cu antica
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-
Cap. 2. Aplicaciones M.C. 1
CAPITULO 2. Aplicacin de la mecnica cuntica a la resolucin de problemas fsicos sencillos
1) Partcula en un foso de potencial infinito (caja de una dimensin)
I II III
V(x)= V(x)=
V(x)=0
X=0 x=l
Ec. [1.21]: )()()(m2 2
2
xExxVdx
x =+)(2dh
0)())((m 222
=+)( xxVEdx
x
h
2d
Zonas I, III.: 0)x()E(m 2
dx
xd22
2
====++++))))((((h
[2.1]
0 )x(dx
xd2
2
====))))(((( 2
2
dx
)x(d1)x(
==== I(x) = III(x) = 0
Zona II: 0)x( Em 2
dx
xd22
2
====++++))))((((h
[2.2]
Ecuacin diferencial, homognea, lineal de segundo orden y de coeficientes constantes. Solucin:
hh /)2(
2
/)2(
1
2/12/1xmEixmEi
IIecec
+= [2.3]
hh
xB
xAx
II
2mEsen
2mEcos )( += [2.4]
La funcin de estado debe ser continua
x = 0 I(0) = II(0) = 0 (0)= A cos[0] + B sen[0] = A =0
(x)= B sen
x
mE
h
2 [2.5]
x = l II(l)= III(l) = 0 (l)= B sen h
mE2l = 0
0mE2l
sen ====h
pipipipi==== n mE2lh
(n = 1, 2, )
-
Cap. 2. Aplicaciones M.C. 2
n = 0 no es vlido, ya que /2mE h = 0 anula la funcin [2.5]
n l E m 2h
4 2222
2
pipipipi====pipipipi
2
22
l m 8
n hE ==== ( n = 1, 2, ) [2.6]
Slo los valores de energa de [2.6] permiten que (x) sea continua en x = l (Cuantizacin de la energa).
l
x nsen B)x(
pipipipi==== ( n = 1, 2, ) [2.7]
La cte B se calcula normalizando la funcin.
dx)x( 2 = 12
lBdx
l
x nsen B 2
l
0
22
========
pipipipi
l
x nsen
l
2)x(
pipipipi==== ( n = 1, 2, ) [2.8]
4(x) 24 )(x
E4=16E1
3(x) 23 )(x
E3=9E1
2(x) 22 )(x
E2=4E1
1(x) 21 )(x
E1
0 x l 0 x l
Principio de correspondencia de Bohr: en el lmite de nmeros cunticos elevados, los resultados proporcionados por la mecnica cuntica tienden a los de la mecnica clsica.
-
Cap. 2. Aplicaciones M.C. 3
Ejemplo 2.1. Son las funciones de estado tipo [2.8] funciones propias del operador impulso? Solucin:
(x) ctel
x ncos
l i
n
l
x nsen
l
2
xi)x(px
pipipipipipipipi====
pipipipi
==== hh
no es funcin propia. Ejemplo 2.2. Calcule el valor promedio del impulso en un estado propio cualquiera de H . Solucin: De acuerdo con el tercer postulado (ec. [1.10]) y puesto que (x) est normalizada.
0dxl
x nsen
l
2
xil
x nsen
l
2p
l
0
x ====
pipipipi
pipipipi
>=>=>=>=
-
Cap. 2. Aplicaciones M.C. 4
3) Partcula en un foso de potencial finito (caja de una dimensin)
I II III IV V= V=0 V0
0 l1 l2
Zona III (V(x) = V0 ) 0)x()VE(m 2
dx
)x(d022
2
====++++h
[2.10]
Ecuacin diferencial que tiene solucin anloga a [2.3].
Si E > V0 partcula libre Si E < V0
III(x) 0
II(l1) = III(l1) (condicin de entorno)
Efecto tnel: La partcula ha atravesado la barrera de potencial, aun cuando su energa E es menor que la barrera de potencial Vo.
Probabilidad de penetracin: P = 1/(1+G)
G = )1( 61
)ee( 2D/LD/L
D = )EV(m2 0
h = E/V0 [2.11]
La probabilidad de que ocurra depende de la altura (potencial), de la anchura de la barrera y de la masa de la partcula.
Evidencias experimentales: desintegracin nuclear por emisin de partculas a, reacciones de transferencia electrnica y protnica, microscopio de efecto tnel (1981).
m=me=9,109.10-31 Kg, E=1000 cm-1,V=2000 cm-1 =0,5; D= 5,54.10-9 m
Anchura Probabilidad
1 0.9997
10 0.9681 100 0,1026
hh
hh
/x))EV(m2(III
/x))EV(m2(IIIIII
/x)mE2(iII
/x)mE2(iIIII
2/10
2/10
2/12/1
ebea
ebea
++++====
++++====
-
Cap. 2. Aplicaciones M.C. 5
4) Partcula en una caja de tres dimensiones
z
V(x,y,z) = 0 (0
-
Cap. 2. Aplicaciones M.C. 6
f
"f+
g
"g+
p
"p+
2
E m 2
h= 0
f
"f= -
g
"g-
p
"p-
2
E m 2
h [2.13]
El primer miembro slo depende de x y el segundo no depende de x, as que el primer y el segundo miembro deben ser constantes. Anlogamente para g y p.
