identificaciÓn de sistemas · • refuerzo: verificación de demostraciones, ... con varianzas...

IDENTIFICACIÓN DE IDENTIFICACIÓN DE SISTEMASSISTEMAS

Ing. Fredy Ruiz Ph.D.ruizf@javeriana.edu.co

Maestría en Ingeniería ElectrónicaPontificia Universidad JaverianaPontificia Universidad Javeriana

20132013

Información general

• Horario: Jueves 14:00 – 17: 00 – Inicio 2:10 – Pausa 3:30-3:40– Fin 5:00

• Contacto– Via correo electrónico: ruizf@javeriana.edu.co– Página web: http://www.javeriana.edu.co/ruizf– Tarea 1. Tarea 1. Enviar correo para formar la lista de clase

PREREQUISITOS• Señales y Sistemas

– Teoría de señales: espectro, filtraje.– Sistemas lineales: rta. impulso, función de

transferencia, rta. en frecuencia, estabilidad, variables de estado.

• Probabilidad– Variables aleatorias– Valor medio, varianza– Dist. Gausiana– Ruido blanco

PROGRAMAPARTE I. TEORÍA DE ESTIMACIÓN1. Repaso:

– teoría de señales– sistemas lineales– procesos estocásticos

2. Estima paramétrica en contexto estocástico– Propiedades de un estimador– Limite de Cramer-Rao– Estima de mínima varianza– Mínimos cuadrados– Máxima verosimilitud

PROGRAMA

PARTE II. FILTRAJE ÓPTIMO3. Estimación de señales

– Filtro de Wiener– Estimación espectral

4. Estima óptima del estado– Filtro de Kalman– Filtros no lineales

• Extended Kalman• Unscented Kalman• Particle Filter

PROGRAMAPARTE III. IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS4. Estimación paramétrica estocástica

– Prediction error methods– Instrumental variables methods– Subspace methods

5. Estimación determinística 6. Identificación de sistemas no lineales

– Modelos de base fija– Modelos de base variable

BIBLIOGRAFÍA• Optimal and Robust Estimation: With an Introduction to

Stochastic Control TheoryFrank L. Lewis, Lihua Xie, Dan Popa

• Bayesian signal processing classical, modern, and particle filtering methods Candy, James

• Optimal state estimation Kalman, Hoo and nonlinear approaches Simon, Dan

• System Identification - Theory For the UserLennart Ljung

• Multivariable system identification for process control Zhu, Yucai

EVALUACION

• Proyecto filtraje 25%• Proyecto identificación 25%• Tareas 25%• Presentaciones 25%

Las fechas de entregas de trabajos son fijas. En caso de entrega tardía se sancionará el retardo con reducción de la

nota.

METODOLOGÍA• Preparación: lecturas previas como secciones

indicadas del texto guía o artículos técnicos.• Encuentro semanal: sesiones teóricas,

ejemplos de aplicación, sesiones prácticas (Matlab).

• Refuerzo: verificación de demostraciones, ejercicios simulados,…

OJO: El objetivo del curso es estudiar la teoría de identificación de sistemas, NO es un

tutorial de herramientas informáticas

EL PROBLEMA DE LA ESTIMACIÓN

Teoria de la estima• El problema de la estima consiste en la valoración

empírica de una magnitud incierta, como:– un parámetro desconocido – una señal no medida

con base en medidas experimentales obtenidas del fenómeno.• La incertidumbre se puede modelar de varias

formas– Variables aleatorias (probabilidad)– Señales desconocidas pero limitadas (UBB)

Estimación paramétrica

Estimación paramétrica

Teoria de la estima• Filtraje: Dado un modelo dinámico de un proceso

con entradas desconocidas,se estudia la estimación de una señal no medida o medida con ruido.

Identificación de sistemas• “Inferring models from observations and studying their

properties is really what science is about”Lenart Ljung

• SYSID es una materia transversal a muchas áreas de la ciencia que se ocupa de la construcción de modelos matemáticos de sistemas (estáticos o dinámicos) con base en datos obtenidos del sistema.– Ingeniería– Economía– Biología– ...

EL PROBLEMA DE LA ESTIMACIÓN

• La ciencia moderna usa un lenguaje matemático para describir los fenómenos

• En un primer tiempo, se usan “leyes fundamentales” para construir los modelos– Newton– Kirchoff– Laplace - Determinismo– ....

