cilindros de pared delgada y gruesa. mecánica de materiales

En todas las cosas el éxito depende de la preparación previa. Sin la cual el fallo se producirá

Confucos, Analects.

Imagen: Latas de bebida. Junto con los envases de comida, son lo recipientes a presión más comunes.

40>t

di

Razón: diámetro interior (di) vs espesor (t)

40<t

di

Este número pudiese cambiar

Cilindros de pared delgada

presurizados internamente.

(c)Tensiones que actúan sobre el cilindro;

(d)Tensiones que actúan sobre un elemento.

Se quieren determinar los esfuerzos producidos por la

presión interna p en un recipiente cilíndrico.

Se considera que un cilindro es de pared delgada si

su relación radio r y el espesor t es mayor que .

En este caso, se puede idealizar el problema

considerando que los esfuerzos cortantes

y sólo se tienen los esfuerzos normales transversales

y longitudinales como se muestran

Nótese que se idealiza el problema como si se tuviera

un estado plano de esfuerzos principales.

aciendo una sección a lo largo del tubo, como se muestra en la figura , se tiene que la fuerza externa por unidad de longitud estará dada por,

or lo que la componente en la dirección del eje y de esta fuerza será

a fuerza interna por unidad de longitud será

or equilibrio estático, , lo que significa que,

por lo tanto, el esfuerzo transversal será

(1)Text Reference: Figure 10.1, page 390

( )1dF pds prd θ= =

( )ext

0

sen sen sen 2y ydF dF pr d F pr d prπ

θ θ θ θ θ= = ⇒ = =∫

( ) ( )int T2yF tσ= −

0yF =∑

ext int T0 2 2 0y yF F t prσ+ = ⇒ − + =

Tprt

σ =

omando ahora una sección transversal, como se muestra

en la figura , se tiene

na fuerza externa

y una fuerza interna

n donde es el área transversal rodeada por pared

externa del cilindro y es su perímetro exterior.

or equilibrio estático, esto es,

por lo tanto, el esfuerzo longitudinal será (2)

Nótese que por lo que el

sfuerzo transversal resulta ser el más crítico.Text Reference: Figure 10.1, page 390

( )2extxF r pπ= −

( )int 2x LF rtσ π=

2rπ

2 rtπ

0xF =∑ 2L2 0r p rtπ π σ− + =

L 2prt

σ =

LT 2σ σ=

Tσ

Figure 10.2 Vista frontal de un cilindro de pared delgada, presurizado internamente.

Del equilibrio

Tensiones Componentes

Vista frontal completa de un cilindro de pared gruesa, presurizado interna y externamente.

(a) con los esfuerzos que actúan sobre el cilindro; (b) con los esfuerzos que actúan sobre un elemento

rr

rrr

dr

dr

ddSend

drdzd

Sendzrddzddrrd

σσσθθθ

θσθσθσσ

θ

θ

+=⇒=⇒<<

=−−++

2)

2(_/

0)2

(2))((

(Ecuación 1)

PlanteandoEquilibrio

Figure 10.4 Elemento cilíndrico polar, antes y despues de la deformación.

Figura

Ley de Hooke

(Ecuación 3)

(Ecuación 2)

θσσδ ,,: rrIncognitas

Presurizados Internamente

Presurizados ExternamenteAplicando condiciones de frontera:σr =-Pi en r=ri

σr=-Pi en r=ro

(Ecuación 4)

Sustituyendo Ec1 en Ec2 y Ec3

Donde Ec4 se puede expresar como:

Integrando y simplificando:

Sustituyendo Ec5 y Ec6 en Ecuación3:

(Ec6)

(Ec5)

De la Ecuación 2:

Integrando de nuevo:

Figure 10.5 Cilindro de pared gruesa internamente presurizado, que muestra los esfuerzos circunferencial (en el aro) y radial para diferentes valores del radio. [Juvinall (1967).]

Figure 10.6 Cilindro de pared gruesa externamente presurizado que muestra los esfuerzos circunferencial(aro), y radial(diferentes radios).[Juvinall (1967).]

Figure 10.7 Esfuerzos en un cilindro en rotación con agujero central y sin presurización. [Juvinall (1967).]

Figure 10.8 Esfuerzos en cilindros macizos en rotación y sin presurización. [Juvinall (1967).]

Figure 10.9 Vista lateral que muestra la interferencia en un ajuste a presión de un eje hueco con su agujero.

Figure 10.10 Vista frontal que muestra (a) cilindro ensamblado con un ajuste por interferencia y b) agujero y eje hueco desensamblados(también se muestra la presión de interferencia).

Empleando la formulación de cilindros de pared gruesa, donde:Pi= Pf; r = rf y ri = rf, sustituyendo:

Agujero

fr

fo

foft

P

rr

rrP

−=

−+

=

σ

σ22

22 )(

Eje:

fr

if

ifft

P

rr

rrP

−=

−+

−=

σ

σ22

22 )( Para ejes macizos (ri=0).

