidades, encuentre:

a) El incremento de x y p, es decir, x∆ y .p∆ b) La tasa de cambio promedio TCP.

2 1

2 1

a) 49 9 40 unidades96 96( ) ( ) (49) (9)

49 1 9 196 96 96 96 16 48 32 lempiras.7 1 3 1 6 2

4 (8)32b)40

x x x

p p x p x p p

pTCPx

∆ = − = − =

∆ = − = − = −− −

= − = − = − = −− −

−∆ −= = =

∆ 5 (8)4 8 0.8 lempiras.

5 10− −

= = = −

Ejemplo ilustrativo 2: Calcule la derivada de 2( ) 4 3.f x x x= − +

2 2

0 02 2 2

0

2

0

( ) ( ) [( ) 4( ) 3] ( 4 3)'( )

2 ( ) 4 4 3 4 3)'( )

'( )

x x

x

x

f x x f x x x x x x xf xx x

x x x x x x x xf xx

xf x

Lím Lím

Lím

Lím

∆ → ∆ →

∆ →

∆ →

+ ∆ − + ∆ − + ∆ + − − += =

∆ ∆+ ∆ + ∆ − − ∆ + − + −

=∆

=22 ( ) 4x x x x+ ∆ + ∆ − 4 3x− ∆ + 2x− 4x+ 3−

2

0 0

0

)

2 ( ) 4 (2 4)'( )

'( ) (2 4) 2 0 4 2 4x x

x

xx x x x x x xf x

x xf x x x x x

Lím Lím

Lím∆ → ∆ →

∆ →

∆∆ + ∆ − ∆ ∆ + ∆ −

= =∆ ∆

= + ∆ − = + − = −

Ejemplo ilustrativo 3: Calcule la derivada de ( ) .f x x=


– 14 –

1( ) .1

f xx

=+

( ) ( )

0 0

0

2 2

0 0

0

( ) ( )'( )

'( )

'( )( ) ( )

'( )

x x

x

x x

x

x x xf x x f xf xx x

x x x x x xf x

x x x x

x x x x x xf xx x x x x x x x

xf x

Lím Lím

Lím

Lím Lím

Lím

∆ → ∆ →

∆ →

∆ → ∆ →

∆ →

+ ∆ −+ ∆ −= =

∆ ∆+ ∆ − + ∆ +

= ⋅∆ + ∆ +

+ ∆ − + ∆ −= =

∆ + ∆ + ∆ + ∆ +

=x x+ ∆ −

0

0

( ) ( )

'( )

x

x

xx x x x x x x x

xf x

Lím

Lím

∆ →

∆ →

∆=

∆ + ∆ + ∆ + ∆ +

∆=

x∆ 01

( ) ( )1 1 1'( )

0 2

xx x x x x x

f xx x x x x

Lím∆ →

=+ ∆ + + ∆ +

= = =+ + +

Ejemplo ilustrativo 4: Calcule la derivada de

0 0

0

0 0

1 1( ) ( ) ( ) 1 1'( )

1 1( 1) [( ) 1]( ) 1 1'( )( 1) [( ) 1]

( 1) [( ) 1] 1 1'( )( 1) [( ) 1] ( 1) [( ) 1]

'( )

x x

x

x x

f x x f x x x xf xx x

x x xx x xf xx x x x

x x x x x xf xx x x x x x x x

f x

Lím Lím

Lím

Lím Lím

Lí

∆ → ∆ →

∆ →

∆ → ∆ →

−+ ∆ − + ∆ + += =

∆ ∆

−+ + ∆ ++ ∆ + += ⋅

∆ + + ∆ ++ − + ∆ + + − − ∆ −

= =∆ + + ∆ + ∆ + + ∆ +

=0x

xm∆ →

1+ x− 1x− ∆ −0

0

( 1) [( ) 1] ( 1) [( ) 1]

'( )

x

x

xx x x x x x x x

xf x

Lím

Lím

∆ →

∆ →

− ∆=

∆ + + ∆ + ∆ + + ∆ +

− ∆=

x∆ 0

2

1( 1) [( ) 1]( 1) [( ) 1]

1 1 1'( )( 1) [( 0) 1] ( 1)( 1) ( 1)

x x x xx x x

f xx x x x x

Lím∆ →

−=

+ + ∆ ++ + ∆ +− − −

= = =+ + + + + +

EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 6, determine los incrementos y la tasa de cambio promedio:

1) ( ) 2 1, 2, 0.3f x x x x= + = ∆ = 2) 2( ) 3 2 1, 1, 0.1f x x x x x= − + = − ∆ = 3) 2

2( ) , 2, 0.5( 1)

xf x x xx

= = ∆ =−

4) ( ) 1 , 5, 5f x x x x= − = ∆ = 5) 2( ) , 2, 0.5f t t t tt

= + = ∆ = 6) ( ) 7 3 ,f x x de x a x x= − + ∆

5) (Propagación de una epidemia) La cantidad de personas afectadas por cierta epidemia está dada por la fórmula:

1000( ) , dado en días1 999 tP t te−=+

a) Determine el incremento en el número de personas afectadas cuando t cambia de 10 a 20 días. b) ¿Cuál es la tasa de cambio promedio cuando t cambia de 10 a 20 días? c) Después de un tiempo largo, qué puede concluir respecto al número de personas afectadas.


– 15 –

6) (Función de ingreso) La función de demanda de un producto está dada por 961

px

=−

lempiras. La función de ingreso se define por R(x) = x p. Si la producción se incrementa de 9 a 49 unidades, encuentre:

a) El incremento en el ingreso. b) La tasa de cambio promedio TCP.

7) (Función de costo) Si la función de costo de una empresa está dada por:

C(x) = 0.01x2 + 10x + 10,000 lempiras.

Determine el incremento y la tasa de cambio promedio cuando la producción se incrementa de 90 a 100 unidades.

En los ejercicios del 8 al 16, utilice la definición de derivada para calcular f ’(x).

8) 2( ) 5 6 9f x x x= − + 9) 2 31( )2

f x x x= − 10) ( ) 2 1f x x= −

11) ( ) 5f x x= − 12) ( ) 1 4f x x= − 13) 3( )2

f xx

=+

14) 1( )f x xx

= − 15) 21( )

1f x

x=

+ 16) 2( )

1f x

x−

=−

PARTE 8: Reglas de Diferenciación (potencias, sumas, restas, productos y cocientes):

No. Función Derivada Forma de Recordarla 1 ( ) ,f x C C= ∈R '( ) 0f x = La derivada de una constante es 0. 2 ( )f x x= '( ) 1f x = La derivada de la función identidad es 1.

3 ( ) ,nf x x n= ∈R 1( ) nf x n x −= La derivada de una potencia es el producto del exponente por la potencia con el exponente disminuido en 1.

4 ( ) ( ),f x C g x C= ⋅ ∈R '( ) '( )f x C g x= ⋅ La derivada de una constante por una función g es el producto de la constante por la derivada de la función g.

5 ( ) ,nf x Cx C= ∈R 1( ) nf x nC x −= Combinación de reglas 3 y 4.

6 ( ) ( ) ( )f x g x h x= + '( ) '( ) '( )f x g x h x= + La derivada de una suma es la suma de las derivadas

7 ( ) ( ) ( )f x g x h x= − '( ) '( ) '( )f x g x h x= − La derivada de una resta es la resta de las derivadas

8 ( ) ( ) ( )f x g x h x= ⋅ '( ) ( ) '( ) '( ) ( )f x g x h x g x h x= ⋅ + ⋅ La derivada de un producto es: el producto de la primera por la derivada de la segunda más la derivada de la primera por la segunda.


– 16 –

No. Función Derivada Forma de Recordarla

9 ( )( )( )

g xf xh x

= 2

( ) '( ) ( ) '( )'( )[ ( )]

h x g x g x h xf xh x

⋅ − ⋅=

La derivada de un cociente es: el producto del denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador y, toda esta diferencia, divida por el cuadrado del denominador.