EL PROBLEMA DE LA ESTIMACIÓN

• Cuando los sistemas en estudio aumentan de complejidad, no es posible seguir esta aproximación– Comportamientos desconocidos– Modelos altamente complejos -> inútiles

• SYSID Procedimiento inverso:– Partiendo de los datos, inferir las propiedades del

sistema que los produjo.

CONSTRUCCIÓN DE MODELOS

• Se quiere estudiar un sistema real con un objetivo definido:– Interpretación– Diseño– Predicción– Control – Detección de fallas– ...

CONSTRUCCION DE MODELOS

• Existen dos aproximaciones al problema de identificación:

Aprox. Física: el objetivo es la reproducción de la estructura interna del sistema.

• Estructura fija• Estima de parámetros físicos

El problema de estimación resultante es complejo, óptimización no-convexa

CONSTRUCCION DE MODELOS

Aprox. Caja-negra: reproducción de la relación entrada-salida del sistema

• La estructura es parte del diseño• Estima de parámetros “no interpretables”• Para algunas estructuras es convexo y

computacionalmente eficiente.

CONSTRUCCION DE MODELOS

La información sobre el sistema es de dos tipos• “A priori”: Información disponible sobre el

sistema, hipótesis, leyes, ...– define la estructura del modelo matemático M (p)

– Lineal - no lineal– Orden– Características del ruido– ...

CONSTRUCCION DE MODELOS

• “A posteriori”: Información experimental.– Permite la estima del parámetro p– Valoración de la congruencia entre información

“a priori” y “a posteriori”

Medición del error Un modelo es inútil si no viene medida

la incertidumbre y el error cometido debido a ella.

Ejemplos• Identificación de la dinámica vertical de un

vehículo: – Objetivo: Construir un modelo que permita

simular la aceleración de chasis y ejes de un vehículo en función del perfil de la vía y la fuerza del amortiguador

– Uso: Diseñar y sintonizar estrategias de control para vehículos con suspensión activa

• Experimentos realizados por FIAT-Elasis Research Center

Modelo “a priori” basado en las leyes físicas

Con los datos experimentales “a posteriori” se identifica un modelo back-box no lineal de orden 2 para cada aceleración, usando técnicas Set Membership.

Ejemplo 2. Predicción de la concentración de ozono en la troposfera

Objetivo: Predecir el valor máximode O

3 al día t+1

Datos disponibles

• datos de identificación 1995-1998, estos datos se usan para estimar modelos con diversas estructuras usando varios métodos

• datos de validación 1999, estos datos se usan para seleccionar los mejores modelos y hacer un ajuste fino.

• datos de prueba 2000-2001, estos datos permiten evaluar la calidad de los modelos seleccionados.

Resultados

Los datos disponibles no contienen suficiente información!!!

Material adicional

• DaISy (Database for the Identification of Systems) http://homes.esat.kuleuven.be/~smc/daisy/

• MATLAB System Identification Toolbox User's Guide

IDENTIFICACION DE SISTEMASIDENTIFICACION DE SISTEMAS

Maestría en Ingeniería ElectrónicaPontificia Universidad JaverianaPontificia Universidad Javeriana

20132013

CAPÍTULO 1. REPASOCAPÍTULO 1. REPASOPROBABILIDAD Y SISTEMAS DINÁMICOSPROBABILIDAD Y SISTEMAS DINÁMICOS

Variable aleatoria• Descripción matemática de los posibles resultados de

un experimento que no se puede predecir exactamente.

• Variable continuaLa probabilidad de que e tome un valor en el intervalo [a, b), es:

donde fe(x) es la función de densidad de probabilidad PDF

de la variable aleatoria e.• La probabilidad de un punto es cero!!!!

e∈ℜ

P (a⩽e<b)=∫a

bf e(x)dx

Variables aleatoriasDistribución gausiana o normal, N(μ,σ2)

Imagen tomada de Wikimedia commons.

Variables aleatoriasVariables aleatorias vectoriales

La PDF es una función vectorial:

Y la probabilidad de que e caiga en un volumen de Rn es:

e=[e1

e2

e3]∈ℜn

f e(x): ℜn →ℜ

P (e∈B)=∫Bf e(x)dx ; B⊂ℜn

Variables aleatoriasMomentos

• Valor esperado– E[e]=∫

R x f

e(x)dx = m

Resultado promedio del experimento luego de muchas repeticiones.• Varianza

– Cov[e] = P[e]=E[(e-E[X])∙(e-E[X])T]Medida de la dispersión delos resultados del experimento. Cov[e] es una matriz simétrica con diagonal positiva.