)(

222

2

fo

offr rrE

rrP

−⋅⋅⋅⋅

=δ

−−⋅

+⋅=

====

−

−⋅+

+−−⋅

+⋅=

))((

)(2

;/

)(

)(

)(

)(

2222

223

22

22

22

22

iffoh

ioffr

hshs

s

ifh

if

h

h

foh

foffr

rrrrE

rrPr

EEE

EsrrE

rr

ErrE

rrPr

δ

ννν

ννδ

Deformación.

222camáx τττ +=

lr

P

lr

P

f

cc

f

aa

πτ

πτ

2

2

2

2

=

=

Relación: esfuerzos axial y circunferencial.

klPrkrFT

lPrrFT

lr

FP

fffmáxefectivo

fffmáx

f

máxfmáx

)2(

2

2

2

2

πµ

πµ

πµτ

=⋅⋅=

=⋅=

⋅=⋅=

Fuerza y Par

K =1/ b=∞K =0/ b=0K =0,8/ b=d

Aplicaciones de Cilindro de Presión internaAplicaciones de Cilindro de Presión interna

Ejemplo

Calcular el ajuste necesario para transmitir 40 CV sobre un eje hueco de do=50 mm y di= 30 mm mediante una polea de dext=90 mm.

Datos: Sadm= 2500 kg/cm2, n= 500 rpm, μ=0,12 Acero-Acero. B=5 cm, k=0,8

1HP= 746W

Ejemplo: Esfuerzos Térmicos

1. El conjunto mostrado en la figura consta de una cubierta de aluminio totalmente adherida a un núcleo de acero y no tiene esfuerzos cuando la temperatura es de 20 °C. Considerando solo deformaciones axiales, hallar el esfuerzo en la cubierta de aluminio cuando la temperatura sube a 180ºC.

Datos:

Aluminio EAl =70 GPa, αAl = 23x 10-6°C-1

Acero EAc = 200 GPa, αAc = 11x 10-6°C-1

2. Un bloque de una aleación de aluminio se coloca entre las dos mordazas rigidas de una prensa, las cuales se aprietan ligeramente. La temperatura del ensamble completo se eleva a 250°C en un horno. Las áreas de las secciones transversales son de 65 mm2 para el bloque y de 160 mm2 para los tornillos de acero inoxidable. Hallar esfuerzos en los tornillos y el bloque

Ejemplo: Esfuerzos Térmicos

Aluminio EAl =70 GPa, αAl = 24x 10-6°C-1 Acero inox: EAc = 200 GPa, αAc = 17x 10-6°C-1

Esfuerzos Térmicos

Material Modulus of Elasticity, EGPa Mpsi

MetalsAluminumAluminum alloysa

Aluminum tinBabbitt, lead-based white metalBabbitt, tin-based white metalBrassesBronze, aluminumBronze, leadedBronze, phosphorBronze, porousCopperIron, grey castIron, malleable castIron, spheroidal graphiteb

Iron, porousIron, wroughtMagnesium alloysSteel, low alloysSteel, medium and high alloysSteel, stainlessc

Steel, high speedZinc alloysd

62706329521001179711060124109170159801704119620019321250

9.010.29.14.27.514.517.014.116.08.718.015.824.723.111.624.75.928.429.028.030.77.3

PolymersAcetal (polyformaldehyde)Nylons (polyamides)Polyethylene, high densityPhenol formaldehydee

Rubber, naturalf

2.71.90.97.0

0.004

0.390.280.131.02

0.0006Ceramics

Alumina (Al2O3)GraphiteCemented carbidesSilicon carbide (SiC)Silicon nitride (Si3N4)

39027450450314

56.63.965.365.345.5

aStructural alloysbFor bearingscPrecipitation-hardened alloys up to 211 Gpa (30 Mpsi).dSome alloys up to 96 Gpa (14 Mpsi).eFilledf2.5%-carbon-black “mechanical” rubber.

Material Linear Thermal ExpansionCoefficient, a

(°C) -1 (°F) -1

MetalsAluminumAluminum alloysa

Aluminum tinBabbitt, lead-based white metalBabbitt, tin-based white metalBrassesBronzesCopperCopper leadIron, castIron, porousIron, wroughtMagnesium alloysSteel, alloyb

