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ACADEMIA ALCOVER. PALMA DE MALLORCA

CARLOS ALCOVER GARAU. LICENCIADO EN CIENCIAS QUÍMICAS (U.I.B.) Y DIPLOMADO EN TECNOLOGÍA DE ALIMENTOS (I.A.T.A.).

1

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GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO.

PUNTOS, RECTAS Y PROBLEMAS MÉTRICOS.

La ecuación de la recta. VER VIDEO https://youtu.be/BaEbKtFYN7E

Vectorial.

(x, y)

= (1, 2) + t. (− 2, 3)

{

Punto: (1,2)

Otros puntos: doy valores a t. si t = 1; P = (−1,5)

vector director: (−2,3)

pendiente:m =3

−2=2ªcomponente del vector director

1ªcomponente del vector director

Paramétricas.

{x = 2 − 3ty = 3 + 2t

→

{

Punto: (2,3)

Otros puntos: doy valores a t. si t = 1; P = (−1,5)

vector director: (−3,2)

pendiente:m =2

−3=2ªcomponente del vector director

1ªcomponente del vector director

Continua.

x − 1

2=y + 2

5→

{

Punto: (1, −2)Otros puntos: doy valores a x.

vector director: (2,5)

pendiente:m =5

2=2ªcomponente del vector director

1ªcomponente del vector director

Implícita o general. Ax + By + C = 0

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2

2x + 7y − 3 = 0 →

{

puntos: doy valores a x.

si x = 1; y =1

7vector director: (−B, A) = (−7,2)

pendiente:m =5

2=2ªcomponente del vector director

1ªcomponente del vector director

Explícita. y = m.x + n

y = 2. x − 3 → {

puntos: doy valores a x.si x = 1; y = −1pendiente:m = 2

vector director: (1,m) → (1,2)

Pasar de una ecuación a otra.

VER VIDEO https://youtu.be/p5AIUURVg5U

𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (1,−2)⏞ punto

+ t. (2,3)⏞

vectordirector

{

𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {

x = 1 + 2ty = −2 + 3t

𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 1

2=y + 2

3operando la continua:3x − 3 = 2y + 4

𝐈𝐦𝐩𝐥𝐢𝐜𝐢𝐭𝐚: 3x − 2y − 7 = 0despejando la y:

𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y =3x − 7

2

𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {x = 2 + 3ty = −3 + 4t

⏞ punto:(2,−3)

⏟ vector director

(3,4)

{

𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (2, −3) + t. (3,4)

𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 2

3=y + 3

4operando la continua:4x − 8 = 3y + 9

𝐈𝐦𝐩𝐥𝐢𝐜𝐢𝐭𝐚: 4x − 3y − 17 = 0despejando la y:

𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y =4x − 17

3

𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 3

1=y − 2

−1

⏞ Punto (3,2)

⏟ vector director

(1,−1)

{

𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (3,2) + t. (1, −1)

𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {x = 3 + ty = 2 − t

operando la continua:−x + 3 = y − 2

𝐈𝐦𝐩𝐥𝐢𝐜𝐢𝐭𝐚: x + y − 5 = 0despejando la y:

𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y = −x + 5

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3

𝐈𝐦𝐩𝐥𝐢𝐜𝐢𝐭𝐚: x + 2y − 5 = 0⏟ 𝐯𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫 𝐝𝐢𝐫𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫=(−𝐁,𝐀)=(−𝟐,𝟏)

⏞ 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨:𝐱=𝟏→𝐲=𝟐;𝐏=(𝟏,𝟐)

{

𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (1,2) + t. (−2,1)

𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {x = 1 − 2ty = 2 + t

𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 1

−2=y − 2

1despejando la y:

𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y =−x + 5

2

𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y = 2x − 5⏟ si x=1→y=−4P=(1,−4)

⏞ m=2→v⃗⃗ =(1,2)

{

𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (1, −4) + t. (1,2)

𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {x = 1 + ty = −4 + 2t

𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 1

1=y + 4

−2operando la continua:−2x + 2 = y + 4

𝐈𝐦𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: 2x + y + 2 = 0

Ejercicios básicos.