E = Ex + Ey + Ez
Sustituyendo en [2.12] y descomponiendo:
f
"f +
2xE m 2
h= 0 [2.14]
g
"g +
2
yE m 2
h= 0 [2.15]
p
"p +
2zE m 2
h= 0 [2.16]
Ecuacin diferencial parcial de tres variables [2.12] se ha convertido en tres ecuaciones diferenciales ordinarias, cuyas soluciones son anlogas a la ya vista en el primer apartado.
a
x nsen
a
2)x(f x
pipipipi====
2
2x
2
xa m 8
n hE ==== ( nx = 1, 2, )
b
y nsen
b
2)y(g y
pipipipi====
2
2y
2
yb m 8
n hE ==== ( ny = 1, 2, )
c
z nsen
c
2)z(p z
pipipipi====
2
2z
2
yc m 8
n hE ==== ( nz = 1, 2, )
La energa total y funcin de onda del sistema son:
++++++++====
2
2z
2
2y
2
2x
2
c
n
b
n
a
n
m 8
hE [2.17]
c
x nsen
b
x nsen
a
x nsen
c b a
8)z,y,x( zyx
pipipipipipipipipipipipi==== [2.18]
La condicin de normalizacin es:
1 dz |p(z)| dy |g(y)| dx |f(x)| dz dy dx|)z,y,x(|c
0
2b
0
2a
0
2
-
2========
Si la caja es un cubo ( a = b = c )
(((( ))))2z2y2x22
nnna m 8
hE ++++++++====
-
Cap. 2. Aplicaciones M.C. 7
Las energas permitidas para el sistema:
nx ny nz 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 E(8ma2/h2) 3 6 6 6 9 9 9
Estados (211), (121) y (112) son degenerados (grado de degeneracin = 3)
Representacin de y de 2 para los primeros estados de una partcula en una caja cuadrada (2 dimensiones) 5) Oscilador armnico
V(x) x k)x(Fdx
dV========
x m 2 x k 2/1)x(V 2222 pipipipi========
2/1)m/k)(2/1( pipipipi====
) t sen(2 ax ++++pipipipi==== Am 2 Ak 2/1VTE 2222 pipipipi========++++==== -a a x
El hamiltoniano es igual a:
====pipipipi++++==== 22
2
22222
2
22
x dx
d
m2 - x m 2
dx
d
m2 - H
hh ( /m 2 hpipipipi==== )
La ecuacin de Schrdinger del sistema es:
0 (x) xmE2
dx
)x(d 2222
2
====
++++
h
[2.19]
-
Cap. 2. Aplicaciones M.C. 8
Ecuacin diferencial homognea, lineal, de segundo orden y coeficientes no constantes. Se puede demostrar que la solucin es del tipo:
xc e f(x) e (x)0n
nn
/2x-/2x- 22
====
======== [2.20]
Cuando n tiende a infinito, la funcin tambin tiende a infinito. Para que esto no ocurra el sumatorio no puede tener un nmero infinito de sumandos. Esto se cumple cuando:
0 E m 2 v 2 -2 ====++++ h m 2 1)(2v E m 2 -1-2 hh pipipipi++++====
++++==== h
2
1vE v ( v = 0, 1, 2, ) [2.21]
Las funciones propias del oscilador armnico son:
2/x-vvv
2
e )(xH N )x( ==== (v = 0, 1, ) [2.22]
Nv es la constante de normalizacin.
Polinomios de Hermite (Hv , v es un nmero entero)
v
yvyv
vdy
ed e )1()y(H
2
2
====
[2.23]
v Hv 0 1 1 2y 2 4y2 - 2 3 8y3 - 12y 4 16y4 - 48y2 + 12 5 32y5 - 160y3 + 120y 6 64y6 - 480y4 + 720y2 -120
Los polinomios de Hermite satisfacen las ecuaciones:
H"
- 2yH'+ 2vH
= 0
dy H H e v'vy2
= 0 (si v v')
-
Cap. 2. Aplicaciones M.C. 9
= pipipipi1/2 2v v! (si v = v') [2.24]
La frmula de recurrencia es:
Hv+1
= 2yHv - 2vHv-1
Ejemplo 2.4. Halle la constante de normalizacin de las funciones de onda del oscilador armnico. Solucin:
Segn la condicin de normalizacin, 1dx )x( v*v ====
1dx e )x(H e )x(HN 2/xv2/x
v2v
22
====
1dx e )x(H )x(HN2x
vv2v ====
y = x1/2
; dy = 1/2 dx 1dy e )y(H )y(H N2y
vv1/2-2
v ====
de acuerdo con [2.24] 1 v! 2 N v1/2-1/22v ====pipipipi
1/4-1/2v )/( )v! (2 N pipipipi==== [2.25]
Las funciones propias del oscilador armnico son:
2/x-vvv
2
e )(xH N )x( ==== (v = 0, 1, )
e 2/x-1/4
0
2
pipipipi
====
ex 4
2/x-1/43
1
2
pipipipi
====
e 1) - x (2 4
2/x-21/4
2
2
pipipipi
====
e 3x) - x (2 9 2/x-3
1/43
3
2
pi
=
-
Cap. 2. Aplicaciones M.C. 10
v 2
10
2 h
1
0
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