Variables aleatorias• Dadas X, Y, Z: variables aleatorias (posiblemente

vectoriales)

• x, y, z son realizaciones de V.A.

– Funciones de densidad de probabilidad:

• fX (x), FDP de X

• fXZ

(x,z), FDP conjunta de X y Z

• fXZ

(x,z)=fX (x) * f

Z (z), Variables independientes

• fX/Z

(x/z) = fXZ

(x,z) / fZ(z), Probabilidad condicional

Problema de la estima• θ(t): magnitud real a estimar, escalar o vectorial,

constante o variable con el tiempo.

• d(t): datos disponibles, capturados en el instante

de tiempo t.

• d = {d(t1), d(t

2), . . ., d(t

N)}: conjunto de medidas.

Los instantes de observación {t1, t

2 , ...,t

N} pueden ser

periódicos o no periódicos.

Problema de la estima• Un ESTIMADOR o Algoritmo de Estima es una

función f(∙) que asocia a los datos un valor de la

magnitud a estimar:

• Por Estima se entiende el valor específico que entrega

el estimador ante un conjunto de medidas

particular.

θ̂= f (d )

Clasificación de los problemas de estima• θ(t) es constante en el tiempo => problema de estimación

paramétrica– El estimador se indica con – El valor verdadero de la magnitud se indica con

• θ(t) es función del tiempo– El estimador se indica con– El tipo de problema depende de la relación entre t y t

N:

• Si t > tN: problema de predicción

• Si t = tN: problema de filtraje

• Si t < tN: problema de interpolación o smoothing

o

θ̂(t∣t N )

Descripción probabilística de los datosLos datos son generados por una fuente aleatoria S,

dependiente de:

– El resultado de un experimento casual s

– El valor verdadero de la magnitud a estimar.

d=d(s, )

Los datos son variables aleatorias, dado que son

una función de s

o

Propiedades de un estimador

• Los datos son una variable aleatoriad=d(s, )

• La estima es una función de los datos=f(d)

Por lo tanto, también el estimador y la estima son variables aleatorias.

• La calidad de f(*) dependen de sus características estocásticas.

o

Características estocásticas de un estimador

No polarización

El valor medio o valor esperado de la estima debe ser el valor verdadero de la variable estimada, de otro modo el estimador introduce un error sistemático en la estima

Características estocásticas de un estimador

Eficiencia

Un estimador es de mínima varianza si su dispersión entorno al valor esperado es la menor posible.

Menor dispersión => mayor probabilidad de obtener una estima cercana al valor verdadero

Características estocásticas de un estimador

Consistencia

A medida que el numero de datos aumenta, la varianza de la estima se reduce y tiende asintóticamente a 0.

EjemploConsideremos N datos escalares d

i con el mismo valor

medio: E[d

i]=

Con varianzas eventualmente diferentes pero limitadas:

los datos son descorrelacionados entre ellos, es decir:

Objetivo: estimar el valor medio de los datos o

o

EjemploEstimador 1: Media de las muestras

Estimador 2: Dato arbitrario

Estimador 3: Media pesada de las muestras

Estimador 1: media de las muestras

Es un estimador no polarizado:

Consistente:

Estimador 2:

Es un estimador no polarizado:

No consistente:

La varianza no varía con el número de datos.

Estimador 3: Media pesada

Es un estimador no polarizado si:

Dado que:

Se demuestra que el estimador a mínima varianza (eficiente) se construye con los pesos:

Intuitivamente, los datos mas inciertos son menos relevantes => tienen un peso menor.

Tarea 1Dado un conjunto de medidas, descritas por la ecuación:

Vk = R I

k +η

k

donde:– R: resistencia (valor a estimar)– I

k y V

k: medidas de voltaje y corriente en los

terminales de la resistencia.– η

k : ruido blanco gausiano de valor medio cero y

varianza σ2k.

– N = 20 medidasLos datos se encuentran en el archivo datos_R.mat. En estos datos σ2

k=16.

Problema:Estimar el valor de R usando los tres estimadores

vistos en clase• En el caso de media de las muestras pesadas, suponga

σ2k=16/I

k

Comparar los resultados obtenidos confrontando:• valor de R • varianza de la estima.