Steel, stainlessSteel, high speedZinc alloys

23 x 10-6

24 x 10-6

24 x 10-6

20 x 10-6

23 x 10-6

19 x 10-6

18 x 10-6

18 x 10-6

18 x 10-6

11 x 10-6

12 x 10-6

12 x 10-6

27 x 10-6

11 x 10-6

17 x 10-6

11 x 10-6

27 x 10-6

12.8 x 10-6

13.3 x 10-6

13.3 x 10-6

11 x 10-6

13 x 10-6

10.6 x 10-6

10.0 x 10-6

10.0 x 10-6

10.0 x 10-6

6.1 x 10-6

6.7 x 10-6

6.7 x 10-6

15 x 10-6

6.1 x 10-6

9.5 x 10-6

6.1 x 10-6

15 x 10-6

PolymersThermoplasticsc

Thermosetsd

Acetal (polyformaldehyde)Nylons (polyamides)Polyethylene, high densityPhenol formaldehydee

Rubber, naturalf

Rubber, nitrileg

Rubber, silicone

(60-100) x 10-6(10-80) x 10-6

90 x 10-6

100 x 10-6

126 x 10-6

(25-40) x 10-6

(80-120) x 10-6

34 x 10-6

57 x 10-6

(33-56) x 10-6

(6-44) x 10-6

50 x 10-6

56 x 10-6

70 x 10-6

(14-22) x 10-6

(44-67) x 10-6

62 x 10-6

103 x 10-6

CeramicsAlumina (Al2O3)

h

Graphite, high strengthSilicon carbide (SiC)Silicon nitride (Si3N4)

5.0 x 10-6

1.4-4.0 x 10-6

4.3 x 10-6

3.2 x 10-6

2.8 x 10-6

0.8-2.2 x 10-6

2.4 x 10-6

1.8 x 10-6

aStructural alloysbCast alloys can be up to 15 x 10-6/(°C)cTypical bearing materialsd25 x 10-6(°C)-1 to 80 x 10-6(°C)-1 when reinforcedeMineral filledfFillers can reduce coefficientsgVaries with compositionh0 to 200°C

Diámetros de eje y agujero

Table 10.4 Diámetro máximo y mínimo del eje y agujero para dos tipos de ajuste.

Clases de ajusteClass Description Type Applications 1 Flojo holgura Donde la exactitud no es esencial, tal como en los

equipos de construcción de caminos y de operación de minas.

2 Libre En cojinetes de rotación con velocidadess de 600 rpm o mayores, tal como en las máquinas y en algunas partes de automóviles.

3 Medio En cojinetes de rotación con velocidades menores de 600 rpm tales como máquinas, herramientas de precisión y partes de precisión de automóviles.

4 Apretado Donde una pequeña holgura es permisible y donde las partes móviles no se diseñan para moverse libremente bajo la acción de una carga.

5 Forzado Interferencia Donde es necesaria una presión ligera con un martillo para ensamblar las partes.

6 Apretado En ensambles semipermanentes adecuados para ajustes por contracción o impulsión en secciones ligeras.

7 Medio Donde se necesita una presión considerable para el ensamble y para ajustes por contracción de secciones medias; adecuadas para ajustes a presión en armaduras de generadores y de motores, para los rines de automóviles.

8 Gran fuerza o contracción

Donde se requiere una adherencia considerable entre las superficies, tal como en las ruedas de las locomotoras y en los discos pesados de los cigüeñales de motores grandes.

Table 10.1 Clases de ajuste.

Tolerancias en pulgadas para la clase de ajusteCla ss Allowan ce, a Inte rference, δ

H ubtolerance, tl,h

Shaf ttoler ance, tl ,s

12345678

0.0025d2/3

0.0014d2/3

0.0009d2/3

0.000- --- --- --- --

------------0.0000.00025d0.0005d0.0010d

0.0025d1 /3

0.0013d1 /3

0.0008d1 /3

0.0006d1 /3

0.0006d1 /3

0.0006d1 /3

0.0006d1 /3

0.0006d1 /3

0.0025d1/3

0.0013d1/3

0.0008d1/3

0.0004d1/3

0.0004d1/3

0.0006d1/3

0.0006d1/3

0.0006d1/3

Table 10.2 Recommended tolerance in inches for classes of fit.

Class Allowance, a Interference, δHubtolerance, tl,h

Shafttolerance, tl,s

12345678

0.0073d2/3

0.0041d2/3

0.0026d2/3

0.000------------

------------0.0000.00025d0.0005d0.0010d

0.021d1/3

0.0112d1/3

0.0069d1/3

0.0052d1/3

0.0052d1/3

0.0052d1/3

0.0052d1/3

0.0052d1/3

0.0216d1/3

0.0112d1/3

0.0069d1/3

0.0035d1/3

0.0035d1/3

0.0052d1/3

0.0052d1/3

0.0052d1/3

Table 10.3 Recommended tolerance in millimeters for clases of fit.

BibliografíaBibliografía

• Mecánica de los MaterialesTimoshenco y Gere. Cuarta Edición. International Thomson Editores .

•Mecánica de los SólidosEdgor P. Popov. Segunda Edición.Pearson Educación.