1. Hallar el vector que une los puntos A=(1, – 3) y B=(2, 1).

AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B − A = (2,1) − (1,−3) = (1,4)

2. Hallar la ecuación de la recta en todas sus formas.

a. Recta que pasa por A = (1, – 2) y B = ( 0, 3) VER VIDEO https://youtu.be/HdoMCr5gLyQ b. Recta que pasa por A = (1, – 3) y es paralela a 2x + y – 1 = 0 VER VIDEO https://youtu.be/ZEMMltEGzQk c. Recta que pasa por A = ( 2, 4) y tiene pendiente – 2 VER VIDEO https://youtu.be/uPl0aegcRbE

a.

{Pasa por A = (1,−2)

Tiene como vector AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1,5)

{

𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (1, −2) + t. (−1,5)

𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {x = 1 − ty = −2 + 5t

𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 1

−1=y + 2

5operando la continua:5x − 5 = −y − 2

𝐈𝐦𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: 5x + y − 3 = 0𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y = −5x + 3

b. Dos rectas paralelas tiene el mismo vector director.

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4

2x + y – 1 = 0⏞

vector director=(−B,A)

(−1,2)

{Pasa por A = (1, −3)

Tiene como vector v⃗ = (−1,2)

{

𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (1, −3) + t. (−1,2)

𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {x = 1 − ty = −3 + 2t

𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 1

−1=y + 3

2operando la continua:x − 2 = −y − 3

𝐈𝐦𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: x + y + 1 = 0𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y = −x − 1

c.

{Pasa por A = (2,4)

Tiene como vector v⃗ = (1,m) = (1,−2)

{

𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥: (x, y) = (2,4) + t. (1, −2)

𝐏𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬: {x = 2 + ty = 4 − 2t

𝐂𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚:x − 2

1=y − 4

−2operando la continua:−2x + 4 = y − 4

𝐈𝐦𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: 𝟐x + y − 8 = 0𝐄𝐱𝐩𝐥í𝐜𝐢𝐭𝐚: y = −2x + 8

Comprobar si un punto pertenece a una recta

3. Comprobar que los siguientes puntos pertenecen a las rectas que se indican.

a. A(1, 2) a la recta (x, y) = (1, 3) + t. (1, -1).

b. B = (2, 3) a la recta {𝐱 = 𝟏 + 𝐭𝐲 = 𝟓 − 𝟐𝐭

VER VIDEO https://youtu.be/XqPSf9Avd8g

Si pasamos la recta a explícita, basta sustituir la x del punto y ver si me da la misma y. A = (1, 2) a la recta (x, y) = (1, 3) + t. (1, -1)

(x, y) = (1, 3) + t. (1, –1) → y = – x + 4 ; sustituimos la x = 1 → y = 3 → A no

pertenece a la recta.

B = (2, 3) a la recta {x = 1 + ty = 5 − 2t

{x = 1 + ty = 5 − 2t

→ y = −2x + 7; sustituimos la x = 2 → y = 3 →

→ B sí pertenece a la recta.

Puntos alineados

4. Estudiar si los puntos A = (1, 2), B = (2, - 1) y C = ( 0, 3) están alineados. VER VIDEO https://youtu.be/edlvnbckeWw

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5 Hallamos la recta AB y comprobamos si C pertenece a dicha recta.

Recta AB:

{

Pasa por A = (1,2)

Vector director AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∶ (1, −3)→ y = −3x + 5; sustituimos x = 0: y = 5⏞

Comprobamos si C pertenece a larecta AB

→

C no pertenece a la recta AB, por tanto, A, B y C no están alineados, forman un

triángulo.

Otra forma de hacer el ejercicio.

AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1,−3)

AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1,1)}

1

−1≠−3

1

⏞

Si la igualdad secumple,estánalineados.

→ NO alineados.