Ejemplo ilustrativo 1: 4 3 2Si ( ) 5 8 7 4 3 2, hallar '( ).f x x x x x f x= − − + − 3 2'( ) 20 24 14 4f x x x x= − − +

Ejemplo ilustrativo 2: 1Si ( ) 2 , hallar '( ).2

f x x f xx

= +

1 / 2

1 / 2 1 / 21 / 2

1 1( ) 2 2 22 22

xf x x x xx x

−= + = + = +

3 / 2

1 / 21 / 2 3 / 2 3

2 1 1 1 1'( )2 2 2 2 ( 2 )2 2 2

xf x xx xx x

−−= − = − = −

Ejemplo ilustrativo 3: 23 4

3 5Si ( ) (7 4 ), hallar '( ).f x x x f xx x

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( ) ( )

3 4 2

3 4 4 5 2

2 3 3 4 2 3 3 4

4 3 24 3 2

( ) 3 5 (7 4 )

'( ) 3 5 (14 4) 9 20 (7 4 )

'( ) 42 12 70 20 63 36 140 8060 94 21'( ) 60 94 21

f x x x x x

f x x x x x x x x

f x x x x x x x x x

f x x x xx x x

− −

− − − −

− − − − − − − −

− − −

= − −

= − − + − + −

= − − + − + + −

= − + − = − + −

Ejemplo ilustrativo 4: 3

24Si ( ) , hallar '( ).2

x xf x f xx−

=+

2 2 3

2 2

4 2 2 4 2 4 2

2 2 2 2

( 2)(3 4) ( 4 )(2 )'( )( 2)

3 4 6 8 2 8 10 8'( )( 2) ( 2)

x x x x xf xx

x x x x x x xf xx x

+ − − −=

+

− + − − + + −= =

+ +

EJERCICIOS: En los ejercicios del 1 al 19, calcule '( ).f x

1) 2( ) 5 6 9f x x x= − + 2) 2 31( )2

f x x x= − 3) 1 14 54 5

( ) t tf t = −

4) 3 2( ) (2 1)( 7 )f x x x x= − + 5) 3 4 22

32 1( ) ( )f y y y y

y

⎛ ⎞⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

6) 3 2( ) (3 4)f x x= −


– 17 –

7) 3 3 2( ) (2 5)(4 3 )f x x x x= − − 8) 5 4( ) 2 ( )f t t t= + 9) 1( ) ( )f w w w ww

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

10) 34

3( )V r rπ= 11) 2

1( ) xf x

x=

− 12) ( )

2xf x

x=

+

13) 2

22 2( )

2 1x xf x

x x− +

=+ −

14)4 3 2

32 3 6 5 1( ) x x x xf x

x− + − +

= 15) 4 3 2

32 5 7 3( ) x x x xf x

x− + − −

=

16) 3

31( )1

wf ww

−=

+ 17) 2 2 )( ) 2 (f r a r a−= 18) 3

1( ) (2 )2

xf x xx−

= −+

19) 2

22

23

1( )2

xf x xxx

− ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

PARTE 9: Derivada de la función compuesta (Regla de la Cadena): No. Función Derivada Forma de Recordarla

1 ( ) ( ( ))f x g h x= '( ) '( ( )) '( )'( ) '( ) ', ( )

f x g h x h xf x g u u u h x

== =

La derivada de una función compuesta ( ) ( ( ))f x g h x= es: '( ( ))g h x multiplicada

por '( )h x (la derivada interna o el argumento de g)

2 ( ) [ ( )]nf x u x= 1'( ) [ ( )] '( )nf x n u x u x−=

La derivada de la función [ ( )]nu x es: el

exponente n por la potencia 1[ ( )]nu x − multiplicada por '( )u x (la derivada interna)

Ejemplo ilustrativo 1: Si ( ) 2 1 ,f x x= + hallar '( ).f x

1 / 2

1 1 / 2 1 1 / 22

21

2 22

( ) ( 1)

'( ) ( 1) ( ) (2 1)1

f x x

f x x xx

− −

= +

= + = + =+


2 1( )1

xf xx

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

hallar '( ).f x

9

2

9

2 1 2) 2 1)10

1 1)

2210

1

1 ( )( ( 1)('( )(

1'( )

x x xf xx x

xxf xx

⎛ ⎞+ − − += ⋅⎜ ⎟− −⎝ ⎠

⎛ ⎞+= ⋅⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 2x− − 9

2 2

9 9 9

2 2 9 11

2 310

11) 1)

30 2 30 2 30 211) 1) 1)

1 1( (

1 ( 1) ( 1)'( )( ( ( 1) (

xxx x

x x xf xxx x x x

− ⎛ ⎞+ −= ⋅⎜ ⎟−− −⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + += − = − = −⎜ ⎟−− − − −⎝ ⎠


