Geometria espacio

ALGEBRA LINEAL

GEOMETRIA DEL ESPACIO

Presentation by Miguel Perez Fontenla, January 2011

ALGEBRA LINEAL

•Espacios Vectoriales•Vectores. Operaciones

•Geometría del Espacio•La Recta en el espacio•El plano en el espacio•Posiciones relativas …

•Producto escalar•Perpendicularidad•Aplicaciones, distancias, ángulos …

•Productos vectorial y mixto•Aplicaciones: Areas, distancias,•Aplicaciones: Volúmenes, distancias …

Repasando ℝ2

•Vectores en el PlanoUn vector en ℝ2 queda determinado por dos puntos A(a1,a2) y B(b1,b2) (origen A y extremo B) y el orden de éstos:

1 1 2 2

,

AB b a b a

BA a b a b

Repasando ℝ2

•Operaciones con vectores

Repasando ℝ2

Definición: Espacio vectorial

Un conjunto V con dos operaciones, una + y otra * y donde existen 0,1∊V y un cuerpo K (usualmente ℚ,ℝó ℂ) verificando:

Respecto a +,

Conmutativa

Asociativa

Elemento neutro

El elemento simétrico de es su opuesto

Respecto a *

Distributiva respecto a la + de vectores

Distributiva respecto a la + de escalares

Asociativa mixta

Elemento neutro

Pues bien, a este conjunto formado por {V, +, *, K} que verifique todas las propiedades anteriores se le llama espacio vectorial sobre el cuerpo K

u v v u

u v w v u w

0 0u u

u

u v u v

u u u

u u

1u u

Otras definiciones

Definición: vector

A los elementos del espacio vectorial V se les llama vectores

Los denotaremos por letras

Definición: escalar

A los elementos del cuerpo (usualmente ℚ,ℝ ó ℂ) se les llama escalares

Los denotaremos con las letras griegas

, , , , , , , , ,...u v w a b c i k j

, , , , , , ,....

Ejemplos de espacios vectoriales

•ℝ2 plano euclídeo estudiado en Geometría plana•V2 o conjunto de vectores del plano, estudiado en Geometría plana•n o conjunto de matrices cuadradas n x n• o conjunto de polinomios•V3 o conjunto de vectores libres del espacio•ℝ3 espacio euclídeo

Vectores en el espacio

•Vectores en el espacioUn vector en ℝ3 queda determinado por dos puntos A y B (origen A y extremo B) y el orden de éstos.

•Elementos de un vector

Vectores en el espacio

Operaciones con Vectores

Combinación lineal de vectores

Base de un espacio vectorial

Coordenadas de un vector

•Sistemas de referenciaUn sistema de referencia en el espacio está formado por un punto fijo O y una base del espacio

Lo denotaremos por

•El Sistema de referencia canónico

Es el que tiene como punto fijo

O(0,0,0) el origen

y como base tres vectores de

módulo 1

y perpendiculares entre si

, ,u v w

, , ,O u v w

, ,i j k

Coordenadas de un vector

•Coordenadas y módulo de un vector

Coordenadas de un vector

Ejercicio: Calcula las coordenadas y el módulo del vector

Coordenadas de un vector

Ejercicio: Calcula las coordenadas y el módulo de estos vectores

Operaciones con coordenadas

Suma y resta de vectores

Operaciones con coordenadas

Multiplicación de un vector por un escalar

Operaciones con coordenadas

Aplicaciones de los vectores

Punto medio de un segmento

Puntos alineados

Aplicaciones de los vectores

El espacio euclídeo ℝ3

Coordenadas de un vector en ℝ3

3 34

1 4, , / , , 0,0,0 , 3, 1,2 , 7 , , , 2, , ,...

3 5x y z x y z e

Sistemas de referencia en ℝ3

Definimos sistema de referencia euclídeo del espacio (o también llamado sistema de referencia ortonormal) al conjunto formado por donde

•O es un punto cualquiera fijo que denominamos origen de coordenadas• son los vectores de su base canónica de V3

, , ,R O i j k

, ,i j k

Ecuaciones de la recta en ℝ3

• Ecuación vectorial

• Ecuación paramétrica

• Ecuación continua

• Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

• Ecuación implícita o cartesiana

Ecuaciones de la recta en ℝ3

Ecuación vectorial

OP OA u

1 2 3 1 2 3, , , , , ,x y z a a a u u u

Ecuaciones de la recta en ℝ3

Ecuación paramétrica

1 1

1 2 3 1 2 3 2 2

3 3

, , , , , ,

x a u

x y z a a a u u u y a u

z a u

Ecuaciones de la recta en ℝ3

Ecuación continua

1 1

1 2 3 1 2 3 2 2

3 3

, , , , , ,

x a u

x y z a a a u u u y a u

z a u

1

11 1

32 1 22 2

2 1 2 3

3 3

3

x a

ux a u

z ay a x a y ay a u

u u u uz a u

z a

u

Ecuaciones de la recta en ℝ3

Ecuación implícita (o cartesiana)

1 2

1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 131 2

3 3 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2321 2 3

2 3

0

x a y a

u u u x u a u y u a u x u y u a u az ax a y a

u y u a u z u a u y u z u a u az ay au u u

u u

Ecuaciones de la recta en ℝ3

EjemploCalcular todas las ecuaciones de la recta que pasa por A(3,1,2) y tiene un vector director 1,2,1u

Ecuaciones de la recta en ℝ3

Ejemplo. SoluciónCalcular todas las ecuaciones de la recta que pasa por A(3,1,2) y tiene un vector director •Vectorial •Paramétrica

•Continua

•Implícita

1,2,1u

, , 3,1,2 1,2,1x y z

3 1

1 2

2 1

x

y

z

33 1

1 11 2 3 2

2 22 1

2

xx

y yy x z

zz

4 1

3 12 5 5 3 5 7 05 3

1 1 3 6 3 7 02

3

x y

x y x y

y y z y zz

Ecuaciones de la recta en ℝ3

Ecuaciones del plano en ℝ3

• Ecuación vectorial

• Ecuación paramétrica

• Ecuación General o implícita

Ecuaciones del plano en ℝ3

Plano que pasa por 3 puntos

Ecuaciones del plano en ℝ3

Posiciones relativas 2 rectas en ℝ3

¿Qué posiciones relativas se te ocurren?

Posiciones relativas 2 rectas en ℝ3

Paralelas

Secantes

Se cruzan

Coincidentes

?

Posiciones relativas 2 rectas en ℝ3

Ejemplo

Posiciones relativas 2 rectas en ℝ3

Posiciones relativas de recta y plano

¿Qué posiciones relativas se te ocurren?

1 1 1 1

2 2 2 2

0:

0

A x B y C z Dr

A x B y C z D

3 3 3 3: 0A x B y C z D

Posiciones relativas de recta y planoen ℝ3

•Contenida

•Secante

•Paralela

?

Posiciones relativas de recta y planoen ℝ3

Posiciones relativas de recta y plano

Posiciones relativas de dos planos

¿Qué posiciones relativas se te ocurren?

1 1 1 1 1: 0A x B y C z D

2 2 2 2 2: 0A x B y C z D

Posiciones relativas de dos planos

•Contenida

•Secante

•Paralela

?

Posiciones relativas de dos planos en ℝ3

Posiciones relativas de dos planos