5. Hallar k para que los puntos A(1, 3), B(2, 4) y C(k, 1) estén alineados.

{AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1,1)

AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (k − 1,−2)→

1

k − 1=1

−2→ k − 1 = −2 → k = −1

6. Hallar el punto medio de A = (1, 2) y B = (2, – 3) y el simétrico de A respecto de B. VER VIDEO https://youtu.be/e6hSKtiiYAM

Punto medio de A, B = MA,B =A + B

2= (

1 + 2

2,2 − 3

2) = (

3

2,−1

2)

AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = BA′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ → (1,−5) = (x − 2, y + 3) {1 = x − 2 → x = 3

−5 = y + 3 → y = −8→ A′ = (3,−8)

Dividir un segmento en partes iguales.

7. Divide el segmento A = (1 , 3) B = (0, - 2) en tres partes iguales. VER VIDEO https://youtu.be/9dE2-f6xxjk

AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 3. AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ → (−1,−5) = 3. (x − 1, y − 3){−1 = 3x − 3 → x =

2

3

−5 = 3y − 9 → y =4

3

→ C = (2

3,4

3)

A = (1,3)

•

B = (0, - 2)

•

C = (x, y)

•

D = (x, y)

•

A = (1,2)

•

A’ = (x, y)

•

B = (2,-

3)

• 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝐵𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

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6 D es el punto medio de C y B = (

23 + 0

2,

43 − 2

2) = (

1

3,−1

3)

8. Recta que pasa por A = ( 1, 4) y es perpendicular a x + 2y – 1 = 0 VER VIDEO https://youtu.be/x24LePsCERU

{

Pasa por A = (1,4)⊥ a x + 2y − 1 = 0⏟

vector director(−2,1)

→ Vector perpendicular a (−𝟐, 𝟏) = (𝟏, 𝟐)⏞

𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐜𝐚𝐦𝐛𝐢𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐥𝐚𝐬 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐨𝐧𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐲

𝐜𝐚𝐦𝐛𝐢𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐠𝐧𝐨𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐥𝐥𝐚𝐬

→x − 1

1=y − 4

2

⏞ continua.

Posición relativa de dos rectas.

Explicita {y = m. x + n

y = m′. x + n′ Implícita {

Ax + By + C = 0

A′x + B′y + C′ = 0

Se cortan m ≠ m′ A

A′≠B

B′

Paralelas m = m’ y distinta ecuación A

A′=B

B′≠C

C′

Coincidentes Tiene la misma ecuación A

A′=B

B′=C

C′

9. Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de rectas. VER VIDEO https://youtu.be/FHa1UbRsgmg

a. {x + y − 2 = 02x + 2y − 5 = 0

→1

2=1

2≠−2

−5→ paralelas

b. {y = 2x − 3y = 3x + 1

→ 2 ≠ 3 → m ≠ m′ →

se cortan. Si resuelvo el sistema tendre el punto de corte → 2x – 3 = 3x + 1 → x = - 4; y = - 11 → P = (- 1, - 11)

c. {(x, y) = (1,−1) + t. (1,3) → y = 3x − 4

y = 3x + 1→ m = m′ y distinta ecuació n

→ paralelas.

d. {(x, y) = (2, −3) + t. (−1,2) → y = −2x + 1

{x = 1 − αy = −1 + 2α

→ y = −2x + 1→ misma ecuació n explí cita

→ coincidentes.

10. Dada la recta x + ky – 1 = 0, hallar k:

a. Para que la recta pase por A = (2, - 1)

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7 b. Para que la recta tenga pendiente 3.

c. Para que la recta sea paralela a (x, y) = (1, 3) + t.(2, 3)

d. Para que la recta forme un ángulo de 45 grados con el eje positivo de las X. VER VIDEO https://youtu.be/8HQydsjW3-U

a.

Sustituimos x por 2 e y por – 1 y hallamos k → 2 – k – 1 = 0 → k = 1 b.

x + ky– 1 = 0 → vector director = (− k, 1) → m = 1

−k= 3 → k =

−1

3

c.