– 18 –


1) 5 / 62 3)( ) (f x x= − 2) 1 / 3 1 / 22 2( ) ( 1) ( 3)f s s s= + − 3) 1

1( )

xf x

x+

=−

4) ( ) 1 1f x x= + − 5) 1

( ) xf xx

=−

6) 2 92 1( ) ( 3 )f x x x= − +

7) 42

22 3 1

2( ) x xf x

x x

⎛ ⎞− += ⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠

8) 42 2 5( ) ( )f z z z −= − − 9) 2 1

( )x

f xx+

=

10) 3

1

1( )

xf x

x+

=−

11) 2

42

1

1( ) yf y

y−

=+

12) 2 / 34 22 3( ) ( )f w w w −= + +

PARTE 10: Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas:

No. Función Derivada Forma de Recordarla 1 ( ) xf x e= '( ) xf x e= La derivada de la función exponencial es sí misma.

2 ( ) ln( )f x x= 1'( )x

f x = La derivada de la función logarítmica es el inverso de x.

3 ( )( ) u xf x e= ( )( ) '( )u xf x e u x= La derivada de ( )u xe es ( )u xe por la derivada del exponente.

4 ( ) ln[ ( )]f x u x= '( )'( )( )

u xf xu x

= La derivada de ln[ ( )]u x es el cociente entre la derivada de u, '( )u x , y ( )u x , es decir, '( ) / ( ).u x u x

5 ( ) xf x a= '( ) ln( ), 0xf x a a a= > La derivada de la función exponencial de base a es si misma por el logaritmo natural de la base.

6 ( ) log ( )af x x= 1'( ) logaf x ex

= La derivada de la función logaritmo de base a es el inverso de x por log .a e

7 ( )( ) u xf x a= ( )'( ) '( ) ln( )u xf x a u x a=

La derivada de ( )u xa es ( )u xa por la derivada del exponente, '( )u x , por el logaritmo natural de la base.

8 ( ) log ( )af x u x= '( )'( ) log( ) a

u xf x eu x

= La derivada de log ( )a u x es el cociente '( ) / ( )u x u x por log .a e

Observación: Le daremos prioridad a las cuatro primeras reglas, pues la otras solo difieren en los factores constantes: ln( )a y log .a e

No. Propiedades de los exponentes Propiedades de los logaritmos 1 x yyxe e e += ln( ) ln( ) ln( )x x y= +

2 x

x yy

e ee

−= ln ln( ) ln( )x x yy

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 ( )y xyxe e= ln( ) ln( )yx y x=


– 19 –

No. Propiedades de los exponentes Propiedades de los logaritmos 4 0 1e = 1 0ln( ) =

5 1e e= 1ln(e) =

6 ln( )xe x= ln(e ) = x x

Ejemplo ilustrativo 1: Si 3 1( ) ln ,2 5

xf xx

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

hallar '( ).f x

1 / 21 1 1

2 2 2

3 1 3 13 1 2 5

2 5 2 5

3 2 3 12 3 1 2 2 5 2 3 1 2 5

( ) ln ln ln( ) ln( )

'( ) '( )( ) ( ) ( )

x xf x x xx x

f x f xx x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= = = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − ⇒ = −− + − +

Ejemplo ilustrativo 2: Si ( ) ,xx

xxe ef xe e

−

−−

=+

hallar '( ).f x

2

2 2

2

2 22 2

2 2

) )

)

)

)

)

) )

( ) ,

( ( ( ) ( )'( )(

( ( )'( )(

( 2 ( 2 ) 4'( ) '( )( (

xx

xx

x x x xx x x x

xx

x xx x

xx

x xx x

x xx x

e ef xe e

e e e e e e e ef xe e

e e e ef xe e

e e e ef x f xe e e e

−

−

− − − −

−

− −

−

− −

− −

−=

+

+ + − − −=

+

+ − −=

+

+ + − − += ⇒ =

+ +


41

1( ) ln ,

x

xef xe

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

hallar '( ).f x

4 4

4 4

4 4

1) 1)

1 1

( ) ln( ln(

4 4'( )

x x

x x

x x

f x e e

e ef xe e

−= + −

= −− +


1) 4 32 1( ) ln( )f x x x= + − 2) 34 5( ) x xf x e + −= 3) 2( ) ln[ln( 3)]f x x= +

