cap 5 torsiÓn
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7/25/2019 CAP 5 TORSIN
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Mecnica Estructural Escuela de Graduados PUCP
CAP.5 Torsin de Barras Prismticas Prof. Ing. Jos Acero Martnez
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CAPITULO 5
TORSION DE BARRAS PRISMATICAS
Introduccin
Se estudiar en detalle el efecto de la torsin sobre barras de seccin no circular. Para
iniciar el anlisis, sin embargo, se estudiar el caso de elementos de seccin circular,utilizando los mtodos de la Teora de Elasticidad.
La solucin de un problema por medio de la Teora de la Elasticidad requiere que las
componentes de esfuerzos satisfagan las ecuaciones diferenciales de equilibrio (ecuaciones2.59), y las condiciones de borde. En muchos casos este planteamiento conduce a
formulaciones matemticas sumamente complicadas, pues se trabaja a partir de segundos
derivadas parciales.
Una manera de lograr un desarrollo que termine en ecuaciones de ms fcil solucin es
utilizar el denominado mtodo semi-inverso o mtodo de Saint Venant. La simplificacin
se puede lograr si se parte de ciertas suposiciones sobre las componentes de los esfuerzos, olas componentes de las deformaciones unitarias o de los desplazamientos, dejando libertad
suficiente como para satisfacer las ecuaciones de la Elasticidad. Si se logra satisfacer estas
ecuaciones, se habr encontrado la solucin al problema planteado (unicidad de lasolucin).
Saint Venant utiliz este mtodo para resolver el problema de la torsin, asumiendo valores
de las componentes del desplazamiento (u, v, w).
5.1. Torsin de una barra cilndrica de seccin circular
Sea un cilindro de seccin circular de radio "R" y longitud "L", al cual se aplica un
momento torsor "T". Se ubica el eje "z" coincidente con el eje del cilindro, y los ejes "x" e
"y" en una seccin extrema del mismo (figura 5.1)
Figura 5.1. Deformada de una seccin circular sometida a una fuerza de torsin T
Debido a la accin de T, la generatriz AB pasa a la posicin A*B*. Es posible asegurar que,en este caso, "una seccin plana, perpendicular al eje "z", continuar siendo plana y
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perpendicular a este eje despus de la deformacin" debido a las siguientes razones:
- La seccin circular tiene simetra radial- Una seccin deformada debe ser la misma, si se le mira desde cualquiera de los dos
extremos del cilindro.
Los radios de esta seccin permanecen rectos, y para pequeas deformaciones su longitud
no vara.
Esto permite afirmar que el momento torsor T hace que cada seccin gire como un disco
rgido, alrededor del eje z. La rotacin " " de una seccin, con respecto al plano z = 0,
depender de la distancia "z" de la seccin a dicho plano. Para pequeas deformaciones sepuede asumir que la variacin de este ngulo es lineal, esto es:
z (5.1)
Se conoce a " " como el ngulo de torsin por unidad de longitud.
Las suposiciones hechas, relativas a deformaciones, son:
- Las secciones permanecen planas despus de la aplicacin de las cargas.
- El ngulo de rotacin "" vara linealmente (ecuacin 5.1).
A partir de ellas se buscar la solucin. Para ello se intentar satisfacer las condiciones de
la elasticidad, en aplicacin del mtodo del semi-inverso.
Como las secciones planas permanecen planas, no hay deformacin en el sentido del eje z,
es decir: 0w
Sea un punto ),( yxP en una seccin transversal ubicada a una distancia "z" del origen.