{x + ky– 1 = 0 → v⃗ = (− k, 1)

(x, y) = (1, 3) + t. (2, 3) → v⃗ = (2,3) → m =3

2

→1

−k=3

2→ k =

−2

3

d.

x + ky– 1 = 0 → vector director = (− k, 1) → m = 1

−k

La pendiente es la tangente del ángulo que la recta forma con el eje positivo de las

X → m = tag α → 1

−k= tag 45 = 1 → k = −1

Ángulo que forman dos rectas.

cosα = |vr⃗⃗ ⃗. vs⃗⃗ ⃗

|vr⃗⃗ ⃗|. |vs⃗⃗ ⃗|| tanα = |

m1 −m21 +m1.m2

|

11. Hallar el ángulo que forman las siguientes rectas: VER VIDEO https://youtu.be/zM4b5H-aCW4

a

{

r: (x, y) = (1,−2) + t. (2,3)

vr = (2,3)s: x − 2y + 1 = 0

vs = (2,1)

→

{

cosα = |

vr⃗⃗ ⃗. vs⃗⃗ ⃗

|vr⃗⃗ ⃗|. |vs⃗⃗ ⃗|| = |

(2,3). (2,1)

√13√5| =

7

√65→ α = 29′74º

tanα = |m1 −m21 + m1. m2

| = |

32 −

12

1 +32 .12

| =4

7

→ α = 29′74º

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8

b

{

r: {x = 3 − 2ty = 2 − t

→ vr = (−2,−1)

s:x − 2

3= y − 1 → vs = (3,1)

→

{

cosα = |

vr⃗⃗ ⃗. vs⃗⃗ ⃗

|vr⃗⃗ ⃗|. |vs⃗⃗ ⃗|| = |

(−2,−1). (3,1)

√5√10| =

7

√50→ α = 8′13º

tanα = |m1 −m21 + m1. m2

| = |

12 −

13

1 +12 .13

| =1

7

→ α = 8′13º

12. Hallar k para que la recta x + ky + 2 = 0 forme un ángulo de 35º con la recta x + y + 1 = 0. VER VIDEO https://youtu.be/TZuHFVC7MOU

{r: x + ky + 2 = 0 → vr = (−k, 1)

s: x + y + 1 = 0 → vr = (−1,1)→ cosα = |

vr⃗⃗ ⃗. vs⃗⃗ ⃗

|vr⃗⃗ ⃗|. |vs⃗⃗ ⃗|| = |

(−k, 1). (−1,1)

√k2 + 1√2| = cos35

|k + 1

√2k2 + 2| = cos35⏞

0′82

→k2 + 2k + 1

2k2 + 2= 0′67 → {k = 5

′71k = 0′18

13. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1, - 1) y forma un ángulo de 45º con la recta

y = 2.x + 2. VER VIDEO https://youtu.be/9mHaGkNtcf0

y = 2x + 2 → m1 = 2, Hallaremos m2 con la fórmula:

tanα = |m1 −m21 + m1. m2

| → tan 45⏞ 1

= |2 − m21 + 2.m2

| ; |1 + 2m2|

= |2 − m2|;

{

1 + 2m2 = 2 −m2

m2 =1

31 + 2m2 = −2 +m2

m2 = −3

Recta que pasa por (1, - 1) y tiene pendiente 1/3 → vr = (1, 1/3); {x = 1 + t

y = −1 +1

3t

Recta que pasa por (1, - 1) y tiene pendiente - 3 → vr = (1, - 3); {x = 1 + ty = −1 − 3t

14. Hallar un punto que pertenece a la recta x + 2y – 1 = 0 y que está alineado con A = ( 1, 2) y

B = ( 2, - 1). VER VIDEO https://youtu.be/LZ3HeRKTjDI

C = (x, y) {

Pertenece a la recta x + 2y − 1 = 0

está alineado con A y B.→ {AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1,−3)

AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (x − 1, y − 2)→

1

x − 1=

−3

y − 2

→ Resolviendo

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9 el sistema {

x + 2y − 1 = 01

x − 1=

−3

y − 2→ y − 2 = −3x + 3

→C = (1

5,−2

5)

Distancias. Distancia punto – punto. d(A - B) = |𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| 𝐃𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐩𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐏 = (𝐚, 𝐛) 𝐚 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 𝐫: 𝐀𝐱 + 𝐁𝐲 + 𝐂 = 𝟎 → 𝐝(𝐏, 𝐫)

= |𝐀𝐚 + 𝐁𝐛 + 𝐂

√𝐀𝟐 + 𝐁𝟐|

Distancia recta - recta. Si se cortan o son coincidentes, la distancia es cero. Si son paralelas hacemos distancia punto recta.

