logica hipotesis y conclusion

Lógica- Formulando hipótesis y

conclusión

Prof. Kyria A. Pérez

Estandares de contenido y

expectativas

G.FG.9.4.1 Establecer conjeturas basadas en la

exploracion de situaciones geometricas.

G.FG.9.4.2 Prueba directa o indirectamente

que un enunciado matematico es cierto.

Desarrolla un contraejemplo para refutar un

enunciado invalido.

G.FG. 9.4.3 Formula e investiga la validez del

inverso de un condicional.

Objetivos particulares del tema

Distinguir entre la hipótesis y la conclusión

Reconocer y establecer diferencias entre los 5

tipos de oraciones condicionales.

Establecer conclusiones verdaderas o falsas

usando los cinco tipos de oraciones condicionales.

Ser capaces de distinguir entre una declaración

matemática valida y una invalida.

Definiciones

Hipotesis:

Puede definirse como una solución

provisional (tentativa) para un

problema dado. El nivel de verdad que

se le asigne a tal hipótesis dependerá de

la medida en que los datos empíricos

recogidos apoyen lo afirmado en la

hipótesis. Es una proposición que

establece Relaciones entre los hechos.

(causa)

Definiciones

Conclusion:

◦ Se conoce con el término de conclusión

a toda aquella fórmula o proposición

que sea el resultado obtenido luego de

un proceso de experimentación o

desarrollo y que establezca parámetros

finales sobre lo observado. (Efecto)

Conclusión

Es un enunciado que se

deriva de las premisas del

argumento, después de

aplicar algún tipo de

razonamiento.

Si el razonamiento es

inductivo a la conclusión se

le llama conjetura

Premisas

Conclusión

Razonando inductiva o deductivamente

Ejemplos de Hipotesis y conclusion

Ejemplo 1

Hipostesis (p): Un cuadrilatero es un

rectangulo.

Conclusion (q): Tiene cuatro ejes de simetria.

Ejemplo 2

Hipotesis (p): Dos angulos son congruentes.

Conclusion(q): tienen la misma medida.

Tipos de Proposiciones

• Proposicion condicional

• Proposicion Bicondicional

• Proposicion conversa (reciproca)

• Proposicion inversa

• Proposicion contrareciproca

Proposicion Condicional

Las proposiciones condicionales llevan la

conjunción condicional compuesta „si...

entonces...‟,

Se le asigna la letra p a la hipotesis y q a la

conclusion y se escribe p → q y se lee “si p

entronces q”.

Tambien puede tener las siguientes palabras: si‟,

„siempre que‟, „con tal que‟, „puesto que‟, „ya

que‟,„porque‟, „cuando‟, „de‟, „a menos que‟, „a no

ser que‟, „salvo que‟,„sólo si„, „solamente si‟.

Proposicion Condicional

Toda proposición condicional consta de

dos elementos: causa y efecto. La

proposición que sigue a la palabra „si‟ se

llama causa y la que sigue a la palabra

„entonces‟ se denomina efecto.

Ejemplos de Proposiciones

condicionales Ejemplo 1

Si pague por el pan entonces me lo

puedo llevar a casa.

Ejemplo 2

Si un cuadrilatero es un rectangulo,

entonces tiene cuatro ejes de simetria

Ejemplo 3

Si dos angulos son congruentes, entonces

tienen la misma medida.

Proposicion Bicondicional

Las proposiciones bicondicionales llevan la

conjunción compuesta „... sí y sólo si...‟,

Tambien pueden llevar las siguientes

conjunciones o sus expresiones equivalentes

como „cuando y sólo cuando‟, „ si..., entonces y

sólo entonces...‟,

Esta formada por dos proposiciones de causa y

efecto que son condicionadas una de la otra

con la caracteristica que la condicion debe

cumplirse forzozamente.

Proposicion Bicondicional

La mayoria de los teoremas matematicos

son proposiciones bicondicionales ciertas.

Proposicion Bicondicional

Ejemplo 1

Juan va al cine si y solo si saca 95 en

su examen de matematicas.

p: Juan va al cine

q: Juan saca 95 en su examen de

matematicas.

p q : Juan va al cine, si y lo si, saca 95 en

su examen de matematicas.

Proposicion Bicondicional

• Ejemplo 2

Si un angulo es recto entonces mide 90°.

Un angulo es recto, si y solo si, mide 90°.

• Ejemplo 3

Si un triangulo es equilatero entonces todos

sus lados son congruentes.

Un triangulo es equilatero, si y solo si, todos

sus lados son congruentes.

Preposicion conversa (Reciproca)

La proposicion conversa inverte la

hipotesis y la conclusion.

En la oracion original si la hipotesis y

conclusion son verdaderas su inversa no

tiene que serlo.