Luego de la deformacin, P pasa a ocupar la posicin *)*,(* yxP (figura 5.2)
Figure 5.2. Desplazamiento del punto interno P a una distancia z, debido a un momento
torsor T
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Donde se puede indicar que:
OPOP
cos)cos( OPxxu
sensenOPyyv
)(
Expandiendo el )cos( y el )( sen y notando que cosOPx y OPseny
ysenxu 1cos 1cos yxsenv
En desplazamientos pequeos:
1cos0 sen
Por lo tanto:
0 wxvyu (5.2)
Al utilizar la ecuacin (5.1) se obtendr:
0 wxzvyzu (5.3)
Que son los componentes del desplazamiento. Ahora, si se reemplaza los valores (5.3) en
las siguientes ecuaciones:
x
uxx
;
y
vyy
;
z
wzz
y
u
x
vyxxy 2/1
z
u
x
wzxxz 2/1
z
v
y
wzyyz 2/1
Se obtiene las ecuaciones 5.4:
0 zzyyxx (5.4a, b y c)
0)(2/1 zzxy (5.4d)
yy xzxz )(2/1 (5.4e)
xx yzyz )(2/1 (5.4f)
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Si se reemplaza estos valores en la ley de Hooke se tiene:
0 xyzzyyxx (5.5 a,b,c y d)
GxGy yzxz (5.5 e y f )
Como las ecuaciones (5.4) son lineales, las ecuaciones de compatibilidad que se muestra, sesatisfacen totalmente
yxxy
xyyyxx
2
2
2
2
2
2 ;zxxz
xzzzxx
2
2
2
2
2
2 ;zyyz
yzzzyy
2
2
2
2
2
2
zyzxzyx
xzyzxyzz
22
2
22
yxzyyzx
yzxyxzyy
22
2
22
zxyxxzy
xyxzyzxx
22
2
22
Por ejemplo:
0002
2
2
2
2
2
yxxy
xyyyxx
Del mismo modo, si las fuerzas de masa son cero (Bx=By=Bz=0), las ecuaciones (5.5)
satisfacen las ecuaciones diferenciales de equilibrio mostradas:
0
Bx
zyx
xzxyxx
0
By
zyx
yzyyxy
0
Bz
zyx
zzyzxz
Por ejemplo:
00000
Bx
zyxxzxyxx
Ahora se verificar las condiciones estticas de borde, tanto en las paredes laterales como
en las caras extremas.
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a) Paredes laterales. Se deben cumplir las ecuaciones de los esfuerzos de superficie:
xzxyxxS nmX 1
yzyyxyS nmY 1
zzyzxzS nmZ 1
Como no hay cargas en estas paredes laterales:
0 SSS ZYX
Figura 5.3. Fuerzas de superficie en una seccin circular sometida a torsin
Los cosenos directores de la normal a la superficie lateral son (1, m, 0); donde:
R
y
senmR
x
l cos
Las dos primeras ecuaciones se cumplen, al aplicar las ecuaciones (5.4 a, b, c y d). Latercera ecuacin tambin se cumple:
0SX
0SY
0)()()( R
xy
R
xyGxG
R
yyG
R
xZS
b) Paredes (caras) extremas. En este caso se den cumplir las seis ecuaciones de equilibrio;al utilizar nuevamente las ecuaciones (5.4 a, b, c y d) se puede afirmar que:
0 MyMxFz
A continuacin la figura 5.4, muestra los esfuerzos internos debido a un momento torsor T.
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Figura 5.4. Esfuerzos dentro de una seccin circular debido a un momento torsor T
En cuanto a las dems ecuaciones:
0 AA
xzx ydAGdAF
0 AAyzy xdAGdAF
Las ecuaciones anteriores son cero, pues los ejes "x" e "y" son centroidales, en cuanto almomento alrededor del eje z, se tiene:
A
zxzyz dAyxTM )(
Reemplazando valores:
AdAyGxGT )( 22
A
dAyxGT )( 22
Siendo:
2)(
422 RJdAyx
A
Expresin del momento polar de inercia por lo tanto:
GJTJGT
En una longitud L, el ngulo de giro relativo entre z, se puede definir como L/ , por
ejemplo entre una seccin A y B es:
GJ
TLABABAB / (5.6a)
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Pri ncipio de Sain t Venant
Como se han cumplido las ecuaciones de equilibrio y las de compatibilidad, esta solucin
es vlida si las componentes zy y zx se distribuyen en las caras extremas donde actan
los momentos torsores, de acuerdo a los valores dados por las ecuaciones (5.5). Al aplicar
directamente las cargas de torsin en los extremos, muy probablemente esto no ocurra en
las caras extremas (figura 5.5). Se asume que zy y zx sufren una redistribucin, de modo
que a una pequea distancia de las caras cumplen con las ecuaciones (5.5). Este concepto se
conoce como el Principio de Saint Venant, quien fue el primero en formularlo y utilizarlo.
Figura 5.5. Se muestra como a una distancia corta donde se aplica el torsor T, recin tienen
validez las ecuaciones deducidas.
Como zy y zx son independientes de "z" estos esfuerzos son iguales en todas las
secciones transversales. El vector esfuerzo ser:
),( xGyG y su mdulo es:
rGyxG 22
Si se reemplaza en esta ecuacin el valor de , se obtendr:
J
Tr
(5.6b)
El mximo valor de ocurre para .Rr Este resultado tambin es vlido para seccionestubulares, de radio interno R1 y radio externo R2. En este caso:
21
4
1
4
2 .)(2
RrRRRJ
Las ecuaciones 5.6 a y b, son conocidas de la resistencia de materiales y solo tienen validez
para secciones circulares slidas y tubulares.
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