15. Hallar k para que la recta x + ky + 2 = 0 diste 3 unidades del origen. VER VIDEO https://youtu.be/k5BHu-LqUwk

Distancia de [O = (0, 0)a r: x + ky + 2 = 0] = 3 → |1.0 + k. 0 + 2

√12 + k2| = 3 →

4

1 + k2

= 9 → ∄k La recta dada no puede distar 3 unidades del origen.

16. Hallar k sabiendo que el triángulo de vértices A, B y C es isósceles. A = (1, 2), B = (2, - 3) y C = (k, 0)

siendo BC el lado desigual. VER VIDEO https://youtu.be/H0h4m6TFjxs

Distancia de A a C igual distancia de B a C.

|AC⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |BC⃗⃗⃗⃗ ⃗| → |(k − 1,−2)||(k − 2,3)| → √(k − 1)2 + 4 = √(k − 2)2 + 9 → k = 4

17. Hallar un punto C de la recta r: x + 2y – 3 = 0 que diste 2 unidades del punto P = (1, 2)

C = (x, y) {x + 2y − 3 = 0

|PC⃗⃗ ⃗⃗ | = 2 → |(x − 1, y − 2)| = 2 → √(x − 1)2 + (y − 2)2 = 2

Resolviendo el sistema {x + 2y − 3 = 0

√(x − 1)2 + (y − 2)2 = 2→ {

C = (−1,2)

C = (11

5,2

5)

Estudio de los elementos de un triángulo.

18. Dado el triángulo de vértices A = ( - 1, 2), B = ( 3, - 2) y C = ( 1, 4).

a. Perímetro.

b. Clasifica el triángulo según los lados y según los ángulos.

c. Ecuación de la altura que pasa por A.

d. Ortocentro.

e. Ecuación de la mediana que pasa por B.

f. Baricentro.

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10 g. Ecuación de la mediatriz del lado BC.

h. Circuncentro.

i. Área del triángulo. VER VIDEO https://youtu.be/XP3Yv4btTBk VER VIDEO https://youtu.be/gFC8CrITRQk VER VIDEO https://youtu.be/BaQgqsV_wHk VER VIDEO https://youtu.be/Makz5hydTNo

a.

Longitud de los lados: {

AB → |AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |(4,−4)| = √32

AC → |AC⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |(2,2)| = √8

BC → |BC⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |(−2,6)| = √40

→ perimetro = 2√10 + 6√2

b.

Los lados son distintos, el triángulo es escaleno.

Se cumple (√40)2= (√32)

2+ (√8)

2→ 40 = 32 + 8 → El tria ngulo es recta ngulo

Si hubiera dado > sería obtusángulo y si hubiera dado < sería acutángulo. c.

Una altura pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto.

{Pasa por A = (−1,2)

BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2,6) →⊥ BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (6,2)→x + 1

6=y − 2

2→ x − 3y + 7 = 0

d.

El ortocentro es el punto donde se cortan las alturas. Buscamos otra altura y resolvemos el sistema formado por las dos alturas.

{Pasa por B = (3, −2)

AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2,2) →⊥ AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2,2)→x − 3

−2=y + 2

2→ x + y − 1 = 0

Ortocentro {x − 3y + 7 = 0x + y − 1 = 0

→ (−1,2)

e.

Una mediana es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

{Pasa por B = (3,−2)

Pasa por MAC = (0,3) → BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−3,5)→x − 3

−3=y + 2

5→ 5x + 3y − 9 = 0

f.

El baricentro es el punto donde se cortan las medianas. Buscamos otra mediana y resolvemos el sistema formado por las dos medianas.

