ftm clase 07 transporte de momentum 4

FENÓMENOS DE TRASPORTEEN METALURGIA EXTRACTIVAEN METALURGIA EXTRACTIVA

Clase 04/06Transporte de Momentum

Prof. Leandro Voisin A, MSc., Dr.

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Académico – Universidad de Chile.

Jefe del Laboratorio de Pirometalurgia.

Investigador Senior - Tohoku University, Japan.

Flujo tangencial de un fluido Newtoniano

en tubos concéntricos

Determinar las distribuciones develocidad y de esfuerzo cortante,velocidad y de esfuerzo cortante,para el flujo laminar tangencial deun fluido incomprensible en elespacio comprendido entre doscilindros verticales coaxiales,cuando el cilindro exterior gira conuna velocidad angular Ωq.

2

una velocidad angular Ωq.

Los esfuerzos finales pueden despreciarse.

De acuerdo al enunciado sólo debemos preocuparnos del

componente-θ de la ec. de movimiento. Al trabajar en

Solución:

Flujo tangencial de un fluido Newtoniano

en tubos concéntricos

componente-θ de la ec. de movimiento. Al trabajar en

coordenadas cilíndricas, para flujo paralelo se tendrá que:

0zr == vv

Además para un fluido incomprensible la ecuación de

continuidad se escribe como:

∂

3

0=∂

∂

θθv

Luego sólo debemos analizar el componente-θ de la ec. de

Navier Stokes

0=⋅∇ v

Ecuación de Continuidad:

Flujo tangencial de un fluido Newtoniano

en tubos concéntricosSolución:

Ecuación de Movimiento:

4

µ

Ecuación de Movimiento:

Flujo tangencial de un fluido Newtoniano

en tubos concéntricosSolución:

µ

5

µ

Ecuación de Movimiento:

Flujo tangencial de un fluido Newtoniano

en tubos concéntricosSolución:

r

p

r

2

∂

∂=θρ

vComponente en -r:

Componente en -θ:( )

∂

∂

∂

∂=

r

r

r

1

r0 θv

6

Componente en -z: xgz

p0 ρ+

∂

∂−=

Incorporando las condiciones de borde:

Flujo tangencial de un fluido Newtoniano

en tubos concéntricosSolución:

Rr,R

Rr,0

==

==

θθ

θ

Ω

κ

v

v Condición de no deslizamiento ó

adherencia, interfase líquido-sólida.

Condición de adherencia con

desplazamiento de interfase líquido-

sólida .

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−

−

=

κκ

κ

κ

Ωθθ1

R

r

r

R

Rv

Considerando la ley de viscosidad de Newton:

Flujo tangencial de un fluido Newtoniano

en tubos concéntricosSolución:

:)r(θτ r

−

−

∂

∂−=

κκ

κ

κ

Ωµτ θθ 1

R

r

r

R

Rr

r)r(r

8

−

−=

2

2

2

2

1r

1R2)r(

κ

κΩµτ θθr

Campo de flujo desarrollado en un fluido

dentro del cual rota un disco

9

Campo de flujo desarrollado en un fluido

dentro del cual rota un disco

Para flujo tridimensional incomprensible, con simetría

respecto a θ, la ecuación de continuidad está dad como:

Solución:

respecto a θ, la ecuación de continuidad está dad como:

En estado estacionario, las tres componentes de la ecuación

de movimiento pueden escribirse de la siguiente forma:

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componente radial

Campo de flujo desarrollado en un fluido

dentro del cual rota un disco

Solución:

componente tangencial

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componente axial

Campo de flujo desarrollado en un fluido

dentro del cual rota un disco

Las condiciones de borde

Solución:

Las condiciones de borde

considerando no deslizamiento serán:

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Flujo tangencial de un fluido Newtoniano

en tubos concéntricos que giran opuestamente

Propuesto:

Comportamiento de viscosímetros Cilíndro exterior que gira

con velocidad angular

R2

R1

ω2

ω1

Comportamiento de viscosímetros con velocidad angular

ω1

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R1

R2

ω2

Cilíndro interior

que gira con

velocidad

angular