Proposicion conversa (Reciproca)

Ejemplos

Ejemplo 1 ◦ Proposicion Condicional (p → q ) Si una bandera es

la de Puerto Rico, entonces tiene estrella.

◦ Proposicion reciproca (q → p) Si una bandera tiene

estrella, entonces es la de Puerto Rico.

La proposicion p → q es vedadera, pero la reciproca

q → p no es verdadera, ya que existen otras

banderas diferentes a la de Puerto Rico con estrella.

Proposicion conversa (Reciproca)

Ejemplos

Ejemplo 2

◦ Proposicion Condicional (p → q )

Si a ● b = 0, entonces a = 0 ó b=0

◦ Proposicion Reciproca (q → p) Si a = 0 ó

b =0, entonces a ● b = 0

Ambas preposiciones son verdaderas. (Regla

de multiplicacion por 0).

Proposicion inversa

La proposicion inversa niega la

hipotesis y la conclusion.

• Se usa la conjuncion no.

Proposicion inversa-Ejemplos

Ejemplo 1

◦ Proposicion condicional (p → q)

Si un vehiculo es un aereoplano, entonces el

vehiculo se construyo para volar.

• Proposicion Inversa ( ~p → ~q)

Si un vehiculo no es un aereoplano, entonces

no se construyó para volar.

Proposicion inversa-Ejemplos

La proposicion si .. Entonces es

verdadera, pero no se debe suponer

que su inversa sea necesariamente

verdadera. Existen otros vehiculos

que no son aereoplanos y vuelan,

como los globos aereostaticos.

Proposicion inversa-Ejemplos

Ejemplo 2

◦ Proposicion condicional (p → q)

Si una figura es un triangulo, entonces es un

poligono.

• Proposicion Inversa ( ~p → ~q)

Si una figura no es un triangulo, entonces no

es poligono.

Por definicion de poligonos esta

aseveracion no es verdadera.

Proposicion Contrareciproca

La proposicion contrareciproca

inverte la hipotesis y la conclusion y

las niegas.

Se usa la conjuncion no.

Proposicion Contrareciproca

Ejemplos

Ejemplo 1

◦ Proposicion condicional (p → q)

Si se vive en San Juan, entonces se vive en

Puerto Rico.

oProposicion contrareciproca ( ~q → ~p)

Si no se vive en Puerto Rico, entonces no se

vive en San Juan,

Proposicion Contra reciproca

Ejemplos

Si la proposicion si… entonces es

verdadera, se puede suponer que su

contra reciproca tambien es

verdadera.

San Juan es la capital de Puerto Rico.

Proposicion Contra reciproca

Ejemplos

Ejemplo 2

◦ Proposicion condicional (p → q)

Si dos angulos son rectos, entonces son

congruentes.

• Proposicion contrareciproca ( ~q → ~p)

Si dos angulo no son congruentes, entonces

los dos angulos no son rectos.

Condicion de angulos rectos – medida de

90°.

Repaso para examen-Ejemplo 1

◦ Proposicion condicional (p → q)

Si dos angulos son rectos, entonces son

congruentes.

Proposicion Bicondicional (p q )

◦ Dos angulos son rectos, si y solo si son congruentes.

• Proposicion conversa (q → p)

• Si dos angulos son congruentes entonces

los angulos son rectos.

Repaso para examen-Ejemplo 1

Proposicion Inversa ( ~p → ~q)

◦ Si dos angulos no son rectos, entonces no

son congruentes.

◦ Proposicion contrareciproca ( ~q → ~p)

• Si dos angulos no son congruentes entonces

los angulos no son rectos.

Repaso para examen-Ejemplo 2

Proposicion condicional (p → q)

◦ Si bebes entonces no puedes conducir.

• Proposicion Bicondicional (p q )

• Bebes, si y solo si, no puedes conducir.

• Proposicion conversa (q → p)

• Si no conduces entonces puedes beber.

Repaso para examen-Ejemplo 2

Proposicion Inversa ( ~p → ~q)

◦ Si no bebes entonces puedes conducir

• Proposicion contrareciproca ( ~q → ~p)

• Si conduces entonces no puedes beber.

Repaso para examen-Ejemplo 3

Proposicion condicional (p → q)

◦ Si dos angulos son suplementarios entonces la suma

de sus medidas son 180°.

• Proposicion Bicondicional (p q )

• Dos angulos son suplementarios, si y solo si, la suma

de sus medidas son 180°.

• Proposicion conversa (q → p)

• Si la suma de las medidas de dos angulos es 180°

entonces los angulos son suplementarios,

Repaso para examen-Ejemplo 3

Proposicion Inversa ( ~p → ~q)

◦ Si dos angulos no son suplementarios

entonces la suma de sus medidas no son 180°.

• Proposicion contrareciproca ( ~q → ~p)

◦ Si la suma de las medidas de dos angulos no

es 180° entonces los angulos no son

suplementarios,