{Pasa por A = (−1,2)

Pasa por MBC = (2,1) → BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (3,−1)→x + 1

3=y − 2

−1→ x + 3y − 5 = 0

Bariocentro {5x + 3y − 9 = 0x + 3y − 5 = 0

→ (1,4

3)

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11 Otra forma de hallar el baricentro (A + B + C

3)

g.

Una mediatriz es la perpendicular al lado en su punto medio.

{Pasa por MBC = (2,1)

Es ⊥ a BC: BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2,6) ⊥ BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (6,2)→x − 2

−2=y + 1

6→ 3x + y − 5 = 0

h.

El circuncentro es el punto donde se cortan las mediatrices. Buscamos otra mediatriz y resolvemos el sistema formado por las dos mediatrices.

{Pasa por MAC = (0,3)

Es perpendicular a AC: AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2,2) ⊥ AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2,2)→

x

−2=y − 3

2→ x + y − 3 = 0

Circuncentro {3x + y − 5 = 0x + y − 3 = 0

→ (1,2)

i.

Base = |AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √40 = 2√10

Altura.

{

Recta BC {

Pasa por B = (3,−2)

BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2,6)→x − 3

−2=y + 2

6→ 3x + y − 7 = 0

Distancia de A a BC = |3. (−1) + 1. (2) − 7

√32 + 1| =

8

√10

Área =base x altura

2=dist. de B a C x dist. de A a la recta BC

2=

2. √10.8

√102

= 8 u2

19. Dado el triángulo cuyo lados se encuentra sobre las rectas r: 2x + y – 3 = 0; s:3x – y – 7 = 0 ;

t:x – 2y + 1 = 0 Hallar sus vértices. VER VIDEO https://youtu.be/GtajUaMCGzs

20. Si A = ( 1, 3) , B = ( 2 , - 1) y C = (- 2, 3) son los vértices de un paralelogramo, halla el cuarto vértice

y el área del paralelogramo. VER VIDEO https://youtu.be/zNJYPIbVILo

21. Hallar un punto A de la recta y = x cuya distancia a B = (1, 2) se el doble que a C = ( - 1, - 3) VER VIDEO https://youtu.be/Yj6Zz6P7Hkg

A = (x, y) = (x, x)

|AB⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 2 · |AC⃗⃗⃗⃗ ⃗| → |(1 − x, 2 − x)| = 2 · |(−1 − x, −3 − x)| →

→ √(1 − x)2 + (2 − x)2 = 2 · √(−1 − x)2 + (−3 − x)2…

22. Un triángulo isósceles tiene por lados iguales AB y AC. Se sabe que el vértice A es un punto de la

recta x + y = 6 y que las coordenadas de los otros dos vértices son A(1,-1) y B(5, 1). Halla las

coordenadas del punto A y el área del triángulo.

ACADEMIA ALCOVER. PALMA DE MALLORCA

CARLOS ALCOVER GARAU. LICENCIADO EN CIENCIAS QUÍMICAS (U.I.B.) Y DIPLOMADO EN TECNOLOGÍA DE ALIMENTOS (I.A.T.A.).

12 VER VIDEO https://youtu.be/GEuZmeLYvLI

23. Calcula el punto simétrico de P = ( 3, 3) respecto de la recta r : x + y = 3 VER VIDEO https://youtu.be/W0PdAJZ5JWc

24. Halla el P punto de la recta r: y = 2x – 1 que forma con A = ( 1, 2) y B = ( 2, - 1) un triángulo

rectángulo con el ángulo recto en A. VER VIDEO https://youtu.be/8PVe-6eMoMg

25. Hallar los puntos de corte con los ejes de la recta x – y + 1 = 0. Calcula el área del triángulo que

forma la recta con los ejes. VER VIDEO https://youtu.be/8PXQ8oBx00E

26. Hallar k sabiendo que la recta x + ky + 2 = 0 forma con los ejes un triángulo de 1 u2. VER VIDEO https://youtu.be/BrexKdrAR4U

27. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 1) y forma con los ejes un triángulo de 4 u2. VER VIDEO https://youtu.be/Xa90aFShqIg