logica proposicional[1][1]

LÓGICA PROPOSICIONALPARIA QUISPE, YEFERSON WILY

MOLLINEDO LUPACA, EDUARDO

CHIPANA RAMIREZ, WILLY

MANUELO CHAVEZ, NAPOLEON

ROMANI CONDORI, MARTIN

Lógica es el estudio del razonamiento, que se refiere específicamente a si el razonamiento es correcto. La lógica se centra en la relación entre las afirmaciones y no en el contenido de una afirmación en particular.

Lógica

Ejemplos:

El día de hoy está bonito.Está lloviendo.17+5=20  

ProposicionesUna proposición es una unidad semántica que, o solo es verdadero, o solo es falsa, pero no ambas cosas a la vez.  

 ¿me invistas a bailar?¡qué hermoso paisaje!¿cómo estás?

Nota: Los enunciados que expresen admiración, duda, interrogación, suspenso, etc., no son proposiciones.

Existen 2 tipos de proposiciones: 

Atómicas y Moleculares o compuestas 

Tipos de proposiciones 

Proposiciones Atómicas

Son aquellas que contienen una sola proposición.

Ejemplos: 

Rosa baila. Esto es una casa. Juan canta. 5 es un número par. Quito es la capital del Ecuador.

PROPOSICIONES MOLECULARES O COMPUESTAS

Son aquellas que contienen más de una proposición.

Ejemplos: María trabaja y Rosa estudia. Juan y Luisa son hermanos de Pedro. Amparo es inteligente y es la hermana de Carlos. Esmeraldas y Guayas son provincias del Ecuador.

LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR).

LENGUAJE FORMAL

Consiste en abreviar o simbolizar las oraciones o juicios, que en la lógica matemática se llaman proposiciones. Estas proposiciones se reducen en el lenguaje formal a una sola letra, que llamamos variable, y la simbolizamos con las letras minúsculas del alfabeto que van de la p hasta el final del abecedario.

Si digo por ejemplo: «Antonio ama a Piedad», esta proposición queda simbolizada en el lenguaje formal mediante la variable p o q, o, r o s.

Además de estas variables, la lógica proposicional utiliza otros símbolos, llamados constantes, cuyo significado siempre es el mismo, ya que modifican o unen a las variables. Estos símbolos constantes se llaman conectivos u operadores lógicos.

Cuando el conectivo afecta a una sola variable, se llama monádico, como por ejemplo el negador (~) que se lee en el lenguaje natural «no», y se sitúa encima de la letra variable, , «no p». Cuando afectan a más de una variable, son poliádicos. Los conectivos u operadores lógicos más importantes son:

TABLAS DE VERDAD

Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podrá tomar una proposición. Estas tablas sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas.

CONJUNCIÓN

La conjunción es verdadera sólo cuando ambas variables lo son y es falsa en los demás casos.

p q p ^ q

VVFF

VFVF

VFFF

DISYUNCIÓN

La disyunción es verdadera en todos los casos menos cuando ambas son falsas.

p q p v qVVFF

VFVF

VVVF

CONDICIONAL

El condicional es verdadero en todos los caso menos cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa.

P q p qVVFF

VFVF

VFVV

BICONDICIONAL

El bicondicional es verdadero cuando ambos son verdaderos o cuando ambos son falsos, y es falso en los demás casos.

P q p ↔ qVVFF

VFVF

VFFV

NEGACIÓN

La negación ~ que se lee ~p, cambia el valor de la variable que se niega: sólo es verdadera si es falsa y es falsa si es verdadera.

p ~pVF

FV

TAUTOLOGÍA, CONTINGENCIA, CONTRADICCIÓN

TAUTOLOGÍA

Es cuando tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales.

Ejemplo:

~p v p

p ~p ~p v p

VF

FV

VV

CONTINGENCIA

Es cuando se obtienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales.

Ejemplo: (p → q) ^ (q → p)

p q p → q q → p (p → q) ^ (q → p)VVFF

VFVF

VFVV

VVFV

VFFV

CONTRADICCIÓN

Es cuando se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales.

Ejemplo:

~q ^ q

q ~q ~q ^ q

VF

FV

FF

LEYES DE PROPOSICIONES

Equivalencia:

p = p

Idempotencia

p ^ p = p

p v p = p

Asociativa

p ^ (q ^ r) = (p ^ q) ^ r

p v (q v r) = (p v q) v r

Commutativap ^ q = q ^ p

p v q = q v p

Distributiva

p ^ (q v r) = (p ^q) v (p ^ r)

p v (q ^ r) = (p v q) ^ (p v r)

Identidad

p v 0 = p p v 1 = 1

p ^ 1 = p p ^ 0 = 0

Complementop v ~p = 1 ~~p = p

p ^ ~p = 0 ~0 = 1

~1 = 0

Morgan~ (p ^ q) = ~p v ~q

~ (p v q) = ~p ^ ~q

Absorciónp ^ (p v q) = p

p v (p ^ q) = p

Condicional

p →q = ~p v q

p → q = ~q → ~p

Bicondicional

p ↔ q = (p → q) ^ (q → p)

Dominancia

p ^ F = F

p v V = V

Elemento Neutro

p ^ V = P

p v F = P

IMPLICACIÓN LÓGICA (A → B)

Sean A y B dos formas proposicionales se dice que A implica lógicamente a B si y solo si A→B es una tautología, ejemplo:

Decir entre lo que sigue que es verdadero o falso.

p → (p ^ q)

No es tautología por ende es falso.

p q p ^ q p → (p ^ q)VVFF

VFVF

VFFF

VFVV

p → (p v q)

Como es tautología entonces si es una implicación lógica.

p q p v q p → (p v q)VVFF

VFVF

VVVF

VVVV

EQUIVALENCIA LÓGICASean A y B dos formas proposicionales, se dice que A es equivalente lógicamente a B, si y sólo si A ↔ B es una tautología.

Demostrar (p → q) ^ (q → p) = p ↔ q

A ↔ B

[(p → q) ^ (q → p)] ↔ [p ↔ q]

Como es tautología si es equivalencia lógica.

p q p → q q → p

p ↔ q (p → q) ^ (q → p) A↔B

VVFF

VFVF

VFVV

VVFV

VFFV

VFFV

VVVV

SEGUNDO MÉTODO

(p → q) ^ (q → p)

A ^ B

(p ↔ q)

p q p → q q → p A ^ B

VVFF

VFVF

VFVV

VVFV

VFFV

p q p ↔ qVVFF

VFVF

VFFV