4) 2 3

( )xef x e

+=

5) 4 3

22 1

3( ) ln

x xf x

x

⎛ ⎞−⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎝ ⎠

6) 22( ) ( 1) xf x x e −= +


– 20 –

7) 3ln( )( ) x

xf xe

= 8) 3ln( )( ) xf x

x= 9)

3)2 ln(( ) ( 1) xf x x e= +

10) 22( ) ( 1) ln( )xf x x e= − 11) 4 3

2 2 1( ) log ( )f x x x= + − 12) 34 5( ) 3 x xf x + −=

PARTE 11: Aplicaciones geométricas y económicas: Ejemplo ilustrativo 1: Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

2 1( )f x x= − en el punto (5, 3).

1 1

3 32 1 2(5 11 1 1'( ) '(5)

) 9f x f m

x= ⇒ = = = ⇒ =

− −

1 1

1

3

1 5

3 3

1 5

3 3

1 4

3 3

3 5

3

3

( )

( )

y y m x x

y x

y x

y x

y x

− = −

− = −

− = −

= − +

= +

Ejemplo ilustrativo 2: Un fabricante estima que cuando se producen x unidades de un artículo, el costo total será C(x) = x2 + 4x + 5 lempiras y que las x unidades se venderán cuando el precio sea p = 28 – x lempiras por unidad.

a) Utilice la función de costo marginal para calcular el costo de producir la unidad 5. ¿Cuál es el incremento en el costo cuando se produce un cambio de producción de 4 a 5 unidades, es decir, cuál es el costo real de producir la unidad 5?

2 2

2 42(5) 4 14

5 4 5 4 5 5] 4 4 4 5]50 37 13

'( )'(5)

( ) ( ) [ ( ) [ ( )

Lempiras

Lempiras

C x xC

C C CC

=

= += +

∆ = − = + + − + +∆ = − =

b) Halle la función de ingreso para el artículo. Luego, utilice la función de ingreso marginal para calcular el ingreso derivado de la venta de la unidad


– 21 –

5. ¿Cuál es el ingreso real derivado de la venta de la unidad 5 (o incremento en el ingreso al aumentar las ventas de 4 a 5 unidades)?

2

2 2

28 2828 228 2 5 18

5 4 28 5 5 ] 28 4 4 ]115 96 19

( ) ( )'( )'(5) ( )

( ) ( ) [ ( ) [ ( )

Lempiras

Lempiras

R x x p x x x xR x xR

R R RR

=

= ⋅ = − = −= −= −

∆ = − = − − −∆ = − =

c) Halle la utilidad asociada con la producción de x unidades. Trace la función de utilidad y determine el nivel de producción donde se maximiza la utilidad. ¿Cuál es la utilidad y la utilidad marginal en ese nivel óptimo de producción?

2 2 228 4 5 2 24 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )U x R x C x x x x x x x= − = − − + + = − + −

Como la gráfica de la utilidad es una parábola que abre hacia abajo, el nivel

óptimo ocurre en el vértice, es decir, 24 24 242 2 2 4 4

6.( )

bxa

= − = − = − = =− −

De esta manera, la utilidad se maximiza cuando se venden 6 unidades al precio de 28 28 6 22p x= − = − = lempiras. La utilidad será, entonces

26 2 6 24 6 5 67( ) ( ) ( )U = − + − = lempiras. 4 24,'( )xU x= − + por lo tanto, la utilidad marginal en 6 unidades es 6 4 6 24 0.'( ) ( )U = − + = CUANDO LA UTILIDAD ES MÁXIMA, LA UTILIDAD MARGINAL ES CERO.

Ejemplo ilustrativo 3: Si C(x) = x2 + 4x + 9 es la función de costo total para un producto.

a) Halle el costo promedio y el costo promedio marginal del producto.

Costo promedio: 2 94 9

4( )x

xx xC x

x+ +

= = + +

Costo promedio marginal: 29

1'( )x

xC = −


– 22 –

b) ¿En que nivel de producción el costo promedio marginal es igual a 0?

22

2 29 9

9 31 0 0 0'( ) xx

x xx xC ⇒ ⇒ ⇒

−= − = = − = = ±

Pero como x debe ser positivo, x = 3. Luego, el costo promedio marginal es igual a 0 cuando x = 3.

c) ¿En que nivel de producción el costo promedio es igual al costo marginal?

Costo promedio: 2 94 9

4( )x

xx xC x

x+ +

= = + +

Costo marginal: 2 4 9) ' 2 4'( ) (xC x x x= + + = + 29 9

4 2 4 9 3( ) '( )x x

xC C x x x x x x= ⇒ + + = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±

Nuevamente, como x debe ser positivo, x = 3. Luego, el costo promedio es igual al costo marginal cuando x = 3.

PODEMOS CONCLUIR QUE EL COSTO PROMEDIO ES MÍNIMO CUANDO ES IGUAL AL COSTO MARGINAL.

Ejemplo ilustrativo 4: Si 2'( ) ,f x x= diseñe una tabla de valores para comparar la tasa de cambio promedio y '( )f x cuando 2 0 5 0 1 0 01 0 001, . , . , . , . .x x= ∆ =

2 2 2 2 2

2

2

2 22

( ) ( ) ( ) ( )TCP

( ) ( )TCP

'( ) 2

f x x f x x x x x x x x xx x x

x x x x x x x xx x

f x x

+ ∆ − + ∆ − + ∆ + ∆ −= = =

∆ ∆ ∆

∆ + ∆ ∆ + ∆= = = + ∆

∆ ∆=

x x∆ Tasa de cambio promedio '( )f x 2 0.5 4.500 4 2 0.1 4.100 4 2 0.01 4.010 4 2 0.001 4.001 4


– 23 –

PODEMOS CONCLUIR QUE CUANDO x∆ ES BASTANTE PEQUEÑO, LA TASA DE CAMBIO PROMEDIO Y LA DERIVADA DE f SON APROXIMADAMENTE IGUALES.

Resuelva los ejercicios de aplicación siguientes:

1) Encuentre la pendiente de la tangente a la curva y = (4x2 + 2x – 5) (x3 + 7x + 4) en (– 1, 12).

2) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 61

yx

=−

en el punto (3, 3).

3) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = (4x2 + 2x – 5) (x3 + 7x + 4) en el punto (– 1, 12).

4) (Consumo y ahorro marginal) Para Estados Unidos (1922–1942), la ecuación de consumo se estimó por la ecuación: C = 0.672 I + 113.1. Encuentre la propensión marginal al consumo y la

propensión marginal al ahorro. Sugerencia: C + S = I de donde 1dC dS

dI dI+ = o bien .1dS dC

dI dI= −

5) (Consumo y ahorro marginal) Suponga que la función de consumo está dada por 2 2 .C I= + Encuentre la propensión marginal al consumo y la propensión marginal al ahorro cuando I = 9.

6) (Costo marginal) Si la ecuación de costo total de un fabricante está estimada por la ecuación: 25

50003

( ) .xC xx

= ++

Encuentre la función de costo marginal.

7) (Ingreso marginal) Si la ecuación de demanda del producto de un fabricante es: 1000.

5p

x=

+

Encuentre la función de ingreso marginal y evalúela cuando x = 45.

8) (Ingreso marginal) Si p = – 0.5x + 450 es una ecuación de demanda, encuentre la función de ingreso marginal.

9) (Ingreso marginal) Si R(x) = x (20 – 0.1x) es una función de ingreso total, encuentre la función de ingreso marginal.

10) (Costo marginal) Si 30 03 1 2( ) . .

xC x x= + + es una función de costo promedio, encuentre el

costo marginal cuando x = 100.

11) (Costo marginal) Se estima que la función de costo total de una planta de energía eléctrica es: 216 68 0 125 0 00439 20 90,( ) . . . ,C x x x x= + + ≤ ≤ donde x es la producción total en 8 horas (como

porcentaje de la capacidad) y C es el costo total del combustible en dólares. Encuentre la función de costo marginal y evalúela cuando x = 70.

12) (Utilidad marginal) Si la ecuación de demanda del producto de un fabricantes es: p + 2x = 1,000 y la función de costo se estima en C(x) = 10 + x2. Encuentre la utilidad marginal cuando: a) p = 600. b) p = 800. c) x = 150. d) x = 500 / 3. e) x = 550 / 3.

elaborada por: wilfredo saravia m. · elaborada por: wilfredo saravia m. – 2 – en donde se...

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